Poligrafo de Matematica

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<p>2018</p><p>MateMática para</p><p>Segurança no trabalho</p><p>Profa. Ma. Grazielle Jenske</p><p>Prof. Me. Leonardo Garcia dos Santos</p><p>Copyright © UNIASSELVI 2018</p><p>Elaboração:</p><p>Profa. Ma. Grazielle Jenske</p><p>Prof. Me. Leonardo Garcia dos Santos</p><p>Revisão, Diagramação e Produção:</p><p>Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI</p><p>Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri</p><p>UNIASSELVI – Indaial.</p><p>341.617</p><p>J51m Jenske, Grazielle</p><p>Matemática para segurança no trabalho / Grazielle Jenske;</p><p>Leonardo Garcia dos Santos. Indaial: UNIASSELVI, 2018.</p><p>206 p. : il.</p><p>ISBN 978-85-515-0134-4</p><p>1.Segurança do Trabalho.</p><p>I. Centro Universitário Leonardo Da Vinci.</p><p>Impresso por:</p><p>III</p><p>ApresentAção</p><p>Prezado acadêmico! Bem-vindo à disciplina de Matemática</p><p>Aplicada à Segurança do Trabalho. Conceitos, definições, propriedades e</p><p>representações gráficas farão parte dos seus estudos nesta disciplina, que</p><p>tem o intuito de aprimorar e aprofundar seus conhecimentos de matemática.</p><p>Você, aluno da Educação a Distância, deve saber que existem</p><p>fatores importantes para um bom desempenho: disciplina, organização</p><p>e um horário de estudos pré-definido para que obtenha sucesso. Em sua</p><p>caminhada acadêmica, você é quem faz a diferença. Como todo texto</p><p>matemático, por vezes denso, você necessitará de papel, lápis, borracha,</p><p>calculadora e muita concentração. Lembre-se que o estudo é algo</p><p>primoroso. Aproveite esta motivação, para iniciar a leitura desde livro.</p><p>Este livro está dividido em três unidades que contemplam partes</p><p>importantes da matemática aplicada ao curso de Segurança no Trabalho. Na</p><p>primeira unidade serão apresentados os conceitos básicos da matemática,</p><p>que envolvem o entendimento dos números, as unidades de medidas e</p><p>suas conversões de acordo com o Sistema Internacional de Medidas (SI),</p><p>seus múltiplos e submúltiplos, bem como equações e funções polinomiais.</p><p>Na unidade seguinte, serão abordados os principais conceitos da</p><p>Estatística, como definições e maneiras para organizar e apresentar dados</p><p>estatísticos de modo coerente e assim facilitar uma interpretação fidedigna</p><p>dos dados. Neste ponto é muito importante lembrar que o profissional da</p><p>área de Segurança do Trabalho necessita expor suas análises com clareza</p><p>para que os funcionários da empresa se conscientizem acerca da boa</p><p>conduta de segurança.</p><p>Na terceira e última unidade, trataremos sobre as medidas de</p><p>posição, elas representam uma série de dados, orientando quanto à posição</p><p>da distribuição em relação ao eixo horizontal. Dentre as várias medidas</p><p>de posição, descreveremos a média, a moda, a mediana, desvio padrão</p><p>e coeficiente de variação. Iremos utilizar estes conceitos para lidar com</p><p>conceitos importantes das Estatísticas de Acidentes, como por exemplo, os</p><p>cálculos das taxas de gravidade e frequência de acidentes.</p><p>Queremos aqui salientar que este material traz um curso</p><p>introdutório da Matemática para o curso de Segurança do Trabalho.</p><p>Você deve se sentir curioso e instigado a pesquisar outros materiais para</p><p>ampliar e completar seu aprendizado. Durante o texto deixamos algumas</p><p>sugestões e outras podem ser verificadas nas referências bibliográficas.</p><p>IV</p><p>Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para</p><p>você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há</p><p>novidades em nosso material.</p><p>Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é</p><p>o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um</p><p>formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura.</p><p>O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova</p><p>diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também</p><p>contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.</p><p>Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente,</p><p>apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade</p><p>de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador.</p><p>Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para</p><p>apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto</p><p>em questão.</p><p>Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas</p><p>institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa</p><p>continuar seus estudos com um material de qualidade.</p><p>Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de</p><p>Desempenho de Estudantes – ENADE.</p><p>Bons estudos!</p><p>Estimamos que, ao término deste estudo, você consiga notar a</p><p>evolução do seu entendimento matemático, pois a melhoria constante</p><p>deve ser o objetivo de todo acadêmico. Desta forma, esta disciplina</p><p>pretende oportunizar a compreensão da construção dos conhecimentos</p><p>aqui trabalhados e servir de subsídio para as disciplinas subsequentes.</p><p>Bons estudos!</p><p>Profa. Ma. Grazielle Jenske</p><p>Prof. Me. Leonardo Garcia dos Santos</p><p>NOTA</p><p>V</p><p>Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos</p><p>materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais</p><p>os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais</p><p>que possuem o código QR Code, que é um código</p><p>que permite que você acesse um conteúdo interativo</p><p>relacionado ao tema que você está estudando. Para</p><p>utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos</p><p>e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar</p><p>mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!</p><p>UNI</p><p>VI</p><p>VII</p><p>UNIDADE 1 – CONCEITOS BÁSICOS .......................................................................................... 1</p><p>TÓPICO 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS ..................................................................................... 3</p><p>1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 3</p><p>1.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS � ........................................................................ 4</p><p>1.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS � .......................................................................... 5</p><p>1.3 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS � ...................................................................... 7</p><p>1.4 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ..................................................................... 7</p><p>1.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS � ................................................................................. 8</p><p>2 AS DIFERENTES REPRESENTAÇÕES NUMÉRICAS ............................................................. 8</p><p>2.1 REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA ......................................................................................... 8</p><p>2.2 REPRESENTAÇÃO DECIMAL .................................................................................................. 9</p><p>2.3 TRANSFORMAÇÕES ENTRE AS DIFERENTES REPRESENTAÇÕES</p><p>DE NÚMEROS ............................................................................................................................ 10</p><p>2.3.1 Transformação de número fracionário em número decimal ......................................... 10</p><p>2.3.2 Transformação de número decimal em número fracionário ........................................ 11</p><p>3 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ...................................................................................................... 14</p><p>3.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ........................................................................................................... 14</p><p>3.2 MULTIPLICAÇÃO ...................................................................................................................... 20</p><p>3.3 DIVISÃO ....................................................................................................................................... 21</p><p>4 PORCENTAGEM ..............................................................................................................................</p><p>aceitaremos esta forma de expressar massa.</p><p>kg hg dag g dg cg mg</p><p>• dag : Decagrama → equivale a 10 vezes mais do que a grandeza padrão” g”</p><p>• hg: Hectograma → Equivale a 100 vezes mais do que a grandeza padrão “g”</p><p>• kg: Quilograma → Equivale a 1 000 vezes mais do que a grandeza padrão “g”</p><p>Submúltiplos do grama:</p><p>• dg: Decigrama → Equivale a 10 vezes menos do que a grandeza padrão “g”</p><p>• cg: Centigrama → Equivale a 100 vezes menos do que a grandeza padrão “g”</p><p>• mg: Miligrama → Equivale a 1000 vezes menos do que a grandeza padrão “g”</p><p>1) 2,6 g para hectogramas.</p><p>Resolução: Conforme vimos, o hectograma é um múltiplo do metro, sendo o seu</p><p>fator de transformação igual a 100, lembrando que como 1 hg é maior que 1 g,</p><p>devemos realizar a operação de divisão. Logo:</p><p>2,6g ÷ 100 = 0,026hg</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>42</p><p>2) Transformar 1,4kg em decigramas.</p><p>Resolução: Temos que um quilograma é 1000 vezes maior que um grama, que é</p><p>por sua vez 10 vezes maior que um decigrama. Assim o fator a ser utilizado é 1000</p><p>x 10 = 10000. Como 1 dg é menor que 1 kg, iremos multiplicar:</p><p>1,4kg x 10000 = 14000dg</p><p>• É muito comum a utilização dos termos peso bruto e peso líquido em</p><p>segurança do trabalho. Peso bruto é o peso do produto com a embalagem e Peso líquido é</p><p>o peso somente do produto.</p><p>• Uma forma bastante utilizada para o cálculo de massa (peso) é a tonelada, onde temos que:</p><p>1 ton = 1000 kg</p><p>UNI</p><p>1.6 MEDIDAS DE SUPERFÍCIE OU ÁREA</p><p>Será representado simbolicamente por m². Considera-se uma unidade</p><p>derivada do metro. Isto se deve ao fato de analisarmos uma grandeza em duas</p><p>dimensões. Veja a representação a seguir:</p><p>A área do quadrado é calculada por lado x lado, logo:</p><p>A = 1m x 1m = 1m²</p><p>TÓPICO 2 | UNIDADES DE MEDIDAS</p><p>43</p><p>km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2</p><p>Neste caso, já vimos que a área é 1 m x 1 m = 1 m². E, lembrando que, por</p><p>exemplo 1 m = 10 dm, temos a mesma área sendo calculada por:</p><p>10 dm x 10 dm = 100 dm²</p><p>O que nos faz concluir que 1 m² = 100 dm², ou seja, o fator de multiplicidade</p><p>é 10² = 100.</p><p>Exemplo: Realize as seguintes transformações:</p><p>1) 0,3 dm² para dam²</p><p>Resolução: Sabemos que dm² possui uma ordem a menos do que m², e também</p><p>que dam² possui uma ordem a mais que o m². Isto quer dizer que eles se encontram</p><p>distanciados duas ordens entre si. Assim, o fator a ser utilizado é 10² x 10² = 10²,</p><p>ou ainda 100 x 100 = 10.000.</p><p>Como 1 dam² é maior que 1 ÷ dm², devemos dividir pelo fator. Logo:</p><p>2 2 40,3 dm 10000 0,0003 dam 0,3 10 dam²−÷ = = ×</p><p>2) 6,5 m² para cm²</p><p>Resolução: Sabemos que m² possui duas ordens a mais do que cm². Isto quer</p><p>dizer que eles se encontram distanciados duas ordens entre si. Assim o fator a ser</p><p>utilizado é 10² x 10² = 10², ou ainda 100 x 100 = 10.000.</p><p>Como 1 cm² é menor que 1 m², devemos multiplicar pelo fator. Logo:</p><p>426,5 m 10000 65000 cm² 6,5 10 cm²× = = ×</p><p>Os múltiplos e submúltiplos serão apresentados na tabela a seguir:</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>44</p><p>Existem outras unidades de medida para cálculo de áreas. São elas, as medidas</p><p>agrárias, pouco utilizadas na segurança do trabalho, porém importantes para serem</p><p>conhecidas:</p><p>• 1 Are (a): Corresponde a 100m².</p><p>• 1 Hectare (ha): Corresponde à 10.000 m².</p><p>Também há a medida intitulada alqueire, porém, ela depende da região onde está sendo</p><p>empregada. Por exemplo o alqueire paulista é 2,42 ha, já o baiano 4,84 ha.</p><p>UNI</p><p>1.7 OUTRAS UNIDADES DE MEDIDA IMPORTANTES</p><p>Neste tópico, serão apresentadas de maneira resumida, algumas unidades</p><p>muito importantes relacionadas ao universo de estudo da segurança do trabalho.</p><p>Trata-se, por exemplo, de unidades que lidam com força, pressão, tempo,</p><p>potência, viscosidade, temperatura, condutividade térmica, densidade e vazão.</p><p>Como o processo de compreensão (e dedução) dos métodos de</p><p>transformação entre a unidade derivada do SI e seus representantes é bastante</p><p>complexo, iremos determinar as unidades e seu modo de transformação, através</p><p>dos quadros resumo que pode ser visto a seguir:</p><p>QUADRO 2 – TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE FORÇA</p><p>FORÇA</p><p>Unidade SI Multiplicar por</p><p>Dina N 10-5</p><p>Kgf N 9,8</p><p>libra força (lbf) N 4,45</p><p>Poundals N 0,13825</p><p>FONTE: Os autores</p><p>TÓPICO 2 | UNIDADES DE MEDIDAS</p><p>45</p><p>QUADRO 3 – TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE PRESSÃO</p><p>PRESSÃO</p><p>Unidade SI Multiplicar por</p><p>atmosfera (atm) Pa 1,01325.105</p><p>Bar Pa 105</p><p>Barie Pa 0,1</p><p>mm Hg Pa 133,322</p><p>mca (metro de coluna de água) Pa 9,80665</p><p>Milibar Pa 102</p><p>FONTE: Os autores</p><p>QUADRO 4 – TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE TEMPO</p><p>TEMPO</p><p>Unidade SI Multiplicar por</p><p>Hora s 1/3.600</p><p>Minuto s 1/60</p><p>Dia s 1/86.400</p><p>Mês s 1/2.592.000</p><p>Ano s 1/31.104.000</p><p>FONTE: Os autores</p><p>QUADRO 5 – TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE POTÊNCIA</p><p>POTÊNCIA</p><p>Unidade SI Multiplicar por</p><p>QuiloWatt W 1000</p><p>MegaWatt W 1.000.000</p><p>Hp W 745,7</p><p>Cv W 735,5</p><p>FONTE: Os autores</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>46</p><p>QUADRO 6 – TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE VISCOSIDADE</p><p>VISCOSIDADE</p><p>Unidade SI Multiplicar por</p><p>Centipoise (cp) kg/(m.s) 10-3</p><p>Poise (P) kg/(m.s) 0,1</p><p>lbm/(ft.h) kg/(m.s) 2,1491</p><p>Lbm/(ft.s) kg/(m.s) 6,7197.10-4</p><p>Kg/(h.m) kg/(m.s) 0,0036</p><p>FONTE: Os autores</p><p>QUADRO 7 – TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE TEMPERATURA</p><p>TEMPERATURA</p><p>Unidade SI Método</p><p>°C K Somar 273</p><p>°F K Multiplicar por 1,8 e subtrair 459,4</p><p>FONTE: Os autores</p><p>QUADRO 8 – TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE CONDUTIVIDADE TÉRMICA</p><p>CONDUTIVIDADE TÉRMICA</p><p>Unidade SI Multiplicar por</p><p>Cal/(cm2.s.ºC/cm) W/(m².K/m) 418</p><p>BTU/(ft2.h.ºF/ft) W/(m².K/m) 1,73073</p><p>Kcal/(m2.h.ºC/m) W/(m².K/m) 1,5048.105</p><p>FONTE: Os autores</p><p>QUADRO 9 – TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE DENSIDADE</p><p>DENSIDADE</p><p>Unidade SI Multiplicar por</p><p>g/l .kg/m³ 1</p><p>kg/l .kg/m³ 1000</p><p>g/cm³ .kg/m³ 1000</p><p>lbm/ft³ .kg/m³ 16,018</p><p>lbm/in³ .kg/m³ 2,768.104</p><p>FONTE: Os autores</p><p>TÓPICO 2 | UNIDADES DE MEDIDAS</p><p>47</p><p>QUADRO 10 – TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE VAZÃO</p><p>VAZÃO</p><p>Unidade SI Multiplicar por</p><p>L/h m³/s 2,778.10-7</p><p>ft³/h m³/s 2,16.10-6</p><p>gal/min (gpm) m³/s 6,308.10-5</p><p>FONTE: Os autores</p><p>48</p><p>RESUMO DO TÓPICO 2</p><p>Neste tópico, você viu que:</p><p>• Em uma proporção a c ou a : b c : d</p><p>b d</p><p>= = (lê-se: a está para b, assim como</p><p>c está para d).</p><p>• Dizemos que uma grandeza é diretamente proporcional, quando ao analisarmos</p><p>uma delas como sendo comparando com a outra, quando a primeira cresce</p><p>(ou descresce) em uma certa quantidade a outra segue a mesma tendência</p><p>(cresce ou descresce na mesma quantidade). Esta quantidade é chamada de</p><p>fator de proporção.</p><p>• Grandezas são ditas inversamente proporcionais quando, ao aumentarmos</p><p>o valor de uma delas um certo número de vezes, o respectivo valor da outra</p><p>grandeza diminui na mesma proporção, ou então, quando diminuímos o valor</p><p>de uma delas, proporcionalmente, o respectivo valor da outra aumenta.</p><p>• As principais unidades do sistema internacional de medidas (SI).</p><p>• Os métodos de transformação das unidades de medida de:</p><p>- Comprimento,</p><p>- Capacidade e volume,</p><p>- Massa,</p><p>- Área.</p><p>• Transformações de unidades de medida de:</p><p>- Força,</p><p>- Pressão,</p><p>- Tempo,</p><p>- Potência,</p><p>- Viscosidade,</p><p>- Temperatura,</p><p>- Condutividade térmica,</p><p>- Densidade,</p><p>- Vazão.</p><p>49</p><p>1 Um automóvel com velocidade de 80 km/h demora 3 horas para per-</p><p>correr uma certa distância. Quanto tempo demorará para percorrer a</p><p>mesma distância outro automóvel cuja velocidade é de 120 km/h?</p><p>a) ( ) 2 horas.</p><p>b) ( ) 3 horas.</p><p>c) ( ) 4 horas.</p><p>d) ( ) 5 horas.</p><p>e) ( ) 6 horas.</p><p>2 Para forrar as paredes de uma sala são necessárias 20 peças</p><p>de papel com 80 cm de largura cada. Quantas peças seriam</p><p>necessárias se as peças tivessem 1 m de largura?</p><p>a) ( ) 15 peças.</p><p>b) ( ) 16 peças.</p><p>c) ( ) 17 peças.</p><p>d) ( ) 18 peças.</p><p>e) ( ) 19 peças.</p><p>3 Realize as transformações de medidas indicadas a seguir:</p><p>a) 3 metros = _______ centímetros.</p><p>b) 23 centímetros = _______ metros.</p><p>c) 7 quilômetros = _______ centímetros.</p><p>d) 4 milímetros = _______ centímetros.</p><p>e) 14,5 metros = _______ quilômetros.</p><p>f) 123 metros = _______ milímetros.</p><p>g) 3 kg = _______ gramas.</p><p>4 Acerca das transformações de unidades de medida de área,</p><p>realize as seguintes transformações de unidades de medida.</p><p>a) 8,37 dm² em mm²</p><p>b) 3,1416 m² em cm²</p><p>c) 2,14 m² em mm²</p><p>5 Responda às seguintes perguntas, realizando as transformações</p><p>de unidades indicadas.</p><p>AUTOATIVIDADE</p><p>50</p><p>a) Quantos metros há em 1 km?</p><p>b) Quantos mililitros há em 1 litro?</p><p>c) Quantos gramas há em 1 kg?</p><p>d) Quantos miligramas há em 1 grama?</p><p>6 Uma competição de corrida de rua teve início às 8h 04min. O</p><p>primeiro atleta cruzou a linha de chegada às 12h 02min 05s. Ele</p><p>perdeu 35s para ajustar seu tênis durante o percurso. Se esse</p><p>atleta não tivesse tido problema com o tênis, perdendo assim</p><p>alguns segundos, ele teria cruzado a linha de chegada com o tempo de:</p><p>a) ( ) 3h 58min 05s.</p><p>b) ( ) 3h 57min 30s.</p><p>c) ( ) 3h 58min 30s.</p><p>d) ( ) 3h 58min 35s.</p><p>e) ( ) 3h 57min 50s.</p><p>7 Se uma indústria farmacêutica produziu um volume de 2800</p><p>litros de certo medicamento, que deve ser acondicionado em</p><p>ampolas de 40 cm³ cada uma, então será produzido um número</p><p>de ampolas desse medicamento na ordem de:</p><p>a) ( ) 70.</p><p>b) ( ) 700.</p><p>c) ( ) 7 000.</p><p>d) ( ) 70 000.</p><p>e) ( ) 700 000.</p><p>8 Apesar de hoje em dia termos um padrão para as unidades</p><p>de medida, o sistema internacional, nem sempre foi assim.</p><p>Houveram algumas mudanças e avanços na utilização das</p><p>unidades, que eram realizadas mediante as necessidades da</p><p>época em que eram inseridos os problemas da tecnologia em geral. Sobre a</p><p>conversão de medidas, analise as sentenças a seguir:</p><p>I– 3 quilômetros correspondem a 30.000 decímetros.</p><p>II– 7000 3cm correspondem a 7 litros.</p><p>III– Um metro corresponde a 10-3 milímetros.</p><p>IV– 40 min correspondem a 4000s.</p><p>51</p><p>Agora, assinale a alternativa CORRETA:</p><p>a) ( ) As sentenças I, II e III são verdadeiras.</p><p>b) ( ) As sentenças II, III e IV são verdadeiras.</p><p>c) ( ) As sentenças I, II e IV são verdadeiras.</p><p>d) ( ) As sentenças I, III e IV são verdadeiras.</p><p>9 Converter unidades de medida é muito importante para</p><p>analisar problemas sob uma mesma ótica e/ou referenciação.</p><p>Sendo assim, analise as seguintes conversões:</p><p>I– 6 quilômetros correspondem a 60.000 decímetros.</p><p>II– 15 litros correspondem a 15000 3cm .</p><p>III– 35 min correspondem a 1500s.</p><p>IV– 12 3m correspondem a 12.000.000 3cm</p><p>Agora, assinale a alternativa CORRETA:</p><p>a) ( ) As sentenças I, II e III são verdadeiras.</p><p>b) ( ) As sentenças II, III e IV são verdadeiras.</p><p>c) ( ) As sentenças I, II e IV são verdadeiras.</p><p>d) ( ) Todas as sentenças são verdadeiras.</p><p>52</p><p>53</p><p>TÓPICO 3</p><p>EQUAÇÕES E FUNÇÕES POLINOMIAIS</p><p>UNIDADE 1</p><p>1 INTRODUÇÃO</p><p>Os termos “equação” e “função” não são novos para você, você já os estuda</p><p>desde o ensino fundamental. Neste tópico, pretendemos relembrar estes conceitos,</p><p>bem como trazer exemplos de aplicação da área de segurança do trabalho.</p><p>Iremos definir uma equação como uma sentença matemática (dada</p><p>por uma expressão) em que duas quantidades (ou valores) estão relacionados</p><p>com um símbolo de igualdade (=). Estas quantidades (ou valores) terão valores</p><p>desconhecidos (pelo menos 1), que chamamos de incógnitas, que por sua vez são</p><p>simbolizadas por letras do nosso alfabeto. Dos vários tipos de equação existentes,</p><p>iremos focar no estudo das equações de 1º e 2º grau.</p><p>Outro tema de estudo deste tópico são as funções. Na matemática e no</p><p>cotidiano, frequentemente encontramos relações entre duas grandezas variáveis.</p><p>Por exemplo, um trabalhador que recebe seu salário em relação às horas</p><p>trabalhadas ou ainda, o dimensionamento de extintores para um prédio, que</p><p>depende da avaliação de risco.</p><p>Interessou, não é? Então vamos começar! Lembre-se de ter em mãos papel,</p><p>lápis, borracha e também uma calculadora.</p><p>2 EQUAÇÕES DO 1º GRAU</p><p>As equações polinomiais do primeiro grau, ou simplesmente, equações do</p><p>primeiro grau, são também chamadas de equações lineares. Trata-se de equações</p><p>compostas por coeficientes e uma incógnita cujo expoente é igual a um. Dessa</p><p>maneira, as equações do primeiro grau são aquelas que podem ser representadas</p><p>pela forma ax + b = 0, em que a e b são coeficientes reais, sendo que a ≠ 0 e x é a</p><p>incógnita.</p><p>54</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>Uma equação do primeiro grau (ou equação linear) é toda equação da forma</p><p>ax + b = 0, em que a ≠0.</p><p>IMPORTANTE</p><p>Vejamos alguns exemplos:</p><p>• 4x + 12 = 0 é uma equação do 1º grau, com a = 4 e b = 12.</p><p>• –3x – 15 = 0 é uma equação do 1º grau, com a = –3 e b = –15.</p><p>• 2x – 1 = x + 6 é uma equação do 1º grau.</p><p>Para transformarmos a equação acima para a forma ax + b = 0, é necessário,</p><p>primeiramente, transformar o segundo membro em zero. Para isso, é preciso levar</p><p>em conta o princípio aditivo e o princípio multiplicativo, ou seja, é possível somar</p><p>ou subtrair e multiplicar ou dividir ambos os membros da equação pelo mesmo</p><p>número sem alterar a igualdade. Assim,</p><p>2x – 1 = x + 6</p><p>2x – 1 – 6 = x + 6 – 6 (subtrair 6 em ambos os lados da igualdade)</p><p>2x – 8 = x (união dos termos semelhantes)</p><p>2x – 8 – x = x – x (subtrair x em ambos os lados da igualdade)</p><p>x – 8 = 0 (equação na forma ax + b = 0, com a = 1 e b = – 8)</p><p>Dessa forma, temos que:</p><p>2x – 1 = x + 6 ↔ x – 8 = 0</p><p>Acompanhe mais um exemplo: –3x + 5 = –2x + 12 é uma equação do 1º</p><p>grau. Vamos transformá-la para a forma ax + b = 0.</p><p>–3x + 5 –12 = –2x + 12 –12</p><p>–3x + 5 – 12 = –2x +12 –12 (subtrair 12 em ambos os lados da igualdade)</p><p>–3x – 7 = –2x (unir os termos semelhantes)</p><p>–3x – 7 + 2x = –2x + 2x (subtrair x em ambos os lados da igualdade)</p><p>–x – 7 = 0 (equação na forma ax + b = 0, com a = –1 e b = –7)</p><p>2 1 6� �� � � </p><p>1º membro 2º membro</p><p>X X</p><p>TÓPICO 3 | EQUAÇÕES E FUNÇÕES POLINOMIAIS</p><p>55</p><p>2.1 RAIZ DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU</p><p>Chamamos de raiz da equação do 1º grau, o número real que substituído</p><p>no lugar da variável x torna a sentença verdadeira. Por exemplo, 3 é raiz da</p><p>equação 2x - 6 = 0 , já que 2 3 6 0 6 6 0 0 0� � � � � �� → → , e assim a sentença é</p><p>verdadeira. E se não soubéssemos que 3 é a raiz da equação 2 6 0x � � ,� como</p><p>faríamos para encontrá-lo? O processo é muito semelhante ao que foi feito para</p><p>escrever a equação em sua forma geral, mas agora o objetivo é isolar a variável x.</p><p>2x – 6 = 0</p><p>2x - 6 + 6 = 0 + 6 (somar 6 em ambos os lados da igualdade)</p><p>2x = 6 (unir os termos semelhantes)</p><p>2x</p><p>2</p><p>=</p><p>6</p><p>2</p><p>(dividir por 2 ambos os lados da igualdade)</p><p>x = 3 (raiz da equação do 1º grau 2x 6 = 0− )</p><p>É importante ressaltar que qualquer equação do 1º grau possui uma única</p><p>raiz! E, para determinar a raiz de uma equação do 1º grau, é preciso isolar a</p><p>variável x por meio dos princípios aditivo e multiplicativo.</p><p>Sabendo disso, é possível encontrar uma fórmula prática para a obtenção da</p><p>raiz de uma equação do 1º grau. Considerando a equação do 1º grau ax + b = 0 ,</p><p>vamos determinar sua raiz em função de a e de b.</p><p>ax + b = 0</p><p>ax + b b = 0 b− − (subtrair b em ambos os lados da igualdade)</p><p>ax = b− (unir os termos semelhantes)</p><p>ax</p><p>a</p><p>= b</p><p>a</p><p>− (dividir por a ambos os lados da igualdade)</p><p>x = b</p><p>a</p><p>− (raiz da equação do 1º grau ax + b = 0)</p><p>Por exemplo, na equação 2x – 6 = 0, temos a = 2 e b = – 6. Portanto, pela</p><p>fórmula acima, a raiz dessa equação é x =</p><p>b</p><p>a</p><p>x =</p><p>6</p><p>2</p><p>x = 6</p><p>2</p><p>x = 3.�</p><p>�</p><p>� �� �</p><p>� �</p><p>Logo, 3 é raiz da equação 2x – 6 = 0, conforme visto anteriormente.</p><p>56</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>Para encontrar a raiz de uma equação do 1º grau, podemos utilizar a fórmula</p><p>prática x = b</p><p>a</p><p>.−</p><p>IMPORTANTE</p><p>2.2 APLICAÇÕES</p><p>Agora que sabemos identificar uma equação do 1º grau, seus coeficientes</p><p>e variáveis, e dominamos o processo de resolução, podemos aplicar esses</p><p>conhecimentos em algumas situações do cotidiano, por meio da resolução de</p><p>problemas simples.</p><p>Exemplo 1: Carlos trabalha em uma loja de informática. Ele recebe um</p><p>salário fixo mensal de R$1.000,00 mais R$ 15,00 por hora extra trabalhada no mês.</p><p>Como podemos expressar o salário mensal total de Carlos em um determinado</p><p>mês por meio de uma expressão matemática?</p><p>Não sabemos quantas horas extras Carlos trabalhou nesse determinado</p><p>mês. Digamos então que a quantidade de horas extras trabalhadas por Carlos seja</p><p>x. Então:</p><p>Salário de Carlos = 1.000 + 15x</p><p>Portanto, a expressão</p><p>matemática que representa o salário de Carlos</p><p>é 1.000 + 15x, em que x é a quantidade de horas extras trabalhadas. Assim,</p><p>podemos calcular o salário total de Carlos em um mês sabendo quantas</p><p>horas extras ele trabalhou. Por exemplo, se Carlos trabalhar 12 horas extras</p><p>em um mês, seu salário nesse mês pode ser calculado da seguinte forma:</p><p>1.000 + 15 12 = 1.000 + 180 = 1.180.�⋅ Logo, seu salário será de R$1.180,00.</p><p>↓ ↓</p><p>valor fixo valor para cada hora extra</p><p>É possível perceber que a matemática está muito presente em nosso dia a dia.</p><p>Por mais que consigamos calcular o salário de Carlos sem escrever uma expressão</p><p>matemática para isso, é importante que saibamos que por trás das nossas contas e</p><p>raciocínio está uma aplicação dos conhecimentos em equações do 1º grau.</p><p>Agora que já conhecemos as equações do 1º grau, vamos conhecer as</p><p>equações do 2º grau.</p><p>TÓPICO 3 | EQUAÇÕES E FUNÇÕES POLINOMIAIS</p><p>57</p><p>Toda equação escrita na forma ax + bx+ c = 02 , em que a, b e c são</p><p>números reais, chamados de coeficientes, respeitando a restrição que a ≠ 0, e</p><p>tendo x como variável (poderiam ser outras letras).</p><p>3 EQUAÇÕES DO 2º GRAU</p><p>Uma equação do segundo grau (ou equação quadrática) é toda equação da</p><p>forma ax bx c2</p><p>0� � � , em que a ≠ 0.</p><p>IMPORTANTE</p><p>Vejamos alguns exemplos:</p><p>Exemplo 1: x² – 5x + 3 = 0 é uma equação do 2º grau, com a = 1, b = –5 e c = 3.</p><p>Exemplo 2: 2x² – 10x = 0 é uma equação do 2º grau incompleta, com a = 2,</p><p>b = –10 e c = 0.</p><p>Exemplo 3: –x² + 4 = 0 é uma equação do 2º grau incompleta, com a = –1,</p><p>b = 0 e c = 4.</p><p>As equações dos exemplos 2 e 3 são chamadas de equações do 2º grau</p><p>incompletas por apresentarem os coeficientes b ou c iguais a zero.</p><p>3.1 RAÍZES DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU</p><p>As raízes (ou soluções) de uma equação do 2º grau são os valores que,</p><p>atribuídos à variável, tornam a sentença verdadeira. Por exemplo, 3 é raiz da equação</p><p>do 2º grau x² – 5x + 6 = 0, pois 3 5 3 + 6 = 0 9 15 + 6 = 0 0 = 02 � � � � � , e assim</p><p>a sentença é verdadeira. Note que 2 também é raiz da equação , x² – 5x + 6 = 0, pois</p><p>2 5 2 6 0 4 10 6 0 0 0</p><p>2 � � � � � � � � � � , ou seja, a sentença é verdadeira.</p><p>Logo, a equação x² – 5x + 6 = 0 possui duas raízes, 2 e 3. E agora você pode estar se</p><p>perguntando se não existem outras raízes da equação x² – 5x + 6 = 0, diferentes do</p><p>2 e do 3, ou como faria para encontrar as raízes de x² – 5x + 6 = 0, caso não soubesse</p><p>que são 2 e 3.</p><p>58</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>Existe uma fórmula que permite encontrar as raízes de uma equação do</p><p>2º grau completa ou incompleta. Você já deve ter ouvido falar dessa fórmula tão</p><p>importante, a fórmula de Bhaskara.</p><p>Bhaskara nasceu em 1114 na cidade de Vijayapura, na Índia. Também era</p><p>conhecido como Bhaskaracharya e foi um dos mais importantes matemáticos do século XII,</p><p>graças aos seus avanços em álgebra, no estudo de equações e na compreensão do sistema</p><p>numérico – avanços esses que os matemáticos europeus levariam séculos para atingir. Suas</p><p>coleções mais conhecidas são Lilavati, que trata de aritmética e Bijaganita, que discorre sobre</p><p>álgebra e contém vários problemas sobre equações lineares e quadráticas com soluções</p><p>feitas em prosa.</p><p>FONTE: Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/historia/bhaskara.htm>. Acesso em: 15 jul.</p><p>2015.</p><p>UNI</p><p>A igualdade x = b± b 4 a c</p><p>2 a</p><p>2� � � �</p><p>�</p><p>é a fórmula de Bhaskara, também conhecida</p><p>como fórmula resolutiva.</p><p>A expressão b 4 a c2� � � é um número real que pode ser representado</p><p>pela letra grega ∆ (delta). Assim, podemos reescrever a fórmula de Bhaskara</p><p>como sendo:</p><p>x = b±</p><p>2a</p><p>� � , em que ∆ = b² – 4ac.</p><p>Para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau, podemos utilizar a fórmula</p><p>x = b±</p><p>2a</p><p>� � , em que ∆ = b² – 4ac.</p><p>IMPORTANTE</p><p>Exemplo 1: Determine o delta e as raízes da equação x² – 2x – 8 = 0.</p><p>Nesse caso, a = 1, b = –2 e c = –8. Então:</p><p>∆ = b² – 4ac</p><p>∆ = (–2)² – 4 . 1 . (–8)</p><p>∆ = 4 + 32</p><p>∆ = 36</p><p>TÓPICO 3 | EQUAÇÕES E FUNÇÕES POLINOMIAIS</p><p>59</p><p>Agora, vamos encontrar as raízes pela fórmula de Bhaskara:</p><p>x = b±</p><p>2a</p><p>� �</p><p>x =</p><p>2 ± 36</p><p>2 1</p><p>� �� �</p><p>�</p><p>x = 2 ± 6</p><p>2</p><p>Portanto, –2 e 4 são as raízes da equação x² – 2x – 8 = 0 e a equação possui</p><p>duas raízes reais e distintas.</p><p>Exemplo 2: Determine o delta e as raízes da equação x² + 2x + 1 = 0.</p><p>Nesse caso, a = 1, b = 2 e c = 1. Então:</p><p>� = b 4ac2�∆</p><p>� = 2 4 1 1</p><p>2� � � � �</p><p>� � �4 4∆</p><p>� = 0∆</p><p>Agora, vamos encontrar as raízes pela fórmula de Bhaskara:</p><p>x = b±</p><p>2a</p><p>� �</p><p>x = 2 ± 0</p><p>2 1</p><p>�</p><p>�</p><p>x = 2 ± 0</p><p>2</p><p>−</p><p>x' ; 2 0</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>2 0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 x''=</p><p>Portanto, –1 e –1 são as raízes da equação x² + 2x + 1 = 0 e a equação possui</p><p>duas raízes reais e iguais. Nesse caso, dizemos que –1 é raiz de multiplicidade</p><p>dois, já que é raiz duas vezes da equação.</p><p>Exemplo 3: Determine o delta e as raízes da equação x² + 3x + 4 = 0.</p><p>Nesse caso, a = 1, b = 3 e c = 4. Então:</p><p>x x</p><p>60</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>� � �b ac</p><p>2</p><p>4</p><p>� � � � � � �3 4 1 4</p><p>2</p><p>� � �9 16∆</p><p>� � �7∆</p><p>Agora, vamos encontrar as raízes pela fórmula de Bhaskara:</p><p>x</p><p>b</p><p>a</p><p>�</p><p>� � �</p><p>2</p><p>x �</p><p>� � �</p><p>�</p><p>3 7</p><p>2 1</p><p>Note que, não existe, nos números reais, o valor −7 , pois não conseguimos</p><p>calcular raiz de número negativo no conjunto dos números reais. Portanto, nesse</p><p>caso, não conseguimos encontrar valores para x e assim a equação x² + 3x + 4 = 0</p><p>não possui raízes.</p><p>O valor do ∆ determina o número de raízes de uma equação do 2º grau. Observe:</p><p>• ∆ > 0: a equação possui duas raízes reais e diferentes;</p><p>• ∆ = 0: a equação possui duas raízes reais e iguais;</p><p>• ∆ < 0: a equação não possui raízes reais.</p><p>IMPORTANTE</p><p>Existe outra maneira de determinarmos as raízes de uma equação do 2º</p><p>grau. Esse novo método é chamado de soma e produto das raízes. Primeiramente,</p><p>determinamos qual a soma e qual o produto das raízes. Após, verificamos quais</p><p>números satisfazem os valores encontrados. Tais números serão as raízes da equação.</p><p>Já sabemos, pela fórmula de Bhaskara, que as raízes de uma equação do</p><p>2º grau são dadas por:</p><p>� ���</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>x</p><p>b</p><p>a</p><p>x</p><p>b</p><p>a</p><p>� �</p><p>2 2</p><p>�������������</p><p>x</p><p>b</p><p>a</p><p>'' �</p><p>� � �</p><p>2</p><p>Calculando a soma dessas raízes, obtemos:</p><p>x x</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>' ''� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�� �</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>TÓPICO 3 | EQUAÇÕES E FUNÇÕES POLINOMIAIS</p><p>61</p><p>Agora, calculando o produto dessas raízes, obtemos:</p><p>Exemplo 4: Determine as raízes da equação x² – 2x + 1 = 0, pelo método da</p><p>soma e produto.</p><p>Nesse caso, a = 1, b = –2 e c = 1.</p><p>Temos que a soma das raízes é igual a � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>b</p><p>a</p><p>( )</p><p>.</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>Também, o produto das raízes é igual a c</p><p>a</p><p>= =</p><p>1</p><p>1</p><p>1.</p><p>Portanto, as raízes da equação são dois números cuja soma é 2 e cujo</p><p>produto é 1. Podemos concluir, intuitivamente, que esses números são 1 e 1.</p><p>Logo, a equação x² – 2x + 1 = 0 tem 1 como sendo raiz de multiplicidade 2.</p><p>Para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau, podemos utilizar o método</p><p>da soma e do produto. A soma das raízes deve ser igual a</p><p>−b</p><p>a</p><p>e o produto deve ser igual a</p><p>c</p><p>a</p><p>.</p><p>Determinados a soma e o produto, devemos encontrar números que satisfazem as relações.</p><p>Tais números são as raízes da equação do 2º grau.</p><p>IMPORTANTE</p><p>3.2 APLICAÇÕES</p><p>Agora que sabemos identificar uma equação do 2º grau, seus coeficientes</p><p>e variáveis, e dominamos o processo de resolução, podemos aplicar esses</p><p>conhecimentos em algumas situações do cotidiano, por meio da resolução de</p><p>problemas simples.</p><p>Exemplo 1: No final de cada ano, uma empresa realiza uma excursão para</p><p>seus funcionários como forma de integração. O gerente da empresa contrata um</p><p>ônibus cuja capacidade de lotação máxima é 48 passageiros. Essa empresa cobra</p><p>de cada funcionário o valor de R$ 60,00 mais R$ 3,00 por lugar não ocupado, isto</p><p>é, que fique vago. Quanto a empresa receberá se viajarem x passageiros?</p><p>Se viajarem x passageiros, ficarão (48 – x) lugares vagos no ônibus, já que</p><p>a capacidade de lotação máxima é 48 passageiros.</p><p>62</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>Cada um dos funcionários pagará R$ 60,00 mais R$ 3,00 por cada lugar</p><p>vago,</p><p>ou seja, cada funcionário pagará 60 + 3 . (48 – x) = 60 + 144 – 3x = 204 – 3x.</p><p>Portanto, se viajarem x passageiros, a empresa receberá x(204 – 3) = 204x – 3x².</p><p>Note que a expressão que fornece o recebimento da empresa de ônibus em</p><p>função do número de funcionários que irá viajar é uma equação do 2º grau. Assim, fica</p><p>fácil sabermos quanto a empresa receberá se soubermos o número de funcionários</p><p>que irão na excursão. Por exemplo, se viajarem 30 funcionários, a empresa receberá</p><p>204 . 30 – 3 . 30² = 6.120 – 2.700 = 3.420. Portanto, a empresa receberia R$ 3.420,00.</p><p>Essa é apenas uma das aplicações das equações do 2º grau. Nas</p><p>autoatividades você poderá verificar demais aplicações interessantes dessas</p><p>equações! Vamos agora conhecer as funções.</p><p>4 FUNÇÕES</p><p>Em nosso dia a dia, é fácil nos depararmos com situações que envolvem</p><p>funções. Por exemplo, ao relacionarmos as posições de um móvel, com o instante</p><p>do movimento que ele se encontra, ou a intensidade dos raios luminosos com</p><p>relação à proteção de películas, estamos lidando com o conceito de função. Isso se</p><p>deve ao fato de que o conceito de função é um dos mais importantes da Matemática</p><p>e está presente sempre que relacionamos duas (ou mais) grandezas variáveis.</p><p>Iremos aqui, inicialmente dar uma ideia geral sobre este conceito, e na sequência</p><p>verificar modelos básicos de funções, em especial as funções de 1° e 2° graus.</p><p>Dados dois conjuntos não-vazios A e B, uma função de A em B é uma</p><p>regra que diz como associar cada elemento x ∈ A a um único elemento y∈B.</p><p>Usamos a seguinte notação:</p><p>f A B: →</p><p>Que se lê: f é uma função de A em B.</p><p>4.1 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO</p><p>TÓPICO 3 | EQUAÇÕES E FUNÇÕES POLINOMIAIS</p><p>63</p><p>Através do diagrama acima, podemos definir “informalmente” uma</p><p>função que associa uma grandeza x, com outra y, através de uma fórmula.</p><p>Dizemos então que y está em função de x, ou seja:</p><p>y f x� � �</p><p>4.2 DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO</p><p>Outros dois conceitos importantes que estaremos lidando, são os conceitos</p><p>de domínio e imagem de uma função.</p><p>Iremos compreender o conceito de domínio de uma função D(f) como</p><p>sendo os valores de x pertencentes ao conjunto A (conjunto de partida da função),</p><p>que serão calculados através da fórmula dada pela função.</p><p>Já por sua vez, a imagem Im(f) será a união de todos os elementos do</p><p>conjunto B (conhecido como contradomínio), que são respostas y adquiridas por</p><p>meio da fórmula dada pela função. Vejamos um exemplo:</p><p>Exemplo: Sejam A = {1,2,3,4,5}, B = Z (conjunto dos números inteiros) e f: A→B</p><p>definida pela regia que a cada elemento de A faz corresponder o seu dobro.</p><p>Então:</p><p>• A regra que define f é y = 2x.</p><p>• A imagem do elemento 1 é 2, de 2 é 4 e assim por diante.</p><p>• O domínio de f, D(f) = A.</p><p>• A imagem de f, Im (f) = {2,4,6,8,10}.</p><p>É claro que este exemplo é meramente ilustrativo, pois iremos admitir o</p><p>domínio das funções estudadas como sendo o conjunto dos números reais, ou</p><p>seja, são admitidos quaisquer valores para a variável x, salvo alguns casos:</p><p>RESTRIÇÕES PARA O DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO</p><p>• Caso a função trate de uma grandeza de tempo, comprimento, área etc., só</p><p>poderemos admitir para o domínio valores positivos.</p><p>• Se o caso lidar com quantidade de pessoas, peças etc., além dos valores do</p><p>domínio serem positivos, eles devem ser inteiros.</p><p>• Em qualquer modelo matemático encontrado em que a variável x estiver no</p><p>denominador, devemos tomar o cuidado de que o resultado de sua expressão</p><p>não seja zero. Veja:</p><p>y</p><p>x</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>2</p><p>⇒ x ≠ 2, ou seja, o domínio são todos os números reais, exceto o valor 2.