APOSTILA Matemática, atualidades - CARREIRASBANCÁRIAS

Prévia do material em texto

77
MATEMÁTICA
NÚMEROS INTEIROS, RACIONAIS E REAIS
Conjunto dos números inteiros - z
O conjunto dos números inteiros é a reunião do conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...},(N C Z); o conjunto dos opos-
tos dos números naturais e o zero. Representamos pela letra Z.
N C Z (N está contido em Z)
Subconjuntos:
SÍMBOLO REPRESENTAÇÃO DESCRIÇÃO
* Z* Conjunto dos números inteiros não nulos
+ Z+ Conjunto dos números inteiros não negativos
* e + Z*+ Conjunto dos números inteiros positivos
- Z_ Conjunto dos números inteiros não positivos
* e - Z*_ Conjunto dos números inteiros negativos
Observamos nos números inteiros algumas características: 
• Módulo: distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |. O módulo de 
qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo.
• Números Opostos: dois números são opostos quando sua soma é zero. Isto significa que eles estão a mesma distância da origem 
(zero).
Somando-se temos: (+4) + (-4) = (-4) + (+4) = 0
Operações
• Soma ou Adição: Associamos aos números inteiros positivos a ideia de ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder. 
ATENÇÃO: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser 
dispensado.
MATEMÁTICA
78
• Subtração: empregamos quando precisamos tirar uma quan-
tidade de outra quantidade; temos duas quantidades e queremos 
saber quanto uma delas tem a mais que a outra; temos duas quan-
tidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a 
outra. A subtração é a operação inversa da adição. O sinal sempre 
será do maior número.
ATENÇÃO: todos parênteses, colchetes, chaves, números, ..., 
entre outros, precedidos de sinal negativo, tem o seu sinal inverti-
do, ou seja, é dado o seu oposto.
Exemplo: 
(FUNDAÇÃO CASA – AGENTE EDUCACIONAL – VUNESP) Para 
zelar pelos jovens internados e orientá-los a respeito do uso ade-
quado dos materiais em geral e dos recursos utilizados em ativida-
des educativas, bem como da preservação predial, realizou-se uma 
dinâmica elencando “atitudes positivas” e “atitudes negativas”, no 
entendimento dos elementos do grupo. Solicitou-se que cada um 
classificasse suas atitudes como positiva ou negativa, atribuindo 
(+4) pontos a cada atitude positiva e (-1) a cada atitude negativa. 
Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes 
anotadas, o total de pontos atribuídos foi
(A) 50.
(B) 45.
(C) 42.
(D) 36.
(E) 32.
Resolução:
50-20=30 atitudes negativas
20.4=80
30.(-1)=-30
80-30=50
Resposta: A
• Multiplicação: é uma adição de números/ fatores repetidos. 
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado 
por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.
• Divisão: a divisão exata de um número inteiro por outro nú-
mero inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo 
pelo módulo do divisor.
 
ATENÇÃO:
1) No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa 
e não tem a propriedade da existência do elemento neutro.
2) Não existe divisão por zero.
3) Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, 
é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é igual 
a zero.
Na multiplicação e divisão de números inteiros é muito impor-
tante a REGRA DE SINAIS:
Sinais iguais (+) (+); (-) (-) = resultado sempre positivo.
Sinais diferentes (+) (-); (-) (+) = resultado sempre negativo.
Exemplo: 
(PREF.DE NITERÓI) Um estudante empilhou seus livros, obten-
do uma única pilha 52cm de altura. Sabendo que 8 desses livros 
possui uma espessura de 2cm, e que os livros restantes possuem 
espessura de 3cm, o número de livros na pilha é:
(A) 10
(B) 15
(C) 18
(D) 20
(E) 22
Resolução:
São 8 livros de 2 cm: 8.2 = 16 cm
Como eu tenho 52 cm ao todo e os demais livros tem 3 cm, 
temos:
52 - 16 = 36 cm de altura de livros de 3 cm
36 : 3 = 12 livros de 3 cm
O total de livros da pilha: 8 + 12 = 20 livros ao todo.
Resposta: D
• Potenciação: A potência an do número inteiro a, é definida 
como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a 
base e o número n é o expoente.an = a x a x a x a x ... x a , a é multi-
plicado por a n vezes. Tenha em mente que:
– Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo.
– Toda potência de base negativa e expoente par é um número 
inteiro positivo.
– Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um nú-
mero inteiro negativo.
Propriedades da Potenciação 
1) Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base 
e somam-se os expoentes. (–a)3 . (–a)6 = (–a)3+6 = (–a)9
2) Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a 
base e subtraem-se os expoentes. (-a)8 : (-a)6 = (-a)8 – 6 = (-a)2
3) Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se 
os expoentes. [(-a)5]2 = (-a)5 . 2 = (-a)10
4) Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (-a)1 = -a e 
(+a)1 = +a
5) Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual 
a 1. (+a)0 = 1 e (–b)0 = 1
Conjunto dos números racionais – Q
Um número racional é o que pode ser escrito na forma n
m
, onde 
m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente de zero. 
Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. 
N C Z C Q (N está contido em Z que está contido em Q)
MATEMÁTICA
79
Subconjuntos:
SÍMBOLO REPRESENTAÇÃO DESCRIÇÃO
* Q* Conjunto dos números racionais não nulos
+ Q+ Conjunto dos números racionais não negativos
* e + Q*+ Conjunto dos números racionais positivos
- Q_ Conjunto dos números racionais não positivos
* e - Q*_ Conjunto dos números racionais negativos
Representação decimal 
Podemos representar um número racional, escrito na forma de fração, em número decimal. Para isso temos duas maneiras possíveis:
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos:
5
2
 = 0,4
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente Decimais 
Periódicos ou Dízimas Periódicas:
3
1
 = 0,333... 
Representação Fracionária 
É a operação inversa da anterior. Aqui temos duas maneiras possíveis:
1) Transformando o número decimal em uma fração numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo 
numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado. 
Ex.:
0,035 = 35/1000
2) Através da fração geratriz. Aí temos o caso das dízimas periódicas que podem ser simples ou compostas.
– Simples: o seu período é composto por um mesmo número ou conjunto de números que se repeti infinitamente. 
Exemplos: 
Procedimento: para transformarmos uma dízima periódica simples em fração basta utilizarmos o dígito 9 no denominador para cada 
quantos dígitos tiver o período da dízima.
– Composta: quando a mesma apresenta um ante período que não se repete.
a)
MATEMÁTICA
80
Procedimento: para cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9 no denominador. Mas, agora, para cada algarismo do 
antiperíodo se coloca um algarismo zero, também no denominador.
b)
Procedimento: é o mesmo aplicado ao item “a”, acrescido na frente da parte inteira (fração mista), ao qual transformamos e obtemos 
a fração geratriz.
Exemplo:
(PREF. NITERÓI) Simplificando a expressão abaixo
Obtém-se :
(A) ½
(B) 1
(C) 3/2
(D) 2
(E) 3
Resolução:
Resposta: B
Caraterísticas dos números racionais
O módulo e o número oposto são as mesmas dos números inteiros.
Inverso: dado um número racional a/b o inverso desse número (a/b)–n, é a fração onde o numerador vira denominador e o denomi-
nador numerador (b/a)n.
Representação geométrica 
Observa-se que entre dois inteiros consecutivos existem infinitos números racionais.
MATEMÁTICA
81
Operações
• Soma ou adição: como todo número racional é uma fração 
ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição 
entre os números racionais 
b
a e 
d
c , da mesma forma que a soma 
de frações, através de:
• Subtração: asubtração de dois números racionais p e q é a 
própria operação de adição do número p com o oposto de q, isto é: 
p – q = p + (–q)
ATENÇÃO: Na adição/subtração se o denominador for igual, 
conserva-se os denominadores e efetua-se a operação apresen-
tada.
Exemplo: 
(PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS 
– MAKIYAMA) Na escola onde estudo, ¼ dos alunos tem a língua 
portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a matemática como 
favorita e os demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual 
fração representa os alunos que têm ciências como disciplina favo-
rita? 
(A) 1/4
(B) 3/10
(C) 2/9
(D) 4/5
(E) 3/2
Resolução:
Somando português e matemática:
O que resta gosta de ciências:
Resposta: B
• Multiplicação: como todo número racional é uma fração ou 
pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de 
dois números racionais 
b
a e 
d
c , da mesma forma que o produto de 
frações, através de:
• Divisão: a divisão de dois números racionais p e q é a própria 
operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p 
÷ q = p × q-1
Exemplo:
(PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB) Numa operação 
policial de rotina, que abordou 800 pessoas, verificou-se que 3/4 
dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos. Já entre as 
mulheres abordadas, 1/8 foram detidas.
Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial?
(A) 145
(B) 185
(C) 220
(D) 260
(E) 120
Resolução:
Resposta: A
• Potenciação: é válido as propriedades aplicadas aos núme-
ros inteiros. Aqui destacaremos apenas as que se aplicam aos nú-
meros racionais.
A) Toda potência com expoente negativo de um número ra-
cional diferente de zero é igual a outra potência que tem a base 
igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do 
expoente anterior.
B) Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da 
base.
C) Toda potência com expoente par é um número positivo.
MATEMÁTICA
82
Expressões numéricas
São todas sentenças matemáticas formadas por números, suas 
operações (adições, subtrações, multiplicações, divisões, potencia-
ções e radiciações) e também por símbolos chamados de sinais de 
associação, que podem aparecer em uma única expressão.
Procedimentos
1) Operações:
- Resolvermos primeiros as potenciações e/ou radiciações na 
ordem que aparecem;
- Depois as multiplicações e/ou divisões;
- Por último as adições e/ou subtrações na ordem que apare-
cem.
2) Símbolos: 
- Primeiro, resolvemos os parênteses ( ), até acabarem os cál-
culos dentro dos parênteses, 
-Depois os colchetes [ ]; 
- E por último as chaves { }.
ATENÇÃO: 
– Quando o sinal de adição (+) anteceder um parêntese, col-
chetes ou chaves, deveremos eliminar o parêntese, o colchete ou 
chaves, na ordem de resolução, reescrevendo os números internos 
com os seus sinais originais.
– Quando o sinal de subtração (-) anteceder um parêntese, col-
chetes ou chaves, deveremos eliminar o parêntese, o colchete ou 
chaves, na ordem de resolução, reescrevendo os números internos 
com os seus sinais invertidos.
Exemplo: 
(MANAUSPREV – ANALISTA PREVIDENCIÁRIO – ADMINISTRATI-
VA – FCC) Considere as expressões numéricas, abaixo. 
A = 1/2 + 1/4+ 1/8 + 1/16 + 1/32 e
B = 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243
O valor, aproximado, da soma entre A e B é
(A) 2
(B) 3
(C) 1
(D) 2,5
(E) 1,5
Resolução:
Vamos resolver cada expressão separadamente:
Resposta: E
Múltiplos
Dizemos que um número é múltiplo de outro quando o primei-
ro é resultado da multiplicação entre o segundo e algum número 
natural e o segundo, nesse caso, é divisor do primeiro. O que sig-
nifica que existem dois números, x e y, tal que x é múltiplo de y se 
existir algum número natural n tal que:
x = y·n
Se esse número existir, podemos dizer que y é um divisor de x e 
podemos escrever: x = n/y 
Observações:
1) Todo número natural é múltiplo de si mesmo.
2) Todo número natural é múltiplo de 1.
3) Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos múltiplos.
4) O zero é múltiplo de qualquer número natural.
5) Os múltiplos do número 2 são chamados de números pares, 
e a fórmula geral desses números é 2k (k ∈ N). Os demais são cha-
mados de números ímpares, e a fórmula geral desses números é 2k 
+ 1 (k ∈ N).
6) O mesmo se aplica para os números inteiros, tendo k ∈ Z.
Critérios de divisibilidade
São regras práticas que nos possibilitam dizer se um número é ou 
não divisível por outro, sem que seja necessário efetuarmos a divisão.
No quadro abaixo temos um resumo de alguns dos critérios:
(Fonte: https://www.guiadamatematica.com.br/criterios-de-divisibili-
dade/ - reeditado)
Vale ressaltar a divisibilidade por 7: Um número é divisível por 
7 quando o último algarismo do número, multiplicado por 2, sub-
traído do número sem o algarismo, resulta em um número múltiplo 
de 7. Neste, o processo será repetido a fim de diminuir a quantida-
de de algarismos a serem analisados quanto à divisibilidade por 7.
MATEMÁTICA
83
Outros critérios
Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando é 
divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo.
Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando é 
divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo.
Fatoração numérica
Trata-se de decompor o número em fatores primos. Para de-
compormos este número natural em fatores primos, dividimos o 
mesmo pelo seu menor divisor primo, após pegamos o quociente 
e dividimos o pelo seu menor divisor, e assim sucessivamente até 
obtermos o quociente 1. O produto de todos os fatores primos re-
presenta o número fatorado. Exemplo:
Divisores 
Os divisores de um número n, é o conjunto formado por todos 
os números que o dividem exatamente. Tomemos como exemplo o 
número 12.
Um método para descobrimos os divisores é através da fato-
ração numérica. O número de divisores naturais é igual ao produto 
dos expoentes dos fatores primos acrescidos de 1.
Logo o número de divisores de 12 são:
Para sabermos quais são esses 6 divisores basta pegarmos cada 
fator da decomposição e seu respectivo expoente natural que varia 
de zero até o expoente com o qual o fator se apresenta na decom-
posição do número natural.
12 = 22 . 31 = 
22 = 20,21 e 22 ; 31 = 30 e 31, teremos:
20 . 30=1
20 . 31=3
21 . 30=2
21 . 31=2.3=6
22 . 31=4.3=12
22 . 30=4
O conjunto de divisores de 12 são: D (12)={1, 2, 3, 4, 6, 12}
A soma dos divisores é dada por: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 
Máximo divisor comum (MDC)
É o maior número que é divisor comum de todos os números 
dados. Para o cálculo do MDC usamos a decomposição em fatores 
primos. Procedemos da seguinte maneira:
Após decompor em fatores primos, o MDC é o produto dos FA-
TORES COMUNS obtidos, cada um deles elevado ao seu MENOR 
EXPOENTE. 
Exemplo:
MDC (18,24,42) = 
Observe que os fatores comuns entre eles são: 2 e 3, então 
pegamos os de menores expoentes: 2x3 = 6. Logo o Máximo Divisor 
Comum entre 18,24 e 42 é 6.
Mínimo múltiplo comum (MMC)
É o menor número positivo que é múltiplo comum de todos 
os números dados. A técnica para acharmos é a mesma do MDC, 
apenas com a seguinte ressalva:
O MMC é o produto dos FATORES COMUNS E NÃO-COMUNS, 
cada um deles elevado ao SEU MAIOR EXPOENTE. 
Pegando o exemplo anterior, teríamos:
MMC (18,24,42) = 
Fatores comuns e não-comuns= 2,3 e 7
Com maiores expoentes: 2³x3²x7 = 8x9x7 = 504. Logo o Mínimo 
Múltiplo Comum entre 18,24 e 42 é 504.
Temos ainda que o produto do MDC e MMC é dado por: MDC 
(A,B). MMC (A,B)= A.B
Os cálculos desse tipo de problemas, envolvem adições e sub-
trações, posteriormente as multiplicações e divisões. Depois os pro-
blemas são resolvidos com a utilização dos fundamentos algébricos, 
isto é, criamos equações matemáticas com valores desconhecidos 
(letras). Observe algumas situações que podem ser descritas com 
utilização da álgebra.
É bom ter mente algumas situações que podemos encontrar:
MATEMÁTICA
84
Exemplos:
(PREF. GUARUJÁ/SP – SEDUC – PROFESSOR DE MATEMÁTICA – 
CAIPIMES) Sobre 4 amigos, sabe-se que Clodoaldo é 5 centímetros 
mais alto que Mônica e 10 centímetros maisbaixo que Andreia. Sa-
be-se também que Andreia é 3 centímetros mais alta que Doralice e 
que Doralice não é mais baixa que Clodoaldo. Se Doralice tem 1,70 
metros, então é verdade que Mônica tem, de altura:
(A) 1,52 metros.
(B) 1,58 metros.
(C) 1,54 metros.
(D) 1,56 metros.
Resolução:
Escrevendo em forma de equações, temos:
C = M + 0,05 ( I )
C = A – 0,10 ( II )
A = D + 0,03 ( III )
D não é mais baixa que C
Se D = 1,70 , então:
( III ) A = 1,70 + 0,03 = 1,73
( II ) C = 1,73 – 0,10 = 1,63
( I ) 1,63 = M + 0,05
M = 1,63 – 0,05 = 1,58 m
Resposta: B
(CEFET – AUXILIAR EM ADMINISTRAÇÃO – CESGRANRIO) Em 
três meses, Fernando depositou, ao todo, R$ 1.176,00 em sua ca-
derneta de poupança. Se, no segundo mês, ele depositou R$ 126,00 
a mais do que no primeiro e, no terceiro mês, R$ 48,00 a menos do 
que no segundo, qual foi o valor depositado no segundo mês?
(A) R$ 498,00
(B) R$ 450,00
(C) R$ 402,00
(D) R$ 334,00
(E) R$ 324,00
Resolução:
Primeiro mês = x
Segundo mês = x + 126
Terceiro mês = x + 126 – 48 = x + 78
Total = x + x + 126 + x + 78 = 1176 
3.x = 1176 – 204
x = 972 / 3
x = R$ 324,00 (1º mês)
* No 2º mês: 324 + 126 = R$ 450,00
Resposta: B
(PREFEITURA MUNICIPAL DE RIBEIRÃO PRETO/SP – AGENTE 
DE ADMINISTRAÇÃO – VUNESP) Uma loja de materiais elétricos 
testou um lote com 360 lâmpadas e constatou que a razão entre o 
número de lâmpadas queimadas e o número de lâmpadas boas era 
2 / 7. Sabendo-se que, acidentalmente, 10 lâmpadas boas quebra-
ram e que lâmpadas queimadas ou quebradas não podem ser ven-
didas, então a razão entre o número de lâmpadas que não podem 
ser vendidas e o número de lâmpadas boas passou a ser de
(A) 1 / 4.
(B) 1 / 3.
(C) 2 / 5.
(D) 1 / 2.
(E) 2 / 3.
Resolução: 
Chamemos o número de lâmpadas queimadas de ( Q ) e o nú-
mero de lâmpadas boas de ( B ). Assim:
B + Q = 360 , ou seja, B = 360 – Q ( I )
 , ou seja, 7.Q = 2.B ( II )
Substituindo a equação ( I ) na equação ( II ), temos:
7.Q = 2. (360 – Q)
7.Q = 720 – 2.Q
7.Q + 2.Q = 720
9.Q = 720
Q = 720 / 9
Q = 80 (queimadas)
Como 10 lâmpadas boas quebraram, temos:
Q’ = 80 + 10 = 90 e B’ = 360 – 90 = 270
Resposta: B
Fração é todo número que pode ser escrito da seguinte forma 
a/b, com b≠0. Sendo a o numerador e b o denominador. Uma fra-
ção é uma divisão em partes iguais. Observe a figura:
O numerador indica quantas partes tomamos do total que foi 
dividida a unidade.
O denominador indica quantas partes iguais foi dividida a 
unidade.
Lê-se: um quarto.
Atenção:
• Frações com denominadores de 1 a 10: meios, terços, quar-
tos, quintos, sextos, sétimos, oitavos, nonos e décimos.
• Frações com denominadores potências de 10: décimos, 
centésimos, milésimos, décimos de milésimos, centésimos de 
milésimos etc.
• Denominadores diferentes dos citados anteriormente: Enun-
cia-se o numerador e, em seguida, o denominador seguido da pa-
lavra “avos”.
Tipos de frações
– Frações Próprias: Numerador é menor que o denominador. 
Ex.: 7/15
– Frações Impróprias: Numerador é maior ou igual ao denomi-
nador. Ex.: 7/6
– Frações aparentes: Numerador é múltiplo do denominador. 
As mesmas pertencem também ao grupo das frações impróprias. 
Ex.: 6/3
– Frações mistas: Números compostos de uma parte inteira e 
outra fracionária. Podemos transformar uma fração imprópria na 
forma mista e vice e versa. Ex.: 1 1/12 (um inteiro e um doze avos)
– Frações equivalentes: Duas ou mais frações que apresentam 
a mesma parte da unidade. Ex.: 2/4 = 1/2
– Frações irredutíveis: Frações onde o numerador e o denomi-
nador são primos entre si. Ex.: 5/11 ; 
MATEMÁTICA
85
Operações com frações
• Adição e Subtração 
Com mesmo denominador: Conserva-se o denominador e so-
ma-se ou subtrai-se os numeradores.
Com denominadores diferentes: é necessário reduzir ao mesmo 
denominador através do MMC entre os denominadores. Usamos 
tanto na adição quanto na subtração.
O MMC entre os denominadores (3,2) = 6
• Multiplicação e Divisão
Multiplicação: É produto dos numerados pelos denominadores 
dados. Ex.:
– Divisão: É igual a primeira fração multiplicada pelo inverso da 
segunda fração. Ex.:
Obs.: Sempre que possível podemos simplificar o resultado da 
fração resultante de forma a torna-la irredutível.
Exemplo: 
(EBSERH/HUPES – UFBA – TÉCNICO EM INFORMÁTICA – IADES) 
O suco de três garrafas iguais foi dividido igualmente entre 5 pes-
soas. Cada uma recebeu 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
Resolução:
Se cada garrafa contém X litros de suco, e eu tenho 3 garrafas, 
então o total será de 3X litros de suco. Precisamos dividir essa quan-
tidade de suco (em litros) para 5 pessoas, logo teremos:
Onde x é litros de suco, assim a fração que cada um recebeu de 
suco é de 3/5 de suco da garrafa.
Resposta: B
PROBLEMAS DE CONTAGEM
A Análise Combinatória é a parte da Matemática que desen-
volve meios para trabalharmos com problemas de contagem. Ve-
jamos eles:
Princípio fundamental de contagem (PFC)
É o total de possibilidades de o evento ocorrer.
• Princípio multiplicativo: P1. P2. P3. ... .Pn.(regra do “e”). É 
um princípio utilizado em sucessão de escolha, como ordem.
• Princípio aditivo: P1 + P2 + P3 + ... + Pn. (regra do “ou”). É o 
princípio utilizado quando podemos escolher uma coisa ou outra.
Exemplos: 
(BNB) Apesar de todos os caminhos levarem a Roma, eles pas-
sam por diversos lugares antes. Considerando-se que existem três 
caminhos a seguir quando se deseja ir da cidade A para a cidade 
B, e que existem mais cinco opções da cidade B para Roma, qual a 
quantidade de caminhos que se pode tomar para ir de A até Roma, 
passando necessariamente por B?
