Flexão oblíqua, composta e flambagem

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DESCRIÇÃO
A aplicação e o entendimento das principais expressões matemáticas e dos conceitos físicos
no estudo de elementos prismáticos sob a ação da flexão oblíqua/composta e da flambagem,
além da compreensão do centro de cisalhamento.
PROPÓSITO
Compreender que no dimensionamento de estruturas, seja na Engenharia Mecânica, seja na
Engenharia Civil, os fenômenos da flexão e da flambagem são recorrentes. Dessa forma, os
conhecimentos das principais relações matemáticas são fundamentais para o desenvolvimento
do profissional. Ademais, é importante o reconhecimento do centro de cisalhamento como uma
situação em que a torção das vigas não ocorre.
PREPARAÇÃO
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use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Calcular a flexão oblíqua
MÓDULO 2
Calcular a flexão composta
MÓDULO 3
Reconhecer o centro de cisalhamento
MÓDULO 4
Formular a flambagem de colunas
INTRODUÇÃO
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APRESENTAÇÃO DOS FENÔMENOS DA
FLEXÃO OBLÍQUA/COMPOSTA E DA
FLAMBAGEM EM COLUNAS
MÓDULO 1
 Calcular a flexão oblíquaLoading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
A FLEXÃO OBLÍQUA
A primeira parte do estudo da flexão tinha como pressuposto que a seção reta apresentava
pelo menos um eixo simétrico e que o vetor momento fletor atuava em um desses eixos.
Ademais, considerava-se o regime elástico. Neste módulo, será apresentada a flexão, tal que o
vetor momento fletor não coincida com nenhum dos eixos principais. A partir do teorema da
superposição, poderá ser feita uma análise parcial desse momento e chegar-se a uma
expressão genérica para a flexão oblíqua.
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Inicialmente, será considerada uma seção reta com um eixo de simetria (y) e os conjugados M
e M’ atuando num plano cujo ângulo é igual a
θ
com o plano xy.
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 419
 Imagem 1 - Momento fletor fora do eixo de simetria.
Como o vetor M é perpendicular ao plano indicado na imagem anterior, é possível, por meio de
argumentos geométricos, concluir que o vetor momento fletor formará o mesmo ângulo
θ
com o eixo z.
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Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Imagem 2 - Vista frontal da seção reta da imagem 1.
Para auxiliar no entendimento da flexão composta, serão consideradas as projeções do vetor
momento M nos eixos principais y e z. Cada uma das projeções poderá ser entendida como a
flexão pura, avaliando-se o efeito individualmente sobre a seção reta. Pelo princípio da
superposição, poderá ser feita a superposição dos efeitos e concluir sobre o efeito final da
flexão oblíqua. A imagem a seguir mostra as projeções de M nas direções dos eixos y e z, ou
seja,
My
e
Mz
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Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Imagem 3 - Projeções do vetor M.
Os eixos y e z são eixos principais, e cada projeção de M atuará como na flexão pura, o que
permitirá utilizar a expressão para determinar a tensão normal por flexão (em flexão pura).
Inicialmente, é necessário identificar os módulos das projeções nos eixos y e z. Assim, tem-se:
My = M ⋅ senθ
Equação 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mz = M ⋅ cosθ
Equação 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As imagens 4 e 5 mostram os efeitos qualitativos de cada projeção do momento fletor sobre a
estrutura.
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Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 421.
 Imagem 4 - Projeção do momento fletor no eixo y.
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 420.
 Imagem 5 - Projeção do momento fletor no eixo z.
A partir das imagens anteriores, é possível entender como cada projeção do momento fletor
atua na seção, comprimindo ou tracionando as fibras. A imagem seguinte esboça esses
efeitos.
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Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Imagem 6 - Regiões sob compressão ou sob tração na flexão.
FÓRMULA DA TENSÃO NORMAL POR
FLEXÃO
Serão abordadas as flexões pelos momentos fletores
My
e
Mz
, separadamente. Assim, por conta do momento
Mz
, tem-se:
σx = −
Mz ⋅ y
Iz
Equação 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
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Mz
e
Iz
são valores positivos. Na imagem 6 , acima do eixo z, ou seja,
y > 0
, as tensões são compressivas
σx < 0
. Assim, o sinal negativo na equação 3 justifica-se.
De maneira análoga, quando o momento fletor
My
atua, a expressão que determina as tensões normais de flexão é apresentada na equação 4:
σx = +
My ⋅ z
Iy
Equação 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo a mesma análise, sabe-se que
My
e
Iy
são valores positivos. À esquerda do eixo y (imagem 6), os valores de z são positivos e as
tensões são trativas
σx > 0
. Assim, o sinal positivo na equação 4 justifica-se.
Utilizando o princípio da superposição, considera-se que para dado ponto da seção, a tensão
normal por flexão será soma dos efeitos das projeções do momento. Assim, a equação 5
determina a tensão num ponto genérico da seção reta.
( )
( )
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σx = −
Mz ⋅ y
Iz
+
My ⋅ z
Iy
Equação 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
A seção transversal retangular mostrada na imagem a seguir está sujeita a um momento fletor
M = 12kN ⋅ m
. Determine a tensão normal desenvolvida em cada canto da seção.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 219
 Imagem 7 - Seção reta sob flexão oblíqua.
Inicialmente, será feita a projeção do momento fletor M nos eixos y e z.
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Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Imagem 8 - Projeções do momento fletor M.
Do triângulo de lados 3, 4 e 5 da imagem 7, tem-se:
senθ =
4
5 = 0, 8 e cosθ =
3
5 = 0, 6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Projeções do momento fletor M:
Momentos de inércia da seção, em relação aos eixos y e z:
Mz = M ⋅ cosθ
Mz = 12.000 × (0, 6) = 7.200N ⋅ m
My = − M ⋅ senθ
My = − 12.000 × (0, 8) = − 9.600N ⋅ m
(é negativo, pois a projeção tem sentido oposto ao y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Momentos de inércia da seção, em relação aos eixos y e z:
Iz =
(0, 2) ⋅ (0, 4)3
12
= 1, 0667.10 − 3m4
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Iy =
(0, 4) ⋅ (0, 2)3
12
= 2, 6667.10 − 4m4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Coordenadas para os pontos B, C, D e E:
Ponto B:
yB = + 0, 2m e zB = − 0, 1m
Ponto C:
yC = + 0, 2m e zC = + 0, 1m
Ponto D:
yD = − 0, 2m e zD = + 0, 1m
Ponto E:
yE = − 0, 2mezE = − 0, 1m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Determinação da tensão por flexão a partir da equação 5:
σx = −
Mz ⋅ y
Iz
+
My ⋅ z
Iy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ponto B:
σx = −
(7200) ⋅ (0, 2)
1, 0667 ⋅ 10 − 3
+
( − 9600) ⋅ ( − 0, 1)
2, 6667.10 − 4
→ σx = 2, 25MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ponto C:
σx = −
(7200) ⋅ (0, 2)
1, 0667.10 − 3
+
( − 9600) ⋅ (0, 1)
2, 6667.10 − 4
→ σx = − 4, 95MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
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Ponto D:
σx = −
(7200) ⋅ ( − 0, 2)
1, 0667 ⋅ 10 − 3
+
( − 9600) ⋅ (0, 1)
2, 6667 ⋅ 10 − 4
→ σx = − 2, 25MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ponto E:
σx = −
(7200) ⋅ ( − 0, 2)
1, 0667.10 − 3
+
( − 9600) ⋅ (− 0, 1)
2, 6667 ⋅ 10 − 4
→ σx = 4, 95MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na imagem a seguir, tem-se a distribuição de tensões por flexão na seção estudada no
exemplo anterior.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 219
 Imagem 9 - Superfície neutra e eixo neutro.
Perceba que, na imagem 9, existem duas regiões distintas: uma sob compressão e outra sob
tração. A transição entre essas regiões ocorre na linha neutra ou eixo neutro (NA), onde a
deformação e a tensão normais são nulas.
EIXO NEUTRO – ORIENTAÇÃOLoading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
A linha neutra (ou eixo neutro), diferentemente do que ocorre na flexão pura, não coincide com
um dos eixos de simetria. O eixo neutro ocorrerá de forma oblíqua, em relação aos eixos y e z.
Na imagem seguinte, tem-se uma seção reta de uma viga submetida a um momento fletor
oblíquo M, formando um ângulo igual a
θ
, com o eixo z.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior.
 Imagem 10 - Momento oblíquo aplicado numa seção reta.
Determinando as projeções de M, tem-se:
MY = M ⋅ senθ e Mz = M ⋅ cosθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir do conceito de que na linha neutra a tensão normal por flexão é nula e, utilizando a
equação 5 e as projeções de M, tem-se:
σx = −
Mz ⋅ y
Iz
+
My ⋅ z
Iy
0 = −
M ⋅ cosθ ⋅ y
Iz
+
M ⋅ senθ ⋅ z
Iy
M ⋅ cosθ ⋅ y
Iz
=
M ⋅ senθ ⋅ z
Iy
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cosθ ⋅ y
Iz
=
senθ ⋅ z
Iy
y
z
=
Iz ⋅ senθ
Iy ⋅ cosθ
y
z
=
Iz
Iy
⋅ tgθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas, a partir da observação da imagem 10, é possível afirmar que
y
z
= tgα
. Substituindo na expressão anterior, tem-se a equação 6:
tgα =
Iz
Iy
⋅ tgθ
Equação 6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe a imagem, onde são destacados os ângulos
θ
e
α
.
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Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Imagem 11 - Orientação da Linha neutra.
Observações sobre a equação 6:
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Como
Iy
e
Iz
são positivos,
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tgα
e
tgθ
apresentam mesmo sinal.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Quando
Iy = Iz
,
tgα = tgθ
, ou seja, a linha neutra e o momento apresentam mesma inclinação.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Seções quadradas, circulares etc. apresentam
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Iy = Iz
.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
A linha neutra está sempre entre o vetor M e o eixo de menor momento de inércia.
MÃO NA MASSA
1. SUPONHA UMA VIGA DE BASE
50MM
E ALTURA
100MM
, CONFORME A IMAGEM. O MOMENTO FLETOR M ATUANTE NA VIGA É
TAL QUE O ÂNGULO
Θ
É IGUAL A
30 ∘
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. DETERMINE A INCLINAÇÃO DA LINHA NEUTRA, EM RELAÇÃO AO EIXO
Z. 
 
