XX Calculo Numerico

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Cálculo Diferencial Integral a Várias 
Variáveis 
 
 
 
Aula 03 
 
 
 
 
 
Profa. Celina Jarletti 
 
 
 
 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Olá. Seja bem-vindo à terceira aula de Cálculo Diferencial 
Integral a Várias Variáveis. 
Hoje iremos abordar os seguintes assuntos: 
 Funções Reais de Várias Variáveis; 
 Limite e Continuidade; 
 Derivadas Parciais; 
 Gradiente, Derivada Direcional e Plano Tangente; 
 Regra da Cadeia, Derivação Implícita, Máximos e 
Mínimos. 
Vamos começar? 
CONTEXTUALIZANDO 
Nesta aula serão apresentados temas com as funções de várias 
variáveis. Iniciaremos com abordagem de situações cotidianas 
que envolvem duas ou mais variáveis e a representação de 
situações através de gráficos tridimensionais quando possível. 
Na sequência trataremos de limite e continuidade para funções 
de várias variáveis. 
Os procedimentos para determinação das derivadas parciais 
para as funções são apresentados inicialmente para equações 
explícitas. 
O emprego da regra da cadeia para funções de várias variáveis é 
apresentado com as diversas formas de solução. 
No tema seguinte, a derivação implícita pode ser realizada com 
simplicidade com o emprego de um procedimento padrão pela 
regra da cadeia de variáveis. 
As aplicações de funções de várias variáveis serão o plano 
tangente em um ponto de uma superfície; pontos de máximo e 
de mínimos; e problemas de otimização resolvidos por 
multiplicadores de Lagrange. 
O livro base dessa disciplina será: “Cálculo B” de Gonçalves & 
Fleming, 2ª edição, o qual você encontra na biblioteca virtual. 
No vídeo, disponível no material on-line, a professora Celina 
Jarletti apresenta os tópicos que serão abordados nesta aula. 
PESQUISE 
Tema 1: Funções Reais de Várias Variáveis 
As funções de várias variáveis ocorrem em diversas situações, 
por exemplo: a densidade ou massa específica (massa por 
unidade de volume) da água dos oceanos depende da salinidade 
e da temperatura da água, entre outras variáveis. A variação de 
densidade da água é responsável pelas correntes marítimas 
profundas que distribuem calor através da Terra e influenciam no 
clima terrestre. 
Uma função de n variáveis é uma função a valores reais 
 cujo domínio é o conjunto de ênuplas 
 em . Sendo a função definida por uma equação 
ou fórmula, deve-se considerar todas as possibilidades de 
restrições para cada ênupla. 
As restrições podem ser enumeradas como sendo: 
 Em frações, os denominadores não podem ser nulos. 
 Em raízes de índice par, o radicando não pode ser 
negativo. 
 Em logaritmos, não são aceitos valores negativos e 
nulo para o logaritmando. 
 
 
Em funções trigonométricas, as funções tangente e secante não 
são definidas em ângulos de 90º e 270º e seus côngruos ( 
) e as funções cotangente e cossecante não são definidas nos 
ângulos de 0º, 180º e 360º e seus côngruos ( ). 
Exemplo 1: 
Condição: ou que é 
representado por um disco de raio = 3. 
 
Exemplo 2: 
Condições: e que é o conjunto de 
todos os pontos representado na figura a seguir: 
 
 
Gráficos de funções de várias variáveis 
Somente é possível fazer a representação gráfica de funções 
que envolvam 3 variáveis, ou seja, inserindo as 
variáveis independente “x” e “y” em dois eixos horizontais e a 
variável z (ou ) no eixo vertical, sendo os 3 eixos 
ortogonais entre si. O gráfico resultante é uma superfície curva. 
O traçado destas superfícies é um procedimento bastante 
complexo se tentarmos fazê-lo à mão. Podemos utilizar um 
aplicativo matemático, o Winplot. 
 
