3 - Esforços Internos Solicitantes

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Resistência dos 
Materiais Aplicada 
à Arquitetura
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Me. Ricardo Alferes
Revisão Textual:
Prof. Esp. Claudio Pereira do Nascimento
Esforços Internos Solicitantes
• Introdução;
• Unidade de Medida;
• Tipos de Esforços;
• Compressão;
• Tração;
• Cisalhamento.
• Estudar o conceito de tensão, apresentar os diferentes tipos de esforços internos solicitan-
tes e as suas características e cálculos iniciais destes tipos de esforços.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO
Esforços Internos Solicitantes
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos 
e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você tam-
bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de 
aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Esforços Internos Solicitantes
Introdução
Aprender sobre forças, cargas distribuídas, cargas concentradas, reações de 
apoio e vínculos é o primeiro passo no caminho para o entendimento da resistência 
dos materiais e como visualizar estes conceitos básicos em estruturas do cotidiano. 
Vários exemplos foram apresentados e traduzidos numa linguagem bidimensional 
nas unidades anteriores.
Porém, nesta unidade, abordaremos o conceito de tensão em sólidos. E como 
a tensão depende de uma força sendo exercida em uma área de contato, nossos 
objetos de estudo, que antes eram apenas figuras bidimensionais, agora terão uma 
área de profundidade sendo considerada.
Observe a imagem a seguir: à esquerda, consta a notação de uma estrutura 
sem dimensões de área, apenas uma linha com comprimento e carga aplicada, 
conforme apresentado nas unidades anteriores. Uma vez que se aborda o conceito 
de esforços internos solicitantes, considera-se que, se seccionarmos uma face do 
elemento estrutural submetido a um esforço, é possível considerar uma porção da 
força, distribuída numa porção da área, em princípio esta distribuição é uniforme. 
A partir deste momento, é necessário que não só se defina a força aplicada, como 
também a área na qual ela está sendo carregada.
Figura 1 – Representação de um fio sob tração sem preocupação com área transversal 
(esquerda) e representação da seção transversal deste fio (direita)
Fonte: Acervo do conteudista
A imagem a seguir mostra uma ponte de madeira, localizada na cidade de Sneek, 
nos Países Baixos. A ponte, da forma como foi construída, é capaz de suportar qual-
quer tráfego de qualquer tipo de veículo, ou seja, sabemos que é uma estrutura suficien-
temente resistente para o que se propõe.
Para a realização da estrutura desta ponte, foram unidos vários perfis de ma-
deira de um certo tamanho até a obtenção das medidas desejadas. E dada a quan-
tidade demandada de madeira, bem como a região na qual foi construída a ponte, 
é pertinente supor que foi utilizada madeira de crescimento rápido provinda de 
reflorestamento, o mesmo tipo de árvore que é utilizado na confecção de vários 
utensílios, como palitos e caixas de transporte.
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Figura 2 – Estrutura complexa de madeira na cidade de Sneek (esquerda)
e um simples palito de madeira (direita)
Fonte: Getty Images
Agora observe um palito de madeira, seja ele de picolé, fósforo ou churrasco. 
Supondo que a madeira do palito fosse exatamente o mesmo tipo de madeira utili-
zado na ponte, ela seria capaz de suportar uma carga muito alta?
Obviamente que não conseguiríamos levantar muito peso com um palito, mes-
mo que tivéssemos um sistema de encaixe. Naturalmente sabemos que um material 
tão pequeno não teria uma capacidade de carga comparável à de uma estrutura 
pronta. Esta ideia que comprovamos empiricamente tráz consigo o conceito de ten-
são, pois se o palito fosse tão grande quanto as vigas desta ponte, talvez houvesse 
uma capacidade de carga comparável.
O cálculo de tensão em sólidos consiste em analisar uma certa quantidade de 
força aplicada em uma área definida do material. Quando estudamos a resistência 
de algum material, é essencial que se avalie a resistência baseada na tensão, afinal, 
se soubermos a relação entre a força e a área, podemos prever o comportamento 
daquele material para qualquer tamanho ou formato.
A fórmula utilizada para cálculo de tensão é a seguinte:
� �
F
A
Onde:
• σ – Sigma, letra grega, representa a tensão calculada;
• F – Força aplicada no material (geralmente expressa em newtons);
• A – Área de aplicação da força.
Por exemplo, no desenvolvimento da tecnologia de concreto são elaborados di-
versos cilindros de pequenas dimensões, com diâmetros entre 10 e 15 centímetros, 
em geral são necessários poucos litros de concreto para preencher cada cilindro, 
estas amostras são testadas em laboratório para que seja avaliada a resistência da-
quele concreto.