</p><p>64</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>• Em qualquer modelo matemático encontrado em que a variável x estiver em</p><p>uma raiz de índice par, devemos tomar o cuidado de que o resultado de sua</p><p>expressão não seja negativo. Veja:</p><p>y x� � 4 ⇒ x ≥ 4, ou seja, o domínio são todos os reais, maiores que o valor 4.</p><p>Quanto à imagem, é comum as questões não definirem restrições, pois os</p><p>casos já estão posicionados no domínio.</p><p>UNI</p><p>Este caso é um tipo especial de função em que a relação que associa as</p><p>grandezas x e y, por meio de um polinômio de 1°grau, como por exemplo:</p><p>y x� �2 6</p><p>Chamamos este tipo de função também, de função afim. Notamos que a</p><p>cada valor de x determinado pelo domínio da função, iremos calcular um valor</p><p>de y pertencente à imagem da função através de uma fórmula que possui grau 1.</p><p>Vejamos mais um caso:</p><p>Exemplo: Em uma determinada empresa, calcula-se a quantidade de</p><p>gastos com acidentes de trabalho através de uma taxa fixa de R$ 1.500,00 por mês</p><p>em que algum acidente ocorre, mais um valor variável que é de R$ 250,00 para</p><p>cada acidente. Assim:</p><p>a) Determine uma lei (função) de 1º grau que modela a situação. Atribua y para o</p><p>valor final gasto e x para a quantidade de acidentes.</p><p>b) Qual é o valor gasto para um mês em que ocorreram 10 acidentes?</p><p>c) Quantos acidentes ocorreram em um mês em que foram gastos R$ 7.500,00?</p><p>d) Realize um esboço gráfico da situação.</p><p>e) Existe alguma restrição para o domínio desta função? Qual é a imagem?</p><p>5 FUNÇÃO POLINIMIAL DE 1° GRAU</p><p>TÓPICO 3 | EQUAÇÕES E FUNÇÕES POLINOMIAIS</p><p>65</p><p>e) Para esta função, notamos que por se tratar de x sendo o n° de acidentes em</p><p>um certo mês, temos que o domínio são os valores inteiros e positivos. Desta</p><p>forma, percebemos que não podemos traçar uma linha no gráfico, apenas</p><p>pontos (pois os valores decimais não são considerados). A imagem, por sua</p><p>vez, são os valores reais iguais ou maiores do que 1500, pois note que o menor</p><p>valor possível para os gastos é quando não ocorre acidente algum e temos que</p><p>pagar, então, apenas a taxa fixa de 1500 reais.</p><p>Exemplo 2: A evolução das taxas de gravidade de acidentes, seguem a regra</p><p>dada pela função T = 4x - 2500, onde x é o indicador entre 1000 a 5000 (aceitando</p><p>decimais) do tipo de gravidade dos acidentes ocorridos no período. Sendo</p><p>assim, determine:</p><p>Resolução:</p><p>a) Iremos, inicialmente, perceber que como se trata de um polinômio de 1° grau,</p><p>ele deverá ter a forma y = ax + b. Logo, substituindo os valores dos gastos fixos</p><p>em b, por se tratar de uma constante, e o valor variável em a, que por sua vez</p><p>multiplica a quantidade de acidentes x, temos que a fórmula para o valor pago é:</p><p>y = 250x + 1500</p><p>b) Para determinar o valor total gasto y, precisamos realizar a substituição x = 10.</p><p>y y� � � � �250 10 1500 2500 1500 4000. reaisreais⇒</p><p>c) Neste outro caso, temos um processo “inverso” do caso (b). Iremos determinar</p><p>x, substituindo y = 7.500,00.</p><p>7500 250 1500 250 7500 1500</p><p>6000</p><p>250</p><p>24� � � � � �x x x acidentes</p><p>d)</p><p>⇒ ⇒</p><p>66</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>a) O valor mínimo para a taxa de gravidade.</p><p>b) O valor do indicador x para uma taxa de gravidade 9315 pontos. É possível</p><p>este valor?</p><p>c) É possível existir uma taxa de gravidade igual a 20000 pontos?</p><p>d) Esboce o gráfico da situação.</p><p>Resolução:</p><p>a) Esta questão deve ser iniciada imaginando-se qual é seu domínio. Notamos</p><p>que a variável x deve estar entre 1000 e 5000. Logo o valor mínimo para este</p><p>caso é aplicando-se x = 1000. Assim:</p><p>T pontos� � �4 1000 2500 1500. �pontos</p><p>b) Agora, para determinar o indicador x, basta substituir o valor da taxa T = 9000.</p><p>Logo:</p><p>9315 4 2500 4 9315 2500</p><p>11815</p><p>4</p><p>2953 75� � � � � �x x x ,⇒ ⇒</p><p>Note que este valor é totalmente possível, pois ele se encontra entre 1000 e</p><p>5000 pontos, e também a situação admite valores decimais em seu domínio.</p><p>c) Não é possível! Neste caso temos uma imagem limitada motivada pelas</p><p>restrições do domínio. Para uma taxa de 20000, teríamos:</p><p>20000 4 2500 4 20000 2500</p><p>22500</p><p>4</p><p>5625� � � � � �x x x ⇒ ⇒</p><p>E x = 5625 não pertence ao domínio da função, portanto a taxa de 20000 pontos</p><p>não é possível para este caso.</p><p>d)</p><p>Devemos notar que este gráfico pode ter seus pontos ligados pelo fato de</p><p>aceitar decimais. Porém, não deve extrapolar os valores 1000 e 5000 que são as</p><p>restrições para o domínio.</p><p>TÓPICO 3 | EQUAÇÕES E FUNÇÕES POLINOMIAIS</p><p>67</p><p>Resumindo, toda a função polinomial de 1° grau terá a forma geral y = ax + b,</p><p>no</p><p>qual a é chamado de coeficiente angular (por se tratar de uma taxa) e b é o coeficiente linear,</p><p>pois trata-se de um valor fixo para a função.</p><p>O caso em que b = 0 é aquele em que a função passa a ser denominada de linear, pois o</p><p>ponto de início do gráfico será a origem dos eixos coordenados.</p><p>UNI</p><p>6 FUNÇÃO POLINOIMIAL DE 2° GRAU</p><p>Neste outro tipo de função, associamos as grandezas x e y por meio de um</p><p>polinômio do segundo grau que possui a forma geral y = ax² + bx + c, , como por exemplo:</p><p>y = x² – 5x + 6</p><p>Chamamos este tipo de função de “Função do 2º grau” ou “Função</p><p>Quadrática”.</p><p>A principal aplicação deste conceito para a segurança do trabalho, além</p><p>das análises do domínio e imagens, é o foco nos pontos de máximos e mínimos.</p><p>Veremos a seguir:</p><p>6.1 MÁXIMOS E MÍNIMOS EM FUNÇÕES QUADRÁTICAS</p><p>Para compreender este conceito, iniciaremos realizando o gráfico de uma</p><p>função de 2º grau. Em especial analisaremos a função y = x² + 2x. Para realizar</p><p>este esboço gráfico iremos efetuar o cálculo das imagens referentes aos valores de</p><p>x iguais a -5, -4,-3,-2,-1,0,1,2 e 3. Vejamos:</p><p>X y = x² + 2x y</p><p>-5 y = (-5)² + 2.(-5) 15</p><p>-4 y = (-4)² + 2.(-4) 8</p><p>-3 y = (-3)² + 2.(-3) 3</p><p>-2 y = (-2)² + 2.(-2) 0</p><p>-1 y = (-1)² + 2.(-1) -1</p><p>0 y = (0)² + 2.(0) 0</p><p>1 y = (1)² + 2.(1) 3</p><p>2 y = (2)² + 2.(2) 8</p><p>3 y = (3)² + 2.(3) 15</p><p>68</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>Resultando no seguinte gráfico:</p><p>Perceba, então, que este tipo de função possui um gráfico em formato de</p><p>parábola. No qual, a partir de um eixo de simetria, a função de um lado decresce e</p><p>do outro cresce, criando assim um ponto de mínimo (neste caso, pois há também</p><p>o caso de máximo).</p><p>Tente realizar o gráfico da função y = - x² + 2x! Você irá notar que a parábola</p><p>encontrada será voltada para baixo. Logo, tendo um ponto máximo.</p><p>UNI</p><p>Como já percebemos que estas funções terão máximos e mínimos (ponto</p><p>que chamaremos de V (vértice)). Vamos definir sua forma de cálculo, admitindo</p><p>a função na forma geral y = ax² + bx + c. . Ainda mais, admitiremos também que,</p><p>quando a > 0, a função terá ponto mínimo e quando a < 0, a função terá ponto</p><p>máximo.</p><p>• Para o valor máximo/mínimo referente à variável x da função, utilizamos a</p><p>fórmula:</p><p>x</p><p>b</p><p>a</p><p>v</p><p>� �</p><p>2</p><p>TÓPICO 3 | EQUAÇÕES E FUNÇÕES POLINOMIAIS</p><p>69</p><p>• Para o valor máximo/mínimo referente à variável y da função, utilizamos a</p><p>fórmula:</p><p>y</p><p>b ac</p><p>a</p><p>� �</p><p>�2 4</p><p>4</p><p>Exemplo: O modelo matemático criado para a medição da intensidade luminosa</p><p>em uma célula de trabalho é dada pela função é I = –4x² + 32x, na qual I é a</p><p>intensidade luminosa para o ambiente (calculada em candela) e x é a quantidade</p><p>de pontos de luz. Modelou-se esta situação através de uma função quadrática, pois</p><p>estudos realizados mostram que a intensidade de luz nesta célula não depende</p><p>apenas da quantidade de pontos de luz, pois com uma quantidade de pontos de</p><p>luz muito grande causaria ofuscação naquele espaço. Sabe-se, também, que pelo</p><p>tamanho do ambiente, a quantidade máxima de pontos de luz que podem ser</p><p>colocados é 8. Assim, determine:</p><p>a) A intensidade luminosa com a colocação de 5 pontos de luz.</p><p>b) Qual é a quantidade de pontos de luz necessária para ter uma intensidade</p><p>luminosa igual a 48 candelas?</p><p>c) Determine a máxima intensidade luminosa e a quantidade de pontos necessária.</p><p>d) Faça o esboço do gráfico da situação.</p><p>Resolução:</p><p>a) Para determinar a intensidade luminosa, basta realizar a substituição x = 5, para</p><p>determinação de I, que é a imagem da função quadrática dada na questão, logo:</p><p>I I I� � � � � � � � � � �4 5 32 5 100 160 60</p><p>2</p><p>. . ⇒ ⇒ candela</p><p>b) Neste caso, o que será feito é a determinação de x (quantidade de pontos de</p><p>luz) para I = 48. Teremos então:</p><p>48 4 32 4 32 48 0</p><p>2 2� � � � � � �x x x x ⇒</p><p>Que podemos resolver através da fórmula resolutiva vista no item 3 deste</p><p>tópico:</p><p>∆ = b² – 4 . a . c ⇒ ∆ = 32² – 4 . (– 4) . (– 48) ⇒ ∆ = 1024 – 768 = 256</p><p>70</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>Logo:</p><p>x</p><p>b</p><p>a</p><p>x�</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�� �</p><p>��</p><p>. .2</p><p>32 256</p><p>2 4</p><p>⇒</p><p>x �</p><p>� �</p><p>�</p><p>32 16</p><p>8</p><p>O que implica:</p><p>� ���</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�x ou x</p><p>32 16</p><p>8</p><p>2</p><p>32 16</p><p>8</p><p>6�� � � 2 ou x"</p><p>Isto quer dizer que a luminosidade necessária pode ser adquirida com 2</p><p>ou 6 pontos de luz.</p><p>c) Primeiramente devemos notar que o coeficiente “a” da função é igual a -4.</p><p>Logo, está garantido que teremos luminosidade máxima. Agora, então, para</p><p>este caso, vamos recorrer para as fórmulas de máximos e mínimos vistas. Na</p><p>qual xv será a quantidade de pontos para atingir y I</p><p>v v</p><p>= lumisosidade máxima.</p><p>x</p><p>b</p><p>a</p><p>pontosdeluzv � � � �</p><p>�� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>32</p><p>2 4</p><p>32</p><p>8</p><p>4</p><p>. .</p><p>� � �4 pontos de luz</p><p>Para atingir uma luminosidade de:</p><p>I</p><p>b a c</p><p>a</p><p>candela</p><p>v</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>� �� �</p><p>�� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>2 2</p><p>4</p><p>4</p><p>32 4 4 0</p><p>4 4</p><p>1024</p><p>16</p><p>64</p><p>. .</p><p>.</p><p>. .</p><p>.</p><p>�64 candela</p><p>d)</p><p>TÓPICO 3 | EQUAÇÕES E FUNÇÕES POLINOMIAIS</p><p>71</p><p>Devemos ainda, notar que não podemos ligar os pontos neste gráfico, pois</p><p>o domínio é restrito para valores inteiros, bem como os pontos variam de 0 até 8,</p><p>pois é a restrição para a quantidade de pontos de luz máxima.</p><p>Exemplo 2: Um profissional de segurança do trabalho é contratado para</p><p>determinar a área máxima (segura) para marcação de células de trabalho. O</p><p>perímetro necessário para tal adequação (gerar a área) é 50m, dividida em uma</p><p>região retangular. O modelo matemático para o caso baseia-se na seguinte estrutura:</p><p>72</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>Neste caso podemos ligar os pontos, pois área de uma região e</p><p>comprimentos permitem valores decimais, porém a restrição do domínio indica</p><p>que não é possível ter comprimento da região x maior ou igual a 25m, pois assim</p><p>não conseguiríamos determinar uma região retangular.</p><p>LEITURA COMPLEMENTAR</p><p>APLICAÇÃO DAS FUNÇÕES QUADRÁTICAS EM NEGÓCIOS</p><p>Oferta, demanda e equilíbrio de mercado</p><p>Quando equações quadráticas são usadas para representar curvas de</p><p>oferta ou de demanda, a análise gráfica é feita através do primeiro quadrante das</p><p>parábolas, pois, o eixo das abscissas, se refere à quantidade e não tem sentido</p><p>trabalhar com quantidades negativas.</p><p>Exemplo: A função oferta para um produto é dada por p = 0,2q² + 0,4q +</p><p>1,8 e a função demanda é dada por p = -0,1q² - 0,2q + 9. O interesse é determinar</p><p>o ponto de equilíbrio de mercado.</p><p>O equilíbrio de mercado ocorre quando as duas equações possuem os</p><p>mesmos valores de p. Assim:</p><p>0 2 0 4 1 8 0 1 0 2 92 2, , , , ,� � � �� � � � � �q² q + q² q +</p><p>0 3 0 6 7 2 02, , ,� �� � �q – q²</p><p>��</p><p>� � � � � � � �� �</p><p>� �</p><p>0 6 0 6 4 0 3 7 2</p><p>2 0 3</p><p>2, , , ,</p><p>,</p><p>q</p><p>q ouq� � �6 4� � . ou q</p><p>TÓPICO 3 | EQUAÇÕES E FUNÇÕES POLINOMIAIS</p><p>73</p><p>Como não tem sentido trabalhar com uma quantidade negativa, o ponto</p><p>de equilíbrio ocorre quando são vendidas 4 unidades do produto. Substituindo</p><p>este valor na função oferta ou demanda tem-se que o preço, no ponto de</p><p>equilíbrio, será de:</p><p>p = –0,1q² – 0,2q + 9</p><p>p = –0,1(4)² – 0,2(4) + 9</p><p>p = 6,60</p><p>Portanto, o ponto de equilíbrio é (4; 6,60).</p><p>Os gráficos das funções ficarão dispostos da seguinte forma:</p><p>Funções receita, custo e lucro e ponto de maximização</p><p>Muitas funções de receita total podem ser lineares, mas os custos tendem a</p><p>aumentar bruscamente depois de um certo nível de produção. Quando isto ocorre,</p><p>as funções quadráticas são utilizadas para prever os custos totais dos produtos.</p><p>Exemplo: Se uma empresa tiver custo total dado por C x x x� � � � �0 5 25 3600</p><p>2</p><p>,</p><p>e receita total dada por R x x x� � � � �0 5 175</p><p>2</p><p>, , encontre o ponto de equilíbrio e a</p><p>quantidade que deve ser produzida para a empresa atingir o lucro máximo.</p><p>O ponto de equilíbrio é obtido igualando as equações custo total e receita</p><p>total, ou seja,</p><p>R x C x� � � � �</p><p>� � � � �0 5 175 0 5 25 3600</p><p>2 2</p><p>, ,x x x x</p><p>x x</p><p>2</p><p>150 3600 0� � �</p><p>x �</p><p>� �� � � �� � � � �� �150 150 4 1 3600</p><p>2</p><p>2</p><p>x ou x= =30 120� � ou x</p><p>74</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>Portanto, o ponto de equilíbrio da empresa ocorrerá tanto em 30 unidades</p><p>quanto em 120 unidades. A Figura mostra os gráficos de C(x) e R(x). Pode-se</p><p>observar através dele que a empresa obterá lucro</p><p>depois de x = 30 até x = 120, pois</p><p>R(x)>C(x) nesse intervalo. Em x = 30 e x = 120, o lucro é zero e a empresa perderá</p><p>dinheiro se ela produzir mais de 120 unidades.</p><p>É fácil observar que o gráfico da função receita é uma parábola com</p><p>concavidade para baixo (a<0). Portanto, o vértice é o ponto no qual a receita é</p><p>máxima. Ou seja, a coordenada x do vértice é obtida por:</p><p>x</p><p>b</p><p>a</p><p>unidadesv � � � �</p><p>�� �</p><p>�</p><p>2</p><p>175</p><p>2 0 5</p><p>175</p><p>,</p><p>�unidades</p><p>Então, quando x = 175 a empresa alcança receita máxima de:</p><p>R reais175 0 5 175 175 175 15312 50</p><p>2� � � � � � � � � �, , �reais</p><p>Mas os custos quando x = 175 são:</p><p>C x reais� � � � � � � � � �0 5 175 25 175 3600 23287 50</p><p>2</p><p>, , �reais</p><p>O que resulta em prejuízo. Então, maximizar a receita não é um bom</p><p>objetivo. Deve-se buscar maximizar o lucro.</p><p>Sabe-se que:</p><p>L(x) = R(x) – C(x)</p><p>L(x) = –0,5x2 + 175x – (0,5x2 + 25x + 3600)</p><p>L(x) = x2 + 150x – 3600</p><p>TÓPICO 3 | EQUAÇÕES E FUNÇÕES POLINOMIAIS</p><p>75</p><p>O gráfico dessa função lucro é uma parábola com concavidade voltada</p><p>para baixo (a<0), portanto, o vértice será um ponto de máximo:</p><p>x</p><p>b</p><p>a</p><p>v</p><p>� � � �</p><p>�� �</p><p>�</p><p>2</p><p>150</p><p>2 1</p><p>75</p><p>Então para x = 75 temos:</p><p>L 75 75 150 75 3600 2025 00</p><p>2� � � �� � � � � � � , �reais</p><p>Ou seja, quando 75 unidades forem produzidas e vendidas, será atingido</p><p>um lucro máximo de R$ 2.025,00.</p><p>FONTE: REVISTA MATIZ ONLINE Matão (SP): Instituto Matonense Municipal de Ensino Superior</p><p>Programa de divulgação científica do Immes, 2012. Disponível em: <http://www.immes.edubr/>.</p><p>Acesso em: 24 maio 2017.</p><p>76</p><p>RESUMO DO TÓPICO 3</p><p>Nesse tópico, você viu que:</p><p>• Uma equação do primeiro grau (ou equação linear) é toda equação da forma</p><p>ax+b=0, em que a≠0.</p><p>• Para encontrar a raiz de uma equação do 1º grau, podemos utilizar a fórmula</p><p>prática: x b</p><p>a</p><p>�</p><p>� .</p><p>• Uma equação do segundo grau (ou equação quadrática) é toda equação da</p><p>fórmula: ax² + bx + c = 0, em que a ≠ 0 .</p><p>• Para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau, podemos utilizar a fórmula:</p><p>x</p><p>b</p><p>a</p><p>�</p><p>� � �</p><p>2</p><p>, em que � � �b ac</p><p>2</p><p>4∆ .</p><p>• O valor do ∆ determina o número de raízes de uma equação do 2º grau. Observe:</p><p>∆ > 0: a equação possui duas raízes reais e diferentes.</p><p>∆ = 0: a equação possui duas raízes reais e iguais.</p><p>∆ < 0: a equação não possui raízes reais.</p><p>• Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que</p><p>diz como associar cada elemento x∈A a um único elemento y∈B.</p><p>• Analisamos as restrições para domínio e imagem de uma função.</p><p>• Estudamos aplicações de modelos de 1º e 2º graus.</p><p>Para o modelo de segundo grau:</p><p>• Para o valor máximo/mínimo referente à variável x da função, utilizamos a</p><p>fórmula: x b</p><p>a</p><p>v</p><p>� �</p><p>2</p><p>• Para o valor máximo/mínimo referente à variável y da função, utilizamos a</p><p>fórmula: y</p><p>b ac</p><p>a</p><p>� �</p><p>�2 4</p><p>4</p><p>77</p><p>1 Acerca do conceito de raiz de uma equação, sabemos que ela</p><p>é o valor que torna a sentença (igualdade) verdadeira. Sendo</p><p>assim, verifique se:</p><p>a) 5 é raiz da equação 7x – 6 = 5x + 4</p><p>b) –6 é raiz da equação x x</p><p>2</p><p>5</p><p>5</p><p>3</p><p>2� � �</p><p>c) 1 é raiz da equação x² – 1 = 2</p><p>2 Resolva as seguintes equações de 1° grau:</p><p>a) 5( x – 4) = -4 + 9 (x – 1)</p><p>b) –5 (x – 4) + 4 = 2 (- 2x – 2) + 9</p><p>c) 2(x – 4) = -3 (x + 2) – 8</p><p>3 Resolva as equações completas no conjunto:</p><p>a) 4x² – 4x + 1 = 0</p><p>b) x² – 4x – 12 = 0</p><p>c) x² + 6x + 9 = 0</p><p>d) 3x² + 4x + 2 = 0</p><p>4 A evolução das taxas de gravidade de acidentes segue a regra</p><p>dada pela função T = 8x - 3600, na qual x é o indicador entre</p><p>1500 a 6000 (aceitando decimais) do tipo de gravidade dos</p><p>acidentes ocorridos no período. Sendo assim, determine:</p><p>a) O valor mínimo e máximo para a taxa de gravidade.</p><p>b) Existem restrições para o domínio e imagem desta função? Explique.</p><p>c) O valor do indicador x para uma taxa de gravidade 11324 pontos. É possível</p><p>este valor?</p><p>d) É possível existir uma taxa de gravidade igual a 7500 pontos? Explique.</p><p>AUTOATIVIDADE</p><p>78</p><p>5 Define-se uma função como sendo y = –5x² + 120x + 60 , no</p><p>intervalo [0,15]. Acerca desta função, determine.</p><p>a) O maior e menor valor para o domínio.</p><p>b) A imagem dos valores x=4 e x=8 para a função.</p><p>c) Esta função admite ponto de máximo ou mínimo? Qual é este ponto (valor</p><p>para x e y)?</p><p>d) Realize seu esboço gráfico.</p><p>79</p><p>UNIDADE 2</p><p>INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM</p><p>PLANO DE ESTUDOS</p><p>A partir desta unidade você será capaz de:</p><p>• analisar, descrever, organizar e interpretar informações sobre o aspecto</p><p>estatístico para a tomada de decisões;</p><p>• utilizar a linguagem estatística como instrumento de apoio na execução</p><p>de atividades do cotidiano profissional;</p><p>• compreender os procedimentos técnicos e de cálculos essenciais ao</p><p>trabalho estatístico;</p><p>• descrever e interpretar informações do campo da Segurança do Trabalho</p><p>sob o aspecto estatístico;</p><p>• criar tabelas e gráficos que auxiliem na tomada de decisões, partindo</p><p>de uma situação-problema da Segurança do Trabalho.</p><p>Nesta unidade de ensino, a abordagem da Matemática está dividida em</p><p>quatro tópicos, nos quais se apresentam desde os conceitos introdutórios</p><p>sobre o método estatístico até a construção de gráfico. Cada tópico</p><p>oferecerá subsídios que o auxiliarão na interiorização dos conteúdos e na</p><p>resolução das autoatividades solicitadas.</p><p>TÓPICO 1 – O MÉTODO ESTATÍSTICO</p><p>TÓPICO 2 – VARIÁVEL, POPULAÇÃO E AMOSTRA</p><p>TÓPICO 3 – SÉRIES ESTATÍSTICAS</p><p>TÓPICO 4 – GRÁFICOS ESTATÍSTICOS</p><p>80</p><p>81</p><p>TÓPICO 1</p><p>O MÉTODO ESTATÍSTICO</p><p>UNIDADE 2</p><p>1 INTRODUÇÃO</p><p>Os primeiros registros da Estatística datam, aproximadamente, 3000 anos</p><p>a.C. na Babilônia, China e Egito. Essas civilizações já possuíam a necessidade</p><p>de se registrarem numericamente questões de seu convívio social, ou seja, já</p><p>realizavam uma espécie de censo. Estes censos estavam relacionados ao número</p><p>de habitantes, registros de nascimento, de óbitos, estimativas de riquezas, taxas</p><p>cobradas pelos governos entre outras.</p><p>Desde então, a Estatística foi estabelecida com o propósito de ser um</p><p>conjunto de métodos, com o intuito de sistematizar os processos de organização</p><p>de dados que as sociedades necessitavam. Nas últimas décadas, a Estatística tem</p><p>se mostrado presente nas mais diversas áreas de conhecimento, como a Educação,</p><p>Engenharia, Administração, Ciências Contábeis, Medicina, Agronomia, Segurança</p><p>do trabalho, Biologia, Psicologia e muitas outras. Destacamos, ainda, que a área</p><p>de Segurança do Trabalho, por sua vez, atua em diversas linhas de pesquisa,</p><p>especialmente na estatística de acidentes (tema de estudo da próxima unidade).</p><p>Acadêmico, nesta disciplina, você terá a oportunidade de estudar</p><p>sobre a área da matemática que mais desperta o interesse das pessoas. Seja na</p><p>empresa, com suas metas, ou no período eleitoral, com a antecipação do possível</p><p>candidato eleito, a estatística é a área da matemática que mais atrai curiosidade.</p><p>Acreditamos que seja pelo motivo de que a Estatística está, de alguma forma,</p><p>mais próxima do cotidiano das pessoas, pois nenhum dos métodos estatísticos é</p><p>restrito a qualquer campo de aplicação, mesmo que alguns problemas necessitem</p><p>de técnicas estatísticas mais sofisticadas, ou até mesmo a utilização de softwares</p><p>devido à quantidade de informações a serem estudadas.</p><p>Neste contexto, a seguir serão apresentados alguns dos conceitos</p><p>iniciais para a aprendizagem da própria Estatística, assim como definições</p><p>e maneiras para organizar e apresentar dados estatísticos de modo que os</p><p>objetivos para a utilização desses métodos sejam alcançados, pois ao organizar</p><p>dados coletados por meio de pesquisa, observação ou experimentos, tem-</p><p>se a intenção de comunicá-los de maneira coerente e assim facilitar uma</p><p>interpretação fidedigna dos dados.</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>82</p><p>2 CONCEITO DE ESTATÍSTICA</p><p>A Estatística é definida por Crespo (2002) como uma parte da Matemática</p><p>Aplicada que fornece métodos para coleta, organização, análise e interpretação</p><p>de dados e para a utilização destes na tomada de decisões.</p><p>Aprofundamos essa definição e a conceituamos como o estudo de um</p><p>grupo de indivíduos,</p><p>objetos ou de qualquer comportamento coletivo, através de</p><p>métodos, em que interpretamos os resultados deste estudo por meio de valores</p><p>numéricos.</p><p>São exemplos de aplicabilidade da Estatística:</p><p>a) A média da idade dos alunos ingressantes no curso de Segurança do Trabalho</p><p>é de 23 anos.</p><p>b) Os preços dos equipamentos de segurança podem variar até 35% em Santa</p><p>Catarina.</p><p>c) Os profissionais da área de Segurança do Trabalho têm uma renda mensal</p><p>média variando entre R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00.</p><p>3 GRANDES ÁREAS DA ESTATÍSTICA</p><p>A Estatística é uma parte da matemática aplicada que por meio da coleta,</p><p>organização, descrição, análise e interpretação de dados, auxilia na tomada</p><p>de decisões futuras. Atualmente, a Estatística pode ser dividida em três áreas:</p><p>Estatística descritiva, Probabilidade e Inferência estatística.</p><p>A Estatística descritiva é definida como um conjunto de técnicas utilizadas</p><p>com a intenção de descrever e resumir dados, de modo a possibilitar que sejam</p><p>tiradas conclusões a respeito de determinado fenômeno de interesse. Geralmente, a</p><p>Estatística descritiva é utilizada em uma fase inicial da pesquisa, a partir do primeiro</p><p>contato com os dados que ainda estão, muitas vezes, desorganizados, tendo uma</p><p>grande importância ao lidarmos com quantidades expressivas destes. Nestes casos,</p><p>é necessário a utilização de algumas técnicas, que simplifiquem e representem a</p><p>totalidade, como por exemplo a organização destes em tabelas e gráficos.</p><p>A Probabilidade lida com a incerteza, com a possibilidade de um evento</p><p>ocorrer ao acaso, como em jogos de dados ou de cartas, sorteio de uma pessoa que</p><p>tem determinada característica em um grupo de pessoas que tem e que não tem</p><p>determinada particularidade.</p><p>Por último, a Inferência estatística é o estudo de técnicas que permitem</p><p>uma generalização por meio de uma determinada quantidade de dados, que se</p><p>apliquem ao total da população envolvida.</p><p>TÓPICO 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO</p><p>83</p><p>Para ser possível a realização de uma inferência a respeito de determinada</p><p>situação, inicialmente temos que ter uma problemática bem estabelecida, por</p><p>exemplo: a necessidade de capacitar os funcionários de uma determinada</p><p>empresa para o uso dos equipamentos de segurança, a opinião dos consumidores</p><p>a respeito de uma nova marca de produtos para a saúde, ou ainda, pesquisas</p><p>eleitorais para direcionar as próximas atitudes da assessoria dos candidatos.</p><p>Após definida a problemática é possível iniciar a coleta de dados, sendo</p><p>que esta deve ser muito bem planejada para que a análise não gere informações</p><p>incorretas. A coleta de dados pode ser realizada de maneira direta ou indireta,</p><p>como veremos adiante.</p><p>Após a coleta, é preciso observar os dados com a intenção de verificar</p><p>imperfeições e falhas, para que estas não causem erro no resultado. Frequentemente</p><p>acontecem falas em pesquisas com perguntas tendenciosas, ou seja, que tentam</p><p>induzir a resposta ao entrevistado. Vejamos um exemplo de pergunta tendenciosa:</p><p>ter uma formação superior é mais importante do que ter um emprego que</p><p>remunere bem? Talvez não percebamos, mas o modo como essa pergunta é</p><p>feita induz ao entrevistado que é importante ter uma formação superior e ter</p><p>um emprego que remunere bem, o que na opinião do entrevistado pode não ser</p><p>verdade e ainda tenta nos conduzir a responder que é mais importante ter uma</p><p>formação superior.</p><p>Ao formularmos a pergunta que fornecerá os dados para a pesquisa temos</p><p>que tomar alguns cuidados, como: não utilizar uma linguagem que possivelmente</p><p>o entrevistado não compreenderá e também não devemos fazer questões que</p><p>induzam a uma resposta. Isso pode alterar os dados, o que levará a uma pesquisa</p><p>que gerou um resultado falso.</p><p>Após organizar os dados, frequentemente os expomos por meio de</p><p>tabelas, quadros ou gráficos, o que facilita caso seja necessário aplicação de um</p><p>cálculo estatístico.</p><p>Por meio da Estatística indutiva ou inferencial podemos tirar conclusões e</p><p>realizar previsões relativas ao total da população, mesmo que apenas parte desta</p><p>tenha sido entrevistada, ou seja, utilizou-se uma amostra, mas os resultados</p><p>podem ser generalizados para toda a população. Este ciclo descreve as fases do</p><p>método estatístico que veremos de forma mais aprofundada a seguir.</p><p>4 O MÉTODO ESTATÍSTICO</p><p>Na Grécia antiga, methodos, significava caminho para se chegar a um</p><p>fim. Atualmente, um método consiste em conjunto de etapas, ordenadamente</p><p>dispostas, a serem vencidas na investigação da verdade, no estudo de uma ciência,</p><p>ou ainda, para alcançar um determinado objetivo. Dos métodos científicos, vamos</p><p>destacar o método experimental e o estatístico.</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>84</p><p>4.1 MÉTODO EXPERIMENTAL</p><p>As investigações inicias foram realizadas na primeira metade do século</p><p>XIX, por Gustav Ferchner e conforme o próprio termo sugere, este método,</p><p>através da experimentação, consiste em limitar as áreas investigadas, mantendo</p><p>constantes todas as causas, exceto uma, variando-a de modo que se possa</p><p>descobrir suas implicações, caso existam.</p><p>Este método tem um papel importante para o conhecimento do</p><p>comportamento humano e animal. Um exemplo de aplicação do método</p><p>experimental é na testagem da eficácia de um determinado medicamento, onde</p><p>cria-se dois grupos e um grupo recebe a medicação em teste e o outro recebe</p><p>placebo. Ou seja, mesmas causas (perfil dos participantes, hábitos, doenças pré-</p><p>existentes), mas muda-se a composição da medicação.</p><p>4.2 MÉTODO ESTATÍSTICO</p><p>Em situações em que não é possível manter as causas constantes,</p><p>utilizamos o método estatístico. O método estatístico considera todas as causas</p><p>envolvidas no processo como variável e procura determinar, no resultado final,</p><p>que influências cabem a cada uma delas.</p><p>Como exemplo, pode-se citar a viabilidade ou não, da abertura de uma</p><p>indústria, a partir de uma pesquisa de mercado. Pelo processo do método</p><p>experimental, neste caso, poderia ser custoso e inadequado caso a região não</p><p>tivesse mão de obra qualificada ou caso a logística não fosse eficiente para a venda</p><p>dos produtos ou ainda, se o concorrente apresentasse o mesmo tipo de produto</p><p>com maior qualidade e menor custo.</p><p>Conheça as fases do método estatístico.</p><p>5 FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO</p><p>São seis as fases do método estatístico, a saber, na ordem que segue:</p><p>• Definição do problema.</p><p>• Planejamento.</p><p>• Coleta de dados.</p><p>• Crítica dos dados.</p><p>• Organização de dados.</p><p>• Análise dos resultados.</p><p>A seguir, detalharemos cada uma delas.</p><p>TÓPICO 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO</p><p>85</p><p>5.1 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA</p><p>Nesta fase definimos o que iremos estudar, ou seja, consiste na definição</p><p>e formulação correta do problema a ser estudado. Ainda é importante destacar</p><p>que nesta fase deve-se analisar outros estudos já realizados sobre a questão, para</p><p>traçar estratégias assertivas para a pesquisa.</p><p>São sugestões de temas a tratar:</p><p>• Variação de altura, peso.</p><p>• Tratamento de dados relativos aos desempenhos dos funcionários nas empresas.</p><p>• Frequência de batimentos cardíacos.</p><p>• O tempo necessário para a evacuação de uma indústria em caso de incêndio.</p><p>5.2 PLANEJAMENTO</p><p>Após a definição do problema, neste momento, ocorre o plano de como os</p><p>processos serão realizados. É a fase que se decide de qual forma serão obtidos os</p><p>dados, quais serão as variáveis abordadas, qual a população de interesse e o tipo</p><p>de amostragem. Termos estes que detalharemos adiante.</p><p>5.3 COLETA DE DADOS</p><p>Após delimitar o problema de pesquisa e definir um plano de ação, é</p><p>preciso pensar em como obter os dados. Para isto, existem duas maneiras: uma é</p><p>usar dados já coletados por outra pessoa (dados secundários), outra é coletar os</p><p>próprios dados (dados primários). Isto caracteriza a coleta como indireta e direta,</p><p>respectivamente.</p><p>A coleta indireta é indicada quando há disponibilidade de dados</p><p>secundários adequados, assim economiza-se a coleta dispendiosa de dados</p><p>primários. No entanto, quando se usam os secundários, as definições, a finalidade,</p><p>a cobertura, a frequência (quantas</p><p>vezes), a temporalidade (atualidade), o nível</p><p>de desagregação (os detalhes) e a exatidão (incluindo o tamanho da amostra e</p><p>a tendenciosidade dos questionamentos feitos) podem ser inadequados aos</p><p>objetivos propostos. Podemos fazer uso da coleta secundária ao utilizar, por</p><p>exemplo, os dados do Censo visto ser esta uma estatística oficial (que segue os</p><p>critérios e fases do método estatístico).</p><p>A coleta direta ocorre quando não há disponibilidade de dados primários,</p><p>sendo necessário obter os dados diretamente da fonte. Um exemplo disso é</p><p>quando uma indústria de equipamentos de segurança realiza uma pesquisa para</p><p>saber a preferência dos consumidores pela sua marca. A coleta direta de dados</p><p>pode ser classificada em relação ao fator tempo como:</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>86</p><p>a) Contínua (registro) – quando é feita continuamente, tal como a de nascimentos,</p><p>óbitos, os registros da fiscalização eletrônica de velocidade etc.</p><p>b) Periódica – quando é feita em intervalos de tempo constantes, como os censos</p><p>demográficos, matrículas semestrais e ou anuais dos estudantes etc.</p><p>c) Ocasional – quando feita ocasionalmente, a fim de atender a uma conjuntura ou</p><p>uma emergência, como no caso de epidemias, pesquisas eleitorais, avaliações etc.</p><p>5.4 CRÍTICA DOS DADOS</p><p>Realiza-se neste processo uma auditoria dos dados, em busca de possíveis</p><p>falhas e imperfeições ou dados a serem desconsiderados (repetições, omissões</p><p>etc.), a fim de não incorrer em erros que possam influir sensivelmente nos</p><p>resultados.</p><p>A crítica dos dados pode ser de origem interna ou externa.</p><p>a) Crítica interna: quando visa observar os elementos originais dos dados da</p><p>coleta.</p><p>b) Crítica externa: quando visa às causas dos erros por parte do informante, por</p><p>distração ou má interpretação das perguntas que lhe foram feitas.</p><p>Por exemplo, ao aplicar o questionário, temos que fazer uma crítica</p><p>para verificar se as respostas obtidas condizem com a nossa necessidade (crítica</p><p>interna), no caso de haver erros, precisamos saber o motivo da ocorrência para</p><p>futura correção, verificamos se o pesquisado estava desatento, ou se a questão foi</p><p>mal interpretada etc. (crítica externa).</p><p>5.5 ORGANIZAÇÃO DOS DADOS</p><p>Após os processos comentados anteriormente, necessitamos organizá-</p><p>los, ou seja, realizar a soma e o processamento dos dados obtidos, bem como</p><p>sua disposição mediante critérios de classificação. Este resumo dos dados pode</p><p>ser feito através de contagem e/ou agrupamento. A importância desta fase do</p><p>método se encontra na facilidade posterior do entendimento das informações.</p><p>Os dados podem ser apresentados de duas formas, que não se excluem</p><p>mutuamente: a apresentação tabular é uma apresentação numérica dos dados em</p><p>linhas e colunas distribuídas de modo ordenado, segundo regras práticas fixadas</p><p>pelo Conselho Nacional de Estatística; e a apresentação gráfica, que constitui uma</p><p>apresentação geométrica, permitindo uma visão rápida e clara do fenômeno.</p><p>TÓPICO 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO</p><p>87</p><p>5.6 ANÁLISE DOS RESULTADOS</p><p>Trata-se do principal objetivo da estatística, apurar resultados e</p><p>interpretá-los. Está ligada essencialmente ao cálculo de medidas e coeficientes,</p><p>e sua finalidade principal é descrever o fenômeno. Estes números ao serem</p><p>interpretados, irão traduzir informações importantes nas tomadas de decisão</p><p>acerca do experimento desejado.</p><p>Assim completamos as fases do método estatístico.</p><p>FIGURA 7 – FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO</p><p>FONTE: Os autores</p><p>Definição do</p><p>Problema Planejamento Coleta de</p><p>Dados</p><p>Crítica dos</p><p>Dados</p><p>Organização</p><p>dos Dados</p><p>Análise dos</p><p>Resultados</p><p>FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO</p><p>88</p><p>RESUMO DO TÓPICO 1</p><p>Neste tópico, você estudou que:</p><p>• Um método de pesquisa pode ser experimental ou estatístico.</p><p>• O método estatístico é composto por seis fases: definição do problema,</p><p>planejamento, coleta de dados, crítica dos dados, organização de dados e</p><p>análise dos resultados.</p><p>• A coleta de dados pode ser direta ou indireta, sendo que a direta pode ser</p><p>contínua, ocasional ou periódica.</p><p>• A crítica dos dados pode ser externa ou interna.</p><p>• A organização de dados nada mais é que um resumo e pode ser feito através de</p><p>contagem e/ou agrupamento. A importância desta fase do método se encontra</p><p>na facilidade posterior do entendimento das informações.</p><p>• Após realizada a organização dos dados, estes podem ser apresentados de duas</p><p>formas: através da apresentação tabular ou da apresentação gráfica.</p><p>• A análise dos resultados é o objetivo principal da estatística e consiste em</p><p>apurar resultados e interpretá-los.</p><p>89</p><p>AUTOATIVIDADE</p><p>Acadêmico, um dos princípios da Uniasselvi é “Não basta saber,</p><p>é preciso saber fazer”. Agora chegou a sua vez de colocar em prática os</p><p>conceitos sobre o método estatístico, estudados neste tópico.</p><p>1 Um dos tipos de amostragem mais rápidos é a Amostragem</p><p>sistemática. Nele criamos intervalos para sortear os elementos</p><p>da amostra. Imagine agora, que de uma população de 4000</p><p>peças de uma linha produtiva, desejamos coletar uma amostra</p><p>de 250 peças. Determine qual o intervalo de escolha, através de amostragem</p><p>sistemática, e em seguida assinale a opção que o representa.</p><p>a) ( ) 18.</p><p>b) ( ) 16.</p><p>c) ( ) 20.</p><p>d) ( ) 25.</p><p>2 Em uma empresa, os funcionários são alocados pelo setor de RH,</p><p>em três setores. São eles: diretoria, administrativo e produção.</p><p>Cada um deles possui 20, 40 e 100 funcionários, respectivamente.</p><p>Determine utilizando amostragem estratificada a quantidade de</p><p>elementos do administrativo em uma amostra com 40 funcionários ao todo e</p><p>em seguida assinale a alternativa correta.</p><p>a) ( ) 10 funcionários.</p><p>b) ( ) 15 funcionários.</p><p>c) ( ) 20 funcionários.</p><p>d) ( ) 25 funcionários.</p><p>3 As fases do método estatístico são para o pesquisador um</p><p>norteador para as ações necessárias para que o experimento</p><p>desejado seja bem realizado. Para tanto é muito importante</p><p>conhecer o passo a passo destas fases para atingir os objetivos.</p><p>Assinale a alternativa que representa corretamente estas fases:</p><p>a) ( ) Definição, planejamento, coleta, crítica, organização e análise.</p><p>b) ( ) Planejamento, coleta, gráficos e interpretação.</p><p>c) ( ) Análise, organização, crítica, colete, planejamento.</p><p>d) ( ) Definição, planejamento, coleta, organização, análise e crítica.</p><p>90</p><p>4 Para uma população de N = 6000 habitantes, composta por 4800</p><p>mulheres e 1200 homens, defina quantos participantes de cada</p><p>sexo, através de amostragem estratificada devem participar caso</p><p>a amostra tenha tamanho n = 120.</p><p>5 Determine o tamanho real da amostra necessária para estudar</p><p>uma população de 10000 peças de uma linha produtiva, para</p><p>conseguirmos um erro não superior a 5%.</p><p>91</p><p>TÓPICO 2</p><p>VARIÁVEL, POPULAÇÃO E AMOSTRA</p><p>UNIDADE 2</p><p>1 INTRODUÇÃO</p><p>No tópico anterior, utilizamos diversos termos característicos da</p><p>estatística e que irão nos acompanhar durante o estudo desta disciplina. Porém,</p><p>ainda é necessário descrever os termos: variável, população e amostra com maior</p><p>detalhamento. Assim, a seguir, apresentaremos os termos básicos da estatística.