Dimensionamento de concreto armado ao cisalhamento

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DESCRIÇÃO
Estado de tensão cisalhante. Treliça de Mörsch. Modelos I e II para cálculo no Estado Limite
Último. Dimensionamento das armaduras transversais das peças estruturais.
PROPÓSITO
É essencial para a formação de um engenheiro civil conhecer as tensões cisalhantes e os
modelos de cálculo utilizados para o dimensionamento das armaduras transversais dos
elementos estruturais em concreto armado, em construções de pequeno, médio ou grande
porte.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, tenha em mãos uma calculadora científica ou use a
calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar as tensões e a analogia envolvidas na treliça de Mörsch
MÓDULO 2
Formular o dimensionamento de elementos de concreto armado submetidos ao cisalhamento
por meio do modelo I no Estado Limite Último
MÓDULO 3
Formular o dimensionamento de elementos de concreto armado submetidos ao cisalhamento
por meio do modelo II no Estado Limite Último
MÓDULO 4
Calcular o dimensionamento da armadura transversal dos elementos estruturais em concreto
armado
BEM-VINDO AOS ESTUDOS DE
DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS DE
CONCRETO ARMADO AO CISALHAMENTO
AVISO: orientações sobre unidades de medida.
javascript:void(0)
ORIENTAÇÕES SOBRE UNIDADES DE MEDIDA
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por
questões de tecnologia e didáticas. No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um
espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais
materiais escritos por você devem seguir o padrão internacional de separação dos números e
das unidades.
MÓDULO 1
 Identificar as tensões e a analogia envolvidas na treliça de Mörsch
AS TENSÕES PRINCIPAIS E AS FISSURAS
ESTUDO DAS TENSÕES E A TRELIÇA DE
MÖRSCH
Para um bom e correto dimensionamento dos elementos estruturais, é necessário que o
engenheiro calculista tenha domínio sobre as tensões que atuam nos elementos e a teoria
envolvida em seu dimensionamento. Em vigas, as principais tensões atuantes são:
Normal de flexão
Provocada pelo momento fletor
(σ)
(M)
.

Cisalhante
Provocada pelo esforço cortante
.
A Imagem 1(a) apresenta uma viga biapoiada clássica com carregamento uniformemente
distribuído
e comprimento
.
 Imagem 1 – (a) Viga biapoiada com carregamento uniforme, seus diagramas de (b) esforço
cortante e (c) momento fletor
(τ)
(V )
(q)
(L)
Os esforços internos dessa viga são o esforço cortante e o momento fletor, cujos diagramas
estão representados nas imagens 1 (b) e (c), respectivamente. Observa-se que o momento
fletor é máximo
no meio do vão, onde o cortante é nulo. Isso ocorre porque a função do esforço cortante é a
derivada da função do momento fletor. Para a viga em questão, o esforço cortante máximo
ocorre em seus apoios, e o valor é
.
 ATENÇÃO
Nos tópicos seguintes, veremos como se relacionam as tensões normais e cisalhantes em uma
viga, a fim de obter as tensões principais no elemento. O foco de nosso estudo será o
dimensionamento de elementos submetidos ao cisalhamento.
ESTUDOS DAS TENSÕES
No estudo das tensões, vamos desprezar a presença de armadura e considerar o elemento
estrutural como um material em concreto, homogêneo, elástico linear e que apresenta a razão
da altura pelo comprimento pequena. Desse modo, poderemos utilizar a expressão do cálculo
de tensões normais com erros muito pequenos, ou seja, admitindo a hipótese de seções planas
que permanecem planas após as deformações.
Utilizaremos os conceitos da resistência dos materiais para o cálculo das tensões e
adotaremos as seguintes equações para tensão normal
e tensão cisalhante transversal
( )
q.L2
8
q.L
2
(σ)
(τ)
, respectivamente:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo:
o momento fletor atuante na seção.
o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo do centro de gravidade.
a distância entre o centro de gravidade da seção transversal e o ponto onde será
calculada a tensão.
o esforço cortante atuante na seção.
o momento de primeira ordem (ou momento estático) da área da seção transversal
situada acima de onde se deseja calcular a tensão (área
, representada na Imagem 2).
a largura da seção transversal no ponto em que se deseja calcular a tensão de
cisalhamento (na Imagem 2, esse ponto pode estar localizado em qualquer posição sobre
a linha vermelha).
σ = ⋅ y
M
I
τ =
V ⋅ Q
t ⋅ I
M
I
y
V
Q
A′
t
 Imagem 2 – Esquema que representa uma seção transversal genérica para o cálculo da
tensão cisalhante
NA IMAGEM ANTERIOR, NA REPRESENTA O EIXO QUE PASSA
PELO CENTRO DE GRAVIDADE DA SEÇÃO TRANSVERSAL,
OU SEJA, A LINHA NEUTRA;
É A DISTÂNCIA DO PONTO ONDE SE DESEJA CALCULAR A
TENSÃO CISALHANTE ATÉ A LINHA NEUTRA;
É A DISTÂNCIA ENTRE O CENTROIDE DA ÁREA
ATÉ A LINHA NEUTRA, E
É UM COMPRIMENTO INFINITESIMAL DO ELEMENTO
ESTUDADO.
y′
ȳ ′
A′
dx
Com a finalidade de simplificar o assunto das tensões atuantes em elementos estruturais,
iremos restringir nosso estudo das tensões para vigas de seção retangular nos tópicos
seguintes.
ESTUDO DAS TENSÕES EM UMA VIGA
No estudo de tensões, vamos considerar uma viga biapoada com seção retangular de altura
e base
, com carregamento distribuído uniformemente. Conforme mostra a Imagem 1, a viga vai estar
submetida à ação do momento fletor e do esforço cortante. Consequentemente, teremos
tensão normal de flexão
e tensão de cisalhamento transversal
. Nessa situação, para uma seção qualquer da viga, a distribuição de tensões ocorre como
ilustra a Imagem 3.
 Imagem 3 – Distribuição de tensões em viga de seção retangular com carregamento
uniformemente distribuído
(h)
(b)
(σ)
(τ)
Na imagem anterior, podemos observar que a tensão normal de flexão tem distribuição linear
com valor máximo nas extremidades e nulo no eixo que passa pelo centroide (linha neutra).
Para um momento positivo, temos tensões de compressão acima da linha neutra e tensões de
tração abaixo da linha neutra.
A TENSÃO MÁXIMA DE COMPRESSÃO OCORRE NA FIBRA
SUPERIOR COM DISTÂNCIA DO CENTROIDE IGUAL A
, ENQUANTO A TENSÃO MÁXIMA DE TRAÇÃO OCORRE NA
FIBRA INFERIOR, COM DISTÂNCIA DO CENTROIDE IGUAL A
. ESSE CONCEITO IRÁ DETERMINAR A POSIÇÃO DA
ARMADURA LONGITUDINAL NO ELEMENTO ESTRUTURAL.
A tensão cisalhante tem o comportamento em formato de parábola. Se o esforço cortante for
positivo – o que ocorre até a metade do comprimento da viga, conforme se vê na Imagem 1b
–, têm-se apenas tensões cisalhantes positivas.
Ao contrário da tensão normal, a tensão cisalhante apresenta valores nulos nas extremidades e
máximo na linha neutra (Imagem 3). Para uma seção com esforço cortante negativo, têm-se
apenas tensões cisalhantes negativas.
Para vigas com outras situações de carregamento, podem ocorrer seções com momentos
negativos. Nesse caso, acima da linha neutra, teremos tensões normais de flexão de tração e,
abaixo da linha neutra, tensões de compressão.
ymáx,C
ymáx,T
javascript:void(0)
 ATENÇÃO
Vale lembrar que as tensões de compressão são consideradas negativas, e as tensões de
tração, positivas.
O momento de inércia
e o momento estático
, para uma viga retangular com área
igual a
, são dados, respectivamente, por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores na equação de tensão de cisalhamento, teremos, para a tensão
cisalhante máxima em uma seção retangular, a expressão dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TENSÕES PRINCIPAIS
Conhecidas as tensões atuantes em um ponto de uma seção, podemos obter o estado de
tensões, as tensões e as direções em qualquer plano desse ponto. O estado plano de tensões
(I)
(Q)
(A)
b ⋅ h
I =
b ⋅ h3
12
Q = ( − y2)b
2
h2
4
τmáx = 1, 5 ⋅
V
A
de determinado ponto do elemento estrutural pode ser representado em uma visão
bidimensional, como ilustra a Imagem 4.
 Imagem4 – Estado plano de tensões
A partir da visão bidimensional, podemos fazer um corte no elemento a partir de um ângulo
e, desse modo, determinar as tensões atuantes no plano dado por esse ângulo, por meio do
equilíbrio estático, realizando o somatório de forças obtidos pelo esquema obtido na Imagem 5.
 Imagem 5 – Esquema para determinar as tensões em um plano qualquer do elemento
Da resistência dos materiais, sabemos que as tensões normais principais – ou seja, seus
valores máximo e mínimo – ocorrem quando a tensão cisalhante é nula. Com isso, podemos
determinar as tensões principais para o estado plano de tensões (
(θ)
e
) de maneira analítica, utilizando a seguinte equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo
a tensão principal maior e
a tensão principal menor. A direção dessas tensões é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A fim de compreendermos melhor a diferença entre as tensões atuantes em determinado ponto
do elemento e as tensões principais desse ponto, vamos observar as Imagens 6 e 7.