(A) Oito.
(B) Dez.
(C) Quinze.
(D) Dezesseis.
(E) Vinte.
Resolução:
Observe que temos uma sucessão de escolhas:
Primeiro, de A para B e depois de B para Roma.
1ª possibilidade: 3 (A para B).
Obs.: o número 3 representa a quantidade de escolhas para a 
primeira opção.
2ª possibilidade: 5 (B para Roma).
Temos duas possibilidades: A para B depois B para Roma, logo, 
uma sucessão de escolhas.
Resultado: 3 . 5 = 15 possibilidades.
Resposta: C.
MATEMÁTICA
86
(PREF. CHAPECÓ/SC – ENGENHEIRO DE TRÂNSITO – IOBV) Em 
um restaurante os clientes têm a sua disposição, 6 tipos de carnes, 
4 tipos de cereais, 4 tipos de sobremesas e 5 tipos de sucos. Se o 
cliente quiser pedir 1 tipo carne, 1 tipo de cereal, 1 tipo de sobre-
mesa e 1 tipo de suco, então o número de opções diferentes com 
que ele poderia fazer o seu pedido, é: 
(A) 19
(B) 480 
(C) 420 
(D) 90
Resolução:
A questão trata-se de princípio fundamental da contagem, logo 
vamos enumerar todas as possibilidades de fazermos o pedido:
6 x 4 x 4 x 5 = 480 maneiras.
Resposta: B.
Fatorial
Sendo n um número natural, chama-se de n! (lê-se: n fatorial) 
a expressão:
n! = n (n - 1) (n - 2) (n - 3). ... .2 . 1, como n ≥ 2.
Exemplos:
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120.
7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5.040.
ATENÇÃO
0! = 1
1! = 1
Tenha cuidado 2! = 2, pois 2 . 1 = 2. E 3! 
Não é igual a 3, pois 3 . 2 . 1 = 6.
Arranjo simples
Arranjo simples de n elementos tomados p a p, onde n>=1 e p 
é um número natural, é qualquer ordenação de p elementos dentre 
os n elementos, em que cada maneira de tomar os elementos se 
diferenciam pela ordem e natureza dos elementos. 
Atenção: Observe que no grupo dos elementos: {1,2,3} um dos 
arranjos formados, com três elementos, 123 é DIFERENTE de 321, e 
assim sucessivamente.
• Sem repetição
A fórmula para cálculo de arranjo simples é dada por:
Onde:
n = Quantidade total de elementos no conjunto.
P =Quantidade de elementos por arranjo
Exemplo: Uma escola possui 18 professores. Entre eles, serão 
escolhidos: um diretor, um vice-diretor e um coordenador pedagó-
gico. Quantas as possibilidades de escolha?
n = 18 (professores)
p = 3 (cargos de diretor, vice-diretor e coordenador pedagógico)
• Com repetição
Os elementos que compõem o conjunto podem aparecer re-
petidos em um agrupamento, ou seja, ocorre a repetição de um 
mesmo elemento em um agrupamento.
A fórmula geral para o arranjo com repetição é representada 
por:
Exemplo:Seja P um conjunto com elementos: P = {A,B,C,D}, 
tomando os agrupamentos de dois em dois, considerando o arranjo 
com repetição quantos agrupamentos podemos obter em relação 
ao conjunto P.
Resolução:
P = {A, B, C, D}
n = 4
p = 2
A(n,p)=np
A(4,2)=42=16
Permutação
É a TROCA DE POSIÇÃO de elementos de uma sequência. Utili-
zamos todos os elementos.
• Sem repetição
Atenção: Todas as questões de permutação simples podem ser 
resolvidas pelo princípio fundamental de contagem (PFC).
Exemplo: 
(PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO – ORIENTADOR SOCIAL – 
IDECAN) Renato é mais velho que Jorge de forma que a razão entre 
o número de anagramas de seus nomes representa a diferença en-
tre suas idades. Se Jorge tem 20 anos, a idade de Renato é 
(A) 24.
(B) 25. 
(C) 26. 
(D) 27.
(E) 28. 
Resolução:
Anagramas de RENATO
_ _ _ _ _ _
6.5.4.3.2.1=720
Anagramas de JORGE
_ _ _ _ _
5.4.3.2.1=120
Razão dos anagramas: 720/120=6
Se Jorge tem 20 anos, Renato tem 20+6=26 anos.
Resposta: C.
• Com repetição
Na permutação com elementos repetidos ocorrem permuta-
ções que não mudam o elemento, pois existe troca de elementos 
iguais. Por isso, o uso da fórmula é fundamental.
MATEMÁTICA
87
Exemplo: 
(CESPE) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de 
uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 
faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas.
( ) Certo 
( ) Errado
Resolução:
Total: 7 faixas, sendo 3 verdes e 3 amarelas.
Resposta: Certo.
• Circular
A permutação circular é formada por pessoas em um formato circular. A fórmula é necessária, pois existem algumas permutações 
realizadas que são iguais. Usamos sempre quando:
a) Pessoas estão em um formato circular.
b) Pessoas estão sentadas em uma mesa quadrada (retangular) de 4 lugares.
Exemplo: 
(CESPE) Uma mesa circular tem seus 6 lugares, que serão ocupados pelos 6 participantes de uma reunião. Nessa situação, o número 
de formas diferentes para se ocupar esses lugares com os participantes da reunião é superior a 102.
( ) Certo
( ) Errado
Resolução:
É um caso clássico de permutação circular.
Pc = (6 - 1) ! = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 possibilidades.
Resposta: CERTO.
Combinação 
Combinação é uma escolha de um grupo, SEM LEVAR EM CONSIDERAÇÃO a ordem dos elementos envolvidos.
• Sem repetição
Dados n elementos distintos, chama-se de combinação simples desses n elementos, tomados p a p, a qualquer agrupamento de p 
elementos distintos, escolhidos entre os n elementos dados e que diferem entre si pela natureza de seus elementos.
Fórmula:
Exemplo: 
(CRQ 2ª REGIÃO/MG – AUXILIAR ADMINISTRATIVO – FUNDEP) Com 12 fiscais, deve-se fazer um grupo de trabalho com 3 deles. Como 
esse grupo deverá ter um coordenador, que pode ser qualquer um deles, o número de maneiras distintas possíveis de se fazer esse grupo 
é:
(A) 4
(B) 660
(C) 1 320
(D) 3 960
MATEMÁTICA
88
Resolução:
Como trata-se de Combinação, usamos a fórmula:
Onde n = 12 e p = 3
Como cada um deles pode ser o coordenado, e no grupo tem 3 pessoas, logo temos 220 x 3 = 660.
Resposta: B.
As questões que envolvem combinação estão relacionadas a duas coisas:
– Escolha de um grupo ou comissões.
– Escolha de grupo de elementos, sem ordem, ou seja, escolha de grupo de pessoas, coisas, objetos ou frutas.
• Com repetição
É uma escolha de grupos, sem ordem, porém, podemos repetir elementos na hora de escolher.
Exemplo: 
Em uma combinação com repetição classe 2 do conjunto {a, b, c}, quantas combinações obtemos?
Utilizando a fórmula da combinação com repetição, verificamos o mesmo resultado sem necessidade de enumerar todas as possibi-
lidades:
n = 3 e p = 2
SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS
O sistema métrico decimal é parte integrante do Sistema de Medidas. É adotado no Brasil tendo como unidade fundamental de me-
dida o metro.
O Sistema de Medidas é um conjunto de medidas usado em quase todo o mundo, visando padronizar as formas de medição.
Medidas de comprimento
Os múltiplos do metro são usados para realizar medição em grandes distâncias, enquanto os submúltiplos para realizar medição em 
pequenas distâncias.
MÚLTIPLOS UNIDADE FUNDAMENTAL SUBMÚLTIPLOS
Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro
km hm Dam m dm cm mm
1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Para transformar basta seguir a tabela seguinte (esta transformação vale para todas as medidas):
MATEMÁTICA
89
Medidas de superfície e área
As unidades de área do sistema métrico correspondem às unidades de comprimento da tabela anterior. 
São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro quadrado (hm2), etc. As mais usadas, na prática, são o quilômetro quadrado, o me-
tro quadrado e o hectômetro quadrado, este muito importante nas atividades rurais com o nome de hectare (ha): 1 hm2 = 1 ha.
No caso das unidades de área, o padrão muda: uma unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 vezes, como nos comprimentos. 
Entretanto, consideramos que o sistema continua decimal, porque 100 = 102. A nomenclatura é a mesma das unidades de comprimento 
acrescidas de quadrado.
Vejamos as relações entre algumas essas unidades que não fazem parte do sistema métrico e as do sistema métrico decimal (valores 
aproximados):
1 polegada = 25 milímetros
1 milha = 1 609 metros
1 légua = 5 555 metros
1 pé = 30 centímetros
Medidas de Volume e Capacidade
Na prática, são muitos usados o metro cúbico(m3) e o centímetro cúbico(cm3). 
Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade vale 1000 vezes a unidade menor seguinte. Como 1000 = 103, o sistema 
continua sendo decimal. Acrescentamos a nomenclatura cúbico.
A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. A unidade fundamental para medir capacidade é o litro (l); 1l equivale a 1 dm3.
Medidas de Massa
O sistema métrico decimal inclui ainda unidades de medidas de massa. A unidade fundamental é o grama(g). Assim as denominamos: 
Kg – Quilograma; hg – hectograma; dag – decagrama; g – grama; dg – decigrama; cg – centigrama; mg – miligrama
Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama e o miligrama. No dia-a-dia, usa-se ainda a tonelada (t). Medidas Especiais:
1 Tonelada(t) = 1000 Kg
1 Arroba = 15 Kg
1 Quilate = 0,2 g
Em resumo temos:
Relações importantes
1 kg = 1l = 1 dm3
1 hm2 = 1 ha = 10.000m2
1 m3 = 1000 l
Exemplos:
(CLIN/RJ - GARI E OPERADOR DE ROÇADEIRA - COSEAC) Uma peça de um determinado tecido tem 30 metros, e para se confeccionar 
uma camisa desse tecido são necessários 15 decímetros. Com duas peças desse tecido é possível serem confeccionadas:
(A) 10 camisas
(B) 20 camisas
(C) 40 camisas
(D) 80 camisas
MATEMÁTICA
90
Resolução:
Como eu quero 2 peças desse tecido e 1 peça possui 30 metros 
logo:
30 . 2 = 60 m. Temos que trabalhar com todas na mesma unida-
de: 1 m é 10dm assim temos 60m . 10 = 600 dm, como cada camisa 
gasta um total de 15 dm, temos então:
600/15 = 40 camisas.
Resposta: C
(CLIN/RJ - GARI E OPERADOR DE ROÇADEIRA - COSEAC) Um 
veículo tem capacidade para transportar duas toneladas de carga. 
Se a carga a ser transportada é de caixas que pesam 4 quilogramas 
cada uma, o veículo tem capacidade de transportar no máximo:
(A) 50 caixas
(B) 100 caixas
(C) 500 caixas
(D) 1000 caixas
Resolução:
Uma tonelada(ton) é 1000 kg, logo 2 ton. 1000kg= 2000 kg
Cada caixa pesa 4kg
2000 kg/ 4kg = 500 caixas.
Resposta: C
RAZÕES E PROPORÇÕES; DIVISÃO PROPORCIONAL
Razão
É uma fração, sendo a e b dois números a sua razão, chama-se 
razão de a para b: a/b ou a:b , assim representados, sendo b ≠ 0. 
Temos que:
Exemplo:
(SEPLAN/GO – PERITO CRIMINAL – FUNIVERSA) Em uma ação 
policial, foram apreendidos 1 traficante e 150 kg de um produto 
parecido com maconha. Na análise laboratorial, o perito constatou 
que o produto apreendido não era maconha pura, isto é, era uma 
mistura da Cannabis sativa com outras ervas. Interrogado, o trafi-
canterevelou que, na produção de 5 kg desse produto, ele usava 
apenas 2 kg da Cannabis sativa; o restante era composto por várias 
“outras ervas”. Nesse caso, é correto afirmar que, para fabricar todo 
o produto apreendido, o traficante usou
(A) 50 kg de Cannabis sativa e 100 kg de outras ervas.
(B) 55 kg de Cannabis sativa e 95 kg de outras ervas.
(C) 60 kg de Cannabis sativa e 90 kg de outras ervas.
(D) 65 kg de Cannabis sativa e 85 kg de outras ervas.
(E) 70 kg de Cannabis sativa e 80 kg de outras ervas.
Resolução:
O enunciado fornece que a cada 5kg do produto temos que 2kg 
da Cannabis sativa e os demais outras ervas. Podemos escrever em 
forma de razão , logo :
Resposta: C
Razões Especiais
São aquelas que recebem um nome especial. Vejamos algu-
mas:
Velocidade: é razão entre a distância percorrida e o tempo gas-
to para percorrê-la.
Densidade: é a razão entre a massa de um corpo e o seu volu-
me ocupado por esse corpo. 
Proporção
É uma igualdade entre duas frações ou duas razões.
Lemos: a esta para b, assim como c está para d.
Ainda temos:
• Propriedades da Proporção
– Propriedade Fundamental: o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos:
a . d = b . c
– A soma/diferença dos dois primeiros termos está para o pri-
meiro (ou para o segundo termo), assim como a soma/diferença 
dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo).
– A soma/diferença dos antecedentes está para a soma/dife-
rença dos consequentes, assim como cada antecedente está para 
o seu consequente.
MATEMÁTICA
91
Exemplo:
(MP/SP – AUXILIAR DE PROMOTORIA I – ADMINISTRATIVO – 
VUNESP) A medida do comprimento de um salão retangular está 
para a medida de sua largura assim como 4 está para 3. No piso 
desse salão, foram colocados somente ladrilhos quadrados inteiros, 
revestindo-o totalmente. Se cada fileira de ladrilhos, no sentido do 
comprimento do piso, recebeu 28 ladrilhos, então o número míni-
mo de ladrilhos necessários para revestir totalmente esse piso foi 
igual a
(A) 588.
(B) 350.
(C) 454.
(D) 476.
(E) 382.
Resolução:
Fazendo C = 28 e substituindo na proporção, temos:
4L = 28 . 3 
L = 84 / 4 
L = 21 ladrilhos
Assim, o total de ladrilhos foi de 28 . 21 = 588
Resposta: A
REGRAS DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTAS
Regra de três simples
Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou 
inversamente proporcionais podem ser resolvidos através de um 
processo prático, chamado REGRA DE TRÊS SIMPLES. 
• Duas grandezas são DIRETAMENTE PROPORCIONAIS quando 
ao aumentarmos/diminuirmos uma a outra também aumenta/di-
minui.
• Duas grandezas são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS quan-
do ao aumentarmos uma a outra diminui e vice-versa.
Exemplos: 
(PM/SP – OFICIAL ADMINISTRATIVO – VUNESP) Em 3 de maio 
de 2014, o jornal Folha de S. Paulo publicou a seguinte informação 
sobre o número de casos de dengue na cidade de Campinas.
De acordo com essas informações, o número de casos regis-
trados na cidade de Campinas, até 28 de abril de 2014, teve um 
aumento em relação ao número de casos registrados em 2007, 
aproximadamente, de
(A) 70%.
(B) 65%.
(C) 60%.
(D) 55%.
(E) 50%.
Resolução:
Utilizaremos uma regra de três simples:
ano %
11442 100
17136 x
11442.x = 17136 . 100 
x = 1713600 / 11442 = 149,8% (aproximado)
149,8% – 100% = 49,8%
Aproximando o valor, teremos 50%
Resposta: E
(PRODAM/AM – AUXILIAR DE MOTORISTA – FUNCAB) Numa 
transportadora, 15 caminhões de mesma capacidade transportam 
toda a carga de um galpão em quatro horas. Se três deles quebras-
sem, em quanto tempo os outros caminhões fariam o mesmo tra-
balho?
(A) 3 h 12 min
(B) 5 h
(C) 5 h 30 min
(D) 6 h
(E) 6 h 15 min
Resolução:
Vamos utilizar uma Regra de Três Simples Inversa, pois, quanto me-
nos caminhões tivermos, mais horas demorará para transportar a carga:
caminhões horas
15 4
(15 – 3) x
12.x = 4 . 15
x = 60 / 12
x = 5 h
Resposta: B
Regra de três composta
Chamamos de REGRA DE TRÊS COMPOSTA, problemas que 
envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou inversamente 
proporcionais.
Exemplos:
(CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO 
– FCC) O trabalho de varrição de 6.000 m² de calçada é feita em 
um dia de trabalho por 18 varredores trabalhando 5 horas por dia. 
Mantendo-se as mesmas proporções, 15 varredores varrerão 7.500 
m² de calçadas, em um dia, trabalhando por dia, o tempo de 
(A) 8 horas e 15 minutos.
(B) 9 horas.
(C) 7 horas e 45 minutos.
(D) 7 horas e 30 minutos.
(E) 5 horas e 30 minutos.
MATEMÁTICA
92
Resolução:
Comparando- se cada grandeza com aquela onde está o x.
M² ↑ varredores ↓ horas ↑
6000 18 5
7500 15 x
Quanto mais a área, mais horas (diretamente proporcionais)
Quanto menos trabalhadores, mais horas (inversamente pro-
porcionais)
Como 0,5 h equivale a 30 minutos, logo o tempo será de 7 ho-
ras e 30 minutos.
Resposta: D
(PREF. CORBÉLIA/PR – CONTADOR – FAUEL) Uma equipe cons-
tituída por 20 operários, trabalhando 8 horas por dia durante 60 
dias, realiza o calçamento de uma área igual a 4800 m². Se essa 
equipe fosse constituída por 15 operários, trabalhando 10 horas 
por dia, durante 80 dias, faria o calçamento de uma área igual a: 
(A) 4500 m²
(B) 5000 m²
(C) 5200 m²
(D) 6000 m²
(E) 6200 m²
Resolução:
Operários ↑ horas ↑ dias ↑ área ↑
20 8 60 4800
15 10 80 x
Todas as grandezas são diretamente proporcionais, logo:
Resposta: D
PORCENTAGENS
São chamadas de razões centesimais ou taxas percentuais ou 
simplesmente de porcentagem, as razões de denominador 100, ou 
seja, que representam a centésima parte de uma grandeza. Costu-
mam ser indicadas pelo numerador seguido do símbolo %. (Lê-se: 
“por cento”).
Exemplo: 
(CÂMARA MUNICIPAL DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS/SP – ANA-
LISTA TÉCNICO LEGISLATIVO – DESIGNER GRÁFICO – VUNESP) O 
departamento de Contabilidade de uma empresa tem 20 funcio-
nários, sendo que 15% deles são estagiários. O departamento de 
Recursos Humanos tem 10 funcionários, sendo 20% estagiários. Em 
relação ao total de funcionários desses dois departamentos, a fra-
ção de estagiários é igual a
(A) 1/5.
(B) 1/6.
(C) 2/5.
(D) 2/9.
(E) 3/5.
Resolução:
Resposta: B
Lucro e Prejuízo em porcentagem
É a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. Se 
a diferença for POSITIVA, temos o LUCRO (L), caso seja NEGATIVA, 
temos PREJUÍZO (P).
Logo: Lucro (L) = Preço de Venda (V) – Preço de Custo (C).
Exemplo: 
(CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – 
FCC) O preço de venda de um produto, descontado um imposto de 
16% que incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de com-
pra em 40%, os quais constituem o lucro líquido do vendedor. Em 
quantos por cento, aproximadamente, o preço de venda é superior 
ao de compra?
(A) 67%.
(B) 61%.
(C) 65%.
(D) 63%.
(E) 69%.
MATEMÁTICA
93
Resolução:
Preço de venda: V
Preço de compra: C
V – 0,16V = 1,4C
0,84V = 1,4C
O preço de venda é 67% superior ao preço de compra.
Resposta: A
Aumento e Desconto em porcentagem
– Aumentar um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por 
Logo:
- Diminuir um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por 
Logo:
Fator de multiplicação
É o valor final de , é o que chamamos de fator de multiplicação, muito útil para resolução de cálculos de 
porcentagem. O mesmo pode ser um acréscimo ou decréscimo no valor do produto.
Aumentos e Descontos sucessivos em porcentagem
São valores que aumentam ou diminuem sucessivamente. Para efetuar os respectivos descontos ou aumentos, fazemos uso dos fato-
res de multiplicação. Basta multiplicarmos o Valor pelo fator de multiplicação (acréscimo e/ou decréscimo).
Exemplo: Certo produto industrial que custava R$ 5.000,00 sofreu um acréscimo de 30% e, em seguida, um desconto de 20%. Qual o 
preço desse produto após esse acréscimo e desconto?
Resolução:
VA = 5000 .(1,3) = 6500 e 
VD = 6500 .(0,80) = 5200, podemos, para agilizar os cálculos, juntar tudo em uma única equação:
5000 . 1,3 . 0,8 = 5200
Logo o preço do produto após o acréscimo e desconto é de R$ 5.200,00
MATEMÁTICA
94
LÓGICA PROPOSICIONAL
Caro(a) candidato(a), para que você possa entendero conteúdo de Álgebra das Proposições (ou Lógica Proposicional), é necessário 
ficar atento a alguns itens que estão diretamente relacionados, muito abordado em concursos. 
Lógica Proposicional é formada por combinação das proposições, que utiliza conectivos lógicos e um sistema de regras de derivação. 
Para isso é necessário estudarmos conceitos de proposições (simples ou atômicas, abertas ou fechadas, etc.), tabela verdade, os ope-
radores lógicos e suas propriedades, implicações lógicas.
Portanto é um amplo conhecimento necessário, assim sendo, esse assunto você poderá encontrar nos conceitos apresentados em 
nosso material.
RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO
Este tipo de raciocínio testa sua habilidade de resolver problemas matemáticos, e é uma forma de medir seu domínio das diferentes 
áreas do estudo da Matemática: Aritmética, Álgebra, leitura de tabelas e gráficos, Probabilidade e Geometria etc. Essa parte consiste nos 
seguintes conteúdos:
- Operação com conjuntos.
- Cálculos com porcentagens.
- Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais.
- Geometria básica.
- Álgebra básica e sistemas lineares.
- Calendários.
- Numeração.
- Razões Especiais.
- Análise Combinatória e Probabilidade.
- Progressões Aritmética e Geométrica.
RACIOCÍNIO LÓGICO DEDUTIVO 
Este tipo de raciocínio está relacionado ao conteúdo Lógica de Argumentação.
