Equações Diferenciais

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Notas de Aula de Equações Diferenciais
Equações Diferenciais
Bárbara Rodriguez Cristiana Poffal
2 de maio de 2019
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Universidade Federal do Rio Grande - FURG
NOTAS DE AULA DE EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS
Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF
1 Notas de Aula: Equações Diferenciais
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Sumário
1 Fundamentos de Equações Diferenciais 5
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Classificação pelo Tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Classificação pela Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Classificação pelo Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Equações Diferenciais Ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.1 Classificação pela Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Solução para uma Equação Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Soluções de uma Equação Diferencial Ordinária . . . . . . . . . . . . 11
1.8.1 Tipos de Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9 Problemas de Valor Inicial e de Valor de Contorno . . . . . . . . . . . 13
1.9.1 Problemas de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.9.2 Problemas de valor contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.10 Campo de Direções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.11 Equações Diferenciais Autônomas de Primeira Ordem . . . . . . . . . 15
1.12 Lista de Exercícios - Fundamentos de EDOs . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Equações Diferenciais de Primeira Ordem 18
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Existência e Unicidade de Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Equações Diferenciais com Variáveis Separáveis . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1 Método de solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2 Exercícios de EDOs de Variáveis Separáveis . . . . . . . . . . 21
2.4 Equações Diferenciais Homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
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SUMÁRIO
2.4.1 Função Homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.2 Equação diferencial homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.3 Método de solução de EDO homogênea . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.4 Exercícios de EDOs homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Equações Diferenciais Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.1 Método de solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.2 Exercícios de EDOs Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Equações Diferenciais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.1 Método de solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.2 Exercícios de EDOs Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7 Lista de Exercícios II - EDOs de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . 28
3 Aplicações de Equações Diferenciais de Primeira Ordem 30
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Problemas de Crescimento e Decrescimento . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Problemas de Variação de Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4 Misturas - Opcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Circuitos Elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6 Lista de Exercícios - Aplicações de EDOs de Primeira Ordem . . . . . 33
4 Equações Diferenciais de Ordem Superior Homogêneas 35
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Funções linearmente independentes (LI) e funções linearmente depen-
dentes (LD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Segunda Ordem Homo-
gêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.1 Solução de uma EDOLH com coeficientes constantes . . . . . 39
4.3.2 Exercícios de EDOs de Segunda Ordem Homogêneas . . . . . 41
4.4 Equações Diferenciais de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4.1 Teoria Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4.2 Equações Diferenciais Lineares Homogêneas de Ordem n (EDLH) 43
4.4.3 Equações Diferenciais Lineares Homogêneas de Ordem n com
Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4.4 Exercícios de EDOs de Ordem Superior Homogêneas . . . . . 46
3 Notas de Aula: Equações Diferenciais
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SUMÁRIO
4.5 Lista de Exercícios - EDOs Homogêneas de Segunda Ordem . . . . . 46
4.6 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5 Equações Diferenciais Lineares Não Homogêneas (EDLNH) 49
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior Não Homogêneas . 50
5.3 Método dos Coeficientes a Determinar . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3.1 Exercícios do Método dos Coeficientes a Determinar . . . . . . 53
5.4 Método de Variação de Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4.1 Exercícios do Método de Variação de Parâmetros . . . . . . . 58
5.5 Lista de Exercícios - Solução de EDOs não-homogêneas . . . . . . . . 59
6 Aplicações de Equações Diferenciais de Segunda Ordem 60
6.1 Vibrações Elásticas Amortecidas e Forçadas - Sistema massa-mola . . 60
6.1.1 Vibrações livres não-amortecidas ou movimento harmônico
simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.1.2 Vibrações livres amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.1.3 Vibrações forçadas com amortecimento . . . . . . . . . . . . . 64
6.1.4 Exercícios de Vibrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 Circuitos em Série RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.3 Sistemas de Equações Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.4 Lista de Exercícios: Aplicações de EDOs de Segunda Ordem . . . . . 67
4 Notas de Aula: Equações Diferenciais
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Capítulo 1
Fundamentos de Equações
Diferenciais
1.1 Introdução
As equações diferenciais constituem uma importante ferramenta ma-
temática para resolver problemas de Engenharia, da Física e das Ciências Exatas.
Quando formuladas matematicamente, requerem a determinação de uma função que
satisfaça a uma equação contendo derivadas da(s) função(ões) incógnita(s). Tais
equações são denominadas Equações Diferenciais.
1.2 Definição
Definição 1.2.1. Equação diferencial é uma equação que contém derivadas ou dife-
renciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis
independentes. São classificadas de acordo com o tipo, a ordem e a linearidade.
Exemplo 1.2.1. A segunda lei do movimento de Newton afirma que a aceleração a
de um corpo de massa m é proporcional à força total que atua sobre o corpo e pode
ser modelada pela equação algébrica
F = m · a.
Considera-se o movimento de um corpo de massa m colocado na ex-
tremidade de uma mola vertical. A Lei de Hooke diz que se a mola é esticada ou
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1.3. CLASSIFICAÇÃO PELO TIPO
comprimida em x unidades a partir do seu tamanho natural então ela exerce uma
força, força elástica, que é proporcional a x:
Fel = −k · x,
onde k é uma constante positiva, chamada constante da mola. Ignorando-se qualquer
força externa de resistência, pela segunda lei de Newton tem-se que o movimento
da mola é representado por
m · a = −k · x,
uma vez que a aceleração pode ser escrita como a =
d2x
dt2
, tem-se
m
d2x
dt2
= −k · x.
Observação 1.2.1. Uma equação diferencial que descreve um processo físico, quí-
mico, biológico ou econômico é chamada de modelo matemático e obter a equação
a partir das descrições dos processos é chamado de modelagem do problema.
1.3 Classificação pelo Tipo
Se uma equação contém somente derivadas ordinárias (ou simples) de
uma ou mais variáveis dependentes com relação a uma única variável independente,
ela é chamada de equação diferencial ordinária (EDO).
Uma equação que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variá-
veis dependentes de duas ou mais variáveis independentes é chamada de equação
diferencial parcial (EDP).
Exemplo 1.3.1. Um exemplo típico de uma equação diferencial ordinária é,
L
d2Q(t)
dt2
+R
dQ(t)
dt
+
1
C
Q(t) = E(t),
onde Q(t) representa a carga em um capacitor em um circuito elétrico com capaci-
tância C, resistência R e indutância L, sujeito a uma tensão E(t).
Exemplo 1.3.2. A equação do calor,
α2
∂2u(x, t)
∂x2
=
∂u(x, t)
∂t
,
6 Notas de Aula: Equações Diferenciais
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1.4. CLASSIFICAÇÃO PELA ORDEM
e a equação da onda,
a2
∂2u(x, t)
∂x2
=
∂2u(x, t)
∂t2
,
são exemplos de equações diferencias parciais.
Exemplo 1.3.3. Classifique a seguintes equações diferenciais pelo tipo, escreva
EDO para as equações diferenciais ordinárias ou EDP para as equações diferenciais
parciais.
a)
dy
dt
+ 4y = 1
b)
∂u
∂y
= −∂v
∂x
c) (x− y)dx+ 5ydy = 0
d)
∂2u
∂2x
=
∂2u
∂t2
− ∂u
∂t
.