Na Imagem 6, temos uma viga engastada com carga pontual aplicada em sua extremidade
livre. A Imagem 6 (b) mostra o corte a-a dessa viga, com os pontos de 1 a 5, cujos planos de
tensões e as tensões principais de cada ponto são apresentados na Imagem 7. Na Imagem 6
(c), tem-se representado a distribuição de tensões atuantes na seção do corte a-a.
 Imagem 6 – (a) Viga engastata com carga pontual (b) corte da seção a-a (c) distribuição de
tensões
σ1
σ2
σ1,2 = ± √( )
2
+ τ 2xy
σx + σy
2
σx − σy
2
σ1
σ2
tan 2θ =
2 ⋅ τxy
σx − σy
Na Imagem 7, podemos observar que, nos pontos extremos 1 e 5, só atua a tensão normal,
sendo, no ponto 1, a tensão normal de tração e, no ponto 5, a tensão normal de compressão.
Como a tensão cisalhante não atua nesses pontos, a tensão normal de flexão já é a tensão
principal.
Os pontos 2 e 4 são pontos intermediários, sendo o ponto 2 na região de tração e o 4 na região
de compressão. Como a tensão cisalhante atua nesses pontos, as tensões principais não
atuam nesse plano e precisam ser calculadas.
O ponto 3 da Imagem 6 (b) está posicionado sobre a linha neutra, de modo que, nesse ponto,
não atua tensão normal, apenas tensões cisalhantes, como ilustra a Imagem 7. Em situações
como a do ponto 3, as tensões principais ocorrem no plano
.
 Imagem 7 – Componentes de tensão e tensões principais da seção a-a da Imagem 6(a)
θ = 45°
javascript:void(0)
A importância de o engenheiro calculista conhecer as tensões principais de um elemento se
justifica porque, no concreto, as fissuras são perpendiculares à direção da tensão principal de
tração. Desse modo, conhecida a trajetória das tensões principais, é possível determinar as
trajetórias das fissuras/trincas e, com isso, determinar o posicionamento das armações do
elemento estrutural.
A Imagem 8 ilustra a ocorrência de fissuras em um ponto posicionado sobre a linha neutra,
onde têm-se apenas tensões cisalhantes atuando.
 Imagem 8 – Ocorrência de fissura em um ponto sobre a linha neutra de uma seção
TRELIÇA DE MÖRSCH
Como vimos, em geral, as vigas são solicitadas ao momento fletor e ao esforço cortante. A
armadura longitudinal tem a função de resistir às tensões de flexão, e a armadura transversal,
de resistir ao cisalhamento. A ruptura ocorre por formação de fissuras inclinadas causadas
pelos efeitos combinados de momento fletor e esforço cortante.
O MODELO DE CÁLCULO DE UM ELEMENTO EM CONCRETO
ARMADO RESISTENTE À TENSÃO CISALHANTE É
COMPLEXO, UMA VEZ QUE A RESISTÊNCIA AO
CISALHAMENTO DEPENDE DE DIVERSOS FATORES. ENTRE
TAIS FATORES, PODEMOS CITAR: GEOMETRIA DO
ELEMENTO, CLASSE DO CONCRETO, ARMADURA
LONGITUDINAL DE FLEXÃO, CARREGAMENTO, VÃO, TIPO DE
AÇO ETC.
Com a finalidade de simplificar os cálculos, W. Ritter e Mörsch apresentaram uma teoria para o
dimensionamento da armadura de cisalhamento que considerava o mecanismo resistente da
viga no estado II (fissurada) associado ao de uma treliça, em que as armaduras e o concreto
equilibram o esforço cortante de forma conjunta.
Ritter e Mörsch propuseram uma analogia entre a viga fissurada e a treliça. Nessa analogia, o
banzo superior representa o cordão de concreto comprimido, o banzo inferior representa a
armadura longitudinal de flexão
, as diagonais comprimidas representam as bielas de concreto entre as fissuras, e as diagonais
tracionadas representam a armadura transversal (de cisalhamento
. Essa analogia é ilustrada na Imagem 9.
 Imagem 9 – Analogia de Ritter e Mörsch
As hipóteses básicas consideradas para a analogia foram: fissuras (bielas de compressão) com
inclinação de 45°, banzos paralelos, treliça isostática (sem engastamento nos nós) e armadura
(As)
(Asw)
de cisalhamento (estribos) com inclinação entre 45° e 90°.
A tensão principal de tração
será resistida pela armadura de cisalhamento
que deverá atravessar as fissuras. Já a tensão principal de compressão
será resistida pelo concreto comprimido localizado entre as fissuras (bielas de concreto).
 SAIBA MAIS
A ABNT NBR 6118:2014 admite dois métodos de cálculo para verificação do cisalhamento:
Modelo de cálculo I: treliça clássica de Ritter e Mörsch.
Modelo de cálculo II: treliça generalizada de Mörsch.
Para resistir aos esforços de cisalhamento, podemos utilizar armaduras no formato de estribos
(que serão vistos no módulo 4) e barras dobradas. Nos módulos seguintes, serão apresentados
os modelos de cálculo admitidos pela norma, considerando os estribos como armadura
cisalhante.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
(σ1)
(Asw)
(σ2)
MÓDULO 2
A FORMULAÇÃO E EXEMPLO DE
APLICAÇÃO DO MODELO I
ESTADO LIMITE ÚLTIMO (NBR6118) –
MODELO I
Segundo a ABNT NBR 6118:2014, o Modelo I: treliça clássica de Ritter e Mörsch admite
bielas com inclinação
e esforço cortante resistido por outros mecanismos
na seção, independentemente do esforço cortante de cálculo. Deve-se fazer as seguintes
verificações do dimensionamento no Estado Limite Último à força cortante (ELU-V):
Compressão da diagonal do concreto (biela) – consiste em verificar a ruptura por compressão
das diagonais de concreto.
 Formular o dimensionamento de elementos de concreto armado submetidos ao
cisalhamento por meio do modelo I no Estado Limite Último
θ = 45°
(Vc)
Cálculo da armadura transversal – consiste em determinar a bitola do aço e o espaçamento
entre ramos.
Força cortante resistida para determinada quantidade de aço – consiste em verificar se a
armadura utilizada será capaz de resistir ao esforço cortante aplicado na seção.
Desse modo, a condição de segurança do elemento estrutural é satisfatória quando são
verificadas e atendidas, simultaneamente, as duas condições a seguir:
A) NÃO ESMAGAMENTO DAS BIELAS DE CONCRETO
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo
o esforço cortante de cálculo obtido por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
é o esforço cortante solicitante devido às forças permanentes,
é o esforço cortante solicitante devido às forças variáveis e
é a força cortante de cálculo máxima resistida por compressão diagonal das bielas de concreto.
B) DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA
TRANSVERSAL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo
VSd ≤ VRd2
VSd
VSd = 1, 4 ⋅ (VG + VQ)
VG
VQ
VRd2
VSd ≤ VRd3 = Vc + Vsw
VRd3
javascript:void(0)
javascript:void(0)
a força cortante de cálculo máxima resistida pela diagonal tracionada,
a força cortante resistida por outros mecanismos e
a força cortante de cálculo resistida pela armadura transversal.
A seguir, serão apresentadas as formulações para o modelo I e exemplos de aplicação.
FORMULAÇÃO PARA O MODELO I
Para obter as formulações que levam às verificações solicitadas pela norma, iremos considerar
a Treliça de Mörsch da Imagem 10, na qual o banzo superior e as diagonais comprimidasestão
em azul; e o banzo inferior e as diagonais tracionadas, em vermelho. As setas indicam as
forças internas referentes aos cortes a-a e b-b.
Na formulação utilizada em nosso estudo, iremos considerar os estribos na posição vertical, ou
seja, com ângulo de 90°.
 Imagem 10 – Treliça de Mörsch com representação dos cortes e forças internas
Os estribos verticais apresentam execução mais fácil. São elementos independentes, de modo
que podem ser melhor distribuídos e ter um diâmetro menor do que as barras longitudinais, o
que favorece a aderência e a fissuração. Além disso, auxiliam na montagem da armadura
longitudinal e podem resistir sozinhos a todo o esforço cortante. Também auxiliam na
Vc
Vsw
distribuição de tensões de tração produzidas pela transmissão de esforços entre concreto e
aço
A Imagem 11 apresenta, de forma esquemática, as forças e as distâncias referentes ao corte a-
a. Sendo
a força de compressão no concreto,
a força de tração da armadura longitudinal e
a força de compressão das bielas de concreto, que é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse caso, o coeficiente de redução da resistência do concreto fissurado por força cortante
é dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Imagem 11 – Corte a-a da treliça de Mörsch
Fc
Fs
C
C = b ⋅ (z ⋅ cos θ) ⋅ ν ⋅ fcd
(ν)
ν = 0, 6 ⋅ (1 − ) ,  sendo fck em MPa
fck
250
Do esquema da Imagem 11, podemos realizar o somatório das forças verticais, de modo que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o modelo I, em que
, temos que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para a formulação de cálculo da armadura transversal, iremos utilizar o corte b-b da Imagem
10, que está representado na Imagem 12.