A)
α = 76, 490
B)
α = 66, 590
C)
α = 53, 090
D)
α = 45, 0000
E)
α = 36, 790
2. SEJA UMA SEÇÃO RETA QUADRANGULAR EM QUE O MOMENTO
FLETOR FORMA UM ÂNGULO DE
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40 ∘
COM O EIXO PRINCIPAL Z. A INTENSIDADE DO MOMENTO FLETOR É
IGUAL A 1.200N.M. A INCLINAÇÃO DA LINHA NEUTRA OU EIXO NEUTRO,
EM RELAÇÃO AO EIXO Z, VALE:
A)
20 ∘
B)
30 ∘
C)
40 ∘
D)
45 ∘
E) Faltam dados
3. CONSIDERE UMA VIGA CUJA SEÇÃO RETA É UM RETÂNGULO DE
BASE 100MM E ALTURA 200MM. UM MOMENTO DE INTENSIDADE 200N.M
É APLICADO TAL QUE O SEU VETOR FORME UM ÂNGULO DE 300 COM O
EIXO PRINCIPAL Z (OBSERVE A IMAGEM). DETERMINE A TENSÃO
NORMAL POR FLEXÃO NO PONTO A.
 
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A)
−1, 68MPa
B)
+1, 12MPa
C)
−1, 12MPa
D)
+0, 56MPa
E)
−0, 56MPa
4. (COPESE - UFPI - 2016 - UFPI - ENGENHEIRO CIVIL – ADAPTADA) A
IMAGEM A SEGUIR REPRESENTA A SEÇÃO TRANSVERSAL DE UM
PILAR RETANGULAR DE ÁREA
(30 × 50)CM2
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SUBMETIDO À FLEXÃO OBLÍQUA, EM QUE OS MOMENTOS
MX = 50KN. M
E
MY = 20KN. M
NOS SENTIDOS REPRESENTADOS NA IMAGEM. PODE-SE AFIRMAR QUE
A TENSÃO NORMAL ATUANTE NO PONTO A VALE: 
 
A)
+4, 00MPa
B)
+2, 67MPa
C)
+6, 67MPa
D)
+5, 33MPa
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E)
+6, 93MPa
5. UMA VIGA DE SEÇÃO CIRCULAR COM 40MM DE RAIO ESTÁ SOB
AÇÃO DE DOIS MOMENTOS FLETORES EM TORNO DOS EIXOS
PRINCIPAIS Y E Z, CONFORME A IMAGEM A SEGUIR. DETERMINE A
TENSÃO NORMAL EM A. 
 
A)
−185MPa
B)
−370MPa
C)
+199MPa
D)
+398MPa
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E)
+450MPa
6. (QUESTÃO 6.103, HIBBELER, R. C, 2010, P. 222). DETERMINE O VALOR
MÁXIMO DO MOMENTO FLETOR M DE MODO QUE A TENSÃO DE
FLEXÃO NO ELEMENTO NÃO ULTRAPASSE
100MPA
. 
 
A)
32, 24kN. m
B)
30, 58kN. m
C)
26, 45kN. m
D)Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
20, 76kN. m
E)
18, 52kN. m
GABARITO
1. Suponha uma viga de base
50mm
e altura
100mm
, conforme a imagem. O momento fletor M atuante na viga é tal que o ângulo
θ
é igual a
30 ∘
. Determine a inclinação da linha neutra, em relação ao eixo z. 
 
A alternativa "B " está correta.
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Inicialmente, serão determinados os momentos de inércia da seção retangular em relação aos
eixos y e z, ou seja:
Iz =
(50) ⋅ (100)3
12
= 4, 16667.106mm4
Iy =
(100) ⋅ (50)3
12
= 1, 041667.106mm4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação 6, tem-se:
tgα =
4, 16667 ⋅ 106
1, 041667.106
⋅ tg30 ∘ → α = 66, 59 ∘
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Seja uma seção reta quadrangular em que o momento fletor forma um ângulo de
40 ∘
com o eixo principal z. A intensidade do momento fletor é igual a 1.200N.m. A inclinação
da linha neutra ou eixo neutro, em relação ao eixo z, vale:
A alternativa "C " está correta.
A seção reta é um quadrado. Assim, os momentos de inércia em relação aos eixos principais y
e z são iguais, ou seja,
Iy = Iz
. A partir da equação 6, tem-se:
tgα =
Iz
Iy
⋅ tg40 ∘ → α = 40 ∘
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Considere uma viga cuja seção reta é um retângulo de base 100mm e altura 200mm.
Um momento de intensidade 200N.m é aplicado tal que o seu vetor forme um ângulo de
300 com o eixo principal z (observe a imagem). Determine a tensão normal por flexão no
ponto A. 
 
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A alternativa "E " está correta.
Inicialmente, serão determinadas as projeções de M em y e em z:
Mz = M. cos → Mz = 200.cos 300 → Mz = 173, 2N. m
My = M. sen → My = 200.sen 300 → My = 100, 0N. m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Coordenadas do ponto A, em relação aos eixos adotados:
yA = 100mm = 0, 1mezA = − 50mm = − 0, 05m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Momentos de inércia:
Iz =
(0, 1) ⋅ (0, 2)3
12 = 6, 6667 ⋅ m
4
Iy =
(0, 2) ⋅ (0, 1)3
12
= 1, 6667 ⋅ 10 − 5m4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Determinação da tensão por flexão no ponto A, a partir da equação 5:
σx = −
173, 2 ⋅ (0, 1)
6, 6667 ⋅ 10 − 5
+
100 ⋅ ( − 0, 05)
1, 6667.10 − 5Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
σx = − 0, 56MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. (COPESE - UFPI - 2016 - UFPI - Engenheiro Civil – adaptada) A imagem a seguir
representa a seção transversal de um pilar retangular de área
(30 × 50)cm2
submetido à flexão oblíqua, em que os momentos
Mx = 50kN. m
e
My = 20kN. m
nos sentidos representados na imagem. Pode-se afirmar que a tensão normal atuante no
ponto A vale: 
 
A alternativa "C " está correta.
É possível inferir, a partir da imagem, que os dois momentos fletores aplicados provocam
tensão normal trativa no ponto A. Momentos de inércia da seção reta em relação aos eixos
principais:
Ix =
(0, 3) ⋅ (0, 5)3
12= 3, 125.10
− 3m4
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Iy =
(0, 5) ⋅ (0, 3)3
12
= 1, 125.10 − 3m4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Efeitos separados de cada momento fletor:
σA1 =
50.000 ⋅ (0, 25)
3, 125.10 − 3
= 4, 00MPa
σA2 =
20.000 ⋅ (0, 15)
1, 125.10 − 3
= 2, 67MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo a superposição dos efeitos, a tensão normal trativa em A é
6, 67MPa
.
5. Uma viga de seção circular com 40mm de raio está sob ação de dois momentos
fletores em torno dos eixos principais y e z, conforme a imagem a seguir. Determine a
tensão normal em A. 
 
A alternativa "C " está correta.
Considerando os eixos y e z apresentados, os momentos são positivos. Assim:Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
My = 10.000N. m
Mz = 10.000N. m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Momento de inércia em relação aos eixos y e z:
Iy = Iz =
π ⋅ R4
4
Iy = Iz =
π ⋅ (0, 04)4
4
= 2.0096.10 − 6m4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Localização do ponto A:
y = − 40mm = − 0, 04m
z = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Determinação da tensão por flexão no ponto A, a partir da equação 5:
σx = −
Mz ⋅ y
Iz
+
My ⋅ z
Iy
σx = −
10.000 ⋅ ( − 0, 04)
2.0096 ⋅ 10 − 6
+
10.000 ⋅ (0)
2.0096.10 − 6
= 199MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. (Questão 6.103, HIBBELER, R. C, 2010, p. 222). Determine o valor máximo do momento
fletor M de modo que a tensão de flexão no elemento não ultrapasse
100MPa
. 
 
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
A alternativa "A " está correta.
DETERMINAÇÃO DO MOMENTO FLETOR
OBLÍQUO MÁXIMO A SER APLICADO NUMA
DADA SEÇÃO DE UMA VIGA
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
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Durante a fase de projeto, um engenheiro está modelando o efeito da flexão oblíqua sobre
parte da estrutura, cuja seção reta é um retângulo ABCD de base DC = b e altura AD = h. Um
momento de intensidade M forma um ângulo
θ
com o eixo z, conforme a imagem.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
O engenheiro deseja uma expressão que determine a tensão máxima compressiva em função
dos seguintes parâmetros: M, b, h e
θ
.
RESOLUÇÃO
DETERMINAR A TENSÃO NORMAL MÁXIMA
NUMA SEÇÃO RETANGULAR SOB AÇÃO DE UM
MOMENTO FLETOR OBLÍQUO
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VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (IESES - 2015 - TRE-MA - TÉCNICO JUDICIÁRIO - EDIFICAÇÕES –
ADAPTADA) NAS ESTRUTURAS USUAIS DE EDIFICAÇÕES COMPOSTAS
POR VIGAS, LAJES E PILARES, O CAMINHO DAS CARGAS COMEÇA
PELAS LAJES, QUE TRANSFEREM O CARREGAMENTO PARA AS VIGAS
E EM SEGUIDA PARA OS PILARES QUE AS TRANSFEREM PARA AS
FUNDAÇÕES. EXISTE UMA DIFERENÇA NA EXCENTRICIDADE DO
CARREGAMENTO QUE DEPENDE DO FATO DE O PILAR SER DE CANTO
(SUBMETIDO AO CARREGAMENTO DE DUAS VIGAS), DE BORDA
(SUBMETIDO AO CARREGAMENTO DE TRÊS VIGAS) OU INTERNO
(SUBMETIDO AO CARREGAMENTO DE QUATRO VIGAS). ASSINALE O
TIPO DE SOLICITAÇÃO A QUE ESTÃO SUBMETIDOS OS PILARES DE
CANTO.
A) Flexão oblíqua
B) Compressão simples
C) Flexão composta
D) Flexão confinada
E) Flexão pura
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2. UMA ESTRUTURA TEM UMA VIGA DE SEÇÃO RETA QUADRADA COM
200MM
DE ARESTA SOB FLEXÃO OBLÍQUA. O MOMENTO APLICADO TEM
INTENSIDADE IGUAL A
20KN. M
E FORMA UM ÂNGULO
Θ
COM O EIXO PRINCIPAL Z. A LINHA NEUTRA TEM UMA ORIENTAÇÃO
DADA PELO ÂNGULO
Α
COM O MESMO EIXO Z. DETERMINE A RAZÃO ENTRE AS TANGENTES
DESSES ÂNGULOS, OU SEJA,
TGΘ
TGΑ
.
A) 0,5
B) 0,8
C) 1,0
D) 1,2
E) 1,5
GABARITO
1. (IESES - 2015 - TRE-MA - Técnico Judiciário - Edificações – adaptada) Nas estruturas
usuais de edificações compostas por vigas, lajes e pilares, o caminho das cargas
começa pelas lajes, que transferem o carregamento para as vigas e em seguida para os
pilares que as transferem para as fundações. Existe uma diferença na excentricidade do
carregamento que depende do fato de o pilar ser de canto (submetido ao carregamento
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de duas vigas), de borda (submetido ao carregamento de três vigas) ou interno
(submetido ao carregamento de quatro vigas). Assinale o tipo de solicitação a que estão
submetidos os pilares de canto.
A alternativa "A " está correta.
 