1.4 Classificação pela Ordem
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada mais alta
que aparece na equação.
Exemplo 1.4.1. A equação diferencial
d2y
dt2
+ 3
(
dy
dt
)3
+ 6y = sen(x)
é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
Exemplo 1.4.2. A equação diferencial
b2
∂4u
∂x4
+
∂2u
∂t2
= 0, b ̸= 0
é uma equação diferencial parcial de quarta ordem.
Exemplo 1.4.3. A equação de Laplace uxx + uyy = 0 é uma equação diferencial
parcial de segunda ordem.
Observação 1.4.1. Em particular, uma grande quantidade das EDO’s de primeira
ordem pode ser escrita na sua forma normal, representada por:
y′ = f(x, y)ou
dy
dx
= f(x, y).
7 Notas de Aula: Equações Diferenciais
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1.5. CLASSIFICAÇÃO PELO GRAU
Ocasionalmente, as EDO’s de primeira ordem são também escritas na
chamada forma diferencial
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0.
Exemplo 1.4.4. Supondo que y seja a variável dependente em
(y − x)dx+ 4xdy = 0. (1.4.1)
Dividindo-se a equação (1.4.1) pela diferencial dx obtém-se a forma
4x
dy
dx
+ y = x. (1.4.2)
Assumindo-se x ̸= 0 e dividindo-se a equação (1.4.2) por 4x, tem-se
dy
dx
+
1
4x
y =
1
4
. (1.4.3)
A equação diferencial (1.4.3) pode ser reescrita como,
dy
dx
+ P (x)y = Q(x), (1.4.4)
onde P (x) =
1
4x
e Q(x) =
1
4
. Uma EDO escrita na forma da equação (1.4.4) é dita
uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Exemplo 1.4.5. A equação diferencial y′ = xy está escrita na forma normal.
Exemplo 1.4.6. A equação diferencial
(x+ y)y′ = xy (1.4.5)
não está escrita na forma normal. Entretanto, observe que isso pode ser feito
dividindo-se ambos os lados da equação (1.4.5) por (x + y). Obtendo-se a forma
normal da equação diferencial,
y′ =
xy
x+ y
.
1.5 Classificação pelo Grau
O grau de uma equação diferencial é o maior expoente da derivada de
maior ordem.
8 Notas de Aula: Equações Diferenciais
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1.6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Exemplo 1.5.1. A equação diferencial
(
d2y
dx2
)3
−5
(
dy
dx
)4
= cos(x) é uma equação
diferencial ordinária de segunda ordem e terceiro grau.
Exemplo 1.5.2. A equação diferencial
∂z
∂x
−x∂z
∂y
= 3xyz é uma equação diferencial
parcial de primeira ordem e primeiro grau.
1.6 Equações Diferenciais Ordinárias
Definição 1.6.1. Uma equação diferencial ordinária é uma equação que envolve uma
função desconhecida, y(x), suas derivadas até uma ordem n e a variável independente
x; ou seja, é uma equação da forma
f(x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0.
1.6.1 Classificação pela Linearidade
Uma equação diferencial ordinária é chamada de linear quando pode ser
escrita na forma
an(x)
dny
dxn
+ an−1(x)
dn−1y
dxn−1
+ . . .+ a1(x)
dy
dx
+ a0(x)y = g(x).
As equações diferenciais lineares caracterizam-se por duas propriedades:
a) A variável dependente y e todas as suas derivadas são do primeiro grau; a potência
de cada termo envolvendo y é 1.
b) Cada coeficiente depende apenas da variável independente x.
Uma EDO não-linear é simplesmente uma EDO que não é linear. Em
outras palavras, uma EDO linear não pode conter termos como, por exemplo, sen(y),
ey.
Exemplo 1.6.1. As equações diferenciais (1 − y)y′ + 2y = ex e d
2y
dx2
+ sen(y) = 0
são equações diferenciais ordinárias não-lineares.
9 Notas de Aula: Equações Diferenciais
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1.7. SOLUÇÃO PARA UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Exemplo 1.6.2. Classifique as equações diferenciais ordinárias como lineares ou
não-lineares.
a) xdy + ydx = 0
b) y′′ − 2y′ + y = 0
c) x3
d3y
dx3
− x2 d
2y
dx2
+ 2x
dy
dx
+ 6y = sen(x)
d) yy′ − 2y′ + y = x
e)
d3y
dx3
+ y2 = 0.
Observação 1.6.1. A teoria matemática e as técnicas para o tratamento de equa-
ções lineares são bastante desenvolvidas. Por outro lado, no caso das equações
diferenciais não-lineares a situação não é tão satisfatória, não existindo técnicas ge-
rais de solução. Por este motivo, muitas vezes, procura-se descrever um fenômeno
não-linear como sendo linear, pelo menos em uma primeira aproximação. Nos casos
em que a não-linearidade é inevitável, e os métodos analíticos são inexistentes ou
insuficientes, existem ainda as ferramentas da análise qualitativa e numérica.
1.7 Solução para uma Equação Diferencial
Definição 1.7.1. Chama-se solução de uma equação diferencial ordinária de ordem
n no intervalo I a uma função y = ϕ(x) definida nesse intervalo, juntamente com as
suas derivadas contínuas, até à ordem n, que satisfaz a equação diferencial, ou seja,
f(x, ϕ(x), ϕ′(x), ϕ′′(x), . . . , ϕ(n)(x)) = 0,∀x ∈ I.
Em outras palavras, pode-se dizer que qualquer função diferenciável
definida em algum intervalo I, que quando substituída na equação diferencial, reduz
a equação a uma identidade, é chamada de solução para a equação diferencial no
intervalo.
Observação 1.7.1. Não se pode pensar na solução de uma EDO sem, simulta-
neamente, pensar em um intervalo. O intervalo I da definição (1.7.1) é também
conhecido como intervalo de definição, intervalo de existência, intervalo de validade
ou domínio da solução.
10 Notas de Aula: Equações Diferenciais
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1.8. SOLUÇÕES DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA
Exemplo 1.7.1. Verifique se a função indicada é uma solução para a equação dife-
rencial em R.
a) EDO:
dy
dx
= xy
1
2 , função: y =
x4
16
b) EDO: y′′ − 2y′ + y = 0, função: y = xex.
1.8 Soluções de uma Equação Diferencial Ordinária
Uma equação diferencial ordinária geralmente possui um número infinito
de soluções. Chama-se família de soluções o conjunto formado por todas as soluções
da EDO. Em problemas de modelagem o gráficoda família de soluções tem grande
importância, pois mostra o formato das soluções.
Exemplo 1.8.1. As funções y = ex, y = e−x, y = c1ex, y = c2e−x e y = c1ex+c2e−x
são soluções da EDO linear de segunda ordem y′′ − y = 0.
Exemplo 1.8.2. Para qualquer valor de c, mostre que y =
c
x
+ 1 é uma solução de
x
dy
dx
+ y = 1.
1.8.1 Tipos de Solução
Definição 1.8.1. Chama-se solução geral a família de curvas integrais que verifica
a equação diferencial e possui constantes arbitrárias (parâmetros) tantas quantas
forem as unidades da ordem de integração (família de soluções).