 Imagem 12 – Corte b-b da treliça de Mörsch
Do esquema da Imagem 12, podemos realizar o somatório das forças verticais. Com isso,
temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
∑Fy ↑+= 0 : VRd2 − C ⋅ sin θ = 0
VRd2 = b ⋅ z ⋅ v ⋅ fcd ⋅ cos θ ⋅ sin θ
VRd2 = 0, 45 ⋅ b ⋅ v ⋅ fcd ⋅ sin 2θ
θ = 45°
VRd2 = 0, 45  ⋅  b  ⋅  d  ⋅  ν. fcd
∑Fy ↑+= 0 : VSd − Vsw − Vc = 0 → Vsw = VSd − Vc
Vc
, para o modelo I de cálculo, é dado por:
Para elementos tracionados, quando a linha neutra se situa fora da seção:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para elementos submetidos à flexão simples e flexo-tração, com a linha neutra cortando a
seção:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo
a resistência de cálculo do concreto à tração, que é igual a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
é a resistência característica do concreto à tração e é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
é a resistência média do concreto à compressão e é calculada pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo assim,
Vc = 0
Vc = 0, 6  ⋅  b  ⋅  d  ⋅  fctd
fctd
fctd =
fctk
1, 4
fctk
fctk = 0, 7 ⋅ fctm
fctm
fctm = 0, 3 ⋅ f
2/3
ck
Vsw = z ⋅ ⋅ fywd ⋅ cot θ
Asw
s
< class='material-icons'> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Onde
é a resistência de cálculo de escoamento do aço da armadura transversal, dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo
a resistência característica de escoamento do aço da armadura transversal. Para aço CA-50,
, e para aço CA-60,
.
Teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o modelo I considera
, a área de aço da armadura transversal será dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
Vsw = 0, 9 ⋅ d ⋅ ⋅ fywd ⋅ cot θ
Asw
s
fywd
fywd =
fywk
1, 15
fywk
fywk = 500 MPa
fywk = 600 MPa
Asw =
(Vd − Vc) ⋅ s
0, 9 ⋅ d ⋅ fywd ⋅ cot θ
θ = 45°
Asw =
(Vd − Vc) ⋅ s
0, 9 ⋅ d ⋅ fywd
é o espaçamento longitudinal entre estribos, sendo utilizado igual a 100cm para obter
em
. É importante observar que
é a armadura transversal por unidade de comprimento da viga, e
é a área de todos os ramos verticais do estribo.
Como é mais conveniente trabalharmos com valores adimensionais, iremos determinar
, que é a taxa geométrica da armadura transversal. Ela é determinada em função do ângulo do
estribo,
, e, como estamos adotando o estribo vertical, ou seja,
, a equação será dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao comparar as taxas de aço do estribo com
e uma barra de aço dobrada com
, verifica-se que as taxas são iguais, de modo que o custo é o mesmo. No entanto, a barra
dobrada apresenta uma série de desvantagens, como:
s
Asw
cm2/m
Asw
s
Asw
ρsw,α
α
α = 90°
ρsw,90 = =
volume de aço
volume de concreto
1, 11 ⋅ Vsw
b  ⋅  d  ⋅ fywd
α = 90°
α = 45°
Execução mais difícil, utilizada junto aos estribos, podendo resistir a, no máximo, 60% do
Esforço Cortante.
Tem bitola maior do que os estribos, prejudicando o controle de fissuração.
Apresenta deficiência na ancoragem das bielas comprimidas junto à região tracionada.
Caso só haja barras dobradas, aparece um efeito de fendilhamento junto à ancoragem da
biela.
Pelos motivos citados, não serão desenvolvidas as formulações que consideram
.
Com o avanço das pesquisas experimentais utilizando o modelo I, verificou-se que os cálculos
realizados com esse modelo conduziam a uma armadura transversal exagerada. Isso significa
que a tensão real atuante na armadura é menor do que a obtida nos cálculos. Os
pesquisadores atribuíram essa diferença a alguns fatores, como:
A treliça é hiperestática, e não isostática, como considerada no modelo. Desse modo, os
nós não podem ser considerados como articulações perfeitas.
Nas regiões com maior força cortante, a inclinação das fissuras é menor do que 45°. No
modelo I, admite-se que a inclinação das fissuras seja de 45°.
Uma parte do esforço cortante é absorvido na região do concreto comprimido, por conta
dos esforços de flexão.
Os banzos não são paralelos conforme considerado. O banzo superior, comprimido, é
inclinado.
As bielas de concreto comprimidas estão parcialmente engastadas na ligação com o
banzo comprimido, portanto, são submetidas a esforços de flexocompressão, o que alivia
os montantes ou diagonais tracionadas.
45°  ≤  α  <  90°
As bielas são mais rígidas do que os montantes ou diagonais tracionadas, e absorvem
uma parcela maior do esforço cortante do que a determinada no modelo I.
A quantidade de armadura longitudinal influencia o esforço da armadura transversal, o
que também não é considerado no modelo I.
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
O Modelo I: treliça clássica de Ritter e Mörsch é um modelo mais simplificado, que garante
valores mais conservadores para área de armadura transversal
. No próximo módulo, será apresentado o modelo II de cálculo.
TENSÕES NO MODELO I
As tensões, por definição matemática, são força dividida pela área. A seguir, apresentamos as
tensões envolvidas na formulação do ELU-V para o modelo I:
a) Tensão resistida por outros mecanismos
– é a tensão relativa à força cortante dos mecanismos, que corresponde ao engrenamento
ocorrido entre as partes de concreto separadas pelas fissuras inclinadas e a resistência da
armadura longitudinal, que é utilizada como apoio para as bielas de concreto
. É dada pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
b) Tensão cisalhante solicitante de cálculo
(Asw)
(τc)
(Vc)
τc =
Vc
b ⋅ d
(τSd)
– é a tensão que corresponde à força cortante solicitante de cálculo que atua na seção
. É dada pela equação:
 Atenção!Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
c) Tensão combatida pela armadura transversal
– é a tensão que corresponde à força cortante de cálculo resistida pela armadura transversal
. É dada pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
d) Tensão máxima resistida pela biela de concreto comprimida
– é a tensão que corresponde à força cortante de cálculo máxima resistida por compressão
diagonal das bielas de concreto
. É dada pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As formulações de dimensionamento para o ELU-V podem ser obtidas por meio das tensões. A
verificação do esmagamento das bielas de concreto pode ser realizada pela comparação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a área da armadura transversal pode ser obtida por meio da relação:
(VSd)
τSd =
vSd
b ⋅ d
(τSw)
(VSw)
τSw =
VSw
b ⋅ d
(τRd2)
(VRd2)
τRd2 = = 0, 45 ⋅ v ⋅ fcd
VRd2
b ⋅ d
τSd ≤ τRd2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
APLICAÇÃO PARA O MODELO I – EXEMPLO 1
O carregamento de cálculo e o diagrama de esforço cortante da Viga 1 de um sistema
estrutural é mostrado na Imagem 13. Os vãos da viga apresentam comprimento de 5,0m, e os
carregamentos são 48,0kN/m nos vãos 1 e 3, e 36kN/m no vão 2. A viga apresenta seção
transversal com altura
e base
. O concreto a ser utilizado terá resistência característica à compressão
, e o aço será o CA-50.
 Imagem 13 – Viga e seu diagrama de esforço cortante do exemplo
EXEMPLO A
τSw ≥ τSd − τc
h = 50cm
b = 15cm
fck = 30MPa
Verifique se ocorre o esmagamento das bielas de concreto e determine a área de aço da
armadura transversal a ser utilizada nos vãos 1 e 3.
SOLUÇÃO
• Verificação do esmagamento das bielas de concreto
Temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando
, temos:
, OK!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
• Área de aço da armadura transversal
Temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando
, temos:
v = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 528
fck
250
30
250
d = 0, 9 ⋅ h
VRd2 = 0, 45 ⋅ b ⋅  d ⋅  v ⋅ fcd = 0, 45 ⋅ 15 ⋅ 0, 9 ⋅ 50 ⋅ 0, 528 ⋅ = 343, 67kN
3, 0
1, 4
VSd ≤ VRd2 → 141, 0kN < 343, 67kN
fctm = 0, 3 ⋅ f
2/3
ck = 0, 3 ⋅ 30
2/3 = 0, 2896MPa
fctk = 0, 7 ⋅ fctm = 0, 7 ⋅ 0, 2896 = 2, 0272MPa
fctd = = = 1, 448MPa
fctk
1, 4
2, 0272
1, 4
Vc = 0, 6 ⋅ b ⋅ d ⋅ fctd = 0, 6 ⋅ 15 ⋅ 0, 9 ⋅ 50 ⋅ 0, 1448 = 58, 64kN
d = 0, 9 ⋅ h
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO B
Verifique se ocorre o esmagamento das bielas de concreto e determine a área de aço
transversal a ser utilizada no vão 2.