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UNIDADE Esforços Internos Solicitantes
Com os resultados dos testes, podemos ter uma noção da qualidade daquela mis-
tura. Se o valor estiver dentro do desejado, aquele tipo de concreto poderá ser utili-
zado em uma futura estrutura, compondo pilares, vigas e lajes. Observe na imagem 
a seguir os resultados dos ensaios com vários cilindros de concreto após o descarte 
pelo laboratório.
Figura 3 – Remanescentes de amostras concreto após realização de ensaios em laboratório
Fonte: Getty Images
Agora imagine se cada um desses testes tivesse que ser feito em um pilar em 
tamanho real. Isso inviabilizaria qualquer desenvolvimento de um material. Por isso, 
fazemos testes em amostras de tamanho reduzido.
Unidade de Medida
Como mencionado, uma tensão em um sólido é o resultado de uma força apli-
cada em uma área, portanto, como unidade de medida teremos uma unidade de 
força dividida por uma unidade de área. Por exemplo, N/m², kN/cm², N/mm², 
entre outras combinações.
Assim como a unidade de força newton (N) é uma referência ao físico Isaac 
Newton, também temos, na unidade de tensão, uma nomenclatura em homenagem 
a uma pessoa de destaque no desenvolvimento científico, neste caso Blaise Pascal. 
Por esta razão, convencionou-se que um newton dividido por um metro quadrado 
é nomeado como um pascal (Pa).
N
m
Pa2 =
10
11
Blaise Pascal – http://bit.ly/2NpTapC
Ex
pl
or
Há diversas formas de se retratar as unidades de medidas de tensão além do 
pascal, você poderá se deparar, por exemplo, com alguma unidade que no dia a dia 
lidamos em situações bem diferentes, como, por exemplo, o psi, que é a unidade de 
medida comumente utilizada para pressão do ar em pneusde veículos no Brasil.
Essa semelhança é devido ao fato de a pressão do ar também ser resultante de 
uma força exercida em uma determinada área. No entanto, ao longo deste curso, 
quando referenciadas as situações com tensão, estaremos lidando apenas com for-
ças aplicadas em corpos sólidos.
 
Figura 4 – Manômetro: Medidor de pressão em fl uidos
Fonte: Getty Images
Tipos de Esforços
Observe as duas imagens a seguir, em uma delas podemos ver uma parte da 
lateral do castelo de Leiria, em Portugal, construído no século 12. Na imagem é 
possível observar alguns dos pilares de sustentação, presentes ao longo do castelo. 
Na outra imagem, é possível ver um detalhe da ponte de Manhattan que conecta 
dois distritos em Nova Iorque, construída no início do século 20.
Medidores de pressão em gases e líqui-
dos também utilizarão unidades que 
envolvem forças aplicadas em áreas.
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UNIDADE Esforços Internos Solicitantes
Figura 5 – Pilares de sustentação do castelo de Leiria – Portugal
Fonte: Getty Images
Figura 6 – Ponte pênsil de aço em Manhattan – Nova Iorque
Fonte: Getty Images
Com o avanço da tecnologia humana, desenvolvemos materiais melhores e mais 
resistentes ao longo do tempo, além do surgimento de técnicas que nos permitiram 
desenvolver estruturas cada vez maiores e mais complexas.
Imagine o tipo de força que o pilar está exercendo sobre a estrutura e compare 
com o esforço dos cabos de aço da ponte. Será que o material dos pilares do castelo 
poderia funcionar se fossem colocados no lugar do aço da ponte? O tipo de esforço é 
igual ou diferente? O que isso significa?
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Compressão
Quando temos um objeto ou um elemento estrutural que está sofrendo um “es-
magamento”, chamamos este esforço de compressão. Observe a imagem a seguir, 
suponha um objeto qualquer sendo pressionado pelos dois extremos, se pudéssemos 
fatiar este objeto, veríamos duas faces de contato. A compressão ocorre quando essas 
duas faces estão sendo aproximadas uma da outra.
Figura 7 – Representação da aproximação das faces num esforço de compressão
Fonte: Acervo do conteudista
Em uma estrutura, os esforços de compressão são principalmente vistos nos pila-
res, assim como os do exemplo apresentado do castelo de Leiria. Quanto maior for 
a força aplicada em um pilar, maior tende a ser o seu tamanho, considerando que se 
utilize o mesmo material. Os materiais utilizados atualmente são muito mais resisten-
tes que os materiais utilizados nas construções mais antigas, por esse motivo é muito 
comum que edifícios mais antigos tenham pilares maiores e mais robustos, pois muitas 
vezes, devido à reduzida resistência, era necessária uma área maior de contato para 
uma carga que, hoje, seria resolvida com um pilar de menores dimensões.