Exemplo 1: Traçado do gráfico da função: 
 
Exemplo 2: 
 
 
 
Exemplo 3: 
 
Agora é com a professora Celina Jarletti. Assista à explicação 
dela sobre as funções reais de várias variáveis, no vídeo 
disponível no material on-line. 
Tema 2: Limite e Continuidade 
Em duas variáveis diz-se que uma função com domínio 
tende ao limite quando tende a se for 
tão pequeno quanto quisermos para qualquer de que 
esteja num disco perfurado centrado em P de raio 
suficientemente pequeno. 
Escreve-se: 
 
As regras para se determinar limites são similares as de funções 
 ou seja: 
Supondo que existam e então: 
Lei da adição: 
 
 
 
 
Lei do múltiplo constante: 
 
 
Lei do produto: 
 
 
Lei do quociente: se 
 
 
 
 
A continuidade de funções de várias variáveis é definida como 
sendo: a função é contínua em se tende ao valor 
do funcional quando . Pelas leis de limites 
segue que somas, múltiplos, produtos e quocientes (com 
denominador não nulo) de funções contínuas são também 
contínuos. 
Pode-se determinar o limite para uma função de várias variáveis 
pela substituição dos valores ou pelo método dos dois caminhos. 
Exemplo 1: 
Obs.: O denominador nunca se anula no caso desta função 
racional, o que torna a função contínua em toda parte. 
 
Exemplo 2: 
 Usando o método dos dois caminhos: 
 
 
 
 
 
 
Aproximando do ponto pelo eixo x (ou ) resulta: 
 
Aproximando do ponto (0,0) pelo eixo y (ou ) resulta: 
 
Considerando que os valores obtidos pelos dois caminhos foram 
diferentes então o não existe. 
Aprofunde os seus conhecimentos sobre limite e continuidade 
assistindo à explicação da professora Celina Jarletti, no vídeo 
disponível no material on-line. 
Tema 3: Derivadas Parciais 
As funções de várias variáveis têm muitas derivadas de primeira 
ordem, quantas forem as variáveis independentes, porque cada 
variável pode afetar a função de diferentes maneiras. 
Por exemplo: em um circuito elétrico simples, a corrente I é 
função da tensão V e da resistência R, ou seja: . Quando a 
tensão aumenta a corrente também aumenta, e quando ocorrer 
um aumento de resistência, a corrente diminuiu. 
As derivadas parciais são calculadas como derivadas comuns de 
uma variável, considerando que as demais variáveis 
permaneçam constantes, ou seja, não variem. 
 
Considerando uma função , temos duas derivadas 
parciais, uma em relação a variável x e a outra em relação a 
variável y, e podem ser denotados de duas maneiras diferentes: 
 Notação derron: e 
 Notação sub escrito: e 
 
Vejamos os exemplos: 
Exemplo 1: então: e 
Exemplo 2: então: e 
 
Exemplo 3: então: e 
 
Em casos de funções com mais que duas variáveis 
independentes, o processo é similar. Vejamos: 
Exemplo 4: 
As primeiras derivadas serão: 
 
Exemplo 5: 
 
 
 
 
Derivadas Parciais de Ordem Superior. 
As derivadas parciais de ordem superior de uma função 
vem da derivação das derivadas de primeira ordem e . 
Para derivação sobre resultará e , e para derivação 
sobre resultará e . Note que a sequência das variáveis 
de derivação é lida da direita para esquerda (no sub escrito), por 
exemplo indica que a primeira derivação foi realizada em 
relação a variável e a segunda derivação é feita em relação a 
variável . 
Exemplo 1: 
Derivadas de primeira ordem: 
 
 
Derivadas de segunda ordem PURAS: 
 
 
Derivadas de segunda ordem MISTAS: 
 
 
Nota-se que: . 
Teorema de Clairaut: 
Igualdade de derivadas parciais mistas. Se e forem 
ambas funções contínuas num disco , então para 
qualquer . 
Uma extensão do teorema de Clairaut é válida para derivadas de 
mais altas ordens, desde que atendida a questão da 
continuidade, ou seja, poderíamos escrever, por exemplo: 
. 
Exemplo 2: 
Derivadas de primeira ordem: 
 
 
 
Derivadas de segunda ordem superior PURAS: 
 
 
 
 
 
Derivadas de segunda ordem MISTAS: 
 
 
 
A professora Celina Jarletti aborda mais aspectos sobre as 
derivadas parciais no vídeo disponível no material on-line. 
Tema 4: Gradiente, Derivada Direcional e Plano Tangente 
Gradiente 
Uma função de várias variáveis tem taxa de variação que 
depende da escolhada direção e do sentido da variação. Essas 
características nos levam ao uso de vetores para descrever a 
derivada de numa direção e sentido específicos. Este vetor é o 
Gradiente ( ), definido através das derivadas da função . 
 Para tem-se no ponto 
 