SOLUÇÃO
• Verificação do esmagamento das bielas de concreto
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando
, temos:
, OK!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
• Área de aço da armadura transversal
Asw = = = 4, 68cm
2/m
(VSd − Vc) ⋅ s
0, 9 ⋅ d ⋅ fywd
(141 − 58, 64) ⋅ 100
0, 9 ⋅ 0, 9 ⋅ 50 ⋅ 50
1,15
v = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 528fck
250
30
250
d = 0, 9 ⋅ h
VRd2 = 0, 45 ⋅  b ⋅ d  ⋅  v ⋅ fcd = 0, 45 ⋅ 15 ⋅ 0, 9 ⋅ 50 ⋅ 0, 528 ⋅ = 343, 7kN
3, 0
1, 4
VSd ≤ VRd2 → 90, 0kN < 343, 7kN
fctm = 0, 3 ⋅ f
2/3
ck = 0, 3 ⋅ 30
2/3 = 0, 2896MPa
fctk = 0, 7 ⋅ fctm = 0, 7 ⋅ 0, 2896 = 2, 0272MPa
fctd = = = 1, 448MPa
fctk
1, 4
2, 0272
1, 4
Vc = 0, 6 ⋅ b ⋅ d ⋅ fctd = 0, 6 ⋅ 15 ⋅ 0, 9 ⋅ 50 ⋅ 0, 1448 = 58, 64kN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando
, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
APLICAÇÃO PARA O MODELO I – EXEMPLO 2
O proprietário de uma casa resolveu acrescentar um andar para construção de um quarto de
visitas sobre a área gourmet, que fica nos fundos da casa. Para isso, contratou um engenheiro
calculista que, de posse do projeto estrutural, retirou as seguintes informações de uma viga
existente:
Altura:
Base:
Concreto:
Aço: CA-50
Área de aço da armadura transversal:
d = 0, 9 ⋅ h
Asw = = = 1, 78cm
2/m
(VSd − Vc) ⋅ s
0, 9 ⋅ d ⋅ fywd
(90, 0 − 58, 64) ⋅ 100
0, 9 ⋅ 0, 9 ⋅ 50 ⋅ 50
1,15
h  =  50cm
b  =  14cm
fck  =  25MPa
Asw  =  5, 40cm
2/m
Com essas informações, vamos determinar o esforço cortante máximo que essa viga suporta,
calculado pelo engenheiro.
SOLUÇÃO
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando
, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O maior esforço cortante solicitante
que poderá ser aplicado a essa viga será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
fctm = 0, 3 ⋅ f
2/3
ck = 0, 3 ⋅ 25
2/3 = 2, 565MPa
fctk = 0, 7 ⋅ fctm = 0, 7 ⋅ 2, 565 = 1, 7955MPa
fctd = = = 1, 282MPa
fctk
1, 4
1, 7955
1, 4
Vc = 0, 6 ⋅ b ⋅ d ⋅ fctd = 0, 6 ⋅ 14 ⋅ 0, 9 ⋅ 50 ⋅ 0, 1282 = 48, 46kN
d = 0, 9 ⋅ h
Asw = → Vd = + Vc
(VSd − Vc) ⋅ s
0, 9 ⋅ d ⋅ fywd
Asw ⋅ 0, 9 ⋅ d ⋅ fywd
s
VSd = + 48, 46 = 143, 55kN
5, 40 ⋅ 0, 9 ⋅ 0, 9 ⋅ 50 ⋅ 50
1,15
100
(Vs)
Vs = = = 102, 54kN
VSd
γ
143, 55
1, 4
ALTERAÇÕES DO MODELO I PARA O
MODELO II E EXEMPLO DE APLICAÇÃO DO
MODELO II
ESTADO LIMITE ÚLTIMO (NBR 6118) –
MODELO II
MÓDULO 3
 Formular o dimensionamento de elementos de concreto armado submetidos ao
cisalhamento por meio do modelo II no Estado Limite Último
Por conta das simplificações da estrutura adotada para a formulação do Modelo I: treliça
clássica de Ritter e Mörsch, foram obtidos valores bem acima do necessário para a área de
armadura transversal utilizada para resistir ao cisalhamento. No entanto, é extremamente
complexo introduzir todas as variáveis no cálculo da treliça, visto que levaria a dificuldades
matemáticas consideráveis.
A Treliça Generalizada de Mörsch (modelo II) também é um modelo simplificado, mantendo os
princípios do modelo da treliça. No entanto, para essa formulação, foram considerados
resultados de ensaios.
 SAIBA MAIS
Na ABNT NBR 6118:2014, o Modelo II: treliça generalizada de Mösch admite bielas com
inclinação de
. O esforço cortante resistido por outros mecanismos
na seção sofre redução com o aumento do esforço cortante de cálculo
.
30° ≤ θ ≥ 45°
(Vc)
(VSd)
Além disso, deve-se fazer as seguintes verificações para o dimensionamento no Estado Limite
Último à Força Cortante (ELU-V):
COMPRESSÃO DA DIAGONAL DO CONCRETO (BIELA).
CÁLCULO DA ARMADURA TRANSVERSAL.
FORÇA CORTANTE RESISTIDA PARA DETERMINADA
QUANTIDADE DE AÇO.
Desse modo, a condição de segurança do elemento estrutural é satisfatória quando são
verificadas e atendidas simultaneamente, pelo ELU-V, as duas condições seguintes:
NÃO ESMAGAMENTO DAS BIELAS DE CONCRETO.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA TRANSVERSAL.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
FORMULAÇÃO PARA O MODELO II
Para obter as formulações que levam às verificações solicitadas pela norma, iremos considerar
novamente a Treliça de Mörsch da Imagem 10, na qual o banzo superior e as diagonais
comprimidas estão em azul, e o banzo inferior e as diagonais tracionadas em vermelho.
VSd ≤ VRd2
Vd ≤ VRd3 = Vc + Vsw
 Imagem 10 – Treliça de Mörsch com representação dos cortes e forças internas
As setas indicam as forças internas referentes aos cortes a-a e b-b. Na formulação utilizada
neste conteúdo, iremos considerar os estribos na posição vertical, ou seja, com ângulo de 90°.
A Imagem 11 apresenta, de forma esquemática, as forças e as distâncias referentes ao cortea-
a.
 Imagem 11 – Corte a-a da treliça de Mörsch
Sendo
a força de compressão no concreto,
a força de tração da armadura longitudinal e
Fc
Fs
C
a força de compressão das bielas de concreto, que é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde o coeficiente de redução da resistência do concreto fissurado por força cortante
é dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Do esquema da Imagem 11, podemos realizar o somatório das forças verticais, de modo que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No modelo II temos:
.
Para a formulação de cálculo da armadura transversal, iremos utilizar o corte b-b da Imagem
10, que está representado na Imagem 12.
C = b ⋅ (z ⋅ cos θ) ⋅ ν\cdotfcd
(ν)
v = 0, 6 ⋅ (1 − ) , sendo fck em MPa
fck
250
∑Fy ↑+= 0 : VRd2 − C ⋅ sin θ = 0
VRd2 = b ⋅ z ⋅ v ⋅ fcd ⋅ cos θ ⋅ sin θ
VRd2 = 0, 45 ⋅ b ⋅ v ⋅ fcd ⋅ sin 2θ
30° ≤ θ ≥ 45°
 Imagem 12 – Corte b-b da treliça de Mörsch
Do esquema da Imagem 12, podemos realizar o somatório das forças verticais, de modo que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
para o modelo II de cálculo é dado por:
Para elementos tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para elementos submetidos à flexão simples e flexo tração com a linha neutra cortando a
seção, iremos considerar a seguinte formulação
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo
a resistência de cálculo do concreto à tração, que é igual a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que,
é a resistência característica do concreto à tração e é dada por:
∑Fy ↑+= 0 : Vd − Vsw − Vc = 0 → Vsw = Vd − Vc
Vc
Vc = 0
V0 = 0, 6 ⋅ b ⋅ d ⋅ fctd
Vc = V0, se : VSd ≤ V0
Vc = ( ) ⋅ V0, se : VSd > V0
VRd2 − VSd
VRd2 − V0
fctd
fctd =
fctk
1, 4
fctk
fctk = 0, 7 ⋅ fctm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
é a resistência média do concreto à compressão, e é calculada por meio da equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
é o espaçamento longitudinal entre estribos, sendo utilizado igual a 100cm para obter
em
. É importante observar que
é a armadura transversal por unidade de comprimento da viga e
é a área de todos os ramos verticais do estribo. No modelo II, temos:
fctm
fctm = 0, 3 ⋅ f
2/3
ck
Vsw = z ⋅ ⋅ fywd ⋅ cot θ
Asw
s
Vsw = 0, 9 ⋅ d ⋅ ⋅ fywd ⋅ cot θ
Asw
s
Asw =
(Vd − Vc) ⋅ s
0, 9 ⋅ d ⋅ fywd ⋅ cot θ
s
Asw
cm2/m
Asw
s
Asw
.
Como é mais conveniente trabalharmos com valores adimensionais, iremos determinar
, que é a taxa geométrica da armadura transversal. Ela é determinada em função do ângulo do
estribo,
, e, como aqui estamos adotando o estribo vertical, ou seja,
, a equação será dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O modelo II é dito refinado quando utilizamos
.