Exemplo de Cálculo para um Esforço de Compressão
A figura a seguir apresenta uma estátua de bronze apoiada sobre um pilar na 
cidade de Veneza, Itália. Vamos supor que, somando a massa da estátua e do 
suporte, haja um total de 800kg sobre o pilar que teria um formato circular e um 
diâmetro de 75cm (0,75m). Calculemos o valor da tensão de compressão sobre o 
pilar, dadas estas informações.
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UNIDADE Esforços Internos Solicitantes
Figura 8 – Pilar de sustentação à estátua (esquerda) e representação gráfica da situação proposta (direita)
Fonte: Getty Images, Acervo do conteudista
Conforme dito, a fórmula para cálculo da tensão de um material consiste na divisão 
da força pela área de contato. Neste caso, o primeiro passo a ser tomado é o cálculo 
da área da seção circular do pilar, sendo assim:
2.círculoA rπ=
Onde:
• Acírculo – Área do círculo a ser calculada;
• π – Pi (letra grega), constante matemática, cujo valor pode ser aproximado 
para 3,14;
• r – Raio da circunferência, que equivale à metade do diâmetro.
Logo:
A = 3,14 0,375
A = 
círculo
2
círculo
2
⋅
0 442,
Importante!
O número Pi não é um número inteiro. Algumas calculadoras possuem a função para ela-
borar o cálculo com mais precisão, outras utilizam o valor 3,14. Por causa disso, é possível 
que haja pequenas variações no resultado numérico, devido à aproximação do resultado, 
o que não necessariamente constitui um erro.
Importante!
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Voltando à formula da tensão:
2
 
8000 
0,442
 18108,30
 18108,30
σ
σ
σ
σ
=
=
=
=
F
A
N
m
Pa
Tração
Diferentemente da compressão, o esforço de tração é caracterizado pelo afasta-
mento das partes do objeto tensionado. Observe a imagem abaixo, que representa um 
objeto qualquer sob esforço de tração, assim como na ilustração do esforço de com-
pressão, se pudéssemos fatiar este objeto, veríamos duas faces de contato. A tração é 
caracterizada quando essas duas faces estão se distanciando uma da outra.
Figura 9 – Representação da aproximação das faces num esforço de tração
Fonte: Acervo do conteudista
Em geral, os esforços de tração estão espalhados em vários elementos estrutu-
rais nos edifícios e obras modernas, mas uma forma muito fácil de identificá-los é 
na observação de estruturas que utilizem cabos de aço, pois, por não ter rigidez 
que lhes permita uma solicitação de compressão (seria impraticável comprimir um 
cabo, dada a flexibilidade), estruturas cabeadas estão normalmente tracionadas.
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UNIDADE Esforços Internos Solicitantes
A ponte estaiada na cidade de São Paulo, por exemplo, é composta de um ele-
mento central de concreto que está conectado a diversos cabos de aço (os estais) 
que, por sua vez, atuam como sustentação para a ponte. Cada um desses cabos está 
sofrendo um esforço de tração gerado pelo peso da estrutura abaixo deles, ou seja, 
estão todos o tempo todo sendo “esticados”.
O aço é o material mais comum para este tipo de aplicação, uma vez que o con-
creto não apresenta um bom desempenho e a madeira tem mais limitações dimen-
sionais por ser um material natural, por isso é improvável que vejamos uma ponte 
estaiada ser construída hoje em dia com concreto, por exemplo.
Figura 10 – Ponte estaiada na cidade de São Paulo
Fonte: Getty Images
Exemplo de Cálculo para um Esforço de Tração
Considere um elevador que está sendo erguido por um sistema de cabos de aço. 
O total de massa do elevador cheio é de 1200kg. O cabo é formado com um con-
junto de 20 cabos menores entrelaçados entre si, cada um com um diâmetro de 1cm 
(0,01m). Calculemos a tensão de tração no cabo composto pelos cabos menores.
Figura 11 – Cabos de aço para sustentação
Fonte: Getty Images
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Figura 12 – Representação gráfi ca de uma cordoalha de aço
Fonte: Acervo do conteudista
A resolução da tensão de tração será semelhante à tensão de compressão, di-
ferenciando-se apenas pelo tipo de esforço. Ou seja, mais uma vez utilizaremos a 
divisão da força pela área de contato. Novamente o primeiro passo a ser tomado é 
o cálculo da área de contato. Neste caso, calcularemos a área da seção circular do 
cabo que é composto por 20 cabos menores.