Definição 1.8.2. Uma solução para uma equação diferencial que não depende de
parâmetros arbitrários é chamada de solução particular. Esta solução é também
chamada de curva integral da equação diferencial.
Observação 1.8.1. Geometricamente, a solução geral de uma equação diferencial,
é representada por infinitas curvas, uma para cada valor das constantes arbitrárias.
Estas curvas representam uma família de curvas que recebem o nome de curvas
integrais.
Exemplo 1.8.3. A equação diferencial
dy
dx
= 2x tem como solução geral a família
de curvas y(x) = x2 + c.
11 Notas de Aula: Equações Diferenciais
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1.8. SOLUÇÕES DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA
Figura 1.1: Curvas integrais.
Exemplo 1.8.4. Pode-se verificar que y = cex é uma família de soluções para a
equação diferencial de primeira ordem
dy
dx
= y. Para c = 0, c = −2 e c = 5 obtém-se
as soluções particulares y = 0, y = −2ex e y = 5ex, respectivamente.
Observação 1.8.2. Às vezes, uma equação diferencial possui uma solução que não
pode ser obtida com a especificação dos parâmetros de uma família de soluções da
equação. Tal solução é chamada de solução singular.
Definição 1.8.3. Uma solução para uma EDO que pode ser rescrita na forma y =
ϕ(x) é chamada de solução explícita, isto é, a solução na qual a variável dependente é
expressa somente em termos da variável independente e das constantes. No exemplo
1.7.1 as função apresentadas são soluções explícitas para as equações diferenciais
citadas.
Por outro lado, quando se resolve uma equação diferencial, nem sempre
os métodos de solução levam diretamente a uma solução explícita.
Definição 1.8.4. Uma relação do tipo G(x, y) = 0 é dita uma solução implícita
para uma EDO em um intervalo I, se ela define uma ou mais soluções explícitas em
I.
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1.9. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL E DE VALOR DE CONTORNO
Exemplo 1.8.5. Para x pertencente ao intervalo (−2, 2) a relação x2 + y2 − 4 = 0
é uma solução implícita para a EDO
dy
dx
= −x
y
.
1.9 Problemas de Valor Inicial e de Valor de Con-
torno
Quando uma equação diferencial é resolvida geralmente o interesse prin-
cipal não está em determinar uma família de soluções (solução geral), mas sim em
obter uma solução que satisfaça a algumas condições adicionais.
1.9.1 Problemas de valor inicial
Um problema de valor inicial (PVI) consiste em uma equação diferencial
sujeita a determinadas condições pré-estabelecidas, ou seja, condições subsidiárias
relativas à função incógnita e suas derivadas tudo dado para um mesmo valor da
variável independente. Tais condições são ditas condições iniciais.
Um problema de valor inicial (PVI) de primeira ordem consiste em
resolver a equação diferencial
dy
dx
= f(x, y)
sujeita à condição inicial
y(x0) = y0
onde x0 é um número no intervalo I e y0 é um número real arbitrário.
Observação 1.9.1. O objetivo destes problemas é resolver uma equação diferencial
sujeita à condição inicial, ou seja, se são conhecidas condições adicionais, pode-se
obter soluções particulares, a partir da solução geral, para a equação diferencial
dada. Sendo assim, uma solução de um PVI é uma função y = y(x) que satisfaz não
só a equação diferencial, mas também todas as condições iniciais.
1.9.2 Problemas de valor contorno
Um problema de valor de contorno (PVC) consiste em resolver uma
equação diferencial de ordem 2 ou maior na qual a variável dependente (y) ou suas
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1.10. CAMPO DE DIREÇÕES
derivadas são especificadas em pontos diferentes.
O problema
a2
d2y
dx2
+ a1
dy
dx
+ a0y = g(x)
sujeito a
y(a) = y0
e
y(b) = y1
é chamado de problema de valor de contorno. Os valores y(a) = y0 e y(b) = y1 são
chamados de condições de contorno ou condições de fronteira.
Dessa forma, uma solução para um PVC é uma função y = y(x) que
satisfaz não só à equação diferencial dada, mas também a todas as condições de
contorno. Os PVCs surgem em diversos ramos da Física, por exemplo, em problemas
envolvendo circuitos elétricos compostos por resistor, capacitor e indutor.
1.10 Campo de Direções
Campos de direções são ferramentas no estudo de equações diferenciais
da forma
dy
dx
= f(x, y) onde f é uma função de duas variáveis x e y. Um campo
de direções útil para equações dessa forma pode ser construído calculando-se f em
cada ponto de uma malha retangular de pontos do plano xy. Então, em cada ponto
da malha, desenha-se um pequeno segmento de reta cujo coeficiente angular é o
valor da função f naquele ponto. Dessa forma, cada segmento de reta é tangente ao
gráfico de uma solução contendo aquele ponto. Um campo de direções razoavelmente
fino fornece uma boa ideia do comportamento global das soluções de uma equação
diferencial. Para obter o campo de direções não é necessário resolver a equação
diferencial, basta calcular a função f dada muitas vezes.
Exemplo 1.10.1. Campo de direções para a EDO
dy
dx
− y = e−x. Observe a Figura
(1.2).
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1.11. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AUTÔNOMAS DE PRIMEIRA ORDEM
Figura 1.2: Campo de direções para o Exemplo 1.10.1.
-10 -5 0 5 10
-10
-5
0
5
10
y
x
1.11 Equações Diferenciais Autônomas de Primeira
Ordem
Na subseção 1.6.1, as equações diferenciais foram classificadas quanto
sua linearidade. Vamos considerar, brevemente, um outro tipo de classificação das
EDO’s. Uma equação diferencial na qual a variável independente não aparece ex-
plicitamente é chamada autônoma.
Definição 1.11.1. Seja x a variável independente. Uma equação diferencial de
primeira ordem dita autônoma é escrita na forma,
F (y, y′) = 0,
ou ainda, na forma normal,
dy
dx
= f(y).
Exemplo 1.11.1. Determine se as equações diferenciais de primeira ordem são
autônomas ou não.
a)
dy
dx
= 1 + y2
b)
dy
dx
= 2xy
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1.12. LISTA DE EXERCÍCIOS - FUNDAMENTOS DE EDOS
c)
dA(t)
dt
= kA(t).
1.12 Lista de Exercícios - Fundamentos de EDOs
1. Classifique as equações diferenciais ordinárias quanto à ordem e à linearidade:
a) (y − x)dx+ 4xdy = 0
b) y′′ − 2y′ + y = 0
c) (1− y)y′ + 2y = ex
d) y′′′ + xy′ + y cos2(x) = x3
e)
d2y
dx2
+ sen(y) = 0.
2. Reescreva as equações diferenciais ordinárias na sua forma diferencial:
a) [y cos(x) + 2xey] + [sen(x) + x2ey − 1]y′ = 0
b) (1− 2x2 − 2y)y′ = 4x3 + 4xy
c) x2y3 + x(1− y2)y′ = 0
3. Mostre que a relação dada define uma solução implícita da equação diferencial,
assumindo c como uma constante.
a) yy′ = e2x y2 = e2x
b)
dy
dx
= −x
y
x2 + y2 − c2 = 0.
