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Bases Matemáticas para
Engenharia
Aula 2 - Conceitos Fundamentais de Álgebra e
Aritmética
INTRODUÇÃO
Nesta aula, veremos que as operações de potenciação e radiciação são ferramentas importantíssimas em diversos
campos. Inúmeras são as aplicações no cotidiano que requerem o cálculo de potências.
Veremos também que cálculos que muitas vezes apresentam certa complexidade podem se tornar mais elementares e
compreensíveis através da aplicação de razão e proporção em questões que envolvam regras de três e porcentagem.
Para isso, nesta aula, abordaremos os tópicos potenciação e radiciação, expressões algébricas, produtos notáveis,
fatoração, razão e proporção, regras de três e, por �m, porcentagem.
OBJETIVOS
De�nir potenciação e radiciação;
Resolver expressões algébricas;
Demonstrar os conceitos e aplicações de produtos notáveis e fatoração;
Identi�car as aplicações de razão e proporção e regras de três;
Analisar as aplicações de porcentagem.
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
Você sabia que operações de Potenciação e Radiação são ferramentas importantíssimas em diversos campos?
Inúmeras são as aplicações no cotidiano que requerem o cálculo de potências.
O estudo e os cálculos que envolvem juros compostos são baseados na potenciação das taxas de juros. A função
exponencial também é um exemplo de onde utilizamos potências, além da notação cientí�ca, que representa números
muito grandes ou pequenos.
Você verá que muitas vezes os cálculos que apresentam certa complexidade podem se tornar mais simples e
compreensíveis através da aplicação de certas propriedades de potenciação e radiciação.
O estudo de potências e raízes serve como base para entender outros conceitos dentro da própria Matemática e em
outras ciências.
POTENCIAÇÃO
De�nição
Sendo a um número real e n, n ≠ 0, um número natural, a potência a é de�nida como o produto de n fatores iguais ao
número a.
Exemplo
, 1) (−3) =(−3)(−3)=9, , 2) (−2) =(−2)(−2)(−2)=8, , 3) −3 =−(3.3)=−9, , 4) (−2/3) =(−2/3)(−2/3)(−2/3)=−8/27, , 5) 5 =5, , 6) (−5) =−5,
, 7) (2/5) =2/5
EXPOENTE ZERO
Para todo número real a, com a ≠ 0, a = 1.
n
2 3 2 3 1 1
1
0
PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
Sendo a e b números reais (a ≠ 0 e b ≠ 0), m e n números naturais, valem as propriedades apresentadas na tabela.
POTÊNCIA DE UM NÚMERO REAL COM EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO
POTÊNCIAS DE BASE 10
As potências de base 10 são importantes, pois o sistema de numeração é decimal.
Veja, no quadro abaixo, como é fácil calcular potências de 10.
Fonte: antoniodiaz / Shutterstock
Exemplo
, Vamos escrever o número 0,0000001 na forma de potência de 10., ,
APLICAÇÃO EM JUROS COMPOSTOS
Fonte da Imagem:
Suponhamos que um capital de R$400,00 foi aplicado a uma taxa de 3% ao mês durante 8 meses, no regime de juros
compostos.
Você saberia calcular o valor a ser recebido após o tempo da aplicação?
VEJAMOS:
A situação acima envolve juros compostos, certo?
Por isso, ocorre acumulação de capital que deverá ser expresso por uma potenciação, onde o número de meses
corresponderá ao expoente e a base será representada pela taxa.
De acordo com o problema temos os seguintes dados:
A fórmula do cálculo do montante nos juros compostos é dada por:
Onde:
Observe que (1 + i) é a base e t o expoente:
Agora que já estudamos a fórmula, vamos à resolução:
Fonte da Imagem:
M = 400. (1 + 0,03)
Primeiro, resolva o que está dentro dos parênteses.
Fonte da Imagem:
M = 400. 1,03
Agora, calcule 1,02 .
Fonte da Imagem:
M = 400 . 1,26677008
Por último, realize a multiplicação.