 Para tem-se em 
 
Notações para o gradiente: e 
a 3 variáveis vem: 
 
Escrevendo vetores gradientes: 
Exemplo 1: encontrar o vetor gradiente da função 
 no ponto . 
Calculando as derivadas: e 
Em resulta: 
Exemplo 2: encontrar o vetor gradiente da função 
 no ponto 
Calculando as derivadas: 
No ponto resulta: 
Nota: o gradiente é um vetor que indica a direção de máximo 
crescimento da função. Se desejarmos conhecer a direção de 
máximo decrescimento da função deve-se calcular . Em 
direções ortogonais ao vetor gradiente, não há variação do 
funcional. 
O símbolo é um delta maiúsculo invertido e é denominado 
“nabla”. Em hebraico, nabla significa harpa e se refere à 
semelhança com uma harpa antiga de dez cordas. 
 
Derivada Direcional 
É a taxa de variação de uma função em uma determinada 
direção e sentido ( ). Considerando que a derivada de é 
definida para qualquer vetor e que é o vetor unitário (versor) 
 
 
da direção de , então a derivada direcional é a taxa de variação 
de por variação unitária na direção e sentido de . 
Esta derivada direcional é calculada como sendo um produto 
escalar de dois vetores: 
 
 
Exemplo 1: encontrar a taxa de variação (em milibares por metro) 
da pressão no ponto na direção e sentido de 
, considerando que a pressão pode ser 
representada pela equação: 
onde as coordenadas do ponto são dadas em metros. 
Solução: 
Calculando o gradiente: 
 
 
 
 
Calculando o vetor unitário: 
 
 
 
Calculando a derivada direcional: 
 
Este resultado indica que para cada metro percorrido na direção 
do vetor , haverá um acréscimo de pressão de 1,41 milibar. 
Plano tangente à superfície de em um ponto 
 
Com o emprego das componentes do gradiente, é possível 
determinar a equação do plano tangente à superfície em um 
ponto . Esta equação é dada por: 
 
Exemplo 1: determinar a equação do plano tangente à função: 
 no ponto 
Solução: 
 
Plano tangente: 
 
 
 
 
 
 
No vídeo, disponível no material on-line, a professora Celina 
Jarletti fala mais sobre gradiente, derivada direcional e plano 
tangente. Confira! 
Tema 5: Regra da Cadeia, Derivação Implícita, Máximos e 
Mínimos 
Regra da Cadeia 
Utilizada quando ocorrerem funções de funções ou funções 
compostas. Haverá uma sequência ou cadeia de variáveis 
envolvidas no processo de derivação. A maneira de escrever a 
regra da cadeia depende das equações envolvidas. São três as 
regras a serem seguidas: 
 No lado esquerdo da igualdade haverá uma única derivada, 
que será uma derivada total se no final da sequência de 
variáveis ocorrer somente uma variável. Se ocorrer mais de 
uma variável, deve-se usar derivada parcial. 
 No lado direito da igualdade ocorrerá tantos termos (em 
soma) de produtos de derivadas quanto forem os caminhos 
ligando a variável de início e a variável de término da 
sequência. 
 Se uma variável for função de somente uma outra variável, 
deve-se usar derivada total. Se for uma variável for função 
de mais de uma variável, usar derivada parcial. 
 
Exemplo 1: com e 
Sequência ou cadeia de variáveis: 
 
 
 
Calculando: 
 
 
 
Substituindo: 
Eliminando as variáveis intermediárias ( ) 
 
 
Substituindo: 
Eliminando as variáveis intermediárias: 
 
 
 
 
As expressões das derivadas não podem apresentar variáveis 
intermediárias, mas somente as de início e de término da 
sequência ou cadeia de variáveis. 
 
Derivação Implícita 
É possível determinar com facilidade as derivadas de funções 
implícitas usando e a regra da cadeia. Vejamos 
para um caso mais simples: 
 ,onde 
Pode-se escrever: 
 
Ou que nos leva a: 
Exemplo 1: ou 
Calculando: 
 
Então: 
 
Exemplo 2: com 3 variáveis: 
 
Calculando: e 
E as derivadas: 
 
 
Pontos Extremos 
Em funções que envolvam podem ocorrer 3 tipos de 
pontos extremos ou pontos críticos: Máximo, Mínimo e Ponto de 
Sela. 
 