ORIENTAÇÕES ESPACIAL E TEMPORAL 
O raciocínio lógico espacial ou orientação espacial envolvem figuras, dados e palitos. O raciocínio lógico temporal ou orientação tem-
poral envolve datas, calendário, ou seja, envolve o tempo.
O mais importante é praticar o máximo de questões que envolvam os conteúdos:
- Lógica sequencial
- Calendários
RACIOCÍNIO VERBAL
Avalia a capacidade de interpretar informação escrita e tirar conclusões lógicas.
Uma avaliação de raciocínio verbal é um tipo de análise de habilidade ou aptidão, que pode ser aplicada ao se candidatar a uma vaga. 
Raciocínio verbal é parte da capacidade cognitiva ou inteligência geral; é a percepção, aquisição, organização e aplicação do conhecimento 
por meio da linguagem.
Nos testes de raciocínio verbal, geralmente você recebe um trecho com informações e precisa avaliar um conjunto de afirmações, 
selecionando uma das possíveis respostas:
A – Verdadeiro (A afirmação é uma consequência lógica das informações ou opiniões contidas no trecho)
B – Falso (A afirmação é logicamente falsa, consideradas as informações ou opiniões contidas no trecho)
C – Impossível dizer (Impossível determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa sem mais informações)
ESTRUTURAS LÓGICAS
Precisamos antes de tudo compreender o que são proposições. Chama-se proposição toda sentença declarativa à qual podemos atri-
buir um dos valores lógicos: verdadeiro ou falso, nunca ambos. Trata-se, portanto, de uma sentença fechada.
Elas podem ser:
• Sentença aberta: quando não se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso para ela (ou valorar a proposição!), portanto, não 
é considerada frase lógica. São consideradas sentenças abertas:
- Frases interrogativas: Quando será prova? - Estudou ontem? – Fez Sol ontem?
- Frases exclamativas: Gol! – Que maravilhoso!
- Frase imperativas: Estude e leia com atenção. – Desligue a televisão.
- Frases sem sentido lógico (expressões vagas, paradoxais, ambíguas, ...): “esta frase é falsa” (expressão paradoxal) – O cachorro do 
meu vizinho morreu (expressão ambígua) – 2 + 5+ 1 
• Sentença fechada: quando a proposição admitir um ÚNICO valor lógico, seja ele verdadeiro ou falso, nesse caso, será considerada 
uma frase, proposição ou sentença lógica.
Proposições simples e compostas
• Proposições simples (ou atômicas): aquela que NÃO contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. As 
proposições simples são designadas pelas letras latinas minúsculas p,q,r, s..., chamadas letras proposicionais.
MATEMÁTICA
95
• Proposições compostas (ou moleculares ou estruturas lógicas): aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições 
simples. As proposições compostas são designadas pelas letras latinas maiúsculas P,Q,R, R..., também chamadas letras proposicionais.
ATENÇÃO: TODAS as proposições compostas são formadas por duas proposições simples.
Proposições Compostas – Conectivos
As proposições compostas são formadas por proposições simples ligadas por conectivos, aos quais formam um valor lógico, que po-
demos vê na tabela a seguir:
OPERAÇÃO CONECTIVO ESTRUTURA LÓGICA TABELA VERDADE
Negação ~ Não p
Conjunção ^ p e q
Disjunção Inclusiva v p ou q
Disjunção Exclusiva v Ou p ou q
Condicional → Se p então q
Bicondicional ↔ p se e somente se q
MATEMÁTICA
96
Em síntese temos a tabela verdade das proposições que facilitará na resolução de diversas questões
Exemplo: 
(MEC – CONHECIMENTOS BÁSICOS PARA OS POSTOS 9,10,11 E 16 – CESPE)
A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela-verdade, em que P, Q e R representam proposições lógicas, e V e F corres-
pondem, respectivamente, aos valores lógicos verdadeiro e falso.
Com base nessas informações e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue o item subsecutivo.
A última coluna da tabela-verdade referente à proposição lógica P v (Q↔R) quando representada na posição horizontal é igual a
( ) Certo 
( ) Errado
Resolução:
P v (Q↔R), montando a tabela verdade temos:
R Q P [ P v (Q ↔ R) ]
V V V V V V V V
V V F F V V V V
V F V V V F F V
V F F F F F F V
F V V V V V F F
F V F F F V F F
F F V V V F V F
F F F F V F V F
Resposta: Certo
Proposição
Conjunto de palavras ou símbolos que expressam um pensamento ou uma ideia de sentido completo. Elas transmitem pensamentos, 
isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados conceitos ou entes.
MATEMÁTICA
97
Valores lógicos 
São os valores atribuídos as proposições, podendo ser uma verdade, se a proposição é verdadeira (V), e uma falsidade, se a proposi-
ção é falsa (F). Designamos as letras V e F para abreviarmos os valores lógicos verdade e falsidade respectivamente.
Com isso temos alguns aximos da lógica:
– PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser verdadeira E falsa ao mesmo tempo.
– PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: toda proposição OU é verdadeira OU é falsa, verificamos sempre um desses casos, NUNCA 
existindo um terceiro caso.
“Toda proposição tem um, e somente um, dos valores, que são: V ou F.”
Classificação de uma proposição
Elas podem ser:
• Sentença aberta: quando não se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso para ela (ou valorar a proposição!), portanto, não 
é considerada frase lógica. São consideradas sentenças abertas:
- Frases interrogativas: Quando será prova? - Estudou ontem? – Fez Sol ontem?
- Frases exclamativas: Gol! – Que maravilhoso!
- Frase imperativas: Estude e leia com atenção. – Desligue a televisão.
- Frases sem sentido lógico (expressões vagas, paradoxais, ambíguas, ...): “esta frase é falsa” (expressão paradoxal) – O cachorro do 
meu vizinho morreu (expressão ambígua) – 2 + 5+ 1 
• Sentença fechada: quando a proposição admitir um ÚNICO valor lógico, seja ele verdadeiro ou falso, nesse caso, será considerada 
uma frase, proposição ou sentença lógica.
Proposições simples e compostas
• Proposições simples (ou atômicas): aquela que NÃO contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. As 
proposições simples são designadas pelas letras latinas minúsculas p,q,r, s..., chamadas letras proposicionais.
Exemplos
r: Thiago é careca.
s: Pedro é professor.
• Proposições compostas (ou moleculares ou estruturas lógicas): aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições 
simples. As proposições compostas são designadas pelas letras latinas maiúsculas P,Q,R, R..., também chamadas letras proposicionais.
Exemplo
P: Thiago é careca e Pedro é professor.
ATENÇÃO: TODAS as proposições compostas são formadas por duas proposições simples.
Exemplos: 
1. (CESPE/UNB) Na lista de frases apresentadas a seguir:
– “A frase dentro destasaspas é uma mentira.”
– A expressão x + y é positiva.
– O valor de √4 + 3 = 7.
– Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.
– O que é isto?
Há exatamente:
(A) uma proposição;
(B) duas proposições;
(C) três proposições;
(D) quatro proposições;
(E) todas são proposições.
Resolução:
Analisemos cada alternativa:
(A) “A frase dentro destas aspas é uma mentira”, não podemos atribuir valores lógicos a ela, logo não é uma sentença lógica.
(B) A expressão x + y é positiva, não temos como atribuir valores lógicos, logo não é sentença lógica. 
(C) O valor de √4 + 3 = 7; é uma sentença lógica pois podemos atribuir valores lógicos, independente do resultado que tenhamos
(D) Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira, também podemos atribuir valores lógicos (não estamos considerando a quantidade 
certa de gols, apenas se podemos atribuir um valor de V ou F a sentença).
(E) O que é isto? - como vemos não podemos atribuir valores lógicos por se tratar de uma frase interrogativa.
Resposta: B.
MATEMÁTICA
98
Conectivos (conectores lógicos) 
Para compôr novas proposições, definidas como composta, a partir de outras proposições simples, usam-se os conectivos. São eles:
OPERAÇÃO CONECTIVO ESTRUTURA LÓGICA TABELA VERDADE
Negação ~ Não p
Conjunção ^ p e q
Disjunção Inclusiva v p ou q
Disjunção Exclusiva v Ou p ou q
Condicional → Se p então q
Bicondicional ↔ p se e somente se q
Exemplo: 
2. (PC/SP - Delegado de Polícia - VUNESP) Os conectivos ou operadores lógicos são palavras (da linguagem comum) ou símbolos (da 
linguagem formal) utilizados para conectar proposições de acordo com regras formais preestabelecidas. Assinale a alternativa que apre-
senta exemplos de conjunção, negação e implicação, respectivamente.
(A) ¬ p, p v q, p ∧ q
(B) p ∧ q, ¬ p, p -> q
(C) p -> q, p v q, ¬ p
(D) p v p, p -> q, ¬ q
(E) p v q, ¬ q, p v q
MATEMÁTICA
99
Resolução:
A conjunção é um tipo de proposição composta e apresenta o 
conectivo “e”, e é representada pelo símbolo ∧. A negação é repre-
sentada pelo símbolo ~ou cantoneira (¬) e pode negar uma proposi-
ção simples (por exemplo: ¬ p ) ou composta. Já a implicação é uma 
proposição composta do tipo condicional (Se, então) é representa-
da pelo símbolo (→).
Resposta: B.
Tabela Verdade 
Quando trabalhamos com as proposições compostas, determi-
namos o seu valor lógico partindo das proposições simples que a 
compõe. O valor lógico de qualquer proposição composta depen-
de UNICAMENTE dos valores lógicos das proposições simples com-
ponentes, ficando por eles UNIVOCAMENTE determinados.
• Número de linhas de uma Tabela Verdade: depende do nú-
mero de proposições simples que a integram, sendo dado pelo se-
guinte teorema:
“A tabela verdade de uma proposição composta com n* pro-
posições simples componentes contém 2n linhas.”
Exemplo:
3. (CESPE/UNB) Se “A”, “B”, “C” e “D” forem proposições sim-
ples e distintas, então o número de linhas da tabela-verdade da pro-
posição (A → B) ↔ (C → D) será igual a:
(A) 2;
(B) 4;
(C) 8;
(D) 16;
(E) 32.
Resolução:
Veja que podemos aplicar a mesma linha do raciocínio acima, 
então teremos: 
Número de linhas = 2n = 24 = 16 linhas.
Resposta D.
Conceitos de Tautologia , Contradição e Contigência 
• Tautologia: possui todos os valores lógicos, da tabela verdade 
(última coluna), V (verdades). 
Princípio da substituição: Seja P (p, q, r, ...) é uma tautologia, 
então P (P0; Q0; R0; ...) também é uma tautologia, quaisquer que 
sejam as proposições P0, Q0, R0, ...
• Contradição: possui todos os valores lógicos, da tabela ver-
dade (última coluna), F (falsidades). A contradição é a negação da 
Tautologia e vice versa. 
Princípio da substituição: Seja P (p, q, r, ...) é uma contradição, 
então P (P0; Q0; R0; ...) também é uma contradição, quaisquer que 
sejam as proposições P0, Q0, R0, ...
• Contingência: possui valores lógicos V e F ,da tabela verdade 
(última coluna). Em outros termos a contingência é uma proposição 
composta que não é tautologia e nem contradição.
Exemplos: 
4. (DPU – ANALISTA – CESPE) Um estudante de direito, com o 
objetivo de sistematizar o seu estudo, criou sua própria legenda, na 
qual identificava, por letras, algumas afirmações relevantes quanto 
à disciplina estudada e as vinculava por meio de sentenças (proposi-
ções). No seu vocabulário particular constava, por exemplo:
P: Cometeu o crime A.
Q: Cometeu o crime B.
R: Será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no 
regime fechado.
S: Poderá optar pelo pagamento de fiança.
Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar 
qual era o crime B, lembrou que ele era inafiançável.
Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item 
que se segue.
A sentença (P→Q)↔((~Q)→(~P)) será sempre verdadeira, in-
dependentemente das valorações de P e Q como verdadeiras ou 
falsas.
( ) Certo 
( ) Errado
Resolução:
Considerando P e Q como V.
(V→V) ↔ ((F)→(F))
(V) ↔ (V) = V
Considerando P e Q como F
(F→F) ↔ ((V)→(V))
(V) ↔ (V) = V
Então concluímos que a afirmação é verdadeira.
Resposta: Certo.
Equivalência
Duas ou mais proposições compostas são equivalentes, quan-
do mesmo possuindo estruturas lógicas diferentes, apresentam a 
mesma solução em suas respectivas tabelas verdade.
Se as proposições P(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) são ambas TAUTOLO-
GIAS, ou então, são CONTRADIÇÕES, então são EQUIVALENTES.
Exemplo: 
5. (VUNESP/TJSP) Uma negação lógica para a afirmação “João é 
rico, ou Maria é pobre” é:
(A) Se João é rico, então Maria é pobre.
(B) João não é rico, e Maria não é pobre.
(C) João é rico, e Maria não é pobre.
(D) Se João não é rico, então Maria não é pobre.
(E) João não é rico, ou Maria não é pobre.
MATEMÁTICA
100
Resolução:
Nesta questão, a proposição a ser negada trata-se da disjunção de duas proposições lógicas simples. Para tal, trocamos o conectivo 
por “e” e negamos as proposições “João é rico” e “Maria é pobre”. Vejam como fica:
Resposta: B.
Leis de Morgan 
Com elas:
– Negamos que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivalendo a afirmar que pelo menos uma é falsa
– Negamos que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira equivalendo a afirmar que ambas são falsas.
ATENÇÃO
As Leis de Morgan exprimem que NEGAÇÃO 
transforma:
CONJUNÇÃO em DISJUNÇÃO
DISJUNÇÃO em CONJUNÇÃO
CONECTIVOS
Para compôr novas proposições, definidas como composta, a partir de outras proposições simples, usam-se os conectivos. 
OPERAÇÃO CONECTIVO ESTRUTURA LÓGICA EXEMPLOS
Negação ~ Não p A cadeira não é azul.
Conjunção ^ p e q Fernando é médico e Nicolas é Engenheiro.
Disjunção Inclusiva v p ou q Fernando é médico ou Nicolas é Engenheiro.
Disjunção Exclusiva v Ou p ou q Ou Fernando é médico ou João é Engenheiro.
Condicional → Se p então q Se Fernando é médico então Nicolas é Engenheiro.
Bicondicional ↔ p se e somente se q Fernando é médico se e somente se Nicolas é Engenheiro.
Conectivo “não” (~)
Chamamos de negação de uma proposição representada por “não p” cujo valor lógico é verdade (V) quando p é falsa e falsidade (F) 
quando p é verdadeira. Assim “não p” tem valor lógico oposto daquele de p. Pela tabela verdade temos:
Conectivo “e” (˄)
Se p e q são duas proposições, a proposição p ˄ q será chamada de conjunção. Para a conjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade:
ATENÇÃO: Sentenças interligadas pelo conectivo “e” possuirão o valor verdadeiro somente quando todas as sentenças, ou argumen-
tos lógicos, tiverem valores verdadeiros.
MATEMÁTICA
101
Conectivo “ou” (v)
Este inclusivo: Elisabete é bonita ou Elisabete é inteligente. 
(Nada impede que Elisabete seja bonita e inteligente).
Conectivo “ou” (v)
Este exclusivo: Elisabete é paulista ou Elisabete é carioca. (Se 
Elisabete é paulista, não será carioca e vice-versa).
• Mais sobre o Conectivo “ou”
– “inclusivo”(considera os dois casos) 
– “exclusivo”(considera apenas um dos casos)
Exemplos:
R: Paulo é professor ou administrador 
S: Maria é jovem ou idosa
No primeiro caso, o “ou” é inclusivo,pois pelo menos uma das 
proposiçõesé verdadeira, podendo ser ambas. 
No caso da segunda, o “ou” é exclusivo, pois somente uma das 
proposições poderá ser verdadeira
Ele pode ser “inclusivo”(considera os dois casos) ou “exclusi-
vo”(considera apenas um dos casos)
Exemplo: 
R: Paulo é professor ou administrador 
S: Maria é jovem ou idosa 
No primeiro caso, o “ou” é inclusivo,pois pelo menos uma das 
proposições é verdadeira, podendo ser ambas. 
No caso da segunda, o “ou” é exclusivo, pois somente uma das 
proposições poderá ser verdadeiro
Conectivo “Se... então” (→)
Se p e q são duas proposições, a proposição p→q é chamada 
subjunção ou condicional. Considere a seguinte subjunção: “Se fizer 
sol, então irei à praia”.
1. Podem ocorrer as situações:
2. Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade)
3. Fez sol e não fui à praia. (Eu menti)
4. Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade)
5. Não fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade, pois eu não dis-
se o que faria se não fizesse sol. Assim, poderia ir ou não ir à praia). 
Temos então sua tabela verdade:
Observe que uma subjunção p→q somente será falsa quando 
a primeira proposição, p, for verdadeira e a segunda, q, for falsa. 
Conectivo “Se e somente se” (↔)
Se p e q são duas proposições, a proposição p↔q1 é chamada 
bijunção ou bicondicional, que também pode ser lida como: “p é 
condição necessária e suficiente para q” ou, ainda, “q é condição 
necessária e suficiente para p”.
Considere, agora, a seguinte bijunção: “Irei à praia se e somen-
te se fizer sol”. Podem ocorrer as situações:
1. Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade)
2. Fez sol e não fui à praia. (Eu menti)
3. Não fez sol e fui à praia. (Eu menti)
4. Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade). Sua tabela 
verdade:
Observe que uma bicondicional só é verdadeira quando as pro-
posições formadoras são ambas falsas ou ambas verdadeiras.
ATENÇÃO: O importante sobre os conectivos é ter em mente a 
tabela de cada um deles, para que assim você possa resolver qual-
quer questão referente ao assunto.
Ordem de precedência dos conectivos:
O critério que especifica a ordem de avaliação dos conectivos 
ou operadores lógicos de uma expressão qualquer. A lógica mate-
mática prioriza as operações de acordo com a ordem listadas:
Em resumo:
MATEMÁTICA
102
Exemplo: 
(PC/SP - DELEGADO DE POLÍCIA - VUNESP) Os conectivos ou 
operadores lógicos são palavras (da linguagem comum) ou símbo-
los (da linguagem formal) utilizados para conectar proposições de 
acordo com regras formais preestabelecidas. Assinale a alternativa 
que apresenta exemplos de conjunção, negação e implicação, res-
pectivamente.
(A) ¬ p, p v q, p ∧ q
(B) p ∧ q, ¬ p, p -> q
(C) p -> q, p v q, ¬ p
(D) p v p, p -> q, ¬ q
(E) p v q, ¬ q, p v q
Resolução:
A conjunção é um tipo de proposição composta e apresenta o 
conectivo “e”, e é representada pelo símbolo ∧. A negação é repre-
sentada pelo símbolo ~ou cantoneira (¬) e pode negar uma proposi-
ção simples (por exemplo: ¬ p ) ou composta. Já a implicação é uma 
proposição composta do tipo condicional (Se, então) é representa-
da pelo símbolo (→).
Resposta: B
CONTRADIÇÕES
São proposições compostas formadas por duas ou mais propo-
sições onde seu valor lógico é sempre FALSO, independentemente 
do valor lógico das proposições simples que a compõem. Vejamos:
A proposição: p ̂ ~p é uma contradição, conforme mostra a sua 
tabela-verdade:
Exemplo: 
(PEC-FAZ) Conforme a teoria da lógica proposicional, a propo-
sição ~P ∧ P é:
(A) uma tautologia.
(B) equivalente à proposição ~p ∨ p.
(C) uma contradição.
(D) uma contingência.
(E) uma disjunção. 
Resolução:
Montando a tabela teremos que:
P ~p ~p ^p
V F F
V F F
F V F
F V F
Como todos os valores são Falsidades (F) logo estamos diante 
de uma CONTRADIÇÃO.
Resposta: C
A proposição P(p,q,r,...) implica logicamente a proposição Q(p,-
q,r,...) quando Q é verdadeira todas as vezes que P é verdadeira. 
Representamos a implicação com o símbolo “⇒”, simbolicamente 
temos:
P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...).
ATENÇÃO: Os símbolos “→” e “⇒” são completamente distin-
tos. O primeiro (“→”) representa a condicional, que é um conec-
tivo. O segundo (“⇒”) representa a relação de implicação lógica 
que pode ou não existir entre duas proposições. 
Exemplo:
Observe: 
- Toda proposição implica uma Tautologia: 
- Somente uma contradição implica uma contradição: 
Propriedades 
• Reflexiva: 
– P(p,q,r,...) ⇒ P(p,q,r,...)
– Uma proposição complexa implica ela mesma.
• Transitiva: 
– Se P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...) e
 Q(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...), então
 P(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...)
– Se P ⇒ Q e Q ⇒ R, então P ⇒ R
Regras de Inferência
• Inferência é o ato ou processo de derivar conclusões lógicas 
de proposições conhecidas ou decididamente verdadeiras. Em ou-
tras palavras: é a obtenção de novas proposições a partir de propo-
sições verdadeiras já existentes.
Regras de Inferência obtidas da implicação lógica
• Silogismo Disjuntivo
MATEMÁTICA
103
• Modus Ponens
• Modus Tollens
Tautologias e Implicação Lógica
• Teorema
P(p,q,r,..) ⇒ Q(p,q,r,...) se e somente se P(p,q,r,...) → Q(p,q,r,...)
Observe que:
→ indica uma operação lógica entre as proposições. Ex.: das 
proposições p e q, dá-se a nova proposição p → q.
⇒ indica uma relação. Ex.: estabelece que a condicional P → 
Q é tautológica.
Inferências
• Regra do Silogismo Hipotético
Princípio da inconsistência
– Como “p ^ ~p → q” é tautológica, subsiste a implicação lógica 
p ^ ~p ⇒ q
– Assim, de uma contradição p ^ ~p se deduz qualquer propo-
sição q.
A proposição “(p ↔ q) ^ p” implica a proposição “q”, pois a 
condicional “(p ↔ q) ^ p → q” é tautológica.
Lógica de primeira ordem
Existem alguns tipos de argumentos que apresentam proposi-
ções com quantificadores. Numa proposição categórica, é impor-
tante que o sujeito se relacionar com o predicado de forma coeren-
te e que a proposição faça sentido, não importando se é verdadeira 
ou falsa.
Vejamos algumas formas:
- Todo A é B.
- Nenhum A é B.
- Algum A é B.
- Algum A não é B.
Onde temos que A e B são os termos ou características dessas 
proposições categóricas.
• Classificação de uma proposição categórica de acordo com 
o tipo e a relação
Elas podem ser classificadas de acordo com dois critérios fun-
damentais: qualidade e extensão ou quantidade.
– Qualidade: O critério de qualidade classifica uma proposição 
categórica em afirmativa ou negativa.