ATIVIDADE
Chegou a hora de testar seus conhecimentos! Resolva os exercícios a seguir em seu caderno e, depois de concluído,
con�ra as respostas ao �nal.
1. Em um depósito a prazo efetuado no banco Alfa, o capital acumulado ao �m de certo tempo é dado pela seguinte
fórmula:
8
8
10
Fonte: Shutterstock
t
M = C . (1 + i)
Onde:
M representa o capital acumulado;
C é o valor do depósito;
i é a taxa de juros ao mês;
t é o tempo de meses em que o dinheiro está aplicado.
Nesse sistema, ao �nal de cada mês, os juros capitalizados são incorporados ao depósito.
Para um depósito de R$2.000,00, com taxa de 3% ao mês, qual o capital acumulado ao �m de 1 ano?
2. Simpli�que a expressão:
3. Determine o valor de A, sabendo que:
Antes de continuar, clique aqui (glossário) para conferir as respostas.
RADICIAÇÃO
A Radiciação é a operação inversa da potenciação.
Por exemplo, quando elevamos um determinado número x à terceira potência e depois extraímos a raiz cúbica dessa
potência, temos como resultado o número x.
Agora, vamos estudar o conceito de raiz de um número a, indicada pela expressão:
t
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon630/galeria/aula2/docs/PDF1.pdf
Onde:
a é um número real;
n é um número natural (n ≥ 1);
b é um número real não negativo, tal que b = a.
Exemplo
, a) √16, , Lê-se “raiz quadrada de 16”.
Observação: No caso da raiz quadrada, é costume representá-la omitindo o índice., , Para aprimorar seus conhecimentos, clique
aqui (galeria/aula2/docs/PDF2.pdf) e veja mais alguns exemplos.
PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO
Sendo a e b números reais não negativos, m inteiro e n e p números naturais não nulos, valem as seguintes
propriedades:
POTÊNCIA COM EXPOENTE FRACIONÁRIO
Em geral, quando a > 0, m é um número inteiro e n um número natural não nulo, temos:
A partir da de�nição dada, temos que:
n
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon630/galeria/aula2/docs/PDF2.pdf
Todo radical pode ser escrito na forma de potência com expoente fracionário.
Exemplos:
Toda potência com expoente fracionário pode ser escrita na forma de radical.
Exemplos:
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Dada a expressão 1/√3, observe que podemos transformá-la em outra expressão equivalente a ela. Porém, com um
número racional no denominador.
Nesse caso, estamos racionalizando o denominador da expressão.
Vejamos um exemplo:
Expressão racionalizada
Veja que a racionalização do denominador da expressão é realizada multiplicando-se o seu numerador e o seu
denominador por uma expressão chamada de fator racionalizante, que, nesse caso, é √3.
Exemplo
, Racionalizar os denominadores das expressões:, ,
APLICAÇÃO (PRODUTIVIDADE)
Fonte da Imagem: Shutterstock
Sabe-se que a produção de cadeiras em uma marcenaria com um certo número �xo de empregados depende da
quantidade de serras elétricas disponibilizadas para o trabalho, certo?
Considere a seguinte expressão:
Onde:
P é o número de cadeiras produzidas por semana;
X é o número de serras elétricas utilizadas.
Agora, com essas informações, você já pode resolver as
questões abaixo. Não esqueça de conferir sua resposta.
a) Quantas cadeiras serão produzidas por semana, se forem utilizadas 7 serras? E se o número de serras for igual a
zero?
b) O que acontecerá com a qualidade produzida se o número de serras �car 32 vezes maior?
Antes de continuar, clique aqui (glossário) e con�ra as respostas.
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon630/galeria/aula2/docs/PDF3.pdf
Uma expressão algébrica é uma expressão matemática que contém números e letras ou somente letras.
As letras da expressão algébrica são chamadas de variáveis, o que signi�ca que o valor de cada letra pode ser
substituído por um valor numérico.
Exemplos:
O valor numérico (VN) de uma expressão algébrica é o número real que obtemos quando substituímos todas as
variáveis da expressão por números reais dados e efetuamos as operações indicadas na expressão.