Os pilares dos cantos sustentam duas vigas que são perpendiculares. O efeito de cada uma é
a flexão. Como são duas “flexões” perpendiculares, equivale às projeções ortogonais de um
vetor momento oblíquo. Por isso, a flexão é obliqua.
2. Uma estrutura tem uma viga de seção reta quadrada com
200mm
de aresta sob flexão oblíqua. O momento aplicado tem intensidade igual a
20kN. m
e forma um ângulo
θ
com o eixo principal z. A linha neutra tem uma orientação dada pelo ângulo
α
com o mesmo eixo z. Determine a razão entre as tangentes desses ângulos, ou seja,
tgθ
tgα
.
A alternativa "C " está correta.
 
A orientação da linha neutra ou eixo neutro é dada pela expressão:
tgα =
Iz
Iy
⋅ tgθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os momentos de inércia, em relação aos eixos y e z:
Iy = Iz =
L4
12
=
(0, 20)4
12
= 1, 333.10 − 4m4Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
tgα =
1, 333 ⋅ 10 − 4
1, 333 ⋅ 10 − 4
⋅ tgθ
tgα = tgθ
tgθ
tgα
= 1, 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Calcular a flexão composta
TENSÃO NORMAL MÉDIA DEVIDO À
CARGA APLICADA NO CENTROIDE
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
FLEXÃO COMPOSTA
A apresentação da flexão, até agora, foi de que um momento fletor atuava em torno de um dos
eixos principais (flexão pura) ou tal que suas projeções atuavam em torno desses eixos (flexão
oblíqua). A partir deste instante, será apresentada a situação em que existe uma carga
excêntrica atuando, o que implicará um sistema equivalente de uma carga axial mais o
momento fletor (flexão pura ou oblíqua).
Neste tópico, revisaremos a atuação de uma carga no centroide de uma seção. A figura a
seguir apresenta a atuação dessa força (intensidade F) num corpo de seção reta constante de
área A, em equilíbrio, no regime elástico.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Imagem 12 - Força normal de tração num corpo em equilíbrio.Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
A força atuante na imagem faz o corpo ter seu comprimento alongado (no regime elástico): é a
força trativa. De maneira oposta, a força pode atuar no corpo, diminuindo seu comprimento: é a
força compressiva. A tensão normal média atuante na seção reta é calculada a partir da
equação 7.
σmédia =
F
A
Equação 7
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 DICA
Convenciona-se que tensões positivas são as trativas, e as tensões negativas são as
compressivas.
Um corte é feito no corpo representado na imagem anterior, e o equilíbrio é imposto (imagem
13). Assim, o esforço interno normal N terá a intensidade F. A distribuição da tensão média na
seção em que foi efetuado o seccionamento também é representada.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Imagem 13 - DCL do corpo e distribuição de tensões.
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
EXEMPLO
Considere uma barra de material homogêneo, comprimento
2, 0m
e seção reta retangular de dimensões
20mm × 30mm
engastada em uma estrutura. Supondo a barra disposta horizontalmente, uma força normal
trativa de intensidade
1, 2kN
passa a atuar no centroide da seção reta da extremidade livre. Considerando o regime elástico,
determine a tensão média atuante na seção reta distante
1, 0m
da extremidade livre.
Croqui da situação descrita.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Área da seção reta:A = b ⋅ h = 20 ⋅ 30 = 600mm2
.Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
Intensidade da força:
1, 2kN = 1.200 N
A partir da equação 7, determina-se a tensão normal média trativa:
σmédia =
F
A
σmédia =
1200
600
= 2MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CARGA EXCÊNTRICA NUM EIXO DE
SIMETRIA
Neste ponto, analisaremos uma carga excêntrica (fora do centroide) atuando num corpo (em
um eixo de simetria da seção). Para a utilização da equação 7, é necessário que a força normal
atuante na seção reta tenha linha de ação passando pelo centroide. Dessa forma, um corte na
seção de interesse é feito e, a partir das equações do equilíbrio, os esforços atuantes serão:
uma força normal (N) e um momento fletor (M).
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Imagem 14 - Esforços internos em um corpo com força não atuante no centroide.
A partir da análise dessa imagem, as tensões atuantes na seção do corte serão provocadas
pelo esforço normal (atuante no centroide) mais a flexão pura. Assim, utilizando-se o teorema
da superposição, tem-se a equação 8.
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
σx =
F
A
−
y ⋅ M
I
Equação 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja a distribuição da tensão resultante dos dois efeitos.
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 400.
 Imagem 15 - Distribuição da tensão normal resultante.
CARGA EXCÊNTRICA GERAL – FLEXÃO
COMPOSTA
Anteriormente, foi feita uma análise considerando a carga excêntrica numa condição particular
(pertencente a um eixo de simetria da seção). Generalizando, será considerada a carga
excêntrica em qualquer posição da seção. A argumentação aqui é análoga à do tópico anterior,
exceto pelo fato de dois conjugados atuarem juntos ao esforço normal (no centroide). Esses
dois conjugados são denominados
Mz
e
My
, ou seja, momentos fletores em torno dos eixos principais y e z da seção reta.
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 426
 Imagem 16 - Distribuição da tensão normal resultante.
Nessa imagem, o corpo está no regime elástico sob ação das forças
P
e
P ′
, de mesma intensidade. Note que as forças atuam num ponto genérico da seção. É possível
fazer a substituição de
P
por uma força de mesma intensidade atuante no centroide, e dois conjugados em torno dos
eixos y e z (diz-se que a força P é estaticamente equivalente ao conjunto). A intensidades dos
momentos
My
e
Mz
são determinadas por P.a e P.b.
É possível analisar cada um dos efeitos: as tensões resultantes do esforço normal e dos
momentos fletores. Do teorema da superposição, é possível escrever a equação da flexão
composta, equação 9.
σx =
F
A −
y ⋅ Mz
Iz
+
z ⋅ My
Iy
Equação 9Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analisando a equação 9, dependendo das intensidades/sentidos dos momentos e da força
normal, é possível que a tensões normais resultantes assumam valores apenas positivos,
apenas negativos ou uma combinação desses. Na última situação, existem pontos de transição
entre os sinais, ou seja, pontos em que a tensão normal é nula. Essa linha é denominada
neutra (ou eixo neutro). Para determinar a equação da linha neutra basta, na equação 9, tomar
σx = 0
.
 DICA
Linha neutra da flexão composta – Como a equação da linha neutra ou eixo neutro
0 =
F
A
−
y ⋅ Mz
Iz
+
z ⋅ My
Iy
é um polinômio do primeiro grau e existe o termo independente
F
A
, sua representação será uma reta que não passa pela origem.
EXEMPLO
O bloco retangular de peso desprezível mostrado na imagem está sujeito a uma força vertical
de
40kN
aplicada em um dos vértices. Determine a distribuição da tensão normal que age numa seção
que passa por ABCD.
( )
( )
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 308-309
Fazendo a substituição da força de
40kN
pelo efeito equivalente, tem-se uma força de mesma intensidade e os momentos
Mx
e
Mx
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 308-309
Determinação dos módulos dos momentos fletores
Mx
e
My
:
My = − 40 ⋅ (0, 4) = − 16kN. m = − 16.000N. m → My = 16.000N. m
Mx = − 40 ⋅ (0, 2) = − 8kN. m = − 8.000N. m → Mx = 8.000N. m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Momentos de inércia da seção em relação aos eixos principais:
Ix =
(0, 8) ⋅ (0, 4)3
12
= 4, 267.10 − 3m4
Iy =
(0, 4) ⋅ (0, 8)3
12
= 17, 067.10 − 3m4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Área da seção:
| |
| |
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
A = (0, 8) ⋅ (0, 4) = 0, 32m2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tensão normal, em módulo, devido à força P:
σmédia =
F
A
σm é dia =
40.000
0, 32
= 0, 125MPa = 125kPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Flexões puras de cada momento: tensões, em módulo, máximas:
Tensão devido ao momento
My
:
σzm á x =
x ⋅ My
Iy
=
(0, 4) ⋅ (16.000)
17, 067.10 − 3
= 0, 375MPa = 375kPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tensão devido ao momento
Mx
:
σzm á x =
y ⋅ Mx
Ix
=
(0, 2) ⋅ (8.000)
4, 267.10 − 3
= 0, 375MPa = 375kPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Análise dos sinais das tensões:
Tensão normal devido à força P é compressiva (sinal negativo)
Tensão normal devido ao momento
Mx
: na aresta AD ocorrem as tensões máximas trativas; na aresta BC, as máximas
compressivasLoading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
Tensão normal devido ao momento
My
: na aresta AB ocorrem as tensões máximas trativas; na aresta BD, as máximas
compressivas
Fazendo a superposição dos efeitos para cada aresta do vértice, tem-se:
σ −A = − 125 + 375 + 375 = 625kPa
σ −B = − 125 − 375 + 375 = − 125kPa
σ −C = − 125 − 375 − 375 = − 875kPa
σ −D = − 125 + 375 − 375 = − 125kPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja a imagem com a distribuição das tensões devido a cada efeito, e a superposição (tensão
resultante final).
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 308-309
Na imagem anterior (carga combinada), é possível perceber a linha que divide a seção reta em
regiões com tensões trativas e com tensões compressivas. É a linha neutra ou eixo neutro.
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
MÃO NA MASSA
1. (CS-UFG - 2014 - UEAP - TÉCNICO EM INFRAESTRUTURA -
ENGENHARIA CIVIL – ADAPTADA). UM PILAR COM SEÇÃO
TRANSVERSAL 0,20M X 0,50M ESTÁ SUBMETIDO A UMA SOLICITAÇÃO
NORMAL CUJA RESULTANTE DE 100,0KN LOCALIZA-SE NO EIXO DE
MENOR INÉRCIA, A 0,20M DO CENTROIDE DA SEÇÃO. QUAL É O VALOR
DA TENSÃO NORMAL, EM MPA, NESSE CENTROIDE?
A) 1,0
B) 2,0
C) 2,4
D) 3,4
E) 4,0
2. EM DADA SEÇÃO RETA DE UMA VIGA, ATUA UMA CARGA NORMAL
EXCÊNTRICA DE 10KN (NÃO LOCALIZADA EM NENHUM EIXO
PRINCIPAL). A SEÇÃO É RETANGULAR DE DIMENSÕES 100MM DE BASE
E 200MM DE ALTURA. SUPONDO QUE NESSA SEÇÃO EXISTAM
TENSÕES POR FLEXÃO COMPRESSIVAS E TRATIVAS, A LINHA NEUTRA
DA SEÇÃO É UMA FUNÇÃO:
A) Polinomial do 4º grau.
B) Polinomial do 3º grau.
C) Polinomial do 2º grau.
D) Polinomial do 1º grau.
E) Não existe linha neutra.
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
3. (COPESE - UFPI - 2016 - UFPI - ENGENHEIRO CIVIL). A FIGURA
REPRESENTA A SEÇÃO TRANSVERSAL DE UM PILAR DE
(30 × 50)CM2
, SUBMETIDO À FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA, SENDO UMA FORÇA DE
COMPRESSÃO DE VALOR
N = 200KN
, E OS MOMENTOS
MX = 50KN ⋅ M
E
MY = 20KN ⋅ M
, NOS SENTIDOS REPRESENTADOS NA FIGURA. PODE-SE AFIRMAR
QUE A TENSÃO NORMAL CARACTERÍSTICA ATUANTE NO PONTO A
VALE: 
 