– Extensão: O critério de extensão ou quantidade classifica 
uma proposição categórica em universal ou particular. A classifica-
ção dependerá do quantificador que é utilizado na proposição. 
Entre elas existem tipos e relações de acordo com a qualidade 
e a extensão, classificam-se em quatro tipos, representados pelas 
letras A, E, I e O.
• Universal afirmativa (Tipo A) – “TODO A é B”
Teremos duas possibilidades.
Tais proposições afirmam que o conjunto “A” está contido no 
conjunto “B”, ou seja, que todo e qualquer elemento de “A” é tam-
bém elemento de “B”. Observe que “Toda A é B” é diferente de 
“Todo B é A”.
• Universal negativa (Tipo E) – “NENHUM A é B”
Tais proposições afirmam que não há elementos em comum 
entre os conjuntos “A” e “B”. Observe que “nenhum A é B” é o mes-
mo que dizer “nenhum B é A”.
MATEMÁTICA
104
Podemos representar esta universal negativa pelo seguinte dia-
grama (A ∩ B = ø):
• Particular afirmativa (Tipo I) - “ALGUM A é B”
Podemos ter 4 diferentes situações para representar esta pro-
posição:
Essas proposições Algum A é B estabelecem que o conjunto “A” 
tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto “B”. Con-
tudo, quando dizemos que Algum A é B, presumimos que nem todo 
A é B. Observe “Algum A é B” é o mesmo que “Algum B é A”. 
• Particular negativa (Tipo O) - “ALGUM A não é B”
Se a proposição Algum A não é B é verdadeira, temos as três 
representações possíveis:
Proposições nessa forma: Algum A não é B estabelecem que o 
conjunto “A” tem pelo menos um elemento que não pertence ao 
conjunto “B”. Observe que: Algum A não é B não significa o mesmoque Algum B não é A.
• Negação das Proposições Categóricas
Ao negarmos uma proposição categórica, devemos observar as 
seguintes convenções de equivalência:
– Ao negarmos uma proposição categórica universal geramos 
uma proposição categórica particular.
– Pela recíproca de uma negação, ao negarmos uma proposição 
categórica particular geramos uma proposição categórica universal.
– Negando uma proposição de natureza afirmativa geramos, 
sempre, uma proposição de natureza negativa; e, pela recíproca, 
negando uma proposição de natureza negativa geramos, sempre, 
uma proposição de natureza afirmativa.
Em síntese:
Exemplos: 
(DESENVOLVE/SP - CONTADOR - VUNESP) Alguns gatos não 
são pardos, e aqueles que não são pardos miam alto. 
Uma afirmação que corresponde a uma negação lógica da afir-
mação anterior é:
(A) Os gatos pardos miam alto ou todos os gatos não são par-
dos.
(B) Nenhum gato mia alto e todos os gatos são pardos.
(C) Todos os gatos são pardos ou os gatos que não são pardos 
não miam alto.
(D) Todos os gatos que miam alto são pardos.
(E) Qualquer animal que mia alto é gato e quase sempre ele é 
pardo.
Resolução:
Temos um quantificador particular (alguns) e uma proposição 
do tipo conjunção (conectivo “e”). Pede-se a sua negação. 
O quantificador existencial “alguns” pode ser negado, seguindo 
o esquema, pelos quantificadores universais (todos ou nenhum). 
Logo, podemos descartar as alternativas A e E.
A negação de uma conjunção se faz através de uma disjunção, 
em que trocaremos o conectivo “e” pelo conectivo “ou”. Descarta-
mos a alternativa B.
Vamos, então, fazer a negação da frase, não esquecendo de 
que a relação que existe é: Algum A é B, deve ser trocado por: Todo 
A é não B.
Todos os gatos que são pardos ou os gatos (aqueles) que não 
são pardos NÃO miam alto.
Resposta: C
(CBM/RJ - CABO TÉCNICO EM ENFERMAGEM - ND) Dizer que a 
afirmação “todos os professores é psicólogos” e falsa, do ponto de 
vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira
(A) Todos os não psicólogos são professores.
(B) Nenhum professor é psicólogo.
(C) Nenhum psicólogo é professor.
(D) Pelo menos um psicólogo não é professor.
(E) Pelo menos um professor não é psicólogo.
Resolução:
Se a afirmação é falsa a negação será verdadeira. Logo, a nega-
ção de um quantificador universal categórico afirmativo se faz atra-
vés de um quantificador existencial negativo. Logo teremos: Pelo 
menos um professor não é psicólogo.
Resposta: E
MATEMÁTICA
105
• Equivalência entre as proposições
Basta usar o triângulo a seguir e economizar um bom tempo na 
resolução de questões.
Exemplo: 
(PC/PI - ESCRIVÃO DE POLÍCIA CIVIL - UESPI) Qual a negação 
lógica da sentença “Todo número natural é maior do que ou igual 
a cinco”?
(A) Todo número natural é menor do que cinco.
(B) Nenhum número natural é menor do que cinco.
(C) Todo número natural é diferente de cinco.
(D) Existe um número natural que é menor do que cinco.
(E) Existe um número natural que é diferente de cinco.
Resolução:
Do enunciado temos um quantificador universal (Todo) e pede-
-se a sua negação. 
O quantificador universal todos pode ser negado, seguindo o 
esquema abaixo, pelo quantificador algum, pelo menos um, existe 
ao menos um, etc. Não se nega um quantificador universal com To-
dos e Nenhum, que também são universais.
Portanto, já podemos descartar as alternativas que trazem 
quantificadores universais (todo e nenhum). Descartamos as alter-
nativas A, B e C. 
Seguindo, devemos negar o termo: “maior do que ou igual a 
cinco”. Negaremos usando o termo “MENOR do que cinco”.
Obs.: maior ou igual a cinco (compreende o 5, 6, 7...) ao ser 
negado passa a ser menor do que cinco (4, 3, 2,...).
Resposta: D
Diagramas lógicos
Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários proble-
mas. É uma ferramenta para resolvermos problemas que envolvam 
argumentos dedutivos, as quais as premissas deste argumento po-
dem ser formadas por proposições categóricas. 
ATENÇÃO: É bom ter um conhecimento sobre conjuntos para 
conseguir resolver questões que envolvam os diagramas lógicos.
Vejamos a tabela abaixo as proposições categóricas:
TIPO PREPOSIÇÃO DIAGRAMAS
A TODO A é B
Se um elemento pertence ao conjunto A, 
então pertence também a B.
E NENHUMA é B
Existe pelo menos um elemento que pertence 
a A, então não pertence a B, e vice-versa.
I ALGUM A é B
Existe pelo menos um elemento comum aos 
conjuntos A e B.
Podemos ainda representar das seguintes for-
mas:
O ALGUM A NÃO é B
Perceba-se que, nesta sentença, a atenção está 
sobre o(s) elemento (s) de A que não são B (en-
quanto que, no “Algum A é B”, a atenção estava 
sobre os que eram B, ou seja, na intercessão).
Temos também no segundo caso, a diferença en-
tre conjuntos, que forma o conjunto A - B
MATEMÁTICA
106
Exemplo: 
(GDF–ANALISTA DE ATIVIDADES CULTURAIS ADMINISTRAÇÃO 
– IADES) Considere as proposições: “todo cinema é uma casa de 
cultura”, “existem teatros que não são cinemas” e “algum teatro é 
casa de cultura”. Logo, é correto afirmar que 
(A) existem cinemas que não são teatros. 
(B) existe teatro que não é casa de cultura. 
(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro. 
(D) existe casa de cultura que não é cinema. 
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema.
Resolução:
Vamos chamar de:
Cinema = C
Casa de Cultura = CC
Teatro = T
Analisando as proposições temos:
- Todo cinema é uma casa de cultura 
- Existem teatros que não são cinemas
- Algum teatro é casa de cultura
Visto que na primeira chegamos à conclusão que C = CC
Segundo as afirmativas temos:
(A) existem cinemas que não são teatros- Observando o último 
diagrama vimos que não é uma verdade, pois temos que existe pelo 
menos um dos cinemas é considerado teatro.
(B) existe teatro que não é casa de cultura. – Errado, pelo mes-
mo princípio acima. 
(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro. – Errado, 
a primeira proposição já nos afirma o contrário. O diagrama nos 
afirma isso
(D) existe casa de cultura que não é cinema. – Errado, a justifi-
cativa é observada no diagrama da alternativa anterior.
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema. – Cor-
reta, que podemos observar no diagrama abaixo, uma vez que todo 
cinema é casa de cultura. Se o teatro não é casa de cultura também 
não é cinema.
Resposta: E
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO
Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de propo-
sições iniciais redunda em outra proposição final, que será conse-
quência das primeiras. Ou seja, argumento é a relação que associa 
um conjunto de proposições P1, P2,... Pn , chamadas premissas do 
argumento, a uma proposição Q, chamada de conclusão do argu-
mento.
Exemplo:
P1: Todos os cientistas são loucos.
P2: Martiniano é louco.
Q: Martiniano é um cientista.
O exemplo dado pode ser chamado de Silogismo (argumento 
formado por duas premissas e a conclusão).
A respeito dos argumentos lógicos, estamos interessados em 
verificar se eles são válidos ou inválidos! Então, passemos a enten-
der o que significa um argumento válido e um argumento inválido.
Argumentos Válidos 
Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem 
construído), quando a sua conclusão é uma consequência obrigató-
ria do seu conjunto de premissas.
MATEMÁTICA
107
Exemplo: 
O silogismo...
P1: Todos os homens são pássaros.
P2: Nenhum pássaro é animal.
Q: Portanto, nenhum homem é animal.
... está perfeitamente bem construído, sendo, portanto, um 
argumento válido, muito embora a veracidade das premissas e da 
conclusão sejam totalmente questionáveis.
ATENÇÃO: O que vale é a CONSTRUÇÃO, E NÃO O SEU CON-
TEÚDO! Se a construção está perfeita, então o argumento é válido, 
independentemente do conteúdo das premissas ou da conclusão!
• Como saber se um determinado argumento é mesmo váli-
do? 
Para se comprovar a validade de um argumento é utilizando 
diagramas de conjuntos (diagramas de Venn). Trata-se de um mé-
todo muito útil e que será usado com frequência em questões que 
pedema verificação da validade de um argumento. Vejamos como 
funciona, usando o exemplo acima. Quando se afirma, na premissa 
P1, que “todos os homens são pássaros”, poderemos representar 
essa frase da seguinte maneira:
Observem que todos os elementos do conjunto menor (ho-
mens) estão incluídos, ou seja, pertencem ao conjunto maior (dos 
pássaros). E será sempre essa a representação gráfica da frase 
“Todo A é B”. Dois círculos, um dentro do outro, estando o círculo 
menor a representar o grupo de quem se segue à palavra TODO. 
Na frase: “Nenhum pássaro é animal”. Observemos que a pa-
lavra-chave desta sentença é NENHUM. E a ideia que ela exprime é 
de uma total dissociação entre os dois conjuntos.
Será sempre assim a representação gráfica de uma sentença “Ne-
nhum A é B”: dois conjuntos separados, sem nenhum ponto em comum. 
Tomemos agora as representações gráficas das duas premissas 
vistas acima e as analisemos em conjunto. Teremos:
Comparando a conclusão do nosso argumento, temos:
NENHUM homem é animal – com o desenho das premissas 
será que podemos dizer que esta conclusão é uma consequência 
necessária das premissas? Claro que sim! Observemos que o con-
junto dos homens está totalmente separado (total dissociação!) do 
conjunto dos animais. Resultado: este é um argumento válido!
Argumentos Inválidos
Dizemos que um argumento é inválido – também denominado 
ilegítimo, mal construído, falacioso ou sofisma – quando a verdade das 
premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. 
Exemplo:
P1: Todas as crianças gostam de chocolate.
P2: Patrícia não é criança.
Q: Portanto, Patrícia não gosta de chocolate.
Este é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as 
premissas não garantem (não obrigam) a verdade da conclusão. Patrícia 
pode gostar de chocolate mesmo que não seja criança, pois a primeira 
premissa não afirmou que somente as crianças gostam de chocolate.
Utilizando os diagramas de conjuntos para provar a validade 
do argumento anterior, provaremos, utilizando-nos do mesmo arti-
fício, que o argumento em análise é inválido. Comecemos pela pri-
meira premissa: “Todas as crianças gostam de chocolate”. 
Analisemos agora o que diz a segunda premissa: “Patrícia não é 
criança”. O que temos que fazer aqui é pegar o diagrama acima (da 
primeira premissa) e nele indicar onde poderá estar localizada a Pa-
trícia, obedecendo ao que consta nesta segunda premissa. Vemos 
facilmente que a Patrícia só não poderá estar dentro do círculo das 
crianças. É a única restrição que faz a segunda premissa! Isto posto, 
concluímos que Patrícia poderá estar em dois lugares distintos do 
diagrama: 
1º) Fora do conjunto maior; 
2º) Dentro do conjunto maior. Vejamos:
Finalmente, passemos à análise da conclusão: “Patrícia não 
gosta de chocolate”. Ora, o que nos resta para sabermos se este ar-
gumento é válido ou não, é justamente confirmar se esse resultado 
(se esta conclusão) é necessariamente verdadeiro!
MATEMÁTICA
108
- É necessariamente verdadeiro que Patrícia não gosta de chocolate? Olhando para o desenho acima, respondemos que não! Pode 
ser que ela não goste de chocolate (caso esteja fora do círculo), mas também pode ser que goste (caso esteja dentro do círculo)! Enfim, o 
argumento é inválido, pois as premissas não garantiram a veracidade da conclusão!
Métodos para validação de um argumento
Aprenderemos a seguir alguns diferentes métodos que nos possibilitarão afirmar se um argumento é válido ou não!
1º) Utilizando diagramas de conjuntos: esta forma é indicada quando nas premissas do argumento aparecem as palavras TODO, AL-
GUM E NENHUM, ou os seus sinônimos: cada, existe um etc.
2º) Utilizando tabela-verdade: esta forma é mais indicada quando não for possível resolver pelo primeiro método, o que ocorre quan-
do nas premissas não aparecem as palavras todo, algum e nenhum, mas sim, os conectivos “ou” , “e”, “” e “↔”. Baseia-se na construção 
da tabela-verdade, destacando-se uma coluna para cada premissa e outra para a conclusão. Este método tem a desvantagem de ser mais 
trabalhoso, principalmente quando envolve várias proposições simples.
3º) Utilizando as operações lógicas com os conectivos e considerando as premissas verdadeiras.
Por este método, fácil e rapidamente demonstraremos a validade de um argumento. Porém, só devemos utilizá-lo na impossibilidade 
do primeiro método.
Iniciaremos aqui considerando as premissas como verdades. Daí, por meio das operações lógicas com os conectivos, descobriremos o 
valor lógico da conclusão, que deverá resultar também em verdade, para que o argumento seja considerado válido.
4º) Utilizando as operações lógicas com os conectivos, considerando premissas verdadeiras e conclusão falsa.
É indicado este caminho quando notarmos que a aplicação do terceiro método não possibilitará a descoberta do valor lógico da con-
clusão de maneira direta, mas somente por meio de análises mais complicadas.
Em síntese:
MATEMÁTICA
109
Exemplo: 
Diga se o argumento abaixo é válido ou inválido:
(p ∧ q) → r
_____~r_______
~p ∨ ~q
Resolução:
-1ª Pergunta) O argumento apresenta as palavras todo, algum 
ou nenhum?
A resposta é não! Logo, descartamos o 1º método e passamos 
à pergunta seguinte.
- 2ª Pergunta) O argumento contém no máximo duas proposi-
ções simples?
A resposta também é não! Portanto, descartamos também o 
2º método. 
- 3ª Pergunta) Há alguma das premissas que seja uma proposi-
ção simples ou uma conjunção?
A resposta é sim! A segunda proposição é (~r). Podemos optar 
então pelo 3º método? Sim, perfeitamente! Mas caso queiramos 
seguir adiante com uma próxima pergunta, teríamos:
- 4ª Pergunta) A conclusão tem a forma de uma proposição 
simples ou de uma disjunção ou de uma condicional? A resposta 
também é sim! Nossa conclusão é uma disjunção! Ou seja, caso 
queiramos, poderemos utilizar, opcionalmente, o 4º método!
Vamos seguir os dois caminhos: resolveremos a questão pelo 
3º e pelo 4º métodos.
Resolução pelo 3º Método
Considerando as premissas verdadeiras e testando a conclusão 
verdadeira. Teremos:
- 2ª Premissa) ~r é verdade. Logo: r é falsa!
- 1ª Premissa) (p ∧ q)r é verdade. Sabendo que r é falsa, 
concluímos que (p ∧ q) tem que ser também falsa. E quando uma 
conjunção (e) é falsa? Quando uma das premissas for falsa ou am-
bas forem falsas. Logo, não é possível determinamos os valores 
lógicos de p e q. Apesar de inicialmente o 3º método se mostrar 
adequado, por meio do mesmo, não poderemos determinar se o 
argumento é ou NÃO VÁLIDO.
Resolução pelo 4º Método
Considerando a conclusão falsa e premissas verdadeiras. Tere-
mos:
- Conclusão) ~p v ~q é falso. Logo: p é verdadeiro e q é verda-
deiro!
Agora, passamos a testar as premissas, que são consideradas 
verdadeiras! Teremos:
- 1ª Premissa) (p∧q)r é verdade. Sabendo que p e q são ver-
dadeiros, então a primeira parte da condicional acima também é 
verdadeira. Daí resta que a segunda parte não pode ser falsa. Logo: 
r é verdadeiro.
- 2ª Premissa) Sabendo que r é verdadeiro, teremos que ~r é 
falso! Opa! A premissa deveria ser verdadeira, e não foi!
Neste caso, precisaríamos nos lembrar de que o teste, aqui no 
4º método, é diferente do teste do 3º: não havendo a existência si-
multânea da conclusão falsa e premissas verdadeiras, teremos que 
o argumento é válido! Conclusão: o argumento é válido!
Exemplos: 
(DPU – AGENTE ADMINISTRATIVO – CESPE) Considere que as 
seguintes proposições sejam verdadeiras.
• Quando chove, Maria não vai ao cinema.
• Quando Cláudio fica em casa, Maria vai ao cinema.
• Quando Cláudio sai de casa, não faz frio.
• Quando Fernando está estudando, não chove.
• Durante a noite, faz frio.
Tendo como referência as proposições apresentadas, julgue o 
item subsecutivo.
Se Maria foi ao cinema, então Fernando estava estudando.
( ) Certo 
( ) Errado
Resolução:
A questão trata-se de lógica de argumentação, dadas as pre-
missas chegamos a uma conclusão. Enumerando as premissas: 
A = Chove
B = Maria vai ao cinema
C = Cláudiofica em casa
D = Faz frio
E = Fernando está estudando
F = É noite
A argumentação parte que a conclusão deve ser (V) 
Lembramos a tabela verdade da condicional:
A condicional só será F quando a 1ª for verdadeira e a 2ª falsa, 
utilizando isso temos:
O que se quer saber é: Se Maria foi ao cinema, então Fernando 
estava estudando. // B → ~E
Iniciando temos:
4º - Quando chove (F), Maria não vai ao cinema. (F) // A → ~B 
= V – para que o argumento seja válido temos que Quando chove 
tem que ser F.
3º - Quando Cláudio fica em casa (V), Maria vai ao cinema (V). 
// C → B = V - para que o argumento seja válido temos que Maria 
vai ao cinema tem que ser V.
2º - Quando Cláudio sai de casa(F), não faz frio (F). // ~C → ~D 
= V - para que o argumento seja válido temos que Quando Cláudio 
sai de casa tem que ser F.
5º - Quando Fernando está estudando (V ou F), não chove (V). 
// E → ~A = V. – neste caso Quando Fernando está estudando pode 
ser V ou F.
1º- Durante a noite(V), faz frio (V). // F → D = V
Logo nada podemos afirmar sobre a afirmação: Se Maria foi ao 
cinema (V), então Fernando estava estudando (V ou F); pois temos 
dois valores lógicos para chegarmos à conclusão (V ou F). 
Resposta: Errado
(PETROBRAS – TÉCNICO (A) DE EXPLORAÇÃO DE PETRÓLEO 
JÚNIOR – INFORMÁTICA – CESGRANRIO) Se Esmeralda é uma fada, 
então Bongrado é um elfo. Se Bongrado é um elfo, então Monarca 
é um centauro. Se Monarca é um centauro, então Tristeza é uma 
bruxa.
Ora, sabe-se que Tristeza não é uma bruxa, logo
(A) Esmeralda é uma fada, e Bongrado não é um elfo.
(B) Esmeralda não é uma fada, e Monarca não é um centauro.
(C) Bongrado é um elfo, e Monarca é um centauro.
MATEMÁTICA
110
(D) Bongrado é um elfo, e Esmeralda é uma fada
(E) Monarca é um centauro, e Bongrado não é um elfo.
Resolução:
Vamos analisar cada frase partindo da afirmativa Trizteza não é bruxa, considerando ela como (V), precisamos ter como conclusão o 
valor lógico (V), então:
(4) Se Esmeralda é uma fada(F), então Bongrado é um elfo (F) → V 
(3) Se Bongrado é um elfo (F), então Monarca é um centauro (F) → V
(2) Se Monarca é um centauro(F), então Tristeza é uma bruxa(F) → V
(1) Tristeza não é uma bruxa (V)
Logo:
Temos que:
Esmeralda não é fada(V)
Bongrado não é elfo (V)
Monarca não é um centauro (V)
Como a conclusão parte da conjunção, o mesmo só será verdadeiro quando todas as afirmativas forem verdadeiras, logo, a única que 
contém esse valor lógico é:
Esmeralda não é uma fada, e Monarca não é um centauro.
Resposta: B
LÓGICA MATEMÁTICA QUALITATIVA 
Aqui veremos questões que envolvem correlação de elementos, pessoas e objetos fictícios, através de dados fornecidos. Vejamos o 
passo a passo:
01. Três homens, Luís, Carlos e Paulo, são casados com Lúcia, Patrícia e Maria, mas não sabemos quem ê casado com quem. Eles tra-
balham com Engenharia, Advocacia e Medicina, mas também não sabemos quem faz o quê. Com base nas dicas abaixo, tente descobrir o 
nome de cada marido, a profissão de cada um e o nome de suas esposas.
a) O médico é casado com Maria.
b) Paulo é advogado.
c) Patrícia não é casada com Paulo.
d) Carlos não é médico.
Vamos montar o passo a passo para que você possa compreender como chegar a conclusão da questão.
