Física 2-13

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Exemplo Resolvido 10: Uma esfera isolante, de raio R, encontra-
se uniformemente carregada em todo o seu volume com uma 
carga total Q. Isso significa que temos cargas elétricas 
uniformemente espalhadas desde o centro da esfera isolante até a 
sua superfície. 
Determine a intensidade do campo elétrico E gerado por essa 
esfera eletrizada em pontos internos à mesma, localizados a uma 
distância genérica x do seu centro, com x  R. 
Q
R
 
 
Se fosse uma esfera condutora, toda a sua carga elétrica se 
distribuiria sobre sua superfície mais externa. Como se trata de 
uma esfera isolante, sua carga elétrica não tem como se 
deslocar, permanecendo uniformemente eletrizada. 
 
Solução: 
Seja o ponto A localizado no interior da esfera a uma distância 
genérica x do seu centro. Conforme o lema estudado 
anteriormente, sabemos que apenas a carga elétrica q contida na 
esfera sombreada de raio x gera campo elétrico no ponto A. 
Q
R
A
x
q
 
 
Entretanto, a carga q da região sombreada é uma fração da carga 
total Q da esfera isolante. Como determinar essa carga q ? Ora, 
como a carga elétrica total Q encontra-se uniformemente 
distribuída em todo o volume da esfera isolante de raio R, podemos 
dizer, por exemplo, que se o volume da esfera cinza de raio x 
fosse a metade do volume total, a sua carga q seria a metade da 
carga elétrica total Q da esfera. Assim, a carga q da região cinza é 
diretamente proporcional ao seu volume, valendo, portanto, a 
seguinte proporção: 
interna aargC
interno Volume
 
total aargC
total Volume
  
q
x.
3
4
 
Q
R.
3
4 33 


 
Assim, determinarmos a carga q contida na região esférica de raio 
genérico x: 
q = 3
3
.x 
R
Q






, válido para 0  x  R 
Finalmente, estamos aptos a determinar o campo elétrico que 
essa carga q gera no ponto A, localizado a uma distância x do 
centro da esfera: 
E = 
2
3
3
22 x
.x 
R
Q
.K
x
q.K
D
q.K






 = .x 
R
Q.K
3 






 
E = .x 
R
Q.K
3 






 , válido para 0  x  R 
 
Assim, sendo K, Q e R constantes, vemos que o campo elétrico E 
gerado no interior dessa esfera (ou seja, para 0  x  R) aumenta 
lineamente com a distância x ao centro da mesma conforme a 
expressão determinada acima. 
Para x = 0 (centro da esfera), temos E = .0 
R
Q.K
3 






  E = 0 
Para x = R, temos E = .x 
R
Q.K
3 






= .R 
R
Q.K
3 






  E = 
2R
Q.K
 
E
X
R
2R
Q.K
0
0
 
Para pontos externos à esfera (x  R), o campo elétrico E 
decresce com o aumento da distância x ao centro da esfera, de 
acordo com a expressão convencional : 
E = 
2X
Q.K
, para x  R 
O gráfico acima mostra o comportamento do campo elétrico E em 
função da distância x ao seu centro tanto para pontos internos à 
esfera quanto para pontos externos à mesma. Note que no interior 
da esfera, a intensidade do campo elétrico uniforme E aumenta 
linearmente com o aumento da distância x, ao passo que fora da 
esfera sua intensidade diminui proporcionalmente a 1/x². 
 
22 - Potencial Criado Por Um Condutor Eletrizado 
 
É importante lembrar que: 
Partículas eletrizadas, abandonadas sob a influência exclusiva de 
um campo elétrico, movimentam-se entre dois pontos quaisquer 
somente se entre eles houver uma diferença de potencial (ddp) 
não-nula. 
 
Quando fornecemos elétrons a um condutor, eletrizamos, 
inicialmente, apenas uma região do mesmo. Nessa região, as 
cargas negativas produzem uma diminuição no potencial, que é 
mais acentuada do que no potencial de regiões mais distantes. A 
diferença de potencial estabelecida é responsável pela 
movimentação dos elétrons para regiões mais distantes, o que 
provoca um aumento no potencial do local onde se encontravam e 
uma diminuição no potencial do local para onde foram. 
 