A)
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js−8, 00MPa
B)
−2, 67MPa
C)
0, 00MPa
D)
+5, 33MPa
E)
+6, 93MPa
4. EM UMA ESTRUTURA, UMA VIGA RETANGULAR DE DIMENSÕES
100MM DE BASE E 200MM DE ALTURA APRESENTA UMA CARGA
EXCÊNTRICA COMPRESSIVA DE 200KN APLICADA NO VÉRTICE A
PARALELA AO EIXO X. DETERMINE NESTE PONTO, A TENSÃO NORMAL. 
 
A)
−80MPa
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
B)
−70MPa
C)
−30MPa
D)
−10MPa
E)
0
5. (CESPE - 2018 - TCM-BA - AUDITOR ESTADUAL DE
INFRAESTRUTURA). AS PEÇAS SUBMETIDAS À FLEXÃO COMPOSTA
SOFREM AÇÃO DE FLEXÃO ACOMPANHADA DE:
A) Torção
B) Força normal
C) Esforço cortante
D) Momento fletor
E) Deformações excessivas
6. CONSIDERE UMA SEÇÃO RETA ABCD NA FORMA RETANGULAR
(80MM DE BASE E 120MM DE ALTURA) EM QUE ATUA UMA CARGA
CONCÊNTRICA P. A FLEXÃO COMPOSTA APRESENTA LINHA NEUTRA
DADA PELA EQUAÇÃO Y – 3, 6Z – 0,048 = 0 (Y E Z EM METROS),
CONFORME A FIGURA. DETERMINE O VALOR DO SEGMENTO DI, EM
MILÍMETROS. 
 
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
A) 35mm
B) 30mm
C) 25mm
D) 20mm
E) 10mm
GABARITO
1. (CS-UFG - 2014 - UEAP - Técnico em Infraestrutura - Engenharia Civil – adaptada). Um
pilar com seção transversal 0,20m x 0,50m está submetido a uma solicitação normal cuja
resultante de 100,0kN localiza-se no eixo de menor inércia, a 0,20m do centroide da
seção. Qual é o valor da tensão normal, em MPa, nesse centroide?
A alternativa "A " está correta.
Inicialmente, deve-se substituir a força normal por um sistema equivalente no centroide. Assim,
no centroide, uma força normal de intensidade 100kN, e um momento fletor ao longo de um
dos eixos principais. Analisando cada efeito isoladamente: o momento é uma flexão pura. Logo
a linha neutra coincide com o eixo principal, ou ainda no centroide esse momento não exerce
tensão por flexão. Assim, o efeito resultante é apenas a tensão provocada pelo esforço normal.Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
σmédia =
F
A
σm édia =
100.000
(0, 2)x(0, 5)
= 1, 0MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Em dada seção reta de uma viga, atua uma carga normal excêntrica de 10kN (não
localizada em nenhum eixo principal). A seção é retangular de dimensões 100mm de
base e 200mm de altura. Supondo que nessa seção existam tensões por flexão
compressivas e trativas, a linha neutra da seção é uma função:
A alternativa "D " está correta.
Como na seção existem tensões de sinais distintos, há uma linha de transição em que as
tensões são nulas, ou seja, a linha neutra. A partir da equação 9, tem-se:
σx =
F
A
−
y ⋅ Mz
Iz
+
z ⋅ My
Iy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
F
,
A
,
My
,
Mz
,
Iy
e
Iz
são valores constantes. Substituindo os valores hipotéticos e utilizando o fato de a tensão ser
nula na linha neutra, tem-se:
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
σx =
F
A
−
y ⋅ Mz
Iz
+
z ⋅ My
Iy
0 = K − y ⋅ K ′ + z. K ′′
yK ′ − K = Z. K ′′
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação é uma função polinomial do primeiro grau.
3. (COPESE - UFPI - 2016 - UFPI - Engenheiro Civil). A figura representa a seção
transversal de um pilar de
(30 × 50)cm2
, submetido à flexão composta oblíqua, sendo uma força de compressão de valor
N = 200kN
, e os momentos
Mx = 50kN ⋅ m
e
My = 20kN ⋅ m
, nos sentidos representados na figura. Pode-se afirmar que a tensão normal
característica atuante no ponto A vale: 
 
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
A alternativa "D " está correta.
 Área = (0, 3) × (0, 5) = 0, 15m2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Momentos de inércia:
Ix =
(0, 3) ⋅ (0, 5)3
12
= 3, 125.10 − 3m4
Iy = rac(0, 5)cdot(0, 3)
312 = 1, 125.10 − 3m4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando a tensão normal devido a cada efeito:
Força normal:
σmédia =
F
A
σm é dia =
−200.000
0, 15
= 1, 333MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tensão devido ao momento
MyLoading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
:
σA =
x. My
Iy
=
(0, 15) ⋅ (20.000)
1, 125.10 − 3
= 2, 667MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por inspeção, é trativa:
+2, 667MPa
Tensão devido ao momento
Mx
:
σA =
y ⋅ Mx
Ix
=
(0, 25) ⋅ (50.000)
3, 125.10 − 3
= 4, 000MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por inspeção, é trativa:
+4, 000MPa
Assim, a tensão resultante em A é:
−1, 333 + 2, 667 + 4, 000 = + 5, 33MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Em uma estrutura, uma viga retangular de dimensões 100mm de base e 200mm de
altura apresenta uma carga excêntrica compressiva de 200kN aplicada no vértice A
paralela ao eixo x. Determine neste ponto, a tensão normal. 
 
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
A alternativa "B " está correta.
DETERMINAÇÃO DA TENSÃO NORMAL NUMA
VIGA COM CARREGAMENTO EXCÊNTRICO
5. (CESPE - 2018 - TCM-BA - Auditor Estadual de Infraestrutura). As peças submetidas à
flexão composta sofrem ação de flexão acompanhada de:
A alternativa "B " está correta.
A flexão composta é a superposição dos efeitos de uma carga normal (compressiva ou trativa)
e dois momentos fletores em torno dos eixos principais de inércia.
6. Considere uma seção reta ABCD na forma retangular (80mm de base e 120mm de
altura) em que atua uma carga concêntrica P. A flexão composta apresenta linha neutra
dada pela equação y – 3, 6z – 0,048 = 0 (y e z em metros), conforme a figura. Determine o
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
valor do segmento DI, em milímetros. 
 
A alternativa "E " está correta.
A interseção da linha neutra com a aresta AD ocorre para y = - 60mm = - 0,06m. Substituindo
na equação da linha neutra, tem-se:
y − 3, 6z − 0, 048 = 0
( − 0, 06) − 3, 6z − 0, 048 = 0
z = − 0, 03m = − 30mm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
DI = 40 − 30mm = 10mm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICALoading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
Uma carga horizontal P é aplicada no ponto indicado na figura a um perfil S250 x 37,8, de aço
laminado. Sabe-se que a tensão de compressão não deve ultrapassar 80MPa. Determine a
maior força P que pode ser aplicada.
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 430-431
Dados geométricos do perfil (tabelado):
A = 4, 8.10 − 3m2
Wx = 406.10 − 6m3
Wy = 48.10 − 6m3
Abas:
118mm
Altura do perfil:
254mm
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
RESOLUÇÃO
DETERMINAÇÃO DO VALOR MÁXIMO DE UMA
CARGA EXCÊNTRICA APLICADA A UMA VIGA
DE PERFIL I
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (FADESP - 2019 - CPC-RENATO CHAVES - PERITO CRIMINAL -
ENGENHARIA CIVIL – ADAPTADA). CONSIDERANDO: I - FLEXÃO PURA, II
- FLEXÃO OBLÍQUA, E III - FLEXÃO COMPOSTA PARA UM ELEMENTO
ESTRUTURAL DE SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR, PODEMOS
AFIRMAR QUE:
A) I - o eixo neutro passa pelo centroide da seção transversal, porém sofre rotação; II - o eixo
neutro coincide com um dos eixos principais de inércia da seção transversal; III - o eixo neutro
afasta-se do centroide da seção transversal e sofre rotação em relação aos eixos principais de
inércia.
B) I - o eixo neutro coincide com um dos eixos principais de inércia da seção transversal; II - o
eixo neutro passa pelo centroide da seção transversal, porém sofre rotação; III - o eixo neutroLoading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
afasta-se do centroide da seção transversal e sofre rotação em relação aos eixos principais de
inércia.
C) I - o eixo neutro não coincide com os eixos principais de inércia da seção transversal; II - o
eixo neutro não passa pelo centroide da seção transversal, porém sofre rotação; III - o eixo
neutro afasta-se do centroide da seção transversal e sofre rotação em relaçãoaos eixos
principais de inércia.
D) I - o eixo neutro afasta-se do centroide da seção transversal e sofre rotação em relação aos
eixos principais de inércia; II - o eixo neutro passa pelo centroide da seção transversal, porém
sofre rotação; III - o eixo neutro coincide com um dos eixos principais de inércia da seção
transversal.
E) I - o eixo neutro afasta-se do centroide da seção transversal e sofre rotação em relação aos
eixos principais de inércia; II - o eixo neutro passa pelo centroide da seção transversal e
coincide com um dos eixos principais de inércia; III - o eixo neutro coincide com um dos eixos
principais de inércia da seção transversal de forma similar à flexão oblíqua.
2. (COPESE - UFPI - 2016 - UFPI - ENGENHEIRO CIVIL - ADAPTADA). A
FIGURA REPRESENTA A SEÇÃO TRANSVERSAL DE UM PILAR DE ÁREA
RETANGULAR
(30 × 50)CM2
SUBMETIDO À FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA, SENDO UMA FORÇA DE
COMPRESSÃO DE VALOR
N = 200KN
, E OS MOMENTOS
MX =
50KN. M
E
MY = 20KN.M
, NOS SENTIDOS REPRESENTADOS NA FIGURA. PODE-SE AFIRMAR
QUE A TENSÃO NORMAL CARACTERÍSTICA ATUANTE NO PONTO BLoading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
VALE: 
 
A)
−8, 00MPa
B)
−2, 67MPa
C)
0, 00MPa
D)
+5, 33MPa
E)
+6, 93MPa
GABARITO
1. (FADESP - 2019 - CPC-RENATO CHAVES - Perito Criminal - Engenharia Civil –
adaptada). Considerando: I - Flexão pura, II - Flexão oblíqua, e III - Flexão composta para
um elemento estrutural de seção transversal retangular, podemos afirmar que:
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
A alternativa "B " está correta.
 