</p><p>2 POPULAÇÃO</p><p>Definimos população (ou universo estatístico) o conjunto de todos os</p><p>indivíduos ou a todos os objetos do grupo em que serão estudados a partir dos</p><p>métodos estatísticos.</p><p>São exemplos de população:</p><p>a) SITUAÇÃO: Um professor quer saber a altura média dos acadêmicos do</p><p>terceiro semestre do curso de Segurança do Trabalho da Uniasselvi.</p><p>POPULAÇÃO: Todos os acadêmicos do terceiro semestre do curso de</p><p>Segurança do Trabalho da Uniasselvi.</p><p>b) SITUAÇÃO: Analisar os batimentos cardíacos de homens fumantes na faixa</p><p>dos 35 a 40 anos, residentes em Indaial – Santa Catarina, quando expostos a</p><p>atividades físicas.</p><p>POPULAÇÃO: Todos os homens fumantes na faixa dos 35 a 40 anos, residentes</p><p>em Indaial – Santa Catarina.</p><p>c) SITUAÇÃO: O Conselho Federal de Segurança do Trabalho está realizando um</p><p>censo e quer saber qual é a área de intervenção dos profissionais habilitados</p><p>em Segurança do Trabalho.</p><p>POPULAÇÃO: Todos os profissionais habilitados em Segurança</p><p>do Trabalho</p><p>no Brasil.</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>92</p><p>FIGURA 8 – POPULAÇÃO</p><p>FONTE: Disponível em: <http://bit.ly/2tmA3Bh >. Acesso em:</p><p>26 de jun. de 2017.</p><p>Em situações em que o número de indivíduos ou elementos for muito</p><p>grande, inviabilizando estudar toda a população, utilizados uma parte dela, que</p><p>denominamos amostra.</p><p>3 AMOSTRA</p><p>É um conjunto que está contido na população estatística. Em outras</p><p>palavras, é uma parcela representativa da população a ser estudada. Por este</p><p>fato, a amostra deve caracterizar a população através das mesmas configurações,</p><p>porém em menor escala de quantidade de elementos a serem estudados.</p><p>Certamente você já vivenciou uma situação semelhante a seguir:</p><p>FIGURA 9 – SITUAÇÃO DE AMOSTRA</p><p>FONTE: Disponível em: <http://www.alea.pt/html/nocoes/img/cartoon2_2_3_2.gif>. Acesso</p><p>em: 26 jun. 2017.</p><p>Desta forma, ao criar uma amostra referente a uma população, ganhamos</p><p>em tempo e redução de esforços para realizar os estudos solicitados. Veja os</p><p>exemplos:</p><p>TÓPICO 2 | VARIÁVEL, POPULAÇÃO E AMOSTRA</p><p>93</p><p>FIGURA 10 – DIFERENÇA ENTRE POPULAÇÃO E AMOSTRA</p><p>a) Foram entrevistados 400 acadêmicos de uma determinada instituição para</p><p>saber sua satisfação com os serviços oferecidos por ela.</p><p>Note que 400 acadêmicos são uma amostra do total de acadêmicos desta</p><p>instituição.</p><p>b) Uma empresa coletou 200 protetores auriculares da marca X, contidas em</p><p>diversos lotes de produtos, para testar sua qualidade.</p><p>Perceba que 200 protetores auriculares não é o conjunto de todos os protetores</p><p>auriculares de todos os lotes produzidos pela empresa. Logo é uma amostra.</p><p>FONTE: Disponível em: <http://bit.ly/2tmA3Bh>. Acesso em: 26 jun. 2017.</p><p>Desta forma, podemos destacar cinco principais razões que levam o</p><p>pesquisador a trabalhar com amostras:</p><p>a) Economia: Quanto maior a amostra, maior o custo de obtenção dos dados.</p><p>b) Tempo: Muitas vezes, o fator tempo é determinante numa pesquisa. Por</p><p>exemplo, em uma pesquisa epidemiológica ou de “boca de urna”, não haveria</p><p>tempo suficiente para se abordar toda a população, mesmo havendo recursos</p><p>financeiros disponíveis.</p><p>c) Confiabilidade dos dados: Considerando o fator “fadiga” como elemento</p><p>limitador das potencialidades humanas. No caso de uma amostra, pode-se</p><p>dedicar mais atenção aos casos individuais, evitando erros de mensuração e/</p><p>ou processamento. Atente que geralmente é mais eficiente estudar um grupo</p><p>pequeno de forma intensiva do que estudar um grande grupo de maneira</p><p>superficial – quantidade versus qualidade.</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>94</p><p>d) Operacionalidade: É mais fácil realizar operações de pequena escala. Um dos</p><p>maiores problemas nos grandes censos é controlar os pesquisadores.</p><p>e) População inexistente: Dinossauros.</p><p>Em contrapartida, existem três razões fundamentais que não permitem ao</p><p>pesquisador optar por amostragem em determinadas pesquisas:</p><p>a) População pequena: Sob o enfoque de amostragens aleatórias, se a população</p><p>for pequena, ou seja, inferior a 100 elementos, usar a técnica da amostragem</p><p>significaria inserir uma margem de erro sem reduzir significativamente o</p><p>tamanho da amostra.</p><p>Acadêmico, toda pesquisa por amostragem tem risco de erro, esse erro é</p><p>previsto e determinado. Adiante veremos como esse erro aparece no cálculo do tamanho</p><p>da amostra.</p><p>IMPORTANTE</p><p>b) Característica de fácil mensuração: Mesmo que a população não seja tão</p><p>pequena, quando a variável que se quer observar é de tão fácil mensuração que</p><p>não compensa investir num plano de amostragem.</p><p>c) Necessidade de alta precisão: Quando o parâmetro for, por exemplo, o censo</p><p>demográfico de um país, esse parâmetro precisa ser avaliado com grande</p><p>precisão pois é fundamental para o planejamento desse país. Nesse caso, se</p><p>pesquisa toda a população. No Brasil isso ocorre a cada dez anos e é desenvolvido</p><p>pelo IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, certamente você ou</p><p>seus familiares já participaram desta pesquisa.</p><p>Agora, você deve se perguntar, como uma amostra pode representar</p><p>uma informação correta de um conjunto muito grande de dados? Por que, em</p><p>uma eleição, cidades com altas populações são escolhidas apenas cerca de 2000</p><p>pessoas para darem suas intenções de voto e assim prever o candidato eleito?</p><p>Dois fatores são fundamentais para que uma amostra represente uma</p><p>população, uma delas é o tipo de amostragem utilizada e o outro corresponde</p><p>a determinados cálculos estatísticos que devemos fazer para chegarmos a estas</p><p>comprovações. Veremos isto de maneira detalhada a seguir:</p><p>TÓPICO 2 | VARIÁVEL, POPULAÇÃO E AMOSTRA</p><p>95</p><p>4 AMOSTRAGEM</p><p>Temos várias maneiras de extrair e utilizar amostras. No entanto, o método</p><p>a ser utilizado deve estar de acordo com os objetivos do estudo. Em primeiro</p><p>lugar temos de determinar a população-alvo, isto é, se é composta por todos as</p><p>pessoas que vivem numa área de influência, os trabalhadores da empresa, ou só</p><p>as mulheres, por exemplo.</p><p>Uma vez definida a população, temos que elaborar uma lista desses</p><p>elementos. Por lista entendemos a descrição de todos eles. Isso parece levantar</p><p>alguns problemas, por exemplo: como é que obtenho a lista de todos as pessoas</p><p>da área de influência de uma empresa? Ou como é que obtenho a lista de todas as</p><p>mulheres que trabalham como costureira numa determinada cidade?</p><p>Nestes casos, temos que dar resposta a esta situação mudando para</p><p>um quadro de amostragem que seja compatível com a população a estudar. A</p><p>dimensão da amostra é importante, sobretudo se pretendermos realizar inferência</p><p>estatística e probabilidades para as médias e proporções que viermos a encontrar.</p><p>Mais adiante veremos como isso é possível.</p><p>Os passos seguintes serão a extração da amostra e a sua validação, isto</p><p>é, a forma de nos assegurarmos que ela é suficientemente representativa. Neste</p><p>ponto, você irá verificar os principais métodos de amostragem, através de</p><p>exemplos práticos. Numa ideia generalista, as amostragens podem ser divididas</p><p>em probabilísticas e não probabilísticas.</p><p>4.1 AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA</p><p>Neste tipo de amostragem, todos os elementos da população, possuem</p><p>probabilidade de pertencer à amostra. Este é o conjunto de amostragem mais</p><p>adequado para um estudo correto e imparcial da maioria dos casos.</p><p>Amostragem aleatória</p><p>A amostragem aleatória ocorre quando nos métodos de escolha dos</p><p>participantes da amostra, é realizado um sorteio aleatório, como o próprio</p><p>nome sugere, em que todos os seus elementos possuem a mesma probabilidade</p><p>de pertencerem a esta amostra. Este sorteio pode ser realizado por softwares</p><p>específicos ou com tabelas de números aleatórios.</p><p>Exemplo: Imaginemos uma população com número de indivíduos igual a 30 000,</p><p>simbolicamente: N = 30 000. Desejamos coletar dela n = 3 000 elementos para uma</p><p>amostra.</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>96</p><p>Ao realizar a amostragem aleatória, os elementos possuem probabilidade 10</p><p>100</p><p>(dez a cada cem) de participarem da amostra. Os elementos da população</p><p>são numerados de 1 a 30 000 e é feito um sorteio para a definição dos participantes.</p><p>Este método mostra-se muito útil quando a população é pequena, quando</p><p>existe uma listagem disponível e, quando a dispersão geográfica não é um</p><p>problema. Porém, não é indicado quando há a necessidade de se possuir uma</p><p>lista completa de todos os elementos da população e apresenta um elevado custo</p><p>para a obtenção de informação sobre os elementos selecionados.</p><p>Amostragem sistemática</p><p>A amostragem sistemática é um processo de amostragem probabilístico</p><p>não aleatório, ou seja, é um processo em que se selecionam os sujeitos a incluir</p><p>na amostra utilizando um critério. Este tipo de amostragem é utilizado quando</p><p>os elementos da amostra se encontram ordenados. Ele consiste em selecionar um</p><p>ponto de partida aleatório e em seguida tomar cada “n” elementos de uma lista.</p><p>Exemplo: Para realizar uma amostragem sistemática em uma população de</p><p>500 profissionais habilitados em Segurança do Trabalho, inicialmente devemos</p><p>numerá-los de 1 até 500. Então</p><p>realizamos um sorteio e, suponhamos que saiu</p><p>o número 37, logo esse funcionário será o primeiro pesquisado. Após efetuar os</p><p>cálculos (que aprenderemos posteriormente) verificamos que uma boa amostra</p><p>dessa população é formada por 25 indivíduos, então fazemos a divisão de</p><p>500 por 25, o que resulta 20. Esse 20 representa o “passo” que daremos para</p><p>“escolher” outro profissional, como começamos no profissional de número 37,</p><p>vamos somando de 20 em 20 para determinar os outros pesquisados, nesse caso</p><p>seriam os funcionários de números: 57, 77, 97, ..., até determinar os 25 indivíduos</p><p>da amostra. Neste exemplo, cada profissional possui probabilidade 25</p><p>500</p><p>de</p><p>participar da amostra.</p><p>Amostragem estratificada</p><p>A amostragem estratificada é muito sugerida para pesquisas em sua área,</p><p>acadêmico de Segurança do Trabalho! Ela é indicada quando evidenciamos que</p><p>existem diferença significativas entre subgrupos da população que pretendemos</p><p>estudar. Esses subgrupos são denominados de “estratos” e devem estar</p><p>representados na amostra de forma proporcional ao seu “peso” na população.</p><p>Para realizar a amostragem estratificada devemos iniciar por identificar</p><p>esses subgrupos significativos (estratos), depois calcular o peso relativo (%) de</p><p>cada um dos estratos na população (iremos relembrar estes cálculos no tópico a</p><p>seguir) e por fim, utilizar, em cada um dos estratos, o procedimento de amostragem</p><p>aleatória para determinar os sujeitos de cada estrato que irão integrar a amostra</p><p>na mesma proporção em que estão representados na população.</p><p>TÓPICO 2 | VARIÁVEL, POPULAÇÃO E AMOSTRA</p><p>97</p><p>É importante destacar que os estratos devem ser mutuamente exclusivos, isto</p><p>é, cada elemento da população apenas deve estar incluído em um único estrato e nenhum</p><p>elemento da população pode ficar fora de um estrato.</p><p>IMPORTANTE</p><p>Utilizar este processo antes do sorteio da amostra é fundamental, ao passo</p><p>que esta amostra deve ser representativa. Seria bastante estranho, por exemplo,</p><p>numa população de 100 pessoas onde 80% são mulheres, criarmos uma amostra</p><p>com 90% de homens. Com certeza esta amostra não representaria de forma</p><p>fidedigna esta população.</p><p>Exemplo: Em uma pesquisa sobre os benefícios do hábito de atividades físicas na</p><p>vida das pessoas entre 20 e 40 anos de uma determinada indústria, precisamos</p><p>levar em consideração que existem diferenças significativas entre a população</p><p>feminina e masculina. Desta forma, é importante que a nossa amostra inclua um</p><p>número de homens e de mulheres que fosse proporcionalmente igual ao que</p><p>existe na população em estudo.</p><p>Vamos supor que esta cidade possui uma população de N = 20 000</p><p>habitantes entre 20 e 40 anos e para uma análise acerca do benefício do hábito de</p><p>atividades físicas, seja necessária uma amostra de tamanho n = 500. Além disto,</p><p>nos deparamos com 6 000 homens e 14 000 mulheres. Como deveremos escolher</p><p>de forma justa os elementos desta amostra?</p><p>Como citamos anteriormente, para este caso, deveremos ter mais</p><p>elementos do estrato de mulheres, pois são maioria nesta indústria. Para realizar</p><p>esta separação de forma “justa”, utilizaremos a proporcionalidade. Chamaremos</p><p>de E₁ o estrato dos homens e E₂ o estrato das mulheres. Assim:</p><p>• Para homens:</p><p>E</p><p>n E</p><p>N1</p><p>1 6000</p><p>20000</p><p>0 3 30�</p><p>� �</p><p>� � �, %</p><p>• Para mulheres:</p><p>E</p><p>n E</p><p>N1</p><p>2 14000</p><p>20000</p><p>0 7 70�</p><p>� �</p><p>� � �, %</p><p>Desses resultados, segue que 30% da amostra deve ser escolhida do grupo</p><p>de homens e 70% do grupo de mulheres.</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>98</p><p>Acadêmico, note que a soma das porcentagens de todos os estrados deve</p><p>sempre fechar 100%, que representa o total da população.</p><p>ATENCAO</p><p>Posteriormente, devemos calcular em termos absolutos a quantidade real</p><p>de elementos componentes da amostra:</p><p>• Homens:</p><p>n n 1 30 500 0 3 150= = =. % . ,</p><p>• Mulheres:</p><p>n n 2 70 500 0 7 350= = =. % . ,</p><p>E assim, a amostra será composta por 150 homens e 350 mulheres,</p><p>completando 150 + 350 = 500 participantes, conforme solicitado.</p><p>4.2 AMOSTRAGEM NÃO PROBABILÍSTICA</p><p>Este tipo de amostragem é utilizado quando no experimento desejado</p><p>é impossível encontrar as probabilidades para que os elementos participem</p><p>da amostra ou são escolhidos pela simplicidade de seu processo. Vejamos os</p><p>principais casos de amostragem não probabilística.</p><p>Inacessibilidade à população: utilizamos esta amostragem quando a população</p><p>não é acessível em sua totalidade. Um exemplo desta situação é quando se deseja</p><p>encontrar uma característica importante de todo o minério coletado em uma</p><p>jazida. Por simplicidade e custo, iremos coletar o minério existente na parte mais</p><p>superficial, sendo que coletá-lo em profundidades maiores seria muito demorado</p><p>e custoso.</p><p>Amostragem a esmo (ou sem norma): podemos utilizar este processo de</p><p>amostragem ao passo que a população que desejamos realizar o experimento</p><p>seja bastante homogênea. Por exemplo, se desejamos retirar uma amostra de</p><p>tamanho n = 300 de uma população de N = 30 000 bolas de voleibol de um mesmo</p><p>lote, realizar uma amostragem aleatória, seria o ideal, porém, demasiadamente</p><p>trabalhoso num contexto onde se necessita resultados rápidos. Neste caso,</p><p>realizando uma amostragem a esmo, podemos selecionar as 300 primeiras bolas,</p><p>sem talvez, perder o valor estatístico do processo.</p><p>TÓPICO 2 | VARIÁVEL, POPULAÇÃO E AMOSTRA</p><p>99</p><p>Amostragem intencional: neste caso, a pessoa responsável pela amostra escolhe</p><p>a seu critério, os elementos da amostra, por aferir os elementos que mais</p><p>representam a população. Destacamos que este processo é bastante perigoso,</p><p>por talvez permitir manipulações e parcialidade em pesquisas importantes, por</p><p>exemplo, pesquisas eleitorais.</p><p>Assim, fechamos os principais métodos de amostragem. É válido frisar</p><p>que a amostragem define a forma (método) com que a amostra é selecionada, de</p><p>modo que faça uma representação fidedigna da população, conforme exemplifica</p><p>a ilustração a seguir.</p><p>FIGURA 11 – CICLO PARA DETERMINAR UMA AMOSTRA</p><p>FONTE: Disponível em: <http://bit.ly/2tmA3Bh>. Acesso em: 26 de jun. de</p><p>2017.</p><p>5 TAMANHO DE UMA AMOSTRA</p><p>Quando iniciamos este tópico, questionamos como determinar a</p><p>quantidade exata de elementos de uma amostra para que ela realmente represente</p><p>a população estudada e que seus resultados possam gerar confiabilidade. Para</p><p>tanto, devem-se seguir as quatro etapas descritas a seguir.</p><p>1a Etapa: Cálculo da amostra ideal: n E0</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>=</p><p>2a Etapa: Cálculo da amostra mínima: n</p><p>N n</p><p>N n</p><p>�</p><p>�</p><p>. 0</p><p>0</p><p>3a Etapa: Cálculo do estimador da amostra: x n</p><p>N</p><p>=</p><p>4a Etapa: Aplicação do estimador aos estratos (cada categoria): estrato x� � �</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>100</p><p>Sendo:</p><p>N = Tamanho da população.</p><p>n = Tamanho da amostra.</p><p>no= Tamanho da amostra ideal (primeira aproximação).</p><p>E₀ = Erro amostral tolerável (admissível).</p><p>O erro amostral tolerável na forma de coeficiente. Ou seja: 7% =� 7</p><p>100</p><p>= 0,07,</p><p>ou ainda: 34% = 34</p><p>100</p><p>= 0,34</p><p>ATENCAO</p><p>Exemplo 1: Numa população de N = 30 000 elementos, qual deve ser o tamanho n</p><p>da amostra ideal para que a pesquisa tenha erro inferior a 4%?</p><p>Resolução: Como �0 4 0 04= =% ,E₀ temos:</p><p>n = 1</p><p>0,04</p><p>= 1</p><p>0,0016</p><p>=6250 2� �</p><p>Que representa a amostra ideal para o caso. Incluindo agora o peso da</p><p>população, vem:</p><p>n= 625.30000</p><p>625+30000</p><p>613≅</p><p>Note que apesar do arredondamento para inteiro do número 612,24489... ser</p><p>612, usamos 613. Para tamanho de amostra, sempre arredondamos para cima, isso é para</p><p>garantir o tamanho mínimo da amostra e ficar abaixo do erro amostral admitido.</p><p>UNI</p><p>Ou seja, a amostra para esta pesquisa, deve ter 613 elementos para ter erro</p><p>inferior a 4%.</p><p>TÓPICO 2 | VARIÁVEL, POPULAÇÃO E AMOSTRA</p><p>101</p><p>CURSO ALUNOS</p><p>Educação Física 870</p><p>Engenharia Civil 662</p><p>Direito 1 555</p><p>Finanças 245</p><p>Moda 529</p><p>Segurança do Trabalho 340</p><p>Serviço Social 2 423</p><p>TOTAL 6 624</p><p>Para determinar o número de indivíduos de cada curso para fornecer a</p><p>amostra seguimos as quatro etapas citadas anteriormente:</p><p>1ª Etapa: cálculo da amostra ideal: (lembrete: E0 = Erro amostral = 5% = 0,05)</p><p>n = 1</p><p>E</p><p>= 1</p><p>0,05</p><p>22</p><p>4.1 CÁLCULO DA PORCENTAGEM ............................................................................................ 23</p><p>RESUMO DO TÓPICO 1 .................................................................................................................... 25</p><p>AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 26</p><p>TÓPICO 2 – UNIDADES DE MEDIDAS ........................................................................................ 29</p><p>1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 29</p><p>1.1 RAZÕES E PROPORÇÕES ......................................................................................................... 29</p><p>1.1.1 Elementos de uma proporção ........................................................................................... 30</p><p>1.1.2 Propriedade fundamental das proporções ..................................................................... 31</p><p>1.1.3 Grandezas diretamente proporcionais ............................................................................ 32</p><p>1.1.4 Grandezas inversamente proporcionais .......................................................................... 34</p><p>1.2 UNIDADES DO SISTEMA INTERNACIONAL (SI) .............................................................. 36</p><p>1.3 MEDIDAS DE COMPRIMENTO ............................................................................................... 37</p><p>1.4 MEDIDAS DE CAPACIDADE E VOLUME ............................................................................. 39</p><p>1.4.1 Medida de volume .............................................................................................................. 39</p><p>1.4.2. Medidas de capacidade .................................................................................................... 40</p><p>1.5 MEDIDAS DE MASSA ................................................................................................................ 41</p><p>1.6 MEDIDAS DE SUPERFÍCIE OU ÁREA ................................................................................... 42</p><p>1.7 OUTRAS UNIDADES DE MEDIDA IMPORTANTES ........................................................... 44</p><p>RESUMO DO TÓPICO 2 .................................................................................................................... 48</p><p>AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 49</p><p>sumário</p><p>VIII</p><p>TÓPICO 3 – EQUAÇÕES E FUNÇÕES POLINOMIAIS ............................................................. 53</p><p>1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 53</p><p>2 EQUAÇÕES DO 1º GRAU .............................................................................................................. 53</p><p>2.1 RAIZ DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU ........................................................................................ 55</p><p>2.2 APLICAÇÕES ............................................................................................................................... 56</p><p>3 EQUAÇÕES DO 2º GRAU .............................................................................................................. 57</p><p>3.1 RAÍZES DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU .................................................................................... 57</p><p>3.2 APLICAÇÕES ............................................................................................................................... 61</p><p>4 FUNÇÕES .......................................................................................................................................... 62</p><p>4.1 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO ........................................................................................................ 62</p><p>4.2 DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO ........................................................................... 63</p><p>5 FUNÇÃO POLINIMIAL DE 1° GRAU ......................................................................................... 64</p><p>6 FUNÇÃO POLINOIMIAL DE 2° GRAU ...................................................................................... 67</p><p>6.1 MÁXIMOS E MÍNIMOS EM FUNÇÕES QUADRÁTICAS ................................................... 67</p><p>LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 72</p><p>RESUMO DO TÓPICO 3 .................................................................................................................... 76</p><p>AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 77</p><p>UNIDADE 2 – INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA ......................................................................... 79</p><p>TÓPICO 1 – O MÉTODO ESTATÍSTICO ....................................................................................... 81</p><p>1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 81</p><p>2 CONCEITO DE ESTATÍSTICA ..................................................................................................... 82</p><p>3 GRANDES ÁREAS DA ESTATÍSTICA ....................................................................................... 82</p><p>4 O MÉTODO ESTATÍSTICO ........................................................................................................... 83</p><p>4.1 MÉTODO EXPERIMENTAL ...................................................................................................... 84</p><p>4.2 MÉTODO ESTATÍSTICO ............................................................................................................ 84</p><p>5 FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO .......................................................................................... 84</p><p>5.1 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA ................................................................................................... 85</p><p>5.2 PLANEJAMENTO ....................................................................................................................... 85</p><p>5.3 COLETA DE DADOS .................................................................................................................. 85</p><p>5.4 CRÍTICA DOS DADOS ............................................................................................................... 86</p><p>5.5 ORGANIZAÇÃO DOS DADOS ................................................................................................ 86</p><p>5.6 ANÁLISE DOS RESULTADOS .................................................................................................. 87</p><p>RESUMO DO TÓPICO 1 .................................................................................................................... 88</p><p>AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 89</p><p>TÓPICO 2 – VARIÁVEL, POPULAÇÃO E AMOSTRA ............................................................... 91</p><p>1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 91</p><p>2 POPULAÇÃO .................................................................................................................................... 91</p><p>3 AMOSTRA ......................................................................................................................................... 92</p><p>4 AMOSTRAGEM ............................................................................................................................... 95</p><p>4.1 AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA ......................................................................................... 95</p><p>4.2 AMOSTRAGEM NÃO PROBABILÍSTICA ..............................................................................</p><p>= 1</p><p>0,05.0,05</p><p>= 1</p><p>0,0025</p><p>= 400 alunos0</p><p>0</p><p>2 2� � � �</p><p>2ª Etapa: cálculo da amostra mínima: (Lembrete: N = população, ou seja, soma de</p><p>todos os alunos dos cursos = 6 624.)</p><p>n=</p><p>N.n</p><p>N+n</p><p>= 6624.400</p><p>6624+400</p><p>= 2649600</p><p>7024</p><p>=377,221 378 alunos0</p><p>0</p><p>≅</p><p>3ª Etapa: cálculo do estimador da amostra:</p><p>x n</p><p>N</p><p>x</p><p>x</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>378</p><p>6624</p><p>0 0571,</p><p>4ª Etapa: aplicação do estimador aos estratos: estrato x� � �</p><p>Exemplo 2: Planeja-se um levantamento por amostragem para avaliar diversas</p><p>características da população de estudantes da instituição X. Estas características</p><p>(parâmetros) são especialmente: idade média, renda per capita, local de origem</p><p>etc. Utilizando a tabela a seguir, com dados referentes a 2017, qual deve ser o</p><p>tamanho mínimo de uma amostra aleatória simples, por curso (estratos), tal que</p><p>possamos admitir que o risco de estarmos errados não ultrapassem 5%?</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>102</p><p>Nesta etapa, deve-se multiplicar a quantidade de alunos de cada curso pelo</p><p>valor do estimador.</p><p>IMPORTANTE</p><p>Educação Física: 870 0 0571 49 677 50� , ,� �. alunos</p><p>Engenharia Civil: 662 0 0571 37 8002 38� , ,� �. alunos</p><p>Direito: 1555 0 0571 88 7905 89� , ,� �. alunos</p><p>Finanças: 245 0 0571 13 9895 14� , ,� �. alunos</p><p>Moda: 529 0 0571 30 2059 31� , ,� �. alunos</p><p>Segurança do Trabalho: 340 0 0571 19 414 20� , ,� �. alunos</p><p>Serviço Social: 2423 0 0571 138 3533 139� , ,� �. alunos</p><p>TOTAL da amostra = 381 alunos.</p><p>Os valores de cada turma foram arredondados em função de ser uma variável</p><p>discreta – pessoas – além disso, para garantir o erro mínimo temos que arredondar sempre</p><p>para cima, não importando os dígitos decimais.</p><p>IMPORTANTE</p><p>CURSO ALUNOS AMOSTRA</p><p>Educação Física 870 50</p><p>Engenharia Civil 662 38</p><p>Direito 1 555 89</p><p>Finanças 245 14</p><p>Moda 529 31</p><p>Segurança do Trabalho 340 20</p><p>Serviço Social 2 423 139</p><p>TOTAL 6 624 381</p><p>TÓPICO 2 | VARIÁVEL, POPULAÇÃO E AMOSTRA</p><p>103</p><p>6 VARIÁVEIS ESTATÍSTICAS</p><p>Variável estatística é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno,</p><p>quando são feitas sucessivas medidas. São as características que podem ser</p><p>observadas (ou medidas) em cada elemento da população.</p><p>Por exemplo, um estudo de análise biomecânica do movimento humano</p><p>durante a realização de atividades laborais com levantamento de peso será</p><p>realizado por um pesquisador, e o problema básico que se coloca nesta pesquisa</p><p>é a definição das variáveis que participarão do estudo. Nesse caso podemos</p><p>definir as variáveis como: idade, altura, peso, cor dos cabelos, renda familiar,</p><p>sexo etc. Notem a importância de definir bem as variáveis, pois é claro que a “cor</p><p>do cabelo” não tem importância para a pesquisa em questão.</p><p>Na maior parte das vezes, a escolha do método de análise ou descrição dos</p><p>dados depende do tipo de variável (dados) considerada. Alguns conjuntos de dados</p><p>(como alturas, pesos) consistem em números, enquanto outros são não numéricos</p><p>(como sexo, cor do cabelo). Para distinguir esses dois tipos de dados aplicam-se,</p><p>respectivamente, as expressões dados quantitativos e dados qualitativos.</p><p>Vamos entender melhor estes dois conceitos.</p><p>6.1 VARIÁVEIS QUALITATIVAS</p><p>Como o próprio nome sugere, estes dados representam objetos de estudo</p><p>em que a informação se refere a alguma qualidade, categoria, não se associando</p><p>aos números, mas sim à classificação. Por exemplo, o sexo de um indivíduo, que</p><p>pode ser classificado como masculino ou feminino.</p><p>Os dados qualitativos ainda podem ser subdivididos em:</p><p>Nominais: Em que as opções de caracterização do objeto de estudo não possuem</p><p>ordem definida para que possam ser entendidas. Exemplo: Sexo (masculino,</p><p>feminino), raça, cor de pele (parda, branca, negra), evolução (morte ou</p><p>sobrevivência), cor dos olhos (castanho, azul, verde) etc.</p><p>Ordinais: Nas quais as opções de caracterização do objeto de estudo necessitam</p><p>de uma ordem para classificação. Exemplo: Escolaridade (analfabeto, educação</p><p>infantil, ensino fundamental, ensino médio, universitário), classificação em um</p><p>campeonato (1o lugar, 2o lugar, 3o lugar), desempenho em uma prova (baixo,</p><p>moderado e alto) etc.</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>104</p><p>6.2 VARIÁVEIS QUANTITATIVAS</p><p>As variáveis quantitativas representam características que são identificadas</p><p>através de valores numéricos, ou seja, são aqueles que resultam de uma contagem</p><p>ou de uma mensuração e podem nos revelar qual é a intensidade da situação. Os</p><p>dados quantitativos, podem ser subdivididos em:</p><p>Discretos: As variáveis quantitativas discretas são aquelas resultantes de contagens</p><p>e constituem um conjunto enumerável de valores, ou seja, é uma variável que só</p><p>pode assumir valores pertencentes ao conjunto dos números naturais (resultado de</p><p>uma contagem). Exemplo: O número de filhos (0,1,2,3,...), o número de alunos na</p><p>turma (1,2,3,...), o número de alunos de uma escola (500, 800, 110,...), produção de</p><p>peças, faltas dos funcionários, livros de uma biblioteca etc.</p><p>Contínuos: As variáveis quantitativas contínuas resultam de uma mensuração</p><p>e podem assumir qualquer valor (inteiro, fração etc). Exemplo: o tempo, a</p><p>temperatura, a estatura ou a massa de um indivíduo etc.</p><p>Na ilustração a seguir, apresentamos um resumo sobre os tipos de</p><p>variáveis.</p><p>FIGURA 12 – TIPOS DE VARIÁVEIS</p><p>FONTE: Os autores</p><p>Acadêmico, observe ainda que uma mesma população pode originar</p><p>vários tipos de dados:</p><p>Variável</p><p>Estatística</p><p>Qualitativa</p><p>Quantitativa</p><p>Nominal</p><p>Ordinal</p><p>Discreta</p><p>Contínua</p><p>TÓPICO 2 | VARIÁVEL, POPULAÇÃO E AMOSTRA</p><p>105</p><p>QUADRO 11 – COMPARAÇÕES ENTRE OS TIPOS DE VARIÁVEIS</p><p>Variável/</p><p>população</p><p>Variável</p><p>quantitativa</p><p>contínua</p><p>Variável</p><p>quantitativa</p><p>discreta</p><p>Variável</p><p>qualitativa</p><p>nominal</p><p>Variável</p><p>qualitativa</p><p>ordinal</p><p>Estudantes Idades, peso,</p><p>alturas.</p><p>Número de irmão,</p><p>número de faltas.</p><p>Sexo, cor</p><p>da pele,</p><p>descendência.</p><p>Grau de</p><p>escolaridade,</p><p>desempenho</p><p>escolar.</p><p>Automóveis</p><p>Velocidade,</p><p>massa,</p><p>aceleração.</p><p>Número de</p><p>defeitos, ano</p><p>de fabricação,</p><p>unidades</p><p>fabricadas.</p><p>Cores, marca,</p><p>modelo.</p><p>Grau de</p><p>luxuosidade,</p><p>grau de</p><p>satisfação do</p><p>cliente.</p><p>Eletrodomésticos Preço (R$),</p><p>peso, potência.</p><p>Número</p><p>de ofertas,</p><p>quantidades</p><p>vendidas,</p><p>Cor, caro ou</p><p>barato, marca.</p><p>Qualidade</p><p>do produto,</p><p>classificação no</p><p>selo de economia</p><p>Procel.</p><p>FONTE: Os autores</p><p>Agora que já estudamos a estrutura do método de pesquisa estatístico,</p><p>conhecemos os tipos de variáveis possíveis, chegou o momento de aprender a</p><p>organizar esses dados de tal forma que facilite sua leitura e descrição.</p><p>106</p><p>RESUMO DO TÓPICO 2</p><p>Neste tópico, você estudou que:</p><p>• Em uma pesquisa, quando se decide analisar uma amostra, devemos recorrer</p><p>aos métodos de amostragem.</p><p>• Os métodos de amostragem consistem no processo de seleção e escolha</p><p>dos elementos de uma população para formar uma amostra que represente</p><p>fidedignamente a população.</p><p>• A amostragem probabilística pode ser: amostragem aleatória, sistemática ou</p><p>estratificada.</p><p>• A amostragem não probabilística pode ser: por inacessibilidade a população, a</p><p>esmo (ou sem norma) ou intencional.</p><p>• Para obter uma amostra ideal, devemos seguir quatro etapas:</p><p>1a Etapa: Cálculo da amostra ideal: n</p><p>E</p><p>0</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>�</p><p>� �</p><p>2a Etapa: Cálculo da amostra mínima: n</p><p>N n</p><p>N n</p><p>�</p><p>�</p><p>. 0</p><p>0</p><p>3a Etapa: Cálculo do estimador da amostra: x n</p><p>N</p><p>=</p><p>4a Etapa: Aplicação do estimador aos estratos (cada categoria): estrato x� � �</p><p>• As variáveis estatísticas podem ser classificadas em qualitativas e quantitativas.</p><p>As qualitativas ainda podem ser nominais ou ordinais e as quantitativas podem</p><p>ser discretas ou contínuas.</p><p>107</p><p>AUTOATIVIDADE</p><p>Prezado acadêmico, chegou a hora de você testar seus conhecimentos</p><p>sobre variável, população e amostra. Lápis e borracha em mãos e boa atividade!</p><p>1 Após conhecer o conceito de população em estatística, para</p><p>cada experimento a seguir, determine a população de interesse.</p><p>a) ( ) Perfil dos consumidores de uma rede de supermercados.</p><p>b) ( ) Comportamento de crianças de pré-escolas diante de situações de stress.</p><p>c) ( ) Avaliação de um serviço de atendimento ao consumidor por indivíduos</p><p>das classes média/alta.</p><p>d) ( ) Efeito do assédio moral em trabalhadores de órgãos públicos.</p><p>2 Para cada população do exercício 1, defina uma variável que</p><p>possibilita o estudo de cada caso, classificando-a conforme</p><p>visto neste capítulo.</p><p>3 A definição de população é parte fundamental do processo</p><p>estatístico. A partir daí podemos realizar o planejamento de</p><p>como iremos trabalhar para acessar o objetivo dos experimentos</p><p>escolhidos. Sobre o experimento a respeito da “incidência de</p><p>doenças respiratórias em trabalhadores rurais do corte da cana”, a população</p><p>de interesse é:</p><p>a) ( ) O conjunto de doenças respiratórias.</p><p>b) ( ) O conjunto de trabalhadores rurais.</p><p>c) ( ) O conjunto das incidências de doenças.</p><p>d) ( ) O conjunto de canaviais da localidade escolhida.</p><p>4 Após um estudo realizado em uma universidade foram levantadas</p><p>algumas informações para um experimento acerca das suas</p><p>características. As variáveis envolvidas foram as seguintes:</p><p>• Idade.</p><p>• Ano de escolaridade.</p><p>• Sexo.</p><p>• Notas.</p><p>• Tempo gasto em estudo.</p><p>• Distância da universidade à escola.</p><p>• Local de estudo.</p><p>• Número de irmãos.</p><p>108</p><p>Baseado nestas informações, analise as sentenças a seguir e assinale a opção</p><p>correta:</p><p>a) ( ) Das variáveis em questão, temos 5 quantitativas, sendo que 3 são</p><p>contínuas.</p><p>b) ( ) Das variáveis em questão, temos 5 qualitativas, sendo que 2 são nominais.</p><p>c) ( ) Das variáveis em questão, temos 4 quantitativas, sendo que 2 são</p><p>discretas.</p><p>d) ( ) Das variáveis em questão, temos 4 qualitativas, sendo que 2 ordinais.</p><p>5 Uma das principais preocupações ao realizar um estudo</p><p>estatístico é o de classificar corretamente as variáveis utilizadas.</p><p>Uma escolha errada pode prejudicar o andamento deste estudo.</p><p>Baseado nisto, verifique qual é a classificação da variável ligada</p><p>ao seguinte objeto de estudo: “Tempo de recuperação de um atleta olímpico”.</p><p>a) ( ) Quantitativa discreta.</p><p>b) ( ) Quantitativa contínua.</p><p>c) ( ) Qualitativa nominal.</p><p>d) ( ) Quantitativa ordinal.</p><p>109</p><p>TÓPICO 3</p><p>SÉRIES ESTATÍSTICAS</p><p>UNIDADE 2</p><p>1 INTRODUÇÃO</p><p>Uma das fases do método estatístico refere-se ao agrupamento de dados,</p><p>que trata de como organizar os dados de uma certa pesquisa e como realizar</p><p>algumas considerações a partir desta organização. A organização dos dados é</p><p>uma das formas mais primitivas de se ter um resultado em relação a uma pesquisa.</p><p>Todo fenômeno apresenta variações que devem ser analisadas sob diversos</p><p>aspectos, de modo que possamos compreendê-lo e agir sobre ele. Desta forma,</p><p>este tópico irá tratar das formas de agrupamento de dados, também conhecido</p><p>como séries estatísticas.</p><p>2 AGRUPAMENTO DE DADOS</p><p>Caro acadêmico, você já deve ter observado que existem formas diferentes</p><p>de apresentar os dados de uma pesquisa. Em alguns momentos, os dados podem</p><p>aparecer como uma simples “lista”, ou estarem em uma tabela que apresenta,</p><p>ou não, uma distribuição de frequência. A seguir, apresentaremos cada uma das</p><p>possíveis formas de se apresentar os dados coletados em uma pesquisa.</p><p>Fique atento à nomenclatura de cada forma de apresentar os dados, isto</p><p>é, aprenda a relacionar o nome da organização dos dados com sua forma visual. Isto é</p><p>fundamental para que você acompanhe a próxima unidade deste material, visto que iremos</p><p>realizar inferências (cálculos) nestes dados e para cada forma de apresentação o cálculo a ser</p><p>realizado é diferente.</p><p>ATENCAO</p><p>110</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>2.1 DADOS BRUTOS</p><p>Já vimos que toda pesquisa envolve coleta de dados, seja na forma quantitativa</p><p>ou qualitativa, que devem ser organizadas, analisadas, criando conclusões sobre uma</p><p>determinada pesquisa. Quando estes dados são coletados sem que haja qualquer tipo</p><p>de organização, dizemos que se apresentam na forma bruta.