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-
-
--
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- - - - -
-
-
-
--
-
- --
 
No início No final 
 
Por outro lado, na eletrização positiva são tirados elétrons de uma 
região, provocando um aumento no potencial desse local. Como 
conseqüência, elétrons livres das partículas neutras das regiões 
mais distantes movimentam-se para o local inicialmente eletrizado. 
Tal fato faz surgir cargas positivas nas regiões neutras, diminuindo 
a quantidade de cargas positivas na região eletrizada inicialmente. 
Tudo acontece como se as cargas positivas se movimentassem ao 
longo do condutor. 
-
-
-
+
+++
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+ + + +
+
+
+
+
++
+
+ ++
+
+
+
 
 No início No final 
 
É fácil notar que a movimentação das cargas, no condutor, ocorre 
durante um breve intervalo de tempo, após o que as partículas 
elementares atingem posições tais que a diferença de potencial 
entre dois pontos quaisquer do corpo torna-se nula. Dizemos, 
então, que o condutor atingiu o equilíbrio eletrostático. 
A diferença de potencial (ddp) entre dois pontos quaisquer de um 
condutor em equilíbrio eletrostático é sempre nula. 
Do exposto, conclui-se que, nos pontos internos e na superfície de 
um condutor eletrizado em equilíbrio, o potencial elétrico assume o 
mesmo valor. O potencial assume valores diferentes apenas nos 
pontos externos ao condutor. 
V = Vinterno superfície 
 
Assim, um condutor em equilíbrio eletrostático é uma superfície 
eqüipotencial. 
 
23 - Potencial criado por um condutor esférico isolado 
Suponhamos uma esfera condutora eletrizada em equilíbrio 
eletrostático. O potencial elétrico assume o mesmo valor em todos 
os pontos desse condutor, sejam eles internos ou localizados na 
superfície. 
Para pontos externos à esfera condutora, o potencial varia com a 
distância do ponto considerado ao centro O da esfera. 
Para efeito de cálculo desse potencial, considera-se toda a carga 
elétrica da esfera concentrada em seu centro. Isso, entretanto, só é 
possível devido à simetria da mesma. Assim, tem-se: 
d+
+ +
++
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
r
O
P
 
 
V = V = K
Q
r
interno superfície 
 
V = K
Q
d
externo 
 
 
O gráfico da variação do potencial em função da distância ao 
centro da esfera eletrizada é dado pelo gráfico a seguir: 
d
+
+ +
++
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
r
O
V = K. Q
r
V
-
- -
--
-
--
-
-
-
-
-
-
-
-
r
O
V = K. Q
r
V
 
 
24 - Condutores Esféricos Ligados Entre Si 
Na página 4, exercício resolvido No 1, o prof Renato Brito mostrou 
como se determinar as cargas finais de dois condutores que foram 
encostados entre si, dados os seus raios e as suas cargas elétricas 
iniciais. A seguir, retomamos o mesmo problema no contexto do 
Potencial Elétrico: 
 
Exemplo Resolvido 11 
Sejam duas esferas metálicas A e B, de raios Ra e Rb, 
eletrizadas com cargas, respectivamente, iguais a Qa e Qb. 
 
Qa, Ra Qb, Rb
 
Pede-se determinar : 
a) Os potenciais iniciais de cada esfera. 
b) Os potencial final das esferas, após ligarmos uma à outra. 
c) As cargas finais Qa’ e Qb’ de cada uma. 
 
 
Solução: Seus potenciais iniciais podem ser facilmente calculados 
pelas expressão vista na secção anterior: 
 
Va = 
K Qa
Ra
.
 Vb = 
K Qb
Rb
.
 
 
Mas o que acontece se ligarmos entre si esferas metálicas 
eletrizadas de raios diferentes ? 
 
Figura 29 –Cilindros contendo líquidos em níveis diferentes. Sabemos que o líquido 
fluirá para o cilindro da direita até que seus níveis fiquem à mesma altura, isto é, 
ao mesmo potencial gravitacional Vg = g.h 
 
Para uma perfeita compreensão, façamos uma breve analogia: 
Observe os dois cilindros acima. O potencial gravitacional 
(Vg = g.h) do líquido A está, inicialmente, superior ao do líquido B. 
Assim, ao ligarmos os cilindros através de um cano,o líquido A 
fluirá em direção ao cilindro B, até que seus potenciais 
gravitacionais se tornem iguais (Vga =Vgb), o que, obviamente, 
ocorrerá quando seus níveis estiverem iguais (ha = hb). 
 