Na flexão pura, a linha neutra coincide com um dos eixos principais. Na flexão oblíqua, a linha
neutra passa pela interseção dos eixos principais, não coincidindo com os eixos principais. Na
flexão composta, a linha neutra sofre uma translação em relação à linha neutra da flexão
oblíqua.
2. (COPESE - UFPI - 2016 - UFPI - Engenheiro Civil - adaptada). A figura representa a
seção transversal de um pilar de área retangular
(30 × 50)cm2
submetido à flexão composta oblíqua, sendo uma força de compressão de valor
N = 200kN
, e os momentos
Mx =
50kN. m
e
My = 20kN.m
, nos sentidos representados na figura. Pode-se afirmar que a tensão normal
característica atuante no ponto B vale: 
 
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
A alternativa "A " está correta.
 
 Área da seção reta = b × h = (0, 3) × (0, 5) = 0, 15m2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cálculo dos momentos de inércia principais:
Ix =
(0, 3) ⋅ (0, 5)3
12
= 3, 125 ⋅ 10 − 3m4
Iy =
(0, 5) ⋅ (0, 3)3
12
= 1, 125 ⋅ 10 − 3m4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em B, os momentos fletores atuam no sentido de comprimir o ponto, assim como a força
norma. Determinado o módulo da tensão normal no ponto B, devido a cada efeito, tem-se:
Força normal:
σm é dia =
F
A
σmédia =
−200.000
0, 15
= 1, 333MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
Tensão devido ao momento
My
:
σB =
x ⋅ My
Iy
=
(0, 15) ⋅ (20.000)
1, 125.10 − 3
= 2, 667MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por inspeção, é compressiva:
−2, 667MPa
Tensão devido ao momento
Mx
:
σB =
y ⋅ Mx
Ix
=
(0, 25) ⋅ (50.000)
3, 125.10 − 3
= 4, 000MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por inspeção, é compressiva:
−4, 000MPa
Assim, a tensão resultante em A é:
−1, 333 − 2, 667 − 4, 000 = − 8, 00MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Reconhecer o centro de cisalhamento
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CENTRO DE CISALHAMENTO – ANÁLISE
QUALITATIVA
O CENTRO DE CISALHAMENTO
Neste módulo, estudaremos um ponto denominado centro de cisalhamento. A resultante dos
esforços cortantes tem linha de ação passando por esse ponto. Ademais, o momento de todas
as tensões cisalhantes (forças associadas), em relação ao centro de cisalhamento, é zero.
Portanto, não ocorrerá torção da viga, apenas flexão.Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
Inicialmente, deve ser lembrado que o estudo do cisalhamento e da flexão tomou como
premissa um eixo vertical y de simetria. Assim, ocorria a flexão e o cisalhamento conforme a
imagem a seguir.
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 558
 Imagem 17 - Estrutura com eixo de simetria vertical.
A imagem mostra a situação já apresentada para o cisalhamento e para a flexão. Assim, as
equações correspondentes podem ser utilizadas, visto que tomam como premissa o eixo y
simétrico. A seguir, as expressões para o cálculo da tensão normal por flexão
(σ)
e da tensão cisalhante
(τ) :
σx =
−y ⋅ M
I
 e τ =
V ⋅ Q
I ⋅ t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Devido à simetria (imagem 17), as tensões de cisalhamento provocarão momento nulo em
relação ao ponto C. Como o esforço cortante tem linha de ação passando pelo ponto C, seu
momento também é nulo. Assim, não ocorre torção na viga apresentada.
Neste módulo, a premissa de que o eixo y vertical é simétrico deixará de ser assumida. Em
consequência, a expressão anterior para a determinação da tensão cisalhante não poderá mais
ser utilizada. Será admitido para o estudo do centro de cisalhamento que as paredes das
barras sejam delgadas.
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
A próxima imagem mostra uma barra em que o eixo vertical não é de simetria, e uma força
vertical P atua, passando pelo centroide da seção reta.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 289
 Imagem 18 - Seção sem simetria vertical sob ação de uma força vertical.
Dos conceitos da mecânica dos corpos rígidos, é possível transladar uma força F e ter um
sistema estaticamente equivalente com uma força de mesmo módulo e um conjugado. A partir
dessa argumentação, o que se pretende é substituir a força P atuante na peça (imagem 18) por
um sistema equivalente, de tal forma que o elemento prismático não sofra rotação, apenas
flexão e cisalhamento. O ponto para o qual a força P será deslocada denomina-se centro de
cisalhamento.
CENTRO DE CISALHAMENTO – SEÇÕES
ABERTAS DE PAREDES DELGADAS
Para a determinação da posição do centro de cisalhamento O, deve-se lembrar que a força
vertical P aplicada nesse ponto garante que não ocorra a torção da viga. Na imagem 18, a
força vertical atua no centroide da seção reta. Após o deslocamento de P, ou seja, quando
estiver atuando no centro de cisalhamento, a viga não sofrerá rotação. Observe a próxima
imagem.Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 289
 Imagem 19 - Seção sem simetria vertical sob ação de uma força vertical.
Para determinar o deslocamento horizontal da força P, é necessário o entendimento de
algumas passagens matemáticas/físicas. Inicialmente, uma seção reta da viga será
desenhada, e as resultantes das forças nas abas superior/inferior e na alma são destacadas.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Imagem 20 - Seção reta, a viga em estudo e as resultantes.
A substituição da força P por um sistema estaticamente equivalente, tal que não ocorra torção
em torno do centro de cisalhamento, deve garantir que o momento na situação da figura aLoading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
seguir seja nulo.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior.
 Imagem 21 - Força P atuando no centro de cisalhamento.
O conjugado proveniente das forças nas abas
(F ⋅ h)
pode ser eliminado com o momento de
P(P ⋅ e)
em sua translação da força
P
para o centro de cisalhamento O. Assim, é verdade que:
P ⋅ e = F ⋅ h
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, o deslocamento horizontal
e
pode ser calculado pela equação 10:
e =
F ⋅ h
P
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
Equação 10
 Atenção! Para visualização completada equação utilize a rolagem horizontal
É possível relacionar as forças que atuam na aba (F) e a força que atua na alma (P) com
parâmetros geométricos da viga. Assim, a equação 10 será função exclusiva dos parâmetros
geométricos da viga. Ou seja, a distância e depende apenas das dimensões da seção reta em
estudo.
Considere a seção reta mostrada na imagem 21, onde as abas têm comprimento
b
e a espessura da viga é constante
t
e pequena. O afastamento
e
do centro de cisalhamento em relação à parede média da alma é dado pela equação 11:
e =
3 ⋅ b2
h + 6 ⋅ b
Equação 11
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 1
Considere uma viga engastada com uma extremidade livre, conforme a imagem seguinte, em
que a força vertical
P = 2kN
atua de tal forma que não ocorra torção da viga.
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Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 560
Uma seção é individualizada para estudo, conforme croqui a seguir.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
As dimensões são
b = 60mm, h = 180mm
e
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
t = 2mm
. Determine a distância
e
, relacionando essa distância com a não torção da viga na situação descrita.
Uma vez que não ocorre a torção, apenas flexão, o ponto de aplicação da força P de
2kN
é o centro de cisalhamento. Sua determinação é dada pela equação 11, independentemente da
espessura t e da carga aplicada.
e =
3 ⋅ b2
h + 6 ⋅ b
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores, tem-se:
e =
3 ⋅ (60)2
180 + 6. (60)
=
10800
540
→ e = 20mm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Suponha a viga representada na imagem a seguir, em que a carga V é aplicada no centro de
cisalhamento. As dimensões são apresentadas na figura, sendo a espessura uniforme e igual a
t. Determinar a tensão de cisalhamento em A (na aba superior).
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Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
A tensão de cisalhamento
τ
no ponto A é dada por:
τA =
V ⋅ Q
I ⋅ t
Em que: 
 
Q
– Momento estático da área A’ 
V
– Esforço cortante 
I
– Momento de inércia da seção 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior.
Momento estático da área em destaque:
Q = A ⋅ ȳ ′
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, tem-se:
Q = (b ⋅ t) ⋅
h
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Momento de inércia da seção da viga, em relação à linha neutra:
I =
t ⋅ h3
12
+ 2 ⋅
b ⋅ t3
12
+ (b ⋅ t) ⋅
h
2
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a espessura
t
é pequena, o termo
3
pode ser desprezado. Assim:
I =
t ⋅ h3
12 + 2. (b ⋅ t) ⋅
h
2
2
( ( ) )
( )
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
I =
t ⋅ h3 + 6 ⋅ b ⋅ t ⋅ h2
12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na expressão do fluxo do cisalhamento:
τA =
V ⋅ Q
I ⋅ t
τA =
V ⋅ (b ⋅ t) ⋅
h
2
t ⋅ h3 + 6 ⋅ b ⋅ t ⋅ h2
12 ⋅ t
=
6 ⋅ V ⋅ b
t ⋅ h. (h + 6 ⋅ b)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. SUPONHA UMA VIGA APENAS COM SIMETRIA NA DIREÇÃO
HORIZONTAL, SUBMETIDA A UM CARREGAMENTO VERTICAL P
APLICADO NO CENTROIDE DA SEÇÃO, CONFORME FIGURA. A
ESPESSURA T É CONSIDERADA DESPREZÍVEL FRENTE ÀS OUTRAS
DIMENSÕES. QUANTO AO CENTRO DE CISALHAMENTO (O), É CORRETO
AFIRMAR QUE: 
 