4. Verifique se a função y(x) =
√
x2 − 4 é solução da equação diferencial ordinária
y′ =
x√
x2 − 4
.
5. Verifique se a função y(x) = 5e−x é solução do problema de valor inicial y′ + y = 0y(0) = 5.
6. Determine o valor de m para que y = xm seja solução para a equação diferencial
x2y′′ − y = 0.
7. Assinale V ou F, conforme a função dada seja ou não solução da EDO indicada:
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1.12. LISTA DE EXERCÍCIOS - FUNDAMENTOS DE EDOS
a) y = 2e−x + xe−x é a solução de y′′ + 2y′ + y = 0.
b) y = ln(x) é solução de xy′′ + y′ = 0 para x > 0.
c) y = C1sen(2x) + C2 cos(2x) é solução de y′′ + 4y = 0.
8. Determine as constantes C1 e C2 para que a função y = C1e2x +C2ex + 2 atenda
às condições y(0) = 1 e y′(0) = 1.
9. Determine o valor de m para que y = emx seja solução para a equação diferencial
y′′ − 5y′ + 6y = 0.
17 Notas de Aula: Equações Diferenciais
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Capítulo 2
Equações Diferenciais de Primeira
Ordem
2.1 Introdução
A habilidade de resolver uma equação diferencial, ou seja, em deter-
minar soluções exatas, em geral depende da habilidade em reconhecer o tipo de
equação diferencial e da aplicação de um método específico de solução. Em outras
palavras, o que funciona para um tipo de equação diferencial de primeira ordem não
necessariamente se aplica a outro.
Uma equação diferencial linear de primeira ordem pode ser escrita na
forma geral
dy
dx
+ P (x)y = Q(x), (2.1.1)
onde P (x) e Q(x) são funções conhecidas da variável independente x.
Tomando-se P (x) e Q(x) constantes, digamos, a e b, respectivamente,
tem-se
dy
dx
+ ay = b, (2.1.2)
ou ainda,
dy
dx
= −ay + b. (2.1.3)
A equação (2.1.3) pode ser resolvida pelo método de integração direto.
Isto é, para a ̸= 0 e y ̸= b
a
, colocando a em evidência, reescreve-se a equação como
dy
dx
= −a
(
y − b
a
)
, (2.1.4)
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2.2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE DE SOLUÇÕES
dy(
y − b
a
) = −adx. (2.1.5)
Integrando-se os dois lados da equação (2.1.5), tem-se
ln
∣∣∣∣y − ba
∣∣∣∣ = −ax+ c, (2.1.6)
onde c é a constante de integração. A solução geral da equação (2.1.6) é
y(x) = ce−ax +
b
a
,
para c uma constante arbitrária.
Entretanto, este método direto de integração não resolve a equação
diferencial (2.1.1), de modo que é preciso usar um método de solução diferente.
A seguir, são estudados alguns métodos de solução de equações diferen-
ciais de primeira ordem. Inicia-se esse estudo, enunciando o teorema que fornece
condições suficientes para a existência e unicidade de solução do problema de valor
inicial.
2.2 Existência e Unicidadede Soluções
Teorema 2.2.1. Se P (x) e Q(x) são funções contínuas em um intervalo I, α < x <
β, contento o ponto x = x0, então existe uma única função y = ϕ(x) que satisfaz
a equação diferencial linear de primeira ordem
dy
dx
+ P (x)y = Q(x) para cada x no
intervalo I e que também satisfaz a condição inicial y(x0) = y0, onde y0 é um valor
inicial arbitrário prescrito.
2.3 Equações Diferenciais com Variáveis Separáveis
Definição 2.3.1. Uma equação com variáveis separáveis é uma EDO de primeira
ordem na qual a expressão
dy
dx
pode ser fatorada como um produto uma função de
x por uma função de y, ou seja, pode ser escrita na forma
dy
dx
= g(x)h(y) (2.3.1)
ou ainda na forma diferencial, para h(y) ̸= 0,
dy
h(y)
= g(x)dx. (2.3.2)
19 Notas de Aula: Equações Diferenciais
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2.3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM VARIÁVEIS SEPARÁVEIS
2.3.1 Método de solução
Considera-se a equação diferencial escrita na forma diferencial (2.3.2).
Integrando-se ambos os lados da equação, tem-se∫
dy
h(y)
=
∫
g(x)dx (2.3.3)
Portanto, a equação (2.3.3) fornece um Método de Resolução para re-
solver uma EDO de primeira ordem com variáveis separáveis.
Observação 2.3.1. O nome separável vem do fato de que a expressão do lado
direito da equação (2.3.1) poder ser “separada” em uma função de x e uma função
de y.
Exemplo 2.3.1. Verifique se as seguintes equações diferenciais ordinárias de pri-
meira ordem são de variáveis separáveis.
a)
dy
dx
= y2xe3x+4y
b)
dy
dx
= y + sen(x).
Exemplo 2.3.2. Mostre que a equação diferencial
dy
dx
=
x2
1− y2
é variável separável e em seguida determine uma equação para suas curvas integrais.
Exemplo 2.3.3. Resolva as EDOs de primeira ordem.
a)
dy
dx
= 1 + e2x
b) (1 + x)dy − ydx = 0
c) xe−ysen(x)dx− ydy = 0.
Exemplo 2.3.4. Resolva o problema de valor inicial.
dy
dx
= −x
y
y(4) = −3.
20 Notas de Aula: Equações Diferenciais
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2.4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS HOMOGÊNEAS
2.3.2 Exercícios de EDOs de Variáveis Separáveis
Exercício 2.3.1. Resolva as equações diferenciais:
a)
dy
dx
= sen(5x) R:y(x) = −cos(5x)
5
+ C
b)
dy
dx
= (x+ 1)2 R:y(x) =
(x+ 1)3
3
+ C
c) xy′ = 4y R:y(x) = Cx4 + C
d)
dy
dx
=
y + 1
x
R:y(x) = Cx− 1
e) y ln(x)
dx
dy
=
(
y + 1
x
)2
R:
x3
3
ln(x)− x
3
9
=
y2
2
+ 2y + ln(y) + C
f) ex
dy
dx
= 2x R:y(x) = −2xe−x − 2e−x + C
g) 2y(x+ 1)dy = xdx R:y2 = x− ln | x+ 1 | +C
h)
dQ
dt
= k(Q− 70) R:Q(t) = 70 + Aekt
i) 2
dy
dx
− 1
y
=
2x
y
R:y2 = x2 + x+ C
j) (x+
√
x)
dy
dx
= (y +
√
y) R:y = [k(1 +
√
x)− 1]2 .
Exercício 2.3.2. Resolva os problemas de valor inicial:
a) (1− e−y)sen(x)dx = (1 + cos(x))dy, y(0) = 0 R: [1 + cos(x)] [1 + ey] = 4
b) ydy = 4x
√
y2 + 1dx, y(0) = 1 R: y2 + 1 =
(
2x2 +
√
2
)2
c) y′ + 2y = 1, y(0) = −5
2
R: y =
1
2
− 3
e2x
.