1º passo – vamos montar uma tabela para facilitar a visualização da resolução, a mesma deve conter as informações prestadas no 
enunciado, nas quais podem ser divididas em três grupos: homens, esposas e profissões.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos
Luís
Paulo
Lúcia
Patrícia
Maria
Também criamos abaixo do nome dos homens, o nome das esposas.
2º passo – construir a tabela gabarito.
Essa tabela não servirá apenas como gabarito, mas em alguns casos ela é fundamental para que você enxergue informações que ficam 
meio escondidas na tabela principal. Uma tabela complementa a outra, podendo até mesmo que você chegue a conclusões acerca dos 
grupos e elementos.
HOMENS PROFISSÕES ESPOSAS
Carlos
Luís
Paulo
MATEMÁTICA
111
3º passo preenchimento de nossa tabela, com as informações mais óbvias do problema, aquelas que não deixam margem a nenhuma 
dúvida. Em nosso exemplo:
- O médico é casado com Maria: marque um “S” na tabela principal na célula comum a “Médico” e “Maria”, e um “N” nas demais 
células referentes a esse “S”.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos
Luís
Paulo
Lúcia N
Patrícia N
Maria S N N
ATENÇÃO: se o médico é casado com Maria, ele NÃO PODE ser casado com Lúcia e Patrícia, então colocamos “N” no cruzamento 
de Medicina e elas. E se Maria é casada com o médico, logo ela NÃO PODE ser casada com o engenheiro e nem com o advogado (logo 
colocamos “N” no cruzamento do nome de Maria com essas profissões). 
– Paulo é advogado: Vamos preencher as duas tabelas (tabela gabarito e tabela principal) agora.
– Patrícia não é casada com Paulo: Vamos preencher com “N” na tabela principal
– Carlos não é médico: preenchemos com um “N” na tabela principal a célula comum a Carlos e “médico”.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos N N
Luís S N N
Paulo N N S N
Lúcia N
Patrícia N
Maria S N N
Notamos aqui que Luís então é o médico, pois foi a célula que ficou em branco. Podemos também completar a tabela gabarito.
Novamente observamos uma célula vazia no cruzamento de Carlos com Engenharia. Marcamos um “S” nesta célula. E preenchemos 
sua tabela gabarito.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos N S N
Luís S N N
Paulo N N S N
Lúcia N
Patrícia N
Maria S N N
HOMENS PROFISSÕES ESPOSAS
Carlos Engenheiro
Luís Médico
Paulo Advogado
MATEMÁTICA
112
4º passo – após as anotações feitas na tabela principal e na tabela gabarito, vamos procurar informações que levem a novas conclu-
sões, que serão marcadas nessas tabelas.
Observe que Maria é esposa do médico, que se descobriu ser Luís, fato que poderia ser registrado na tabela-gabarito. Mas não vamos 
fazer agora, pois essa conclusão só foi facilmente encontrada porque o problema que está sendo analisado é muito simples. Vamos con-
tinuar o raciocínio e fazer as marcações mais tarde. Além disso, sabemos que Patrícia não é casada com Paulo. Como Paulo é o advogado, 
podemos concluir que Patrícia não é casada com o advogado.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos N S N
Luís S N N
Paulo N N S N
Lúcia N
Patrícia N N
Maria S N N
Verificamos, na tabela acima, que Patrícia tem de ser casada com o engenheiro, e Lúcia tem de ser casada com o advogado.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos N S N
Luís S N N
Paulo N N S N
Lúcia N N S
Patrícia N S N
Maria S N N
Concluímos, então, que Lúcia é casada com o advogado (que é Paulo), Patrícia é casada com o engenheiro (que e Carlos) e Maria é 
casada com o médico (que é Luís).
Preenchendo a tabela-gabarito, vemos que o problema está resolvido:
HOMENS PROFISSÕES ESPOSAS
Carlos Engenheiro Patrícia
Luís Médico Maria
Paulo Advogado Lúcia
Exemplo: 
(TRT-9ª REGIÃO/PR – TÉCNICO JUDICIÁRIO – ÁREA ADMINISTRATIVA – FCC) Luiz, Arnaldo, Mariana e Paulo viajaram em janeiro, todos 
para diferentes cidades, que foram Fortaleza, Goiânia, Curitiba e Salvador. Com relação às cidades para onde eles viajaram, sabe-se que:
− Luiz e Arnaldo não viajaram para Salvador;
− Mariana viajou para Curitiba;
− Paulo não viajou para Goiânia;
− Luiz não viajou para Fortaleza.
É correto concluir que, em janeiro,
(A) Paulo viajou para Fortaleza.
(B) Luiz viajou para Goiânia.
(C) Arnaldo viajou para Goiânia.
(D) Mariana viajou para Salvador.
(E) Luiz viajou para Curitiba.
MATEMÁTICA
113
Resolução:
Vamos preencher a tabela:
− Luiz e Arnaldo não viajaram para Salvador;
Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador
Luiz N
Arnaldo N
Mariana
Paulo
− Mariana viajou para Curitiba;
Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador
Luiz N N
Arnaldo N N
Mariana N N S N
Paulo N
− Paulo não viajou para Goiânia;
Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador
Luiz N N
Arnaldo N N
Mariana N N S N
Paulo N N
− Luiz não viajou para Fortaleza.Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador
Luiz N N N
Arnaldo N N
Mariana N N S N
Paulo N N
Agora, completando o restante:
Paulo viajou para Salvador, pois a nenhum dos três viajou. En-
tão, Arnaldo viajou para Fortaleza e Luiz para Goiânia
Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador
Luiz N S N N
Arnaldo S N N N
Mariana N N S N
Paulo N N N S
Resposta: B
Quantificador 
É um termo utilizado para quantificar uma expressão. Os quan-
tificadores são utilizados para transformar uma sentença aberta ou 
proposição aberta em uma proposição lógica.
QUANTIFICADOR + SENTENÇA ABERTA = SENTENÇA FECHADA
Tipos de quantificadores
• Quantificador universal (∀)
O símbolo ∀ pode ser lido das seguintes formas: 
Exemplo: 
Todo homem é mortal.
A conclusão dessa afirmação é: se você é homem, então será 
mortal.
Na representação do diagrama lógico, seria:
ATENÇÃO: Todo homem é mortal, mas nem todo mortal é ho-
mem.
A frase “todo homem é mortal” possui as seguintes conclusões:
1ª) Algum mortal é homem ou algum homem é mortal.
2ª) Se José é homem, então José é mortal.
A forma “Todo A é B” pode ser escrita na forma: Se A então B.
A forma simbólica da expressão “Todo A é B” é a expressão (∀ 
(x) (A (x) → B).
Observe que a palavra todo representa uma relação de inclusão 
de conjuntos, por isso está associada ao operador da condicional.
Aplicando temos:
x + 2 = 5 é uma sentença aberta. Agora, se escrevermos da for-
ma ∀ (x) ∈ N / x + 2 = 5 ( lê-se: para todo pertencente a N temos x 
+ 2 = 5), atribuindo qualquer valor a x a sentença será verdadeira? 
A resposta é NÃO, pois depois de colocarmos o quantificador, 
a frase passa a possuir sujeito e predicado definidos e podemos jul-
gar, logo, é uma proposição lógica.
• Quantificador existencial (∃)
O símbolo ∃ pode ser lido das seguintes formas: 
Exemplo:
“Algum matemático é filósofo.” O diagrama lógico dessa frase 
é:
O quantificador existencial tem a função de elemento comum. 
A palavra algum, do ponto de vista lógico, representa termos co-
muns, por isso “Algum A é B” possui a seguinte forma simbólica: (∃ 
(x)) (A (x) ∧ B).
MATEMÁTICA
114
Aplicando temos:
x + 2 = 5 é uma sentença aberta. Escrevendo da forma (∃ x) ∈ 
N / x + 2 = 5 (lê-se: existe pelo menos um x pertencente a N tal que x 
+ 2 = 5), atribuindo um valor que, colocado no lugar de x, a sentença 
será verdadeira? 
A resposta é SIM, pois depois de colocarmos o quantificador, 
a frase passou a possuir sujeito e predicado definidos e podemos 
julgar, logo, é uma proposição lógica.
ATENÇÃO: 
– A palavra todo não permite inversão dos termos: “Todo A é B” 
é diferente de “Todo B é A”.
– A palavra algum permite a inversão dos termos: “Algum A é 
B” é a mesma coisa que “Algum B é A”.
Forma simbólica dos quantificadores
Todo A é B = (∀ (x) (A (x) → B).
Algum A é B = (∃ (x)) (A (x) ∧ B).
Nenhum A é B = (~ ∃ (x)) (A (x) ∧ B).
Algum A não é B= (∃ (x)) (A (x) ∧ ~ B).
Exemplos:
Todo cavalo é um animal. Logo,
(A) Toda cabeça de animal é cabeça de cavalo.
(B) Toda cabeça de cavalo é cabeça de animal.
(C) Todo animal é cavalo.
(D) Nenhum animal é cavalo.
Resolução:
A frase “Todo cavalo é um animal” possui as seguintes conclu-
sões:
– Algum animal é cavalo ou Algum cavalo é um animal.
– Se é cavalo, então é um animal.
Nesse caso, nossa resposta é toda cabeça de cavalo é cabeça 
de animal, pois mantém a relação de “está contido” (segunda forma 
de conclusão).
Resposta: B
(CESPE) Se R é o conjunto dos números reais, então a proposi-
ção (∀ x) (x ∈ R) (∃ y) (y ∈ R) (x + y = x) é valorada como V.
Resolução:
Lemos: para todo x pertencente ao conjunto dos números reais 
(R) existe um y pertencente ao conjunto dos números dos reais (R) 
tal que x + y = x.
– 1º passo: observar os quantificadores.
X está relacionado com o quantificador universal, logo, todos 
os valores de x devem satisfazer a propriedade.
Y está relacionado com o quantificador existencial, logo, é ne-
cessário pelo menos um valor de x para satisfazer a propriedade.
– 2º passo: observar os conjuntos dos números dos elementos 
x e y.
O elemento x pertence ao conjunto dos números reais.
O elemento y pertence ao conjunto os números reais.
– 3º passo: resolver a propriedade (x+ y = x).
A pergunta: existe algum valor real para y tal que x + y = x?
Existe sim! y = 0.
X + 0 = X.
Como existe pelo menos um valor para y e qualquer valor de 
x somado a 0 será igual a x, podemos concluir que o item está cor-
reto.
Resposta: CERTO
NOÇÕES DE CONJUNTOS
Um conjunto é uma coleção de objetos, chamados elementos, 
que possuem uma propriedade comum ou que satisfazem determi-
nada condição.
Representação de um conjunto
Podemos representar um conjunto de várias maneiras. 
ATENÇÃO: Indicamos os conjuntos utilizando as letras maiúscu-
las e os elementos destes conjuntos por letras minúsculas.
Vejamos:
1) os elementos do conjunto são colocados entre chaves sepa-
rados por vírgula, ou ponto e vírgula.
A = {a, e, i, o, u}
2) os elementos do conjunto são representados por uma ou 
mais propriedades que os caracterize. 
3) os elementos do conjunto são representados por meio de 
um esquema denominado diagrama de Venn.
Relação de pertinência
Usamos os símbolos ∈ (pertence) e ∉ (não pertence) para rela-
cionar se um elemento faz parte ou não do conjunto.
Tipos de Conjuntos
• Conjunto Universo: reunião de todos os conjuntos que esta-
mos trabalhando.
• Conjunto Vazio: é aquele que não possui elementos. Repre-
senta-se por 0/ ou, simplesmente { }.
• Conjunto Unitário: possui apenas um único elemento.
• Conjunto Finito: quando podemos enumerar todos os seus 
elementos. 
• Conjunto Infinito: contrário do finito. 
Relação de inclusão
É usada para estabelecer relação entre conjuntos com conjun-
tos, verificando se um conjunto é subconjunto ou não de outro con-
junto. Usamos os seguintes símbolos de inclusão:
MATEMÁTICA
115
Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos A e B são IGUAIS, indicamos A = B, quando pos-
suem os mesmos elementos.
Dois conjuntos A e B são DIFERENTES, indicamos por A ≠ B, se 
pelo menos UM dos elementos de um dos conjuntos NÃO pertence 
ao outro.
Subconjuntos
Quando todos os elementos de um conjunto A são também 
elementos de um outro conjunto B, dizemos que A é subconjunto 
de B. Exemplo: A = {1,3,7} e B = {1,2,3,5,6,7,8}.
Os elementos do conjunto A estão contidos no conjunto B.
ATENÇÃO: 
1) Todo conjunto A é subconjunto dele próprio;
2) O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer 
conjunto;
3) O conjunto das partes é o conjunto formado por todos os 
subconjuntos de A.
4) O número de seu subconjunto é dado por: 2n; onde n é o nú-
mero de elementos desse conjunto.
Operações com Conjuntos
Tomando os conjuntos: A = {0,2,4,6} e B = {0,1,2,3,4}, como 
exemplo, vejamos:
• União de conjuntos: é o conjunto formado por todos os ele-
mentos que pertencem a A ou a B. Representa-se por A ∪ B. Sim-
bolicamente: A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}. Exemplo:
• Intersecção de conjuntos: é o conjunto formado por todos os 
elementos que pertencem, simultaneamente, a A e a B. Represen-
ta-se por A ∩ B. Simbolicamente: A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
OBSERVAÇÃO: Se A ∩ B =φ , dizemos que A e B são conjun-
tos disjuntos.
Propriedades da união e da intersecção de conjuntos
1ª) Propriedade comutativa
A U B = B U A (comutativa da união)
A ∩ B = B ∩ A (comutativa da intersecção)
2ª) Propriedade associativa
(A U B) U C = A U (B U C) (associativa da união)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (associativa da intersecção)
3ª) Propriedade associativa
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) (distributiva da intersecção em 
relação à união)
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) (distributiva da união em relação 
à intersecção)
4ª) Propriedade 
Se A ⊂ B, então A U B = B e A ∩ B = A, então A ⊂ B
Número de Elementos da União e da Intersecção de Conjuntos
E dado pela fórmula abaixo:
MATEMÁTICA
116
Exemplo: 
(CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – 
FCC) Dos 43 vereadores de uma cidade, 13 dele não se inscreveram 
nas comissões de Educação, Saúdee Saneamento Básico. Sete dos 
vereadores se inscreveram nas três comissões citadas. Doze deles 
se inscreveram apenas nas comissões de Educação e Saúde e oito 
deles se inscreveram apenas nas comissões de Saúde e Saneamen-
to Básico. Nenhum dos vereadores se inscreveu em apenas uma 
dessas comissões. O número de vereadores inscritos na comissão 
de Saneamento Básico é igual a
(A) 15.
(B) 21.
(C) 18.
(D) 27.
(E) 16.
Resolução:
De acordo com os dados temos:
7 vereadores se inscreveram nas 3.
APENAS 12 se inscreveram em educação e saúde (o 12 não 
deve ser tirado de 7 como costuma fazer nos conjuntos, pois ele já 
desconsidera os que se inscreveram nos três)
APENAS 8 se inscreveram em saúde e saneamento básico.
São 30 vereadores que se inscreveram nessas 3 comissões, pois 
13 dos 43 não se inscreveram.
Portanto, 30 – 7 – 12 – 8 = 3
Se inscreveram em educação e saneamento 3 vereadores.
Em saneamento se inscreveram: 3 + 7 + 8 = 18
Resposta: C
• Diferença: é o conjunto formado por todos os elementos que 
pertencem a A e não pertencem a B. Representa-se por A – B. Para 
determinar a diferença entre conjuntos, basta observamos o que 
o conjunto A tem de diferente de B. Tomemos os conjuntos: A = 
{1,2,3,4,5} e B = {2,4,6,8}
Note que: A – B ≠ B - A
Exemplo: 
(PREF. CAMAÇARI/BA – TÉC. VIGILÂNCIA EM SAÚDE NM – 
AOCP) Considere dois conjuntos A e B, sabendo que assinale a al-
ternativa que apresenta o conjunto B.
(A) {1;2;3}
(B) {0;3}
(C) {0;1;2;3;5}
(D) {3;5}
(E) {0;3;5}
Resolução:
A intersecção dos dois conjuntos, mostra que 3 é elemento de B.
A – B são os elementos que tem em A e não em B.
Então de A ∪ B, tiramos que B = {0; 3; 5}.
Resposta: E
• Complementar: chama-se complementar de B (B é subcon-
junto de A) em relação a A o conjunto A - B, isto é, o conjunto dos 
elementos de A que não pertencem a B. Exemplo: A = {0,1,2,3,4} e 
B = {2,3}
RELAÇÕES E FUNÇÕES; FUNÇÕES POLINOMIAIS; 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
Funções lineares
Chama-se função do 1º grau ou afim a função f: R  R definida 
por y = ax + b, com a e b números reais e a 0. a é o coeficiente an-
gular da reta e determina sua inclinação, b é o coeficiente linear da 
reta e determina a intersecção da reta com o eixo y.
Com a ϵ R* e b ϵ R.
Atenção
Usualmente chamamos as funções polinomiais de: 1º grau, 2º 
etc, mas o correto seria Função de grau 1,2 etc. Pois o classifica a 
função é o seu grau do seu polinômio.
A função do 1º grau pode ser classificada de acordo com seus 
gráficos. Considere sempre a forma genérica y = ax + b.
MATEMÁTICA
117
• Função constante
Se a = 0, então y = b, b ∈ R. Desta maneira, por exemplo, se y 
= 4 é função constante, pois, para qualquer valor de x, o valor de y 
ou f(x) será sempre 4.
• Função identidade
Se a = 1 e b = 0, então y = x. Nesta função, x e y têm sempre 
os mesmos valores. Graficamente temos: A reta y = x ou f(x) = x é 
denominada bissetriz dos quadrantes ímpares.
Mas, se a = -1 e b = 0, temos então y = -x. A reta determinada 
por esta função é a bissetriz dos quadrantes pares, conforme mos-
tra o gráfico ao lado. x e y têm valores iguais em módulo, porém 
com sinais contrários.
• Função linear
É a função do 1º grau quando b = 0, a ≠ 0 e a ≠ 1, a e b ∈ R.
• Função afim
É a função do 1º grau quando a ≠ 0, b ≠ 0, a e b ∈ R. 
• Função Injetora
É a função cujo domínio apresenta elementos distintos e tam-
bém imagens distintas.
• Função Sobrejetora
É quando todos os elementos do domínio forem imagens de 
PELO MENOS UM elemento do domínio.
• Função Bijetora
É uma função que é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
• Função Par
Quando para todo elemento x pertencente ao domínio temos 
f(x)=f(-x), ∀ x ∈ D(f). Ou seja, os valores simétricos devem possuir 
a mesma imagem. 
• Função ímpar
Quando para todo elemento x pertencente ao domínio, temos 
f(-x) = -f(x) ∀ x є D(f). Ou seja, os elementos simétricos do domínio 
terão imagens simétricas.
MATEMÁTICA
118
Gráfico da função do 1º grau
A representação geométrica da função do 1º grau é uma reta, por-
tanto, para determinar o gráfico, é necessário obter dois pontos. Em 
particular, procuraremos os pontos em que a reta corta os eixos x e y.
De modo geral, dada a função f(x) = ax + b, para determinarmos 
a intersecção da reta com os eixos, procedemos do seguinte modo:
1º) Igualamos y a zero, então ax + b = 0 ⇒ x = - b/a, no eixo x 
encontramos o ponto (-b/a, 0).
2º) Igualamos x a zero, então f(x) = a. 0 + b ⇒ f(x) = b, no eixo y 
encontramos o ponto (0, b).
• f(x) é crescente se a é um número positivo (a > 0);
• f(x) é decrescente se a é um número negativo (a < 0).
Raiz ou zero da função do 1º grau
A raiz ou zero da função do 1º grau é o valor de x para o qual y = 
f(x) = 0. Graficamente, é o ponto em que a reta “corta” o eixo x. Por-
tanto, para determinar a raiz da função, basta a igualarmos a zero:
Estudo de sinal da função do 1º grau
Estudar o sinal de uma função do 1º grau é determinar os valo-
res de x para que y seja positivo, negativo ou zero.
1º) Determinamos a raiz da função, igualando-a a zero: (raiz: x =- b/a)
2º) Verificamos se a função é crescente (a>0) ou decrescente (a 
< 0); temos duas possibilidades:
Exemplos: 
(PM/SP – CABO – CETRO) O gráfico abaixo representa o salário bru-
to (S) de um policial militar em função das horas (h) trabalhadas em certa 
cidade. Portanto, o valor que este policial receberá por 186 horas é 
(A) R$ 3.487,50. 
(B) R$ 3.506,25. 
(C) R$ 3.534,00. 
(D) R$ 3.553,00. 
Resolução:
Resposta: A
(CBTU/RJ - ASSISTENTE OPERACIONAL - CONDUÇÃO DE VEÍ-
CULOS METROFERROVIÁRIOS – CONSULPLAN) Qual dos pares de 
pontos a seguir pertencem a uma função do 1º grau decrescente? 
(A) Q(3, 3) e R(5, 5). 
(B) N(0, –2) e P(2, 0). 
(C) S(–1, 1) e T(1, –1).
(D) L(–2, –3) e M(2, 3).
Resolução:
Para pertencer a uma função polinomial do 1º grau decrescen-
te, o primeiro ponto deve estar em uma posição “mais alta” do que 
o 2º ponto.
Vamos analisar as alternativas:
( A ) os pontos Q e R estão no 1º quadrante, mas Q está em uma 
posição mais baixa que o ponto R, e, assim, a função é crescente.
( B ) o ponto N está no eixo y abaixo do zero, e o ponto P está no 
eixo x à direita do zero, mas N está em uma posição mais baixa que 
o ponto P, e, assim, a função é crescente.
( D ) o ponto L está no 3º quadrante e o ponto M está no 1º 
quadrante, e L está em uma posição mais baixa do que o ponto M, 
sendo, assim, crescente.
( C ) o ponto S está no 2º quadrante e o ponto T está no 4º qua-
drante, e S está em uma posição mais alta do que o ponto T, sendo, 
assim, decrescente.
Resposta: C
Equações lineares
As equações do tipo a1x1 + a2x2 + a3x3 + .....+ anxn = b, são equa-
ções lineares, onde a1, a2, a3, ... são os coeficientes; x1, x2, x3,... as 
incógnitas e b o termo independente.
MATEMÁTICA
119
Por exemplo, a equação 4x – 3y + 5z = 31 é uma equação linear. Os coeficientes são 4, –3 e 5; x, y e z as incógnitas e 31 o termo inde-
pendente.
Para x = 2, y = 4 e z = 7, temos 4.2 – 3.4 + 5.7 = 31, concluímos que o terno ordenado (2,4,7) é solução da equação linear
4x – 3y + 5z = 31.