( )
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
A) Se a força P for aplicada no centro de cisalhamento (O), ocorrerá torção na viga,
denominada pura.
B) Se a força for oblíqua e aplicada no centro de cisalhamento, a torção poderá ocorrer
dependendo do ângulo que P faz com a horizontal.
C) Se a força P tiver sua linha de ação passando pelo centro de cisalhamento, não provocará
torção na viga.
D) Para evitar a torção na viga, o centro de cisalhamento deve estar localizado na parede
vertical da seção reta.
E) A torção na viga poderá ser evitada caso o centro de cisalhamento esteja localizado em uma
das abas (inferior ou superior).
2. SEJA UMA VIGA METÁLICA COM UMA EXTREMIDADE ENGASTADA E
A OUTRA LIVRE. PELO CENTROIDE DA SEÇÃO RETA PASSA A LINHA DE
AÇÃO DA FORÇA F = 30KN. NESSA SITUAÇÃO, OCORRE A TORÇÃO DA
VIGA. UM ENGENHEIRO DESEJA ELIMINAR O EFEITO DE TORÇÃO,
DESLOCANDO A LINHA DE AÇÃO DA FORÇA PARA O CENTRO DE
CISALHAMENTO. CONSIDERANDO COMO REFERENCIAL A PAREDE
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
MÉDIA DA ALMA DA SEÇÃO (LINHA TRACEJADA EM DESTAQUE),
DETERMINE A DISTÂNCIA
E
. A IMAGEM APRESENTA A SITUAÇÃO DESCRITA E AS DIMENSÕES DA
SEÇÃO RETA SÃO B = 200MM, H = 300MM E A ESPESSURA T = 5MM. 
 
A)
80mm
B)
75mm
C)
70mm
D)
65mm
E)
60mm
3. PARA A VIGA EM FORMA DE U, O CENTRO DE CISALHAMENTO
APRESENTA-SE A DISTÂNCIA E DA PAREDE MÉDIA VERTICAL DALoading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
SEÇÃO. SEU VALOR PODE SER DETERMINADO PELA EXPRESSÃO: 
 
E =
3 ⋅ B2
H + 6. B
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE
A ROLAGEM HORIZONTAL
EM QUE B É A DIMENSÃO DAS ABAS E H A ALTURA DA ALMA DA VIGA.
SUPONDO QUE A ESPESSURA T SEJA UNIFORME E BEM MENOR QUE
OS VALORES DE B E H, QUE VALORES O
E
PODE ASSUMIR:
A) De 0 a h
B) De 0 a b
C) De 0 a h/2
D) De 0 a b/2
E) De b a h
4. SUPONHA UMA CANTONEIRA, CONFORME A FIGURA A SEGUIR. OS
PONTOS A E C LOCALIZAM-SE NAS EXTREMIDADES DAS ABAS. B ESTÁ
NO VÉRTICE DA CANTONEIRA, ENQUANTO D E E ESTÃO NOS PONTOS
MÉDIOS DAS ABAS. PARA QUE NÃO OCORRA TORÇÃO, A FORÇA
ATUANTE DEVE TER LINHA DE AÇÃO PASSANDO PELO CENTRO DE
CISALHAMENTO. DENTRE OS PONTOS APRESENTADOS, QUAL PODE
REPRESENTAR O CENTRO DE CISALHAMENTO PARA A SEÇÃO RETA? 
 
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
A) A
B) B
C) C
D) D
E) E
5. CONSIDERE UMA SEÇÃO RETA DE UMA VIGA U, COM ESPESSURA T
CONSTANTE, CONFORME A FIGURA. A TENSÃO NA ABA SUPERIOR
TEM VARIAÇÃO LINEAR, PORÉM NA EXTREMIDADE DA ESQUERDA E
MÁXIMA. O FLUXO DE CISALHAMENTO NA ABA É DADO POR: 
 
Q =
V. T ⋅ H
2. I
⋅ X
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE
A ROLAGEM HORIZONTAL
DETERMINE A EXPRESSÃO QUE DEFINE A INTENSIDADE DA FORÇA F
NA ABA. 
 
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
DADO:
F = ∫X0Q ⋅ DX
A)
F =
V. t ⋅ h ⋅ b2
I
B)
F =
4. V. t. h ⋅ b2
5. I
C)
F =
3. V. t. h ⋅ b2
4. I
D)
F =
V. t ⋅ h ⋅ b2
2. I
E)
F =
V. t. h ⋅ b2
4. I
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
6. CONSIDERE UMA VIGA U ENGASTADA EM UMA DAS EXTREMIDADES
E COM O CARREGAMENTO MOSTRADO NA IMAGEM. 
 
O CENTRO DE CISALHAMENTO É O PONTO O, ONDE A FORÇA DE 1000N
É APLICADA. AS DIMENSÕES DA SEÇÃO RETA DA VIGA SÃO: B =
100MM, H = 200MM E A ESPESSURA T = 2MM. SABE-SE QUE A TENSÃO
CISALHANTE NA ABA SUPERIOR É DADA PELA SEGUINTE EXPRESSÃO:
ΤABA ==
6. V ⋅ X
T. H ⋅ (H + 6. B)
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE
A ROLAGEM HORIZONTAL
QUAL A TENSÃO NO PONTO MÉDIO DA ABA SUPERIOR?
A)
0, 9375MPa
B)
1, 0000MPa
C)
1, 3275MPa
D)
1, 5000MPa
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E)
1, 8750MPa
GABARITO
1. Suponha uma viga apenas com simetria na direção horizontal, submetida a um
carregamento vertical P aplicado no centroide da seção, conforme figura. A espessura t
é considerada desprezível frente às outras dimensões. Quanto ao centro de
cisalhamento (O), é correto afirmar que: 
 
A alternativa "C " está correta.
A forças resultantes que atuam nas abas geram um conjugado que pode ser “anulado” com o
deslocamento da linha de ação da força P. O ponto de aplicação de P é denominado centro decisalhamento e é calculado por:
e =
F ⋅ h
P
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Seja uma viga metálica com uma extremidade engastada e a outra livre. Pelo centroide
da seção reta passa a linha de ação da força F = 30kN. Nessa situação, ocorre a torção
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
da viga. Um engenheiro deseja eliminar o efeito de torção, deslocando a linha de ação da
força para o centro de cisalhamento. Considerando como referencial a parede média da
alma da seção (linha tracejada em destaque), determine a distância
e
. A imagem apresenta a situação descrita e as dimensões da seção reta são b = 200mm,
h = 300mm e a espessura t = 5mm. 
 
A alternativa "A " está correta.
A distância do centro de cisalhamento à parede média da alma da seção (vertical) é
determinada por:
e =
3 ⋅ b2
h + 6 ⋅ b
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores apresentados, tem-se:
e =
3 ⋅ (200)2
300 + 6. (200) =
120000
1500 → e = 80mm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Para a viga em forma de U, o centro de cisalhamento apresenta-se a distância e da
parede média vertical da seção. Seu valor pode ser determinado pela expressão: 
 
e =
3 ⋅ b2
h + 6. bLoading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que b é a dimensão das abas e h a altura da alma da viga. Supondo que a espessura
t seja uniforme e bem menor que os valores de b e h, que valores o
e
pode assumir:
A alternativa "D " está correta.
A expressão que determina a distância
e
do centro de cisalhamento é:
e =
3. b2
h + 6 ⋅ b
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível dividir o numerador e o denominador da fração por 3b. Assim:
e =
b
h
3b + 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A razão
h
3. b
pode assumir valores pequenos (tendendo a zero) ou valores grandes (tendendo a infinito). Em
cada situação tem-se:
e =
b
∞ + 2
=
b
∞
= 0
e =
b
0 + 2
=
b
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, a distância
e
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
varia de 0 a b/2.
4. Suponha uma cantoneira, conforme a figura a seguir. Os pontos A e C localizam-se
nas extremidades das abas. B está no vértice da cantoneira, enquanto D e E estão nos
pontos médios das abas. Para que não ocorra torção, a força atuante deve ter linha de
ação passando pelo centro de cisalhamento. Dentre os pontos apresentados, qual pode
representar o centro de cisalhamento para a seção reta? 
 
A alternativa "B " está correta.
As forças atuantes nas abas concorrem no ponto B. Para que não ocorra torção, a força
cortante deve ser aplicada tal que sua linha de ação passe pelo ponto B. Matematicamente,
tem-se:
∑MB = 0
Faba esquerda ⋅ d1 + Faba direita ⋅ d2 + V. d3 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como as forças concorrem em
B
,
d1 = d2 = d3 = 0
. Logo, a equação é satisfeita se a força for aplicada de tal forma que a linha de ação passe
pelo ponto B.
5. Considere uma seção reta de uma viga U, com espessura t constante, conforme a
figura. A tensão na aba superior tem variação linear, porém na extremidade da esquerda
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
e máxima. O fluxo de cisalhamento na aba é dado por: 
 
q =
V. t ⋅ h
2. I ⋅ x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Determine a expressão que define a intensidade da força F na aba. 
 
Dado:
F = ∫x0q ⋅ dx
A alternativa "E " está correta.
Substituindo-se q na expressão para a determinação da força F, tem-se:
F = ∫x0q ⋅ dx
F =
V. t. h ⋅ x2
4. I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os limites de integração: 0 e b
F =
V. t ⋅ h ⋅ b2
4. I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
6. Considere uma viga U engastada em uma das extremidades e com o carregamento
mostrado na imagem. 
 