2.4 Equações Diferenciais Homogêneas
2.4.1 Função Homogênea
Definição 2.4.1. Uma função f satisfaz f(tx, ty) = tnf(x, y) para algum número
real n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n.
Exemplo 2.4.1. Verifique se as seguintes funções são homogêneas.
21 Notas de Aula: Equações Diferenciais
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2.4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS HOMOGÊNEAS
a) f(x, y) = x2 − 3xy + 5y2
b) f(x, y) = x3 + y3 + 1
c) f(x, y) = 3
√
x2 + y2.
2.4.2 Equação diferencial homogênea
Definição 2.4.2. Uma equação diferencial da forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 é
chamada homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do
mesmo grau.
2.4.3 Método de solução de EDO homogênea
Uma equação diferencial homogênea M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 pode ser
resolvida por meio de uma substituição algébrica. Mais especificamente, a substitui-
ção y = ux ou x = vy, em que u e v são novas variáveis independentes, transforma
a equação em uma equação diferencial de primeira ordem separável.
Observação 2.4.1. Uma equação diferencial é dita homogênea se pudermos escrevê-
la na forma
dy
dx
= f
(y
x
)
.
Exemplo 2.4.2. Resolva as equações diferenciais:
a) (x2 + y2)dx+ (x2 − xy)dy = 0
b) (2√xy − y)dx− xdy = 0.
Exemplo 2.4.3. Resolva o problema de valor inicial: x
dy
dx
+ y + xe
y
x , y(1) = 1.
2.4.4 Exercícios de EDOs homogêneas
Exercício 2.4.1. Determine se cada função é homogênea.
a) f(x, y) = x3 + 2xy2 − y
4
x
b) f(x, y) =
√
x+ y(4x+ 3y)
c) f(x, y) = sen
(
x
x+ y
)
.
22 Notas de Aula: Equações Diferenciais
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2.5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS
Exercício 2.4.2. Resolva a equação diferencial usando uma substituição apropri-
ada:
a) (x− y)dx+ xdy R: y + x ln | x |= Cx
b) (y2 + yx)dx− x2dy = 0 R: y ln | x |= −x+ Cy
c)
dy
dx
=
y
x
+
x2
y2
+ 1 R:
y
x
− arctan
(y
x
)
= ln | x | +C
d)
dy
dx
=
y
x
ln
(y
x
)
R: ln
∣∣∣y
x
∣∣∣− 1 = Ax.
Exercício 2.4.3. Obtenha a solução de cada equação diferencial levando em conta
a condição dada:
a) xy2
dy
dx
= y3 − x3, y(1) = 2 R: y3 = 3x3[− ln |x|+ 8
3
]
b) xydx− x2dy = y
√
x2 + y2dy, y(0) = 1 R:
(
x2
y2
+ 1
) 1
2
= ln |y|+1
c) (y2 + 3xy)dx = (4x2 + xy)dy, y(1) = 1 R: − ln |x| = 4 ln |y
x
|+ y
x
− 1
d) (x2+2y2)dx = xydy, y(−1) = 1 R: ln |x| = 1
2
ln |1+ y
2
x2
|− 1
2
ln |2|
e) y3dx = 2x3dy − 2x2ydx, y(1) =
√
2. R: ln |x| = −x
2
y2
+
1
2
2.5 Equações Diferenciais Exatas
Considere a equação diferencial
(2x+ y2)dx+ 2xydy = 0. (2.5.1)
Observe que essa equação não é homogênea e nem separável (Verifi-
que!!!). Logo os métodos estudados até este momento, não se aplicam a este tipo de
equação diferencial ordinária.
A seguir estuda-se o método de solução para a EDO (2.5.1).
Definição 2.5.1. Uma equação diferencial da forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 é
chamada exata em uma região R do plano xy se a expressão do lado esquerdo é uma
diferencial exata. Ou seja, existe uma função f(x, y) tal que a diferencial total de
f(x, y) é M(x, y)dx+N(x, y)dy. Neste caso, a solução da equação é f(x, y) = c.
23 Notas de Aula: Equações Diferenciais
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2.5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS
Teorema 2.5.1. (Critério para Diferencial Exata.) Sejam M(x, y) e N(x, y)
funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região retangular R
definida por a < x < b, c < x < d. Então, uma condição necessária e suficiente para
que M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 seja uma equação diferencial exata é
∂M(x, y)
∂y
=
∂N(x, y)
∂x
.
Observação 2.5.1. Supondo-se z = f(x, y), então a diferencial de f é
dz =
∂f
∂x
dx+
∂f
∂y
dy.
Se f(x, y) = c, então dz = 0, ou seja,
dz =
∂f
∂x
dx+
∂f
∂y
dy = 0.
Fazendo
∂f
∂x
= M e
∂f
∂y
= N.
As derivadas cruzadas produzem que
∂M
∂y
=
∂N
∂x
.
2.5.1 Método de solução
Seja a equação diferencial M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0:
1) Mostre que
∂M(x, y)
∂y
=
∂N(x, y)
∂x
.
2) Suponha que
∂f
∂x
= M(x, y). Determine f integrando M(x, y) em relação a x
considerando y constante,
f(x, y) =
∫
M(x, y)dx+ g(y), (2.5.2)
onde g(y) é uma constante de integração.
3) Derive a expressão f(x, y) com relação a y supondo
∂f
∂y
= N(x, y):
∂f
∂y
=
∂
∂y
∫
M(x, y)dx+ g′(y) = N(x, y) (2.5.3)
Assim,
g′(y) = N(x, y)− ∂
∂y
∫
M(x, y)dx. (2.5.4)
4) Integre a expressão g′(y) com relação a y e substitua o resultado em (2.5.2).
24 Notas de Aula: Equações Diferenciais
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2.5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS
Observação 2.5.2. Também é possível aplicar o procedimento acima com a su-
posição inicial de que
∂f
∂y
= N(x, y). Depois, integra-se N(x, y) em relação a y e
deriva-se o resultado, encontrando-se:
f(x, y) =
∫
N(x, y)dy + h(x)
h′(x) = M(x, y)− ∂
∂x
∫
N(x, y)dy.
Exemplo 2.5.1. Resolva as equações diferenciais:
a) (2xy + x)dx+ (x2 + y)dy = 0
b) [e2y − y cos(xy)]dx+ [2xe2y − x cos(xy) + 2y]dy = 0.
Exemplo 2.5.2. Resolva o problema de valor inicial:
[cos(x)sen(x)− xy2]dx+ [y(1− x2)]dy = 0, y(0) = 2.
2.5.2 Exercícios de EDOs Exatas
1) Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva-a:
a) (2x− 1)dx+ (3y + 7)dy = 0 R: x2 − x+ 3
2
y2 + 7y = C
b) (5x+ 4y)dx+ (4x− 8y3)dy = 0 R: 4xy + 5
2
x2 − 2y4 = C
c)
(
1 + ln(x) +
y
x
)
dx = (1− ln(x))dy R: x ln | x | +y ln | x | −y = C
d)
(
2x
y
)
dx−
(
x2
y2
)
= 0. R:
x2
y
= C
2) Resolva os problemas de valor inicial:
(a) (x+ y)2dx+ (2xy + x2 − 1)dy = 0, y(1) = 1
R: x3 + 3x2y + 3xy2 − 3y = 4
(b) (4y + 2x− 5)dx+ (6y + 4x− 1)dy = 0, y(−1) = 2
R: 4xy + x2 − 5x+ 3y2 − y = 8
(c) (ex + y)dx+ (2 + x+ yey)dy = 0, y(0) = 1
R: ex + xy + 2y + yey − ey = 3
(d)
(
3y2 − x2
y5
)
dy
dx
+
x
2y4
= 0, y(1) = 1.