</p><p>A forma bruta de dados é o primeiro contato que um pesquisador se</p><p>depara após a união de todos os dados registrados. É sobre esses dados que serão</p><p>feitas possíveis conclusões e verificações.</p><p>Exemplo: Ao realizar uma pesquisa em junho de 2017, com uma turma de 50</p><p>acadêmicos do Curso de Segurança do Trabalho da Faculdade X, sobre o tempo</p><p>(em minutos) que levaram para concluir a avaliação final da disciplina de</p><p>Matemática. Os dados a seguir demonstram o resultado bruto obtido:</p><p>61 65 43 53 55 51 58 55 59 56</p><p>52 53 62 49 68 51 50 67 62 64</p><p>53 56 48 50 61 44 64 53 54 55</p><p>48 54 57 41 54 71 57 53 46 48</p><p>55 46 57 54 48 63 49 55 52 51</p><p>Como podemos notar, fazer qualquer tipo de observação em dados</p><p>apresentados desta forma é algo demorado e cansativo. Por isso, é importante</p><p>que os dados apresentados em uma pesquisa sejam organizados, pois, existem</p><p>análises estatísticas que só poderão ser realizadas se os dados estiverem realmente</p><p>organizados, dando uma clareza visual para os resultados obtidos.</p><p>2.2. ROL</p><p>A organização de dados em ROL é a simples tarefa de colocar os dados</p><p>quantitativos em ordem crescente ou decrescente, podendo ser por meio de uma</p><p>tabela ou simplesmente um ao lado do outro. Esta simples forma de ordenação</p><p>dos dados já aumenta a capacidade de informação do comportamento dos dados.</p><p>Exemplo: Utilizando os dados anteriores e ordenando-os em ROL, temos:</p><p>41 43 44 46 46 48 48 48 48 49</p><p>49 50 50 51 51 51 52 52 53 53</p><p>53 53 53 54 54 54 54 55 55 55</p><p>55 55 56 56 57 57 57 58 59 61</p><p>61 62 62 63 64 64 65 67 68 71</p><p>TÓPICO 3 | SÉRIES ESTATÍSTICAS</p><p>111</p><p>Para organizar os dados em uma planilha eletrônica, deve-se digitar os dados</p><p>apenas em uma coluna. Selecionar os dados e clicar em DADOS – CLASSIFICAR – CRESCENTE</p><p>– OK. Ou, simplesmente no ícone crescente, que aparece na barra de menus.</p><p>UNI</p><p>Note que neste exemplo, os dados foram alinhados de forma crescente,</p><p>poderiam também estar na forma decrescente, foram ainda organizados um</p><p>lado do outro, mas também poderíamos tê-los apresentados um abaixo do outro,</p><p>criando colunas de organização.</p><p>Quando a quantidade de dados coletados não for muito grande a</p><p>organização em ROL é bastante útil. Por outro lado, para dados em quantidades</p><p>grandes, esta forma de organizar pode ser compreendida com ineficaz, pois analisar</p><p>uma grande quantidade de dados, em ordem numa tabela, acaba confundindo</p><p>em muitos casos a veracidade dos dados apresentados. Veremos nos próximos</p><p>itens como proceder com este volume de dados, através de agrupamentos</p><p>simples ou por agrupamentos por faixa de valor. Estes agrupamentos também</p><p>são conhecidos como distribuição de frequência.</p><p>2.3 AGRUPAMENTO SIMPLES OU DISTRIBUIÇÃO DE</p><p>FREQUÊNCIA SEM INTERVALOS DE CLASSE</p><p>A distribuição de frequência sem intervalos de classe ou agrupamento</p><p>simples nada mais é do que juntar os dados que possuem valores iguais e</p><p>transformar este aglomerado em uma tabela organizada por colunas (mais</p><p>comum) ou linhas. Este agrupamento deve ser realizado após os dados estarem</p><p>organizados em ROL, pois facilita a contagem.</p><p>Exemplo: Um disjuntor é um dispositivo eletromecânico, que funciona como um</p><p>interruptor automático, destinado a proteger uma determinada instalação elétrica</p><p>contra possíveis danos causados por curto-circuito e sobrecargas elétricas. A sua</p><p>função básica é a de detectar picos de corrente que ultrapassem o adequado para</p><p>o circuito, interrompendo-a imediatamente antes que os seus efeitos térmicos</p><p>e mecânicos possam causar danos à instalação elétrica protegida (PORTAL</p><p>ELETRICISTA, 2015).</p><p>Um levantamento feito em 100 residências, apresentado no quadro a</p><p>seguir, retrata quantos disjuntores cada casa possuía em sua distribuição elétrica.</p><p>112</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>2 3 5 7 5 4 3 4 7 6</p><p>3 6 5 6 6 8 4 5 9 8</p><p>4 5 6 7 8 4 7 7 8 6</p><p>5 6 7 8 9 4 5 9 4 8</p><p>3 5 6 4 6 8 6 7 5 7</p><p>8 7 5 4 8 6 7 5 4 3</p><p>9 7 6 5 8 6 5 4 3 4</p><p>7 8 6 7 9 7 8 4 5 9</p><p>4 3 8 5 7 9 5 6 9 5</p><p>6 5 3 5 7 9 5 7 8 4</p><p>Organize os dados em uma tabela com o agrupamento de dados simples.</p><p>RESPOSTA:</p><p>Primeiramente anotamos os valores diferentes encontrados na tabela</p><p>acima, colocando-os em uma coluna em ordem. Posteriormente anotamos, em</p><p>uma segunda coluna, o número de aparições nos dados para cada valor diferente</p><p>antes registrado.</p><p>Disjuntores por</p><p>residência</p><p>Quantidade de casas</p><p>registradas</p><p>2 1</p><p>3 8</p><p>4 15</p><p>5 20</p><p>6 16</p><p>7 17</p><p>8 14</p><p>9 9</p><p>Total 100</p><p>Note como os dados, antes em uma tabela desorganizada e extensa, foram</p><p>reduzidos e organizados de forma que nenhum dado foi perdido ou ocultado. É</p><p>de grande importância que verifiquemos se nada foi esquecido para não haver</p><p>divergência nos dados da tabela. Para este caso a verificação é bem simples,</p><p>podemos notar que a tabela de dados inicial possui 10 linhas por 10 colunas,</p><p>TÓPICO 3 | SÉRIES ESTATÍSTICAS</p><p>113</p><p>totalizando 100 amostras. Logo, somando a coluna das aparições da tabela com os</p><p>agrupamentos, ela deve conter os 100 valores, mostrando que não foi esquecido</p><p>de contabilizar nenhum valor.</p><p>Observe que usamos a mesma relação de dados que estamos usando desde o</p><p>início deste tópico. Iniciamos com os dados brutos, fizemos o ROL e agora a distribuição de</p><p>frequência sem intervalo de classes.</p><p>ATENCAO</p><p>Podemos resumir que a distribuição de frequência sem intervalo de classe</p><p>é a simples condensação dos dados conforme as repetições de seus valores.</p><p>Porém, note que para esta situação razoável, esta distribuição de frequência</p><p>é inconveniente, já que exige muito espaço. Assim, podemos realizar um</p><p>agrupamento com intervalo de classes.</p><p>2.4 AGRUPAMENTO POR FAIXA DE VALOR OU DISTRIBUIÇÃO</p><p>DE FREQUÊNCIA COM INTERVALOS DE CLASSE</p><p>Há casos em que o número de dados diferentes apresentado em uma</p><p>pesquisa é muito grande, não havendo a possibilidade de agrupar muitos</p><p>valores e deixando a tabela muito grande em quantidade de linhas, dificultando</p><p>a visualização das informações. Para estes casos, utilizaremos a distribuição de</p><p>frequência com intervalos de classe.</p><p>O agrupamento em classes são intervalos de valores que podem representar</p><p>um grupo de valores em uma única linha, com a proposta de diminuir a quantidade</p><p>de linhas de uma tabela. Para tal, devemos realizar algumas observações e seguir</p><p>alguns passos, os quais veremos agora.</p><p>Método prático para construção de uma distribuição de frequência com intervalos</p><p>de classe:</p><p>1º Passo - Organize os dados brutos em um ROL.</p><p>2º Passo - Calcule a amplitude total da amostra (AA).</p><p>Amplitude total da amostra: é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo</p><p>da amostra (ROL). Em que AA = Xmax - Xmin.</p><p>3º Passo - Calcule o número de classes através da "Regra de Sturges".</p><p>Classe: são os intervalos de variação dos dados. É simbolizada por i e o número</p><p>total de classes simbolizada por k.</p><p>114</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>Regra de Sturges: i = 1 + 3,3. log n</p><p>Em que: i = o número de classes da distribuição de frequência;</p><p>Log n = logaritmo do número de elementos envolvidos.</p><p>Acadêmico, você precisará de uma calculadora científica para determinar o</p><p>logaritmo de um número. Na calculadora, deves primeiro descobrir o log n, depois multiplicar</p><p>por 3,3 e por último, somar 1.</p><p>IMPORTANTE</p><p>Caro acadêmico, é importante que você tenha em mente que qualquer</p><p>regra para determinação do número de classes da tabela não nos leva a uma</p><p>decisão final. O número de classes, na realidade vai depender de um julgamento</p><p>pessoal, que deve estar ligado à natureza dos dados, por exemplo, quando se está</p><p>trabalhando com notas de alunos (de zero a dez), a regra perde o seu verdadeiro</p><p>objetivo, mesmo porque normalmente se trabalha com amostras superiores a cem</p><p>elementos. Neste caso, aplicando a regra de Sturges para uma amostra de 1200</p><p>elementos encontrar-se-ia 11 classes, o que se torna inviável.</p><p>4º Passo - Decidido o número de classes, calcule então a amplitude do intervalo</p><p>de classe (h).</p><p>A amplitude do intervalo de classe é sempre o número arredondado para cima,</p><p>resultante da divisão entre a amplitude total da amostra (AA) e o número de</p><p>classes (i) encontrada no cálculo da Regra de Sturges.</p><p>h AA</p><p>i</p><p>></p><p>O símbolo > significa maior que, ou seja, a desigualdade h</p><p>AA</p><p>i</p><p>> . Significa que</p><p>h é maior que a razão entre AA (amplitude total da amostra) e i (número de classes).</p><p>ATENCAO</p><p>5º Passo: Montar a tabela com as classes. Colocamos inicialmente o menor valor</p><p>da amostra na parte inferior da primeira classe e na parte superior ela aumentada</p><p>pela amplitude da classe e seguir este raciocínio para as demais classes.</p><p>TÓPICO 3 | SÉRIES ESTATÍSTICAS</p><p>115</p><p>6º Passo: Contar as aparições. Finalizaremos a tabela com a distribuição da</p><p>frequência absoluta para cada classe. Basta contar o número de aparições em cada</p><p>intervalo, não se esquecendo que o intervalo à direita é aberto, ou seja, os valores</p><p>que apresentarem este valor dever pertencer à próxima classe.</p><p>Exemplo: Vamos seguir estes passos para a construção de uma tabela de</p><p>distribuição de frequência de classes com os seguintes dados.</p><p>41 43 44 46 46 48 48 48 48 49</p><p>49 50 50 51 51 51 52 52 53 53</p><p>53 53 53 54 54 54 54 55 55 55</p><p>55 55 56 56 57 57 57 58 59 61</p><p>61 62 62 63 64 64 65 67 68 71</p><p>1º Passo - Organize os dados brutos em um ROL.</p><p>Já temos essa etapa pronta:</p><p>41 43 44 46 46 48 48 48 48 49</p><p>49 50 50 51 51 51 52 52 53 53</p><p>53 53 53 54 54 54 54 55 55 55</p><p>55 55 56 56 57 57 57 58 59 61</p><p>61 62 62 63 64 64 65 67 68 71</p><p>2º Passo - Calcule a Amplitude total da amostra (AA).</p><p>Vamos lembrar que a amplitude total da amostra é a diferença entre o valor</p><p>máximo e o valor mínimo da amostra (ROL).</p><p>AA = Xmax - Xmin.</p><p>Para este exemplo, o valor máximo é 71 e o valor mínimo é 41. Logo:</p><p>AA = 71 – 41</p><p>AA = 30</p><p>Registre isso! Amplitude total é 30!</p><p>3º Passo - Calcule o número de classes através da "Regra de Sturges".</p><p>Regra de Sturges: i = 1 + 3,3.log n</p><p>Para o nosso exemplo, i é o número de classes da distribuição de frequência que</p><p>queremos descobrir e n é o número de dados da nossa amostra, ou seja, n = 50.</p><p>116</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>Portanto:</p><p>i = 1 + 3,3 ∙ log 50</p><p>Em uma calculadora científica, você consegue determinar que log 50 = 1,6990</p><p>(valor arredondado).</p><p>i = 1 + 3,3 ∙ 1,6990</p><p>i = 1 + 5,6067</p><p>i = 6,6067</p><p>Registre mais esta informação!</p><p>4º Passo – Decidido o número de classes, calcule então a amplitude do intervalo</p><p>de classe (h).</p><p>h AA</p><p>i</p><p>></p><p>Substituindo os valores já determinados nesta fórmula, temos:</p><p>�></p><p>30</p><p>6 6067,</p><p>�h ></p><p>�> 4 5408,h ></p><p>h = 5s</p><p>Lembre-se de que em uma</p><p>expressão numérica, devemos</p><p>resolver primeiramente a</p><p>multiplicação e depois a</p><p>adição.</p><p>A amplitude do intervalo deve ser arredondada (sempre para cima), levando-se</p><p>em consideração o número de casas após a vírgula dos dados brutos.</p><p>IMPORTANTE</p><p>5º Passo - Montar a tabela com as classes. Colocamos inicialmente e menor valor</p><p>da amostra na parte inferior da primeira classe e na parte superior ela aumentada</p><p>pela amplitude da classe e seguir este raciocínio para as demais classes.</p><p>TÓPICO 3 | SÉRIES ESTATÍSTICAS</p><p>117</p><p>Classes</p><p>41├ 46</p><p>46├ 51</p><p>51├ 56</p><p>56├ 61</p><p>6 ├ 66</p><p>66├ 71</p><p>71├ 76</p><p>Total</p><p>Acadêmico, preste atenção nas observações a seguir:</p><p>• Este símbolo├ indica um intervalo, note que ele é fechado à esquerda, ou seja,</p><p>inclui o número e aberto à direita, ou seja, exclui o número.</p><p>• O intervalo representado por 41├ 46, compreende os tempos de 41 minutos até</p><p>antes de chegar aos 46 minutos, ou seja, quem fez 46 minutos não irá contar</p><p>neste intervalo e sim no próximo.</p><p>• Na terceira linha, em que temos o intervalo 51├ 56, há 19 acadêmicos que</p><p>realizaram a prova final em 51, 52, 53 e 54 minutos.</p><p>• Se todos os dados fossem contemplados até o intervalo 66├ 71, não haveria</p><p>necessidade de ter mais uma classe.</p><p>6º Passo – Contar as aparições. Finalizaremos a tabela com a distribuição da</p><p>frequência absoluta para cada classe. Basta contar o número de aparições em cada</p><p>intervalo, não se esquecendo que o intervalo à direita é aberto, ou seja, os valores</p><p>que apresentarem este valor dever pertencer à próxima classe.</p><p>Classes Quantidade</p><p>41├ 46 3</p><p>46├ 51 10</p><p>51├ 56 19</p><p>56├ 61 7</p><p>6├ 66 8</p><p>66├ 71 2</p><p>71├ 76 1</p><p>Total 50</p><p>118</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>E assim, finalizamos o agrupamento de dados em uma distribuição de</p><p>frequência com intervalos de classe.</p><p>Desta tabela, ainda</p><p>podemos destacar alguns termos:</p><p>• Amplitude de cada classe: note que cada classe segue um padrão de valor</p><p>acrescentado para cada linha. No caso do nosso exemplo podemos ver que a</p><p>amplitude é de 5 minutos por classe. Exemplo: 46 – 5 = 41.</p><p>• Amplitude da tabela: se refere à diferença entre o menor e maior valor</p><p>apresentado nas classes que estão dispostas no primeiro valor da primeira classe</p><p>e no último valor da sétima classe. Exemplo: 76 – 41 = 35, ou seja, a amplitude</p><p>da tabela é de 35 minutos.</p><p>• Limites de cada classe: o limite de cada classe se refere aos extremos inferior e</p><p>superior de cada linha. Para a classe 41├ 46, o limite inferior (Li) é 41 e o limite</p><p>superior (Ls) é 46. O símbolo├ indica que a esquerda o intervalo é fechado e a</p><p>esquerda é aberto. Isso significa que o valor de 46 não pertence a essa classe e</p><p>sim à segunda classe 46├ 51.</p><p>• Ponto médio da classe: é o ponto que divide o intervalo de classe em</p><p>duas partes iguais. No exemplo anterior, em 41├ 46 o ponto médio xi=</p><p>41 46</p><p>2</p><p>43 5�</p><p>� , , ou seja, xi=</p><p>L Ls1</p><p>2</p><p>+</p><p>.</p><p>3 SÉRIE ESTATÍSTICA</p><p>Séries estatísticas são tabelas que apresentam o agrupamento de um</p><p>conjunto de dados estatísticos em função de uma época, local ou espécie. Assim,</p><p>podemos dizer que uma série estatística é um quadro que resume um conjunto de</p><p>dados dispostos segundo linhas e colunas de maneira sistemática. É também, um</p><p>meio eficiente de apresentar os resultados estatísticos obtidos por proporcionar</p><p>uma maior clareza, objetividade e compreensão do conjunto, oferecendo</p><p>vantagens para a análise matemática das variáveis relacionadas.</p><p>Essa representação não deve ser realizada conforme o entendimento de</p><p>cada um. Você já se perguntou por que uma tabela tem título, ou já observou que</p><p>ela não é fechada nas laterais?</p><p>Nós respondemos, porque no Brasil a apresentação tabular (através de</p><p>tabelas) é regida pelas normas de apresentação tabelar do IBGE (1993) / NBR</p><p>14724 da ABNT. Nesta norma estão descritos alguns elementos principais para a</p><p>elaboração de uma série estatística. São eles:</p><p>TÓPICO 3 | SÉRIES ESTATÍSTICAS</p><p>119</p><p>a) Título: conjunto de informações sobre a tabela (O quê? Quando? Onde?)</p><p>localizada no topo da tabela.</p><p>b) Corpo: conjunto de linhas e colunas que contém os valores das variáveis em</p><p>estudo.</p><p>c) Casa ou célula: espaço destinado a uma só informação, encontro de uma linha</p><p>com uma coluna.</p><p>d) Cabeçalho: parte superior da tabela (1ª linha) que especifica o conteúdo das</p><p>colunas.</p><p>e) Linha: retas imaginárias no sentido horizontal que auxiliam na leitura das</p><p>informações.</p><p>f) Coluna indicadora: é a primeira coluna que indica o conteúdo das linhas.</p><p>g) Coluna numérica: parte da tabela que contém os dados apresentados.</p><p>h) Elementos complementares: colocados no espaço abaixo da tabela (rodapé):</p><p>• Fonte: é a indicação da entidade responsável pelo fornecimento dos dados</p><p>ou sua elaboração.</p><p>• Notas: são informações de natureza geral identificadas por algarismos</p><p>romanos.</p><p>• Chamadas: são informações de natureza específica identificadas por</p><p>algarismos arábicos, entre parênteses, escritos no corpo da tabela à</p><p>esquerda das casas e à direita da coluna indicadora.</p><p>Exemplo: Observe a tabela a seguir:</p><p>País Número Total de Medalhas</p><p>Estados Unidos 2296</p><p>União Soviética 1010</p><p>Alemanha 851</p><p>Grã-Bretanha 715</p><p>França 632</p><p>TABELA 1 – PAÍSES RECORDISTAS DE MEDALHAS DOS JOGOS</p><p>OLÍMPICOS DE VERÃO (DE 1896 A 2008)</p><p>FONTE: Adaptado de <http://veja.abril.com.br/esporte/brasil-e-37o-do-</p><p>quadro-de-medalhas-geral-das-olimpiadas-eua-lideram/>. Acesso em: 16 jul.</p><p>2016.</p><p>1. (chamada)</p><p>I. (nota)</p><p>Título. Obrigatoriamente deve responder</p><p>às perguntas: O quê? Onde? Quando?</p><p>Cabeçalho</p><p>El</p><p>em</p><p>en</p><p>to</p><p>s</p><p>co</p><p>m</p><p>pl</p><p>em</p><p>en</p><p>ta</p><p>re</p><p>s</p><p>Corpo da</p><p>tabela/série</p><p>120</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>É importante, acadêmico, que você perceba que nesta tabela podemos</p><p>observar todos os elementos essenciais e complementares apresentados até o</p><p>momento.</p><p>O título da tabela é “Países recordistas de medalhas dos Jogos Olímpicos</p><p>de Verão (de 1896 a 2008)”. Pelo título é possível sabermos que as informações</p><p>contidas na série se referem aos países com o maior número de medalhas nos Jogos</p><p>Olímpicos de Verão no período de 1896 a 2008. No cabeçalho, observamos que a</p><p>tabela está dividida em país e número total de medalhas. Na coluna indicadora,</p><p>temos os países recordistas de medalhas nos Jogos Olímpicos de Verão. Na coluna</p><p>numérica, a quantidade de medalhas conquistadas por cada país. Abaixo da</p><p>tabela temos o elemento complementar (fonte) indicando a entidade responsável</p><p>pelo fornecimento dos dados.</p><p>Além destes elementos essenciais, devemos seguir algumas regras para</p><p>apresentação da tabela/série:</p><p>• Toda tabela/série deve ser clara, simples e completa, dispensando a consulta ao</p><p>texto.</p><p>• As tabelas/série não são fechadas nas laterais.</p><p>• As tabelas/série são fechadas em cima e embaixo com traços horizontais mais</p><p>grossos.</p><p>• Uma casa nunca deve ficar em branco.</p><p>• Para englobar várias especificações usamos “outros”.</p><p>Algumas normas para o preenchimento das células:</p><p>• Usar um traço horizontal (—) quando o valor é nulo quanto à natureza das</p><p>coisas ou resultado do inquérito.</p><p>• Três pontos (...) quando não temos dados.</p><p>• Um ponto de interrogação (?) quando temos dúvida quanto à exatidão do valor.</p><p>• Zero (0; 0,0; 0,00) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela</p><p>grandeza utilizada.</p><p>Por fim, para a data de referência dos dados, devemos:</p><p>• Indicar sempre a data do fenômeno estudado.</p><p>• Não pontuar fim de data.</p><p>• Os meses são observados pelas três primeiras letras, exceto maio que se escreve</p><p>por extenso.</p><p>• Série de anos consecutivos. Exemplo: 1890-990 (quando diferem os séculos),</p><p>1987-92 (quando for o mesmo século).</p><p>• Série de anos não consecutivos. Exemplo: 1989-1998.</p><p>TÓPICO 3 | SÉRIES ESTATÍSTICAS</p><p>121</p><p>Todas estas normas têm por objetivo padronizar o tratamento dos dados</p><p>estatísticos, permitindo uma maior clareza, objetividade e melhor visão do conjunto.</p><p>IMPORTANTE</p><p>Toda série é uma tabela, mas nem toda tabela é uma série, pois exige</p><p>homogeneidade, classificação, critério de modalidade: espécie, local ou época.</p><p>As séries estatísticas representam um conjunto de informações ou observações</p><p>através do tempo ou dentro de um determinado espaço, ou ainda, em relação a</p><p>um fenômeno.</p><p>Série é um conjunto de números associados a fenômenos dispostos em</p><p>correspondência ao critério de modalidade, ou seja, apresenta a distribuição de</p><p>um conjunto de dados estatísticos em função da época, local ou espécie. Até o</p><p>momento estudamos os elementos que constituem uma série estatística. A partir</p><p>de agora, veremos que uma série estatística pode ser classificada segundo o tipo</p><p>de informação que representa.</p><p>3.1 TIPOS DE SÉRIES</p><p>Como vimos, séries estatísticas consistem na apresentação dos dados em</p><p>forma de tabelas com o objetivo de sintetizar as informações obtidas em uma</p><p>pesquisa, tornando-as mais compreensíveis.</p><p>As séries estatísticas levam em consideração um fenômeno observado,</p><p>podendo se referir a uma época, a um espaço geográfico, a uma categoria ou, ainda,</p><p>podemos ter uma junção de dois tipos de séries. Portanto, na sequência, veremos as</p><p>classificações das séries estatísticas e quais elementos que são comuns a elas.</p><p>3.1.1 Séries históricas, cronológicas ou temporais</p><p>São as séries que descrevem uma determinada informação da variável em</p><p>determinado local, apresentados em intervalos de tempo, ou seja, o tempo varia,</p><p>porém, o lugar e o fato permanecem os mesmos.</p><p>Exemplo:</p><p>122</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>TABELA 2 – SEDENTARISMO POR GÊNERO NO BRASIL A CADA 100</p><p>HABITANTES – 1991/2000</p><p>Anos de</p><p>referência Homens Mulheres</p><p>1991 62,6 69,8</p><p>1998 60,4 67,2</p><p>1999 55,6 62,3</p><p>2000 54,8 57,6</p><p>FONTE: Dados fictícios.</p><p>Note, acadêmico, que o fenômeno (sedentarismo por gênero no Brasil a</p><p>cada 100 habitantes) e o local (Brasil) são elementos fixos. Enquanto que a época</p><p>(tempo de 1991 a 2000) é um elemento variável, ou seja, a cada ano observa-se</p><p>dados</p><p>diferentes para o fato analisado.</p><p>3.1.2 Séries geográficas, espaciais, territoriais ou de</p><p>localização</p><p>São as séries em que os valores da variável são descritos em determinado</p><p>instante conforme a região. Desta forma, há a variação do local, porém a época e</p><p>a espécie permanecem fixas.</p><p>Exemplo 1: Um levantamento que representa uma série geográfica foi realizado</p><p>pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) para o Ministério do</p><p>Esporte e o apresentamos a seguir:</p><p>TABELA 3 – ÍNDICE DE POPULAÇÃO SEDENTÁRIA POR PAÍS – 2013</p><p>País Sedentários (em %)</p><p>Itália 48</p><p>Espanha 35</p><p>França 22</p><p>Inglaterra 17</p><p>Portugal 53</p><p>FONTE: Adaptado de: <http://www.esporte.gov.br/diesporte/2.html>.</p><p>Acesso em: 19 jul. 2016.</p><p>Observe que o fenômeno (índice de população sedentária por país) e a</p><p>época (2013) são elementos fixos. Enquanto que o local (países) é o elemento</p><p>variável, ou seja, para cada país citado têm-se dados diferentes para o fato</p><p>analisado.</p><p>TÓPICO 3 | SÉRIES ESTATÍSTICAS</p><p>123</p><p>Exemplo 2: Na sequência, apresentamos outro exemplo sobre séries geográficas:</p><p>TABELA 4 – INDICADORES DE GASTO NACIONAL EM SAÚDE DE ALGUNS PAÍSES – 2007</p><p>País</p><p>Gasto total em</p><p>saúde como</p><p>proporção do</p><p>PIB (%)</p><p>Gasto geral do</p><p>governo como</p><p>proporção do</p><p>gasto total em</p><p>saúde (%)</p><p>Gasto total em</p><p>saúde per capita</p><p>(US$)</p><p>Gasto geral do</p><p>governo per</p><p>capita (US$)</p><p>Argentina 10 50,8 1.322 671</p><p>Austrália 8,9 67,5 3.357 2.266</p><p>Brasil 8,4 41,6 837 348</p><p>Canadá 10,1 70 3.900 2.730</p><p>Chile 6,2 58,7 863 507</p><p>Dinamarca 9,8 84,5 3.513 2.968</p><p>Espanha 8,5 71,8 2.671 1.917</p><p>Reino</p><p>Unido 8,4 81,7 2.992 2.446</p><p>FONTE: Ministério da Saúde</p><p>Neste exemplo, o fenômeno são os indicadores de gasto nacional em saúde</p><p>de alguns países no ano de 2007, que são elementos fixos. O elemento variável é</p><p>o local onde estes indicadores foram analisados.</p><p>3.1.3 Séries específicas ou categóricas</p><p>Os valores da variável são escritos em um determinado tempo e local,</p><p>classificados conforme categorias. Assim, varia a espécie, porém a época e o local</p><p>permanecem fixos.</p><p>Exemplo:</p><p>TABELA 5 – CONDIÇÃO FÍSICA DE 8.902 PESSOAS NO BRASIL EM 2013</p><p>Condição Física Número de</p><p>Pessoas</p><p>Sedentários 4.005,9</p><p>Praticantes de atividade</p><p>física 2.537,07</p><p>Praticante de esportes 2.278,912</p><p>FONTE: Dados fictícios.</p><p>124</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>Acadêmico, perceba que a condição física de 8.902 pessoas é o elemento</p><p>variável desta série, uma vez que a condição física de uma pessoa, nesta pesquisa,</p><p>foi classificada em sedentária, praticante de atividade física ou praticante de</p><p>esportes. Por outro lado, a época (2013) e o local (Brasil) são os elementos fixos.</p><p>3.1.4 Séries conjugadas</p><p>São tabelas de dupla entrada, também denominadas de mistas.</p><p>Constituem-se da conjugação de uma ou mais séries.</p><p>Exemplo: Podemos ter a conjugação de uma série geográfica com uma série</p><p>histórica.</p><p>TABELA 6 – TERMINAIS TELEFÔNICOS EM SERVIÇO NO BRASIL</p><p>Regiões 1991 1992</p><p>Norte 342.938 375.658</p><p>Sudeste 6.234.501 6.729.467</p><p>Sul 1.497.315 1.608.989</p><p>FONTE: Dados fictícios.</p><p>Exemplo: Podemos ter a conjugação de uma série geográfica com uma série</p><p>específica.</p><p>TABELA 7 – MATRÍCULAS NA INSTITUIÇÃO X – 2015</p><p>Curso Blumenau Indaial</p><p>Administração 32 45</p><p>Direito 28 51</p><p>Educação Física 24 41</p><p>Engenharia Civil 23 35</p><p>FONTE: Dados fictícios.</p><p>Acadêmico, visto os tipos de séries estatísticas, no próximo tópico iremos</p><p>estudar a representação gráfica destas séries.</p><p>125</p><p>RESUMO DO TÓPICO 3</p><p>Neste tópico você estudou que:</p><p>• Podemos organizar os dados brutos de três formas:</p><p>- ROL.</p><p>- Distribuição de frequência sem intervalo de classe.</p><p>- Distribuição de frequência com intervalo de classe.</p><p>• Tabela é um conjunto de dados estatísticos associados a um fenômeno,</p><p>dispostos numa ordem de classificação, numa organização racional e prática</p><p>de apresentação.</p><p>• Série é uma forma de organização mais completa e requer certas regras de</p><p>construção.</p><p>• Toda série é uma tabela, mas nem toda tabela é uma série, pois esta exige</p><p>homogeneidade, classificação, critério de modalidade segundo: espécie, local</p><p>ou época.</p><p>126</p><p>Prezado acadêmico, seguem alguns exercícios que se destinam à</p><p>averiguação da aprendizagem deste tópico de estudos. Bom trabalho!</p><p>1 A lombada eletrônica, nome popular do Redutor Eletrônico</p><p>de Velocidade – REV, é um equipamento de segurança viária,</p><p>reconhecido pelos especialistas como uma ideia inovadora que</p><p>salva vidas. Equipamento ostensivo usado para garantir que</p><p>os veículos trafeguem dentro do limite de velocidade regulamento para o</p><p>trecho da via onde está instalado. Aplicado também para locais onde há</p><p>variância da velocidade regulamentada, em pontos críticos (como curvas</p><p>perigosas, locais com pouca visibilidade) e onde haja grande fluxo de</p><p>veículos e pedestres.</p><p>FONTE: Disponível em: <http://www.perkons.com/pt/produtos-e-sistemas-detalhes/14/</p><p>lombada-eletronica>. Acesso em: 31 jul. 2017.</p><p>A passagem de 11 veículos por uma lombada eletrônica, em uma rodovia,</p><p>registrou as velocidades abaixo (em km/h).</p><p>AUTOATIVIDADE</p><p>53 45 46 49 46 77 54 48 41 46 56</p><p>43 52 55 38 32 56 34 61 45 37 41</p><p>Organize os dados acima em Rol.</p><p>2 Uma professora decidiu fazer uma pesquisa com duas turmas</p><p>da escola na qual trabalhava. Como ela era professora de</p><p>Português, entrevistou 40 alunos e perguntou a eles quantos</p><p>livros tinham lido no último ano. Os dados a seguir mostram o</p><p>resultado bruto da pesquisa:</p><p>4 2 1 0 3 1 2 0 2 1</p><p>0 2 1 1 0 4 3 2 3 5</p><p>6 4 2 1 3 4 0 3 5 2</p><p>3 1 3 0 4 5 3 2 1 1</p><p>Com os dados acima, construa uma tabela com uma distribuição simples e atribuindo</p><p>as colunas da frequência absoluta acumulada, relativa e a relativa acumulada.</p><p>127</p><p>3 O volume das chuvas é determinado por um aparelho chamado</p><p>pluviômetro que capta a chuva que cai numa região de 1 m².</p><p>Imagine um paralelepípedo de base medindo 1 m², a água que</p><p>cai sobre está área possuirá uma certa altura dependendo da</p><p>quantidade de chuva, onde, a altura que encherá o paralelepípedo é medida</p><p>em milímetros. Com isso, quando informado que choveu 30 mm, estão</p><p>informando que em uma área de 1 m² a altura que a lâmina de água apresentou</p><p>foi de 30 mm. O registro a seguir mostra as chuvas dos últimos 30 dias.</p><p>63 47 55 6 60 48 33 38 67 41</p><p>15 21 23 12 12 14 20 23 22 15</p><p>31 14 39 11 51 50 60 13 24 77</p><p>Organize os dados em uma tabela com 6 intervalos de classes e atribua às</p><p>colunas de frequência: absoluta acumulada, relativa e relativa acumulada.</p><p>4 Classifique as seguintes séries estatísticas:</p><p>ANOS TONELADAS</p><p>1991</p><p>1992</p><p>1993</p><p>30.145</p><p>32.478</p><p>40.522</p><p>FONTE: Dados fictícios.</p><p>TABELA 8 – PRODUÇÃO DE BORRACHA NATURAL 1991-93</p><p>a)</p><p>REGIÕES QUANTIDADE</p><p>Norte</p><p>Nordeste</p><p>Sudeste</p><p>Sul</p><p>Centro-Oeste</p><p>210.326</p><p>621.030</p><p>1.116.301</p><p>518.784</p><p>175.963</p><p>b)</p><p>TABELA 9 – VACINAÇÃO CONTRA A POLIOMELITE – 2013</p><p>FONTE: Dados fictícios.</p><p>128</p><p>129</p><p>TÓPICO 4</p><p>GRÁFICOS ESTATÍSTICOS</p><p>UNIDADE 2</p><p>1 INTRODUÇÃO</p><p>Nos tópicos anteriores, trabalhamos com diversas tabelas que têm por</p><p>objetivo fornecer informações rápidas e seguras a respeito das variáveis em</p><p>estudo, para que assim, se cumpra com a função da estatística que é analisar</p><p>dados, compreendendo o comportamento deles.</p><p>Em uma pesquisa estatística, além do tamanho da amostra e da</p><p>preocupação com os valores apresentados, visto que são provenientes de diversas</p><p>fontes e, por isso, suscetíveis a diferentes interpretações mediante a forma como</p><p>são apresentados, também é preciso ter atenção como os apresentamos.</p><p>Por este motivo, existem critérios científicos, que vão além de calcular o</p><p>número de classes e a amplitude do intervalo, que são utilizados para melhor</p><p>organizar os dados coletados através da pesquisa estatística e reproduzir este</p><p>conjunto de informações de uma forma que apresentem significados claros e de</p><p>fácil compreensão. Desta forma, neste tópico, iremos estudar quais os elementos</p><p>necessários para construir um gráfico que representem os dados de forma fidedigna.</p><p>2 GRÁFICO ESTATÍSTICO</p><p>O gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos dados, cujo objetivo</p><p>é o de produzir,</p><p>no investigador ou no público em geral, uma impressão mais</p><p>rápida e viva do fenômeno em estudo, já que os gráficos falam mais rápido a</p><p>compreensão que as séries.</p><p>A representação gráfica de um fenômeno deve obedecer a certos requisitos</p><p>fundamentais:</p><p>a) Simplicidade: o gráfico deve ser destituído de detalhes com importância</p><p>secundária, assim como de traços desnecessários que possam levar o observador</p><p>a uma análise morosa ou com erros.</p><p>b) Clareza: o gráfico deve possibilitar uma correta interpretação dos valores</p><p>representativos do fenômeno em estudo.</p><p>c) Veracidade: o gráfico deve expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo.</p><p>Assim como para as tabelas, os gráficos possuem as seguintes normas de</p><p>construção:</p><p>130</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>• Título e fonte: os mesmos da série.</p><p>• Notas e chamadas: os mesmos da série.</p><p>• Legendas: todas iguais colocadas abaixo ou ao lado direito do gráfico.</p><p>• Leitura da esquerda para a direita.</p><p>• São incluídas no gráfico apenas as coordenadas indispensáveis à leitura.</p><p>• As linhas dos gráficos devem ser destacadas das demais, usando corres ou</p><p>espessuras diferentes.</p><p>Acadêmico, observe os elementos descritos nos gráficos que</p><p>apresentaremos a seguir, pois agora que aprendemos as normas de construção</p><p>dos gráficos estatísticos, iremos dedicar nossos estudos aos tipos de gráficos mais</p><p>utilizados para representar dados.</p><p>2.1 GRÁFICO EM LINHA</p><p>O gráfico de linhas é uma representação de uma função no sistema de</p><p>coordenadas cartesianas, em que o valor à esquerda da série representa os valores</p><p>de X, e os da direita, os valores de Y.</p><p>EXEMPLO:</p><p>TABELA 11 – PRODUÇÃO DE VEÍCULOS DE AUTOPROPULSÃO</p><p>BRASIL – 2004 a 2009</p><p>ANOS QUANTIDADE</p><p>(1.000 unidades)</p><p>2004</p><p>2005</p><p>2006</p><p>2007</p><p>2008</p><p>2009</p><p>865</p><p>967</p><p>1.056</p><p>920</p><p>1.069</p><p>513</p><p>FONTE: Dados fictícios.</p><p>Tomando os anos como os valores das abscissas e as quantidades como</p><p>valores das ordenadas. Temos que, um ano dado (x) e a respectiva quantidade</p><p>(y) formam um par ordenado (x, y), que pode ser representado num sistema</p><p>cartesiano. Em seguida, determinados os pontos da série no sistema ortogonal</p><p>cartesiano, os ligamos com segmentos de reta que representarão a oscilação dos</p><p>valores ao longo do tempo.</p><p>TÓPICO 4 | GRÁFICOS ESTATÍSTICOS</p><p>131</p><p>GRÁFICO 1 – PRODUÇÃO DE VEÍCULOS DE AUTOPROPULSÃO</p><p>FONTE: Dados fictícios.</p><p>2.2 GRÁFICO EM COLUNAS OU EM BARRAS</p><p>Nestes tipos de gráficos, teremos retângulos dispostos verticalmente</p><p>(colunas) e horizontalmente (linhas), em que sua área e comprimento são</p><p>proporcionais aos valores indicados na série correspondente.</p><p>EXEMPLOS:</p><p>a) Gráfico em colunas:</p><p>TABELA 12 – CONSTRUÇÃO DE AERONAVES BRASIL – 2004 a 2009</p><p>ANOS QUANTIDADE</p><p>(1.000 unidades)</p><p>2004</p><p>2005</p><p>2006</p><p>2007</p><p>2008</p><p>2009</p><p>184</p><p>171</p><p>167</p><p>203</p><p>199</p><p>197</p><p>FONTE: Dados fictícios.</p><p>132</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>GRÁFICO 2 – CONSTRUÇÃO DE AERONAVES BRASIL – 2004 a 2009</p><p>FONTE: Dados fictícios.</p><p>b) Gráfico em barras:</p><p>TABELA 13 – PRODUÇÃO DE SOJA BRASIL – 2008</p><p>ESTADOS QUANTIDADE (t)</p><p>Santa Catarina</p><p>Minas Gerais</p><p>Rio Grande do Sul</p><p>Goiás</p><p>São Paulo</p><p>13.973</p><p>13.389</p><p>6.892</p><p>6.130</p><p>4.179</p><p>FONTE: Dados fictícios.</p><p>GRÁFICO 3 – PRODUÇÃO DE SOJA BRASIL - 2008</p><p>FONTE: Dados fictícios.</p><p>TÓPICO 4 | GRÁFICOS ESTATÍSTICOS</p><p>133</p><p>Prezado acadêmico, note alguns pontos importantes acerca dos gráficos de</p><p>colunas e barras:</p><p>• Sempre que os dizeres a serem inscritos são extensos, devemos dar preferência ao gráfico</p><p>de barras (séries geográficas e específicas). Porém, se ainda assim preferirmos o gráfico em</p><p>colunas, os dizeres deverão ser dispostos de baixo para cima, nunca ao contrário.</p><p>• A ordem a ser observada é a cronológica, se a série for histórica, e a decrescente, se for</p><p>geográfica ou categórica.</p><p>• A distância entre as colunas (ou barras), por questões estéticas, não deverá ser menor que a</p><p>metade, nem maior que os dois terços da largura (ou da altura) dos retângulos.</p><p>NOTA</p><p>2.3 GRÁFICO EM COLUNAS OU BARRAS MÚLTIPLAS</p><p>Para este caso, muitas vezes, quando queremos analisar ao mesmo tempo</p><p>duas situações, comparando-as, podemos utilizar colunas ou barras múltiplas.</p><p>Nele teremos uma visão comparativa mediante o fato de os valores a serem</p><p>comparados estarem lado a lado.</p><p>EXEMPLO:</p><p>TABELA 14 – BALANÇA COMERCIAL BRASIL – 2004 – 2008</p><p>ESPECIFICAÇÃO</p><p>VALOR (US$ 1.000.000)</p><p>2004 2005 2006 2007 2008</p><p>Exportação</p><p>Importação</p><p>27.005</p><p>13.916</p><p>25.639</p><p>13.153</p><p>22.348</p><p>14.044</p><p>26.224</p><p>15.052</p><p>33.789</p><p>14.605</p><p>FONTE: Dados fictícios.</p><p>GRÁFICO 4 – BALANÇA COMERCIAL BRASIL – 2004 – 2008</p><p>FONTE: Dados fictícios.</p><p>134</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>2.4 GRÁFICO EM SETORES: (PIZZA)</p><p>A base para este tipo de gráfico é um círculo, o qual será dividido em</p><p>partes que vão da circunferência ao centro (setores) em que cada área encontrada</p><p>será proporcional à quantidade prevista na série. Para a determinação desta área</p><p>do setor circular, necessitaremos conhecer o ângulo correspondente.</p><p>Este processo de determinação do ângulo correspondente é facilmente</p><p>obtido mediante cálculos de proporcionalidade e/ou porcentagem.</p><p>EXEMPLO:</p><p>TABELA 14 – REBANHOS BRASILEIROS 2008</p><p>ESPÉCIE QUANTIDADE</p><p>(Milhões de cabeças)</p><p>Bovinos</p><p>Suínos</p><p>Ovinos</p><p>Caprinos</p><p>140</p><p>32</p><p>20</p><p>11</p><p>Total 203</p><p>FONTE: IBGE</p><p>Para a determinação de qual ângulo terá cada setor circular do gráfico iremos</p><p>proceder pelo método a seguir. Método este que busca simplificar o processo.</p><p>Bovinos</p><p>Suínos</p><p>Ov</p><p>: , , %</p><p>: , , %</p><p>140</p><p>230</p><p>0 6086 60 86</p><p>32</p><p>203</p><p>0 1576 15 76</p><p>= =</p><p>= =</p><p>iinos</p><p>Caprinos</p><p>: , , %</p><p>: , , %</p><p>20</p><p>203</p><p>0 0985 9 85</p><p>11</p><p>203</p><p>0 0541 5 41</p><p>= =</p><p>= =</p><p>Este cálculo nos forneceu a participação de cada rebanho com relação ao</p><p>total apresentado. Basta agora tomar cada percentual encontrado e multiplicar</p><p>por 360° (angulação máxima do círculo), para encontrar o ângulo correspondente</p><p>a cada setor (que representará cada elemento da série).</p><p>TÓPICO 4 | GRÁFICOS ESTATÍSTICOS</p><p>135</p><p>Bovinos</p><p>Suínos</p><p>Ovinos</p><p>: , »</p><p>: , »</p><p>:</p><p>360 0 6086 219</p><p>360 0 1576 57</p><p>36</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>00 0 0985 35</p><p>360 0 0541 19</p><p>�� �</p><p>�� �</p><p>, »</p><p>: , »Caprinos</p><p>O próximo passo é a construção dos setores na parte interna do círculo,</p><p>em que cada um deles representará a proporção indicada pela série:</p><p>GRÁFICO 4 – REBANHO BRASILEIROS - 2008</p><p>FONTE: IBGE.</p><p>Prezado acadêmico, note alguns pontos importantes acerca dos gráficos de</p><p>setores:</p><p>• O gráfico em setores só deve ser empregado quando há, no máximo, sete dados.</p><p>• Se a série já apresenta os dados percentuais, obtemos os respectivos valores em graus</p><p>multiplicando o valor percentual por 3,6.</p><p>NOTA</p><p>2.5 GRÁFICO POLAR</p><p>Este tipo de gráfico é o que melhor se encaixa para representar série</p><p>cíclicas de tempo. Ou seja, em casos em que periodicamente se repete alguma</p><p>caracterização regular. Por exemplo, sabe-se que anualmente os períodos mais</p><p>chuvosos são na primavera, e isto ocorre periodicamente, ou ainda, sabe-se que o</p><p>fluxo de carros em direção ao litoral é maior aos sábados pela manhã.</p><p>Para realizar este gráfico, faremos o uso das coordenadas polares.</p><p>Caprinos</p><p>Ovinos</p><p>Suínos</p><p>Bovinos</p><p>136</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>EXEMPLO:</p><p>TABELA 15 – PRECIPITAÇÃO PLUVIOMÉTRICA MUNICÍPIO DE INDAIAL –</p><p>2011</p><p>MESES</p><p>PRECIPITAÇÃO</p><p>(mm)</p><p>Janeiro</p><p>Fevereiro</p><p>Março</p><p>Abril</p><p>Maio</p><p>Junho</p><p>Julho</p><p>Agosto</p><p>Setembro</p><p>Outubro</p><p>Novembro</p><p>Dezembro</p><p>174,8</p><p>36,9</p><p>83,9</p><p>462,7</p><p>418,1</p><p>418,4</p><p>538,7</p><p>323,8</p><p>39,7</p><p>66,1</p><p>83,3</p><p>201,2</p><p>FONTE: Dados fictícios.