Funções quadráticas
Chama-se função do 2º grau ou função quadrática, de domínio R e contradomínio R, a função:
Com a, b e c reais e a ≠ 0.
Onde:
a é o coeficiente de x2
b é o coeficiente de x
c é o termo independente
Atenção:
Chama-se função completa aquela em que a, b e c não são nulos, e função incompleta aquela em que b ou c são nulos.
Raízes da função do 2ºgrau
Analogamente à função do 1º grau, para encontrar as raízes da função quadrática, devemos igualar f(x) a zero. Teremos então:
ax2 + bx + c = 0
A expressão assim obtida denomina-se equação do 2º grau. As raízes da equação são determinadas utilizando-se a fórmula de Bhaska-
ra:
Δ (letra grega: delta) é chamado de discriminante da equação. Observe que o discriminante terá um valor numérico, do qual temos de 
extrair a raiz quadrada. Neste caso, temos três casos a considerar:
Δ > 0 ⇒ duas raízes reais e distintas;
Δ = 0 ⇒ duas raízes reais eiguais;
Δ < 0 ⇒ não existem raízes reais (∄ x ∈ R).
Gráfico da função do 2º grau
• Concavidade da parábola
Graficamente, a função do 2º grau, de domínio r, é representada por uma curva denominada parábola. Dada a função y = ax2 + bx + c, 
cujo gráfico é uma parábola, se:
• O termo independente
Na função y = ax2 + bx + c, se x = 0 temos y = c. Os pontos em que x = 0 estão no eixo y, isto significa que o ponto (0, c) é onde a pará-
bola “corta” o eixo y.
MATEMÁTICA
120
• Raízes da função
Considerando os sinais do discriminante (Δ) e do coeficiente de x2, teremos os gráficos que seguem para a função y = ax2 + bx + c.
Vértice da parábola – Máximos e mínimos da função
Observe os vértices nos gráficos:
O vértice da parábola será:
• o ponto mínimo se a concavidade estiver voltada para cima (a > 0);
• o ponto máximo se a concavidade estiver voltada para baixo (a < 0).
A reta paralela ao eixo y que passa pelo vértice da parábola é chamada de eixo de simetria.
Coordenadas do vértice
As coordenadas do vértice da parábola são dadas por:
Estudo do sinal da função do 2º grau
Estudar o sinal da função quadrática é determinar os valores de x para que y seja: positivo, negativo ou zero. Dada a função f(x) = y = 
ax2 + bx + c, para saber os sinais de y, determinamos as raízes (se existirem) e analisamos o valor do discriminante.
MATEMÁTICA
121
Exemplos: 
(CBM/MG – OFICIAL BOMBEIRO MILITAR – FUMARC) Duas 
cidades A e B estão separadas por uma distância d. Considere um 
ciclista que parte da cidade A em direção à cidade B. A distância d, 
em quilômetros, que o ciclista ainda precisa percorrer para chegar 
ao seu destino em função do tempo t, em horas, é dada pela função 
. Sendo assim, a velocidade média desenvolvida 
pelo ciclista em todo o percurso da cidade A até a cidade B é igual a
(A) 10 Km/h
(B) 20 Km/h
(C) 90 Km/h
(D) 100 Km/h
Resolução:
Vamos calcular a distância total, fazendo t = 0:
Agora, vamos substituir na função:
100 – t² = 0
– t² = – 100 . (– 1)
t² = 100
t= √100=10km/h
Resposta: A
(IPEM – TÉCNICO EM METROLOGIA E QUALIDADE – VUNESP) 
A figura ilustra um arco decorativo de parábola AB sobre a porta da 
entrada de um salão:
Considere um sistema de coordenadas cartesianas com centro 
em O, de modo que o eixo vertical (y) passe pelo ponto mais alto do 
arco (V), e o horizontal (x) passe pelos dois pontos de apoio desse 
arco sobre a porta (A e B). 
Sabendo-se que a função quadrática que descreve esse arco é 
f(x) = – x²+ c, e que V = (0; 0,81), pode-se afirmar que a distância , 
em metros, é igual a
(A) 2,1.
(B) 1,8.
(C) 1,6.
(D) 1,9.
(E) 1,4.
Resolução:
C=0,81, pois é exatamente a distância de V
F(x)=-x²+0,81
0=-x²+0,81
X²=0,81
X=±0,9
A distância AB é 0,9+0,9=1,8
Resposta: B
(TRANSPETRO – TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO E CONTROLE 
JÚNIOR – CESGRANRIO) A raiz da função f(x) = 2x − 8 é também raiz 
da função quadrática g(x) = ax²+ bx + c. Se o vértice da parábola, grá-
fico da função g(x), é o ponto V(−1, −25), a soma a + b + c é igual a:
(A) − 25 
(B) − 24
(C) − 23
(D) − 22
(E) – 21
Resolução:
2x-8=0
2x=8
X=4
Lembrando que para encontrar a equação, temos:
(x - 4)(x + 6) = x² + 6x - 4x - 24 = x² + 2x - 24
a=1
b=2
c=-24
a + b + c = 1 + 2 – 24 = -21
Resposta: E
Função exponencial
Antes seria bom revisarmos algumas noções de potencializa-
ção e radiciação.
Sejam a e b bases reais e diferentes de zero e m e n expoentes 
inteiros, temos:
Equação exponencial
A equação exponencial caracteriza-se pela presença da incóg-
nita no expoente. Exemplos:
MATEMÁTICA
122
Para resolver estas equações, além das propriedades de potências, utilizamos a seguinte propriedade:
Se duas potências são iguais, tendo as bases iguais, então os expoentes são iguais: am = an ⇔ m = n, sendo a > 0 e a ≠ 1.
Gráficos da função exponencial
A função exponencial f, de domínio R e contradomínio R, é definida por y = ax, onde a > 0 e a ≠1. 
Exemplos: 
01. Considere a função y = 3x. 
Vamos atribuir valores a x, calcular y e a seguir construir o gráfico:
02. Considerando a função, encontre a função: y = (1/3)x
Observando as funções anteriores, podemos concluir que para y = ax:
• se a > 1, a função exponencial é crescente;
• se 0 < a < 1, a função é decrescente.
Graficamente temos:
Inequação exponencial
A inequação exponencial caracteriza-se pela presença da incógnita no expoente e de um dos sinais de desigualdade: >, <, ≥ ou ≤.
Analisando seus gráficos, temos:
MATEMÁTICA
123
Observando o gráfico, temos que:
• na função crescente, conservamos o sinal da desigualdade 
para comparar os expoentes:
• na função decrescente, “invertemos” o sinal da desigualdade 
para comparar os expoentes:
Desde que as bases sejam iguais.
Exemplos: 
(CORPO DE BOMBEIROS MILITAR/MT – OFICIAL BOMBEIRO 
MILITAR – COVEST – UNEMAT) As funções exponenciais são muito 
usadas para modelar o crescimento ou o decaimento populacional 
de uma determinada região em um determinado período de tem-
po. A função P(t) = 234(1,023)t modela o comportamento de uma 
determinada cidade quanto ao seu crescimento populacional em 
um determinado período de tempo, em que P é a população em 
milhares de habitantes e t é o número de anos desde 1980.
Qual a taxa média de crescimento populacional anual dessa 
cidade?
(A) 1,023%
(B) 1,23%
(C) 2,3%
(D) 0,023%
(E) 0,23%
Resolução:
Primeiramente, vamos calcular a população inicial, fazendo t 
= 0:
Agora, vamos calcular a população após 1 ano, fazendo t = 1:
Por fim, vamos utilizar a Regra de Três Simples:
População----------%
234 --------------- 100
239,382 ------------ x
234.x = 239,382 . 100
x = 23938,2 / 234
x = 102,3%
102,3% = 100% (população já existente) + 2,3% (crescimento)
Resposta: C
(POLÍCIA CIVIL/SP – DESENHISTA TÉCNICO-PERICIAL – VU-
NESP) Uma população P cresce em função do tempo t (em anos), 
segundo a sentença P = 2000.50,1t. Hoje, no instante t = 0, a popu-
lação é de 2 000 indivíduos. A população será de 50 000 indivíduos 
daqui a
(A) 20 anos.
(B) 25 anos.
(C) 50 anos.
(D) 15 anos.
(E) 10 anos.
Resolução:
Vamos simplificar as bases (5), sobrando somente os expoen-
tes. Assim:
0,1 . t = 2
t = 2 / 0,1
t = 20 anos
Resposta: A
Função logarítmica
• Logaritmo
O logaritmo de um número b, na base a, onde a e b são positi-
vos e a é diferente de um, é um número x, tal que x é o expoente de 
a para se obter b, então:
Onde:
b é chamado de logaritmando
a é chamado de base
x é o logaritmo
OBSERVAÇÕES
– loga a = 1, sendo a > 0 e a ≠ 1
– Nos logaritmos decimais, ou seja, aqueles em que a base é 
10, está frequentemente é omitida. Por exemplo: logaritmo de 2 na 
base 10; notação: log 2
Propriedades decorrentes da definição
• Domínio (condição de existência)
Segundo a definição, o logaritmando e a base devem ser positi-
vos, e a base deve ser diferente de 1. Portanto, sempre que encon-
tramos incógnitas no logaritmando ou na base devemos garantir a 
existência do logaritmo.
– Propriedades
Logaritmo decimal - característica e mantissa
Normalmente eles são calculados fazendo-se o uso da calcula-
dora e da tabela de logaritmos. Mas fique tranquilo em sua prova as 
bancas fornecem os valores dos logaritmos.
MATEMÁTICA
124
Exemplo: Determine log 341.
Resolução:
Sabemos que 341 está entre 100 e 1.000:
102 < 341 < 103
Como a característica é o expoente de menor potência de 10, temos que c = 2.
Consultando a tabela para 341, encontramos m = 0,53275. Logo: log 341 = 2 + 0,53275  log 341 = 2,53275.
Propriedades operatórias dos logaritmos
Cologaritmo
cologa b = - loga b, sendo b> 0, a > 0 e a ≠ 1
Mudança de base
Para resolver questões que envolvam logaritmo com bases diferentes, utilizamos a seguinte expressão:
Função logarítmica
Função logarítmica é a função f, de domínio R*+ e contradomínio R, que associa cada número real e positivo x ao logaritmo de x na 
base a, onde a é um número real, positivo e diferente de 1.
Gráfico da função logarítmica
Vamos construir o gráfico de duas funções logarítmicas como exemplo:
A) y = log3 x
Atribuímos valores convenientes a x, calculamos y,conforme mostra a tabela. Localizamos os pontos no plano cartesiano obtendo a 
curva que representa a função.
MATEMÁTICA
125
B) y = log1/3 x
Vamos tabelar valores convenientes de x, calculando y. Localizamos os pontos no plano cartesiano, determinando a curva correspon-
dente à função.
Observando as funções anteriores, podemos concluir que para y = logax:
• se a > 1, a função é crescente;
• se 0 < a < 1, a função é decrescente.
Equações logarítmicas
A equação logarítmica caracteriza-se pela presença do sinal de igualdade e da incógnita no logaritmando.
Para resolver uma equação, antes de mais nada devemos estabelecer a condição de existência do logaritmo, determinando os valores 
da incógnita para que o logaritmando e a base sejam positivos, e a base diferente de 1.
Inequações logarítmicas
Identificamos as inequações logarítmicas pela presença da incógnita no logaritmando e de um dos sinais de desigualdade: >, <, ≥ ou ≤.
Assim como nas equações, devemos garantir a existência do logaritmo impondo as seguintes condições: o logaritmando e a base 
devem ser positivos e a base deve ser diferente de 1.
Na resolução de inequações logarítmicas, procuramos obter logaritmos de bases iguais nos dois membros da inequação, para poder 
comparar os logaritmandos. Porém, para que não ocorram distorções, devemos verificar se as funções envolvidas são crescentes ou de-
crescentes. A justificativa será feita por meio da análise gráfica de duas funções:
Na função crescente, os sinais coincidem na comparação dos logaritmandos e, posteriormente, dos respectivos logaritmos; porém, 
o mesmo não ocorre na função decrescente. De modo geral, quando resolvemos uma inequação logarítmica, temos de observar o valor 
numérico da base pois, sendo os dois membros da inequação compostos por logaritmos de mesma base, para comparar os respectivos 
logaritmandos temos dois casos a considerar:
• se a base é um número maior que 1 (função crescente), utilizamos o mesmo sinal da inequação;
• se a base é um número entre zero e 1 (função decrescente), utilizamos o “sinal inverso” da inequação.
MATEMÁTICA
126
Concluindo, dada a função y = loga x e dois números reais x1 e x2:
Exemplos: 
(PETROBRAS-GEOFISICO JUNIOR – CESGRANRIO) Se log x representa o logaritmo na base 10 de x, então o valor de n tal que log n = 
3 - log 2 é:
(A) 2000
(B) 1000
(C) 500
(D) 100
(E) 10
Resolução:
log n = 3 - log 2
log n + log 2 = 3 * 1
onde 1 = log 10 então:
log (n * 2) = 3 * log 10
log(n*2) = log 10 ^3
2n = 10^3
2n = 1000
n = 1000 / 2
n = 500 
Resposta: C
(MF – ASSISTENTE TÉCNICO ADMINISTRATIVO – ESAF) Sabendo-se que log x representa o logaritmo de x na base 10, calcule o valor 
da expressão log 20 + log 5.
(A) 5
(B) 4
(C) 1
(D) 2
(E) 3
Resolução:
E = log20 + log5
E = log(2 x 10) + log5
E = log2 + log10 + log5
E = log10 + log (2 x 5)
E = log10 + log10
E = 2 log10
E = 2
Resposta: D
Funções trigonométricas
Podemos generalizar e escrever todos os arcos com essa característica na seguinte forma: π/2 + 2kπ, onde k Є Z. E de uma forma geral 
abrangendo todos os arcos com mais de uma volta, x + 2kπ. 
Estes arcos são representados no plano cartesiano através de funções circulares como: função seno, função cosseno e função tangente.
MATEMÁTICA
127
• Função Seno
É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu seno, então f(x) = sem x. O sinal da função f(x) = sem x é positivo no 1º 
e 2º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes.
• Função Cosseno
É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu cosseno, então f(x) = cos x. O sinal da função f(x) = cos x é positivo no 
1º e 4º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 2º e 3º quadrantes.
MATEMÁTICA
128
• Função Tangente
É uma função f : R → R que associa a cada número real x a sua tangente, então f(x) = tg x. 
Sinais da função tangente:
- Valores positivos nos quadrantes ímpares. 
- Valores negativos nos quadrantes pares. 
- Crescente em cada valor.
MATRIZES. DETERMINANTES. SISTEMAS LINEARES
Matriz
Uma matriz é uma tabela de números reais dispostos segundo linhas horizontais e colunas verticais.
O conjunto ordenado dos números que formam a tabela, é denominado matriz, e cada número pertencente a ela é chamado de ele-
mento da matriz.
• Tipo ou ordem de uma matriz
As matrizes são classificadas de acordo com o seu número de linhas e de colunas. Assim, a matriz representada a seguir é denominada 
matriz do tipo, ou ordem, 3 x 4 (lê-se três por quatro), pois tem três linhas e quatro colunas. Exemplo:
MATEMÁTICA
129
• Representação genérica de uma matriz
Costumamos representar uma matriz por uma letra maiúscula (A, B, C...), indicando sua ordem no lado inferior direito da letra. Quan-
do desejamos indicar a ordem de modo genérico, fazemos uso de letras minúsculas. Exemplo: Am x n.
Da mesma maneira, indicamos os elementos de uma matriz pela mesma letra que a denomina, mas em minúscula. A linha e a coluna 
em que se encontra tal elemento é indicada também no lado inferior direito do elemento. Exemplo: a11.
Exemplo: 
(PM/SE – SOLDADO 3ª CLASSE – FUNCAB) A matriz abaixo registra as ocorrências policiais em uma das regiões da cidade durante 
uma semana.
Sendo M=(aij)3x7 com cada elemento aij representando o número de ocorrência no turno i do dia j da semana.
O número total de ocorrências no 2º turno do 2º dia, somando como 3º turno do 6º dia e com o 1º turno do 7º dia será:
(A) 61
(B) 59
(C) 58
(D) 60
(E) 62
Resolução:
Turno i –linha da matriz
Turno j- coluna da matriz
2º turno do 2º dia – a22=18
3º turno do 6º dia-a36=25
1º turno do 7º dia-a17=19
Somando:18+25+19=62
Resposta: E
• Igualdade de matrizes
Duas matrizes A e B são iguais quando apresentam a mesma ordem e seus elementos correspondentes forem iguais.
• Operações com matrizes
– Adição: somamos os elementos correspondentes das matrizes, por isso, é necessário que as matrizes sejam de mesma ordem. 
A=[aij]m x n; B = [bij]m x n, portanto C = A + B ⇔ cij = aij + bij.
MATEMÁTICA
130
Exemplo:
(PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) Considere a seguinte sentença envolvendo matrizes: 
Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta o valor de y que torna a sentença verdadeira. 
(A) 4. 
(B) 6. 
(C) 8. 
(D) 10. 
Resolução:
y=10
Resposta: D
– Multiplicação por um número real: sendo k ∈ R e A uma matriz de ordem m x n, a matriz k . A é obtida multiplicando-se todos os 
elementos de A por k.
– Subtração: a diferença entre duas matrizes A e B (de mesma ordem) é obtida por meio da soma da matriz A com a oposta de B.
– Multiplicação entre matrizes: consideremos o produto A . B = C. Para efetuarmos a multiplicação entre A e B, é necessário, antes de 
mais nada, determinar se a multiplicação é possível, isto é, se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B, determinando 
a ordem de C: Am x n x Bn x p = Cm x p, como o número de colunas de A coincide com o de linhas de B(n) então torna-se possível o produto, e a 
matriz C terá o número de linhas de A(m) e o número de colunas de B(p)
De modo geral, temos:
MATEMÁTICA
131
Exemplo: 
(CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA) Assinale a alternativa que apresente o resultado da multiplicação das matrizes A e B abaixo:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
Resolução:
Resposta: B
• Casos particulares
– Matriz identidade ou unidade: é a matriz quadrada que possui os elementos de sua diagonal principal iguais a 1 e os demais ele-
mentos iguais a 0. Indicamos a matriz identidade de Ιn, onde n é a ordem da matriz.
– Matriz transposta: é a matriz obtida pela troca ordenada de linhas por colunas de uma matriz. Dada uma matriz A de ordem m x n, 
obtém-se uma outra matriz de ordem n x m, chamada de transposta de A. Indica-se por At.
Exemplo: 
(CPTM – ANALISTA DE COMUNICAÇÃO JÚNIOR – MAKIYAMA) Para que a soma de uma matriz e sua respectiva matriz transposta At 
em uma matriz identidade, são condições a serem cumpridas:
(A) a=0 e d=0
(B) c=1 e b=1
(C) a=1/c e b=1/d
(D) a²-b²=1 e c²-d²=1
(E) b=-c e a=d=1/2
MATEMÁTICA
132Resolução:
2a=1
a=1/2
b+c=0
b=-c
2d=1
D=1/2
Resposta: E
– Matriz inversa: dizemos que uma matriz quadrada A, de ordem n, admite inversa se existe uma matriz A-1, tal que:
Determinantes
Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada. Para indicar o determinante, usamos barras. Seja A uma matriz 
quadrada de ordem n, indicamos o determinante de A por:
• Determinante de uma matriz de 1ª- ordem
A matriz de ordem 1 só possui um elemento. Por isso, o determinante de uma matriz de 1ª ordem é o próprio elemento.
• Determinante de uma matriz de 2ª- ordem
Em uma matriz de 2ª ordem, obtém-se o determinante por meio da diferença do produto dos elementos da diagonal principal pelo 
produto dos elementos da diagonal secundária.
Exemplo: 
(PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) É correto afirmar que o determinante é igual a zero para x igual a 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) -2. 
(D) -1. 
Resolução:
D = 4 - (-2x)
0 = 4 + 2x
x = - 2
Resposta: C
• Regra de Sarrus
Esta técnica é utilizada para obtermos o determinante de matrizes de 3ª ordem. Utilizaremos um exemplo para mostrar como aplicar 
a regra de Sarrus. A regra de Sarrus consiste em:
a) Repetir as duas primeiras colunas à direita do determinante.
b) Multiplicar os elementos da diagonal principal e os elementos que estiverem nas duas paralelas a essa diagonal, conservando os 
sinais desses produtos.
MATEMÁTICA
133
c) Efetuar o produto dos elementos da diagonal secundária e dos elementos que estiverem nas duas paralelas à diagonal e multipli-
cá-los por -1.
d) Somar os resultados dos itens b e c. E assim encontraremos o resultado do determinante.
Simplificando temos:
Exemplo: 
(PREF. ARARAQUARA/SP – AGENTE DA ADMINISTRAÇÃO DOS SERVIÇOS DE SANEAMENTO – CETRO) Dada a matriz 
 , assinale a alternativa que apresenta o valor do determinante de A é 
(A) -9. 
(B) -8. 
(C) 0. 
(D) 4.
Resolução:
detA = - 1 – 4 + 2 - (2 + 2 + 2) = - 9
Resposta: A
• Teorema de Laplace
Para matrizes quadradas de ordem n ≥ 2, o teorema de Laplace oferece uma solução prática no cálculo dos determinantes. Pelo teo-
rema, o determinante de uma matriz quadrada A de ordem n (n ≥ 2) é igual à soma dos produtos dos elementos de uma linha ou de uma 
coluna qualquer, pelos respectivos co-fatores. Exemplo:
Dada a matriz quadrada de ordem 3, , vamos calcular det A usando o teorema de Laplace.
Podemos calcular o determinante da matriz A, escolhendo qualquer linha ou coluna. Por exemplo, escolhendo a 1ª linha, teremos:
det A = a11. A11 + a12. A12 + a13. A13
Portanto, temos que:
det A = 3. (-21) + 2. 6 + 1. (-12) ⇒ det A = -63 + 12 – 12 ⇒ det A = -63
MATEMÁTICA
134
Exemplo: 
(TRANSPETRO – ENGENHEIRO JÚNIOR – AUTOMAÇÃO – CESGRANRIO) Um sistema dinâmico, utilizado para controle de uma rede 
automatizada, forneceu dados processados ao longo do tempo e que permitiram a construção do quadro abaixo.