TENSÕES NO MODELO II
Já sabemos que as tensões, por definição matemática, são força dividida pela área. Neste
tópico, serão apresentadas as tensões envolvidas na formulação do ELU-V para o Modelo II.
a) Tensão resistida por outros mecanismos
é a tensão relativa à força cortante dos mecanismos, que corresponde ao engrenamento
ocorrido entre as partes de concreto separadas pelas fissuras inclinadas e a resistência da
armadura longitudinal, que é utilizada como apoio para as bielas de concreto
. É dada pela equação:
30° ≤ θ ≥ 45°
ρsw,α
α
α  =  90°
ρsw,90 = =
volume de aço
volume de concreto
1, 11 ⋅ Vsw
b ⋅ d ⋅  fywd ⋅ cot θ
θ  =  30°
(τc)
(Vc)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
b) Tensão cisalhante solicitante de cálculo
é a tensão que corresponde à força cortante solicitante de cálculo que atua na seção
. É dada pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
c) Tensão combatida pela armadura transversal
é a tensão que corresponde à força cortante de cálculo resistida pela armadura transversal
. É dada pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
d) Tensão máxima resistida pela biela de concreto comprimida
é a tensão que corresponde à força cortante de cálculo máxima resistida por compressão
diagonal das bielas de concreto
. É dada pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
τc =
Vc
b ⋅ d
(τSd)
(VSd)
τSd =
VSd
b ⋅ d
(τSw)
(VSw)
τSw =
VSw
b ⋅ d
(τRd2)
(VRd2)
τRd2 = = 0, 45 ⋅ v ⋅ fcd ⋅ sin 2θ
VRd2
b ⋅ d
As formulações de dimensionamento para o ELU-V podem ser obtidas por meio das tensões. A
verificação do esmagamento das bielas de concreto pode ser realizada comparando:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a área da armadura transversal pode ser obtida pela relação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
APLICAÇÃO PARA O MODELO II – EXEMPLO 1
A fim de realizarmos uma comparação entre os valores de
obtidos para o modelo I
e para o modelo II refinado
, iremos realizar os mesmos exemplos que vimos no módulo 2, mas com
, no modelo II.
O carregamento de cálculo e o diagrama de esforço cortante da Viga 1 de um sistema
estrutural é mostrado na Imagem 13, que é repetida a seguir. Os vãos da viga apresentam
comprimento de 5,0m, e os carregamentos são 48,0kN/m nos vãos 1 e 3, e 36kN/m no vão 2. A
viga apresenta seção transversal com altura
e base
. O concreto a ser utilizado terá resistência característica à compressão
τSd ≤ τRd2
τSw ≥ τSd − τc
Asw
(θ  =  45°)
(θ  =  30°)
θ  =  30°
h  =  50cm
b  =  15cm
fck  =  30MPa
, e o aço será o CA-50.
 Imagem 13 – Viga e seu diagrama de esforço cortante do exemplo
EXEMPLO A
Verifique se ocorre o esmagamento das bielas de concreto e determine a área de aço da
armadura transversal a ser utilizada nos vãos 1 e 3.
SOLUÇÃO
• Verificação do Esmagamento das bielas de concreto
Temos
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando
, temos:
, OK!
v = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 528
fck
250
30
250
d  =  0, 9 ⋅ h
VRd2 = 0, 45 ⋅ b ⋅ d ⋅ v ⋅ fcd ⋅ sin 2θ = 0, 45 ⋅ 15 ⋅ 0, 9 ⋅ 50 ⋅ 0, 528 ⋅ ⋅ sin 60 = 297, 65kN
3, 0
1, 4
VSd ≤ VRd2 → 141, 0kN < 297, 65kN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
• Área de aço da armadura transversal
Temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
, pois
,
é dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando
, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
fctm = 0, 3 ⋅ f
2/3
ck
= 0, 3 ⋅ 302/3 = 0, 2896MPa
fctk = 0, 7 ⋅ fctm = 0, 7 ⋅ 0, 2896 = 2, 0272MPa
fctd = = = 1, 448MPa
fctk
1, 4
2, 0272
1, 4
V0 = 0, 6 ⋅ b ⋅ d ⋅ fctd = 0, 6 ⋅ 15 ⋅ 0, 9 ⋅ 50 ⋅ 0, 1448 = 58, 64kN
VSd > V0
141kN > 58, 64kN
Vc
Vc = ( ) ⋅ V0 = ( ) ⋅ 58, 64
VRd2 − VSd
VRd2 − V0
297, 65 − 141
297, 65 − 58, 64
Vc = 38, 43kN
d  =  0, 9 ⋅ h
Asw = = = 3, 36cm
2/m
(VSd − Vc) ⋅ s
0, 9 ⋅ d ⋅ fywd ⋅ cot θ
(141 − 38, 43) ⋅ 100
0, 9 ⋅ 0, 9 ⋅ 50 ⋅ ⋅ cot 3050
1,15
No exemplo,
do modelo refinado foi de
, enquanto do modelo I foi
. Desse modo, utilizando-se o modelo de cálculo I, obteve-se uma taxa de armadura de cerca
de 39% maior do que utilizando-se o modelo de cálculo II com
. Além da redução da taxa de armadura, pelaformulação do modelo refinado, também se
observou uma redução da força cortante de cálculo máxima resistida por compressão diagonal
das bielas de concreto
.
EXEMPLO B
Verifique se ocorre o esmagamento das bielas de concreto e determine a área de aço
transversal a ser utilizada no vão 2.
SOLUÇÃO
• Verificação do Esmagamento das bielas de concreto
Temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando
, temos:
Asw
3, 36cm²/m
4, 68cm²/m
θ = 30°
(VRd2)
v = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 528
fck
250
30
250
d  =  0, 9 ⋅ h
, OK!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
• Área de aço da armadura transversal
Temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como:
, pois:
,
é dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando
, temos:
VRd2 = 0, 45 ⋅ b  ⋅  d ⋅v ⋅ fcd ⋅ sin 2θ = 0, 45 ⋅ 15 ⋅ 0, 9 ⋅ 50 ⋅ 0, 528 ⋅ ⋅ sin 60 = 297, 65kN
3, 0
1, 4
Vd ≤ VRd2 → 90, 0kN < 297, 65kN
fctm = 0, 3 ⋅ f
2/3
ck = 0, 3 ⋅ 30
2/3 = 0, 2896MPa
fctk = 0, 7 ⋅ fctm = 0, 7 ⋅ 0, 2896 = 2, 0272MPa
fctd = = = 1, 448MPa
fctk
1, 4
2, 0272
1, 4
V0 = 0, 6 ⋅ b ⋅ d ⋅ fctd = 0, 6 ⋅ 15 ⋅ 0, 9 ⋅ 50 ⋅ 0, 1448 = 58, 64kN
VSd > V0
90 kN > 58, 64kN
Vc
Vc = ( ) ⋅ V0 = ( ) ⋅ 58, 64
VRd2 − VSd
VRd2 − V0
297, 65 − 90
297, 65 − 58, 64
Vc = 50, 95kN
d  =  0, 9 ⋅ h
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como era esperado,
e
no modelo refinado foram menores do que os valores encontrados utilizando o Modelo I de
cálculo.
APLICAÇÃO PARA O MODELO II – EXEMPLO 2
O proprietário de uma casa resolveu acrescentar um andar para construção de um quarto de
visitas sobre a área gourmet, que fica nos fundos da casa. Para isso, contratou um engenheiro
calculista de posso do projeto estrutural, retirou as seguintes informações de uma viga
existente:
Altura:
Base:
Concreto:
Aço: CA-50
Área de aço da armadura transversal:
Asw = = = 1, 28cm
2/m
(VSd − Vc) ⋅ s
0, 9 ⋅ d ⋅ fywd ⋅ cot θ
(90 − 50, 95) ⋅ 100
0, 9 ⋅ 0, 9 ⋅ 50 ⋅ ⋅ cot 3050
1,15
Asw
VRd2
h  =  50cm
b  =  14cm
fck  =  25MPa
Com essas informações, determine o esforço cortante máximo que essa viga suporta.
SOLUÇÃO
Calculando:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando
, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar:
, e calcular
como:
Asw  =  5, 40cm
2/m
fctm = 0, 3 ⋅ f
2/3
ck = 0, 3 ⋅ 25
2/3 = 2, 565MPa
fctk = 0, 7 ⋅ fctm = 0, 7 ⋅ 2, 565 = 1, 7955MPa
fctd = = = 1, 282MPa
fctk
1, 4
1, 7955
1, 4
d  =  0, 9 ⋅ h
V0 = 0, 6 ⋅ b ⋅ d ⋅ fctd = 0, 6 ⋅ 14 ⋅ 0, 9 ⋅ 50 ⋅ 0, 1282 = 48, 46kN
v = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 54
fck
250
25
250
VRd2 = 0, 45 ⋅  b ⋅  d ⋅  v ⋅ fcd ⋅ sin 2θ = 0, 45 ⋅ 14 ⋅ 0, 9 ⋅ 50 ⋅ 0, 54 ⋅ ⋅ sin 60 = 236, 75kN
2, 5
1, 4
VSd > V0
Vc
Vc = ( ) ⋅ V0 = ( ) ⋅ 48, 46
VRd2 − VSd
VRd2 − V0
236, 75 − VSd
236, 75 − 48, 46
Vc = 60, 93 − 0, 257 ⋅ VSdkN
Asw = → VSd = + Vc
(VSd − Vc) ⋅ s
0, 9 ⋅ d ⋅ fywd ⋅ cot θ
Asw ⋅ 0, 9 ⋅ d ⋅ fywd ⋅ cot θ
s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O maior esforço cortante solicitante
que poderá ser aplicado a essa viga será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
VSd = + (60, 93 − 0, 257 ⋅ VSd)
5, 40 ⋅ 0, 9 ⋅ 0, 9 ⋅ 50 ⋅ ⋅ cot 3050
1,15
100
VSd + 0, 257 ⋅ VSd = 164, 7 + (60, 93)
1, 257 ⋅ VSd = 225, 63
VSd = 179, 50kN
(Vs)
Vs = = = 128, 21kN
Vd
γ
179, 50
1, 4
MÓDULO 4
 Calcular o dimensionamento da armadura transversal dos elementos estruturais em
concreto armado
EXEMPLO COMPLETO DE
DIMENSIONAMENTO DE UMA VIGA AO ELU-
V
CÁLCULO DA ARMADURA TRANSVERSAL
Nos módulos anteriores, estudamos o comportamento das tensões normais e cisalhantes no
elemento e vimos as formulações para os dois modelos de cálculos admitidos pela NBR
6118:2014 para o dimensionamento de elementos submetidos ao cisalhamento. Ambos os
modelos de cálculo apresentam formulações para a verificação do esmagamento das bielas de
concreto comprimidas e para a determinação da área de aço da armadura transversal.
