Assunto 3 - Solução de equações diferenciais

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Solução de equações diferenciais
Apresentação
Para resolver as equações diferenciais é preciso encontrar seus fatores integrantes. Quanto maior 
for a ordem da equação, maiores dificuldades se apresentarão para encontrar as soluções. Daí 
surge, então, a transformada de Laplace, com propriedades e teoremas tabelados, que apresentam 
soluções das equações diferenciais de forma algébrica mais fácil. Do mesmo modo, aplicando as 
transformadas inversas de Laplace pode-se obter a variável independente do processo, geralmente 
o tempo em sistemas reais dinâmicos.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você iniciará o estudo das EDOs (Equações Diferenciais 
Ordinárias), que representam vários sistemas dinâmicos. Elas podem ser genéricas ou homogêneas, 
e têm apenas uma variável.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir a solução de equações diferenciais.•
Aplicar a transformada de Laplace para a solução de equações diferenciais.•
Resolver a equação diferencial pela transformada de Laplace inversa da variável 
independente.
•
Desafio
Imagine que você trabalha no setor de pesquisas de um grande fabricante de baterias automotivas 
e recebeu uma missão muito importante. Mediante uma tabela de testes de um lote de baterias 
tipo exportação, você deve criar um modelo matemático que sirva de parâmetro para curvas de 
descarga de baterias submetidas a nenhuma carga (0%), a 50 % de carga e a 100 % de carga.
Analise os dados e as curvas empíricas abaixo:
 
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Agora, obtenha uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Os dados revelam o tempo 
do teste em minutos, que será a variável X do processo, as constantes de cargas das baterias K1, 
K2 e K3 e descargas D1, D2 e D3 em porcentagem.
Infográfico
No infográfico veja dois exemplos de aplicação da transformada de Laplace para a solução de 
equações diferenciais representadas por circuitos RLC série e paralelo.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
 
Conteúdo do livro
Resolver equações diferenciais significa integrá-las. Para isso, é necessário encontrar seus fatores 
integrantes. Evidentemente, quanto maior for a ordem da equação, maiores serão as dificuldades 
para encontrar as soluções. Daí surge a transformada de Laplace, com propriedades e teoremas 
tabelados, que apresentam soluções mais simples para as equações diferenciais de forma algébrica. 
Do mesmo modo, as transformadas inversas de Laplace possibilitam a obtenção da variável 
independente do processo, geralmente o tempo em sistemas reais dinâmicos.
No capítulo Solução de equações diferenciais, da obra Sistemas Lineares, que é base teórica desta 
Unidade de Aprendizagem, você vai estudar as equações diferenciais ordinárias (EDOs), de ordem 
n, que representam vários sistemas dinâmicos. Elas podem ser genéricas ou homogêneas e têm 
apenas uma variável.
Boa leitura!
SISTEMAS 
LINEARES
Dárcio Silvestre Sabbadin
 
Solução de equações 
diferenciais
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Definir solução de equações diferenciais.
  Aplicar a transformada de Laplace para a solução de equações 
diferenciais.
  Resolver a equação diferencial pela transformada de Laplace inversa 
da variável independente.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar as Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), 
de ordem n, que representam vários sistemas dinâmicos. Elas podem ser 
genéricas ou homogêneas e têm apenas uma variável.
Resolver tais equações significa integrá-las. Para isso, é necessário 
encontrar seus fatores integrantes. Evidentemente, quanto maior for 
a ordem da equação, maiores serão as dificuldades para encontrar as 
soluções.
Daí surge a transformada de Laplace, com propriedades e teoremas 
tabelados que apresentam soluções mais simples para as equações 
diferenciais de forma algébrica. Do mesmo modo, as transformadas 
inversas de Laplace possibilitam a obtenção da variável independente 
do processo, geralmente o tempo em sistemas reais dinâmicos.
Solução de equações diferenciais
Segundo Stewart (2011), uma equação diferencial é aquela que contém uma 
função desconhecida e algumas de suas derivadas. Portanto, agora a incógnita 
é uma função. Escreve-se: 
A ordem da equação diferencial será a ordem da derivada mais alta que 
ocorre na equação.
Considere os exemplos a seguir.
