06 - Flexão de vigas constituidas por vários materiais

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Resistência dos Materiais 
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Prof. Alberti 
 
6 Flexão em vigas constituídas por vários materiais 
 
Considerações 
 
Em vigas compostas por dois ou mais materias com módulos de elasticidade diferentes 
não é possível aplicar diretamente a equação geral da flexão simples para determinar a 
distribuição de tensões normais sem antes fazer uma transformação da seção transversal em 
uma seção equivalente. 
Seja uma viga composta por dois materias com módulos de elasticidade E1 e E2. 
Ao ser solicitada por momento fletor M, a seção transversal plana permanecerá plana 
após a deformação da viga. As deformações específicas nas diversas fibras serão proporcionais 
aos afastamentos na vertical em relação à linha neutra. 
Porém, o mesmo não ocorrerá com a distribuição de tensões normais. Ocorrerá uma 
descontinuidade no diagrama de distribuição de tensões, sendo que o materiasl com maior 
módulo de elasticidade terá maiores tensões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• A seção acima é composta por dois materiais, sendo E1 ≠ E2 (admitindo E1 > E2); 
• As seções transversais planas permanecem planas após a flexão; 
• A deformação específica x varia linearmente em função de y; 
• Na interface dos 2 materiais as deformações são iguais para ambos os materiais. Por 
exemplo, na fibra distante a da linha neutra: 
 a1 = a2 = a 
 
• Contudo, como E1 ≠ E2, as tensões nos materiais não são iguais: 
 
x1 = E1. a é diferente de x2 = E2.a 
 
 
• x será maior para o material de maior módulo de elasticidade. 
 
 
 
 
h
b
a
e
1
1
2
x
L N
M
dS
y
x
a
e
x.E1
a.E1
a.E2
e.E1
e.E2
E > E1 2
para
Seção transversal Deformação Distribuição de
tensões
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Solução 
 
Utiliza-se a seção transformada, que consiste em uma nova seção de um único 
material, mas equivalente à seção original, transformando as dimensões da seção transversal 
paralelamente à LN. 
 
Existem duas possibilidades: 
 
a) Seção equivalente no material 1: 
• As dimensões do material 1 não são modificadas (b1’ = b1) 
• As dimensões do material 2 são modificadas pela relação: 
 
2212
1
2
21 b.n'b
E
E
n == 
 
b) seção equivalente no material 2: 
• As dimensões do material 2 não são modificadas (b2’ = b2) 
• As dimensões do material 1 são modificadas pela relação: 
 
1.121
2
1
12 bn'b
E
E
n == 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a seção transformada é de material homogêneo, com módulo E1 (ou E2), pode ser 
aplicada a equação geral da flexão. A linha neutra é determinada calculando-se o CG da seção 
transformada. 
Na seção transformada as deformações e tensões variam linearmente. As tensões 
calculadas para o material da seção transformada valem apenas para este material. Para o outro 
material, as tensões são obtidas multiplicando-se as tensões da seção transformada pelo fator 
n21 (ou n12). 
h
b
b ' = b = b1 1 b ' = b = b2 2
b ' = n .b2 21 2 b ' = n .b1 12 1
a
e
a
e
1
1
2
1
1
1 2
2
2
E > E1 2
x
Seção transformada
em material 1
Seção transformada
em material 2
x(mat 1) x(mat 2)