1 3 2 0
3 1 0 2
2 3 0 1
0 2 1 3
A partir dos dados assinalados, mantendo-se a mesma disposição, construiu-se uma matriz M. O valor do determinante associado à 
matriz M é
(A) 42
(B) 44
(C) 46
(D) 48
(E) 50
Resolução:
Como é uma matriz 4x4 vamos achar o determinante através do teorema de Laplace. Para isso precisamos, calcular os cofatores. Dica: 
pela fileira que possua mais zero. O cofator é dado pela fórmula: . Para o determinante é usado os números 
que sobraram tirando a linha e a coluna.
Resposta: D
• Determinante de uma matriz de ordem n > 3
Para obtermos o determinante de matrizes de ordem n > 3, utilizamos o teorema de Laplace e a regra de Sarrus. 
Exemplo:
MATEMÁTICA
135
Escolhendo a 1ª linha para o desenvolvimento do teorema de Laplace. Temos então:
det A = a11. A11 + a12. A12 + a13. A13 + a14. A14
Como os determinantes são, agora, de 3ª ordem, podemos aplicar a regra de Sarrus em cada um deles. Assim:
det A= 3. (188) - 1. (121) + 2. (61) ⇒ det A = 564 - 121 + 122 ⇒ det A = 565
• Propriedades dos determinantes
a) Se todos os elementos de uma linha ou de uma coluna são nulos, o determinante é nulo.
b) Se uma matriz A possui duas linhas ou duas colunas iguais, então o determinante é nulo.
c) Em uma matriz cuja linha ou coluna foi multiplicada por um número k real, o determinante também fica multiplicado pelo mesmo 
número k.
d) Para duas matrizes quadradas de mesma ordem, vale a seguinte propriedade:
det (A. B) = det A + det B.
e) Uma matriz quadrada A será inversível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.
Sistemas lineares
Entendemos por sistema linear um conjunto de equações lineares reunidas com o objetivo de se obterem soluções comuns a todas 
essas equações.
• Equação linear
Chamamos de equações lineares as equações do 1º grau que apresentam a forma:
a1x1 + a2x2 + a3x3+...anxn = b,
onde a1, a2, a3,.., an e b são números reais 
 x1, x2, x3,.., xn são as incógnitas.
Os números reais a1, a2, a3..., an são chamados de coeficientes e b é o termo independente.
MATEMÁTICA
136
ATENÇÃO: TODOS os expoentes de todas as variáveis são 
SEMPRE iguais a 1.
• Solução de uma equação linear
Dada uma equação linear com n incógnitas:
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, temos que sua solução é a sequência 
de números reais (k1, k2, ..., kn) que, colocados correspondentemen-
te no lugar de x1, x2, ..., xn, tornam verdadeira a igualdade.
Quando a equação linear for homogênea, então ela admitirá 
pelo menos a solução (0, 0, ..., 0), chamada de solução trivial.
• Representação genérica de um sistema linear
Um sistema linear de m equações nas n incógnitas x1, x2, ..., xn 
é da forma:
onde a11, a12 , ..., an e b1, b2 , ..., bn são números reais.
Se o conjunto de números reais (k1, k2, ..., kn) torna verdadeiras 
todas as equações do sistema, dizemos que esse conjunto é solu-
ção do sistema linear. Como as equações lineares são homogêneas 
quando b = 0, então, consequentemente, um sistema linear será 
homogêneo quando b1 = b2 = ... = bn = 0. Assim, o sistema admitirá 
a solução trivial, (0, 0, ... 0).
Exemplo: 
Na equação 4x – y = 2, o par ordenado (3,10) é uma solução, 
pois ao substituirmos esses valores na equação obtemos uma igual-
dade.
4. 3 – 10 → 12 – 10 = 2
Já o par (3,0) não é a solução, pois 4.3 – 0 = 2 → 12 ≠ 2
• Representação de um sistema linear por meio de matrizes
Um sistema linear de m equações com n incógnitas pode ser 
escrito sob a forma de matrizes, bastando separar seus componen-
tes por matriz.
Sejam:
Amn ⇒ a matriz dos coeficientes das incógnitas;
Xn1 ⇒ a matriz das incógnitas;
Bn1 ⇒ a matriz dos termos independentes.
Portanto, podemos escrever o sistema sob a forma matricial:
• Sistema normal
É o sistema em que o número de equações é igual ao número 
de incógnitas (m = n) e o determinante da matriz dos coeficientes é 
diferente de zero.
Exemplo: 
Dado o sistema S: , temos
Logo, o sistema linear S é normal.
• Classificação de um sistema linear
Classificar um sistema linear é considerá-lo em relação ao nú-
mero de soluções que ele apresenta. Assim, os sistemas lineares 
podem ser:
a) Sistema impossível ou incompatível: quando não admite so-
lução. O sistema não admite solução quando o det A for nulo, e pelo 
menos um dos determinantes relativos às incógnitas for diferente 
de zero, isto é: det A 1 0 ou det A2 0 ou ... ou det An 0.
b) Sistema possível ou compatível: quando admite pelo menos 
uma solução. Este sistema pode ser:
– Determinado: quando admitir uma única solução. ‘O sistema 
é determinado quando det A 0.
Em resumo temos:
• Regra de Cramer
Para a resolução de sistemas normais, utilizaremos a regra de 
Cramer. 
Consideramos os sistemas .
Suponhamos que a ≠ 0. Observamos que a matriz incompleta 
desse sistema é
, cujo determinante é indicado por D = ad – bc.
Escalonando o sistema, obtemos: 
Se substituirmos em M a 2ª coluna (dos coeficientes de y) pela 
coluna dos coeficientes independentes, obteremos , cujo de-
terminante é indicado por Dy = af – ce.
MATEMÁTICA
137
Assim, em (*), na 2ª equação, obtemos D. y = Dy. Se D ≠ 0, se
gue que 
Substituindo esse valor de y na 1ª equação de (*)e conside
rando a matriz , cujo determinante é indicado por Dx = 
ed – bf, obtemos , D ≠ 0.
Em síntese, temos:
O sistema é possível e determinado quando , e a solução desse sistema é dada por:
Esta regra é um importante recurso na resolução de sistemas lineares possíveis e determinados, especialmente quando o escalona-
mento se torna trabalhoso (por causa dos coeficientes das equações) ou quando o sistema é literal. 
Exemplo:
Aplicando a Regra de Cramer para resolver os sistemas 
Temos que , dessa forma, SPD.
Uma alternativa para encontrar o valor de z seria substituir x por -2 e y por 3 em qualquer uma das equações do sistema.
Assim, S = {(-2,3-1)}.
Exemplos: 
(UNIOESTE – ANALISTA DE INFORMÁTICA – UNIOESTE) Considere o seguinte sistema de equações lineares 
Assinale a alternativa correta.
(A) O determinante da matriz dos coeficientes do sistema é um número estritamente positivo.
(B) O sistema possui uma única solução (1, 1, -1).
(C) O sistema possui infinitas soluções.
(D) O posto da matriz ampliada associada ao sistema é igual a 3.
(E) Os vetores linha (1, 2, 3/2) e (2, 4, 3) não são colineares.
MATEMÁTICA
138
Resolução:
O sistema pode ser SI(sistema impossível) ou SPI(sistema pos-
sível indeterminado)
Para ser SI Dx = 0 e SPI Dx ≠ 0
Dx ≠ 0, portanto o sistema tem infinitas soluções.
Resposta: C
(SEDUC/RJ - PROFESSOR – MATEMÁTICA – CEPERJ) Sabendo-
-se que 2a + 3b + 4c = 17 e que 4a + b - 2c = 9, o valor de a + b + c é:
(A) 3.
(B) 4.
(C) 5.
(D) 6.
(E) 7.
Resolução:
(I) 2a + 3b + 4c = 17 x(-2)
(II) 4a + b – 2c = 9
Multiplicamos a primeira equação por – 2 e somamos com a 
segunda, cancelando a variável a:
(I) 2a + 3b + 4c = 17
(II) – 5b – 10c = - 25 : (- 5)
Então:
(I) 2a + 3b + 4c = 17
(II) b +2c = 5
Um sistema com três variáveis e duas equações é possível e 
indeterminado (tem infinitas soluções), então fazendo a variável c = 
α (qualquer letra grega).
Substituímos c em (II):
b + 2α = 5
Resposta: D
SEQUÊNCIAS. PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E 
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
Progressão aritmética (P.A.)
É toda sequência numérica em que cada um de seus termos, 
a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante 
r, denominada razão da progressão aritmética. Como em qualquer 
sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4,.......,an,....
• Cálculo da razão
A razão de uma P.A. é dada pela diferença de um termo qual-
quer pelo termo imediatamente anterior a ele.
r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = a5 – a4 = .......... = an – an – 1
Exemplos:
- (5, 9, 13, 17, 21, 25,......) é uma P.A. onde a1 = 5 e razão r = 4
- (2, 9, 16, 23, 30,.....) é uma P.A. onde a1 = 2 e razão r = 7
- (23, 21, 19, 17, 15,....) é uma P.A. onde a1 = 23 e razão r = - 2.
• Classificação
Uma P.A. é classificada de acordo com a razão.
Se r > 0 ⇒ 
CRESCENTE.
Se r < 0 ⇒ 
DECRESCENTE.
Se r = 0 ⇒ 
CONSTANTE.
• Fórmula do Termo Geral
Em toda P.A., cada termo é o anterior somado com a razão, 
então temos:
1° termo: a1
2° termo: a2 = a1 + r
3° termo: a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r
4° termo: a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r
5° termo: a5 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r
6° termo: a6 = a5 + r = a1 + 4r + r = a1 + 5r
 . . . . . .
 . . . . . .
 . . . . . .
n° termo é:
Exemplo: 
(PREF. AMPARO/SP – AGENTE ESCOLAR – CONRIO) Descubra o 
99º termo da P.A. (45, 48, 51,...) 
(A) 339 
(B) 337 
(C) 333 
(D) 331 
Resolução:
Resposta: A
Propriedades
1) Numa P.A. a soma dos termos equidistantes dos extremos é 
igual à soma dos extremos.
2) Numa P.A. com número ímpar de termos, o termo médio é 
igual à média aritmética entre os extremos. 
MATEMÁTICA
139
Exemplo:
3) A sequência (a, b, c) é P.A. se, e somente se, o termo médio é igual à média aritmética entre a e c, isto é:
Soma dos n primeiros termos
Progressão geométrica (P.G.)
É uma sequência onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante. Essa constante é chamada de razão da P.G. 
e simbolizada pela letra q. 
Cálculo da razão
A razão da P.G. é obtida dividindo um termo por seu antecessor. Assim: (a1, a2, a3, ..., an - 1, an, ...) é P.G. ⇔ an = (an - 1) q, n ≥ 2
Exemplos:
MATEMÁTICA
140
Classificação 
Uma P.G. é classificada de acordo com o primeiro termo e a razão.
CRESCENTE DECRESCENTE ALTERNANTE CONSTANTE SINGULAR
a1 > 0 e q > 1
ou quando
a1 < 0 e 0 < q < 1.
a1 > 0 e 0 < q < 1
ou quando
a1 < 0 e q > 1.
Cada termo apresenta sinal contrário 
ao do anterior. Isto ocorre quando.
q < 0
q = 1.
(também é chamada de Esta-
cionária)
a1 = 0
ou
q = 0.
Fórmula do termo geral
Em toda P.G. cada termo é o anterior multiplicado pela razão, então temos:
1° termo: a1
2° termo: a2 = a1.q
3° termo: a3 = a2.q = a1.q.q = a1q
2
4° termo: a4 = a3.q = a1.q
2.q = a1.q
3
5° termo: a5 = a4.q = a1.q
3.q = a1.q
4
 . . . . .
 . . . . .
 . . . . .
n° termo é:
Exemplo: 
(TRF 3ª – ANALISTA JUDICIÁRIO - INFORMÁTICA – FCC) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas. Se fosse possível colocar 1 grão de 
arroz na primeira casa, 4 grãos na segunda, 16 grãos na terceira, 64 grãos na quarta, 256 na quinta, e assim sucessivamente, o total de 
grãos de arroz que deveria ser colocado na 64ª casa desse tabuleiro seria igual a 
(A) 264. 
(B) 2126. 
(C) 266. 
(D) 2128. 
(E) 2256.
Resolução: 
Pelos valores apresentados, é uma PG de razão 4
a64 = ?
a1 = 1
q = 4
n = 64
Resposta: B
Propriedades
1) Em qualquer P.G., cada termo, exceto os extremos, é a média geométrica entre o precedente e o consequente.
2) Em toda P.G. finita, o produto dos termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos. 
MATEMÁTICA
141
3) Em uma P.G. de número ímpar de termos, o termo médio é a média geométrica entre os extremos.
Em síntese temos:
4) Em uma PG, tomando-se três termos consecutivos, o termo central é a média geométrica dos seus vizinhos.
Soma dos n primeiros termos
A fórmula para calcular a soma de todos os seus termos é dada por:
Produto dos n termos
Temos as seguintes regras para o produto:
1) O produto de n números positivos é sempre positivo.
2) No produto de n números negativos:
 a) se n é par: o produto é positivo.
 b) se n é ímpar: o produto é negativo.
Soma dos infinitos termos
A soma dos infinitos termos de uma P.G de razão q, com -1 < q < 1, é dada por:
Exemplo: 
A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é
(A) 3,1
(B) 3,9
(C) 3,99
(D) 3, 999
(E) 4
Resolução:
Sejam S as somas dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009;…) de razão q = 0,09/0,9 = 0,1. Assim:
S = 3 + S1
Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1:
S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 → S = 3 + 1 = 4
Resposta: E
MATEMÁTICA
142
QUESTÕES
1. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2021/”PROVA A”
Antes de iniciar uma campanha publicitária, um banco fez uma 
pesquisa, entrevistando 1000 de seus clientes, sobre a intenção de 
adesão aos seus dois novos produtos. Dos clientes entrevistados, 
430 disseram que não tinham interesse em nenhum dos dois pro-
dutos, 270 mostraram- -se interessados no primeiro produto, e 400 
mostraram-se interessados no segundo produto.
Qual a porcentagem do total de clientes entrevistados que se 
mostrou interessada em ambos os produtos?
(A) 10%
(B) 15%
(C) 20%
(D) 25%
(E) 30%
2. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2021/”PROVA B”
Um banco está selecionando um novo escriturário e recebeu 
um total de 50 currículos. Para o exercício desse cargo, três habi-
lidades foram especificadas: comunicação, relacionamento inter-
pessoal e conhecimento técnico. As seguintes características foram 
detectadas entre os candidatos a essa vaga:
• 15 apresentavam habilidade de comunicação;
• 18 apresentavam habilidade de relacionamento interpessoal;
• 25 apresentavam conhecimento técnico;
• Seis apresentavam habilidade de relacionamento interpesso-
al e de comunicação;
• Oito apresentavam habilidade de relacionamento interpesso-
al e conhecimento técnico;
• Dois candidatos apresentavam todas as habilidades;
• Oito candidatosnão apresentavam nenhuma das habilidades.
Com base nessas informações, qual o número total de candida-
tos que apresentam apenas uma das três habilidades apontadas?
(A) 28
(B) 38
(C) 21
(D) 13
(E) 15
3. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2018
Considere o conjunto A cujos 5 elementos são números intei-
ros, e o conjunto B formado por todos os possíveis produtos de três 
elementos de A. 
Se B = {–30, –20, –12, 0, 30}, qual o valor da soma de todos os 
elementos de A?
(A) 5
(B) 3
(C) 12
(D) 8
(E) –12
4. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2021/”PROVA C”
De quantas formas diferentes, em relação à ordem entre as 
pessoas, dois homens e quatro mulheres poderão ser dispostos em 
fila indiana, de modo que entre os dois homens haja, pelo menos, 
uma mulher?
(A) 10
(B) 20
(C) 48
(D) 480
(E) 720
5. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2018
Uma professora do jardim da infância entregou um mesmo de-
senho para cada um de seus 10 alunos e distribuiu vários lápis de 
cor entre eles. A tarefa era pintar o desenho, que possuía diversas 
regiões. Cada uma dessas regiões apresentava a cor com a qual de-
veria ser pintada. Todos os alunos receberam a mesma quantidade 
de lápis de cor, mas nenhum aluno recebeu todas as cores neces-
sárias para pintar todo o desenho e, portanto, eles precisavam se 
agrupar para conseguir completar a tarefa. Formando qualquer gru-
po de 6 alunos, uma região não poderia ser pintada, mas qualquer 
grupo de 7 alunos conseguiria completar a tarefa. Todas as regiões 
deveriam receber cores diferentes, e a professora distribuiu o me-
nor número de lápis de cor para cada aluno.
Quantos lápis de cor cada aluno recebeu?
(A) 42
(B) 63
(C) 210
(D) 105
(E) 84
6. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2018
Um professor elaborou 10 questões diferentes para uma prova, 
das quais 2 são fáceis, 5 são de dificuldade média, e 3 são difíceis. 
No momento, o professor está na fase de montagem da prova. A 
montagem da prova é a ordem segundo a qual as 10 questões serão 
apresentadas. O professor estabeleceu o seguinte critério de distri-
buição das dificuldades das questões, para ser seguido na monta-
gem da prova:
MATEMÁTICA
143
De quantas formas diferentes o professor pode montar a prova 
seguindo o critério estabelecido?
(A) 2520
(B) 128
(C) 6
(D) 1440
(E) 252
7. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2021/”PROVA B”
Uma empresa paga um salário bruto mensal de R$ 1.000,00 a 
um de seus funcionários. Além desses honorários, a empresa deve 
recolher o FGTS desse empregado.
Sabendo-se que o valor pago corresponde a, aproximadamen-
te, 8,33% do salário bruto, qual o valor pago, a título de FGTS, por 
esse funcionário?
(A) R$ 1.008,33
(B) R$ 8,33
(C) R$ 83,30
(D) R$ 991,67
(E) R$ 1.083,30
8. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2021/”PROVA C”
Uma profissional liberal comprou dois apartamentos com o ob-
jetivo de vendê-los. Na venda do primeiro deles, obteve um lucro 
de 36% sobre o preço de compra e, na do segundo, um lucro de 
12%, também sobre o preço de compra. Ela recebeu por essas duas 
vendas uma quantia 27% maior do que a soma das quantias pagas 
na compra dos dois apartamentos.
Nessas condições, sendo P a quantia paga pelo primeiro apar-
tamento, e S a quantia paga pelo segundo, a razão P/S é igual a
(A) 8/5
(B) 5/3
(C) 12/5
(D) 17/14
(E) 9/8
9. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE DE TECNO-
LOGIA/2021
Durante um atendimento, o cliente de um banco relata ao geren-
te de atendimento sua disponibilidade para investir R$400.000,00. 
O gerente tem ao seu dispor 5 opções de investimento: renda fixa, 
CDB, fundo de ações, LCI e LCA. Ao cliente foi oferecida uma carteira 
diversificada de 20%, 10%, 30%, 15% e 25%, respectivamente.
Sendo assim, verifica-se que o valor sugerido para
(A) renda fixa foi de R$80.000,00
(B) CDB foi de R$60.000,00
(C) fundo de ações foi de R$40.000,00
(D) LCI foi de R$100.000,00
(E) LCA foi de R$120.000,00
10. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE DE TECNO-
LOGIA/2021
Uma central de assistência técnica de celulares trabalha com 
três modelos de um mesmo fabricante. Para melhor organizar seu 
sistema, foi medido o tempo de serviço para o conserto de cada 
aparelho, desde a chegada do pedido de manutenção até a entrega 
do aparelho consertado, e cada um desses prazos foi classificado 
como Curto, Médio ou Longo.
A Tabela abaixo mostra a distribuição dos tempos de serviço 
para cada um dos três modelos aos quais a empresa prestou assis-
tência em 2020.
Considerando-se que, ao longo do ano de 2020, essa empresa 
reparou 1.000 unidades do modelo A, 600 unidades do modelo B 
e 400 unidades do modelo C, qual foi a porcentagem destes aten-
dimentos, nesse período, que tiveram tempo de serviço Curto ou 
Médio?
(A) 29%
(B) 48%
(C) 52%
(D) 58%
(E) 96%
11. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2018
O dono de uma loja deu um desconto de 20% sobre o preço de 
venda (preço original) de um de seus produtos e, ainda assim, obte-
ve um lucro de 4% sobre o preço de custo desse produto.
Se vendesse pelo preço original, qual seria o lucro obtido sobre 
o preço de custo?
(A) 40%
(B) 30%
(C) 10%
(D) 20%
(E) 25%
12. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2018
Uma empresa cria uma campanha que consiste no sorteio de 
cupons premiados. O sorteio será realizado em duas etapas. Primei-
ramente, o cliente lança uma moeda honesta:
se o resultado for “cara”, o cliente seleciona, aleatoriamente, 
um cupom da urna 1;
se o resultado for “coroa”, o cliente seleciona, aleatoriamente, 
um cupom da urna 2.
Sabe-se que 30% dos cupons da urna 1 são premiados, e que 
40% de todos os cupons são premiados.
Antes de começar o sorteio, a proporção de cupons premiados 
na urna 2 é de
(A) 50%
(B) 25%
(C) 5%
(D) 10%
(E) 15%
MATEMÁTICA
144
13. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE DE TECNO-
LOGIA/2021
André, Bianca e Carol precisam pintar um painel de 50m2. Para 
pintar 1m2, André gasta 12 minutos, Bianca gasta 20 minutos, e Ca-
rol, 15 minutos.
Supondo-se que os três pintaram, juntos, o mesmo painel, sem 
fazer pausas e a velocidades constantes, quanto tempo eles leva-
ram para a conclusão da tarefa?
(A) 3h 40min
(B) 4h 10min
(C) 5h 50min
(D) 6h
(E) 6h 20min
14. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE DE TECNO-
LOGIA/2021
Um escriturário mantém um desempenho de preencher 30 re-
latórios por hora e faz uma pausa de 10 minutos às 13h. Durante a 
pausa, seu chefe pergunta a que horas receberá todos os relatórios 
preenchidos.
Se falta apenas 1 relatório e meio, e o escriturário pretende 
manter seu desempenho, a partir de que horas o chefe pode contar 
com todos os relatórios preenchidos?
(A) 13h02min
(B) 13h03min
(C) 13h10min
(D) 13h12min
(E) 13h13min
15. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2021/”PROVA B”
Um garçom ganha um salário fixo por mês mais gorjetas diá-
rias. Como regra, ele se propôs a cada dia do mês guardar um pouco 
do que ganha de gorjetas para fazer uma reserva financeira, que é 
depositada no banco ao fim do dia 30, exceto em fevereiro. No dia 
1, ele guarda R$ 1,00; no dia 2, guarda R$ 2,00; no dia 3, R$ 3,00, 
e assim, sucessivamente, até que no dia 30, ele junta R$ 30,00 ao 
que vinha guardando e faz o depósito. Em um determinado mês de 
30 dias, ele precisou gastar tudo que havia juntado até o fim do dia 
15, mas quis repor esse gasto. Para isso, guardou do dia 16 até o dia 
30 um valor fixo de x reais por dia, de modo que, no fim do mês, 
depositou a mesma quantia que vinha depositando todos os meses, 
exceto em fevereiro.