Equação diferencial ordinária de ordem 1:
Equação diferencial ordinária de ordem 2:
Equação diferencial ordinária de ordem n:
Se q(x) = 0, a equação diferencial é denominada homogênea.
A solução geral da equação completa é dada por:
Onde y ∙ P(x) é uma solução particular da equação completa e y ∙ G(x) é a solução 
da equação homogênea.
Porém, solucionar uma equação diferencial ordinária na prática significa encontrar 
uma solução particular inicial. Ou seja, fisicamente significa encontrar o estado de um 
sistema no instante t(0).
Considere o exemplo seguir, que mostra a resolução de equações diferenciais 
ordinárias homogêneas.
Observe a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem a seguir, 
com coeficientes a, b e c numéricos:
Escreva na forma polinomial caraterística:
Encontre as raízes da equação algébrica (r1 e r2) e monte a solução no modelo a seguir:
, com A e B ∈ R.
Onde: a exponencial erx é o fator integrante da equação diferencial mencionado.
Solução de equações diferenciais2
Na Figura 1, a seguir, você encontra um quadro comparativo entre os mais 
variados métodos de solução das equações diferenciais ordinárias. Como você 
Se as raízes forem complexas, como , então a solução será modelada 
de duas maneiras, como você pode ver a seguir.
  Solução 1: 
  Solução 2: 
  Solução geral: 
Caso r1 = r2 = r, a solução da equação diferencial ordinária homogênea será:
Assim, a solução geral fica:
Agora, considere o exemplo de solução particular a seguir.
Observe esta equação diferencial:
Sabendo que a solução da equação diferencial ordinária homogênea é:
procure uma solução particular do tipo polinômio de grau 1, do tipo:
Assim, derive y ∙ p(x):
Derive mais uma vez: 
Substitua na fórmula da equação: 
Isole a variável x e compare ao segundo membro da equação:
Então: a ∙ c = 1, daí a = 1/c
E: 
Finalmente, você pode escrever a solução:
, com A e B ∈ .
3Solução de equações diferenciais
pode ver, é dada ênfase ao método dos coeficientes numéricos e ao método 
da transformada e da antitransformada de Laplace.
Figura 1. Métodos de solução de equações diferenciais ordinárias.
Neste capítulo, você vai estudar as equações diferenciais ordinárias até a segunda 
ordem, pois são as mais utilizadas em circuitos elétricos e de amortecimento. Você 
deve estar atento ao método dos coeficientes, que só pode ser aplicado quando o lado 
esquerdo da equação diferencial for composto por coeficientes (a, b e c) numéricos 
e quando o segundo lado da equação contiver polinômios, funções exponenciais e 
trigonométricas do tipo seno e cosseno. 
Transformada de Laplace para a solução 
de equações diferenciais
A transformada de Laplace pode ser considerada uma “destruidora” de integrais e 
derivadas. Ela transforma, por meio de seu operador laplaciano ( ), uma equação 
no domínio do tempo para frequência. Além disso, realiza a operação inversa, ou 
seja, antitransforma ( ) do domínio da frequência para o domínio do tempo.
Solução de equações diferenciais4
Seu modelo matemático (OGATA, 1999) é dado a seguir.
Considere t > 0, pois os fenômenos físicos estudados acontecem em tempo 
real e s para que a integral acima tenha convergência. Onde t é a variável 
tempo e s a frequência complexa.
Para aprimorar seu aprendizado, confira os links a seguir. Neles, você encontra vídeos 
muito úteis para se aprofundar nas equações diferenciais ordinárias e parciais.
Cálculo III — transformada de Laplace (equação diferencial ordinária) 
https://goo.gl/uMHZwkCálculo III — transformada de Laplace (sistema de equações diferenciais ordinárias) 
https://goo.gl/X8qYku
Cálculo III — transformada de Laplace (equação diferencial parcial)
https://goo.gl/XBj4zC 
Você sabe por que a transformada de Laplace é considerada destruidora de 
derivadas e integrais? É porque são utilizadas tabelas pré-calculadas de funções 
no domínio do tempo e funções no domínio da frequência para a solução das 
transformadas e antitransformadas. No Tabela 1, você pode visualizar as 
principais funções e teoremas tabelados.