O centro de cisalhamento é o ponto O, onde a força de 1000N é aplicada. As dimensões
da seção reta da viga são: b = 100mm, h = 200mm e a espessura t = 2mm. Sabe-se que a
tensão cisalhante na aba superior é dada pela seguinte expressão:
τaba ==
6. V ⋅ x
t. h ⋅ (h + 6. b)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Qual a tensão no ponto médio da aba superior?
A alternativa "A " está correta.
DETERMINAR A TENSÃO CISALHANTE EM UM
DADO PONTO DA ABA DE UMA VIGA U
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Em uma empresa de Engenharia, o projeto que está em desenvolvimento prevê uma viga AB
em U de comprimento L engastada em uma das extremidades e livre na outra com
carregamento concentrado. Supondo que as dimensões sejam as apresentadas na figura, e
considerando t a espessura uniforme da viga, o engenheiro deseja determinar a expressão que
calcula a força resultante na aba superior. Aplicar para V = 1,0kN, b = 120mm, h = 150mm e t =
2mm.
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 430-431
RESOLUÇÃO
EXPRESSÃO QUE DETERMINA A FORÇA EM
UMA ABA DE UMA VIGA U
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UM ENGENHEIRO DETERMINOU UMA EXPRESSÃO PARA CALCULAR
A DISTÂNCIA
E
DO CENTRO DE CISALHAMENTO PARA DETERMINADA VIGA, EM
FUNÇÃO DOS PARÂMETROS GEOMÉTRICOS DA SEÇÃO RETA (
B
E
H
).
E =
3 ⋅ B2
H + 6. B
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE
A ROLAGEM HORIZONTAL
CONSIDERANDO QUE A RAZÃO
H
3BLoading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
É MUITO MENOR QUE 2, QUAL O VALOR DA DISTÂNCIA
E
?
A)
h
B)
b
C)
h/2
D)
b/2
E)
(b + h)
2. A TENSÃO DE CISALHAMENTO NAS ABAS DA SEÇÃO RETA DE UMA
VIGA É DETERMINADA A PARTIR DA EXPRESSÃO:
ΤABA =
V ⋅ H ⋅ X
2. I
 
 
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
EM QUE
V
É O ESFORÇO CORTANTE NA ALMA DA VIGA,
H
A DISTÂNCIA ENTRE AS ABAS E
I
O MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO EM RELAÇÃO AO EIXO
CENTROIDE HORIZONTAL. É CORRETO AFIRMAR QUE, AO LONGO DA
ABA:
A) A variação da tensão cisalhante é linear, sendo nula na extremidade A.
B) A variação da tensão cisalhante é quadrática, sendo nula na extremidade A.
C) A variação da tensão cisalhante é linear, sendo máxima na extremidade A.
D) A variação da tensão cisalhante é quadrática, sendo máxima no ponto B.
E) A variação da tensão cisalhante é linear, sendo máxima no ponto médio de AB.
GABARITO
1. Um engenheiro determinou uma expressão para calcular a distânciaLoading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
e
do centro de cisalhamento para determinada viga, em função dos parâmetros
geométricos da seção reta (
b
e
h
).
e =
3 ⋅ b2
h + 6. b
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando que a razão
h
3b
é muito menor que 2, qual o valor da distância
e
?
A alternativa "D " está correta.
 
É possível reescreve a expressão que calcula
e
:
e =
b
h
3b + 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se a razão
h
3. b
for muito menor que 2, pode ser desprezada (em relação ao 2). Assim:Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
e =
b
0 + 2
=
b
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A tensão de cisalhamento nas abas da seção reta de uma viga é determinada a partir
da expressão:
τaba =
V ⋅ h ⋅ x
2. I
 
 
Em que
V
é o esforço cortante na alma da viga,
h
a distância entre as abas e
i
o momento de inércia da seção em relação ao eixo centroide horizontal. É correto
afirmar que, ao longo da aba:
A alternativa "A " está correta.
 
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
A equaçãoque determina a tensão cisalhante é linear (depende de x). A partir do eixo x, na
figura, é possível determinar a tensão cisalhante em A, x = 0 e, em B, x = b. Assim, a tensão no
ponto A é:
τA =
V. h.0
2. I
τA = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 4
 Formular a flambagem de colunas
ESTABILIDADE DAS COLUNAS – CARGA
CRÍTICA
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
A FLAMBAGEM DE COLUNAS
Neste módulo, será analisado o efeito conhecido como flambagem. Suponha uma coluna
perfeitamente reta (ideal) de comprimento L e área de seção reta A, em que atua uma carga P
no centroide da seção transversal de forma a comprimir a coluna. Sob determinada condição, a
coluna perde sua estabilidade, sofrendo uma deflexão lateral – a flambagem. Eventualmente a
flambagem ocorre de maneira abruta e rompe o material.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 477
 Imagem 22 - Coluna sob carregamento normal compressivo.
Elementos estruturais compridos e esbeltos (colunas) submetidos a esforços de compressão
são particularmente suscetíveis à flambagem após a carga aplicada ultrapassar um valor
denominado de carga críticaLoading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
Pcr
.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 477
 Imagem 23 - Coluna sob carregamento normal compressivo maior que a carga crítica.
Suponha que um coluna de comprimento
L
seja carregada com uma carga P que gradual e lentamente vai aumentando até que a coluna
fique na iminência de sofrer flambagem, ou seja, apresentar uma deflexão lateral (Figura 23).
Essa carga é
Pcr
, a carga crítica.
Inicialmente, será apresentada uma situação idealizada e simplificada para que o fenômeno
físico da flambagem possa ser entendido. Nos próximos tópicos, a abordagem amplia as
condições impostas às colunas, aproximando-se das situações reais de Engenharia. Suponha
duas colunas de comprimento
L
2
( )
Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
, unidas por meio de um pino ideal em A, e que suas extremidades sejam articuladas. Ademais,
uma mola de constante elástica K está ligada em A, e é capaz de restaurar a posição das
colunas. A imagem a seguir apresenta o croqui da situação descrita.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 478
 Imagem 24 - Coluna ideal com mola restaurado da posição de equilíbrio.
Supondo que a força aplicada P desloque o ponto de união A das barras lateralmente para a
direita, tal que cada coluna sofra uma pequena rotação vertical de
θ
.
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Imagem: Hibbeler, 2010, p. 478
 Imagem 25 - Deslocamento lateral da coluna sob ação da força P.
Antes de se fazer a análise de forças no pino A, algumas premissas devem ser atendidas. A
suposição inicial é que os ângulos
θ
(em radianos) são pequenos, logo a seguinte aproximação é válida:
senθ ≅ θ
. Ademais, o deslocamento do pino A lateralmente pode ser determinado a partir da relação
geométrica entre o comprimento de um arco, raio e ângulo (em radianos), ou seja,
\boldsymbol{l}=\boldsymbol{\theta} \cdot \boldsymbol{R}. Assim, o deslocamento lateral \Delta x
é dado pela equação 12 .
\Delta x=\theta \cdot \frac{L}{2}
Equação 12
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Analisando as forças atuantes no ponto A, tem-se o seguinte diagrama do corpo livre (DCL).
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Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Imagem 26 - DCL do ponto A.
Do equilíbrio na direção horizontal, ou seja, \sum f_{x}=0:
P \cdot \operatorname{sen} \theta+P \cdot \operatorname{sen} \theta-F=0
2 P \cdot \operatorname{sen} \theta=F
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Porém, foi adotada a premissa de pequenos ângulos, \operatorname{logo} \operatorname{sen}
\theta \cong \theta Ademais, considerando a mola no regime elástico, é possível aplicar a Lei
de Hooke (\boldsymbol{F}=\boldsymbol{K} \cdot \boldsymbol{\Delta} \boldsymbol{x}).
Substituindo na equação do equilíbrio, tem-se:
2 P \cdot \theta=K \cdot \Delta x
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Mas da equação 12, \Delta x=\theta \cdot \frac{L}{2}. Logo:
2 P \cdot \theta=K \cdot \theta \cdot \frac{L}{2}
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P_{c r}=\frac{K \cdot L}{4}
Equação 13
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Da equação 13, conclui-se que para cargas P maiores que a carga crítica P_{c r} o sistema é
instável. De maneira inversa, para cargas P menores que a crítica, o sistema é estável.
FÓRMULA DE EULER PARA A FLAMBAGEM
Seja uma coluna AB de comprimento L em que uma carga P é aplicada de maneira
compressiva. O objetivo deste ponto do estudo é determinar o valor limite da carga P que
mantém a estabilidade da coluna em relação à flambagem.
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 1083
 Imagem 27 - Coluna de comprimento L sob carregamento compressivo.
A equação diferencial ordinária (EDO) de coeficiente constantes e de segunda ordem que rege
o fenômeno é dada pela equação 14.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{P}{E \cdot I} \cdot y=0
Equação 14
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Em que: 
 
y – Deslocamento lateral horizontal 
x – Distância vertical, a partir da extremidade em que a carga P é aplicada 
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P – Intensidade da carga compressiva aplicada à coluna 
E – Módulo de elasticidade do material da coluna 
I – Momento de inércia da seção reta
Determinando-se a solução geral da solução da EDO e aplicando-se as condições de contorno,
tem-se a equação 15:
P=\frac{n^{2} \cdot \pi^{2} \cdot E \cdot I}{L^{2}}
Equação 15
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O menor valor que P assume, de acordo com a equação 15, é para n=1. Assim, substituindo-se
n por 1 na equação 15, tem-se a carga crítica P_{\mathrm{cr}}.
P_{c r}=\frac{\pi^{2} \cdot E \cdot I}{L^{2}}
Equação 16
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A equação 16 é conhecida como fórmula de Euler.
 ATENÇÃO
Vale ressaltar sobre o I da equação 16. Para colunas com seções retas duplamente simétricas,
como quadrados, círculos ou tubos, os momentos de inércia I, em relação aos eixos principais,
são iguais. Para outras seções, o momento de inércia I a ser utilizado é o de menor valor.
A partir da equação 16, da definição de tensão normal e do raio de giração (k) de uma seção, é
possível escrever uma relação para a tensão crítica. Relembrando que \sigma=\frac{P}{A} e
que I=k^{2} \cdot A e substituindo em 16, tem-se a equação 17:
\sigma_{c r}=\frac{\pi^{2} \cdot E}{(L / k)^{2}}
Equação 17
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
P_{c r}=\frac{\pi^{2} \cdot E . I}{L^{2}}
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A razão \frac{L}{k} é denominada indice de esbeltez da coluna. Como o momento de inércia,
que se relaciona com o raio de giração k, é o mínimo, o raio de giração a ser utilizado na
equação 17 também deve ser o de menor valor.
FÓRMULA DE EULER PARA COLUNAS COM
VÍNCULOS DIVERSOS
No tópico anterior, foi feito o estudo de uma coluna com articulação nas duas extremidades, o
que resultou nas equações 16 e 17. Algumas situações particulares de vinculação da coluna
serão apresentadas.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Coluna com uma extremidade engastada e a outra livre
 