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Analogamente, quando conectarmos as esferas através de um fio 
condutor, elétrons fluirão de uma esfera a outra até que seus 
potenciais elétricos se tornem iguais (Va=Vb). 
 
Qa’, Ra Qb’, Rb
 
 
Elétrons fluirão de uma esfera a outra até que seus potenciais elétricos se tornem 
iguais (Va = Vb). Quando a diferença de potencial (ddp) entre tais esferas se anular 
(Va  Vb = 0), cessará a corrente elétrica entre as mesmas e o sistema atingirá o 
equilíbrio eletrostático. 
 
A partir daí, quando a diferença de potencial (U=VaVb) entre as 
tais esferas se anular, cessará a corrente elétrica de uma a outra, e 
o sistema terá atingido o equilíbrio eletrostático. 
 
Sendo Qa’ e Qb’ as cargas finais das esferas A e B após atingido 
o equilíbrio eletrostático, pelo princípio da conservação das cargas, 
podemos escrever: 
 
 Qa + Qb = Qa’ + Qb’ (1) 
Queremos calcular o potencial final VF das esferas. Sobre VF, 
podemos escrever: 
VF = 
K
Ra
. Qa '
 = 
K
Rb
. Qb '
 (2) 
 
Pela propriedade das proporções, podemos reescrever: 
 
VF = 
K
Ra 
. Qa ' + K.Qb '
+ Rb
= 
K Qa
Ra Rb
( ' + Qb ' )

 = 
K Qa
Ra Rb
( + Qb)

= 
 
VF = 
KQa + KQb
Ra +Rb
, mas como temos Va =
K Qa
Ra
.
 e Vb =
K Qb
Rb
.
, 
podemos reescrever: 
 
VF = 
Va
Ra Rb
.Ra + Vb.Rb

 
(3) 
 
A equação (3) é extremamente útil pois expressa o potencial de 
equilíbrio VF das esferas apenas em função de seus potenciais 
iniciais Va e Vb e de seus raios. Pode, facilmente ser memorizada. 
 
Assim, de posse da equação (3), determinamos VF. Substituindo-se 
VF na equação (2), facilmente determinamos Qa’ e Qb’. Confira: 
 VF = 
K
Ra
. Qa '
 = 
K
Rb
. Qb '
 (2) 
 
25 - O Potencial Elétrico Da Terra. 
No estudo da eletrostática, o planeta Terra é considerado uma 
enorme esfera condutora eletrizada negativamente com carga 
elétrica estimada em 600.000 C. 
Sendo o seu de raio de aproximadamente 6.400 km, o potencial 
elétrico da Terra em relação ao infinito, suposta isolada no 
universo, vale: 
VTerra = 8 x 108 V (em relação ao infinito) 
Embora, a rigor, o potencial resultante na Terra sofra influência das 
cargas elétricas dos corpos celestes vizinhos, as cargas elétricas 
separadas pela atividade humana praticamente não produzem 
efeitos sensíveis no seu potencial elétrico. 
Assim, para todos os efeitos, a Terra atua como um padrão 
invariável de potencial elétrico e, portanto, pode ser tomada como 
nível de referência para potenciais elétricos, isto é, podemos 
arbitrar um potencial fixo para a Terra. Qual seria um valor 
interessante de potencial para se adotar para a Terra ? Por 
simplicidade, adotamos VTerra = 0 V. 
Ei, prôfi, e o que aconteceria se 
um condutor isolado de outros 
condutores fosse conectado à 
Terra ? Ela ficaria eletricamente 
neutro ? Por que ?
 