R:
x2
y4
− 6
y2
+ 5 = 0.
25 Notas de Aula: Equações Diferenciais
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2.6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES
3) Determine o valor de k para que a equação diferencial
(2xy2 + yex)dx+ (2x2y + kex − 1)dy = 0
seja exata. R:k = 1
2.6 Equações Diferenciais Lineares
Definição 2.6.1. Uma equação diferencial de primeira ordem da forma
a1(x)
dy
dx
+ a0(x)y = g(x)
é chamada linear.
Note que essa equação pode ser escrita na chamada forma padrão dividindo-
a pelo coeficiente a1(x) ̸= 0, isto é,
dy
dx
+ P (x)y = Q(x). (2.6.1)
Quando Q(x) = 0, a equação diferencial linear será dita homogênea.
Caso contrário, não-homogênea.
2.6.1 Método de solução
Para determinar a solução da equação diferencial linear de primeira
ordem escreve-se a equação (2.6.1) na forma
dy + P (x)ydx = Q(x)dx
ou ainda,
dy + [P (x)y −Q(x)]dx = 0.
Equações diferenciais lineares têm a propriedade através da qual pode-se
sempre determinar uma função µ(x), chamada fator integrante, em que
µ(x)dy + µ(x)[P (x)y −Q(x)]dx = 0 (2.6.2)
é uma equação diferencial exata.
A equação (2.6.2) é exata se
∂
∂x
µ(x) =
∂
∂y
µ(x)[P (x)y −Q(x)],
26 Notas de Aula: Equações Diferenciais
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2.6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES
ou seja,
dµ(x)
dx
= µ(x)P (x).
Então,
dµ
µ
= P (x)dx ⇒ ln |µ| =
∫
P (x)dx.
Portanto,
µ(x) = e
∫
P (x)dx. (2.6.3)
A função µ(x) definida em (2.6.3) é um fator integrante para a equação
diferencial linear.
Reescrevendo-se (2.6.2) com µ(x) = e
∫
P (x)dx obtém-se,e
∫
P (x)dxdy + e
∫
P (x)dxP (x)ydx = e
∫
P (x)dxQ(x)dx
observando que o lado esquerdo da igualdade pode ser escrito como a derivada do
produto de duas funções, tem-se
d
[
e
∫
P (x)dxy
]
= e
∫
P (x)dxQ(x)dx.
Integrando, em relação a variável x,
e
∫
P (x)dxy =
∫
e
∫
P (x)dxQ(x)dx+ C.
Portanto, a solução y(x) em função do fator integrante é
y(x) = e
∫
−P (x)dx
∫
e
∫
P (x)dxQ(x)dx+ Ce
∫
−P (x)dx.
Observação 2.6.1. Deve-se observar que o fator integrante tem a forma µ(x, y) =
e
∫
P (x)dx e multiplicando-o na EDO linear obtém-se uma equação diferencial da forma
d
dx
[µ(x, y)y(x)] = µ(x, y)Q(x), a qual é de fácil resolução para y(x).
Observação 2.6.2. O método de resolução acima foi deduzido para o caso em que o
coeficiente de
dy
dx
é 1. Se não for, é preciso primeiro dividir toda a equação diferencial
por esse coeficiente, para torná-lo igual a 1.
Exemplo 2.6.1. Resolva as equações diferenciais:
a) x
dy
dx
− 4y = x6ex
b) y′ − 3y = 0
27 Notas de Aula: Equações Diferenciais
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2.7. LISTA DE EXERCÍCIOS II - EDOS DE PRIMEIRA ORDEM
c) (x2 + 9)
dy
dx
+ xy = 0
Exemplo 2.6.2. Resolva o problema de valor inicial
dy
dx
+ 2xy = x
y(0) = −3.
2.6.2 Exercícios de EDOs Lineares
1) Determine a solução geral para cada equação diferencial.
a)
dy
dx
= 5y R: y(x) = Ce5x
b)
dy
dx
+ y = e3x R: y(x) =
e3x
4
+ Ce−x
c) cos(x)
dy
dx
+ sen(x)y = 1 R: y(x) = sen(x) + C cos(x)
d) x
dy
dx
+ 2y = ex + ln(x) R: y(x) =
ex
x
− e
x
x2
+
1
2
ln |x| − 1
4
+
C
x2
e) x
dy
dx
+ (3x+ 1)y = e−3x. R: y(x) =
C
x
e−3x + e−3x
2) Resolva os problemas de valor inicial:
a)
dy
dx
= 2y+x(e3x−e2x), y(0) = 2 R: y(x) = xe3x−e−3x− x
2
2
e2x+3e2x
b) (x+ 1)
dy
dx
+ y = ln(x), y(1) = 10 R: y(x) =
x ln(x)− x+ 21
x+ 1
c) sen(x)
dy
dx
+ cos(x)y = 0, y(−π
2
) = 1. R: y(x) = −cosec(x)
2.7 Lista de Exercícios II - EDOs de Primeira Or-
dem
1) As seguintes equações diferenciais são apresentadas na forma normal e na forma
diferencial. Classifique-as em linear ou não linear (L ou NL), a variáveis separá-
veis (VS ou NVS), exata ou não exata (E ou NE) ou homogênea ou não (H ou
NH):
a) y′ = xy e xydx− dy = 0 R: VS, NE, NH, L
b) y′ = xy e xdx− 1
y
dy = 0 R: VS, NE, NH, L
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2.7. LISTA DE EXERCÍCIOS II - EDOS DE PRIMEIRA ORDEM
c) y′ =
xy2
x2y + y3
e xy2dx− (x2y + y3)dy = 0 R: NVS, NE, H, NL
d) y′ = − xy
2
x2y + y3
e xy2dx+ (x2y + y3)dy = 0. R: NVS, E, NH, NL
2) Resolva as equações diferenciais:
a) xy′ + 4y = x5 R: y(x) =
x5
9
+ Cx−4
b) x2y′ − 3y = 1 R: y(x) = −1
3
+ Ce−
3
x
c) (1 + ex)yy′ = ex R: y2 = 2 ln |1 + ex|+ C
d) xy′ + y = 2x+ ex R: y(x) = x+
ex
x
+
C
x
e) y′ − 7y = sen(2x) R: y(x) = − 7
53
sen(2x)− 2
53
cos(2x) + Ce7x
f) (x2 − y2)dx+ 2xydy = 0 R: y(x) = eC − x
g) y′ = ex−y R: y(x) = ln(C + ex)
h) xdx− y2dy = 0 R: y(x) = y
3
3
− x
2
2
= C
i) y ln(x)dx− 2ydy = 0. R: y(x) = 1
2
(x ln(x)− x) + C
3) Verifique se as equações são exatas. Resolva-as:
a) 3x2ydx+ x3dy = 0 R: Exata y(x) = eCx−3
b) (2x− y)dx+ (2y − x)dy = 0. R: Exata x2 − yx+ y2 = C
4) Determine o valor de k para que a equação (y3 − kxy4 − 2x)dx + (3xy2 +
20x2y3)dy = 0 seja exata. R: k = 10
5) Resolva os problemas de valor inicial:
a) x2y′ = y − xy, y(−1) = −1 R: e
− 1
x
−x
x
b)
(
1
1 + y2
+ cos(x)− 2xy
)
dy
dx
= y(y + sen(x)), y(0) = 1.