Neste módulo, iremos acrescentar alguns requisitos da norma para o dimensionamento da
armadura transversal. Veremos os conceitos e formulações para área e taxa de armadura
transversal mínima e dimensionamento dos estribos. Em seguida, será apresentado um
exemplo completo de dimensionamento de uma viga quanto ao ELU-V.
ÁREA E TAXA DE ARMADURA TRANSVERSAL
MÍNIMA
A área de armadura transversal mínima
é área mínima que pode ser adotada no dimensionamento da armadura. Ou seja, nos cálculos
de
utilizando o modelo I ou o modelo II, caso aconteça de obter um valor de
, deve-se adotar para o projeto
, que, segundo a ABNT NBR 6118:2014, pode ser obtida pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Além da área de aço de armadura transversal mínima, também pode-se calcular a taxa mínima
de armadura transversal
por meio da equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(Asw,mín)
ASw
ASw < ASw,mín
Asw,mín
Asw,min = 0, 2 ⋅ b ⋅ s ⋅
fctm
fywk
(ρw,mín)
ρw,min =
Asw,min
b ⋅ s
 ATENÇÃO
Lembrando que as formulações devem considerar estribos na posição vertical.
A seguir, serão apresentados o dimensionamento e o detalhamento dos estribos.
ESTRIBOS
Os estribos, utilizados para resistir ao cisalhamento, podem ser utilizados fechados ou abertos.
Segundo a ABNT NBR 6118:2014, os estribos precisam ter um ramo horizontal que envolvam
as barras da armadura longitudinal de tração, que é a região de apoio das bielas de concreto, e
precisam ser ancorados na extremidade oposta.
 ATENÇÃO
Se a extremidade estiver em região tracionada, o estribo deverá ter o ramo horizontal fechado
ou completado por barra adicional.
A Imagem 14 mostra como os estribos vêm identificados no projeto estrutural de uma viga. Na
parte superior da viga V8, tem-se a informação: N3 c/12, 28
5. Lê-se da seguinte forma: na posição N3, têm-se estribos com diâmetro de 5mm, espaçados
a cada 12cm; no comprimento da viga entre o pilar P11 e o pilar P4, serão necessárias 28
peças desse estribo que está representado no corte A. Nesse corte, temos a posição do estribo
na seção transversal e as medidas de cada ramo (22cm para os ramos verticais e 9cm para os
ramos horizontais). O comprimento total de uma peça desse estribo, que é fechado, é de 77cm,
já incluso as dobras.
ϕ
 Imagem 14 – Identificação da armadura transversal (estribos) no projeto de uma viga
Na Imagem 15, são apresentados os principais tipos de estribos. Os estribos simples fechado e
aberto possuem dois ramos; o estribo duplo fechado possui quatro ramos, e o estribo triplo
fechado que possui 6 ramos. Os ramos são obtidos fazendo-se um corte horizontal no estribo.
A quantidade de barras “cortadas” é a quantidade de ramos do estribo.
 Imagem 15 – Principais tipos de estribos
O espaçamento
entre estribos é dado pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De acordo com a ABNT NBR 6118:2014, o diâmetro da barra do estribo
(s)
s =
Asw ⋅ d ⋅ fywd
1, 10 ⋅ VSd
precisa atender aos seguintes limites:
. Para barras lisas, o diâmetro não pode ser superior a 12mm. Já em caso de estribos
formados por telas soldadas, o diâmetro mínimo pode ser reduzido para 4,2mm, desde que
tomados os cuidados contra a corrosão. O ângulo de inclinação das armaduras transversais
em relação ao eixo do elemento estrutural
deve estar entre 45° e 90°. No entanto, devido à facilidade de montagem, na maioria dos
projetos, os estribos são posicionados na vertical com
.
A NORMA PERMITE A UTILIZAÇÃO DE BARRAS
TRANSVERSAIS SOLDADAS,DEVIDAMENTE ANCORADAS,
COMBINADAS COM ESTRIBOS FECHADOS, MANTIDA NA
PROPORÇÃO RESISTENTE DE 60 % PARA AS BARRAS. CASO
NÃO SEJAM UTILIZADOS ESTRIBOS, A TOTALIDADE DA
ARMADURA TRANSVERSAL DEVE SER DE BARRAS
SOLDADAS.
A ABNT NBR 6118:2014 estabelece o espaçamento máximo entre estribos
e o espaçamento transversal
. O espaçamento mínimo entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento
estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador para obter um bom
adensamento do concreto. O
deve atender às seguintes condições:
(ϕt)
5mm < ϕt <
b
10
(α)
α = 90°
(smáx)
(st,máx)
smáx
$$s_{max} \leq\left\{\begin{array}{l} 0,6 \cdot d \leq 300 mm,\ \mathrm{se}\ V_{S d} \leq 0,67
\cdot V_{R d 2} \\ 0,3 \cdot d \leq 200 mm,\ \mathrm{se}\ V_{S 0,67 \cdot V_{R d 2}
\end{array}\right.$$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já o
, medido entre ramos sucessivos de estribos, não poderá exceder os seguintes valores:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A Imagem 16 ilustra, de forma esquemática, a representação de
e
nos cortes da viga longitudinal e transversal, respectivamente.
 Imagem 16 – Representação esquemática de
e
st,máx
st,max ≤ {
d ≤ 800mm,  se VSd ≤ 0, 20 ⋅ VRd2
0, 6 ⋅ d ≤ 350mm,  se VSd > 0, 20 ⋅ VRd2
smáx
st,máx
smáx
st,máx
CARGAS PRÓXIMAS AOS APOIOS
Ensaios experimentais com medição da tensão nos estribos mostraram que o modelo de treliça
desenvolvido para as vigas é efetivamente válido após uma pequena distância dos apoios.
Muito próximo aos apoios, os estribos apresentam tensão menor do que no restante da viga.
Em função dessa redução da tensão, na região próxima aos apoios diretos (carga e reação de
apoio aplicadas em faces opostas do elemento estrutural, comprimindo-o), a ABNT NBR
6118:2014 permite uma pequena redução da força cortante para o dimensionamento da
armadura transversal. Segundo a norma, é permitido:
 Imagem 17 – Redução de força cortante próxima ao apoio para carregamento distribuído
Considerar a força cortante oriunda de carga distribuída, no trecho entre o apoio e a seção
situada à distância
da face do apoio, constante e igual à desta seção (situada à distância
da face do apoio).
 Imagem 18 – Redução de força cortante próxima ao apoio para carregamento pontual
Reduzir a força cortante devido a uma carga concentrada, aplicada à distância
d/2
d/2
do eixo teórico do apoio, nesse trecho de comprimento a, multiplicando-a por
(ver Imagem 18).
Entretanto, essas reduções não se aplicam à verificação da resistência à compressão das
bielas de concreto, ou seja, para a comparação entre
e
, tanto do modelo I quanto do modelo II. Também não se aplica para apoios indiretos, nem para
forças cortantes provenientes de cabos inclinados de protensão.
 SAIBA MAIS
Em geral, essa redução do esforço cortante não é muito utilizada pelos projetistas, pois pode
gerar uma alteração no espaçamento dos estribos em uma região pequena, o que pode não
ser viável na prática. A economia de aço é pequena e, por vezes, não se justifica pela
dificuldade na montagem.
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
Agora, iremos resolver um exemplo completo de cálculo da armadura transversal para uma
viga. Primeiramente, será resolvido pelo modelo I e, em seguida, pelo modelo II refinado
.
A viga e o seu diagrama de esforço cortante obtido por meio de esforços solicitantes são
ilustrados na Imagem 19. Sua seção transversal é apresentada na Imagem 20. Essa viga será
concretada com concreto com resistência característica de compressão
a ≤ 2 ⋅ d
a/(2.d)
VSd
VRd2
(θ = 30°)
e armada com aço CA-50, pede-se:
a) Dimensionar a armadura transversal utilizando o modelo I para os vãos 1 e 3.
b) Dimensionar a armadura transversal utilizando o modelo I para o vão 2.
c) Dimensionar a armadura transversal utilizando o modelo II para os vãos 1 e 3.
d) Dimensionar a armadura transversal utilizando o modelo II para o vão 2.