Calminha, Claudete. Se o condutor estiver isolado (ou seja, não 
estiver sofrendo indução eletrostática devido a presença de outras 
cargas ao seu redor), ele realmente se tornará neutro após ser 
conectado à Terra. Para entendermos por que isso ocorre, 
consideraremos três casos possíveis: 
Caso 1 – Condutor Com Potencial Elétrico Positivo 
Estando o corpo isolado eletrizado positivamente com carga +Q, 
ele terá um potencial elétrico positivo +K.Q/R em relação à Terra 
(isto é, Vcorpo > VTerra = 0 ), ou seja, haverá uma ddp entre ele e a 
Terra, o que motivará o aparecimento de uma corrente elétrica 
entre os mesmos. 
Conectando-se o condutor à Terra, elétrons (que têm carga elétrica 
negativa) passarão espontaneamente da Terra para o condutor (do 
potencial menor para o potencial maior). Durante essa passagem, 
o potencial +K.Q/R do corpo vai gradativamente diminuindo 
(+200V, +100V, +50V, +10V) com a chegada de elétrons (visto que 
a carga +Q do condutor vai diminuindo) até que seu potencial se 
iguale ao da Terra, cujo potencial é admitido constante VTerra = 0. 
 
VA > VTerra 
Quando finalmente tivermos Vcorpo = VTerra = 0, não haverá mais 
ddp entre eles e, portanto, não haverá mais corrente elétrica (cessa 
o movimento de elétrons). Dizemos que o sistema “Terra+corpo” 
atingiu o equilíbrio eletrostático. Nesse caso, o anulamento do 
potencial elétrico do condutor obriga o anulamento da sua carga 
elétrica, ou seja, +K.Q/R = 0  Q = 0) 
Note que, quando dois corpos estão em equilíbrio eletrostático 
entre si, eles não precisam ter necessariamente cargas elétricas 
iguais, mas sim, potenciais elétricos iguais. 
Caso 2 – Condutor Com Potencial Elétrico Negativo 
Estando o corpo isolado eletrizado negativamente com carga Q, 
ele terá um potencial elétrico negativo K.Q/R em relação à Terra 
(isto é, Vcorpo < VTerra = 0 ), ou seja, haverá uma ddp entre ele e a 
Terra, o que motivará o aparecimento de uma corrente elétrica 
entre os mesmos. 
 
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Conectando-se o condutor à Terra, elétrons (que têm carga elétrica 
negativa) passarão espontaneamente do condutor para a Terra (do 
potencial menor para o potencial maior). Durante essa passagem, 
o potencial K.Q/R do corpo vai gradativamente aumentando 
(100V, 80V, 40V, 20V, 10V) com a saída de elétrons (visto 
que o módulo da carga do condutor vai diminuindo) até que seu 
potencial se iguale ao potencial da Terra, potencial este admitido 
constante (VTerra = 0 = constante) durante todo o processo. 
 
VB < VTerra 
Quando finalmente tivermos Vcorpo = VTerra = 0, não haverá mais 
ddp entre eles e, portanto, não haverá mais corrente elétrica (cessa 
o movimento de elétrons). Dizemos que o sistema “Terra+corpo” 
atingiu o equilíbrio eletrostático. Nesse caso, o anulamento do 
potencial elétrico do condutor obriga o anulamento da sua carga 
elétrica, ou seja, K.Q/R = 0  Q = 0) 
Caso 3 – Condutor Com Potencial Elétrico Nulo 
Tendo o condutor um potencial elétrico nulo em relação à Terra 
(isto é, Vcorpo = VTerra = 0 ), não há diferença de potencial elétrico 
(ddp) entre eles, portanto, não haverá corrente elétrica. Os elétrons 
não têm motivação para fluir espontaneamente de um corpo ao 
outro. Dizemos que os corpos já estão em equilíbrio eletrostático 
entre si. Em suma, se não houver ddp, não haverá corrente 
elétrica. 
As ligações à Terra são muito usadas para proteger o homem 
contra o perigo de um choque elétrico ou mesmo uma descarga 
elétrica. 
Por exemplo: um pára-raios é sempre aterrado, assim como um 
chuveiro elétrico, uma torneira elétrica, uma máquina de lavar 
roupas. Toda vez que ligamos à Terra uma armadura metálica 
garantimos que o seu potencial elétrico se anula. Assim, se uma 
pessoa que está com os pés no chão (potencial elétrico nulo) tocar 
numa geladeira (cuja superfície metálica também está a um 
potencial nulo, visto que está aterrada), a pessoa jamais tomará 
choque, visto que não haverá ddp para provocar descarga elétrica 
através da pessoa em direção à Terra. Afinal, todos estão no 
mesmo potencial elétrico. 
 