R: xy2 + y cos(x) + arctan(y) =
π
4
+ 1
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Capítulo 3
Aplicações de Equações Diferenciais
de Primeira Ordem
3.1 Introdução
Os modelos matemáticos para fenômenos como crescimento populacio-
nal, decrescimento radiativo, reações químicas, resfriamento de corpos, velocidade de
um corpo em queda, corrente em um circuito em série são frequentemente descritos
por equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
3.2 Problemas de Crescimento e Decrescimento
Seja N(t) a quantidade de uma substância ou população sujeita a um
processo de crescimento ou decrescimento (decaimento). Se admitirmos que
dN
dt
,
taxa de variação da quantidade de substância ou população, é proporcional à quan-
tidade de substância presente, tem-se a equação diferencial,
dN
dt
= kN,
onde k é a constante de proporcionalidade. Diz-se que k é uma constante de cresci-
mento, se k > 0 ou de decrescimento (decaimento), se k < 0.
Observação 3.2.1. Na Física e na Química a equação diferencial do tipo
dx
dt
= kx
é dita uma reação de primeira ordem, isto é, uma reação cuja taxa ou velocidade
dx
dt
é diretamente proporcional à quantidade x de uma substância não transformada
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3.3. PROBLEMAS DE VARIAÇÃO DE TEMPERATURA
ou remanescente no instante t. Como por exemplo, a decomposição ou decaimento
de U-238 por radioatividade em Th-234.
Exemplo 3.2.1. Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporci-
onal à quantidade presente. Após uma hora, observamos 1.000 núcleos de bactériasna cultura, e após 4 horas, 3.000 núcleos. Determine:
a) uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura no tempo arbitrário
t;
b) o número de núcleos inicialmente existentes na cultura;
c) o número de núcleos existentes na cultura após 6 horas.
3.3 Problemas de Variação de Temperatura
A lei de variação de temperatura de Newton (Lei de resfriamento de
Newton) afirma que a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional
à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Seja T a temperatura
do corpo e Tm a temperatura do meio ambiente. Então a variação de temperatura do
corpo é
dT
dt
, e a lei de Newton relativa à variação de temperatura pode ser formulada
como:
dT
dt
= k(T − Tm),
onde k é uma constante positiva de proporcionalidade.
Exemplo 3.3.1. Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100◦F em um
ambiente com temperatura constante de 0◦F. Se, após 20 minutos a temperatura da
barra é de 50◦F, determine:
a) uma expressão para a temperatura da barra em função do tempo;
b) o tempo necessário para a barra chegar à temperatura de 25◦F;
c) a temperatura da barra após 10 minutos.
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3.4. MISTURAS - OPCIONAL
3.4 Misturas - Opcional
A mistura de duas soluções salinas com concentrações diferentes, algu-
mas vezes, origina uma equação diferencial linear de primeira ordem para a quanti-
dade de sal contida na mistura. Seja A(t) a quantidade de sal no tanque no instante
t, então a taxa segundo a qual A(t) varia é uma taxa líquida:
dA
dt
= Re −Rs,
onde Re é a taxa de entrada de sal e Rs a taxa de saída.
A taxa de entrada Re de sal (em libras por minuto, por exemplo) é
Re = taxa de entrada da salmoura + concentração de sal no fluxo de entrada.
A taxa de saída Rs de sal (em libras por minuto, por exemplo) é
Re = taxa de saída da salmoura + concentração de sal no fluxo de saída.
Exemplo 3.4.1. Um grande tanque contém 300 galões de salmoura. Vamos supor
que uma outra salmoura é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 galões
por minuto; a concentração de sal nesta segunda salmoura é de 2 libras por galão.
Quando a solução no tanque estiver bem misturada, ela será bombeada para fora à
mesma taxa em que a segunda salmoura entrar. Seja A(t) a quantidade de sal (em
libras) no instante t. Determine:
a) A equação diferencial que modela o problema.
b) Se 50 libras de sal fossem dissolvidas nos 300 galões iniciais, quanto sal haveria
no tanque após um longo período?
3.5 Circuitos Elétricos
A equação básica que rege a quantidade de corrente I (em ampères) em
um circuito simples do tipo RL consistindo de uma resistência R (em ohms), um
indutor L (em Henries) e uma força eletromotriz E(t) (dada em volts) é:
L
dI
dT
+RI = E(t).
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3.6. LISTA DE EXERCÍCIOS - APLICAÇÕES DE EDOS DE PRIMEIRA
ORDEM
A corrente I é também chamada de resposta do sistema.
Para um circuito RC consistindo de um resistência, um capacitor C (em
farads), uma força eletromotriz (fem) E(t), e sem indutância, a equação que rege a
quantidade de carga elétrica q (em coulombs) no capacitor é:
R
dq
dt
+
1
C
q = E(t).
A relação entre q e I é I =
dq
dt
.
Exemplo 3.5.1. Um circuito RL tem fem de 5 volts, resistência de 50 ohms e
indutância de 1 henry. A corrente inicial é zero. Determine uma expressão para a
corrente no circuito no instante t.
Exemplo 3.5.2. Um circuito RC tem fem de 400 cos(2t) volts, resistência de 100
ohms e capacitância de 10−2 farad. Inicialmente não existe carga no capacitor.
Determine uma expressão para a corrente no circuito no instante t.
3.6 Lista de Exercícios - Aplicações de EDOs de Pri-
meira Ordem
1) Um corpo à temperatura de 50oF é colocado ao ar livre, onde a temperatura
ambiente é de 100oF. Se, após 5 minutos a temperatura do corpo é de 60oF,
determine:
a) o tempo necessário para que a temperatura do corpo chegar a 75oF;
b) a temperatura da barra após 20 minutos.
2) Sabe-se que a população de determinado estado cresce a uma taxa proporcional
ao número de habitantes existentes. Se, após 2 anos, a população é o dobro da
inicial, e após 3 anos é de 20 000 habitantes, determine:
a) a população inicial;
b) uma expressão para o número de habitantes em função do tempo.
3) Um circuito RC tem fem de 5 volts, resistência de 10 ohms e capacitância de
10−2 farad. Inicialmente existe uma carga de 5C no capacitor. Determine:
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3.6. LISTA DE EXERCÍCIOS - APLICAÇÕES DE EDOS DE PRIMEIRA
ORDEM
a) uma expressão para a corrente no circuito no instante t;
b) a corrente estacionária.
4) Um circuito RL tem fem de 4sen(t) volts, resistência de 100 ohms e indutância
de 4 henries. A corrente inicial é zero. Determine uma expressão para a corrente
no circuito no instante t.