</p><p>Os passos a serem seguidos são:</p><p>• Traçamos uma circunferência de raio arbitrário (damos preferência ao raio de</p><p>comprimento proporcional à média dos valores da série. Neste caso, x = 124,5).</p><p>• Construímos uma semirreta partindo de 0 (polo) e com uma escala (eixo polar).</p><p>• Dividimos a circunferência em tantos arcos quantas forem as unidades</p><p>temporais.</p><p>• Traçamos, a partir do centro 0 (polo), semirretas passando pelos pontos da</p><p>divisão.</p><p>• Marcamos os valores correspondentes da variável, iniciando pela semirreta</p><p>horizontal (eixo polar).</p><p>• Ligamos os pontos encontrados com segmentos de reta.</p><p>• Se pretendemos fechar a poligonal obtida, empregamos uma linha</p><p>interrompida.</p><p>Assim, para nosso exemplo, temos:</p><p>TÓPICO 4 | GRÁFICOS ESTATÍSTICOS</p><p>137</p><p>GRÁFICO 5 – PRECIPITAÇÃO PLUVIOMÉTRICA MUNICÍPIO DE INDAIAL – 2011</p><p>FONTE: Dados fictícios.</p><p>2.6 CARTOGRAMA</p><p>Quando queremos representar os dados estatísticos de uma série</p><p>interligando-os com áreas políticas ou geográficas, este tipo de representação</p><p>gráfica é a mais indicada. Iremos subdividi-la em duas aplicações:</p><p>a) Representar dados absolutos (população) – neste caso lançamos mão, em geral,</p><p>dos pontos, em número proporcional aos dados.</p><p>b) Representar dados relativos (densidade) – neste caso lançamos mão, em geral</p><p>de hachuras.</p><p>EXEMPLO:</p><p>138</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>GRÁFICO 6 – RELAÇOES DE EMPREGO E VALOR</p><p>FONTE: IBGE Censo agropecuário 1996</p><p>2.7 PICTOGRAMA</p><p>Os pictogramas são um dos tipos de gráficos mais acessíveis ao público em</p><p>geral. Eles são simples e sua representação é bastante sugestiva. Esta representação</p><p>se baseia em indicar a quantidade solicitada na série, a partir de uma quantidade</p><p>específica de figuras que representam o assunto colocado.</p><p>EXEMPLO:</p><p>TABELA 15 – POPULAÇÃO DO BRASIL 1980 – 2010</p><p>ANOS HABITANTES</p><p>(Milhares)</p><p>1980</p><p>1990</p><p>2000</p><p>2010</p><p>151.944</p><p>170.191</p><p>193.139</p><p>209.071</p><p>FONTE: Dados fictícios.</p><p>TÓPICO 4 | GRÁFICOS ESTATÍSTICOS</p><p>139</p><p>GRÁFICO 7 – POPULAÇÃO DO BRASIL</p><p>POPULAÇÃO DO BRASIL</p><p>1980 – 2010</p><p>1980</p><p>1990</p><p>2010</p><p>Cada símbolo representa 10.000.000 de habitantes</p><p>2000</p><p>FONTE: Os autores</p><p>Verifique que os pictogramas nada mais são do que gráficos de barras, porém as</p><p>figuras utilizadas os tornam mais atrativos, para assim, buscar a atenção do leitor.</p><p>NOTA</p><p>Acadêmico, vimos nesta unidade que gráficos são instrumentos que</p><p>possibilitam transmitir o significado das séries estatísticas de uma forma mais</p><p>eficiente e clara. Lembre-se de que para criar um gráfico é preciso conhecer o tipo</p><p>de informação que se deseja transmitir, pois cada tipo de gráfico é adequado para</p><p>representar um determinado fenômeno.</p><p>140</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>LEITURA COMPLEMENTAR</p><p>A IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA</p><p>Jornais, televisão, rádio, revistas e outros meios de comunicação nos</p><p>bombardeiam, diariamente, com notícias baseadas em estatísticas, como se</p><p>fossem verdades absolutas. Nessa hora, provavelmente, você sente a importância</p><p>de ser capaz de avaliar corretamente o que lhe dizem.</p><p>Será que os números apresentados resultam de uma análise estatística</p><p>cuidadosa? O perigo está no fato de que, se não consegue distinguir as afirmações</p><p>falsas das verdadeiras, então você está vulnerável à manipulação por outras</p><p>pessoas, cujas conclusões podem conduzir você para decidir contra os interesses</p><p>seus e, depois, arrepender-se.</p><p>Por estas razões, conhecer estatística é um grande passo no sentido de</p><p>você tomar controle da sua vida (embora não seja, obviamente, a única maneira</p><p>necessária para esta finalidade).</p><p>Observe os seguintes exemplos de afirmações recentemente publicadas</p><p>em dez meios de comunicação (não estou dizendo que cada uma delas seja</p><p>verdadeira).</p><p>• Sua expectativa é de que a inflação feche o ano entre 6% e 7%. (Folha de São</p><p>Paulo, Dinheiro, 16 de maio de 2005).</p><p>• Atualmente, a taxa de pacientes com câncer de pulmão que não apresentam</p><p>reincidência depois de cinco anos de tratamento é de 17% – um avanço de 70%</p><p>em relação à década de 70. (Revista Veja, edição 1905, 18 de maio de 2005).</p><p>• As projeções de mercado para o IPCA de 2005 subiram de 6,30% para 6,39% em</p><p>pesquisa semanal feita pelo Banco Central e divulgada hoje. (O Estado de São</p><p>Paulo, 16 de maio de 2005).</p><p>• Um estudo da Corporate Executive Board mostrou que a produtividade de um</p><p>funcionário brilhante chega a ser até 12 vezes superior à do colega mediano.</p><p>(Revista Exame, edição 841, 27 de abril de 2005).</p><p>• De acordo com a EMBRATUR (Empresa Brasileira de Turismo), a companhia</p><p>aérea trouxe 1.473.183 dos 6.138.000 passageiros que entraram no país no ano</p><p>passado, o equivalente a 24% desses passageiros. (Revista Aeromagazine,</p><p>Notícias, 16 de maio de 2005).</p><p>• IBGE: Emprego industrial cai 0,2% em março (JB Online, 16 de maio de 2005).</p><p>TÓPICO 4 | GRÁFICOS ESTATÍSTICOS</p><p>141</p><p>• Os investidores que colocam todo seu dinheiro em uma única ação estão</p><p>elevando em mais de 50% a chance de queda do poder de compra de seu</p><p>investimento em um período de 20 anos, aponta o estudo. (JB Online, 17 de</p><p>abril de 2005).</p><p>• Nordestinos já são 52,6% dos migrantes (Jornal O Globo, 16 de maio de 2005).</p><p>• Comércio varejista cresce 1,75% em volume de vendas e 2,44% em receita</p><p>nominal (IBGE, 12 de maio de 2005).</p><p>• Se a vítima não fosse o prefeito de Santo André, o impacto não seria o mesmo</p><p>e o caso teria sido tratado como mera estatística. (Márcio Coimbra em: <http://</p><p>www.ambito-juridico.com.br/aj/cron0237.htm>.</p><p>Todas essas notícias são, na sua essência, estatística. Elas parecem familiares,</p><p>embora os exemplos sejam de áreas bastante distintas: economia, medicina, gestão,</p><p>turismo, social, investimentos, comércio e até política. Em resumo, os números</p><p>(também expressos por meio de tabelas e gráficos) e a interpretação deles, surgem</p><p>nos discursos de praticamente todo aspecto da vida contemporânea.</p><p>Desse modo, as estatísticas são frequentemente, apresentadas como um</p><p>testemunho de credibilidade a um argumento ou a uma recomendação, fato</p><p>que você pode comprovar ouvindo o veiculado nos meios de comunicação: o</p><p>primeiro pensamento é acreditar na notícia como se fosse verdade absoluta.</p><p>Recorde-se, então, do ex-primeiro-ministro britânico Benjamin Disraeli (1804-</p><p>1881), quando afirmou que “Há três espécies de mentiras: mentiras, mentiras</p><p>deslavadas e estatísticas”.</p><p>No entanto, estatística é método, ciência e arte. É método quando, na Física,</p><p>na Biologia, na Medicina ou na Pedagogia, aplica-se a populações específicas, isto</p><p>é, serve a uma ciência particular, da qual se torna instrumento. É ciência quando,</p><p>graças às suas teorias, estuda grandes conjuntos, independentemente da natureza</p><p>destes, sendo autônoma e universal. Finalmente, é arte na construção de modelos</p><p>para representar a realidade.</p><p>Nem tudo está perdido, porque a estatística pode ajudar você a reagir de</p><p>modo inteligente às informações que lê ou escuta e, neste sentido, torna-se um</p><p>dos mais importantes assuntos que provavelmente estudou.</p><p>O presente artigo tem o objetivo de motivar você a ser mais um dos</p><p>consumidores inteligentes de estatísticas e, para ser um deles, o primeiro passo é</p><p>refletir e começar a questionar aquelas que encontrarem. Por esta razão, convido</p><p>você a reformar os seus hábitos estatísticos a partir de agora.</p><p>142</p><p>UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA</p><p>Simplesmente, não mais aceite números, tabelas, gráficos e conclusões.</p><p>Ao invés disso, comece a pensar nas fontes de informação e, mais importante, nos</p><p>procedimentos usados para gerar essa informação. Defenda-se contra afirmações</p><p>falsas, embrulhadas como se fossem estatísticas. Aprenda a reconhecer se uma</p><p>evidência estatística apoia, realmente, uma conclusão apresentada.</p><p>A estatística está toda ela em volta de você, algumas vezes usada de modo</p><p>adequado, outras vezes não. Como o objetivo da estatística é auxiliar a sua tomada</p><p>de decisões em situações de incerteza, distinguir as boas das más estatísticas é,</p><p>mais do que nunca, um dever, uma obrigação.</p><p>FONTE: Disponível em: <https://www.portaleducacao.com.br/conteudo/artigos/educacao/a-</p><p>importancia-da-estatistica/30442>. Acesso em: 28 jun. 2017.</p><p>143</p><p>RESUMO DO TÓPICO 4</p><p>Neste tópico você estudou que:</p><p>• O gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos dados cujo objetivo é o</p><p>de produzir uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo.</p><p>• Os principais gráficos estatísticos são: gráfico de linhas, colunas, barras ou</p><p>setores.</p><p>144</p><p>Prezado acadêmico, chegou o momento de praticar seus conhecimentos</p><p>adquiridos neste tópico.</p><p>1 O gráfico a seguir mostra a quantidade de aparelhos de ar</p><p>condicionado vendidos por semana numa loja do Rio de Janeiro</p><p>entre janeiro de 1991 e dezembro de 1993.</p><p>AUTOATIVIDADE</p><p>O gráfico indica que, nesse período:</p><p>a) ( ) A venda de aparelhos de ar condicionado cresceu constantemente.</p><p>b) ( ) A venda de aparelhos de ar condicionado permaneceu constante.</p><p>c) ( ) A venda de aparelhos de ar condicionado foi maior em julho de 1993 do</p><p>que em julho de 1991.</p><p>d) ( ) A venda de aparelhos de ar condicionado foi maior em outubro de 92 do</p><p>que em janeiro de 1992.</p><p>2 O gráfico a seguir faz uma comparação por década entre os</p><p>grandes terremotos ocorridos nos séculos XIX e XX:</p><p>145</p><p>Analise os itens a seguir com verdadeiro (V) e falso (F), e assinale a alternativa</p><p>que apresenta a análise correta:</p><p>( ) Com exceção da década de 1950, todas as outras décadas do século XX</p><p>tiveram maior número de grandes terremotos.</p><p>( ) A quantidade de terremotos no século XX foi mais que o triplo com relação</p><p>ao do século XIX.</p><p>( ) A quantidade de oito ocorrências aconteceu no século XIX, na década de</p><p>1920 e 1990 e no século XX na década de 1950.</p><p>( ) A diferença entre a maior quantidade de terremotos ocorrido no século XX</p><p>com o do século XIX é 10 ocorrências.</p><p>a) ( ) V – V – V – F.</p><p>b) ( ) F – F – V – F.</p><p>c) ( ) V – F – F – V.</p><p>d) ( ) V – V – F – V.</p><p>3 Uma pesquisa eleitoral estudou a intenção de votos nos</p><p>candidatos A, B e C, obtendo os resultados apresentados no</p><p>gráfico a seguir.</p><p>Analise os itens a seguir com verdadeiro (V) e falso (F), e assinale a alternativa</p><p>que apresenta a análise correta.</p><p>( ) O candidato B pode se considerar eleito.</p><p>( ) O número de pessoas consultadas foi de 5400.</p><p>( ) O candidato A ainda tem chances de vencer as eleições.</p><p>( ) O candidato C pode se considerar derrotado.</p><p>a) ( ) F – V – V – F.</p><p>b) ( ) V – V – F – F.</p><p>c) ( ) V – F – V – V.</p><p>d) ( ) F – F – F – V.</p><p>146</p><p>4 Um estudo caracterizou 5 ambientes aquáticos, nomeados de</p><p>A a D, em uma região, medindo parâmetros físico-químicos</p><p>de cada um deles, incluindo o pH nos ambientes. O Gráfico</p><p>I representa os valores de pH dos 5 ambientes. Utilizando o</p><p>Gráfico II, que representa a distribuição estatística de espécies em diferentes</p><p>faixas de pH, pode-se esperar um maior número de espécies no ambiente:</p><p>a) ( ) A.</p><p>b) ( ) B.</p><p>c) ( ) C.</p><p>d) ( ) D.</p><p>5 Os dados da tabela a seguir são referentes à quantidade de itens</p><p>vendidos por uma barraca de salgados em uma festa.</p><p>SALGADO</p><p>QUANTIDADE</p><p>VENDIDA</p><p>Coxinha 61</p><p>Pastel 155</p><p>Espetinho 70</p><p>Bolinho de carne 81</p><p>Rissoles 55</p><p>Para visualizar estes dados, foi construído um gráfico de pizza. Determine</p><p>qual dos itens a seguir representa aproximadamente a abertura que o ângulo</p><p>referente à quantidade de pastéis vendidos deve ter.</p><p>a) 121°.</p><p>b) 128°.</p><p>c) 132°.</p><p>d) 136°.</p><p>147</p><p>Com base nas informações dos gráficos mostrados, suponha que, no período</p><p>2050-2100, o crescimento populacional em quantidade da Índia seja a mesma</p><p>projetada para o período 2000-2050. Assim, no início do século XXII, a</p><p>população da Índia, em bilhões de habitantes, será:</p><p>a) ( ) Inferior a 2,0.</p><p>b) ( ) Superior a 2,0 e inferior a 2,1.</p><p>c) ( ) Superior a 2,1 e inferior a 2,2.</p><p>d) ( ) Superior a 2,2 e inferior a 2,3.</p><p>6 Nos últimos anos, ocorreu redução gradativa da taxa de</p><p>crescimento populacional em quase todos os continentes.</p><p>A seguir, são apresentados dados relativos aos países mais</p><p>populosos em 2000 e também as projeções para 2050.</p><p>148</p><p>149</p><p>UNIDADE 3</p><p>MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE</p><p>E ESTATÍSTICA DE ACIDENTES</p><p>OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM</p><p>PLANO DE ESTUDOS</p><p>A partir desta unidade você será capaz de:</p><p>• analisar, descrever, organizar e interpretar informações sobre o aspecto</p><p>estatístico para a tomada de decisões;</p><p>• utilizar a linguagem estatística como instrumento de apoio na execução</p><p>de atividades do cotidiano profissional;</p><p>• compreender os procedimentos técnicos e de cálculos essenciais ao</p><p>trabalho estatístico;</p><p>• descrever e interpretar informações do campo da Segurança do Trabalho</p><p>sob o aspecto estatístico;</p><p>• compreender uma das principais aplicações da estatística na análise de</p><p>acidentes e suas implicações.</p><p>Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade,</p><p>você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo</p><p>apresentado.</p><p>TÓPICO 1 – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL</p><p>TÓPICO 2 – MEDIDAS DE DISPERSÃO</p><p>TÓPICO 3 – ESTATÍSTICAS DE ACIDENTES</p><p>150</p><p>151</p><p>TÓPICO 1</p><p>MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL</p><p>UNIDADE 3</p><p>1 INTRODUÇÃO</p><p>Na unidade anterior, vimos que o estudo de distribuição de frequência</p><p>permite descrever os grupos dos valores dos dados de uma pesquisa, porém para</p><p>ressaltar as tendências características de cada distribuição é necessário introduzir</p><p>conceitos que se expressem através de números, que permitam traduzir estas</p><p>tendências. Estes conceitos são denominados elementos típicos das medidas de</p><p>posição, assunto desta unidade.</p><p>As medidas de posição representam uma série de dados, orientando</p><p>quanto à posição da distribuição em relação ao centro. Dentre as várias medidas</p><p>de posição, descreveremos neste tópico, as medidas de tendência central.</p><p>2 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL</p><p>As medidas de tendência central são números que indicam o valor médio</p><p>de uma distribuição de frequência procurando reduzir todos os valores num só,</p><p>e de preferência, toma como mais representativo aquele que esteja no centro da</p><p>distribuição. São três as medidas de posição:</p><p>• Média: medida de uniformização.</p><p>• Mediana: medida de posição.</p><p>• Moda: medida de concentração.</p><p>Acadêmico, é importante você notar que cada grupo de dados está</p><p>devidamente estabelecido na dependência do que se é verificado e que, desta</p><p>forma, há três maneiras diferentes de calcular estas dependendo de como os</p><p>dados se encontram: se não estão agrupados, se estão agrupados em distribuição</p><p>de frequência sem intervalo de classe e se são dados agrupados em distribuição</p><p>de frequência com intervalo de classe.</p><p>3 MÉDIA</p><p>É o elemento representativo da série mais usado, procura uniformizar os</p><p>dados em torno de um valor médio, por isto, é também chamado de medida de</p><p>uniformização. Há várias situações em que a média aritmética deve ser utilizada,</p><p>dando como resultado um único valor que represente um “ajuste” de todos os</p><p>outros valores. Operacionalmente, a média (X) é o quociente entre a soma de</p><p>todos os valores (Σfi) pelo número total dos dados (n).</p><p>UNIDADE 3 | MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE E ESTATÍSTICA DE ACIDENTES</p><p>152</p><p>A letra grega Σ (sigma) é usada na matemática, como símbolo de um somatório.</p><p>UNI</p><p>3.1 MÉDIA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS</p><p>Essa média é calculada a partir da soma de todos os valores dividindo-</p><p>os pela quantidade de valores que foram somados. Podemos representar</p><p>matematicamente a média aritmética pela seguinte expressão:</p><p>X</p><p>x x x x</p><p>n</p><p>n�</p><p>� � ���1 2 3</p><p>Em que:</p><p>• X = representação de média</p><p>• xn = representação dos valores</p><p>• n = quantidade de valores somados</p><p>Vejamos exemplos que demonstram em quais situações a média aritmética</p><p>pode ser utilizada.</p><p>Exemplo 1: um especialista em segurança do trabalho comprou um material</p><p>específico de dois diferentes fornecedores para o estudo da corrosividade de</p><p>um tipo de metal. Para medir e, posteriormente, comparar o nível de impurezas</p><p>existentes nos materiais dos fornecedores A e B, o especialista mediu percentuais</p><p>de impurezas, obtendo:</p><p>Fornecedor A: 1,8 2,5 1,5 1,2 1,0</p><p>Fornecedor B: 1,6 2,5 1,2 2,3 1,5</p><p>Qual dos fornecedores apresentou maior uniformidade nas impurezas?</p><p>Resolução: como já citado anteriormente, a medida de tendência central que mede</p><p>a uniformidade dos dados é a média. Assim, vamos calcular a média dos dados</p><p>de cada fornecedor e comparar os resultados:</p><p>TÓPICO 1 | MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL</p><p>153</p><p>X</p><p>X</p><p>A</p><p>B</p><p>�</p><p>� � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � �</p><p>�</p><p>1 8 2 5 1 5 1 2 1 0</p><p>5</p><p>1 6</p><p>1 6 2 5 1 2 2 3 1 5</p><p>5</p><p>1 82</p><p>, , , , , ,</p><p>, , , , , ,</p><p>Notamos assim, que o fornecedor A possui menor uniformidade nas</p><p>impurezas.</p><p>Exemplo 2: em uma universidade, os professores utilizam a média aritmética</p><p>para calcular a média final obtida pelas notas parciais. A média mínima para</p><p>que o aluno seja aprovado é 7,0. Supondo que João já tirou as seguintes notas na</p><p>disciplina de Matemática: 7,0; 4,5 e 8,0 e sabendo que o professor desta disciplina</p><p>deseja fazer mais uma prova, qual deverá ser a nota mínima que João deve tirar</p><p>para permanecer na média e não reprovar?</p><p>Resposta: como sabemos que a média mínima exigida pela universidade é 7,</p><p>podemos desenvolver a questão da seguinte forma, adotando com x a nota da</p><p>prova ainda a ser feita:</p><p>7 7 4 5 8</p><p>4</p><p>4 7 7 4 5 8</p><p>28 19 5</p><p>8 5</p><p>�</p><p>� � �</p><p>� � � � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>Concluímos que a nota mínima que João deve tirar é 8,5 para que sua</p><p>média fique dentro das expectativas da universidade.</p><p>A seguir, trataremos do cálculo da média aritmética em dados agrupados</p><p>em uma distribuição de frequência sem intervalo de classe.</p><p>3.2 MÉDIA PARA DADOS AGRUPADOS EM DISTRIBUIÇÃO</p><p>DE FREQUÊNCIA SEM INTERVALO DE CLASSE</p><p>Para determinar a média aritmética em dados agrupados em uma</p><p>distribuição de frequência, sem intervalo de classe, multiplicamos a variável</p><p>(dados) pela frequência (fi), depois somamos todos os produtos e dividimos o</p><p>resultado pela quantidade de dados, simbolicamente:</p><p>X</p><p>x f</p><p>f</p><p>i i</p><p>i</p><p>�</p><p>� �� �</p><p>�</p><p>UNIDADE 3 | MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE E ESTATÍSTICA DE ACIDENTES</p><p>154</p><p>Sendo:</p><p>• X = representação de média</p><p>• xi = representação dos valores</p><p>• i = número de linhas de dados da ditribuição</p><p>• fi = frequência que os dados aparecem</p><p>• xi ∙ fi = produto entre o valor da linha e sua frequência</p><p>Vejamos os exemplos a seguir:</p><p>Exemplo 1: na distribuição a seguir, estão relacionadas às notas de 35 acadêmicos</p><p>do 3º semestre do curso de Segurança do Trabalho, na disciplina de Matemática.</p><p>TABELA 15 – NOTAS DOS ACADÊMICOS DO 3O SEMESTRE DO CURSO DE</p><p>SEGURANÇA DO TRABALHO NA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA – UNIASSELVI – 2017</p><p>Notas (xi) Número de Acadêmicos (fi)</p><p>3 3</p><p>4 6</p><p>5 9</p><p>6 8</p><p>7 6</p><p>8 3</p><p>Total 35</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>Para ter uma visão geral do desempenho destes acadêmicos nesta</p><p>avaliação, a professora calculou a média aritmética.</p><p>Resolução: iniciamos calculando na própria tabela o produto xi ∙ fi e calculando</p><p>seu somatório.</p><p>TABELA 16 – CÁLCULOS PARA NOTAS DOS ACADÊMICOS DO 3O SEMESTRE</p><p>DO CURSO DE SEGURANÇA DO TRABALHO NA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA –</p><p>UNIASSELVI – 2017</p><p>Notas (xi) Número de Acadêmicos (fi) xi ∙ fi</p><p>3 3 3 ∙ 3 = 9</p><p>4 6 4 ∙ 6 = 24</p><p>5 9 5 ∙ 9 = 45</p><p>6 8 6 ∙ 8 = 48</p><p>7 6 7 ∙ 6 = 42</p><p>8 3 8 ∙ 3 = 24</p><p>Total 35 192</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>TÓPICO 1 | MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL</p><p>155</p><p>Feito isso, basta substituir as informações necessárias na fórmula:</p><p>� �� � � � �</p><p>�</p><p>� �� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>x f f</p><p>X</p><p>x f</p><p>f</p><p>X</p><p>i i i</p><p>i i</p><p>i</p><p>192 35</p><p>192</p><p>35</p><p>5 49</p><p>,</p><p>Assim, a média da turma nesta avaliação, em uma escala de 0 até 10, foi</p><p>de 5,49.</p><p>Exemplo 2: um grupo de funcionários foi entrevistado sobre o número de vezes</p><p>que já haviam tido acidentes de trabalho. Os resultados foram:</p><p>TABELA 17 – ESTUDO SOBRE ACIDENTES DE TRABALHO</p><p>Nº de acidentes Nº de funcionários</p><p>0 47</p><p>1 29</p><p>2 13</p><p>3 8</p><p>Σ 97</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>Calcule a média de acidentes para esta distribuição de dados.</p><p>Resolução: Calcularemos de início, o produto xifi para o caso:</p><p>TABELA 18 – CÁCULO ESTUDO SOBRE ACIDENTES DE TRABALHO</p><p>Nº de acidentes (xi) Nº de funcionários (fi) xifi</p><p>0 47 0.47 = 0</p><p>1 29 1.29 = 29</p><p>2 13 2.13 = 26</p><p>3 8 3.8 = 24</p><p>Σ 97 79</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>Utilizando a fórmula para o cálculo da média:</p><p>UNIDADE 3 | MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE E ESTATÍSTICA DE ACIDENTES</p><p>156</p><p>3.3 MÉDIA PARA DADOS AGRUPADOS EM DISTRIBUIÇÃO</p><p>DE FREQUÊNCIA COM INTERVALO DE CLASSE</p><p>Para dados agrupados em intervalos de classes, usamos a fórmula abaixo</p><p>para encontrar a média:</p><p>X</p><p>x f</p><p>f</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>i</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>�� 1</p><p>Sendo:</p><p>• X = representação de média</p><p>• xi = ponto médio do intervalo de classe</p><p>• i = número de linhas de dados da distribuição</p><p>• fi = frequência que os dados aparecem</p><p>• xi ∙ fi = produto entre o ponto médio do intervalo de classe e sua frequência</p><p>Vejamos os exemplos a seguir:</p><p>Exemplo 1: na tabela de distribuição de frequência com intervalos de classe a</p><p>seguir, estão relacionadas às estaturas de 100 acadêmicos do curso de Segurança</p><p>do Trabalho da Uniasselvi no ano de 2017.</p><p>TABELA 19 – DISTRIBUIÇÃO DAS ESTATURAS DE 100 ACADÊMICOS DO</p><p>CURSO DE SEGURANÇA DO TRABALHO DA UNIASSELVI – 2017</p><p>Estatura (cm) Número de acadêmicos (fi)</p><p>140 Ⱶ 150 5</p><p>150 Ⱶ 160 10</p><p>160 Ⱶ 170 30</p><p>170 Ⱶ 180 40</p><p>180 Ⱶ 190 10</p><p>190 Ⱶ 200 5</p><p>Total 100</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>acidentes por funcionáriosX</p><p>x f</p><p>f</p><p>i i</p><p>i</p><p>�</p><p>� �� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>79</p><p>97</p><p>0 814,</p><p>TÓPICO 1 | MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL</p><p>157</p><p>Para calcularmos a média para dados distribuídos em frequência de classe,</p><p>vamos aprender a “preparar” a nossa tabela de classes para que consigamos</p><p>calcular não apenas a média, mas também a moda, a mediana, os quartis e mais</p><p>adiante o desvio-padrão.</p><p>Inicialmente, vamos calcular o ponto médio do intervalo de classe xi. Para isso,</p><p>em cada linha devemos somar o limite inferior do limite superior e dividir por dois.</p><p>x</p><p>L L</p><p>i</p><p>s i�</p><p>�</p><p>2</p><p>Vejamos na tabela:</p><p>TABELA 20 – DISTRIBUIÇÃO DAS ESTATURAS DE 100 ACADÊMICOS DO CURSO DE</p><p>SEGURANÇA DO TRABALHO DA UNIASSELVI – 2017 – XI</p><p>Estatura (cm) Número de Acadêmicos (f) Xi</p><p>140 Ⱶ 150 5 145</p><p>150 Ⱶ 160 10 155</p><p>160 Ⱶ 170 30 165</p><p>170 Ⱶ 180 40 175</p><p>180 Ⱶ 190 10 185</p><p>190 Ⱶ 200 5 195</p><p>Total 100</p><p>180 170</p><p>2</p><p>+</p><p>150 140</p><p>2</p><p>+</p><p>FONTE: Dados fictíciosa</p><p>Calculados os pontos médios (xi), devemos multiplicá-los pela frequência</p><p>absoluta (fi) de cada classe, conforme apresentamos na tabela a seguir:</p><p>TABELA 21 – DISTRIBUIÇÃO DAS ESTATURAS DE 100 ACADÊMICOS DO CURSO DE</p><p>SEGURANÇA DO TRABALHO DA UNIASSELVI – 2017 – XI E FI</p><p>Estatura (cm) Número de Acadêmicos (fi) xi xi ∙ fi</p><p>140 Ⱶ 150 5 145 145 ∙ 5 = 725</p><p>150 Ⱶ 160 10 155 155 ∙ 10 = 1550</p><p>160 Ⱶ 170 30 165 165 ∙ 30 = 4950</p><p>170 Ⱶ 180 40 175 175 ∙ 40 = 7000</p><p>180 Ⱶ 190 10 185 185 ∙ 10 = 1850</p><p>190 Ⱶ 200 5 195 195 ∙ 5 = 975</p><p>Total 100 17 050</p><p>Somatório de</p><p>todos os xi∙fi</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>UNIDADE 3 | MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE E ESTATÍSTICA DE ACIDENTES</p><p>158</p><p>Com estas informações, é possível calcularmos a média das estaturas dos</p><p>100 acadêmicos do curso de Segurança do Trabalho da Uniasselvi, no ano de 2017.</p><p>� �� � �</p><p>� �</p><p>x f</p><p>f</p><p>i i</p><p>i</p><p>17050</p><p>100</p><p>Substituindo na fórmula,</p><p>X</p><p>x f</p><p>f</p><p>X cm</p><p>i</p><p>n</p><p>i i</p><p>i</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�� 1</p><p>17050</p><p>100</p><p>170 5,</p><p>Assim, a média dos acadêmicos do curso de Segurança do Trabalho da</p><p>Uniasselvi, no ano de 2017, é de 170,5 centímetros.</p><p>Exemplo 2: a tabela a seguir indica a idade de uma amostra de funcionários da</p><p>empresa X que sofreram acidentes no ano de 2017.</p><p>TABELA 22 – AMOSTRA DE IDADE DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA X</p><p>Idade (anos) Nº de funcionários</p><p>20 ├ 30</p><p>30 ├ 40</p><p>40 ├ 50</p><p>50 ├ 60</p><p>60 ├ 70</p><p>2</p><p>11</p><p>10</p><p>9</p><p>8</p><p>TOTAL 40</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>Determine agora, a média de idade dos funcionários que sofreram</p><p>acidentes no ano de 2017.</p><p>Resolução: Notamos que este caso se trata de uma distribuição de frequências</p><p>com intervalo de classe. Desta forma, deveremos calcular incialmente o ponto médio</p><p>de cada classe, para que na sequência, possamos calcular o produto xi ∙ fi:</p><p>TÓPICO 1 | MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL</p><p>159</p><p>TABELA 23 – CÁLCULO AMOSTRA DE IDADE DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA X</p><p>Idade (anos) Nº de funcionários xi xi ∙ fi</p><p>20 ├ 30</p><p>30 ├ 40</p><p>40 ├ 50</p><p>50 ├ 60</p><p>60 ├ 70</p><p>2</p><p>11</p><p>10</p><p>9</p><p>8</p><p>25</p><p>35</p><p>45</p><p>55</p><p>65</p><p>50</p><p>385</p><p>450</p><p>495</p><p>520</p><p>TOTAL 40 1900</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>Agora, basta novamente utilizar a fórmula resolutiva para o cálculo da média:</p><p>X</p><p>x f</p><p>f</p><p>anosi i</p><p>i</p><p>�</p><p>� �� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>1900</p><p>40</p><p>47 5, �anos</p><p>Acadêmico! Veja algumas características da média quanto à importância,</p><p>vantagens e desvantagens:</p><p>• A média de um conjunto de números pode sempre ser calculada.</p><p>• Para um dado conjunto de números a média é única.</p><p>• A média de uma constante sempre é uma constante.</p><p>• É descritiva de todos os dados de uma série e de fácil compreensão.</p><p>• É facilmente calculável.</p><p>• Depende de cada valor da série e qualquer alteração de um deles altera seu valor.</p><p>• É influenciada por valores</p><p>excepcionais, podendo em alguns casos não representar a série.</p><p>• É das medidas de tendência central de maior emprego.</p><p>• É usada para operações estatísticas mais avançadas como testes para tomada de decisão.</p><p>ATENCAO</p><p>4 MODA</p><p>É o elemento representativo da série que indica a concentração. É o valor</p><p>que ocorre com maior frequência, é o que mais aparece. Às vezes, num conjunto</p><p>de dados, podemos ou não, ter moda. Não existindo moda ele será amodal,</p><p>havendo mais de uma moda ele será multimodal – bimodal para duas modas,</p><p>trimodal para três modas.</p><p>Assim como no estudo da média, vamos separar o estudo do cálculo da</p><p>moda nas três apresentações dos dados vistos:</p><p>UNIDADE 3 | MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE E ESTATÍSTICA DE ACIDENTES</p><p>160</p><p>A moda é representada pelo símbolo Mo</p><p>IMPORTANTE</p><p>4.1 DADOS NÃO AGRUPADOS</p><p>Basta colocar os valores no ROL e depois verificar qual valor que ocorreu</p><p>com maior frequência. Esse valor será a moda da distribuição.</p><p>Ex.:</p><p>a) 2, 4, 5, 5, 6, 7. Mo = 5</p><p>b) 5, 6, 7, 8, 9. Mo = Não existente. Classe amodal.</p><p>c) 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9. Mo = 4 e 5. Classe bimodal.</p><p>4.2 DADOS AGRUPADOS EM DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA</p><p>SEM INTERVALO DE CLASSES.</p><p>A moda será o valor com maior frequência, ou seja, basta olhar a linha em</p><p>que o fi é maior, veja a tabela a seguir como exemplo (1):</p><p>TABELA 24 – NOTAS DOS ACADÊMICOS DO 3O SEMESTRE DO CURSO DE</p><p>SEGURANÇA DO TRABALHO NA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA - UNIASSELVI –</p><p>2017</p><p>Notas Número de Acadêmicos (fi)</p><p>3 3</p><p>4 6</p><p>5 9</p><p>6 8</p><p>7 6</p><p>8 3</p><p>Total 35</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>Como podemos observar, a terceira linha é portadora do maior fi, desta</p><p>forma, a nota modal nesta turma foi 5. Representamos por: Mo = 5.</p><p>Exemplo 2: o gráfico, a seguir, expressa o número de funcionários doentes</p><p>encontrados num levantamento realizado em uma empresa no ano de 2017,</p><p>sendo um total de 350 funcionários:</p><p>TÓPICO 1 | MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL</p><p>161</p><p>GRÁFICO 7 – NÚMERO DE FUNCIONÁRIOS DOENTES</p><p>N° de funcioários doentes</p><p>Fr</p><p>eq</p><p>uê</p><p>nc</p><p>ia</p><p>0 1 2 3 4 5 6</p><p>120</p><p>100</p><p>80</p><p>60</p><p>40</p><p>20</p><p>0</p><p>55 60</p><p>82</p><p>31</p><p>8 2</p><p>112</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>Determine a moda para esta série de dados.</p><p>Resolução: ao analisar um gráfico, determinar a moda dos dados é uma tarefa um</p><p>tanto simples. Basta verificar a classe (eixo horizontal) que possui a maior altura</p><p>(eixo vertical), determinando assim o valor que possui maior frequência.</p><p>Para este caso, notamos que o valor da moda Mo é 2.</p><p>4.3 DADOS AGRUPADOS EM DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA</p><p>COM INTERVALO DE CLASSES</p><p>Quando os dados estiverem agrupados em uma distribuição de frequência</p><p>com intervalos de classe, devemos inicialmente encontrar a classe modal (classe</p><p>de maior fi) e depois calcular a moda pelo seguinte modelo matemático:</p><p>M l</p><p>d</p><p>d d</p><p>ho i� �</p><p>�</p><p>�1</p><p>1 2</p><p>Sendo que:</p><p>d₁ = diferença entre a frequência da classe modal e a anterior.</p><p>d₂ = diferença entre a frequência da classe modal e a posterior.</p><p>ℓi = limite inferior da classe modal.</p><p>hi = amplitude da classe modal. (ls – li)</p><p>Vejamos como calcular a moda para o exemplo já utilizado no cálculo da</p><p>média para esse mesmo tipo de dados.</p><p>UNIDADE 3 | MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE E ESTATÍSTICA DE ACIDENTES</p><p>162</p><p>Exemplo: na tabela de distribuição de frequência com intervalos de classe, a</p><p>seguir, estão relacionadas as estaturas de 100 acadêmicos do curso de Segurança</p><p>do Trabalho da Uniasselvi no ano de 2017.</p><p>TABELA 25 – DISTRIBUIÇÃO DAS ESTATURAS DE 100 ACADÊMICOS DO</p><p>CURSO DE SEGURANÇA DO TRABALHO DA UNIASSELVI – 2017</p><p>Estatura (cm) Número de Acadêmicos (fi)</p><p>140 Ⱶ 150 5</p><p>150 Ⱶ 160 10</p><p>160 Ⱶ 170 30</p><p>170 Ⱶ 180 40</p><p>180 Ⱶ 190 10</p><p>190 Ⱶ 200 5</p><p>Total 100</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>Para calcular a moda em um conjunto de dados agrupados em intervalos</p><p>de classes, devemos seguir os seguintes passos:</p><p>1º Passo: identificar a classe em que a moda se encontra (Classe Modal):</p><p>ou seja, vamos destacar a linha que temos o maior fi.</p><p>TABELA 26 – DESTAQUE DA DISTRIBUIÇÃO DAS ESTATURAS DE</p><p>100 ACADÊMICOS DO CURSO DE SEGURANÇA DO TRABALHO DA</p><p>UNIASSELVI – 2017</p><p>Estatura (cm) Número de acadêmicos (fi)</p><p>140 Ⱶ 150 5</p><p>150 Ⱶ 160 10</p><p>160 Ⱶ 170 30</p><p>170 Ⱶ 180 40</p><p>180 Ⱶ 190 10</p><p>190 Ⱶ 200 5</p><p>Total 100</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>Neste exemplo, a classe modal é a quarta classe (i4) da distribuição, pois é</p><p>ali que se encontra a maior frequência, que é 40.</p><p>2º Passo: definida a classe modal, vamos aplicar a fórmula para o cálculo</p><p>da moda:</p><p>TÓPICO 1 | MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL</p><p>163</p><p>M l</p><p>d</p><p>d d</p><p>ho i� �</p><p>�</p><p>�1</p><p>1 2</p><p>Sendo: d1 = maior fi menos fi anterior; (f4 – f3 = 40 – 30 = 10)</p><p>d2 = maior fi menos fi posterior. (f4 – f5 = 40 – 10 = 30)</p><p>Não se esqueça do que significa li (limite inferior da classe) e h (amplitude da</p><p>classe). Caso não lembre, retorne o estudo nas unidades anteriores.</p><p>UNI</p><p>Neste exemplo, li = 170 e hi = ls – li = 180 – 170 = 10. Substituindo na fórmula,</p><p>temos:</p><p>M l</p><p>d</p><p>d d</p><p>ho i� �</p><p>�</p><p>�1</p><p>1 2</p><p>M</p><p>M cm</p><p>o</p><p>o</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � � � �</p><p>170 10</p><p>10 30</p><p>10</p><p>170 10</p><p>40</p><p>10 170 100</p><p>40</p><p>172 5,</p><p>Desta forma, a altura modal para este grupo de acadêmicos é de 172,5</p><p>centímetros e representamos por, Mo = 172,5 cm.</p><p>Veja algumas observações sobra a moda:</p><p>• É a menos útil para problemas estatísticos, porque se presta à análise matemática.</p><p>• A utilidade da moda se acentua quando um ou dois valores ocorrem aproximadamente</p><p>com a mesma frequência.</p><p>• A moda nada acrescenta em termos de descrição dos dados.</p><p>IMPORTANTE</p><p>UNIDADE 3 | MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE E ESTATÍSTICA DE ACIDENTES</p><p>164</p><p>5 MEDIANA</p><p>A mediana é o elemento de tendência central que, estando os dados em</p><p>ordem crescente, indica o valor médio ou a média dos valores centrais, por isto é</p><p>chamada de medida de posição. Essa divide a série em duas partes iguais.</p><p>Novamente, iremos apresentar como determinar essa medida, para os três</p><p>tipos de apresentação de dados.</p><p>5.1 DADOS NÃO AGRUPADOS</p><p>Quando todas as observações estão ordenadas em rol, a mediana é o valor</p><p>da observação central. A mediana não é calculada como a média, pelo contrário</p><p>disso, para determinar a mediana, calculamos a sua posição, o valor que estiver</p><p>naquela posição será a mediana.</p><p>Em dados não agrupados, determinamos a posição da mediana, através</p><p>do cálculo: n + 1</p><p>2</p><p>, sendo n o número de dados da distribuição.</p><p>Vejamos alguns exemplos:</p><p>Exemplo 1: Qual a mediana dos dados a seguir?</p><p>4 7 8</p><p>Acadêmico, sabemos que a mediana é o termo que se encontra no centro</p><p>da distribuição e, nesse caso, podemos intuitivamente afirmar que a mediana é 7.</p><p>Podemos verificar o valor da mediana, usando a fórmula: primeiramente</p><p>calculamos a posição da mediana usando n + 1</p><p>2</p><p>. Como temos 3 dados, então n = 3.</p><p>Assim 3 1</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>2�</p><p>� � . Ou seja, a mediana é o dado da 2ª posição, logo Md = 7.</p><p>Quando o número de dados é par, a posição será um valor “quebrado”, com isso,</p><p>a mediana é a média dos dois dados centrais.</p><p>IMPORTANTE</p><p>TÓPICO 1 | MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL</p><p>165</p><p>Exemplo 2: qual é a mediana dos dados a seguir?</p><p>3 5 9 1 6</p><p>Intuitivamente percebemos que há um valor no centro da distribuição,</p><p>colocando em ordem crescente, temos:</p><p>1 3 5 6 9</p><p>Assim, a mediana corresponde ao valor (5).</p><p>Exemplo 3: a seguir estão dispostos em ROL, o salário, em reais, de 50</p><p>profissionais habilitados em Segurança do Trabalho, referente a uma carga</p><p>horária de 20h mensais, no mês de julho de 2017, no estado de Santa Catarina.</p><p>578,90 885,85 1000,00 1234,32 1785,3</p><p>595,45 899,76 1000,76 1280,70 1798,24</p><p>671,45 900,00 1009,65 1290,12 1865,43</p><p>678,12 904,90 1010,43 1345,54 1900,00</p><p>683,92 908,99 1029,12 1383,90 1900,43</p><p>777,23 920,98 1055,90 1408,30 1920,01</p><p>786,43 965,00 1080,67 1600,00 2000,00</p><p>800,00 976,45 1100,00 1654,25 2043,89</p><p>850,80 980,12 1100,45 1670,98 2080,00</p><p>880,76 990,54 1100,99 1782,39 2109,88</p><p>Para determinar o salário mediano, devemos seguir os passos:</p><p>1º Passo: calcular a posição da mediana:</p><p>posição n: ,�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>1</p><p>2</p><p>50 1</p><p>2</p><p>51</p><p>2</p><p>25 5</p><p>2º Passo: determinar o valor da mediana:</p><p>Como a posição 25,5 não existe, temos que pegar os valores da posição</p><p>98</p><p>5 TAMANHO DE UMA AMOSTRA ................................................................................................ 99</p><p>6 VARIÁVEIS ESTATÍSTICAS ......................................................................................................... 103</p><p>6.1 VARIÁVEIS QUALITATIVAS ..................................................................................................... 103</p><p>6.2 VARIÁVEIS QUANTITATIVAS .................................................................................................. 104</p><p>RESUMO DO TÓPICO 2 .................................................................................................................... 106</p><p>AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 107</p><p>IX</p><p>TÓPICO 3 – SÉRIES ESTATÍSTICAS .............................................................................................. 109</p><p>1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 109</p><p>2 AGRUPAMENTO DE DADOS ...................................................................................................... 109</p><p>2.1 DADOS BRUTOS ......................................................................................................................... 110</p><p>2.2. ROL ................................................................................................................................................ 