2
2
2
2
2
3,14 0,05
0,00785
20 0,00785
0,157
π= ×
= ×
=
= ×
=
círculo
círculo
círculo
total
total
A r
A
A m
A m
A m
Voltando à formula da tensão:
2
12000
0,157
76394,37
76394,37
σ
σ
σ
σ
=
=
=
=
F
A
N
m
Pa
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UNIDADE Esforços Internos Solicitantes
Cisalhamento
O esforço de cisalhamento é geralmente associado à ocorrência de um corte. 
Nos elementos estruturais, isso não é diferente, porém este tipo de “corte” em uma 
peça costuma se apresentar de uma forma diferente no nosso dia a dia.
Imagine um elemento de um material sólido qualquer, confinado parcialmente em 
algum recipiente fixo. Se for aplicada uma força lateral intensa o suficiente, a tendência 
é que este corpo sofra um efeito de “fatiamento”, com a separação dele em 2 faces. 
Porém, diferente dos efeitos de tração e compressão, essas faces se movem lateral-
mente uma em relação à outra.
Figura 13 – Representação gráfica de um esforço de cisalhamento
Fonte: Acervo do conteudista
Uma forma comum de aplicação para este tipo de solicitação está relacio-
nada ao uso de parafusos e pinos atuando como uniãode duas ou mais peças. 
Veja na imagem abaixo, por exemplo, uma sequência de tábuas sendo atra-
vessada. Um parafuso ou pino que seja utilizado para fixação destas tábuas 
estará sujeito ao cisalhamento sempre que qualquer uma destas peças tentar 
se movimentar lateralmente.
Figura 14 – Furadeira atravessando várias peças independentes de madeira, 
situação onde é comum haver cisalhamento
Fonte: Getty Images
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Exemplo de Cálculo para Esforços de Cisalhamento
Considere que você está analisando o material que constitui um trampolim de 
plástico utilizado para saltos em uma piscina. O seu objetivo neste momento é calcu-
lar qual a tensão de cisalhamento que ocorre na junção entre o trampolim e a estru-
tura de apoio, considerando que o trampolim tem uma seção transversal de 40 cm 
de largura por 5 cm de espessura e que você estima que o máximo utilizado nesta 
situação seja uma pessoa de 110 kg.
Figura 15 – Homem sobre trampolim, há um esforço de cisalhamento na
conexão entre o trampolim e a estrutura
Fonte: Getty Images
Figura 16 – Representação gráfi ca do trampolim e do peso aplicado
Fonte: Acervo do conteudista
Neste exemplo, assim como nos outros, a fórmula básica para cálculo da ten-
são é σ = F / A, a força aplicada que gera o esforço de cisalhamento é 1100N, a 
área de contato é a seção retangular de 5cm por 40cm. Uma vez que a unidade 
usual de cálculo de tensão é o pascal (Pa), que é baseado em N / m2, é interessante 
converter as unidades de entrada da questão proposta para as unidades do pascal. 
Dessa forma, converteremos as medidas laterais do trampolim:
25 40 200 =cm x cm cm
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UNIDADE Esforços Internos Solicitantes
Convertendo centímetros para metros:
5 0,05
40 0,40
0,05 . 0, 40 0,02 ²
=
=
=
cm m
cm m
m m m
Esta será nossa área de cisalhamento.
Calculando a tensão no trampolim, teremos:
2
1100
0,02
55000
55000 
σ
σ
σ
σ
=
=
=
=
F
A
N
m
Pa
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Resistência dos Materiais – Para Entender e Gostar
BOTELHO, M. H. C Resistência dos Materiais – Para entender e gostar. 4. ed. São Paulo: 
Blucher, 2017.
Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática
BEER, F. P. et. al. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 9. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2012.
Estruturas Isostáticas
ALMEIDA, M. C. F. Estruturas Isostáticas. São Paulo: Ofi cina de Textos, 2009.
 Vídeos
Resistência dos Materiais - Aula 02 - Definição de Esforços Solicitantes 
https://youtu.be/1XODnxJnd_A
Conceitos Básicos de Esforços Solicitantes 
https://youtu.be/09PwzbCj0Ac
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UNIDADE Esforços Internos Solicitantes
Referências
BOTELHO, M. H. C. Resistência dos Materiais – Para Entender e Gostar. 4. ed. 
São Paulo: Blucher, 2017.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2010.
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