5) Em uma certa reação química um composto C decompõe-se a uma taxa propor-
cional à quantidade de C que permanece. Sabe-se por experiências que 8g de C
diminuem para 4g em duas horas. Determine:
a) uma expressão para a quantidade de C que permanece na reação em função
do tempo;
b) o instante em que restará apenas 1g de C.
Respostas
1) a) T (t) = 100− 50e−0,045t; b) t = 15, 4min; c) 79, 7oF
2) a) 6 999; b) P (t) = 6999e0,35t
3) a) I(t) = −99
2
e−10t; b) 0
4) I(t) =
1
626
[e−25t + 25sen(t)− cos(t)]
5) a) I(t) = 8e−0,347t b) 6 horas
34 Notas de Aula: Equações Diferenciais
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Capítulo 4
Equações Diferenciais de Ordem
Superior Homogêneas
4.1 Introdução
Neste capítulo realiza-se um breve estudo das equações diferenciais line-
ares de ordem superior homogêneas. Inicia-se pela EDO de segunda ordem linear e
homogênea.
A forma mais geral de uma EDO linear de segunda ordem é representada
por
p(x)y′′ + q(x)y′ + r(x)y = g(x) (4.1.1)
onde p(x), q(x), r(x) e g(x) são funções contínuas em um intervalo aberto I.
A equação diferencial ordinária
p(x)y′′ + q(x)y′ + r(x)y = 0 (4.1.2)
é dita equação homogênea associada à equação diferencial (4.1.1).
Se g(x) ̸= 0, para todo x ∈ I, a equação (4.1.1) será dita não homogênea
e se g(x) = 0, para todo x ∈ I, a equação será dita homogênea.
Exemplo 4.1.1. A EDO x2y′′ + sen(x)y′ + exy = u(x), para u(x) ̸= 0 é dita uma
EDO de segunda ordem não-homogênea.
Exemplo 4.1.2. A EDO y′′ − 7y′ + 12y = 0 é dita uma EDO de segunda ordem
homogênea.
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4.2. FUNÇÕES LINEARMENTE INDEPENDENTES (LI) E FUNÇÕES
LINEARMENTE DEPENDENTES (LD)
Observação 4.1.1. Um exemplo de equação homogênea muito importante que apa-
rece em problemas de mecânica e circuitos elétricos é aquela em que os seus coefici-
entes são constantes, ou seja,
ay′′ + by′ + cy = 0,
onde a, b e c são constantes.
Este capítulo é destinado ao estudo exclusivamente das equações di-
ferenciais lineares homogêneas. As equações diferenciais lineares não-homogêneas
de segunda ordem são estudadas mais adiante no curso, juntamente com as EDOs
lineares não-homogêneas de ordem superior.
Para dar continuidade ao nosso estudo é necessário revisar os conceitos
de dependência e independência linear de duas funções. Isso é feito na seção (4.2).
4.2 Funções linearmente independentes (LI) e fun-
ções linearmente dependentes (LD)
Definição 4.2.1. Duas funções y1(x) e y2(x) são ditas linearmente dependentes
(LD) se existem duas constantes c1 e c2, com pelo menos uma diferente de zero, tal
que
c1y1(x) + c2y2(x) = 0,
para qualquer valor de x. Em outras palavras, y1(x) e y2(x) são LD se y1(x) =
cy2(x),∀c ∈ R.
As funções y1(x) e y2(x) são ditas linearmente independentes (LI) se elas
não são linearmente dependentes, ou seja, se as constantes c1 e c2 são ambas iguais
a zero.
Exemplo 4.2.1. As funções y1(x) = cos(x) e y2(x) = sen(x) são LI para x ∈ (0, π).
Note que não existe c ∈ R tal que cos(x) = csen(x).
Ou ainda, supondo que
c1sen(x) + c2 cos(x) = 0 ∀x ∈ (0, π),
para x =
π
2
tem-se c1 = c2 = 0.
36 Notas de Aula: Equações Diferenciais
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4.3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES DE SEGUNDA
ORDEM HOMOGÊNEAS
Exemplo 4.2.2. As funções y1(x) = e2x e y2(x) =
e2x
2
são LD, pois y1(x) = 2y2(x).
Para identificar se um conjunto de funções é LI ou LD, pode-se usar o Teorema do
Wronskiano 4.2.1.
Definição 4.2.2 (Wronskiano). Sejam duas funções y1(x) e y2(x) diferenciáveis em
um intervalo aberto I, define-se o Wronskiano W (y1(x), y2(x)) como
W (y1(x), y2(x)) =
∣∣∣∣∣∣ y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)
∣∣∣∣∣∣ = y1(x)y′2(x)− y2(x)y′1(x).
Teorema 4.2.1 (Wronskiano). Sejam duas funções y1(x) e y2(x) deriváveis em um
intervalo I. Se o Wronskiano de y1(x) e y2(x) for diferente de zero para algum
x0 ∈ I, então y1(x) e y2(x) são linearmente independentes em I. Por outro lado, se
y1(x) e y2(x) são linearmente dependentes, então o Wronskiano de y1(x) e y2(x) é
zero para todo x ∈ I.
Exemplo 4.2.3. Mostre que as funções ex e e−x são linearmente independentes.
Observação 4.2.1. O Wronskiano é utilizado para determinar se um conjunto de
funções deriváveis são linearmente dependentes ou independentes, em um intervalo
considerado. Esse conceito é muito útil em diversas situações, por exemplo, para
verificar se duas funções que são soluções de uma EDO linear de segunda ordem são
LD ou LI.
4.3 Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Se-
gunda Ordem Homogêneas
Os resultados na seção 4.2 mostram que um par de soluções y1 e y2 para
a EDO linear homogênea (EDOLH) de segunda ordem
y′′ + q(x)y′ + r(x)y = 0
formam um conjunto fundamental de soluções em I se, e somente se, elas forem
linearmente independentes em I.
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4.3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES DE SEGUNDA
ORDEM HOMOGÊNEAS
Exemplo 4.3.1. Sejam y1(x) e y2(x) duas soluções da equação
p(x)y′′ + q(x)y′ + r(x)y = 0. (4.3.1)
Neste caso, para quaisquer constantes c1 e c2, então y(x) = c1y1(x) +
c2y2(x) também é solução de (4.3.1). VERIFIQUE!
Este exemplo mostra que o conjunto solução de (4.3.1) é um espaço
vetorial de dimensão 2.
O resultado obtido no exemplo (4.3.1) pode ser reescrito sob a forma de
um teorema.
Teorema 4.3.1 (Princípio da Superposição). Se y1(x) e y2(x) são duas soluções da
equação (4.3.1) e c1 e c2 são constantes arbitrárias, então c1y1(x)+c2y2(x) é também
uma solução de (4.3.1). Além disso, se y1(x) e y2(x) são linearmente independentes,
então qualquer solução y(x) de (4.3.1) pode ser escrita na forma
y(x) = k1y1(x) + k2y2(x),
com k1 e k2 constantes adequadas.
Exemplo 4.3.2. Verifique que y1(t) = e2t e y2(t) = e3t são soluções da EDOLH
y′′(t)− 5y′(t) + 6y(t) =