110</p><p>2.3 AGRUPAMENTO SIMPLES OU DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA SEM</p><p>INTERVALOS DE CLASSE ........................................................................................................ 111</p><p>2.4 AGRUPAMENTO POR FAIXA DE VALOR OU DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA</p><p>COM INTERVALOS DE CLASSE .............................................................................................. 113</p><p>3 SÉRIE ESTATÍSTICA ....................................................................................................................... 118</p><p>3.1 TIPOS DE SÉRIES ........................................................................................................................ 121</p><p>3.1.1 Séries históricas, cronológicas ou temporais .................................................................. 121</p><p>3.1.2 Séries geográficas, espaciais, territoriais ou de localização .......................................... 122</p><p>3.1.3 Séries específicas ou categóricas ....................................................................................... 123</p><p>3.1.4 Séries conjugadas ................................................................................................................ 124</p><p>RESUMO DO TÓPICO 3 .................................................................................................................... 125</p><p>AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 126</p><p>TÓPICO 4 – GRÁFICOS ESTATÍSTICOS ...................................................................................... 129</p><p>1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 129</p><p>2 GRÁFICO ESTATÍSTICO ............................................................................................................... 129</p><p>2.1 GRÁFICO EM LINHA ................................................................................................................ 130</p><p>2.2 GRÁFICO EM COLUNAS OU EM BARRAS .......................................................................... 131</p><p>2.3 GRÁFICO EM COLUNAS OU BARRAS MÚLTIPLAS ......................................................... 133</p><p>2.4 GRÁFICO EM SETORES: (PIZZA) ............................................................................................ 134</p><p>2.5 GRÁFICO POLAR ....................................................................................................................... 135</p><p>2.6 CARTOGRAMA .......................................................................................................................... 137</p><p>2.7 PICTOGRAMA ............................................................................................................................. 138</p><p>LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 140</p><p>RESUMO DO TÓPICO 4 .................................................................................................................... 143</p><p>AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 144</p><p>UNIDADE 3 – MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE E ESTATÍSTICA DE</p><p>ACIDENTES ............................................................................................................... 149</p><p>TÓPICO 1 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ................................................................... 151</p><p>1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 151</p><p>2 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ..................................................................................... 151</p><p>3 MÉDIA ................................................................................................................................................ 151</p><p>3.1 MÉDIA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS .......................................................................... 152</p><p>3.2 MÉDIA PARA DADOS AGRUPADOS EM DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA</p><p>SEM INTERVALO DE CLASSE ................................................................................................. 153</p><p>3.3 MÉDIA PARA DADOS AGRUPADOS EM DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA</p><p>COM INTERVALO DE CLASSE ................................................................................................ 156</p><p>4 MODA ................................................................................................................................................ 159</p><p>4.1 DADOS NÃO AGRUPADOS ..................................................................................................... 160</p><p>4.2 DADOS AGRUPADOS EM DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA SEM INTERVALO</p><p>DE CLASSES ................................................................................................................................. 160</p><p>4.3 DADOS AGRUPADOS EM DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALO</p><p>DE CLASSES ................................................................................................................................. 161</p><p>5 MEDIANA .......................................................................................................................................... 164</p><p>X</p><p>5.1 DADOS NÃO AGRUPADOS .................................................................................................... 164</p><p>5.2 DADOS AGRUPADOS EM DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA SEM INTERVALO</p><p>DE CLASSES ................................................................................................................................ 166</p><p>5.3 DADOS AGRUPADOS EM DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALO</p><p>DE CLASSES ................................................................................................................................ 168</p><p>RESUMO DO TÓPICO 1 .................................................................................................................... 171</p><p>AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 172</p><p>TÓPICO 2 – MEDIDAS DE DISPERSÃO ..................................................................................... 173</p><p>1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................</p><p>25</p><p>e da posição 26, depois disso, fazer a média entre os dois valores (sempre que o</p><p>número de dados n for par acontecerá isso).</p><p>Posição 25: x₂₅ = 1029,12 Posição 26: x₂₆ = 1055,90</p><p>UNIDADE 3 | MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE E ESTATÍSTICA DE ACIDENTES</p><p>166</p><p>Mediana será a média dos dois valores encontrados, ou seja</p><p>Md � � �1029 12 1055 90 1042 51</p><p>2</p><p>, , , , portanto, o salário mediano é de R$1 042, 51.</p><p>Para determinar os valores das posições calculadas, colocamos os valores em</p><p>ROL, e contamos até a posição desejada. Volte na tabela acima e conte, na ordem em que</p><p>os dados crescem, até a posição 25 e 26 e percebam que são os valores 1029,12 e 1055,90.</p><p>Se o número de dados n for ímpar, o cálculo da posição dará um número inteiro, com isso</p><p>bastará encontrar o valor no ROL que está na posição calculada, como teremos apenas um</p><p>valor, esse valor será a mediana.</p><p>ATENCAO</p><p>5.2 DADOS AGRUPADOS EM DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA</p><p>SEM INTERVALO DE CLASSES</p><p>Para dados agrupados em distribuição de frequência sem intervalo</p><p>de classes ou em frequência simples, também iremos determinar a mediana</p><p>calculando sua posição. Vejamos o exemplo, já trabalhado anteriormente:</p><p>Exemplo 1: na distribuição a seguir, estão relacionadas as notas de 35 acadêmicos</p><p>do 3º semestre do curso de Segurança do Trabalho na disciplina de Matemática.</p><p>TABELA 27 – NOTAS DOS ACADÊMICOS DO 3O SEMESTRE DO</p><p>CURSO DE SEGURANÇA DO TRABALHO NA DISCIPLINA DE</p><p>MATEMÁTICA - UNIASSELVI – 2017 – EXEMPLO</p><p>Notas (xi) Número de</p><p>acadêmicos (fi)</p><p>3 3</p><p>4 6</p><p>5 9</p><p>6 8</p><p>7 6</p><p>8 3</p><p>Total 35</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>TÓPICO 1 | MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL</p><p>167</p><p>Para determinar a mediana, novamente devemos seguir os passos:</p><p>1º passo: cálculo da posição:</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>1</p><p>2</p><p>35 1</p><p>2</p><p>36</p><p>2</p><p>18n</p><p>Logo queremos o valor da posição 18, ou em outras palavras o valor x18.</p><p>2º passo: determinar o valor da mediana. Para isso, temos que olhar a coluna da</p><p>frequência acumulada (Fa), e encontrar a linha do primeiro valor igual ou maior</p><p>que a posição calculada, que no nosso caso é 18.</p><p>TABELA 28 – DESTAQUE PARA NOTAS DOS ACADÊMICOS DO 3O SEMESTRE</p><p>DO CURSO DE SEGURANÇA DO TRABALHO NA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA –</p><p>UNIASSELVI – 2017</p><p>Notas (xi) Número de acadêmicos (fi) Frequência acumulada (Fa)</p><p>3 3 3</p><p>4 6 9</p><p>5 9 18</p><p>6 8 26</p><p>7 6 32</p><p>8 3 35</p><p>Total 35</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>Na tabela, a terceira linha nos apresenta na coluna Fa o valor da posição</p><p>18. Logo, o valor da mediana é 5, porque é o xi da linha 3, ou seja, Md = 5.</p><p>Se o número de dados n for par, acontecerá novamente uma posição</p><p>intermediária. Se essa posição ficar entre duas linhas, tira-se a média entre os dois valores das</p><p>respectivas linhas, caso contrário, a mediana será o valor da linha, como no caso de n ímpar</p><p>mostrado acima.</p><p>ATENCAO</p><p>UNIDADE 3 | MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE E ESTATÍSTICA DE ACIDENTES</p><p>168</p><p>5.3 DADOS AGRUPADOS EM DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA</p><p>COM INTERVALO DE CLASSES</p><p>Para calcular a mediana em dados agrupados em distribuição de frequência</p><p>com intervalo de classes, iremos retomar o exemplo já trabalhado anteriormente</p><p>e, assim como fizemos para as demais maneiras de apresentação de dados, vamos</p><p>seguir alguns passos.</p><p>Exemplo 1: Na tabela de distribuição de frequência com intervalos de classe a</p><p>seguir, estão relacionadas às estaturas de 100 acadêmicos do curso de Segurança</p><p>do Trabalho da Uniasselvi no ano de 2017.</p><p>TABELA 29 – DISTRIBUIÇÃO DAS ESTATURAS DE 100 ACADÊMICOS DO</p><p>CURSO DE SEGURANÇA DO TRABALHO DA UNIASSELVI – 2017</p><p>Estatura (cm) Número de acadêmicos (fi)</p><p>140 Ⱶ 150 5</p><p>150 Ⱶ 160 10</p><p>160 Ⱶ 170 30</p><p>170 Ⱶ 180 40</p><p>180 Ⱶ 190 10</p><p>190 Ⱶ 200 5</p><p>Total 100</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>1º Passo: continua sendo determinar a posição em que a mediana se encontra,</p><p>igual aos casos anteriores.</p><p>Posição: if 1n 1 100 1 101 50,5</p><p>2 2 2 2</p><p>++ +</p><p>= = = =∑</p><p>2º Passo: determinar a classe da mediana, que nada mais é que a linha em que</p><p>a posição calculada (no caso 50,5) se encontra, novamente para determinar essa</p><p>linha (classe), basta olhar a coluna da frequência acumulada (Fa). O primeiro</p><p>valor dessa coluna Fa igual ou maior que a posição calculada indicará a classe da</p><p>mediana. Assim, vamos preparar a tabela com os valores de xi e Fa.</p><p>TÓPICO 1 | MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL</p><p>169</p><p>TABELA 30 – DISTRIBUIÇÃO DAS ESTATURAS DE 100 ACADÊMICOS DO CURSO DE</p><p>SEGURANÇA DO TRABALHO DA UNIASSELVI – 2017 – XI E FA</p><p>Estatura (cm) Número de Acadêmicos (fi) Xi Fa</p><p>140 Ⱶ 150 5 145 5</p><p>150 Ⱶ 160 10 155 15</p><p>160 Ⱶ 170 30 165 45</p><p>170 Ⱶ 180 40 175 85</p><p>180 Ⱶ 190 10 185 95</p><p>Total 100</p><p>Classe da</p><p>Mediana</p><p>Fonte: Dados fictícios</p><p>Neste exemplo, o primeiro valor igual ou maior que 50,5 é o 85 que está na</p><p>4ª classe (linha 4), ou seja, a classe da mediana será 170 ├ 180.</p><p>3º Passo: calcular a mediana usando a fórmula a seguir:</p><p>M l</p><p>f i F anterior</p><p>f</p><p>hd i</p><p>a</p><p>i</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>( )</p><p>Em que:</p><p>ℓi = limite inferior da classe da mediana.</p><p>Fa(anterior) = frequência acumulada da classe anterior à da mediana.</p><p>fi = frequência da classe mediana.</p><p>h = amplitude da classe modal.</p><p>Neste exemplo, temos:</p><p>i = 4</p><p>l 170</p><p>f</p><p>Fa (anteior) = 45</p><p>f = 40</p><p>h=10</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� 100</p><p>UNIDADE 3 | MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE E ESTATÍSTICA DE ACIDENTES</p><p>170</p><p>M l</p><p>f</p><p>F anterior h</p><p>f</p><p>Md</p><p>d i</p><p>i</p><p>a</p><p>i</p><p>� �</p><p>�</p><p>� � ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>2</p><p>170</p><p>100</p><p>2</p><p>45 10</p><p>40</p><p>MMd</p><p>Md</p><p>Md</p><p>Md</p><p>� �</p><p>��� �� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>170</p><p>50 45 10</p><p>40</p><p>170 5 10</p><p>40</p><p>170 1 25</p><p>171 25</p><p>,</p><p>,</p><p>Substituindo na fórmula, temos:</p><p>Logo, a mediana é 171, 25 centímetros.</p><p>Algumas observações sobre a mediana:</p><p>• É menos sensível a valores extremos do que a média.</p><p>• É difícil de determinar para grande quantidade de dados.</p><p>• É mais adequada para distribuição muito assimétrica.</p><p>ATENCAO</p><p>171</p><p>Neste tópico, você aprendeu que:</p><p>• Os principais conceitos das medidas de tendência central.</p><p>• As medidas de posição:</p><p>o Média: medida de uniformização.</p><p>o Mediana: medida de posição.</p><p>o Moda: medida de concentração.</p><p>• Os dados podem estar apresentados de três formas:</p><p>o Dados não agrupados.</p><p>o Dados agrupados em distribuição de frequência sem intervalo de classes.</p><p>o Dados agrupados em distribuição de frequência com intervalo de classes.</p><p>RESUMO DO TÓPICO 1</p><p>172</p><p>1 Foram obtidas as quantidades de dias perdidos por funcionários,</p><p>em decorrência de acidentes de trabalho em um período</p><p>analisado de 16 meses em uma empresa do ramo têxtil.</p><p>135 90 85 121 83 69 159 177</p><p>120 133 90 80 70 93 80 110</p><p>Para este caso, determine a média, a mediana e a moda.</p><p>2 O gráfico a seguir apresenta a taxa de gravidade de acidentes em %</p><p>de uma empresa economicamente ativa no período de 2009 a 2017:</p><p>AUTOATIVIDADE</p><p>A partir do gráfico, determine as medidas de tendência central para o caso.</p><p>3 Em um dado mês, um sindicato de trabalhadores da indústria</p><p>verificou as taxas de frequência de acidentes da região. Com</p><p>base nos resultados apresentados a seguir, serão tomadas</p><p>decisões acerca de melhorias a serem realizadas e punições para</p><p>as empresas que não se adequarem às novas metas estabelecidas. Esta meta</p><p>a ser estabelecida é medida através da taxa de frequência, que podem ser</p><p>obtidas pelas medidas de tendência central da distribuição abaixo. Calcule a</p><p>meta para a taxa de frequência de acidentes que este sindicato irá propor.</p><p>Taxa de frequência Quantidade de empresas</p><p>16 --- 25 22</p><p>26 --- 35 10</p><p>36 --- 45 6</p><p>46 --- 55 2</p><p>56 --- 65 4</p><p>66 --- 75 5</p><p>76 --- 85 1</p><p>173</p><p>TÓPICO 2</p><p>MEDIDAS DE DISPERSÃO</p><p>UNIDADE 3</p><p>1 INTRODUÇÃO</p><p>No tópico anterior, estudamos algumas medidas de localização do centro</p><p>de uma distribuição de dados, ou seja, as medidas de posição: média, moda e</p><p>mediana, porém, estas medidas descrevem apenas uma das características dos</p><p>valores numéricos de um conjunto de observações, o da tendência central. O que</p><p>às vezes é insuficiente para representar fidedignamente os dados analisados.</p><p>Um exemplo disso, é que grupos diferentes de dados observados podem</p><p>apresentar a mesma média, como no caso a seguir:</p><p>• Grupo 1: 5, 5, 5.</p><p>• Grupo</p><p>2: 4, 5, 6.</p><p>• Grupo 3: 0, 5, 10.</p><p>• Grupo 4: 3, 4, 8.</p><p>Observe que nos quatro grupos, a média é a mesma (5), porém no grupo</p><p>1 não há variação entre os dados, enquanto no grupo 2 a variação é menor que no</p><p>grupo 3 e no grupo 4.</p><p>Dessa forma, podemos observar que em qualquer grupo de dados os</p><p>valores numéricos não são semelhantes e apresentam desvios variáveis em relação</p><p>à tendência geral de média. Desta forma, uma maneira mais completa de analisar</p><p>os dados é aplicar uma medida de dispersão, também conhecida como medida de</p><p>variabilidade, indica se os valores estão relativamente próximos uns dos outros.</p><p>Neste tópico aprenderemos a determinar as medidas de dispersão que são:</p><p>amplitude, desvio-padrão e variância, bem como a interpretar seus resultados.</p><p>2 DESVIO-PADRÃO</p><p>O desvio-padrão é uma medida de dispersão que indica a regularidade</p><p>de um conjunto de dados em função da média aritmética, ou seja, nos informa</p><p>o quão “confiável” é esse valor. O desvio-padrão é uma medida que só pode</p><p>assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a dispersão e a</p><p>variabilidade dos dados.</p><p>174</p><p>UNIDADE 3 | MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE E ESTATÍSTICA DE ACIDENTES</p><p>Desta forma, quanto menor for o desvio-padrão em relação à média,</p><p>maior a homogeneidade da distribuição, ou seja, mas agrupado os dados estarão</p><p>em torno da média. Se o desvio-padrão for grande, indica que os dados da</p><p>distribuição estão muito dispersos, ou seja, estão longe da média.</p><p>Existem dois tipos de desvio-padrão, o amostral e o populacional, os quais</p><p>trataremos a seguir.</p><p>2.1 DESVIO-PADRÃO AMOSTRAL E DESVIO-PADRÃO</p><p>POPULACIONAL</p><p>Na Unidade 1 deste livro didático, tratamos a diferença entre população</p><p>e amostra. E, na maioria das vezes trabalhamos com amostras e com isso, é mais</p><p>comum utilizarmos o desvio-padrão amostral que é representado por S. Porém</p><p>há também o desvio-padrão populacional representado por σ (sigma).</p><p>A seguir, veremos qual a diferença no cálculo de cada um deles.</p><p>2. 2 CÁLCULO DO DESVIO-PADRÃO</p><p>Assim como nos cálculos das medidas de tendência central, as quais</p><p>estudamos no tópico anterior, o desvio-padrão também deve ser calculado</p><p>observando-se o tipo de dados que temos. Assim, trataremos cada um deles,</p><p>iniciando pelos dados não agrupados.</p><p>2.2.1 Dados não agrupados</p><p>Para calcular o desvio-padrão em dados não agrupados, devemos seguir</p><p>os seguintes passos:</p><p>1º passo: calcular a média dos elementos.</p><p>2º passo: calcular a diferença entre cada elemento e a média.</p><p>(x – x)</p><p>3º passo: elevar essas diferenças a segunda potência.</p><p>(x – x)²</p><p>4º passo: somar todos os resultados obtidos no passo 3.</p><p>5º passo: dividir a soma por n (se for populacional) ou dividir por n-1 (se for</p><p>amostral).</p><p>TÓPICO 2 | MEDIDAS DE DISPERSÃO</p><p>175</p><p>A diferença no cálculo dos dois desvios-padrão (populacional e amostral) é o</p><p>denominador (o divisor), enquanto que na populacional, dividimos pelo número total de</p><p>elementos n, no amostral dividimos por n-1. A seguir veremos exemplos de cálculos dos dois</p><p>tipos para que não fiquem dúvidas.</p><p>IMPORTANTE</p><p>6º passo: calcular a raiz quadrada do resultado da divisão obtida no passo 5.</p><p>Acompanhe o exemplo:</p><p>Exemplo 1: os resultados a seguir, são baseados em uma escala de batimentos</p><p>cardíacos de uma amostra de 9 funcionários após a realização de uma atividade</p><p>de produção intensiva.</p><p>67 75 63 72 77 78 81 77 80</p><p>Determine o desvio-padrão para o caso mencionado.</p><p>Resolução: Iremos resolver o caso, calculando o desvio-padrão, mediante os</p><p>passos apresentados anteriormente:</p><p>1º passo: calcular a média dos elementos.</p><p>�</p><p>� � � � � � � �</p><p>�</p><p>67 75 63 72 77 78 81 77 80</p><p>9</p><p>74 44,X</p><p>2º passo: calcular a diferença entre cada elemento e a média.</p><p>(x – x)</p><p>Para facilitar este caso, iremos construir uma tabela para organização:</p><p>176</p><p>UNIDADE 3 | MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE E ESTATÍSTICA DE ACIDENTES</p><p>TABELA 31 – ESCALA BATIMENTOS CARDÍACOS – RESULTADO 1</p><p>(x – x) Resultado</p><p>67 – 74,44 -7,44</p><p>75 – 74,44 0,56</p><p>63 – 74,44 -11,44</p><p>72 – 74,44 -2,44</p><p>77 – 74,44 2,56</p><p>78 – 74,44 3,56</p><p>81 – 74,44 6,56</p><p>77 – 74,44 2,56</p><p>80 – 74,44 5,56</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>3º passo: elevar essas diferenças à segunda potência.</p><p>TABELA 32 – ESCALA BATIMENTOS CARDÍACOS – RESULTADO 2</p><p>(x – x)² Resultado</p><p>-7,442 55,3536</p><p>0,562 0,3136</p><p>-11,442 130,8736</p><p>-2,442 5,9536</p><p>2,562 6,5536</p><p>3,562 12,6736</p><p>6,562 43,0336</p><p>2,562 6,5536</p><p>5,562 30,9136</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>4º passo: somar todos os resultados obtidos no passo 3.</p><p>55,3536 + 0,3131 + 130,8736 + 5,9536 + 6,5536 + 12,6736 + 43,0336 + 6,5536 +</p><p>30,9136 = 292,2219</p><p>5º passo: dividir a soma por n (se for populacional) ou dividir por n - 1 (se for</p><p>amostral).</p><p>Utilizamos (9-1) pois trata-se de uma amostra de funcionários.</p><p>≅ 36,5277</p><p>292,2219</p><p>9 – 1</p><p>TÓPICO 2 | MEDIDAS DE DISPERSÃO</p><p>177</p><p>A diferença no cálculo dos dois desvios padrões (populacional e amostral) é</p><p>o denominador (o divisor), enquanto que na populacional dividimos pelo número total de</p><p>elementos n, no amostral dividimos por n-1.</p><p>UNI</p><p>6º passo: calcular a raiz quadrada do resultado da divisão obtida no passo 5.</p><p>Iremos representar o desvio-padrão pela letra s:</p><p>2.2.2 Dados agrupados em distribuição de frequência</p><p>sem intervalo de classes</p><p>Para este agrupamento de dados, iremos repetir os mesmos passos para</p><p>determinar o desvio-padrão com frequência simples.</p><p>Exemplo 1: uma amostra de caixas foi investigada em relação a pressão</p><p>relativa que sustentam antes de estourarem, obtendo-se o seguinte:</p><p>TABELA 33 – CAIXAS PARA VERICAÇÃO DA PRESSÃO</p><p>Quantidade</p><p>de caixas</p><p>Pressão (lb/pol²)</p><p>1 19</p><p>2 13</p><p>3 11</p><p>4 9</p><p>5 8</p><p>6 5</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>Determine o desvio-padrão do resultado da pressão média sustentada</p><p>pelas caixas mencionadas.</p><p>s = √ 36,5277 ≅ 6,0438</p><p>178</p><p>UNIDADE 3 | MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE E ESTATÍSTICA DE ACIDENTES</p><p>Resolução: o procedimento é basicamente o mesmo realizado no exemplo anterior,</p><p>a grande questão é que as classes (quantidade de caixas) são de valor variável.</p><p>Desta forma, na construção da tabela, levamos em consideração a multiplicação</p><p>da quantidade de caixas pelo desvio médio quadrado.</p><p>Inicialmente, realizaremos o cálculo da média, como visto no Tópico 1</p><p>desta unidade:</p><p>TABELA 34 – CÁLCULO MÉDIA DAS CAIXAS PARA VERICAÇÃO DA</p><p>PRESSÃO</p><p>Quantidade</p><p>de caixas</p><p>Pressão (lb/pol²) xi . fi</p><p>1 19 1.19 = 19</p><p>2 13 2.13 = 26</p><p>3 11 3.11 = 33</p><p>4 9 4.9=36</p><p>5 8 5.8 = 40</p><p>6 5 6.5=30</p><p>Total 65 184</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>Logo:</p><p>X</p><p>x f</p><p>f</p><p>i i</p><p>i</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>� 184</p><p>65</p><p>2 83,</p><p>Agora, iremos construir uma tabela para a organização dos dados e a</p><p>obtenção do resultado referente à:</p><p>TABELA 35 – RESULTADO CÁLCULO MÉDIA DAS CAIXAS PARA VERICAÇÃO DA PRESSÃO</p><p>Quantidade</p><p>de caixas Pressão (lb/pol²) xi . fi x X− x X�� �2²</p><p>1 19 19 1 – 2,83 = -1,83 �� � �1 83 3 34892, ,</p><p>2 13 26 2 – 2,83 = -0,83 �� � �0 83 0 68892, ,</p><p>3 11 33 3 – 2,83 = 0,17 0 17 0 02892, ,� � �</p><p>4 9 36 4 – 2,83 = 1,17 1 17 1 36892, ,� � �</p><p>TÓPICO 2 | MEDIDAS DE DISPERSÃO</p><p>179</p><p>5 8 40 5 – 2,83 = 2,17 2 17 4 70892, ,� � �</p><p>6 5 30 6 – 2,83 = 3,17 3 17 10 04892, ,� � �</p><p>Total 65 184</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>Mas, como citado anteriormente, devemos multiplicar cada resultado de</p><p>x X�� �2² pela quantidade de caixas fi informadas, logo:</p><p>x X fi�� � �</p><p>�</p><p>x X�� �2²</p><p>�� � �</p><p>�� � � �</p><p>� � � �</p><p>� � �</p><p>�1 83 1 3 3489</p><p>0 83 2 1 3778</p><p>0 17 3 0 0867</p><p>1 17</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>, 44 5 4756</p><p>2 17 5 23 5445</p><p>3 17 6 60 2934</p><p>2</p><p>2</p><p>�</p><p>� � � �</p><p>� � � �</p><p>,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>94,1269</p><p>Agora, devemos tomar esta soma (94,1269) e dividir pelo total de 1 + 2 + 3</p><p>+ 4 + 5 + 6 = 21 caixas (faremos menos 1, pois se tratar de uma amostra):</p><p>94 1269</p><p>21 1</p><p>4 7063, ,</p><p>�</p><p>�</p><p>Por fim, basta extrair a raiz quadrada deste resultado, obtendo:</p><p>= =4 7063 2 1694, ,s</p><p>2.2.3 Frequência de classes</p><p>Quando os dados estão agrupados em uma distribuição de frequência com</p><p>intervalo de classe, usaremos a seguinte fórmula para calcular o desvio-padrão:</p><p>180</p><p>UNIDADE 3 | MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE E ESTATÍSTICA DE ACIDENTES</p><p>S</p><p>x X f</p><p>f</p><p>x X</p><p>i i</p><p>i</p><p>i</p><p>�</p><p>� �� � ��</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>� �� �</p><p>� �� �</p><p>2</p><p>1</p><p>para dados amostrais</p><p>S =</p><p>22</p><p>��</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>f</p><p>f</p><p>i</p><p>i( )</p><p>para dados populacionais.</p><p>Essas fórmulas só resumem os passos que já fizemos anteriormente, veja</p><p>nos exemplos.</p><p>Exemplo 1: os dados a seguir referem-se ao tempo, em dias, que os 80 funcionários</p><p>acidentados da empresa X, perderam em função de más condições de trabalho.</p><p>TABELA 36 – DADOS DO TEMPO QUE FUNCIONÁRIOS PERDERAM</p><p>POR MÁS CONDIÇÕES DE TRABALHO</p><p>Tempo (dias) N.de pacientes</p><p>0 --- 4 8</p><p>4 --- 8 15</p><p>8 --- 12 24</p><p>12 --- 16 20</p><p>16 --- 20 13</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>Determine o desvio-padrão para o caso.</p><p>Resolução: iremos, conforme citado anteriormente, construir uma tabela que</p><p>reproduz os passos realizados nos exemplos anteriores (teremos neste caso que</p><p>calcular o ponto médio, pois trata-se de uma tabela com classes intervaladas):</p><p>TABELA 37 – CÁLCULOS REALIZADOS</p><p>Tempo(dias) N.de func. xi xi . fi x X− x X�� �2² x X fi�� � �</p><p>�</p><p>x X�� �2²</p><p>0 --- 4 8 2 16 -8,75 76,5625 612,5</p><p>4 --- 8 15 6 90 -4,75 22,5625 38,4375</p><p>8 --- 12 24 10 240 -0,75 0,5625 13,5</p><p>12 --- 16 20 14 280 3,25 10,5625 211,25</p><p>16 --- 20 13 18 234 7,25 52,5625 683,3125</p><p>Total 80 860 1158,995</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>TÓPICO 2 | MEDIDAS DE DISPERSÃO</p><p>181</p><p>Cálculo de média:</p><p>X</p><p>x f</p><p>f</p><p>i i</p><p>i</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>� 860</p><p>80</p><p>10 75,</p><p>Para o cálculo do desvio-padrão, basta tomar a soma final encontrada na</p><p>tabela, e utilizar a fórmula descrita acima para dados populacionais, pois trata-se</p><p>de uma análise de “todos” os funcionários acidentados da empresa em questão:</p><p>S</p><p>x X f</p><p>f</p><p>i i</p><p>i</p><p>�</p><p>� �� ��</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>2</p><p>1158 995</p><p>80</p><p>4 4144, ,</p><p>3 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO</p><p>Na estatística, utilizamos diversas medidas para descrever fenômenos.</p><p>Algumas são as de tendência central e outras as de dispersão. Dentre as medidas</p><p>de dispersão, já estudamos o desvio-padrão, porém, o desvio-padrão, por si só,</p><p>tem algumas limitações, por exemplo, um desvio-padrão de 2 unidades pode</p><p>ser considerado pequeno para uma série de valores cujo valor médio é 200, no</p><p>entanto, se a média for igual a 20, o mesmo não pode ser dito.</p><p>O fato de o desvio-padrão ser expresso na mesma unidade dos dados</p><p>limita o seu emprego quando desejamos comparar duas ou mais séries de</p><p>valores, relativamente a sua dispersão ou variabilidade, quando expressas em</p><p>unidades diferentes. Entretanto, uma medida muito utilizada, principalmente</p><p>para se comparar medidas distintas, é o coeficiente de variabilidade ou apenas</p><p>coeficiente de variação (CV).</p><p>O coeficiente de variação é uma medida de variabilidade relativa, pois, é a</p><p>relação entre o desvio-padrão (S) e a média aritmética ( �X ), multiplicada por 100,</p><p>portanto, o coeficiente de variação (CV) é uma medida de dispersão cujo objetivo</p><p>é apresentar a variabilidade da distribuição em termos percentuais (%).</p><p>A fórmula do CV S</p><p>X</p><p>� �100 (o resultado neste caso é expresso em</p><p>percentual, entretanto pode ser expresso também através de um fator decimal,</p><p>desprezando assim o valor 100 da fórmula).</p><p>182</p><p>UNIDADE 3 | MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE E ESTATÍSTICA DE ACIDENTES</p><p>Interpretação do C.V.:</p><p>Até 15% variação pequena.</p><p>De 15% a 30% variação média.</p><p>30% ou mais variação grande.</p><p>ATENCAO</p><p>Exemplo 1: observe a tabela a seguir, com os resultados das estaturas e dos pesos</p><p>de um mesmo grupo de indivíduos.</p><p>TABELA 38 – COMPARAÇÃO ENTRE A MÉDIA E O DESVIO-PADRÃO</p><p>Discriminação Média Desvio-padrão</p><p>Estaturas 170 cm 10 cm</p><p>Pesos 68 kg 7 kg</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>Agora responda, qual das medidas (estatura ou peso) possui maior</p><p>homogeneidade?</p><p>Resposta: teremos que calcular o coeficiente de variação da estatura e o</p><p>coeficiente de variação do peso, porque só o desvio-padrão não informará qual a</p><p>distribuição é mais dispersa (como discutido acima), uma vez que os valores são</p><p>numericamente diferentes (enquanto a altura varia está na casa das centenas, o</p><p>peso está na casa das dezenas). O resultado menor será o de maior homogeneidade</p><p>(menor dispersão ou variabilidade).</p><p>Para isso, basta substituir os dados na fórmula:</p><p>CV S</p><p>X</p><p>� �100</p><p>CV estatura = 10</p><p>170</p><p>100 5 88� � , %</p><p>CV peso = 7</p><p>68</p><p>100 10 29� � , %</p><p>TÓPICO 2 | MEDIDAS DE DISPERSÃO</p><p>183</p><p>Assim, apesar de nesse grupo de indivíduos o desvio-padrão ser menor</p><p>nos dados relativos aos pesos, as estaturas apresentam menor grau de dispersão</p><p>que os pesos, visto apresentarem um coeficiente de variação menor.</p><p>Exemplo 2: as concentrações de óxido de nitrogênio (O) e hidrocarbono</p><p>(H) (em µg/m3) foram determinadas em uma área industrial, em locais e horários</p><p>específicos. Os dados são mostrados a seguir:</p><p>TABELA 39 – AMOSTRAS DE ÓXIDO DE NITROGÊNIO E HIDROCARBONO</p><p>Variável Média ( �X ) Desvio-padrão (s)</p><p>O 83,73 16,89</p><p>H 85,82 16,44</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>Se há um parâmetro que indica que o percentual de concentração é de, no</p><p>máximo, 20% segundo a OIT, determine qual o tipo de componente químico a ser</p><p>analisado e corrigido.</p><p>Resolução: A análise percentual em torno da média é dada pelo coeficiente</p><p>de variação, logo, para a verificação iremos calcular os respectivos coeficientes de</p><p>variação e analisar se eles estão compatíveis com o índice estipulado pela OIT:</p><p>CV O =</p><p>16 89</p><p>83 73</p><p>100 20 17,</p><p>,</p><p>, %� �</p><p>CV H =</p><p>16 44</p><p>85 85</p><p>100 19 14,</p><p>,</p><p>, %� � .</p><p>Assim, o nível de concentração de óxido de nitrogênio deve ser revisto,</p><p>pois o valor ultrapassou a marca de 20%.</p><p>184</p><p>Neste tópico, você aprendeu que:</p><p>• O conceito de desvio-médio de uma distribuição de dados.</p><p>• A principal característica e o modo de cálculo da variância dos dados.</p><p>• O desvio-padrão, em sua análise amostral e populacional.</p><p>• O modo de cálculo do coeficiente de variação, e sua importância na medida de</p><p>comparação entre experimentos.</p><p>RESUMO DO TÓPICO 2</p><p>185</p><p>AUTOATIVIDADE</p><p>1 (ENADE 2012) As ações das companhias AAA e ZZZ apresentaram</p><p>a seguinte série histórica de cotações em determinado mês, em reais.</p><p>DIAS AAA ZZZ</p><p>1 10,00 20,00</p><p>2 10,00 23,00</p><p>3 12,00 22,00</p><p>4 12,00 24,00</p><p>5 16,00 25,00</p><p>6 13,00 28,00</p><p>7 12,00 28,00</p><p>8 15,00 25,00</p><p>9 10,00 28,00</p><p>10 10,00 27,00</p><p>Dados estatísticos</p><p>AAA ZZZ</p><p>Média 12,00 25,00</p><p>Moda 10,00 28,00</p><p>Mediana 12,00 25,00</p><p>Variância 4,6667 7,7778</p><p>Desvio-padrão 2,1602 2,7889</p><p>Com base nas estatísticas apresentadas acima, avalie as proposições</p><p>que se seguem.</p><p>I– O desvio-padrão das cotações das ações da empresa AAA mostra que</p><p>houve uma variação em torno da mediana de 2,1602 pontos para cima ou</p><p>para baixo.</p><p>II– A média da soma dos quadrados dos erros (variância) da cotação das ações</p><p>da empresa AAA é 4,6667.</p><p>III– A média das cotações das ações da empresa ZZZ mostra que R$ 25,00 é o</p><p>valor mais frequente na sua série histórica.</p><p>IV– A mediana da cotação das ações da empresa AAA corresponde à média</p><p>dos extremos de sua série histórica.</p><p>V– O valor mais frequente da cotação das ações da empresa ZZZ foi 28,00.</p><p>186</p><p>Assinale a sentença que indicam as respostas corretas:</p><p>a) ( ) As sentenças I e V estão corretas.</p><p>b) ( ) As sentenças II e IV estão corretas.</p><p>c) ( ) As sentenças II e V estão corretas.</p><p>d) ( ) As sentenças III e IV estão corretas.</p><p>2 Uma cerâmica fabrica tijolos de acordo com a norma de um</p><p>grande cliente. A norma estabelece que os tijolos devem</p><p>suportar no mínimo uma força de compressão média de 10 kg/</p><p>cm2 e que o desvio-padrão não deve ser superior a 5% da média.</p><p>Num ensaio realizado em um lote de tijolos pelo engenheiro da qualidade</p><p>do cliente, foram registrados os seguintes dados de uma amostra de 6 tijolos,</p><p>para sua resistência à compressão em kg/cm2: 12, 11, 10, 9, 8, 5 e 11,5. Nestas</p><p>condições, o engenheiro da qualidade aprovará ou reprovará o lote de tijolos?</p><p>3 Um levantamento dos preços à vista de gasolina e de álcool, em alguns postos</p><p>da cidade, está mostrado na tabela abaixo (em R$).</p><p>Gasolina 2,61 2,64 2,56 2,61 2,60 2,58</p><p>Álcool 1,90 1,79 1,88 1,81 1,88 1,84</p><p>FONTE: Dados fictícios</p><p>a) Qual é a média, o desvio-padrão e o coeficiente de variação dos preços de</p><p>cada combustível?</p><p>b) Qual é o combustível que tem seus preços mais homogêneos?</p><p>4 De posse dos resultados</p><p>de produtividade alcançados por fun-</p><p>cionários de determinada área da empresa em que trabalha, o</p><p>gerente de recursos humanos decidiu empregar a seguinte es-</p><p>tratégia: aqueles funcionários com rendimento inferior a dois</p><p>desvios-padrão abaixo da média (Limite Inferior - LI) deverão passar por</p><p>treinamento específico para melhorar seus desempenhos, aqueles funcioná-</p><p>rios com rendimento superior a dois desvios-padrão acima da média (Limite</p><p>Superior – LS) serão promovidos a líderes de equipe.</p><p>Indicador Frequência</p><p>0 Ⱶ2 10</p><p>2 Ⱶ 6 20</p><p>4 Ⱶ 6 240</p><p>6 Ⱶ 8 410</p><p>8 Ⱶ 10 120</p><p>Total 800</p><p>187</p><p>Assinale a opção que apresenta os limites LI e LS a serem utilizados pelo</p><p>Gerente de Recursos Humanos:</p><p>a) ( ) LI = 4,0 e LS = 9,0.</p><p>b) ( ) LI = 3,6 e LS = 9,4.</p><p>c) ( ) LI = 3,0 e LS = 9,8.</p><p>d) ( ) LI = 3,2 e LS = 9,4.</p><p>e) ( ) LI = 3,4 e LS = 9,6.</p><p>188</p><p>189</p><p>TÓPICO 3</p><p>ESTATÍSTICAS DE ACIDENTES</p><p>UNIDADE 3</p><p>1 INTRODUÇÃO</p><p>Quando iniciamos os estudos referentes à segurança do trabalho, muitas</p><p>vezes, não imaginamos quanto a estatística é importante e aplicável em sua</p><p>concepção. Legalmente, qualquer acidente de trabalho deve ser informado</p><p>pela empresa para o INSS (Instituto Nacional do Seguro Social), por meio da</p><p>CAT (Comunicação de Acidentes de Trabalho). Este documento controla</p><p>estatisticamente os acidentes ocorridos, objetivando a avaliação e eficácia da</p><p>prevenção de acidentes realizados pelas empresas.</p><p>A partir de então uma infinidade de consequências destas estatísticas</p><p>auxiliam no combate e prevenção de acidentes, como por exemplo: Quanto custa</p><p>um acidente de trabalho? Como é possível reduzir os acidentes de trabalho?</p><p>Desta forma, este estudo torna-se tão importante que foi criado o Cadastro</p><p>de Acidentes na Empresa, que se baseia na norma NBR 14280/99 – Cadastro de</p><p>acidentes do trabalho, que propicia medidas padrão para a comparação entre as</p><p>empresas. Estas medidas, são o principal objeto de estudo deste tópico, sendo a</p><p>Taxa de Gravidade e de Frequência de Acidentes.</p><p>2 CONCEITOS BÁSICOS SOBRE ESTATÍSTICAS DE ACIDENTES</p><p>Antes de dar início às medidas de gravidade e frequência de acidentes,</p><p>é necessário que se tenha um conhecimento básico de alguns termos e conceitos</p><p>importantes para este estudo. Sem eles, teremos algumas lacunas no momento do</p><p>estudo principal. Vejamos a seguir:</p><p>2.1 EMPREGADOS</p><p>Quantidade de pessoas compromissadas com a prestação de serviços</p><p>na empresa considerada. Incluem-se nesta perspectiva desde estagiários à</p><p>proprietários (registrados), inclusive autônomos.</p><p>UNIDADE 3 | MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE E ESTATÍSTICA DE ACIDENTES</p><p>190</p><p>2.2 HORAS-HOMEM DE EXPOSIÇÃO AO RISCO – HHT</p><p>A soma das horas em que os empregados executam algum trabalho para</p><p>a empresa. A unidade de medida depende da necessidade de cálculo existente:</p><p>horas, dias, semanas, são alguns exemplos.</p><p>− A quantidade de horas deve ser extraída da folha de pagamento do funcionário,</p><p>e ela deve conter a soma das horas extras, inclusive.</p><p>− Quando ocorrer a inacessibilidade do total de horas, o cálculo deve ser feito tomando-se a</p><p>média das horas trabalhadas por dia, multiplicadas pelo total de dias trabalhados.</p><p>− Na impossibilidade absoluta de calcular o total de horas, deve-se atribuir o valor referência</p><p>de 2000 horas, para cada empregado.</p><p>− Horas pagas, porém não trabalhadas, por exemplo, férias e dias de atestado médico não</p><p>devem ser contabilizados para fins de cálculo de horas-homem.</p><p>UNI</p><p>2.3 DIAS PERDIDOS – DP</p><p>Os dias de trabalho perdidos são contados de forma corrida, exceto o dia</p><p>do acidente e o dia do retorno ao trabalho. Ainda mais, referem-se a acidentes de</p><p>cunho pessoal.</p><p>2.4 DIAS DEBITADOS – DD</p><p>São os dias que são contabilizados como “perdidos”, porém, nos casos de</p><p>incapacidade permanente ou morte.</p><p>2.5 TEMPO COMPUTADO – TC</p><p>Trata-se do tempo total, calculado pela soma de dias perdidos (DP), em</p><p>referência aos acidentados e os dias debitados (DD) referentes aos acidentes com</p><p>incapacidade parcial/total ou morte.</p><p>Uma fórmula para este cálculo pode ser descrita como:</p><p>TC = DP + DD</p><p>TÓPICO 3 | ESTATÍSTICAS DE ACIDENTES</p><p>191</p><p>2.6 NÚMERO DE ACIDENTES – NA</p><p>O número de acidentes é a quantidade de acidentes existentes em um</p><p>intervalo de tempo. Assim, como no computo de horas-homem de exposição,</p><p>a unidade de medida depende da necessidade de cálculo existente: horas, dias,</p><p>semanas etc.</p><p>As quantidades de acidentes podem ser separadas em dois tipos:</p><p>• Com afastamento</p><p>• Sem afastamento</p><p>3 MEDIDAS DE FREQUÊNCIA E GRAVIDADE DE ACIDENTES</p><p>Neste ponto, iremos estudar, talvez, a parte mais importante acerca</p><p>das aplicações da estatística para segurança do trabalho. Como já citado, estas</p><p>medidas são padrões estabelecidos pelos órgãos competentes a fim de criar</p><p>parâmetros para a melhoria dos quadros de acidentes no país, bem como um</p><p>meio de comparação com outras empresas do país e do exterior.