26 - O PáraRaios. 
O objetivo principal de um pára-raios é proteger uma certa região 
ou edifício ou residência, ou semelhante, da ação danosa de um 
raio. Estabelece com ele um percurso seguro, da descarga 
principal, entre a Terra e a nuvem. 
 
Um pára raios consta essencialmente de uma haste metálica 
disposta verticalmente na parte mais alta do edifício a proteger. A 
extremidade superior da haste termina em várias pontas e a inferior 
é ligada à Terra através de um cabo metálico que é introduzido 
profundamente no terreno.Quando uma nuvem eletrizada passa nas proximidades do pára-
raios, ela induz neste cargas de sinal contrário. O campo elétrico 
nas vizinhança das pontas torna-se tão intenso que ioniza o ar e 
força a descarga elétrica através do pára-raios, que proporciona ao 
raio um caminho seguro até a Terra. 
 
27 – Cálculo do Potencial Elétrico de uma Esfera Não-Isolada. 
Seja uma esfera metálica neutra de raio R, com cargas induzidas 
+q e q, na presença de um indutor puntiforme de carga +Q a 
uma distância D do seu centro. 
Para determinar o potencial elétrico da esfera induzida, é suficiente 
determinar o potencial elétrico do seu centro A. Tanto a carga 
indutora +Q, quanto as cargas induzidas q e +q produzem 
potencial no ponto A. Note que estamos admitindo, por 
simplicidade, a esfera induzida como estando neutra (q + q = 0). 
+
+Q
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
D
-q +q
RR
indutor
A
Esfera 
induzida
 
Segundo o prof Renato Brito, o potencial da esfera induzida A é a 
soma dos potenciais elétricos que todas as cargas geram no seu 
centro A. Assim, matematicamente, vem: 
Efeito do 
indutor
R
)q.(K
 
R
)q.(K
 
D
Q.K
 VA






Efeito das 
cargas induzidas
 
A expressão acima nos mostra que, estando o condutor neutro, as 
cargas que aparecem por indução (+q e q) não influenciam o seu 
potencial elétrico resultante. 
Segundo o prof Renato Brito, para determinar o potencial elétrico 
de um condutor esférico neutro na presença de vários indutores ao 
seu redor (logicamente, o condutor esférico estaria sofrendo 
indução), basta determinar somar dos potenciais que cada um 
deles individualmente gera no centro da esfera induzida, conforme 
a expressão a seguir: 
Efeito dos indutores
R
)q.(K
 
R
)q.(K
 .... 
D
Q.K
 
D
Q.K
 
D
Q.K
 V
3
3
2
2
1
1
A




Efeito das 
cargas induzidas 
onde D1, D2, D3 ... são as distância do centro de cada um dos 
indutores ao centro da esfera induzida. 
+
+
+
+
+
-
-
-
-
--q +q
R
Esfera 
induzida
A
Q3
Q1
D1
D2Q2
D3
 
 
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Como as cargas indutoras puntiformes Q1, Q2, Q3 poder sem 
positivas ou negativas, o potencial elétrico resultante da esfera 
induzida terá um sinal algébrico que dependerá tanto dos valores 
das cargas indutoras, quanto da maior ou menor proximidade delas 
ao centro da esfera. Lembre-se que os cálculos acima não são 
feitos em módulos, mas sim, com os respectivos sinais algébricos 
das cargas elétricas. 
Caso a esfera metálica não estivesse neutra, a determinação do 
potencial elétrico da esfera condutora seguiria um raciocínio 
semelhante, como o prof. Renato Brito mostrará a seguir: 
Seja uma esfera condutora com várias cargas q1, q2, q3 ..... qn 
distribuídas sobre sua superfície esférica. Tais cargas podem ter 
sido induzidas ou não, esse fato é irrelevante. Seja qTotal o 
somatório dessas cargas: 
q1 + q2 + q3 + ..... + qn = qTotal 
Note na figura a seguir que a distância de todas as cargas q1, q2, 
q3, q4 ..... qn ao centro da esfera indutora sempre vale R. 
q1
indutores
R
q2
q3
qn
Q1
Q2
Q3
D1
D2
D3
R
 