1. 2. 
3. 4. 
5. 6. 
7. 8. 
Tabela 1. Transformadas básicas
5Solução de equações diferenciais
Elementos da natureza e do cotidiano também podem ser modelados por equações 
diferenciais ordinárias. É o caso dos sistemas elétricos e pneumáticos.
As curvas de aprendizagem e crescimento populacional, por exemplo, obedecem 
às mesmas equações diferenciais ordinárias de grau 1, como você pode ver a seguir.
Modelo: 
Onde:
A = aprendizado em função do tempo (t)
M = máximo aprendizado
k = fatores pessoais
Solução: para a condição inicial A (0) = 0, tem-se: 
Curva da aprendizagem:
Repare como a curva de aprendizagem é similar à curva de carga de um capacitor 
ou de um sistema superamortecido. Ela mostra que certo indivíduo aprende muito 
rápido nos primeiros cinco anos de vida e depois estabiliza seu conhecimento sobre 
um certo tema, por exemplo. É o mesmo que acontece com um capacitor que, após 
ligada a chave de um circuito no instante t = 0, começa a carregar até estabilizar a 
carga em um valor máximo.
Solução da equação diferencial pela transformada 
de Laplace inversa da variável independente 
A transformada de Laplace é uma função linear e traduz-se nas seguintes 
expressões:
Solução de equações diferenciais6
De uma forma genérica, pode-se escrever:
Repare na semelhança com a equação diferencial ordinária genérica a 
seguir:
Assim, dada uma equação diferencial e suas condições iniciais, você deve 
escrevê-la na forma do domínio da frequência Y(s) e resolvê-la por meio das 
tabelas e frações parciais. Novamente recorrendo às tabelas de transformadas 
de Laplace, você volta a função ao domínio original.
Considere uma equação diferencial ordinária de ordem 1: 
, com y(0) = 0 e c uma constante numérica.
Aplicando a propriedade da linearidade, você obtém:
Então, escrevendo em função de Y(s):
Isolando Y(s):
Você obtém:
Agora, a equação anterior deve ser antitransformada por meio do método das frações 
parciais. Depois, você deve procurar na tabela de Laplace sua correspondente função 
no domínio original do tempo:
Daí:
Assim, comparando os coeficientes, você tem:
7Solução de equações diferenciais
No Tabela 2, a seguir, você pode ver os teoremas das transformadas de 
Laplace.
Fonte: Adaptado de Ogata (2000).
Teorema Equação
Dualidade divisão/multiplicação
Dualidade multiplicação/divisão
Linearidade
Superposição
Linearidade e superposição
Translação na frequência
Translação no tempo
Escalonamento
Tabela 2. Teoremas das transformadas de Laplace
Então:
Reescrevendo:
Aplicando a tabela de transformadas de Laplace da direita para a esquerda, você 
obtém:
Solução de equações diferenciais8
A seguir, você pode ver um exemplo de uma equação diferencial ordinária de grau 2, 
que deve ser resolvida por meio do método da transformada inversa de Laplace:
Condições iniciais: 
Solução:
Primeiramente, escreva a equação em função de Y(s).
Então:
Isole Y(S):
Fatorando o denominador, você tem:
Aplicando o método das frações parciais, você obtém:
Resolvendo:
Comparando os coeficientes de ambos os lados da equação anterior, você tem:
Por substituição, resolva o sistema anterior:
9Solução de equações diferenciais
OGATA, K. Dinâmica de sistemas. Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 1999. 
OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 3. ed. Rio de Janeiro: Prentice - Hall, 2000.
STEWART, J. Cálculo. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. v.1-2.
Leituras recomendadas
POSSANI, C. Cálculo III: aula 19 – transformada de Laplace. Youtube, ago. 2015. Dis-
ponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=4fjvxdYBfYs&t=317s>. Acesso 
em: 21 jun. 2018.
POSSANI, C. Cálculo III: aula 20 – sistema de equações diferenciais ordinárias. Youtube, ago. 
2015. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=CPGLsDpRkz0&t=946s>. 
Acesso em: 21 jun. 2018.