</p><p>Deve ficar claro, também, que o cálculo destas taxas deve ser feito</p><p>prioritariamente em períodos mensais ou anuais, mas se for conveniente para o</p><p>contexto da empresa, podem ser utilizados outros parâmetros.</p><p>3.1 TAXA DE FREQUÊNCIA DE ACIDENTES (TF)</p><p>É um valor-referência que expressa a quantidade de acidentes por milhão</p><p>de horas-homem de exposição ao risco de acidentes, em um dado intervalo</p><p>de tempo. Seu arredondamento deve ser feito com a aproximação centesimal,</p><p>calculada através da seguinte fórmula:</p><p>TF NA</p><p>HHT</p><p>�</p><p>�1 000 000. .</p><p>Lembrando que:</p><p>TF → Taxa de frequência de acidentes</p><p>NA → Número de acidentes</p><p>HHT → Horas – homem de exposição ao risco</p><p>Neste ponto é importante frisar que o cálculo da taxa de frequência pode ser</p><p>realizado diferenciando-se os casos de acidentes com e sem afastamento de trabalho.</p><p>UNIDADE 3 | MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE E ESTATÍSTICA DE ACIDENTES</p><p>192</p><p>• Deve-se apenas contabilizar os acidentes que não geraram dias perdidos e/ou</p><p>debitados nos casos sem afastamento.</p><p>• Deve-se apenas contabilizar os acidentes que geraram dias perdidos e/ou debitados nos</p><p>casos sem afastamento.</p><p>Estas especificidades alertam para acidentes que possam vir a ser classificados como os de</p><p>com afastamento.</p><p>UNI</p><p>Exemplo: em uma empresa em que trabalham 400 funcionários,</p><p>ocorreram em um determinado mês 5 acidentes com afastamento e 3 acidentes</p><p>sem afastamento. Determine:</p><p>a) A taxa de frequência de acidentes sem afastamento.</p><p>b) A taxa de frequência de acidentes com afastamento.</p><p>c) A taxa de frequência de acidentes total.</p><p>Resolução:</p><p>Antes de iniciarmos com o cálculo da taxa de frequência de acidentes,</p><p>devemos calcular a quantidade de horas-homem adequada para a empresa</p><p>(HHT):</p><p>Dados:</p><p>400</p><p>8</p><p>1 30</p><p>funcionários</p><p>horas</p><p>dia</p><p>mês dias não foi especifi= ( ccado o usa se, log - ) 30</p><p>Logo:</p><p>HHT = 400 x 8 x 30 = 96000 horas / homem de exposição ao risco</p><p>a) Para a taxa de frequência sem afastamento, deveremos contabilizar apenas 5</p><p>acidentes, logo:</p><p>TF NA</p><p>HHT</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>1 000 000 5 1 000 000</p><p>96 000</p><p>52 083333 52 08. . . .</p><p>.</p><p>, ,</p><p>TÓPICO 3 | ESTATÍSTICAS DE ACIDENTES</p><p>193</p><p>b) Neste caso, com afastamento, iremos considerar os 3 acidentes que geraram</p><p>afastamento:</p><p>TF NA</p><p>HHT</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>1 000 000 3 1 000 000</p><p>96 000</p><p>31 25. . . .</p><p>.</p><p>,</p><p>c) Para o caso geral, somamos as quantidades de acidentes, com e sem afastamento,</p><p>logo 5 + 3 = 8 acidentes:</p><p>TF NA</p><p>HHT</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>1 000 000 8 1 000 000</p><p>96 000</p><p>83 33333 83 33. . . .</p><p>.</p><p>, ,</p><p>Este exemplo, é claro que é bastante simples, porém, ele foge da real</p><p>situação que uma empresa sofre. Veremos um caso:</p><p>Exemplo: Em um mês empresarial (que possui 21 dias trabalhados), com 8</p><p>horas cada, o registro de acidentes arrolou 2 (dois) acidentes, um sem afastamento</p><p>e outro com incapacidade temporária (afastamento de 4 dias). O setor de RH</p><p>repassou as seguintes informações:</p><p>• 182 trabalhadores cumpriram o horário integralmente.</p><p>• 7 trabalhadores fizeram 6 horas extas cada um.</p><p>• Um trabalhador pediu demissão após trabalhar 10 dias no mês.</p><p>• Para seu lugar foi contratado 1 trabalhador, que trabalhou 6 dias.</p><p>Pergunta-se:</p><p>a) Qual é a quantidade de horas-homem para este mês?</p><p>b) Calcule a taxa de frequência de acidentes total, com e sem afastamento para</p><p>este caso.</p><p>Resolução: para este caso, mesmo que não fosse solicitado, deveríamos calcular</p><p>as horas-homem de exposição ao risco.</p><p>a) Para realizar este cálculo, tomaremos cuidado e segmentaremos a análise,</p><p>conforme as informações repassadas pelo setor de RH. Devemos tomar</p><p>cuidado com este processo:</p><p>• 182 trabalhadores cumpriram o horário integralmente.</p><p>HHT = 182 trab.x 21 dias x 8h = 30576 horas</p><p>• 7 trabalhadores fizeram 6h extas cada um.</p><p>HHT = 7 trab.x 21 dias x 8h = 1176 + (6h x 7 trab.) = 1218 horas</p><p>UNIDADE 3 | MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE E ESTATÍSTICA DE ACIDENTES</p><p>194</p><p>• Um trabalhador pediu demissão após trabalhar 10 dias no mês (ou seja,</p><p>trabalhou apenas 11 dias).</p><p>HHT = 1trab. x 11 dias x 8h = 88 horas</p><p>• Para seu lugar foi contratado 1 trabalhador, que trabalhou 6 dias.</p><p>HHT = 1 trab.x 6 dias x 8h = 48 horas</p><p>HORAS-HOMEM DE EXPOSIÇÂO TOTAL: 30576 + 1218 + 88 + 48 =</p><p>31.930 horas.</p><p>b) Iremos calcular as taxas de frequência separadamente, percebendo também</p><p>que os resultados das taxas com ou sem afastamento serão as mesmas, pois a</p><p>quantidade de acidentes em ambos os casos é igual a 1. Logo:</p><p>Taxa de frequência com e sem afastamento:</p><p>TF NA</p><p>HHT</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>1 000 000 1 1 000 000</p><p>31930</p><p>31 318509 31 32. . . . , ,</p><p>Taxa de frequência total (NA = 1 + 1 = 2):</p><p>TF NA</p><p>HHT</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>1 000 000 2 1 000 000</p><p>31930</p><p>62 637018 62 64. . . . , ,</p><p>3.2 TAXA DE GRAVIDADE DE ACIDENTES (TG)</p><p>É um valor-referência que expressa a quantidade de tempo computado</p><p>(TC) por milhão de horas-homem de exposição ao risco de acidentes, em um</p><p>dado intervalo de tempo.</p><p>Importante: Lembre-se de que o tempo computado é o somatório dos dias</p><p>perdidos e dos dias debitados, dada por:</p><p>TC = DP + DD</p><p>Porém, por enquanto, iremos tomar o tempo computado já calculado. Aprenderemos como</p><p>analisá-lo mais adiante em nosso estudo!</p><p>UNI</p><p>TÓPICO 3 | ESTATÍSTICAS DE ACIDENTES</p><p>195</p><p>Para se calcular a taxa de gravidade, utilizaremos a seguinte relação:</p><p>TG TC</p><p>HHT</p><p>�</p><p>�1 000 000. .</p><p>Lembrando que:</p><p>TG → Taxa de gravidade de acidentes</p><p>TC →Tempo Computado</p><p>HHT → Horas – Homem de exposição ao risco</p><p>Exemplo: calcule a taxa de gravidade de uma empresa para o primeiro trimestre,</p><p>em que foram registrados os seguintes números: 60 funcionários, 20 dias perdidos</p><p>e 180 dias debitados.</p><p>Resolução: este caso será bastante simples. Notamos que, por enquanto, não</p><p>faremos nenhuma referência, nem estudo acerca da tabela de dias debitados,</p><p>sendo assim, o processo para o cálculo da taxa de gravidade é elementar:</p><p>Inicialmente devemos calcular o tempo computado total:</p><p>TC = DP + DD</p><p>TC = 20 + 180 = 200 dias (tempo computado)</p><p>Na sequência, iremos realizar uma análise das horas/homem (HHT):</p><p>HHT = 60 func.x 8h x 90 dias = 43200 horas</p><p>homem</p><p>de exposição ao risco</p><p>Observação: 1 trimestre = 90 dias e como nada foi dito, considera-se 8h</p><p>trabalhadas/dia.</p><p>Agora para o cálculo da taxa de gravidade:</p><p>TG = TC x 1.000.000</p><p>HHT</p><p>x 1.000.000</p><p>� � �</p><p>200</p><p>43200</p><p>4629 629629 462, 99 63,</p><p>4 APLICAÇÃO DA TABELA DE DIAS DEBITADOS</p><p>A partir daqui, para implementar o estudo das taxas de gravidade</p><p>deveremos compreender a quantidade de Tempo Computado (TC) para os</p><p>acidentes. Neste cálculo deveremos conhecer como procedemos para compreender</p><p>a Tabela de Dias Debitados. Vamos lá!</p><p>UNIDADE 3 | MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE E ESTATÍSTICA DE ACIDENTES</p><p>196</p><p>NATUREZA AVALIAÇÃO</p><p>PERCENTUAL</p><p>DIAS</p><p>DEBITADOS</p><p>Morte</p><p>Incapacidade total e permanente</p><p>Perda da visão de ambos os olhos</p><p>Perda da visão de um olho</p><p>Perda do braço acima do cotovelo</p><p>Perda do braço abaixo do cotovelo</p><p>Perda da mão</p><p>Perda do primeiro quirodátilo (polegar)</p><p>Perda de qualquer outro quirodátilo (dedo)</p><p>Perda de dois outros quirodátilos</p><p>Perda de três outros quirodátilos</p><p>Perda de quatro outros quirodátilos</p><p>Perda do primeiro quirodátilo e qualquer</p><p>outro</p><p>Perda do primeiro quirodátilo e dois outros</p><p>Perda do primeiro quirodátilo e três outros</p><p>Perda do primeiro quirodátilo e quatro outros</p><p>Perda da perna acima do joelho</p><p>Perda da perna no joelho ou abaixo dele</p><p>Perda do pé</p><p>Perda do primeiro pododátilo (dedo grande)</p><p>ou de dois outros ou mais pododátilos</p><p>Perda do primeiro pododátilo de ambos os pés</p><p>Perda de qualquer outro pododátilo</p><p>Perda da audição de um ouvido</p><p>Perda da audição de ambos os ouvidos</p><p>100</p><p>100</p><p>100</p><p>30</p><p>75</p><p>60</p><p>50</p><p>10</p><p>05</p><p>12,5</p><p>20</p><p>30</p><p>20</p><p>25</p><p>33,5</p><p>40</p><p>75</p><p>50</p><p>40</p><p>06</p><p>10</p><p>00</p><p>10</p><p>50</p><p>6.000</p><p>6.000</p><p>6.000</p><p>1.800</p><p>4.500</p><p>3.600</p><p>3.000</p><p>600</p><p>300</p><p>750</p><p>1.200</p><p>1.800</p><p>1.200</p><p>1.500</p><p>2.000</p><p>2.400</p><p>4.500</p><p>3.000</p><p>2.400</p><p>300</p><p>600</p><p>00</p><p>600</p><p>3.000</p><p>TABELA 40 – TABELA DE DIAS DEBITADOS</p><p>FONTE: Adaptado de NBR 14280</p><p>Para este quadro, tomamos como máximo de dias debitados os seguintes</p><p>casos:</p><p>• Morte.</p><p>• Incapacidade total e permanente.</p><p>• Perda da visão de ambos os olhos.</p><p>Nestes casos citados acima, debitam-se 6000 dias. Representando 100% do</p><p>total de dias possíveis. Note que, por exemplo, os dias debitados para a perda de</p><p>uma mão, temos 50% do total, logo 3000 dias. Ou ainda, para a perda do primeiro</p><p>polegar, temos 10%, logo 600 dias.</p><p>Já temos condições de calcular a taxa de gravidade de acidentes de um</p><p>modo um pouco mais amplo e completo. Vejamos o exemplo:</p><p>TÓPICO 3 | ESTATÍSTICAS DE ACIDENTES</p><p>197</p><p>Exemplo: em uma empresa com 150 funcionários que trabalharam em março de</p><p>2017, 22 dias no mês, com uma média de 8h por dia, apenas 1 funcionário sofreu</p><p>acidente. Ester ocorreu no dia 13/03/2017 e retorno foi no dia 05/06/2017. Neste</p><p>acidente, ele teve uma lesão de incapacidade parcial, em que perdeu o braço</p><p>abaixo do cotovelo. Nestas condições, determine a taxa de gravidade do mês de</p><p>março de 2017.</p><p>Resolução: de forma inicial, iremos analisar a quantidade de horas-homem de</p><p>exposição ao risco referente ao mês de março de 2017.</p><p>HHT = 22 dias x 8h x 150func. = 16400</p><p>Agora, determinaremos o tempo computado total para o mês indicado.</p><p>Notaremos que este caso será bastante simples, pois o exemplo mostra que neste</p><p>mês ocorreu apenas um acidente. Contudo, é importante lembrar que ele resultou</p><p>em um caso em que haverá dias debitados. Isto indica que teremos que consultar</p><p>a tabela dada pela NBR 14280.</p><p>Dias Perdidos (de 13/03/2017 até 05/06/2017): 83 dias</p><p>Notamos que os dias são contados de modo corrido. Computados a partir da</p><p>data subsequente ao acidente até o dia antecedente ao retorno no funcionário). Neste caso,</p><p>não há preocupação com feriados, domingos ou dias não trabalhados (eles são contados de</p><p>mesma maneira).</p><p>Mesmo que o funcionário tenha ficado quase três meses afastado, os dias são todos</p><p>transportados para o mês de março/17 (mês referente ao acidente).</p><p>UNI</p><p>Dias debitados (Perda do braço abaixo do cotovelo): 3600 dias (vide</p><p>tabela NBR 14280).</p><p>Assim sendo, o tempo computado será:</p><p>TC = DP + DD = 83 + 3600 = 3683</p><p>E por fim, a taxa de gravidade:</p><p>TG TC</p><p>HHT</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>1 000 000 3683 1 000 000</p><p>26400</p><p>139507 5758 139507. . . . , ,558</p><p>UNIDADE 3 | MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE E ESTATÍSTICA DE ACIDENTES</p><p>198</p><p>Note que nos casos em que há a inclusão de dias debitados, o valor da taxa de</p><p>gravidade cresce bastante, isto se deve ao fato de que o funcionário perderá sua capacidade</p><p>de realizar o serviço com o mesmo potencial.</p><p>IMPORTANTE</p><p>Exemplo: Em uma empresa com 200 funcionários, ocorrem num mês (22 dias</p><p>trabalhados e 8h em média), três acidentes com perda de tempo, nos dias 3, 17 e</p><p>20. Os acidentados retornaram ao serviço, respectivamente, nos dias 31, 24 e 27.</p><p>No primeiro caso, resultou uma incapacidade permanente de perda do pé. Sendo</p><p>assim, determine as taxas de frequência total e gravidade relativa ao mês informado.</p><p>Resolução: inicialmente devemos calcular as horas-homem de exposição ao risco:</p><p>HHT = 22 dias x 8h x 200 func. = 35200</p><p>Agora vamos calcular a taxa de frequência total. Lembrando que neste</p><p>mês ocorreram um total de 3 acidentes:</p><p>TF NA</p><p>HHT</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>1 000 000 3 1 000 000</p><p>35200</p><p>85 22727 85 23. . . . , ,</p><p>Já por sua vez, para determinar a taxa de</p><p>gravidade, devemos realizar a</p><p>análise do tempo computado (TC = DP + DD):</p><p>Dias perdidos:</p><p>1º Funcionário: acidentou-se dia 3 e retornou dia 31: 27 dias.</p><p>2º Funcionário: acidentou-se dia 17 e retornou dia 24: 6 dias.</p><p>3º Funcionário: acidentou-se dia 20 e retornou dia 27: 6 dias.</p><p>Total Dias Pedidos: 39 dias</p><p>Dias debitados: (Perda do pé): 2400 dias</p><p>Logo o tempo computado será:</p><p>TC = DP + DD = 39 + 2400 = 2439</p><p>E a taxa de gravidade:</p><p>TG TC</p><p>HHT</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>1 000 000 2439 1 000 000</p><p>35200</p><p>69289 77273 69268 7. . . . , , 77</p><p>TÓPICO 3 | ESTATÍSTICAS DE ACIDENTES</p><p>199</p><p>LEITURA COMPLEMENTAR</p><p>TERMOS ESTATÍSTICOS PARA SEGURANÇA DO TRABALHO</p><p>Termos utilizados em relação a estatísticas de acidente, conforme a NBR</p><p>14280/1999. Para poder compreender algumas situações referentes às Estatísticas</p><p>da Segurança do Trabalho.</p><p>1) Lesão com afastamento (Lesão com perda de tempo ou incapacitante): Lesão</p><p>pessoal que impede o acidentado de voltar ao trabalho no dia imediato ao do</p><p>acidente ou de que resulte incapacidade permanente.</p><p>• Essa lesão pode provocar incapacidade permanente total, incapacidade</p><p>permanente parcial, incapacidade temporária total ou morte.</p><p>2) Lesão sem afastamento (Lesão não incapacitante ou lesão sem perda de</p><p>tempo): Lesão pessoal que não impede o acidentado de voltar ao trabalho no</p><p>dia imediato ao do acidente, desde que não haja incapacidade permanente.</p><p>• Essa lesão não provoca a morte, incapacidade permanente total ou parcial</p><p>ou incapacidade temporária total: exige, no entanto, primeiros socorros ou</p><p>socorros médicos de urgência.</p><p>• Devem ser evitadas as expressões “acidente com afastamento” e</p><p>“acidente sem afastamento”, usadas impropriamente para significar,</p><p>respectivamente, “lesão com afastamento” e “lesão sem afastamento”.</p><p>3) Incapacidade permanente total: perda total da capacidade de trabalho, em</p><p>caráter permanente, sem morte. Ex.: ambos os olhos, um olho e uma das mãos</p><p>ou um olho e um pé, ambas as mãos ou ambos os pés ou uma das mãos e um pé.</p><p>4) Incapacidade permanente parcial: redução parcial da capacidade de</p><p>trabalho, em caráter permanente que, não provocando morte ou incapacidade</p><p>permanente total é a causa de perda de qualquer membro ou parte do corpo ou</p><p>qualquer redução permanente de função orgânica.</p><p>5) Incapacidade temporária total: perda total da capacidade de trabalho de</p><p>que resulte um ou mais dias perdidos, excetuados a morte, a incapacidade</p><p>permanente parcial e a incapacidade permanente total.</p><p>6) Análise do acidente: estudo do acidente para a pesquisa de causas,</p><p>circunstâncias e consequências.</p><p>7) Estatísticas de acidentes, causas e consequências: números relativos à</p><p>ocorrência de acidentes, causas e consequências devidamente classificados.</p><p>UNIDADE 3 | MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE E ESTATÍSTICA DE ACIDENTES</p><p>200</p><p>8) Comunicação de acidente: informação que se dá aos órgãos interessados, em</p><p>formulário próprio, quando da ocorrência de acidente.</p><p>9) Comunicação de acidentes para fins legais: qualquer comunicação de acidente</p><p>emitida para atender a exigências da legislação em vigor como, por exemplo, a</p><p>destinada à previdência social.</p><p>10) Comunicação interna de acidentes para fins de registro: comunicação que se</p><p>faz com a finalidade precípua de possibilitar o registro de acidente.</p><p>11) Registro de acidente: registro metódico e pormenorizado, em formulário</p><p>próprio, de informações e de dados de um acidente, necessários ao estudo e à</p><p>análise de suas causas, circunstâncias e consequências.</p><p>12) Registro de acidentado: registro metódico e pormenorizado, em formulário</p><p>individual, de informações e de dados relativos a um acidentado, necessários</p><p>ao estudo e à análise das causas, circunstâncias e consequências do acidente.</p><p>13) Formulários para registro, estatísticas e análise de acidente: formulários</p><p>destinados ao registro individual ou coletivo de dados relativos a acidentes</p><p>e respectivos acidentados, preparados de modo a permitir a elaboração de</p><p>estatísticas e análise dos acidentes, com vistas a sua prevenção.</p><p>14) Cadastro de acidentes: conjunto de informações e de dados relativos aos</p><p>acidentes ocorridos.</p><p>15) Acidente típico: é aquele decorrente da característica da atividade profissional</p><p>que o indivíduo exerce.</p><p>16) Acidente de trajeto: é aquele que ocorre no trajeto entre a residência do</p><p>trabalhador e o local de trabalho e vice-versa.</p><p>17) Doença profissional ou do trabalho: é a doença produzida ou desencadeada</p><p>pelo exercício de determinada função, característica de um emprego específico.</p><p>18) Morte: cessação da capacidade de trabalho pela perda da vida,</p><p>independentemente do tempo decorrido desde a lesão.</p><p>19) Estatísticas por setor de atividade: além das estatísticas globais da empresa,</p><p>entidade ou estabelecimento, é de toda conveniência que sejam elaboradas</p><p>estatísticas por setor de atividade, o que permite evitar que a baixa incidência</p><p>de acidentes em áreas de menor risco venha a influir nos resultados de</p><p>quaisquer das demais, excluindo, também, das áreas de atividade específica</p><p>os acidentes não diretamente a elas relacionadas.</p><p>FONTE: NBR 14280</p><p>201</p><p>Neste tópico, você aprendeu que:</p><p>• Os principais conceitos básicos e sua importância para a saúde e segurança do</p><p>trabalho.</p><p>• O tempo computado é calculado pela soma dos dias perdidos e dias debitados.</p><p>TC = DP + DD</p><p>• O método e a interpretação das taxas de frequência e gravidade de acidentes.</p><p>Como por exemplo:</p><p>TF NA</p><p>HHT</p><p>TG TC</p><p>HHT</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>1 000 000</p><p>1 000 000</p><p>. .</p><p>. .</p><p>• A tabela de dados e dias debitados referentes aos acidentes de trabalho,</p><p>segundo a NBR 14280.</p><p>RESUMO DO TÓPICO 3</p><p>202</p><p>AUTOATIVIDADE</p><p>1 José sofreu um acidente no dia 11 de abril e voltou ao trabalho</p><p>no dia 30 de maio. Calcule os dias perdidos desse trabalhador.</p><p>2 Complete a tabela informando as taxas de gravidade e frequência.</p><p>Mês HHT</p><p>Acidentes</p><p>c/afast.</p><p>Dias</p><p>Pedidos</p><p>Mês</p><p>Dias</p><p>Debitados</p><p>Taxa</p><p>Freq.</p><p>Taxa Grav.</p><p>Jan. 890.000 20 310 -</p><p>Fev. 850.000 25 350 900</p><p>Mar. 910.000 18 240 -</p><p>Abr. 965.000 15 405 3.000</p><p>3 Em uma plataforma de petróleo, durante os seis primeiros meses</p><p>do ano passado, ocorreram diversos acidentes do trabalho,</p><p>conforme dados estatísticos fornecidos no quadro.</p><p>Meses Acidente com lesão,</p><p>com afastamento</p><p>Acidente com lesão,</p><p>sem afastamento</p><p>Horas-homem de</p><p>exposição ao risco</p><p>Janeiro 2 3 200,000</p><p>Fevereiro 1 3 400,000</p><p>Março 0 1 300,000</p><p>Abril 1 3 500,000</p><p>Maio 2 4 400,000</p><p>Junho 2 2 600,000</p><p>A partir dos dados fornecidos, verifica-se que a taxa de frequência de</p><p>acidentes foi de:</p><p>a) ( ) 2 e 12, no mês de abril, respectivamente, sendo a primeira ocasionada</p><p>por lesão e consequente afastamento, e a segunda com lesão, mas sem</p><p>afastamento.</p><p>b) ( ) 3,33, acumulada em junho, ocasionada por lesão e consequente afas-</p><p>tamento.</p><p>c) ( ) 10, em maio, ocasionada por lesão e consequente afastamento.</p><p>203</p><p>d) ( ) 15, acumulada em fevereiro, com lesão, mas sem afastamento.</p><p>e) ( ) 20, acumulada em junho, ocasionada por lesão com ou sem afastamento.</p><p>4 Em uma fábrica de explosivos, nos três primeiros meses de 2011,</p><p>ocorreram quatro graves acidentes, sendo três deles com lesão e</p><p>consequente afastamento e um com perda de alguma parte do</p><p>corpo. Considere os dados estatísticos fornecidos no quadro.</p><p>Meses Tipo de acidente</p><p>Dias</p><p>perdidos</p><p>no mês</p><p>Dias</p><p>debitados</p><p>Horas-homem de</p><p>exposição ao</p><p>risco</p><p>Janeiro Perda da mão, na</p><p>altura do punho — 3,000 1.900.000</p><p>Fevereiro Corte no braço direito 20 — 1.300.000</p><p>Março</p><p>•Luxação da perna</p><p>esquerda</p><p>•Pancada na cabeça</p><p>25</p><p>15 — 1.800.000</p><p>Conclui-se que a taxa acumulada de gravidade dos acidentes é de:</p><p>a) ( ) 9.</p><p>b) ( ) 12.</p><p>c) ( ) 600.</p><p>d) ( ) 612.</p><p>e) ( ) 1.579.</p><p>5 Em uma empresa com 50 funcionários ocorrem num mês (21 dias</p><p>trabalhados e 9 horas em média) 2 acidentes com perda de tempo,</p><p>nos dias 04/03 e 17/03. Os acidentados retornaram ao serviço,</p><p>respectivamente, nos dias 31/03 e 18/09. No segundo acidentado,</p><p>teve-se incapacidade permanente de perda da mão, na altura do punho. Assim,</p><p>determine as taxas de frequência total</p><p>e gravidade relativa ao mês informado.</p><p>204</p><p>205</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 14280: Cadastro de</p><p>Acidentes do Trabalho: Procedimento e classificação. 1999. 94p. Disponível em:</p><p><http://www.abntnet.com.br/fidetail.aspx?FonteID=4849>. Acesso em: 7 jul. 2017.</p><p>BOYER, C. B. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard</p><p>Blücher, 1996.</p><p>BRASIL. IBGE. Censo Agropecuário, 1996. Disponível em: <www.ibge.com.br>.</p><p>Acesso em: 26 jun. 2017.</p><p>CASTANHEIRA, N. P. Estatística aplicada a todos os níveis. 5. ed. Curitiba:</p><p>Ibpex, 2010.</p><p>CASTRUCCI, B.; GIOVANNI Jr., J. R. A conquista da matemática. São Paulo:</p><p>FTD, 2009.</p><p>CRESPO, A. A estatística fácil. 17. ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2002.</p><p>DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 1999. v. 1.</p><p>FACCHINI, W. Matemática: volume único. São Paulo: Saraiva, 1996.</p><p>FARBER, L. Estatística aplicada. São Paulo: Pearson Education, 2010.</p><p>GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R.; JUNIOR, J. R. G. Matemática</p><p>Fundamental: uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2002.</p><p>IEZZI, G. Fundamentos da Matemática Elementar: Complexos, polinômios e</p><p>equações. São Paulo: Atual. 1993. v. 6.</p><p>MORRETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade e inferência. São Paulo:</p><p>Pearson, 2010.</p><p>ORGANIZAÇÃO INTERNACIONAL DO TRABALHO – OIT. Segurança e saúde</p><p>dos trabalhadores. Disponível em: <http://www.oitbrasil.org.br/node/504>. Acesso</p><p>em: 8 jul. 2017.</p><p>PORTAL ELETRICISTA. Disjuntor termomagnético – O que é, qual sua função,</p><p>dicas, passo a passo, 2015. Disponível em: <http://www.portaleletricista.com.br/</p><p>disjuntor-termomagnetico/>. Acesso em: 31 jul. 2017.</p><p>206</p><p>RIPOLL, J. B.; RIPOLL, C. C.; SILVEIRA, J. F. P. da. Números Racionais, Reais e</p><p>Complexos. Porto Alegre: UFRGS, 2006.</p><p>TOLEDO, G. L.; OVALLE, I. I. Estatística básica. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2009.</p><p>WALPOLE, R. E. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São Paulo:</p><p>Pearson Prentice Hall, 2009.</p><p>173</p><p>2 DESVIO-PADRÃO .......................................................................................................................... 173</p><p>2.1 DESVIO-PADRÃO AMOSTRAL E DESVIO-PADRÃO POPULACIONAL ...................... 174</p><p>2. 2 CÁLCULO DO DESVIO-PADRÃO .......................................................................................... 174</p><p>2.2.1 Dados não agrupados ....................................................................................................... 174</p><p>2.2.2 Dados agrupados em distribuição de frequência sem intervalo de classes ............... 177</p><p>2.2.3 Frequência de classes ......................................................................................................... 179</p><p>3 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO ................................................................................................... 181</p><p>RESUMO DO TÓPICO 2 ................................................................................................................... 184</p><p>AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 185</p><p>TÓPICO 3 – ESTATÍSTICAS DE ACIDENTES ............................................................................ 189</p><p>1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 189</p><p>2 CONCEITOS BÁSICOS SOBRE ESTATÍSTICAS DE ACIDENTES .................................... 189</p><p>2.1 EMPREGADOS ........................................................................................................................... 189</p><p>2.2 HORAS-HOMEM DE EXPOSIÇÃO AO RISCO – HHT ....................................................... 190</p><p>2.3 DIAS PERDIDOS – DP ............................................................................................................... 190</p><p>2.4 DIAS DEBITADOS – DD ............................................................................................................ 190</p><p>2.5 TEMPO COMPUTADO – TC .................................................................................................... 190</p><p>2.6 NÚMERO DE ACIDENTES – NA ............................................................................................ 191</p><p>3 MEDIDAS DE FREQUÊNCIA E GRAVIDADE DE ACIDENTES ........................................ 191</p><p>3.1 TAXA DE FREQUÊNCIA DE ACIDENTES (TF) ................................................................... 191</p><p>3.2 TAXA DE GRAVIDADE DE ACIDENTES (TG) ..................................................................... 194</p><p>4 APLICAÇÃO DA TABELA DE DIAS DEBITADOS ................................................................. 195</p><p>LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 199</p><p>RESUMO DO TÓPICO 3 ................................................................................................................... 201</p><p>AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 202</p><p>REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 205</p><p>1</p><p>UNIDADE 1</p><p>CONCEITOS BÁSICOS</p><p>OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM</p><p>PLANO DE ESTUDOS</p><p>A partir desta unidade, você será capaz de:</p><p>• identificar a terminologia, símbolos usuais e conhecimentos básicos</p><p>encontrados em segurança do trabalho;</p><p>• identificar os elementos do conjunto dos números naturais, inteiros,</p><p>racionais, irracionais e reais;</p><p>• conhecer as unidades de medidas e aplicar conversões;</p><p>• reconhecer e resolver equações polinomiais que envolvam situações da</p><p>segurança do trabalho.</p><p>Caro acadêmico! Nesta unidade de ensino, a abordagem da Matemática</p><p>está dividida em três tópicos, nos quais se apresentam desde os conceitos</p><p>introdutórios sobre conjuntos numéricos e unidades de medida até</p><p>funções polinomiais. Cada tópico oferecerá subsídios que o auxiliarão na</p><p>interiorização dos conteúdos e na resolução das autoatividades solicitadas.</p><p>TÓPICO 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS</p><p>TÓPICO 2 – UNIDADES DE MEDIDAS</p><p>TÓPICO 3 – EQUAÇÕES E FUNÇÕES POLINOMIAIS</p><p>2</p><p>3</p><p>TÓPICO 1</p><p>UNIDADE 1</p><p>CONJUNTOS NUMÉRICOS</p><p>1 INTRODUÇÃO</p><p>A história nos conta que os números foram criados para suprir a</p><p>necessidade de contagem do ser humano e, conforme a evolução humana foi</p><p>ocorrendo, os números também tiveram seu progresso e hoje, são organizados</p><p>em conjuntos.</p><p>A concepção do conjunto numérico pode ser entendida a partir da</p><p>compreensão de um conjunto. Na matemática, um conjunto é uma coleção de</p><p>elementos, representado por uma letra maiúscula do alfabeto. Por exemplo, o</p><p>conjunto dos dias da semana:</p><p>D = {domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-</p><p>feira e sábado}</p><p>Em que cada um dos dias da semana, representa um elemento do</p><p>conjunto. Um conjunto também pode ser representado graficamente pelo que</p><p>denominamos “Diagrama de Venn”.</p><p>FIGURA 1 – DIAGRAMA REPRESENTATIVA DO CONJUNTO DOS DIAS DA SEMANA</p><p>FONTE: Os autores</p><p>domingo</p><p>segunda-feira</p><p>terça-feira</p><p>quarta-feira</p><p>quinta-feira</p><p>sexta-feira</p><p>sábado</p><p>D</p><p>4</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>4</p><p>Baseado nisto, definimos conjuntos numéricos como um agrupamento de</p><p>valores que possuem mesmas propriedades e/ou características. A partir daqui,</p><p>apresentaremos quais são as principais propriedades e características destes</p><p>conjuntos e qual a relação entre os mesmos.</p><p>Abordaremos os seguintes conjuntos numéricos:</p><p>• Conjunto dos números Naturais ( � );</p><p>• Conjunto dos números Inteiros (� );</p><p>• Conjunto dos números Racionais (� );</p><p>• Conjunto dos números Irracionais ( );</p><p>• Conjunto dos números Reais ( � );</p><p>A seguir, veremos as características de cada um deles.</p><p>1.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS �</p><p>Representado pela letra maiúscula � , este conjunto abrange todos os</p><p>números inteiros positivos, incluindo o zero.</p><p>FIGURA 2 – DIAGRAMA REPRESENTATIVA DO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS</p><p>FONTE: Os autores</p><p>� = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}</p><p>0 1</p><p>32</p><p>6</p><p>4</p><p>5</p><p>987</p><p>10 11</p><p>1312</p><p>�</p><p>5</p><p>TÓPICO 1 | CONJUNTOS NUMÉRICOS</p><p>5</p><p>Os pontos de reticência dão a ideia de infinidade, pois os conjuntos numéricos</p><p>são infinitos.</p><p>IMPORTANTE</p><p>Para representar o conjunto dos Números Naturais não nulos (excluindo</p><p>o zero), deve-se colocar um asterisco ao lado do � .</p><p>� * = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}</p><p>O conjunto numérico dos Números Naturais começa no zero e é infinito,</p><p>porém, podemos ter a representação de apenas um subconjunto dele. Por</p><p>exemplo, um subconjunto M do conjunto dos números naturais formado pelos</p><p>cinco primeiros múltiplos de 5, M = {0, 5, 10, 15, 20}.</p><p>1.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS �</p><p>Representado pela letra � , o conjunto dos Números Inteiros é formado</p><p>por todos os números que pertencem ao conjunto dos Números Naturais mais os</p><p>seus respectivos opostos negativos.</p><p>� = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}</p><p>Representação gráfica dos Números Inteiros:</p><p>FIGURA 3 – RELAÇÃO ENTRE OS CONJUNTOS DOS NÚMEROS INTEIROS E</p><p>NATURAIS</p><p>FONTE: Os autores</p><p>ou</p><p>- 6 - 5 - 4</p><p>- 3 - 2</p><p>- 1 0 1</p><p>2 3</p><p>4 5 6</p><p>�</p><p>5 6</p><p>- 6</p><p>�</p><p>- 5 - 4</p><p>- 3 - 2</p><p>- 1 0 1</p><p>2 3</p><p>4</p><p>�</p><p>6</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>6</p><p>São subconjuntos do conjunto dos Números Inteiros:</p><p>• Inteiros não negativos: Representado por � + , este subconjunto dos inteiros é</p><p>composto por todos os números inteiros que não são negativos, ou seja, são</p><p>todos os inteiros positivos mais o zero.</p><p>� + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}</p><p>Note que: � +,</p><p>= � , ou seja, que o conjunto dos números inteiros não negativos</p><p>é igual ao conjunto dos números naturais.</p><p>ATENCAO</p><p>• Inteiros não positivos: Representado por � -, este subconjunto dos inteiros é</p><p>composto por todos os inteiros não positivos, ou seja, são todos os inteiros</p><p>negativos mais o zero.</p><p>� – = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0}</p><p>• Inteiros não negativos e não nulos: Representado por � *+, este subconjunto é</p><p>conjunto � + excluindo</p><p>o zero.</p><p>� *+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}</p><p>Note que: � *</p><p>+,</p><p>= � *.</p><p>ATENCAO</p><p>• Inteiros não positivos e não nulos: Representado por � *-, são todos os números</p><p>do conjunto � -, excluindo o zero.</p><p>� *– = {… -4, -3, -2, -1}</p><p>7</p><p>TÓPICO 1 | CONJUNTOS NUMÉRICOS</p><p>7</p><p>1.3 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS �</p><p>Representado pela letra � , o conjunto dos Números Racionais contempla</p><p>os números inteiros ( � ), os números decimais finitos e os números decimais</p><p>infinitos periódicos, ou seja, todos aqueles que podemos escrever na forma a/b,</p><p>com b 0≠ .</p><p>Representação gráfica dos Números Racionais:</p><p>FIGURA 4 – RELAÇÃO ENTRE OS CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS,</p><p>INTEIROS E NATURAIS</p><p>FONTE: Os autores</p><p>1.4 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS</p><p>É formado pelos números decimais infinitos não periódicos. Por exemplo,</p><p>o número PI ( π = 3,14159265…), que é o resultado da divisão do perímetro de</p><p>uma circunferência pelo seu diâmetro) e todas as raízes não exatas, como a raiz</p><p>quadrada de 2, 3 e 5.</p><p>FONTE: Os autores</p><p>- 2,33333-5/2</p><p>7/4 11/3</p><p>0</p><p>- 4 - 3</p><p>- 2 - 1</p><p>1</p><p>2 3</p><p>45</p><p>6</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>- 6 - 5</p><p>- 3</p><p>- 4-11/2</p><p>- 3,75 - 2</p><p>- 1 0 1</p><p>2 3</p><p>4 5 6</p><p>- 1/2</p><p>7/2</p><p>4,859</p><p>ou</p><p>FIGURA 5 – REPRESENTAÇÃO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS</p><p>- 5,146781...</p><p>- 0,987654321...</p><p>π</p><p>35</p><p>28,9182736459...</p><p>8</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>8</p><p>Representado pela letra � , o conjunto dos Números Reais é formado por</p><p>todos os conjuntos descritos anteriormente.</p><p>{ } = + + +� � � �</p><p>Veja a representação em diagrama dos conjuntos numéricos.</p><p>1.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS �</p><p>FIGURA 6 – REPRESENTAÇÃO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS</p><p>FONTE: Os autores</p><p>2 AS DIFERENTES REPRESENTAÇÕES NUMÉRICAS</p><p>Como você já estudou no Ensino Básico, um número pode ser representado</p><p>na forma fracionária ou decimal. Vamos relembrar como são essas representações:</p><p>2.1 REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA</p><p>Fração é uma palavra que vem do latim "fractus" e significa "partido",</p><p>"quebrado", assim, podemos dizer que fração é a representação das partes iguais</p><p>de um todo. Cada fração é formada por três elementos: o numerador (o número da</p><p>parte de cima da fração), o traço (que serve para separar os dois valores e representa</p><p>uma divisão) e, finalmente, o denominador (o número da parte de baixo).</p><p>numerador</p><p>denominador</p><p>O denominador representa quantas partes iguais estão contidas no todo (ou</p><p>seja, em quantas partes algo foi dividido). E, o numerador representa a quantidade</p><p>de partes consideradas de um todo (quantas partes do todo nós possuímos).</p><p>Irracionais</p><p>Reais</p><p>Racionais</p><p>Inteiros</p><p>Naturais</p><p>9</p><p>TÓPICO 1 | CONJUNTOS NUMÉRICOS</p><p>9</p><p>Por exemplo:</p><p>Definimos os números decimais como sendo aqueles que não possuem</p><p>representação inteira. Eles são apresentados por uma parte inteira (à esquerda da</p><p>vírgula) e uma parte fracionária (ou decimal, à direita da vírgula). Quanto ao seu</p><p>“sinal”, eles podem ser positivos ou negativos, sendo que a sua quantidade de</p><p>casas decimais é medida após a vírgula (valores à direita).</p><p>São números decimais: -7,45; -3,6; 1,84; 4,5; 8,975 etc.</p><p>Alguns números decimais representam frações que possuem denominador</p><p>igual a 10, 100, 1000, 10 000 e etc. Observe:</p><p>2.2 REPRESENTAÇÃO DECIMAL</p><p>Fração Decimal = Números Decimais</p><p>1</p><p>10</p><p>= 0,1</p><p>1</p><p>100</p><p>= 0,01</p><p>1</p><p>1000</p><p>= 0,001</p><p>1</p><p>10000</p><p>= 0,0001</p><p>5</p><p>10</p><p>= 0,5</p><p>5</p><p>100</p><p>= 0,05</p><p>5</p><p>1000</p><p>= 0,005</p><p>5</p><p>10000</p><p>= 0,0005</p><p>10</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>10</p><p>115</p><p>10</p><p>= 11,5</p><p>115</p><p>100</p><p>= 1,15</p><p>115</p><p>1000</p><p>= 0,115</p><p>115</p><p>10000</p><p>= 0,0115</p><p>Os números 0,1, 0,05, 0,001; 11,5, por exemplo, são números decimais. Nessa</p><p>representação, observamos que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.</p><p>2.3 TRANSFORMAÇÕES ENTRE AS DIFERENTES</p><p>REPRESENTAÇÕES DE NÚMEROS</p><p>A seguir veremos como realizar a transformação de um número fracionário</p><p>em um número decimal e vice-versa.</p><p>2.3.1 Transformação de número fracionário em número</p><p>decimal</p><p>Para transformar um número fracionário em número decimal basta dividir</p><p>numerador pelo denominador.</p><p>Exemplo:</p><p>71) 7 : 2 3,5</p><p>2</p><p>92) = 9 : 4 = 2,25</p><p>4</p><p>= =</p><p>0,001</p><p>Parte decimal</p><p>Parte inteira</p><p>→</p><p>→</p><p>11</p><p>TÓPICO 1 | CONJUNTOS NUMÉRICOS</p><p>11</p><p>71) 7 : 2 3,5</p><p>2</p><p>92) = 9 : 4 = 2,25</p><p>4</p><p>= =</p><p>Esse traço sobre os dois últimos seis indicam que se trata se uma dízima</p><p>periódica, isto é, que esse valor se repete infinitamente.</p><p>2.3.2 Transformação de número decimal em número</p><p>fracionário</p><p>Para transformar números decimais em um número fracionário, nós</p><p>temos três diferentes situações. Atente-se para cada uma delas.</p><p>Situação 1: O número decimal é finito.</p><p>Inicialmente, vamos observar a leitura de cada um dos seguintes números:</p><p>0,6 (lemos, seis décimos), ou seja, 6</p><p>10</p><p>.</p><p>0,75 (lemos, setenta e cinco centésimos), ou seja, 75</p><p>100</p><p>.</p><p>4,38 (lemos, quatro e trinta e oito centésimos), ou seja, 438</p><p>100</p><p>.</p><p>0,129 (lemos, cento e vinte e nove milésimos), ou seja, 129</p><p>1000</p><p>.</p><p>12</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>12</p><p>Verifique que:</p><p>60,6</p><p>10</p><p>=</p><p>Uma casa decimal – Um zero</p><p>750,75</p><p>100</p><p>=</p><p>Duas casas decimais – Dois zeros</p><p>4384,38</p><p>100</p><p>=</p><p>Duas casas decimais – Dois zeros</p><p>1290,129</p><p>1000</p><p>=</p><p>Três casas decimais – Três zeros</p><p>Desta forma, o número de zeros colocados no denominador é igual ao</p><p>número de casas após a vírgula.</p><p>Situação 2: O número decimal é uma dízima periódica simples.</p><p>Inicialmente, vamos recordar que uma dízima periódica é a parte decimal</p><p>infinita (não tem fim). A dízima periódica é dita simples quando for composta apenas</p><p>de um período que se repete igualmente, por exemplo: 0,22222...; 2,5656565656....