Exemplo
, Calcular o valor numérico da expressão 3x²y para x = 7 e y = 2., , Resolução:
3x²y = 3.(7)².2 = 3.49.2 = 294
ATIVIDADE
Agora é a sua vez! Resolva os exercícios a seguir em seu caderno e, depois de concluído, con�ra as respostas ao �nal.
1. Calcular o valor numérico da expressão:
a² + 2ab + b² para a = -3 e b = -4.
2. Calcular o valor numérico da expressão:
Antes de continuar, clique aqui (glossário) para conferir as respostas.
2. Expressões algébricas
Fonte: Shutterstock
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon630/galeria/aula2/docs/PDF4.pdf
Monômios
Expressãoalgébrica de�nida apenas pela multiplicação entre o coe�ciente e a
parte literal.
Exemplos:
a : 1 é o coe�ciente e a  parte literal.
3x y: 3 é o coe�ciente e x2y parte literal.
-5xy : -5 é o coe�ciente e xy  parte literal.
Monômios
Expressão algébrica composta por dois ou mais monômios.
Exemplos:
2x² + 7x – 6
10x³ + x² – 9x
6x + 5
120x² – 10x + 9
14x4 + 7x³ – 20x² – 60x – 100
OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
Fonte da Imagem:
Adição
Calcular: (4x – 7x + 2) + (3x + 2x + 3) =
= 4x – 7x + 2 + 3x + 2x + 3 = → eliminando os parênteses
= 4x + 3x – 7x + 2x + 2 + 3 = → agrupando os termos semelhantes
= (4 + 3)x + (–7 + 2)x + 5 = → reduzindo os termos semelhantes
= 7x – 5x + 5
2 2
2
6 6
2 2
2 2
2 2
2
2
Fonte da Imagem:
Subtração
Calcular: (4x – 7x + 2) - (3x + 2x + 3) =
= 4x – 7x + 2 - 3x - 2x - 3 = → eliminando os parênteses
= x - 9x - 1 = → reduzindo os termos semelhantes
Fonte da Imagem:
Multiplicação
Multiplicamos os coe�cientes numéricos e multiplicamos as partes literais, aplicando, sempre que possível, a
propriedade do produto de potências de mesma base (a · a = a ).
Exemplo
,
2 2
2 2
2
m n m+n
, ,
Fonte da Imagem:
Divisão de polinômio por um monômio
Você sabe como ocorre a divisão de um polinômio por um monômio?
Ocorre de modo bem simples, basta dividir cada termo do polinômio pelo monômio.
Observe que ao dividirmos as partes literais, temos que estar atentos à propriedade de potenciação, que diz que em
bases iguais, na divisão, repete-se a base e subtrai-se os expoentes (a : a = a ).
Vejamos um exemplo para entender melhor.
,
m n m-n
DIVISÃO DE POLINÔMIOS
Quando dividimos um número A por um número B (B≠ 0), encontramos dois números q e r, onde:
, Antes de continuar, veja, através de um exemplo (galeria/aula2/docs/PDF5.pdf), o procedimento para dividirmos um polinômio
por outro polinômio.
PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO
Produtos notáveis
Alguns produtos envolvendo dois números reais distintos a e b são tão importantes e ocorrem com tamanha
frequência que são denominados produtos notáveis.
O seu uso facilita muito os cálculos.
No quadro abaixo temos os principais produtos notáveis.
, Antes de dar continuidade a seus estudos, clique aqui (galeria/aula2/docs/PDF6.pdf) e veja exemplos dos principais produtos
notáveis.
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon630/galeria/aula2/docs/PDF5.pdf
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon630/galeria/aula2/docs/PDF6.pdf
FATORAÇÃO
Você sabe o signi�cado do termo “fatorar”?
Decompor uma expressão ou número em fatores ou parcelas, de modo que o produto dessas parcelas resulte na
expressão ou nú mero original.
Logo, a fatoração de um número inteiro consiste na sua decomposição em um produto de números inteiros primos,
sendo os números que aparecem repeti das vezes agrupados na forma de potência.