Imagem: Danielle Ribeiro
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Coluna engastada em uma extremidade e outra articulada
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Coluna biengastada
As equações 16 e 17 poderão ser ajustadas para a utilização nos casos já descritos. A
equação 18 utilizará o conceito decomprimento efetivo de flambagem \left(L_{e}\right).
P_{c r}=\frac{\pi^{2} \cdot E \cdot I}{L_{e}^{2}}
Equação 18
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A equação 19 será função do índice efetivo de esbeltez da coluna, denominado \frac{L_{e}}
{k}. Dessa forma, a equação ficará escrita como:
\sigma_{c r}=\frac{\pi^{2} \cdot E}{\left({ }^{L} /_{k}\right)^{2}}
Equação 19
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A imagem seguinte tem um resumo de algumas colunas sob determinados vínculos e seus
comprimentos efetivos \left(L_{e}\right) em função do comprimento L da coluna.
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Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 1094.
 Imagem 28 - Comprimentos efetivos de colunas com vinculações distintas.
MÃO NA MASSA
1. (IADES - 2014 - UFBA - ENGENHEIRO MECÂNICO). UM COMPONENTE
MECÂNICO SUJEITO A SEVERAS CARGAS DE COMPRESSÃO PRECISA
SER INVESTIGADO QUANTO À FLAMBAGEM. CONSIDERANDO QUE SEU
MOMENTO DE INÉRCIA É X, QUE A ÁREA DE SEÇÃO TRANSVERSAL É Y
E QUE O COMPRIMENTO É Z, É CORRETO AFIRMAR QUE O ÍNDICE DE
ESBELTEZ DESSE COMPONENTE, DEFINIDO COMO A RAZÃO DO
COMPRIMENTO PELO RAIO DE GIRAÇÃO, É:
A) X^{-0,5} Y \cdot Z^{0,5}
B) X^{0,5} Y^{-0,5} Z
C) Y^{-0,5} \quad Z^{0,5}
D) X \cdot Y^{0,5} Z
E) X^{-0,5} Y^{0,5} Z
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2. UMA COLUNA TEM SEÇÃO RETA QUADRADA E 2M DE
COMPRIMENTO. SUPONDO QUE AS EXTREMIDADES DA COLUNA
SEJAM ARTICULADAS E UMA FORÇA COMPRESSIVA DE 350KN SEJA
APLICADA, DETERMINE A ARESTA MÍNIMA DA SEÇÃO RETA PARA QUE
A COLUNA NÃO SOFRA FLAMBAGEM. CONSIDERE QUE O MATERIAL
APRESENTA MÓDULO DE ELASTICIDADE E = 70GPA E QUE A TENSÃO
ADMISSÍVEL DO MATERIAL NÃO SEJA ALCANÇADA.
A) 50,28mm
B) 55,62mm
C) 60,75mm
D) 65,42mm
E) 70,25mm
3. CONSIDERE UMA PEQUENA COLUNA CILÍNDRICA BIARTICULADA DE
SEÇÃO CIRCULAR DE RAIO 20MM QUE ESTÁ SUBMETIDA A UMA
FORÇA F COMPRESSIVA. O MATERIAL DA COLUNA É TAL QUE SEU
MÓDULO DE ELASTICIDADE É 200GPA, E A TENSÃO DE ESCOAMENTO
À COMPRESSÃO É 320MPA. DETERMINE A CARGA CRÍTICA, SENDO O
COMPRIMENTO DA COLUNA DE 1M.
A) 402,0 k N
B) 386,2 k N
C) 362,4 k N
D) 308,0 k N
E) 247,7 k N
4. (FGV - 2016 - COMPESA - ANALISTA DE SANEAMENTO - ENGENHEIRO
MECÂNICO). A IMAGEM A SEGUIR APRESENTA DUAS BARRAS
CONSTITUÍDAS PELO MESMO MATERIAL E QUE POSSUEM TAMBÉM O
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MESMO COMPRIMENTO E SEÇÃO TRANSVERSAL. 
 
A VIGA (1) TEM UMA DAS EXTREMIDADES FIXA (ENGASTADA) E A
OUTRA FIXA POR PINO. A VIGA (2) TEM AS EXTREMIDADES FIXAS
(BIENGASTADA). A RELAÇÃO ENTRE AS CARGAS CRÍTICAS DE
FLAMBAGEM DE EULER DAS COLUNAS (2) E (1), NESSA ORDEM, VALE:
A) 0,25
B) 0,50
C) 1,40
D) 1,96
E) 4,00
5. (UECE-CEV - 2018 - PREFEITURA DE SOBRAL - CE - ANALISTA DE
INFRAESTRUTURA - ENGENHARIA MECÂNICA – ADAPTADA). UM PILAR
DE AÇO DE SEÇÃO RETANGULAR MACIÇA (0,12M X 0,01M) E 20M DE
COMPRIMENTO ESTÁ ENGASTADO EM AMBAS AS SUAS
EXTREMIDADES E É SUBMETIDO A UM CARREGAMENTO DE
COMPRESSÃO, CONFORME APRESENTADO NA IMAGEM A SEGUIR. 
 
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SABENDO QUE O MÓDULO DE ELASTICIDADE DO AÇO É DE E_{A
\VARSIGMA \RHO}=200 G P A E CONSIDERANDO \PI^{2}=10 , É CORRETO
AFIRMAR QUE A CARGA CRÍTICA DE FLAMBAGEM É IGUAL A:
A) 30.000N
B) 28.800N
C) 7200N
D) 200N
E) 50N
6. (FCC - 2007 - MPU - ANALISTA - ENGENHARIA CIVIL - ADAPTADA). O
COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM DAS COLUNAS DE COMPRIMENTO L
SUBMETIDAS A ESFORÇOS DE COMPRESSÃO É FUNÇÃO DE SUAS
EXTREMIDADES, SENDO DADO PELA EXPRESSÃO DO COMPRIMENTO
EFETIVO L_{E}=K \CDOT L. O VALOR DE K, PARA AS COLUNAS ABAIXO
REPRESENTADAS, É, RESPECTIVAMENTE: 
 
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A) 0,3; 0,5; 0,7; 1,0
B) 0,5; 0,7; 0,8; 1,5
C) 1,0; 1,5; 2,0; 2,5
D) 0,7; 1,0; 1,5; 2,0
E) 0,5; 0,7; 1,0; 2,0
GABARITO
1. (IADES - 2014 - UFBA - Engenheiro Mecânico). Um componente mecânico sujeito a
severas cargas de compressão precisa ser investigado quanto à flambagem.
Considerando que seu momento de inércia é X, que a área de seção transversal é Y e
que o comprimento é Z, é correto afirmar que o índice de esbeltez desse componente,
definido como a razão do comprimento pelo raio de giração, é:
A alternativa "E " está correta.
Inicialmente, será determinado o raio de giração:
I=k^{2} \cdot A
X=k^{2} . Y \rightarrow k=\frac{X^{0,5}}{Y^{0,5}}
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O índice de esbeltez da coluna é dado por \frac{L}{k}. Substituindo, tem-se:
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\frac{L}{k}=\frac{Z}{X^{0,5} /_{Y^{0,5}}}=X^{-0,5} \cdot Y^{0,5} \cdot Z
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2. Uma coluna tem seção reta quadrada e 2m de comprimento. Supondo que as
extremidades da coluna sejam articuladas e uma força compressiva de 350kN seja
aplicada, determine a aresta mínima da seção reta para que a coluna não sofra
flambagem. Considere que o material apresenta módulo de elasticidade E = 70GPa e que
a tensão admissível do material não seja alcançada.
A alternativa "E " está correta.
A partir da equação da carga crítica para colunas biarticuladas, tem-se:
P_{c r}=\frac{\pi^{2} \cdot E . I}{L^{2}}
350.000=\frac{\pi^{2} .70 \cdot 10^{9} \cdot I}{2^{2}}
I=2,03.10^{-6} m^{4}
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Mas o momento de inércia da seção quadrangular é dado por: I=\frac{L^{4}}{12}. Portanto:
\frac{L^{4}}{12}=2,03.10^{-6} \rightarrow L=70,25 m m
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3. Considere uma pequena coluna cilíndrica biarticulada de seção circular de raio 20mm
que está submetida a uma força F compressiva. O material da coluna é tal que seu
módulo de elasticidade é 200GPa, e a tensão de escoamento à compressão é 320MPa.
Determine a carga crítica, sendo o comprimento da coluna de 1m.
A alternativa "E " está correta.
Análise para a flambagem:
Momento de inércia para a seção circular: I=\frac{\pi \cdot R^{4}}{4}
Para colunas biarticuladas, a equação de Euler é:
P_{c r}=\frac{\pi^{2} \cdot E . I}{L^{2}}
P_{c r}=\frac{\pi^{2} \cdot 200 \cdot 10^{9} \cdot \frac{\pi \cdot(0,02)^{4}}{4}}{1^{2}}
P_{c r}=247,7 k N
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Análise para o escoamento.
\sigma=\frac{F}{A} \rightarrow F=320.10^{6} \cdot \pi \cdot(0,02)^{2}=402 k N
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Logo, a flambagem é mais crítica que o escoamento.
4. (FGV - 2016 - COMPESA - Analista de Saneamento - Engenheiro Mecânico). A imagem
a seguir apresenta duas barras constituídas pelo mesmo material e que possuem
também o mesmo comprimento e seção transversal. 
 
A viga (1) tem uma das extremidades fixa (engastada) e a outra fixa por pino. A viga (2)
tem as extremidades fixas (biengastada). A relação entre as cargas críticas de
flambagem de Euler das colunas (2) e (1), nessa ordem, vale:
A alternativa "D " está correta.
Inicialmente, deve-se encontrar o comprimento efetivo para cada coluna.
Coluna 2: L_{e}=0,5 L
Coluna 1: L_{e} \quad 0,7 L
P_{c r}=\frac{\pi^{2} . E . I}{L_{e}^{2}}
\frac{P_{c r 2}}{P_{c r 1}}=\frac{\frac{\pi^{2} \cdot E . I}{(0,5 L)^{2}}}{\frac{\pi^{2} \cdot E . I}{(0,7
L)^{2}}}=\frac{(0,7 L)^{2}}{(0,5 L)^{2}}=1,96Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
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5. (UECE-CEV - 2018 - Prefeitura de Sobral - CE - Analista de Infraestrutura - Engenharia
Mecânica – adaptada). Um pilar de aço de seção retangular maciça (0,12m x 0,01m) e
20m de comprimento está engastado em ambas as suas extremidades e é submetido a
um carregamento de compressão, conforme apresentado na imagem a seguir. 
 
Sabendo que o módulo de elasticidade do aço é de E_{a \varsigma \rho}=200 G P a e
considerando