 
 
 
Nestes três pontos ocorre as primeiras derivadas tendo valor 
nulo. É necessário utilizar uma composição entre as segundas 
derivadas (puras e mistas) para distingui-los. Define-se o 
discriminante sendo: 
Teste da segunda derivada 
Seja um ponto crítico de e supondo que as 
segundas derivadas sejam contínuas na vizinhança do ponto , 
então: 
 Se e tem-se um ponto de mínimo; 
 Se e tem-se um ponto de máximo; 
 Se tem-se um ponto de Sela; e 
 Se o teste não é conclusivo. 
 
Exemplo 1: determinar e classificar o(s) ponto(s) crítico(s): 
 
Calculando as primeiras derivadas vem: 
 e 
Igualando a zero, nos leva ao sistema de equações: 
 
Que apresenta solução: 
 
Calculando as segundas derivadas: 
 
Cálculo do discriminante: 
 
Classificando: classifica-se: como 
ponto de mínimo. 
Exemplo 2: determinar e classificar o(s) ponto(s) crítico(s): 
 
Calculando as primeiras derivadas vem: 
 e 
Igualando a zero, nos leva ao sistema de equações: 
 
Que apresenta solução: 
 e 
Calculando as segundas derivadas: 
 
 
 
 
 
Cálculo do discriminante para o ponto 
 
Classificando: classifica-se como ponto de Sela. 
Cálculo do discriminante para o ponto 
 
 
Classificando: classifica-se: 
 como ponto de mínimo. 
Fique por dentro da regra da cadeia, derivação implícita, 
máximos e mínimos assistindo à explicação da professora Celina 
Jarletti no vídeo a seguir. 
 
NA PRÁTICA 
Multiplicadores de Lagrange 
 Alguns problemas de otimização envolvem encontrar um 
máximo ou um mínimo de uma função sujeita a uma (ou mais) 
restrição ou vínculo. Pode-se resolver facilmente essas situações 
com o emprego de gradiente, considerando que o gradiente da 
função será um múltiplo (multiplicadores de Lagrange) do 
gradiente do vínculo . 
 
1º caso: envolvendo 2 variáveis e uma restrição. 
 
 
Exemplo: Qual a menor distância de um ponto da reta 
 até a origem? 
 é a fórmula da distância. 
Conjectura razoável: quando a distância “d” for um mínimo, o 
quadrado da distância “ ” também será um mínimo pois “ ” é 
sempre crescente. 
 é a equação da reta. 
Então: vem 
 fazendo que levados a restrição nos dá: 
 ou e 
O ponto da reta mais próximo da origem é 
. 
2º caso: envolvendo 3 variáveis e uma restrição: 
 
Exemplo: Determine o ponto do plano mais 
próximo da origem. 
Fórmula da distância: ou 
 
 
 
 
Condição ou vínculo: 
Então: vem: 
 que substituídos na restrição resulta: 
 
 
Então: e 
O ponto do plano mais próximo da origem é: 
 
3º caso: 3 variáveis e duas condições: 
 
Determine o ponto da interseção dos planos e 
 mais próximo da origem. 
 tem-se: 
 
Resultando: e que 
substituídos nas equações dos planos torna possível determinar 
 e 
 
Resultando para as 
coordenadas do ponto mais próximo da origem. 
SÍNTESE 
Nesta aula vimos algumas das principais ferramentas do Cálculo 
Diferencial e Integral, que são úteis na resolução de problemas 
do Cálculo e também a Teoria de Máximos e Mínimos. 
A utilização do que vimos nessa aula, em especial a teoria 
envolvendo máximos e mínimos, tem grande aplicabilidade em 
termos práticos dentro da Engenharia. Nos servem para cálculos 
de capacidades, estruturas, resistência, e produção industrial, 
além de estudos na área da economia. 
No vídeoa seguir, a professora Celina Jarletti apresenta a 
síntese do conteúdo abordado. Não perca! 
Até a próxima aula! 
 
Referências 
ÁVILA, G. Cálculo de Funções de uma Variável, V. 2. Rio de 
Janeiro: LTC, 2002 
FLEMMING, D. M. e GONÇALVES, M. B. Cálculo B. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2006. 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 2. São 
Paulo: Harbra, 1995. 
STEWART, J. Cálculo. V. 2. São Paulo: Cengage Learning, 
2009. 
 
 
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. V. 2. 
São Paulo: Makron Books, 1994. 
THOMAS, G. B. Cálculo. V2. 2. São Paulo: Addison– Wesley, 
2002.