POSSANI, C. Cálculo III: aula 21 – introdução ao estudo das equações diferenciais 
parciais. Youtube, set. 2015. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=u_
UZuWXNfu8&t=177s>. Acesso em: 21 jun. 2018.
Como C = – 4 ∙ A, você tem:
Portanto: 
Agora, reescrevendo:
Aplicando a tabela inversa de Laplace:
Solução de equações diferenciais10
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
Dica do professor
As equações diferenciais ordinárias dos mais elevados graus modelam muitos fenômenos físicos da 
natureza e científicos. Por isso, é importantíssimo estudá-las. Na Dica do Professor você verá o 
desenvolvimento de soluções das equações diferenciais ordinárias de apenas uma variável.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
 
 
Exercícios
1) Qual é o resultado da equação diferencial ordinária a seguir, no domínio do tempo para 
condição inicial Y(0)=9?
y ́(t) +y (t) = 2
A) 2-7.e-t
B) -2-7.e-t
C) 2+7.e-t
D) 7-2.e-t
E) 2-7.e-2.t
2) Considerando que uma equação difrencial ordinária pode apresentar várias curvas como 
solução, qual das alternativas é possível solução da equação diferencial ordinária 
homogênea seguir?
y ́ ́+ 2.y ́+ y = 0.
A) e-t
B) et
C) t.e-t
D) -t.e-t
E) t2.et
3) Resolva a equação diferencial ordinária homogênea de grau 3 a seguir e responda qual 
alternativa traz sua solução geral: 
y ́ ́ ́- 2y ́ ́+ 5y ́ = 0
A) A+B.ex.cos(2x)+C.ex.sen(2x) 
Highlight
B) A.ex.cos(2x)+ex.sen(2x)
C) A+B.e2xcos(2x)+C.e2.x.sen(2x)
D) 2.A+B.ex.cos(2x)+C.ex.sen(2x)
E) A+B.ex.cos(x)+C.ex.sen(x)
4) Resolva a equação diferencial ordinária homogênea a seguir e indique a alternativa que 
indica sua resposta correta:
ý ́ ́- 9y ́ ́ + 26y ́- 24y = 0
A) A.e4x+B.e3x+C.e2x
B) A.ex+B.ex+C.ex
C) A.e-x+B.e-2x+C.e-4x
D) ex+e-x+C.ex
E) A.e2x+B.e3x+C.e4x
5) Encontre a solução geral para a equação y ́ ́ - 3y ́ + 2y = x e aponte a alternativa correta.
A) y(x)=A.ex+B.e2x+(1/2).x+1/2
B) y(x)=A.e2x+B.e2x+(1/2)x+1/2
C) y(x)=A.ex+B.e2x+((1/2)x)+3/4 
D) y(x)=A.e-x+B.e2x+(1/2)x+3/2
E) y(x)=A.ex+B.e-2x+1/2.x+3/4
Na prática
Na Prática, as equações diferenciais ordinárias modelam fenômenos do cotidiano e da vida real 
como forma de previsão de acontecimentos. O crescimento populacional em certa região, por 
exemplo, pode ser previsto por equações diferenciais ordinárias que delimitam uma taxa de 
variação do crescimento da população, pois a derivada em síntese é uma medida de taxa de 
variação, e pode ser aplicada em vários setores da economia (mercado de ações, cálculo do 
abastecimento e desabastecimento, etc).
Veja um modelo matemático aplicado ao crescimento populacional e sua curva ou família de curvas, 
que, no fundo, é a incógnita de uma equação diferencial ordinária, ou seja, a previsão do 
crescimento da população e suas variantes:
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Modelos Descritos por Equações Diferenciais Ordinárias
Leia o trabalho, que trata das principais aplicações das equações diferenciais ordinárias de primeira 
ordem, especialmente o estudo de dinâmica populacional e de modelos descritos por equações 
diferenciais ordinárias de segunda ordem, destacando o modelo da catenária.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
O uso de equações diferenciais na modelagem de sistemas 
naturais e outros
Leia o trabalho, que aborda as possibilidades de modelagem matemática de sistemas,por meio de 
equações diferenciais, com ênfase nos sistemas pertencentes ao ramo das Ciências Naturais.
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