, Antes de dar continuidade a seus estudos, clique aqui (galeria/aula2/docs/PDF7.pdf) e saiba mais sobre Fatoração.
RAZÃO, PROPORÇÃO E REGRAS DE TRÊS
Razão
O conceito de razão é a forma mais comum e prática de fazer a comparação relativa entre duas grandezas.
Ao dividir uma grandeza por outra, estamos comparando a primeira com a segunda, que passa a ser a base da
comparação.
PROPORÇÃO
Chamamos de proporção a igualdade de duas razões.
Propriedade fundamental da proporção
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon630/galeria/aula2/docs/PDF7.pdf
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
O que denotamos por:
, Para reforçar seus estudos, clique exemplo (galeria/aula2/docs/PDF8.pdf) e veja um exemplo.
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Os problemas de regra de três simples envolvem duas grandezas diretas ou inversamente proporcionais.
Essas grandezas formam uma proporção em que são conhecidos 3 valores (por isso o nome regra de três) e o quarto
valor é o procurado.
Na prática, a regra de três simples é utilizada em situações que envolvem proporções entre grandezas.
Para entender melhor, clique aqui (glossário) e veja dois exemplos.
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente
proporcionais.
O processo para resolver é o mesmo da regra de três simples, pois pode-se desmembrar o problema em várias partes e
ir analisando separadamente em relação a incógnita, isto é, o valor que queremos achar e veri�car se é diretamente ou
inversamente proporcional.
Para entender melhor, clique aqui (glossário) e veja um exemplo.
PORCENTAGEM
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon630/galeria/aula2/docs/PDF8.pdf
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon630/galeria/aula2/docs/PDF9.pdf
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon630/galeria/aula2/docs/PDF10.pdf
Fonte da Imagem: ImageFlow / Shutterstock
Em várias situações do dia a dia, nos deparamos com cálculos percentuais:
• Desconto no preço de determinado produto;
• Aumento salarial;
• Queda no nível de desemprego;
• Intenção de voto na próxima eleição presidencial etc.
A porcentagem é uma razão cujo denominador é igual a 100.
Essa razão também é chamada de razão centesimal.
, Antes de encerrar seus estudos, clique aqui (galeria/aula2/docs/PDF11.pdf) para ver alguns exemplos e entender melhor.
Agora é o momento de conferir sua compreensão sobre o assunto estudado! Resolva os exercícios a seguir em seu
caderno e, depois de concluído, veja a resolução ao �nal.
1. (Concurso Público 2014 – Engenheiro Civil – Secretaria de Transportes Metropolitanos) Em determinado hospital
havia 85 médicos e, a cada semana (segunda a sábado), 680 pacientes eram atendidos. No entanto, o número de
médicos desse hospital aumentou em 20%.
Considerando que todos os médicos trabalham no mesmo ritmo todos os dias, podemos a�rmar que, agora, a cada 25
dias, são atendidos:
2600 pacientes
3400 pacientes
1800 pacientes
2800 pacientes
3200 pacientes
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon630/galeria/aula2/docs/PDF11.pdf
Justi�cativa
2. (Concurso Público 2014 – Engenheiro Civil – Tribunal de Justiça do Estado de Rondônia) O cronograma físico-
�nanceiro de um empreendimento com quatro meses de duração é representado a seguir, com a discriminação das
atividades, dos percentuais de execução previstos para cada mês, e com os custos totais de cada atividade:
Ao �nal do mês de março, o desembolso acumulado previsto para o empreendimento será:
60%
70%
75%
80%
90%
Justi�cativa
3. (Concurso Público 2005 – Analista de Engenharia Civil – IDENE/MG) Um levantamento entre leitores revelou que:
37% leem a revista X, 42% leem a revista Y e 18% leem as duas revistas, X e Y.
A porcentagem dos leitores entrevistados que não leem a revista X nem a revista Y é:
39%
40%
41%
42%
43%
Justi�cativa
Para ver a resolução dos exercícios, clique aqui (glossário).
Glossário
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon630/galeria/aula2/docs/PDF12.pdf

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