 Imagem 19 – Viga e seu diagrama de esforço cortante solicitante
defck  =  25MPa
 Imagem 20 – Seção transversal da viga
Solução
• Para o dimensionamento, adota-se o maior valor de esforço cortante da seção, em módulo:
Para os vãos 1 e 3:
Para o vão 2:
• O esforço cortante utilizado no dimensionamento é dado por:
Para os vãos 1 e 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o vão 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A) DIMENSIONAR A ARMADURA TRANSVERSAL
UTILIZANDO O MODELO I PARA OS VÃOS 1 E 3
• Verificação do esmagamento das bielas de concreto
Teremos:
, OK!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
• Área de aço da armadura transversal
Vs  =  132, 6kN
Vs  =  92, 3kN
VSd = γ ⋅ VS = 1, 4 ⋅ 132, 6 = 185, 64kN  
VSd = γ.VS = 1, 4 ⋅ 92, 3 = 129, 22kN  
v = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 54
fck
250
25
250
VRd2 = 0, 45 ⋅  b  ⋅  d  ⋅  v ⋅ fcd = 0, 45 ⋅ 20 ⋅ 0, 9 ⋅ 55 ⋅ 0, 54 ⋅ = 429, 59kN
2, 5
1, 4
VSd ≤ VRd2 → 185, 64kN < 429, 59kN
Teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
, adota-se:
• Espaçamentos dos estribos
Adotando estribos com
, teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando estribos de dois ramos e fechado:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A quantidade de estribos (n) necessária para 100cm da viga será:
fctm = 0, 3 ⋅ f
2/3
ck = 0, 3 ⋅ 25
2/3 = 2, 565MPa
fctk = 0, 7 ⋅ fctm = 0, 7 ⋅ 2, 565 = 1, 795MPa
fctd = = = 1, 282MPa
fctk
1, 4
1, 795
1, 4
Vc = 0, 6 ⋅  b ⋅  d  ⋅  fctd = 0, 6 ⋅ 20 ⋅ 0, 9 ⋅ 55 ⋅ 0, 1282 = 76, 15kN
Asw = = = 5, 09 cm
2/m
(VSd − Vc) ⋅ s
0, 9 ⋅ d ⋅ fywd
(185, 64 − 76, 15) ⋅ 100
0, 9 ⋅ 55 ⋅ 50
1,15
Asw,min = 0, 2 ⋅  b ⋅  s  ⋅   = 0, 2 ⋅ 20 ⋅ 100 ⋅ = 2, 052cm
2/m
fctm
fywk
0, 2565
50
Asw > Asw,mín
Asw = 5,09cm
2/m
ϕt = 6, 3 mm
Asw,ϕt = = Asw,6 ⋅ 3 = = 0, 31cm
2
π ⋅ ϕ2t
4
π ⋅ 0, 632
4
Asw,2⋅6⋅3 = 2 ⋅ Asw,6⋅3 = 2 ⋅ 0, 31 = 0, 62cm
2
n = = = 8, 2 = 9 estribos
Asw
Asw,2⋅ 6 ⋅3
5, 09
0, 62
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Espaçamento longitudinal entre estribos será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Verificação quanto aos espaçamentos máximos definidos pela norma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, de acordo com a norma:
. Como
, OK!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, de acordo com a norma:
s = = 11, 11cm;  será adotado :  s = 11cm100
9
= = 0, 43
VSd
VRd2
185, 64
429, 59
smax ≤ {
0, 6 ⋅ d ≤ 300mm,  se VSd ≤ 0, 67 ⋅ VRd2
0, 3 ⋅ d ≤ 200mm,  se VSd > 0, 67 ⋅ VRd2
smáx  =  0, 6 ⋅ 55  =  33cm > 30cm
smáx  =  30cm
11cm < 30cm
st,max ≤ {
d ≤ 800mm, seVSd ≤ 0, 20 ⋅ VRd2
0, 6 ⋅ d ≤ 350mm, seVSd > 0, 20 ⋅ VRd2
st,máx  =  0, 6 ⋅ 55  =  33cm < 35cm
st,máx  =  33cm
. Considerando o cobrimento lateral da armadura (c) igual a 2,5cm, teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
, OK!
Logo, para esta situação, nos vãos 1 e 3, a armadura transversal será data por:
6,3mm a cada 11cm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) DIMENSIONAR A ARMADURA TRANSVERSAL
UTILIZANDO O MODELO I PARA O VÃO 2
• Verificação do esmagamento das bielas de concreto
Teremos:
, OK!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
• Área de aço da armadura transversal
Teremos:
st = b − 2 ⋅ c − ϕt =20 − 2 ⋅ 2, 5 − 0, 5 = 14, 5cm
14, 5cm < 33cm
ϕ
v = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 54
fck
250
25
250
VRd2 = 0, 45 ⋅  b  ⋅  d  ⋅  v  ⋅ fcd = 0, 45 ⋅ 20 ⋅ 0, 9 ⋅ 55 ⋅ 0, 54 ⋅ = 429, 59kN
2, 5
1, 4
VSd ≤ VRd2 → 129, 22kN < 429, 59kN
fctm = 0, 3 ⋅ f
2/3
ck
= 0, 3 ⋅ 252/3 = 2, 565MPa
fctk = 0, 7 ⋅ fctm = 0, 7 ⋅ 2, 565 = 1, 795MPa
fctd = = = 1, 282MPa
fctk
1, 4
1, 795
1, 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
, adota-se:
• Espaçamentos dos estribos
Adotando estribos com
, teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando estribos de dois ramos e fechado:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A quantidade de estribos (n) necessária para 100cm da viga será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Espaçamento longitudinal entre estribos será:
;\ será\ adoptado:\
Vc = 0, 6 ⋅ b ⋅ d ⋅ fctd = 0, 6 ⋅ 20 ⋅ 0, 9 ⋅ 55 ⋅ 0, 1282 = 76, 15kN
Asw = = = 2, 47cm
2/m
(VSd − Vc) ⋅ s
0, 9 ⋅ d ⋅ fywd
(129, 22 − 76, 15) ⋅ 100
0, 9 ⋅ 55 ⋅ 50
1,15
Asw,min = 0, 2  ⋅  b  ⋅  s  ⋅   = 0, 2 ⋅ 20 ⋅ 100 ⋅ = 2, 052 cm
2/m
fctm
fywk
0, 2565
50
Asw > Asw,mín
Asw = 2,47cm
2/m
ϕt = 5, 0 mm
Asw,ϕt = = Asw,5⋅0 = = 0, 2cm
2
π ⋅ ϕ2t
4
π ⋅ 0, 502
4
Asw,2⋅5⋅0 = 2 ⋅ Asw,5⋅0 = 2 ⋅ 0, 2 = 0, 4 cm
2
n = = = 6, 2 = 7 estribos
Asw
Asw, 2 ⋅ 5 ⋅ 0
2, 47
0, 40
s = = 14, 29cm
100
7
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Verificação quanto aos espaçamentos máximos definidos pela norma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando:
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, de acordo com a norma:
. Como
, OK!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, de acordo com a norma:
. Considerando o cobrimento lateral da armadura (c) igual a 2,5cm, teremos:
s  =  14cm
= = 0, 30
VSd
VRd2
129, 22
429, 59
smax ≤ {
0, 6 ⋅ d ≤ 300mm,  se VSd ≤ 0, 67 ⋅ VRd2
0, 3 ⋅ d ≤ 200mm,  se VSd > 0, 67 ⋅ VRd2
smáx  =  0, 6 ⋅ 55  =  33cm > 30cm
smáx  =  30cm
14cm < 30cm
st,max ≤ {
d ≤ 800mm,  se VSd ≤ 0, 20 ⋅ VRd2
0, 6 ⋅ d ≤ 350mm,  se VSd > 0, 20 ⋅ VRd2
st,máx  =  0, 6 ⋅ 55  =  33cm < 35cm
st,máx  =  33cm
st = b − 2 ⋅ c − ϕt = 20 − 2 ⋅ 2, 5 − 0, 5 = 14, 5cm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
, OK!
Logo, para esta situação, no vão 2, a armadura transversal será data por:
5,0 mm a cada 14cm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) DIMENSIONAR A ARMADURA TRANSVERSAL
UTILIZANDO O MODELO II PARA OS VÃOS 1 E 3
• Verificação quanto ao esmagamento das bielas de concreto
Teremos:
, OK!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
• Área de aço da armadura transversal
Teremos:
14, 5cm < 33cm
ϕ
v = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 54
fck
250
25
250
VRd2 = 0, 45 ⋅  b  ⋅  d  ⋅  v ⋅ fcd ⋅ sin 2θ = 0, 45 ⋅ 20 ⋅ 55 ⋅ 0, 54 ⋅ ⋅ sin 60 = 413, 37kN
2, 5
1, 4
VSd ≤ VRd2 → 185, 64kN < 413, 37kN
fctm = 0, 3 ⋅ f
2/3
ck = 0, 3 ⋅ 25
2/3 = 2, 565MPa
fctk = 0, 7 ⋅ fctm = 0, 7 ⋅ 2, 565 = 1, 795MPa
fctd = = = 1, 282MPa
fctk
1, 4
1, 795
1, 4
fctd = = = 1, 282MPa
fctk
1, 4
1, 795
1, 4
V0 = 0, 6 ⋅ b ⋅ d ⋅ fctd = 0, 6 ⋅ 20 ⋅ 55 ⋅ 0, 1282 = 84, 61kN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como:
, pois:
,
é dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
, adota-se:
• Espaçamentos dos estribos
Adotando estribos com:
, teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando estribos de dois ramos e fechado:
VSd > V0
185, 64 kN > 84, 61kN
Vc
Vc = ( ) ⋅ V0 = ( ) ⋅ 84, 61
VRd2 − VSd
VRd2 − V0
413, 17 − 185, 64
413, 17 − 84, 61
Vc = 58, 59kN
Asw = = = 3, 41cm
2/m
(VSd − Vc) ⋅ s
0, 9 ⋅ d ⋅ fywd ⋅ cot θ
(185, 64 − 58, 59) ⋅ 100
0, 9 ⋅ 55 ⋅ ⋅ cot 3050
1,15
Asw,min = 0, 2 ⋅ b. s. = 0, 2 ⋅ 20 ⋅ 100 ⋅ = 2, 052cm
2/m
fctm
fywk
0, 2565
50
Asw > Asw,mín
Asw = 3, 41cm
2/m
ϕt  =  6, 3mm
Asw,ϕt = = Asw,6⋅3 = = 0, 31cm
2
π ⋅ ϕ2t
4
π ⋅ 0, 632
4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A quantidade de estribos
necessária para 100cm da viga será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Espaçamento longitudinal entre estribos será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Verificação quanto aos espaçamentos máximos definidos pela norma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, de acordo com a norma:
. Como
, OK!