Sejam D1, D2, D3 as respectivas distâncias dos centro das cargas 
indutoras ao centro da esfera. Segundo o prof Renato Brito, o 
potencial elétrico resultante dessa esfera condutora, nesse caso 
geral, é dado por: 
 
R
)q.(K
 .....
R
)q.(K
R
)q.(K
 ... 
D
Q.K
 
D
Q.K
 
D
Q.K
 V n21
3
3
2
2
1
1
A  
R
)q ... qqq.(K
 ... 
D
Q.K
 
D
Q.K
 
D
Q.K
 V n321
3
3
2
2
1
1
A

 
Sendo q1 + q2 + q3 + ..... + qn = qTotal, vem: 
R
)q.(K
 ... 
D
Q.K
 
D
Q.K
 
D
Q.K
 V Total
3
3
2
2
1
1
A  
 A expressão geral acima mostra que o sinal algébrico do potencial 
elétrico de um condutor sofrendo indução não depende apenas do 
sinal da sua carga total qTotal, mas também dos sinais algébricos 
dos indutores ao seu redor, bem como das distâncias entre eles. 
Assim, o sinal algébrico do potencial elétrico de um condutor 
sofrendo indução (condutor não-isolado) não precisa coincidir com 
o sinal algébrico da carga elétrica total qTotal desse corpo. 
É possível, por exemplo, que um corpo eletrizado negativamente 
esteja a um potencial elétrico positivo, bastando, para isso, que 
haja vários indutores positivos ao seu redor que compensem o 
potencial negativo produzido pela sua carga total qtotal negativa. 
Ei, prôfi, e o que aconteceria se 
uma esfera dessas que está 
sofrendo indução fosse 
conectada à Terra ? Ela também 
ficaria eletricamente neutra ?
 
O processo é semelhante ao explicado nos casos 1, 2 e 3 da 
seção 25 (O Potencial Elétrico da Terra), Claudete. Entretanto, 
conforme veremos a seguir, no equilíbrio eletrostático entre o 
condutor não-isolado (isto é, condutor sofrendo indução) e a Terra, 
ele não ficará mais eletricamente neutro. 
Para entender melhor, considere uma esfera condutora (suposta 
eletricamente neutra por simplicidade) sofrendo indução devido à 
presença de uma carga +Q nas proximidades. 
+
+Q
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
D
-q +q
RR
indutor
induzido
A
Vesfera > 0
Sendo 
+Q uma carga positiva, e estando condutor com carga total nula 
(+q  q = 0), seu potencial elétrico VA nesse caso é positivo e 
dado por: 
Efeito do 
indutor
0 
R
)q.(K
 
R
)q.(K
 
D
Q.K
 VA 






Efeito das 
cargas induzidas
 
Como o potencial VA do condutor esférico é maior que o da Terra 
(Vesfera > VTerra = 0 V), existe uma ddp entre eles, ddp essa que 
motiva o aparecimento de uma corrente elétrica entre os mesmos. 
Elétrons gradativamente subirão da Terra para o condutor (do 
potencial menor para o potencial maior), reduzindo pouco a pouco 
o potencial elétrico do condutor (+100V, +80V, +40V, +20V) até 
que ele se iguale ao potencial elétrico da Terra (suposto constante 
Vterra = 0). 
+
+Q
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
D
-q +qindutor
e
-
R
 
Logicamente, durante esse processo, o condutor (inicialmente 
neutro) se tornará mais e mais eletronegativo, durante a subida dos 
elétrons. 
Quando o equilíbrio eletrostático for finalmente atingido, não 
haverá mais ddp (Vesfera = VTerra = 0) nem corrente elétrica entre a 
Terra e o condutor (que agora estará eletrizado negativamente e 
com potencial elétrico nulo), como mostra a figura a seguir: 
+
+Q
+
+
+
+ +
-
-
-
-
-
D
-qindutor
R
Vesfera = 0
A
 
Podemos, agora, calcular o potencial elétrico do condutor esférico 
da figura acima (calculando o potencial elétrico do seu centro A) e 
igualá-lo a zero.