AP1_GA_2023_2-gabarito

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Geometria Anaĺıtica – EAD01087 – 2023.2
GABARITO
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 1 A 3.
Sejam P = (−1, 2) e Q = (8, 5) pontos do plano.
Questão 1 [2,0 pt] Encontre os pontos A e B que pertencem ao segmento de reta que une P e Q
de forma que ∥
−−→
PA ∥ = ∥−−→AB ∥ = ∥−−→BQ ∥.
SOLUÇÃO:
Como A e B pertencem ao segmento PQ, podemos afirmar que os vetores
−−→
PA e
−−→
PB são ambos
paralelos a
−−→
PQ . Isto é, existem constantes λ1 e λ2 tais que
−−→
PA = λ1 ·
−−→
PQ = λ1 · (9, 3)
−−→
PB = λ2 ·
−−→
PQ = λ2 · (9, 3)
P
A
B
Q Como ∥
−−→
PA ∥ = ∥−−→AB ∥ = ∥−−→BQ ∥ podemos afirmar que os
pontos A e B dividem o segmento PQ em três partes iguais,
então λ1 =
1
3 e λ2 =
2
3 (veja a figura ao lado).
Assim, −−→
PA = (3, 1), −−→PB = (6, 2).
Portanto,
A − P = (3, 1) ⇐⇒ A − (−1, 2) = (3, 1) ⇐⇒ A = (2, 3).
B − P = (6, 2) ⇐⇒ B − (−1, 2) = (6, 2) ⇐⇒ B = (5, 4).
Questão 2 [1,0 pt] Encontre a equação cartesiana da reta mediatriz do segmento PQ.
SOLUÇÃO:
A mediatriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de P e de Q, isto é, são os pontos
X = (x, y) do plano tais que
d(X, P ) = d(X, Q) ⇐⇒
√
(x + 1)2 + (y − 2)2 =
√
(x − 8)2 + (y − 5)2
⇐⇒ (x + 1)2 + (y − 2)2 = (x − 8)2 + (y − 5)2
⇐⇒ x2 + 2x + 1 + y2 − 4y + 4 = x2 − 16x + 64 + y2 − 10y + 25
⇐⇒ 9x + 3y = 42
Questão 3 [1,0 pt] Mostre que a reta encontrada na questão 2 passa pelo ponto médio dos pontos
A e B, encontrados na questão 1.
SOLUÇÃO:
O ponto médio de A = (2, 3) e B = (5, 4) é o ponto M = A + B2 =
(7
2 ,
7
2
)
.
Geometria Anaĺıtica AP1 2
Substituindo na equação da reta encontrada na questão 2, temos
9 ·
(7
2
)
+ 3 ·
(7
2
)
= 42
63
2 +
21
2 = 42
84
2 = 42
42 = 42.
Portanto, M pertence à reta mediatriz.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 4 E 5.
Considere a região R formada por todos os pontos do plano que verificam as desigualdades abaixo:
x2 + y2 ⩽ 4
4y ⩾ 2x
2y − x ⩽ 2
Questão 4 [1,0 pt] Determine a posição relativa entre as retas dadas pelas equações 4y − 2x = 0
e 2y − x = 2 e encontre suas interseções com os eixos coordenados.
SOLUÇÃO:
Observe que os vetores normais das retas (−2, 4) e (−1, 2), são paralelos. Portanto, as retas são
paralelas ou coincidentes.
Como não é posśıvel obter a segunda equação multiplicando a primeira por uma constante, conclúımos
que as retas são paralelas.
Interseções com os eixos:
• reta 4y − 2x = 0
Fazendo x = 0, temos y = 0, logo a reta passa pela origem.
• reta 2y − x = 2
Fazendo x = 0 temos y = 1, ou seja, o ponto (0, 1).
Fazendo y = 0 temos x = −2, ou seja, o ponto (−2, 0).
Questão 5 [3,0 pt] Faça um esboço da região R. Marque todos os pontos e curvas que a delimitam.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Geometria Anaĺıtica AP1 3
SOLUÇÃO:
x
y
4y − 2x = 0
2y − x = 2
x2 + y2 = 4A
B
C
D R R :

x2 + y2 ⩽ 4
4y ⩾ 2x
2y − x ⩽ 2
A região R está destacada em laranja na figura acima:
• A inequação x2 + y2 ⩽ 4 representa o interior do ćırculo x2 + y2 = 4.
• A inequação 4y ⩾ 2x representa a região acima da reta 4y − 2x = 0.
• A inequação 2y − x ⩽ 2 representa a região abaixo da reta 2y − x = 2.
• Os pontos A e B da figura estão na interseção da reta 4y − 2x = 0 e o ćırculo x2 + y2 = 4.x2 + y2 = 44y − 2x = 0 ⇐⇒
x2 + y2 = 4x = 2y ⇐⇒ (2y)2 + y2 = 4 ⇐⇒ y = ± 2√5 , x = ± 4√5
Ou seja, A =
(
− 4√
5
, − 2√
5
)
e B =
(
4√
5
,
2√
5
)
.
• Os pontos C e D da figura estão na interseção da reta 2y − x = 2 e o ćırculo x2 + y2 = 4.
x2 + y2 = 42y − x = 2 ⇐⇒
x2 + y2 = 4x = 2y − 2 ⇐⇒ (2y − 2)2 + y2 = 4 ⇐⇒ 5y2 − 8y = 0
⇐⇒ y1 = 0; y2 =
8
5
⇐⇒ x1 = −2; x2 =
6
5
Ou seja, C =
(6
5 ,
8
5
)
e D = (−2, 0).
Questão 6 [2,0 pt] Determine a equação e faça um esboço da elipse cujo centro é o ponto
C = (1, 2), um dos focos é F1 = (1, 6) e passa pelo ponto P = (1, 7).
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Geometria Anaĺıtica AP1 4
SOLUÇÃO:
Como o centro e o foco pertencem à reta vertical x = 1, temos que esta é a reta focal da elipse, ou
seja, é paralela ao eixo OY . Portanto sua equação é da forma:
(x − x0)2
b2
+ (y − y0)
2
a2
= 1
em que, (x0, y0) é o centro, a é o semi-eixo focal, b é o semi-eixo não focal.
x
y
C
F1
P
F2
Q
A B
• Conhecemos o centro (x0, y0) = (1, 2);
• O semi-eixo focal pode ser calculado pela distância
entre o centro e o ponto (1,7) da elipse, já que este
está na reta focal. Portanto,
a = d((1, 2), (1, 7)) = 5.
Dáı, conclúımos também que o outro ponto da elipse
que está na reta focal é Q = (1, 2 − 5) = (1, −3)
• A distância focal é calculada pela distância do centro
a um dos focos, logo,
c = d((1, 2), (1, 6)) = 4.
• Como a2 = b2 + c2, temos que b = 3. Dáı, as in-
terseções da elise com o eixo não-focal são os pontos
(1 ± 3, 2), ou seja, A = (−2, 2) e B = (4, 2).
Logo, a equação da elipse é
(x − 1)2
9 +
(y − 2)2
25 = 1.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