Asw,2⋅6⋅3 = 2 ⋅ Asw,6⋅3 = 2 ⋅ 0, 31 = 0, 62cm
2
(n)
n = = = 5, 5 = 6 estribos
Asw
Asw,2⋅6⋅3
3, 41
0, 62
s = = 16, 67cm; {será adotado :  s = 16cm
100
6
= = 0, 45
VSd
VRd2
185, 64
413, 37
smax ≤ {
0, 6 ⋅ d ≤ 300mm,  se VSd ≤ 0, 67 ⋅ VRd2
0, 3 ⋅ d ≤ 200mm,  se VSd > 0, 67 ⋅ VRd2
smáx  =  0, 6 ⋅ 55  =  33cm > 30cm
smáx  =  30cm
16cm < 30cm
st,max ≤ {
d ≤ 800mm,  se VSd ≤ 0, 20 ⋅ VRd2
0, 6 ⋅ d ≤ 350mm,  se VSd > 0, 20 ⋅ VRd2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando:
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, de acordo com a norma:
. Considerando o cobrimento da armadura
igual a 2,5cm, teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como:
, OK!
Logo, para esta situação, nos vãos 1 e 3, a armadura transversal será data por:
6,3 mm a cada 16 cm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) DIMENSIONAR A ARMADURA TRANSVERSAL
UTILIZANDO O MODELO II PARA O VÃO 2
• Verificação quanto ao esmagamento das bielas de concreto
Teremos:
st,máx  =  0, 6 ⋅ 55  =  33cm < 35cm
st,máx  =  33cm
(c)
st = b − 2 ⋅ c − ϕt = 20 − 2 ⋅ 2, 5 − 0, 5 = 14, 5 cm
14, 5cm < 33cm
ϕ
v = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 54fck
250
25
250
VRd2 = 0, 45 ⋅ b ⋅ d ⋅ v ⋅ fcd ⋅ sin 2θ = 0, 45 ⋅ 20 ⋅ 55 ⋅ 0, 54 ⋅ ⋅ sin 60 = 413, 37kN
2, 5
1, 4
, OK!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
• Área de aço da armadura transversal
Teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como:
, pois:
,
é dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
VSd ≤ VRd2 → 129, 22kN < 413, 37kN
fctm = 0, 3 ⋅ f
2/3
ck = 0, 3 ⋅ 25
2/3 = 2, 565MPa
fctk = 0, 7 ⋅ fctm = 0, 7 ⋅ 2, 565 = 1, 795MPa
fctd = = = 1, 282MPa
fctk
1, 4
1, 795
1, 4
V0 = 0, 6 ⋅ b ⋅ d ⋅ fctd = 0, 6 ⋅ 20 ⋅ 55 ⋅ 0, 1282 = 84, 61kN
VSd > V0
129, 22kN > 84, 61kN
Vc
Vc = ( ) ⋅ V0 = ( ) ⋅ 84, 61
VRd2 − VSd
VRd2 − V0
413, 17 − 129, 22
413, 17 − 84, 61
Vc = 73, 2kN
Asw = = = 1, 5cm
2/m
(VSd − Vc) ⋅ s
0, 9 ⋅ d ⋅ fywd ⋅ cot θ
(129, 22 − 73, 2) ⋅ 100
0, 9 ⋅ 55 ⋅ ⋅ cot 3050
1,15
Asw,min = 0, 2 ⋅ b ⋅ s ⋅ = 0, 2 ⋅ 20 ⋅ 100 ⋅ = 2, 05cm
2/m
fctm
fywk
0, 2565
50
, adota-se:
• Espaçamentos dos estribos
Adotando estribos com:
, teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando estribos de dois ramos e fechado:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A quantidade de estribos
necessária para 100cm da viga será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Espaçamento longitudinal entre estribos será:
 Atenção! Paravisualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Verificação quanto aos espaçamentos máximos definidos pela norma:
Asw > Asw,mín
Asw  =  2, 05cm
2/m
ϕt  =  5, 0mm
Asw,ϕt = = Asw,5⋅0 = = 0, 2cm
2
π ⋅ ϕ2t
4
π ⋅ 0, 502
4
Asw,2⋅5⋅0 = 2 ⋅ Asw,5⋅0 = 2 ⋅ 0, 2 = 0, 4cm
2
(n)
n = = = 5, 13 = 6 estribos
Asw
Asw,2⋅5⋅0
2, 05
0, 4
s = = 16, 67cm;  será adotado :  s = 16cm100
6
= = 0, 31
VSd
VRd2
129, 22
413, 37
smáx ≤ {
0, 6 ⋅ d ≤ 300mm,  se VSd ≤ 0, 67 ⋅ VRd2
0, 3 ⋅ d ≤ 200mm,  se VSd > 0, 67 ⋅ VRd2
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Calculando:
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Portanto, de acordo com a norma:
. Como
, OK!
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Calculando:
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Portanto, de acordo com a norma:
. Considerando o cobrimento da armadura (c) igual a 2,5cm, teremos:
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Como
, OK!
Logo, para esta situação, no vão 2, a armadura transversal será dada por:
5,0mm a cada 16cm.
smáx  =  0, 6 ⋅ 55  =  33cm > 30cm
smáx  =  30cm
16cm < 30cm
st,máx ≤ {
d ≤ 800mm,  se VSd ≤ 0, 20 ⋅ VRd2
0, 3 ⋅ d ≤ 350mm,  se VSd > 0, 20 ⋅ VRd2
st,máx  =  0, 6 ⋅ 55  =  33cm < 35cm
st,máx  =  33cm
st = b − 2 ⋅ c − ϕt = 20 − 2 ⋅ 2, 5 − 0, 5 = 14, 5cm
14, 5cm < 33cm
ϕ
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VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Como vimos, o dimensionamento da área de aço necessária para armaduras transversal de
elementos submetidas ao cisalhamento faz parte do dia a dia do engenheiro estrutural. Saber
dimensionar a partir de um projeto novo e, além disso, proporcionar soluções para projetos já
realizados ou em andamento faz parte do escopo do engenheiro calculista.
A compreensão das tensões atuantes no elemento, o cálculo das tensões principais e a
determinação do plano da ocorrência de fissuras são indispensáveis para a elaboração do
dimensionamento de um projeto estrutural que atenda aos requisitos de norma. O Modelo de
cálculo I: treliça clássica de Ritter e Mörsch é mais conservador do que o Modelo de
cálculo II: Treliça generalizada de Mörsch, visto que os cálculos do modelo I levam a valores
menores da força cortante máxima resistida pelas bielas de concreto e valores maiores para a
área da armadura transversal.
CONCLUSÃO
O dimensionamento ao cisalhamento pelo Estado Limite Último consiste em verificar o
elemento estrutural quanto à ruptura das bielas de concreto comprimidas e ao
dimensionamento da armadura transversal, que consiste em fornecer o diâmetro da barra
adotada para o estribo e seus espaçamentos.
O principal objetivo do estudo do dimensionamento de estruturas de concreto armado
submetidas ao cisalhamento é proporcionar ao engenheiro civil conhecimentos básicos, de uso
rotineiro, para apresentar soluções estruturais às peças submetidas ao esforço cortante.
 PODCAST
Agora, a especialista Larissa Camporez Araújo encerra nosso estudo falando sobre os
principais tópicos abordados.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT. NBR 6118 – Projeto de
estruturas de concreto – procedimento. Rio de Janeiro, 2014.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT. NBR ISO 6892-2 – Materiais
metálicos – ensaio de tração. Rio de Janeiro, 2013.
CARVALHO, R. C. FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de
concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos: EdUFSCar, 2014.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
PARIZOTTO, L. Concreto armado [recurso eletrônico]. Porto Alegre: SAGAH, 2017.
EXPLORE+
Pesquise na internet e leia o artigo Modelos de resistência à força cortante de lajes de
concreto estrutural sem armadura transversal, de Alex Micael Dantas de Sousa e
Mounir Khalil El Debs. Nele, os autores apresentam um modelo para lajes submetidas à
força cortante sem armadura transversal.
Pesquise na internet e leia a dissertação de mestrado Avaliação dos mecanismos
resistentes ao cisalhamento em concreto armado sem armadura transversal, de
Mário Sergio Samora. Nela, o autor aborda os mecanismos resistentes ao cisalhamento
nos elementos estruturais de concreto armado.
CONTEUDISTA
Larissa Camporez Araújo