</p><p>Já a dízima periódica composta, é formada de algarismos que não fazem parte do</p><p>período, por exemplo, 0,1555...; 2,354444.... Esta dízima será estudada na Situação 3.</p><p>Esses números também podem ser escritos em forma de fração, mas</p><p>apesar de serem números decimais na sua transformação é preciso utilizar um</p><p>processo diferente da situação 1. Acompanhe o raciocínio:</p><p>Exemplo 1: Transformar 0,2222... em fração.</p><p>Para isso chamaremos a dízima de x:</p><p>x = 0,2222... (I)</p><p>O objetivo é eliminar as casas decimais. Para isso andaremos com a vírgula</p><p>para a direita uma casa decimal, pois apenas o 2 que repete. Isso é o mesmo que</p><p>multiplicar o 0,2222... por 10. Ficando assim:</p><p>10x = 2,2222... (II)</p><p>Temos duas equações (I) e (II). Iremos subtrair as duas: (II) – (I).</p><p>10 2 222</p><p>0 222</p><p>9 2</p><p>2</p><p>9</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>, ...</p><p>, ...</p><p>13</p><p>TÓPICO 1 | CONJUNTOS NUMÉRICOS</p><p>13</p><p>Como x = 0,2222... , então 0,2222... é o mesmo que 9</p><p>2</p><p>. Se dividirmos 2 : 9</p><p>chegaremos a 0,2222...</p><p>Exemplo 2: Transformar a dízima 0, 636363... em fração.</p><p>Repetindo o processo, temos:</p><p>x = 0,636363... (I)</p><p>Andando com a vírgula duas casas para a direita, pois o número que</p><p>repete nas casas decimais é o 63. Andar duas casas para a direita é o mesmo que</p><p>multiplicar por 100.</p><p>100x = 63,636363.... (II)</p><p>Subtraindo as duas equações (II) e (I) encontradas:</p><p>Como x = 0,636363... então 0,636363... é o mesmo que 63</p><p>99</p><p>.</p><p>Acadêmico, note que na prática, o número de noves colocados no</p><p>denominador é igual ao número de dígitos que o período possui. Isso se aplica</p><p>quando a parte inteira for nula.</p><p>Quando tivermos, 2, 777..., teremos que separar a parte inteira da decimal</p><p>para transformar, fazendo 2 + 0,777..., o que resultará em 2 + 7</p><p>9</p><p>. Essa soma será</p><p>estudada adiante.</p><p>Situação 3: O número decimal é uma dízima periódica composta.</p><p>O processo é semelhante da situação 2. Acompanhe o raciocínio utilizado</p><p>ao transformar a dízima 2,35555... em fração.</p><p>x = 2,35555...</p><p>Como o 3 não faz parte da dízima devemos multiplicar a equação por</p><p>10 para que o número 3 passe para o outro lado deixando nas casas decimais</p><p>apenas a dízima.</p><p>10x = 23,5555... (I)</p><p>100 63 636363</p><p>0 636363</p><p>99 63</p><p>63</p><p>99</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>, ...</p><p>, ...</p><p>14</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>14</p><p>Agora, multiplicamos a equação (I) por 10 novamente para que possamos</p><p>ter um período fazendo parte da parte inteira.</p><p>10 . 10 . x = 235,5555...</p><p>100x = 235,5555... (II)</p><p>Subtraindo as equações (II) e (I), teremos:</p><p>Como x = 2,35555... então 2,35555...</p><p>é o mesmo que 212 .</p><p>90</p><p>3 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES</p><p>Acadêmico, é imprescindível que tenha domínio destas operações e que as</p><p>realize sem o auxílio de calculadoras. Elas farão parte da sua jornada acadêmica e</p><p>profissional, por este motivo é importante compreendê-las e não somente resolvê-las.</p><p>3.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO</p><p>Só podemos somar ou subtrair frações que possuam o mesmo denominador.</p><p>Atente para a definição: SÓ PODEMOS SOMAR OU SUBTRAIR FRAÇÕES QUE</p><p>POSSUAM O MESMO DENOMINADOR. Esta definição permite que você compreenda os</p><p>artifícios utilizados adiante.</p><p>ATENCAO</p><p>Exemplo 1:</p><p>1 3</p><p>5 5</p><p>+</p><p>100 235 5555</p><p>10 23 5555</p><p>90 212</p><p>212</p><p>90</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>, ...</p><p>, ...</p><p>15</p><p>TÓPICO 1 | CONJUNTOS NUMÉRICOS</p><p>15</p><p>Como ambos os “todos” estão divididos em cinco partes, podemos</p><p>“transportar” as quantidades, ficando com 4 das 5 partes do todo.</p><p>Veja a representação geométrica.</p><p>Assim,</p><p>1 3 4</p><p>5 5 5</p><p>+ =</p><p>Exemplo 2:</p><p>3 2</p><p>4 4</p><p>+</p><p>3 2 5 1 ou 1 inteiro e</p><p>4 4 4 4</p><p>+ =</p><p>Exemplo 3:</p><p>3 2</p><p>4 4</p><p>−</p><p>16</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>16</p><p>Assim, para somar ou subtrair frações que possuem o mesmo denominador,</p><p>basta manter o denominador e operar o numerador.</p><p>E se quisermos somar, 1 1</p><p>2 3</p><p>+ , como fazer?</p><p>Geometricamente, teremos:</p><p>3 2 1</p><p>4 4 4</p><p>− =</p><p>Note que se “transportarmos” a quantidade 1</p><p>2</p><p>para o 1</p><p>3</p><p>, não irá caber.</p><p>E, se “transportarmos” a quantidade 1</p><p>3</p><p>para o 1</p><p>2</p><p>irá sobrar espaço. Isso porque</p><p>o todo está repartido em quantidades diferentes e pela definição, somente</p><p>podemos somar e subtrair frações que possuem o mesmo denominador, ou seja,</p><p>que estejam repartidas em quantidades iguais.</p><p>Para podermos efetuar essa operação, devemos recorrer a frações</p><p>equivalentes. Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte</p><p>do todo. Por exemplo:</p><p>1 2 3 4 5 6, , , , , , São frações equivalentes.</p><p>2 4 6 8 10 12</p><p>…</p><p>Veja a representação gráfica:</p><p>17</p><p>TÓPICO 1 | CONJUNTOS NUMÉRICOS</p><p>17</p><p>Acadêmico, observe que apesar do “todo” estar repartido em quantidades</p><p>diferentes, a parte pintada corresponde à metade da figura (todo) em todas as</p><p>frações. Por isso dizemos que elas são frações equivalentes.</p><p>Quando as frações não possuem o mesmo denominador devemos reduzi-</p><p>las ao menor denominador comum (ou mínimo múltiplo comum) e, em seguida</p><p>somar ou subtrair as frações equivalentes às frações dadas.</p><p>Veja que agora o todo está repartido em partes iguais e assim podemos</p><p>realizar a adição.</p><p>1 1 3 2 5</p><p>2 3 6 6 6</p><p>+ = + =</p><p>18</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>18</p><p>Veja, o denominador da fração 1</p><p>3</p><p>, que era 3 e aumentou para 15, ou</p><p>seja, multiplicamos por 5. Para encontrarmos o numerador que vai manter a</p><p>equivalência, precisamos realizar a mesma operação feita no denominador</p><p>(multiplicar por 5), assim, 1 x 5 = 5.</p><p>1 5 Frações equivalentes</p><p>3 15</p><p>=</p><p>O mesmo ocorre para a fração 4</p><p>5</p><p>, que tinha o denominador 5 e devido</p><p>ao m.m.c., precisamos de uma fração equivalente com denominador 15, assim</p><p>multiplicamos por 3 o denominador 5, logo precisamos fazer a mesma coisa no</p><p>denominador, 4 x 3 =12.</p><p>4 12 Frações equivalentes</p><p>5 15</p><p>=</p><p>É comum você ter aprendido que depois de ter encontrado o M.M.C., basta</p><p>dividir pelo denominador e multiplicar pelo numerador. Claro que na prática é a mesma</p><p>coisa que mostramos aqui, mas cuidado para não interiorizar que você pode realizar uma</p><p>operação com o denominador e outra com o numerador. Então a dica é entender que a</p><p>mesma operação (multiplicação ou divisão) que você faz para o denominador, precisa ser</p><p>repetida para o numerador da fração.</p><p>DICAS</p><p>Como obter o mínimo múltiplo comum (M.M.C.) de dois ou mais</p><p>denominadores?</p><p>Vamos achar os múltiplos comuns de 3 e 5:</p><p>Múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...</p><p>Múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ...</p><p>Múltiplos comuns de 3 e 5: 0, 15, 30, 45, 60, ...</p><p>Exemplo:</p><p>1 4 5 12 17</p><p>3 5 15 15 15</p><p>+ = + =</p><p></p><p>Frações equivalentes</p><p>às frações dadas, com</p><p>o mesmo denominador</p><p>15 é o menor denominador</p><p>comum ou o mínimo</p><p>múltiplo comum de 3 e 5.</p><p>→</p><p>19</p><p>TÓPICO 1 | CONJUNTOS NUMÉRICOS</p><p>19</p><p>O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é</p><p>chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação M.M.C.</p><p>IMPORTANTE</p><p>Relembraremos uma técnica chamada de “decomposição simultânea</p><p>em fatores primos”. Esta técnica consiste em decompor, simultaneamente, cada</p><p>denominador em fatores primos. O produto de todos os fatores primos que</p><p>aparecem nessa decomposição será o mínimo múltiplo comum.</p><p>Número primo é um número que possui apenas 2 divisores (o número 1 e</p><p>ele mesmo). São números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...</p><p>Utilizando essa técnica, observe como determinar o M.M.C. de 12, 8 e 6.</p><p>Vejamos como utilizar esse conceito para determinar as frações equivalentes</p><p>e conseguir resolver a adição e subtração de frações com denominadores</p><p>diferentes, vamos a mais um exemplo:</p><p>3 1 5</p><p>10 2 6</p><p>− +</p><p>Como os denominadores são diferentes, iniciamos determinando o M.M.C.</p><p>Sabemos que o novo denominador deve ser 30 para que possamos escrever</p><p>frações equivalentes e assim, obter frações de mesmo denominador para poder</p><p>efetuar a adição e subtração.</p><p>Entre estes múltiplos, diferentes de zero, 15 é o menor deles. Chamamos</p><p>o número 15 de Mínimo Múltiplo Comum de 3 e 5.</p><p>12 8 6</p><p>6 4 3</p><p>3 2 3</p><p>3 1 3</p><p>1 1 1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>, , 2x2x2x3=242 x 2 x 2 x 3 = 24</p><p>10 2 6</p><p>5 1 3</p><p>5 1 1</p><p>1 1 1</p><p>2</p><p>3</p><p>5</p><p>2 3 5 30</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>, , x x =2 x 3 x 5 = 30</p><p>20</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>20</p><p>Do 10 para chegar no 30,</p><p>fizemos vezes 3. Assim, no</p><p>numerador deve ser realizada</p><p>a mesma operação, 3 x 3 = 9</p><p>Do 6 para chegar no 30,</p><p>fizemos vezes 5. Realizando</p><p>a mesma operação no</p><p>numerador, temos 5 x 5 = 25</p><p>3.2 MULTIPLICAÇÃO</p><p>Basta multiplicar numerador por numerador e denominador por</p><p>denominador.</p><p>Exemplo:</p><p>1 5 1x5 5</p><p>3 4 3x4 12</p><p>2 5x2 105</p><p>3 1x3 3</p><p>⋅ = =</p><p>⋅ = =</p><p>Lembre-se que 55</p><p>1</p><p>=</p><p>Você não deve tirar o M.M.C., ou seja, não é necessário que as frações tenham</p><p>denominadores iguais.</p><p>ATENCAO</p><p>Como exemplo, iremos realizar o procedimento de multiplicação através</p><p>de um método geométrico. Consideremos então a multiplicação entre: 1 2</p><p>2 3</p><p>⋅ , veja</p><p>como proceder:</p><p>21</p><p>TÓPICO 1 | CONJUNTOS NUMÉRICOS</p><p>21</p><p>Inicialmente,</p><p>representamos a</p><p>primeira fração.</p><p>Na sequência,</p><p>devemos subdividir</p><p>igualmente cada uma</p><p>dessas partes, em</p><p>quantidades iguais</p><p>ao denominador da</p><p>segunda fração, que</p><p>neste exemplo é 3.</p><p>Nesta etapa, para cada</p><p>parte pintada, tomamos</p><p>a quantidade de</p><p>subdivisões iguais ao</p><p>numerador da segunda</p><p>fração, que no caso é 2.</p><p>Note que o círculo</p><p>original foi dividido</p><p>em 2 partes e depois</p><p>cada parte subdividida</p><p>em três, totalizando</p><p>6 subdivisões, destas</p><p>6, tomamos duas, ou</p><p>seja: 2/6.</p><p>Assim, verificamos que:</p><p>1 2 2</p><p>2 3 6</p><p>⋅ =</p><p>3.3 DIVISÃO</p><p>Você já aprendeu que para dividir frações, devemos manter a primeira</p><p>fração e inverter a segunda passando a divisão para multiplicação. Desta forma:</p><p>2</p><p>2</p><p>1 3 1 2 1x2 21) :</p><p>5 2 5 3 5x3 15</p><p>1 1 7 1 1 1x1 12) : 7 ou :</p><p>5 5 1 5 7 5x7 35</p><p>2 8 2 8 3 8x3 24 123) 8 : ou : 12</p><p>3 1 3 1 2 1x2 12</p><p>÷</p><p>÷</p><p>= ⋅ = =</p><p>= ⋅ = =</p><p>= ⋅ = = = =</p><p>Este é o processo prático, mas você sabe por que mantemos a primeira</p><p>fração e invertemos a segunda passando a divisão para multiplicação?</p><p>Na verdade, quando fazemos isso estamos omitindo uma passagem.</p><p>O que se pretende ao multiplicar numerador e denominador pelo inverso do</p><p>denominador é obter um denominador igual a 1, para operar apenas com o</p><p>numerador, facilitando o cálculo. Observe:</p><p>22</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>22</p><p>1 1 2 1 2</p><p>1 3 1 2 25 5 3 5 3:</p><p>3 3 25 2 1 5 3 15</p><p>2 2 3</p><p>⋅ ⋅</p><p>= = = = ⋅ =</p><p>⋅</p><p>Vamos ver também a forma geométrica da divisão entre frações, para isso,</p><p>tomemos como exemplo a divisão 1 1: .</p><p>2 4</p><p>Iniciamos representando geometricamente ambas as frações.</p><p>Observe que a fração 1</p><p>4</p><p>cabe duas vezes na fração 1</p><p>2</p><p>, portanto, podemos</p><p>dizer que: 1 1: 2</p><p>2 4</p><p>= .</p><p>Pelo artifício do algoritmo, 1 1 1 4 4: 2</p><p>2 4 2 2 2</p><p>= ⋅ = = .</p><p>4 PORCENTAGEM</p><p>Como tratamos na introdução</p><p>deste tópico, porcentagem (ou percentagem)</p><p>é uma operação matemática frequentemente utilizada em transações comerciais</p><p>para calcular descontos, acréscimo de preços, quantidade, números, lucros, etc.</p><p>Seu nome tem origem do latim (per centum), são indicadas pelo símbolo % e quer</p><p>dizer “por cento”, ou seja, uma razão de base 100.</p><p>Neste tópico, já estudamos que um número não inteiro pode ser</p><p>representado na forma fracionária ou decimal. A porcentagem, é uma outra</p><p>forma de representar esses números. Veja:</p><p>3 0,03 3%</p><p>100</p><p>17 0,17 17%</p><p>100</p><p>3 20 60 0,60 60%</p><p>5 20 100</p><p>= =</p><p>= =</p><p>⋅ = = =</p><p>23</p><p>TÓPICO 1 | CONJUNTOS NUMÉRICOS</p><p>23</p><p>Acadêmico! Atente ao fato de que nem sempre teremos o denominador da</p><p>fração é igual a 100, neste caso é necessário que utilizemos algum artifício matemático</p><p>para transformar o denominador no valor 100 e para isso utilizamos o conceito de frações</p><p>equivalentes (estudadas no Tópico 1 desta unidade).</p><p>ATENCAO</p><p>Da mesma forma, podemos fazer o movimento inverso, transformando</p><p>porcentagem em frações e decimais.</p><p>1313% 0,13</p><p>100</p><p>8 28% 0,08</p><p>100 25</p><p>25 125% 0,25</p><p>100 4</p><p>= =</p><p>= = =</p><p>= = =</p><p>4.1 CÁLCULO DA PORCENTAGEM</p><p>Apesar de parecerem elementares, quando realizamos o procedimento</p><p>da leitura e interpretação de um cálculo de porcentagem devemos tomar certos</p><p>cuidados. Num primeiro momento é importante atentar para:</p><p>Porcentagem 100% 50% 25% 10% 5%</p><p>Fração</p><p>100</p><p>100</p><p>50 1</p><p>100 2</p><p>=</p><p>25 1</p><p>100 4</p><p>=</p><p>10 1</p><p>100 10</p><p>=</p><p>5 1</p><p>100 20</p><p>=</p><p>Decimal 1 0,5 0,25 0,10 0,05</p><p>Representa O todo</p><p>A metade</p><p>(dividir o todo</p><p>por dois)</p><p>A quarta parte</p><p>(dividir o todo</p><p>por quatro)</p><p>A décima parte</p><p>(dividir o todo</p><p>por dez)</p><p>A vigésima</p><p>parte (dividir o</p><p>todo por 20)</p><p>Representação</p><p>Gráfica</p><p>Com esta relação, resolvemos mentalmente e de maneira rápida, várias</p><p>situações que envolvem porcentagem. São exemplos:</p><p>24</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>24</p><p>• Uma peça de roupa que custa R$ 184,00 está em promoção com 50% desconto</p><p>para pagamento à vista. Para calcular o valor da peça em promoção, basta</p><p>dividir o valor total por dois, ou seja, 184/2 = 92. Logo, a peça de roupa custa R$</p><p>92,00 na promoção.</p><p>• Uma empresa de crédito está oferecendo um desconto de 15% para a quitação</p><p>dos empréstimos para os contratantes que estão inadimplentes a mais de quatro</p><p>meses. Júlio está nessa situação e tem como débito total a quantia de R$ 1200,00.</p><p>Para calcular o valor do desconto, basta calcularmos 10% e 5% do total e depois</p><p>somarmos as quantias: 10% de R$ 1200 é 120 e 5% de R$ 1200 é a metade do</p><p>valor de 10%, logo 60. Desta forma, 120 + 60 = 180, ou seja, o valor do desconto</p><p>é de R$ 180,00 e Júlio pagará a quantia de R$ 1020,00 (R$1200 – R$180).</p><p>• Ao realizar o parcelamento do seguro do seu automóvel, Mariana irá pagar</p><p>um acréscimo de 10%. O valor do seguro à vista é de R$ 1500,00. Para saber</p><p>quanto Mariana irá pagar pelo parcelamento do seguro, basta calcular 10% de</p><p>R$ 1500,00, isto é, R$ 150,00 (juros). Somando essa quantia ao valor do seguro</p><p>para pagamento à vista, temos: R$ 1500,00 + R$ 150,00 = R$ 1650,00, valor total</p><p>a ser pago pelo seguro ao efetuar o parcelamento.</p><p>Marcelo realizou um empréstimo no valor de R$ 8000,00. Irá pagar em 24</p><p>vezes e, ao término, o montante total será acrescido de 60%. Para calcularmos o</p><p>montante total, basta calcularmos 50% e 10% do valor inicial e somarmos: 50% de</p><p>R$ 8000,00 = R$ 4000,00 e 10% de R$ 8000,00 = R$ 800,00. Portanto, o montante</p><p>final será de R$ 12800,00 (R$ 8000,00 + R$ 4000,00 + R$ 800,00).</p><p>Acadêmico, veja que com essas porcentagens, é possível calcular várias outras</p><p>combinações de porcentagem. Treine outras possibilidades!</p><p>ATENCAO</p><p>25</p><p>Neste tópico, você estudou que:</p><p>• As características dos seguintes conjuntos numéricos: Conjunto dos números</p><p>Naturais ( � ); Conjunto dos números Inteiros ( � ); Conjunto dos números</p><p>Racionais ( � ); Conjunto dos números Irracionais ( ); Conjunto dos números</p><p>Reais ( � ).</p><p>• A transformar um número fracionário em um número decimal e vice-versa. Na</p><p>transformação de decimal para fracionário existem três situações, fique atento!</p><p>• Revisamos também as quatro operações básicas da matemática envolvendo</p><p>frações. Vale lembrar:</p><p>a) Só podemos somar ou subtrair frações que possuam o mesmo denominador.</p><p>Para isso, basta manter o denominador e somar ou subtrair o numerador.</p><p>Quando os denominadores forem diferentes, precisamos buscar frações</p><p>equivalentes.</p><p>b) Para multiplicar frações, basta multiplicar numerador por numerador e</p><p>denominador por denominador.</p><p>c) Para dividir frações, mantenha a primeira fração e inverta a segunda</p><p>passando a divisão para multiplicação.</p><p>• O termo Porcentagem tem origem do latim (per centum), é indicado pelo símbolo</p><p>% e quer dizer “por cento”, ou seja, uma razão de base 100.</p><p>RESUMO DO TÓPICO 1</p><p>26</p><p>Prezado acadêmico! Chegou a hora de você testar seus conhecimentos</p><p>sobre os conteúdos básicos da Matemática. Lápis e borracha em mãos e boa</p><p>atividade!</p><p>1 Complete com V (verdadeiro) ou F (falso).</p><p>AUTOATIVIDADE</p><p>2 Observe as frações e suas respectivas representações decimais.</p><p>I– 3/1000 = 0,003</p><p>II– 2367/100 = 23,67</p><p>III– 129/10000 = 0,0129</p><p>IV– 267/10 = 2,67</p><p>Com base nas igualdades anteriores, escolha a alternativa correta?</p><p>a) ( ) As afirmativas I e II estão corretas.</p><p>b) ( ) As afirmativas I e IV estão corretas.</p><p>c) ( ) As afirmativas I, II e III estão corretas.</p><p>d) ( ) As afirmativas I, II, III e IV estão corretas.</p><p>3 (UNIRIO) Um engenheiro, ao fazer o levantamento do quadro</p><p>de pessoal de uma fábrica, obteve os seguintes dados:</p><p>- 28% dos funcionários são mulheres.</p><p>- 1/6 dos homens são menores de idade.</p><p>- 85% dos funcionários são maiores de idade.</p><p>Qual é a porcentagem dos menores de idade que são mulheres?</p><p>a) ( ) 30%.</p><p>b) ( ) 28%.</p><p>c) ( ) 25%.</p><p>d) ( ) 23%.</p><p>e) ( ) 20%.</p><p>a) ( ) 2,5 é um número racional.</p><p>b) ( ) 2,5 é um número irracional.</p><p>c) ( ) 2,5 é um número real.</p><p>d) ( ) 3 é um número racional.</p><p>e) ( ) 3 é um número irracional.</p><p>f) ( ) 3 é um número real.</p><p>27</p><p>4 Encontre a fração geratriz de:</p><p>a) 0,6161...</p><p>b) 5,66...</p><p>5 Em uma loja está havendo uma promoção de conjunto de</p><p>lençóis com 100% algodão. O preço era de R$ 98,00 e com o</p><p>desconto passou a R$ 59,90 à vista. Responda:</p><p>a) Qual dos decimais acima pode ser considerado um número natural?</p><p>b) Qual foi o percentual de desconto concedido?</p><p>c) Transforme os números decimais em forma de fração.</p><p>6 Realize as seguintes operações entre frações:</p><p>1 2 3a)</p><p>4 5 2</p><p>7 1 1 1b)</p><p>4 2 6 3</p><p>3 1 5c) : x</p><p>7 5 4</p><p>+ + =</p><p> </p><p>− + + = </p><p> </p><p> </p><p>= </p><p> </p><p>28</p><p>29</p><p>TÓPICO 2</p><p>UNIDADES DE MEDIDAS</p><p>UNIDADE 1</p><p>1 INTRODUÇÃO</p><p>Caro acadêmico! Neste tópico teremos como objeto de estudo as unidades</p><p>de medidas. Todas as grandezas físicas possuem unidades de medidas além de</p><p>quantidades numéricas. Por exemplo, faz diferença dizer três quilogramas (3 kg)</p><p>de feijão ou três gramas (3 g) de feijão, 2 quilômetros (km) de distância ou dois</p><p>metros (2m) de distância.</p><p>Por isso, trabalhar com a unidade de medida correta é muito importante</p><p>em segurança do trabalho, bem como saber realizar conversões. Existem vários</p><p>padrões de unidades dependendo do sistema que fazem parte e neste tópico,</p><p>vamos entender como trabalhar com eles.</p><p>Outro ponto importante para este tópico é o fato de que iremos trabalhar,</p><p>principalmente, com as unidades do sistema internacional de medidas (SI),</p><p>posteriormente com algumas unidades derivadas e a ideia de múltiplos</p><p>e submúltiplos de cada tipo de unidade de medida, porém, inicialmente</p><p>trabalharemos com uma base composta pelos conceitos de proporcionalidade,</p><p>que de uma forma implícita estará sendo utilizada nos momentos de</p><p>transformações de unidades</p><p>1.1 RAZÕES E PROPORÇÕES</p><p>A proporção também se trata de um conceito muito importante. É comum</p><p>escutarmos expressões do tipo:</p><p>“ 1</p><p>2</p><p>é proporcional a 2</p><p>4</p><p>”</p><p>Aí vem a pergunta, por que 1</p><p>2</p><p>é proporcional a 2</p><p>4</p><p>, o que quer dizer esta</p><p>afirmação? Isto quer dizer que o resultado da divisão 1</p><p>2</p><p>é igual ao</p><p>resultado da</p><p>divisão 2</p><p>4</p><p>, podemos ainda escrever, lembrando do conceito de razão, que a razão</p><p>1</p><p>2</p><p>é igual a razão 2</p><p>4</p><p>. Observe:</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>30</p><p>1 20,5 e 0,5</p><p>2 4</p><p>= =</p><p>Portanto, como</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>= , podemos afirmar que as razões 1</p><p>2</p><p>e 2</p><p>4</p><p>são</p><p>proporcionais, e ainda, que a igualdade</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>= forma uma proporção.</p><p>1.1.1 Elementos de uma proporção</p><p>Dados quatro números racionais quaisquer, genericamente representados</p><p>por: a, b, c e d, diferentes de zero, podemos dizer que eles formam uma proporção</p><p>quando a razão do primeiro para o segundo é igual a razão do terceiro para o</p><p>quarto, ou seja:</p><p>a c ou a : b = c : d</p><p>b d</p><p>= (lê-se: a está para b, assim como c está para d)</p><p>Nesta situação, os números a, b, c e d são denominados de termos da</p><p>proporção, onde os termos b e c são chamados de meios da proporção e os termos</p><p>a e d de extremos da proporção.</p><p>Escrevendo a razão da seguinte forma:</p><p>Fica fácil identificar os meios e os extremos.</p><p>Na proporção a seguir, temos: meios da proporção: 5 e 3; extremos da</p><p>proporção: 1 e 15.</p><p>1</p><p>5</p><p>3</p><p>15</p><p>= ou 1 : 5 = 3 : 15 (lê-se: 1 está para 5, assim como 3 está para 15)</p><p>a : b = c : d</p><p>TÓPICO 2 | UNIDADES DE MEDIDAS</p><p>31</p><p>1.1.2 Propriedade fundamental das proporções</p><p>A propriedade fundamental das proporções diz que:</p><p>“Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos</p><p>extremos”.</p><p>Acompanhe os exemplos:</p><p>4 24a)</p><p>3 18</p><p>=</p><p>Para a igualdade ser uma proporção, a razão 4</p><p>3</p><p>deve ser igual a razão 24</p><p>18</p><p>e de fato temos que 4 241,33 e 1,33.</p><p>3 18</p><p>= =</p><p>Por outro lado, já que estamos diante de uma proporção, podemos</p><p>verificar que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:</p><p>Produto dos meios: 3 24 72� �</p><p>Produto dos extremos: 4 18 72� �</p><p>1 5b)</p><p>3 8</p><p>=</p><p>A igualdade dada “não” se trata de uma proporção, pois a razão</p><p>1</p><p>3</p><p>é</p><p>diferente da razão</p><p>5</p><p>8</p><p>, ou seja, 1</p><p>3</p><p>0 33= , e 5</p><p>8</p><p>0 625= , .</p><p>Por “não” ser uma proporção podemos verificar que o produto dos meios</p><p>“não” é igual ao produto dos extremos:</p><p>Produto dos meios: 3 5 15� �</p><p>Produto dos extremos: 1 8 8� �</p><p>c) Determinar o valor de x que torne a igualdade</p><p>�</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>=</p><p>x uma proporção.</p><p>Pela propriedade fundamental das proporções podemos escrever:</p><p>x ∙ 2 = 4 ∙ 3</p><p>2x = 12</p><p>x = 6</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>32</p><p>Verificação:</p><p>6</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>=</p><p>1 5 1 5, ,=</p><p>Ou seja, concluímos que x realmente deve ser igual a 6.</p><p>1.1.3 Grandezas diretamente proporcionais</p><p>Um exemplo de grandezas diretamente proporcionais é quando em</p><p>um tanque, abrimos uma torneira. Quanto mais tempo a torneira permanecer</p><p>aberta, mais água o tanque irá conter, pelo menos até que esteja cheio. As</p><p>grandezas tempo de vazão da água e volume de água no tanque são grandezas</p><p>diretamente proporcionais, pois quanto maior o tempo de vazão da água, maior</p><p>o volume de água no tanque.</p><p>Desta forma, duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando</p><p>ao aumentarmos o valor de uma delas um certo número de vezes, o respectivo</p><p>valor da outra grandeza aumenta na mesma proporção. E, consequentemente, o</p><p>mesmo ocorre, quando diminuímos o valor de uma delas, proporcionalmente o</p><p>respectivo valor da outra também diminui.</p><p>Acompanhe a seguir duas clássicas situações problemas, que são</p><p>resolvidas utilizando-se deste conceito.</p><p>Situação 1: Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com</p><p>motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia.</p><p>Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?</p><p>Resolução: Podemos iniciar, montando uma tabela que contemple as informações</p><p>do problema.</p><p>Área (m2) Energia (Wh)</p><p>1,2 400</p><p>1,5 x</p><p>Agora, é preciso identificar o tipo de relação entre as variáveis. Por</p><p>dedução, ao aumentar a área de absorção, a energia solar também aumentará.</p><p>TÓPICO 2 | UNIDADES DE MEDIDAS</p><p>33</p><p>Como as relações correspondem (aumentando – aumenta), podemos</p><p>afirmar que as grandezas (área e energia) são diretamente proporcionais e</p><p>podemos escrever a seguinte proporção:</p><p>1 2</p><p>1 5</p><p>400,</p><p>,</p><p>=</p><p>�x</p><p>Aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos:</p><p>1,2 ∙ x = 1,5 ∙ 400</p><p>1,2x = 600</p><p>�= =</p><p>600</p><p>1 2</p><p>500</p><p>,</p><p>x</p><p>Desta forma, a energia produzida será de 500 watts por hora.</p><p>Situação 2: Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se</p><p>comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?</p><p>Resolução: Montando uma tabela com os dados do problema:</p><p>Camisetas Preço (R$)</p><p>3 120</p><p>5 x</p><p>Observamos que aumentando o número de camisetas, por dedução, o</p><p>preço também aumentará. Visto que as relações correspondem (aumentando –</p><p>aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais.</p><p>Como as grandezas são proporcionais, podemos escrever a proporção:</p><p>3</p><p>5</p><p>120</p><p>=</p><p>�x</p><p>Aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos:</p><p>3 ∙ x = 5 ∙ 120</p><p>3x = 600</p><p>�= =</p><p>600</p><p>3</p><p>200x</p><p>Portanto, concluímos que Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>34</p><p>1.1.4 Grandezas inversamente proporcionais</p><p>Na situação de grandezas diretamente proporcionais, vimos que quanto</p><p>maior o tempo de vazão da água, maior o volume de água no tanque. Agora</p><p>imagine se aumentássemos para duas, três ou quatro, o número de torneiras</p><p>abertas nesse tanque. O que aconteceria? Você deve ter percebido o óbvio. Quanto</p><p>mais torneiras se têm, menor é o tempo para se encher o tanque.</p><p>Desta forma, duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando</p><p>ao aumentarmos o valor de uma delas um certo número de vezes, o respectivo valor</p><p>da outra grandeza diminui na mesma proporção, ou então, quando diminuímos o</p><p>valor de uma delas e proporcionalmente, o respectivo valor da outra aumenta.</p><p>Acompanhe a seguir duas clássicas situações-problemas, que são</p><p>resolvidas utilizando-se deste conceito.</p><p>Situação 1: Um trem, se deslocando a uma velocidade média de 400Km/h, faz um</p><p>determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso,</p><p>se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?</p><p>Resolução: Novamente, iniciamos, montando uma tabela que contemple as</p><p>informações do problema.</p><p>Velocidade (Km/h) Tempo (h)</p><p>400 3</p><p>480 x</p><p>Ao tentar identificar o tipo de relação entre as variáveis, observamos que</p><p>aumentando a velocidade, por dedução, o tempo do percurso diminuirá.</p><p>Como as palavras são contrárias (aumentando – diminui), podemos</p><p>afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais.</p><p>Observe, acadêmico, que a igualdade 400</p><p>480</p><p>3</p><p>=</p><p>�x</p><p>montada conforme a</p><p>tabela, não forma uma proporção, pois as grandezas: velocidade e tempo não são</p><p>proporcionais.</p><p>Nestes casos, para obtermos uma proporção, devemos inverter um dos</p><p>termos da igualdade. Assim teremos:</p><p>480</p><p>400</p><p>3</p><p>=</p><p>�x</p><p>Invertemos</p><p>os termos ←</p><p>TÓPICO 2 | UNIDADES DE MEDIDAS</p><p>35</p><p>Resolvendo a equação, teremos:</p><p>Assim, concluímos que o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2</p><p>horas e 30 minutos.</p><p>Situação 2: uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou</p><p>determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para</p><p>5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?</p><p>Resolução: Iniciamos montando uma tabela que sintetize as informações do</p><p>problema.</p><p>Horas por dia Prazo para término (dias)</p><p>8 20</p><p>5 x</p><p>Observamos que diminuindo o número de horas trabalhadas por dia,</p><p>por dedução, o prazo para término aumentará. Como as relações são contrárias</p><p>(diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente</p><p>proporcionais, portanto a igualdade 8</p><p>5</p><p>20</p><p>=</p><p>�x</p><p>, escrita de acordo com a tabela, não</p><p>forma uma proporção.</p><p>Para obter a proporção devemos inverter um dos membros da igualdade.</p><p>Observe, que você pode inverter qualquer um dos membros da igualdade:</p><p>• Invertendo o primeiro membro da igualdade.</p><p>5</p><p>8</p><p>20</p><p>=</p><p>�x</p><p>Resolvendo a equação temos:</p><p>5 8 20</p><p>160</p><p>5</p><p>32</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>� �x</p><p>x</p><p>480 400 3</p><p>480 1200</p><p>1200</p><p>480</p><p>2 5</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� ,x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>36</p><p>• Invertendo o segundo membro da igualdade.</p><p>8</p><p>5</p><p>20</p><p>=</p><p>�x</p><p>Resolvendo a equação temos:</p><p>5 8 20</p><p>160</p><p>5</p><p>32</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>� �</p><p>x</p><p>x</p><p>Logo, a equipe fará o mesmo trabalho em 32 dias.</p><p>1.2 UNIDADES DO SISTEMA INTERNACIONAL (SI)</p><p>Os físicos em seus estudos utilizavam diversas formas e medidas</p><p>para realizarem seus experimentos. Com isto, muitas vezes algumas teorias</p><p>demoravam a serem compreendidas e disseminadas por problemas relacionadas</p><p>a não padronização das unidades utilizadas. Para que este problema fosse</p><p>sanado, foram definidas, por um comitê internacional, mais precisamente na 11ª</p><p>Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM), sete unidades fundamentais que</p><p>compõe o SI (Sistema Internacional de Unidades) sendo que as demais unidades</p><p>derivam dessas unidades fundamentais, listadas a seguir:</p><p>QUADRO 1 – UNIDADES BÁSICAS DO SI</p><p>Metro (m) Segundo (s)</p><p>Quilograma</p><p>(kg)</p><p>Kelvin (K) Ampère (A) Candela (cd) Mol (mol)</p><p>É a distância</p><p>percorrida</p><p>pela luz no</p><p>vácuo num</p><p>intervalo de</p><p>tempo de</p><p>1/2,99792458 s.</p><p>É a duração</p><p>de 9192631770</p><p>oscilações</p><p>da onda</p><p>eletromagnética</p><p>correspondente</p><p>a transição entre</p><p>dois estados</p><p>do átomo de</p><p>césio-133.</p><p>É a</p><p>quantidade</p><p>de massa do</p><p>protótipo</p><p>internacional</p><p>do quilograma</p><p>que está</p><p>armazenado</p><p>num</p><p>laboratório na</p><p>França.</p><p>É a temperatura</p><p>de 1/273,16 da</p><p>temperatura</p><p>termodinâmica</p><p>do ponto tríplice</p><p>da água.</p><p>É a corrente</p><p>elétrica</p><p>constante</p><p>entre dois</p><p>condutores</p><p>a um metro</p><p>de distância</p><p>no vácuo.</p><p>É a intensidade</p><p>luminosa numa</p><p>dada direção</p><p>proveniente</p><p>de uma fonte</p><p>monocromática</p><p>emitindo uma</p><p>frequência de</p><p>540 x 1012 Hz.</p><p>É a</p><p>quantidade</p><p>de matéria</p><p>existente em</p><p>0,012 kg de</p><p>carbono 12.</p><p>FONTE: Os autores</p><p>Para exemplificar como isto funcionaria, podemos imaginar que definindo</p><p>o metro (m) como unidade padrão para comprimento e o segundo (s) como o</p><p>padrão para o tempo, tomando a velocidade média, que é definida pela razão entre</p><p>a distância percorrida por um móvel, e seu respectivo intervalo de tempo, como</p><p>sendo m/s, ou seja, metro por segundo. Notamos que utilizamos duas unidades</p><p>de medida do SI, para “criar” a medida para a velocidade média. Dizemos que a</p><p>unidade de medida da velocidade deriva do metro e do segundo.</p><p>TÓPICO 2 | UNIDADES DE MEDIDAS</p><p>37</p><p>Na sequência, iremos conhecer as formas de medir algumas grandezas</p><p>físicas bastante usuais para o profissional da segurança do trabalho. Estas unidades</p><p>incluem casos padrão do SI e derivadas, bem como seus múltiplos e submúltiplos.</p><p>Como já verificamos anteriormente, para medir comprimentos, utilizamos</p><p>como o padrão o metro (m). Outras formas de medir, encontram-se a seguir:</p><p>1.3 MEDIDAS DE COMPRIMENTO</p><p>km hm dam m Dm cm mm</p><p>Múltiplos do metro:</p><p>• dam: Decâmetro → equivale a 10 vezes mais do que a grandeza padrão “m”</p><p>• hm: Hectômetro → Equivale a 100 vezes mais do que a grandeza padrão “m”</p><p>• km: Quilômetro → Equivale a 1 000 vezes mais do que a grandeza padrão “m”</p><p>Submúltiplos do Metro:</p><p>• dm: Decímetro → Equivale a 10 vezes menos do que a grandeza padrão “m”</p><p>• cm: Centímetro → Equivale a 100 vezes menos do que a grandeza padrão “m”</p><p>• mm: Milímetro → Equivale a 1000 vezes menos do que a grandeza padrão “m”</p><p>Exemplo: Transformar as medidas a seguir, conforme solicitado:</p><p>1) 12,5m para hectômetros.</p><p>Resolução: Conforme vimos, o hectômetro é um múltiplo do metro, sendo o seu</p><p>fator de transformação igual a 100, lembrando que como um hectômetro é maior</p><p>que um metro, devemos realizar a operação de divisão. Logo:</p><p>12,5m ÷ 100 = 0,125hm</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>38</p><p>2) Transformar 4,48 cm em decâmetros.</p><p>Resolução: Um decâmetro é 10 vezes maior que o metro, que por sua vez é 100</p><p>vezes maior que o centímetro. Assim sendo, o fator a ser utilizado é 10 x 100</p><p>= 1000. Lembrando que um decâmetro é maior que um centímetro, novamente</p><p>vamos utilizar a operação de divisão. Logo:</p><p>4,48cm ÷ 1000 = 0,00448dam</p><p>3) Transformar 3,8 m em milímetros.</p><p>Resolução: Um milímetro é 1000 vezes menor do que um metro. Utilizaremos</p><p>o fator 1000. Como um milímetro é menor que um metro, iremos realizar a</p><p>multiplicação:</p><p>3,8m x 1000 = 3800mm</p><p>4) Transformar 14,4km em decímetros.</p><p>Resolução: Temos que um quilômetro é 1000 vezes maior que um metro, que é</p><p>por sua vez 10 vezes maior que um decímetro. Assim o fator a ser utilizado é 1000</p><p>x 10 = 10000. Como um decâmetro é menor que 1 quilômetro, iremos multiplicar:</p><p>14,4km x 10000 = 144000</p><p>Pé, jarda e polegada não pertencem ao SI. São utilizados pelo sistema inglês</p><p>de unidades.</p><p>• 1 Polegada (in) = 2,54 cm</p><p>• 1 Pé (ft) = 30,48 cm</p><p>• 1 Jarda (yd) = 91,44 cm</p><p>UNI</p><p>TÓPICO 2 | UNIDADES DE MEDIDAS</p><p>39</p><p>1.4 MEDIDAS DE CAPACIDADE E VOLUME</p><p>Apesar de serem dois conceitos bastante similares, antes de começar,</p><p>devemos distinguir os conceitos de capacidade e volume.</p><p>Iremos realizar esta diferenciação, lembrando que qualquer sólido</p><p>geométrico (que é um objeto tridimensional) ocupa um lugar no espaço, e desta</p><p>forma possui volume, que se relaciona a “quantidade” de espaço que ele preenche.</p><p>Agora, quando falamos em capacidade, estamos nos referindo àquilo que o</p><p>objeto mencionado acima consegue “transportar”. Tomamos como exemplo, uma</p><p>garrafa, que ocupa um volume. A quantidade de líquido que ela consegue transportar</p><p>é sua capacidade, sendo assim desprezada a espessura do vidro que a compõe.</p><p>Outro caso que diferencia estes dois conceitos é o fato de que volume tem</p><p>como padrão a unidade m³ (metro cúbico) e capacidade utiliza o l (litro). Vejamos:</p><p>1.4.1 Medida de volume</p><p>Como já citado, temos utilizamos o padrão m³. Veja seus múltiplos e</p><p>submúltiplos na tabela a seguir:</p><p>km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3</p><p>Para aprender a realizarmos as conversões, devemos inicialmente notar</p><p>que o volume nos traz a ideia de apresentar a medida do metro (padrão SI) em</p><p>três dimensões:</p><p>Neste caso temos que o volume é 1 m x 1 m x 1 m = 1 m³. E, lembrando</p><p>que, por exemplo 1 m = 10 dm, temos o mesmo volume sendo calculado por:</p><p>10 dm x 10 dm x 10 dm = 1000 dm³</p><p>UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS</p><p>40</p><p>O que nos faz concluir que 1 m³ = 1000 dm³, ou seja, o fator de multiplicidade</p><p>é 10³ = 1000.</p><p>Exemplo: Realize as seguintes transformações:</p><p>1) 2,3 dm³ para dam³</p><p>Resolução: Sabemos que dm³ possui uma ordem a menos do que m³, e também</p><p>que dam³ possui uma ordem a mais que o m³. Isto quer dizer que eles se encontram</p><p>distanciados duas ordens entre si. Assim, o fator a ser utilizado é 10³ x 10³ = 106,</p><p>ou ainda 1000 x 1000 = 1.000.000.</p><p>Como 1 dam³ é maior que 1 dm³, devemos dividir pelo fator. Logo:</p><p>2,3dm³ ÷ 1000000 = 0,0000023dam³ = 2,3 x 10⁻⁶ dam³</p><p>2) 15,5 m³ para cm³</p><p>Resolução: Sabemos que m³ possui duas ordens a mais do que cm³. Isto quer</p><p>dizer que eles se encontram distanciados duas ordens entre si. Assim, o fator a ser</p><p>utilizado é 10³ x 10³ = 106, ou ainda 1000 x 1000 = 1.000.000.</p><p>Como 1 cm³ é menor que 1 m³, devemos multiplicar pelo fator. Logo:</p><p>15,5m³ x 1000000 = 15500000cm³ = 15,5 x 10⁶ cm³</p><p>Para medir capacidade, usualmente iremos recorrer ao litro ( l ). Isto se</p><p>deve ao fato de que a capacidade estar relacionada normalmente a líquidos e</p><p>similares (fluídos em geral).</p><p>Trataremos aqui a relação entre a medida de capacidade e volume, com</p><p>suas principais aparições. Como já mostramos como operar as transformações</p><p>das medidas de volume, iremos apenas apresentar as relações:</p><p>• 1 litro = 1 dm³</p><p>• 1000 litros = 1 m³</p><p>• 0,001 litros = 1 mililitro = 1 cm³</p><p>1.4.2. Medidas de capacidade</p><p>TÓPICO 2 | UNIDADES DE MEDIDAS</p><p>41</p><p>Exemplo:</p><p>1) Transformar 2,64 dm³ para litros.</p><p>Resolução: Já sabemos que 1 litro = 1 dm³, logo a proporção é de 1 para 1. Logo:</p><p>2,64dm³ = 2,64 l</p><p>2) Transformar 10,4 m³ para litros.</p><p>Resolução: Para realizar esta transformação, basta notar que o fator a ser</p><p>considerado é 1000. Logo:</p><p>10,4m³ x 1000 = 10400 l</p><p>1.5 MEDIDAS DE MASSA</p><p>Neste tópico admitiremos a unidade padrão para trabalharmos com</p><p>massa como sendo a grama (g).</p><p>Um ponto aqui muito importante é o fato que utilizamos o termo “peso”</p><p>como sinônimo de “massa”. Sabemos que fisicamente isto está errado, porém em</p><p>termos de simplificação</p>