Qual é o valor de x?
(A) 20
(B) 23
(C) 25
(D) 27
(E) 31
16. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2018
Para obter uma amostra de tamanho 1.000 dentre uma popu-
lação de tamanho 20.000, organizada em um cadastro em que cada 
elemento está numerado sequencialmente de 1 a 20.000, um pes-
quisador utilizou o seguinte procedimento:
I - calculou um intervalo de seleção da amostra, dividindo o 
total da populaçãopelo tamanho da amostra: 20.000/1.000 = 20;
II - sorteou aleatoriamente um número inteiro, do intervalo [1, 
20]. O número sorteado foi 15; desse modo, o primeiro elemento 
selecionado é o 15º;
III - a partir desse ponto, aplica-se o intervalo de seleção da 
amostra: o segundo elemento selecionado é o 35º (15+20), o ter-
ceiro é o 55º (15+40), o quarto é o 75º (15+60), e assim sucessiva-
mente. 
O último elemento selecionado nessa amostra é o
(A) 19.997º
(B) 19.995º
(C) 19.965º
(D) 19.975º
(E) 19.980º
17. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2021/”PROVA B”
Um banco está planejando abrir uma nova agência em uma 
cidade do interior. O departamento de Marketing estima que o nú-
mero de clientes da agência (NC) em função do número de meses 
decorridos (t) desde a inauguração seguirá a seguinte função expo-
nencial:
NC(t)=100×(2t)
Quantos meses completos, após a inauguração, o número esti-
mado de clientes da agência será superior a 2.000?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
18. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2018
Sabe-se que g é uma função par e está definida em todo do-
mínio da função f, e a função f pode ser expressa por f(x) = x 2 + k 
. x . g(x).
Se f(1) = 7, qual o valor de f(–1)?
(A) 7
(B) 5
(C) –7
(D) –6
(E) –5
19. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2021/”PROVA A”
Uma loja vende um produto em dois tipos de embalagem: uni-
tária (com uma unidade do produto) e dupla (com duas unidades 
do produto). Em certo mês, foram vendidas 16 embalagens duplas 
e 20 unitárias, gerando uma receita para a loja de R$ 488,00. No 
mês seguinte, foram vendidas 30 embalagens duplas e 25 unitárias, 
gerando uma receita de R$ 790,00.
Qual foi a porcentagem do desconto dado em cada unidade do 
produto ao se comprar a embalagem dupla?
(A) 5%
(B) 8%
(C) 10%
(D) 12%
(E) 15%
MATEMÁTICA
145
20. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2021/”PROVA C”
Um banco tem agências em três regiões do país. Em cada re-
gião, trabalha-se com a comercialização de três segmentos: segu-
ros (X), previdência (Y) e consórcios (Z). Cada equação linear que 
compõe o sistema abaixo representa a capacidade de uma regional 
produzir valor agregado para o banco, em cada segmento de atua-
ção (lado esquerdo das equações), visando ao alcance das metas de 
lucro operacional em milhares de reais (lado direito das equações).
De acordo com esses dados, verifica-se que a contribuição de 
um dado segmento que atinge exatamente a meta de sua região é 
de
(A) R$160.000,00 no segmento seguros, na região Sul
(B) R$400.000,00 no segmento previdência, na região Sudeste
(C) R$180.000,00 no segmento consórcio, na região Norte
(D) R$90.000,00 no segmento seguros, na região Norte
(E) R$180.000,00 no segmento previdência, na região Sul
GABARITO
1 A
2 A
3 D
4 D
5 E
6 D
7 C
8 B
9 A
10 B
11 B
12 A
13 B
14 E
15 E
16 B
17 E
18 E
19 C
20 A
ANOTAÇÕES
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
MATEMÁTICA
146
______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
147
ATUALIDADES DO MERCADO FINANCEIRO
OS BANCOS NA ERA DIGITAL: ATUALIDADE, 
TENDÊNCIAS E DESAFIOS. INTERNET BANKING. 
MOBILE BANKING. OPEN BANKING. NOVOS MODELOS 
DE NEGÓCIOS. FINTECHS, STARTUPS E BIG TECHS. 
SISTEMA DE BANCOS-SOMBRA (SHADOW BANKING). 
O DINHEIRO NA ERA DIGITAL: BLOCKCHAIN, BITCOIN 
E DEMAIS CRIPTOMOEDAS. SEGMENTAÇÃO E 
INTERAÇÕES DIGITAIS. TRANSFORMAÇÃO DIGITAL NO 
SISTEMA FINANCEIRO
Presente, tendências e desafios
Os bancos “tradicionais” já utilizam a tecnologia para oferecer 
serviços e facilidades aos seus clientes. Seja através de internet 
banking ou móbile banking. No entanto, esses bancos precisam ino-
var tecnologicamente o mais rápido possível, caso contrário, serão 
substituídos pelos bancos digitais.
O maior desafio de um banco digital no Brasil é transformar 
uma cultura de muitos anos de contatos diretos com atendentes, 
gerentes e pagamentos via operadores de caixa em agências físi-
cas para o atendimento virtual. Pois ainda existe a desconfiança de 
muitos clientes, principalmente aqueles com idades mais elevadas; 
inclusive a dificuldade e insegurança para o acesso.
Para conquistarem mais clientes, os bancos digitais inovam 
cada vez mais em tecnologia e resolução de problemas de forma 
mais simples e rápido, trazendo um conceito de valor e utilidade 
para seus usuários.
Internet banking, banco virtual e “dinheiro de plástico” 
Internet Banking
É a plataforma bancária que utiliza a tecnologia como sua alia-
da. É o ambiente que fica na internet em que os clientes realizam 
operações bancárias, em ambiente fora da agência.
No site do banco, os clientes podem realizar operações de ex-
tratos, saldos, pagamentos, empréstimos, etc.; permitindo que as 
movimentações sejam realizadas com mais conforto e comodidade, 
pois não há necessidade de se deslocar até uma agência.
Banco virtual
São plataformas tecnológicas, também conhecidas como finte-
chs (empresas que inovaram no modelo de negócios e operação) do 
Sistema Financeiro Nacional.
Foram criados para com a intenção de permitir o acesso ao siste-
ma bancário aos brasileiros que não tem acesso aos bancos comuns.
Toda sua operação é realizada de modo virtual, sem agências fí-
sicas abertas. Desde a abertura de contas até as movimentações de 
pagamentos, consultas diversas, transferências são realizadas por 
meio de sites ou aplicativos.
“Dinheiro de plástico”
É o meio físico de pagamento, mais conhecido como “cartão”, 
utilizado para pagamentos, saques e diversas movimentações em 
caixas eletrônicos.
Facilitam na rapidez e no sentido de evitar idas nas agências, ape-
nas para tais serviços. Promove também o conforto e a segurança do 
cliente que não necessita da utilização de dinheiro em espécie para 
suas operações financeiras. Reduz custos para as instituições financei-
ras e promove a garantia do recebimento para os comerciantes.
Os cartões mais utilizados são:
• Cartões de débito – Débito automático na conta do cliente 
do valor referente a compra. Segurança também para o estabele-
cimento, pois tem a certeza que o pagamento já saiu da conta do 
cliente.
• Cartão de crédito – Incentiva o consumo, pois o pagamento 
de suas compras ocorrerá apenas no vencimento da fatura, inclusi-
ve em parcelas.
• Cartões múltiplos – Que exercem duas funções simultâneas 
(débito e crédito).
Mobile banking
É a tecnologia do banco voltada para a tela do celular ou outros 
dispositivos móveis, 365 dias por ano, permitindo a realização de 
diversas transações financeiras através de aplicativos que são bai-
xados em smartphones, relógios inteligentes, etc.
Possibilita aos clientes rapidez e comodidade, devido acesso 
em qualquer localidade e sem a necessidade de idas as agências 
físicas; o que também reduz custos das instituições financeiras.
Open banking e o modelo de bank as a service
Open Banking
É um conjunto de práticas que torna o cliente detentor de seus 
dados financeiros, como por exemplo, datas e valores de transfe-
rências, pagamentos, ou produtos que selecionou para investimen-
tos. O que proporciona inovação e concorrência entre os serviços 
financeiros.
Em abril de 2019, o Banco Central do Brasil, iniciou a imple-
mentação do Open Banking no Brasil.
Essas novas ações possibilitam que o consumidor tenha o po-
der de escolha de transferir seus dados do banco A para o banco 
B; pois acredita, por exemplo, que no segundo banco terá melhor 
condições de taxas de juros, tarifas ou até mesmo, melhor atendi-
mento. 
Assim, o usuário tem a propriedade de seus dados e escolhe 
com quem compartilhá-los.
Modelo de bank as a service
Também conhecido por “banco como serviço”, é uma solução 
que tem o potencial de ampliar a competitividade e a colaboração 
na prestação de serviços financeiros.
Com o bank as a service, empresas de qualquer segmento de 
mercado, passam a ter condições de oferecer serviços bancários de 
uma forma simples e rápida.
Os grandes benefícios para o consumidor é a variedade de em-
presas oferecendo serviços bancários, as filas em bancos ficam ape-
nas na lembrança, pois tudo é realizado por meio digital.
ATUALIDADES DO MERCADO FINANCEIRO
148
O comportamento do consumidor na relação com o banco
Cada vez mais ligados as tecnologias, consumidores tem bus-
cado facilidade, comodidade e rapidez nos serviços em geral. Em 
relação aos serviços bancários não seria diferente.
Os bancos digitais preencheram grande parte dessas necessi-
dades, através da redução de burocracia, fim das filas e idas em 
agências físicas dos bancos tradicionais. Com essas instituições já é 
possível abrir contas, realizar aplicações, obter financiamentos por 
aplicativos de forma rápida e segura. 
Desde a entrada dos bancos virtuais, os clientes mudaram o 
relacionamento e o comportamento com os bancos, deixando a de-
pendência física das agências, passando a se comunicar pelo inter-
net banking e móbile banking na utilização dos serviços financeiros.
A experiência do usuário
A experiência do usuário (user experience – UX) é o termo uti-
lizado para mencionar a relação de uma pessoa com um produto, 
serviço, objeto, etc. Essa relação de utilidade vai definir se a expe-
riência foi boa ou ruim.
Os bancos digitais tem concentrado todos os esforços para que 
a experiências de seus clientes seja a melhor possível. Para isso, de-
senvolvem a todo momento, produtos e serviços que atendam às 
necessidades dos usuários, tanto na forma de redução de burocracia 
de atendimento, facilidade e rapidez na solução de problemas, reali-
zação de tarefas de maneira mais ágil. 
São produtos e serviços cada vez mais inovadores e tecnológicos, 
que proporcionam aos clientes e as empresas geração de valor. 
Inteligência artificial cognitiva
É a utilização da inteligência de computadores (robôs) que ad-
quirem conhecimento com o passar do tempo. Ao utilizar essa tecno-
logia em seus serviços, as instituições financeiras tem como objetivo 
principal, a eficácia, rapidez no atendimento. E personalização dos 
serviços oferecidos.
A cada acesso, o computador é abastecido com as informações 
do cliente, percebendo suas necessidades e preferências, por isso 
que o sistema fica cada vez mais inteligente; por exemplo, ao acessar 
o internet banking. É a tecnologia em constante desenvolvimento.
Essa tecnologia é utilizada principalmente no atendimentotele-
fônico das instituições, nos caixas eletrônicos através da leitura bio-
métrica e também na internet e móbile banking.
Banco digitalizado versus banco digital
Banco digitalizado é a modalidade já conhecida de bancos “tra-
dicionais” (Caixa Econômica Federal, Banco do Brasil, etc.) que utili-
zaram a tecnologia para modernizar o atendimento e inovar o modo 
como seus clientes realizam as transações. Através da digitalização, 
conseguiram mudar o foco das agências para internet banking e mó-
bile banking. 
Porém, mesmo passando por essa inovação, não são totalmente 
digitais e ainda possuem agências físicas para apoio presencial com 
operadores de caixa, atendentes e gerentes.
Os bancos digitais são aqueles totalmente virtuais, não possuem 
atendimento em agências físicas, por exemplo, Nubank e Neon.
Já foram criados nesse novo conceito e seus clientes utilizam 
100% de internet banking e móbile banking para realizar operações 
como pagamentos, transferências, consultas, etc.; o saque ocorre em 
caixas eletrônicos espalhados por estabelecimentos diversos.
Para abrir uma conta nos bancos digitais, todo o processo é via 
ambiente virtual. O interessado se cadastra, faz a solicitação e após 
aprovação; envia os documentos e assinatura digitalizados.
Fintechs, Startups e Big Techs
As fintechs (finanças + tecnologia) são startups que trabalham 
para otimizar o processo tradicional dos serviços financeiros e tam-
bém resolver através da tecnologia, problemas específicos de pes-
soas físicas ou jurídicas.
Em geral, trazem produtos altamente inovadores, simples e mui-
to eficientes. Muitas vezes, analisando e preenchendo espaços que 
deveriam ser dos bancos tradicionais, atendendo um público que em 
muitos casos, não tem acesso as instituições financeiras comuns. 
Big Techs são grandes empresas de tecnologia que dominam o 
mercado, moldam como as pessoas compra, vendem, consomem 
e trabalham. Tem como motor a inovação, sempre definindo novas 
tecnologias e serviços. Entre as principais estão a Apple, Amazon e 
Microsoft.
Soluções mobile e service design
Soluções Mobile
Utilização de aplicativos na tecnologia da resolução das necessi-
dades dos clientes. Para que esse processo ocorra de maneira mais 
eficaz, é necessário identificar quais serviços e produtos os usuários 
mais precisam. 
No sistema bancário, são os aplicativos que permitem abertura 
de conta e a realização de todas as transações bancárias e atendi-
mento ao cliente no local em que estiver, através de um smartpho-
ne.
Service Design
Serviço capaz de oferecer aos clientes utilidade, eficiência, efi-
cácia, ou seja, o serviço que é reconhecido pelos clientes a ponto de 
gerar valor para ambas as partes.
No setor financeiro, os bancos digitais procuram oferecer servi-
ços de qualidade, otimizando tempo e custos de clientes e trazendo 
soluções simples e rápidas para problemas financeiros.
O dinheiro na era digital: blockchain, bitcoin e demais cripto-
moedas
Blockchain
É a tecnologia que permite o registro de informações de forma 
segura. Através dela, ocorre a transferência de valores digitalmente 
mesmo sem a intermediação de instituições financeiras. Devido seu 
nível de segurança, não há necessidade da confiança entre terceiros 
para as transações.
Essa tecnologia pode ter outras funções, como a utilização na 
indústria, para que a cadeia produtiva seja mais passível de rastrea-
mento e suas informações fiquem registradas de forma imutável e, 
ainda, para que seus dados seu se percam.
Tudo pode ser registrado na blockchain, pois sua composição 
se assemelha a uma grande biblioteca e a chave pública pode ser 
comparada a pastas de arquivos.
Para utilizar seus recursos, os usuários devem possuir um ende-
reço na própria blockchain.
Bitcoin
Bitcoin é uma moeda em forma de código, que não existe fisi-
camente e não tem um banco central que organize sua organização. 
Ou seja, só existe no mundo virtual.
Ela surgiu em 2008, tendo sua criação associada a um grupo de 
a um grupo de programadores, usando um pseudônimo de Satoshi 
Nakamoto. Para isso, seus criadores utilizaram a soma do processa-
mento de seus computadores para acelerar tal ação; pois um com-
putador apenas levaria aproximadamente um ano para a realização 
de uma fração de bitcoin.
ATUALIDADES DO MERCADO FINANCEIRO
149
Para ser dono de bitcoins é necessário possuir uma carteira vir-
tual, representada por um aplicativo em que fica armazenado uma 
sequência de letras, que representa o dinheiro do comprador. Caso 
esse código seja perdido, o resultado será a perda do investimento.
Atualmente existem diversas corretoras que trabalham com a 
venda de bitcoins.
Demais criptomoedas
As principais criptomoedas negociadas são:
• XRP Ripple – Criptomoeda centralizada, projetada para au-
xiliar instituições financeirasa movimentar dinheiro de forma mais 
rápida, global e também com redução de custos. 
• Litecan – Criptomoeda criada para transações mais rápidas e 
com menos custos que a bitcoin, para ser utilizada em pagamentos 
do dia a dia.
• Bitcoin Cash – Projetada para transações mais rápidas e roti-
neiras, com taxas mais baixas. 
• Ethereum – Blockchain que permite o armazenamento de 
contratos inteligentes e aplicativos em sua rede. Utiliza como crip-
tomoeda a Ether, lançada em 2017.
Sistema de bancos-sombra (shadow banking)
É um conjunto de operações não-regulamentadas de intermediá-
rios financeiros, que fornecem crédito no sistema financeiro global de 
forma “informal”. Ou seja, de forma indireta, sem passar por supervisão 
ou regulamentação bancária, algumas instituições conseguem realizar 
financiamentos e empréstimos com suas atividades paralelas ao sistema 
bancário tradicional.
Operações desse tipo oferecem maiores riscos de mercado, visto que, 
na maior parte das vezes, não possuem uma garantia de capital reserva, o 
que não impediu seu crescimento à nível global, de modo que se estima 
que há que quase 100 trilhões de dólares circulam em ativos financeiros 
desse tipo, tornando-o importante e relevante na estrutura financeira glo-
bal, como fornecedor de capital e crédito para investidores e corporações.
Contudo, observa-se um papel crítico atender esse tipo de deman-
da, de modo que muitos argumentam que esses mercados paralelos co-
laboraram para grandes crises financeiras, como a de 2008 nos Estados 
Unidos, por isso tenta-se desde então aprovar uma série de medidas 
para regular ou limitar esse tipo de operação, visto que seus números 
alavancados e sem garantia seguem expondo os sistemas financeiros do 
mundo todo em risco.
Segmentação e interações digitais
A era dos avanços tecnológicos traz em seu bojo inúmeras 
transformações, em especial na forma de como os negócios tradicionais 
no mercado se realizam. Quanto a transformação digital do setor 
bancário, por muitos anos, esse era um setor cheio de formalidades, 
com muitas agências físicas, grandes filas e alguns procedimentos 
exigiam retorno duas ou mais vezes às agências, ou seja, era sinônimo 
de preocupação ao usuário. O cenário era de concentração de mercado, 
pautada no domínio centrado em poucas instituições contribuindo para 
desbancarização de muitas pessoas1.
Diante da mudança de cenário, onde o modelo digital de negócios 
cresce a cada dia surgem as Startups voltadas ao meio financeiro 
denominadas de Fintechs, que são empresas de tecnologia financeira 
com o objetivo de cobrir os gargalos do sistema financeiro tradicional, 
com o lema “inovação”. A ideia vem apresentando forte crescimento e se 
demonstrando como tendência mundial. O sucesso das Fintechs se deve 
ao fato das facilidades e efetividade do suprimento das necessidades dos 
clientes e usuários.
1 https://www.famaqui.edu.br/app/webroot/ojs/index.php/saberes/article/
download/26/25/.
O material genético de uma Startup é a palavra “inovação”, e o 
objetivo principal é a transformação com vistas a um “melhor servir”. Por 
serem segmentos novos no mercado, o futuro é incerto, mas altamente 
promissor,tanto que a cada ano o crescimento é exponencial.
Ainda que diante de toda incerteza verifica-se que as Startups 
estão presentes em todos os segmentos da sociedade, como exemplo: 
saúde, lazer, agronegócios, alimentação, vestuário, financeiros, 
bancário, entre outros.
Dando ênfase ao segmento bancário tem-se que as Startups 
atuantes neste contexto são denominadas de Fintechs, as quais são 
empresas que inovam quanto à forma de dispor os serviços financeiros 
e bancários, trazendo facilidades atribuídas pelo rompimento da 
burocracia dos métodos tradicionais de fornecimento de bens e serviços.
Das definições apresentadas entende-se que, as Fintechs são 
Startups especializadas no setor financeiro/bancário tendo como 
propósito a desburocratização e capilarização dos serviços e produtos 
financeiros. O objetivo maior é o fornecimento de soluções ágeis e 
eficazes para cada usuário, melhorando assim, a experiência no consumo 
de bens e produtos do segmento.
Atualmente, atribui-se às Startups e Fintechs, a fonte impulsionadora 
dos grandes movimentos tecnológicos, já que figuram como agentes 
de transformação. A demanda pelo universo digital vem crescendo a 
passos largos, devido as facilidades oferecidas e a boa aceitação dos 
usuários.
As Startups e Fintechs vieram para revolucionar a forma de 
como se executa algo, seu objetivo principal é facilitar a vida de seus 
usuários em busca da satisfação, ingrediente primordial para o 
sucesso de qualquer organização no mercado.
Nesse contexto, a disputa ente as Fintechs e os grandes bancos 
no Brasil são acirradas, já que aquelas são estruturas enxutas 
e altamente dinâmicas no quesito digital, o que lhes garantem 
maior flexibilidade e possibilidade de desenvoltura, já os bancos 
tradicionais precisam se reinventar a cada dia, para fazer frente à 
manutenção de seus clientes e usuários, de forma a garantir que no 
futuro tenham espaço no mercado.
O desenvolvimento tecnológico aplicado ao segmento 
bancário
A evolução digital vem revolucionando a forma de como se 
realiza negócios em todos os segmentos do mercado. Em especial, 
o setor bancário tradicional é altamente afetado pelos reflexos 
das variações tecnológicas, e por conta disso, busca a cada dia 
se adequar às inovações, para garantir sua permanência em um 
mercado altamente competitivo.
Em uma análise de contexto específico sobre essas mudanças 
que a era digital vem ocasionando no mercado financeiro, área 
onde circulam grande volume de negócios, pode-se perceber a 
ocorrência de uma constante ruptura do formalismo bancário 
tradicional, exigido pela legislação que afeta ao segmento, para 
muitas flexibilizações e facilidades na forma de disponibilizar seus 
produtos e serviços a seus consumidores de forma eficiente e com 
rapidez.
Essas mudanças de paradigmas demonstradas com o avanço da 
tecnologia impulsionaram os bancos tradicionais a se adaptarem às 
mesmas, por conta do desenvolvimento tecnológico responsável por 
despontar no mercado, em especial o financeiro, novos prestadores 
de produtos e serviços carregados de novidades e transformações 
aos usuários, como as Startups e Fintechs, disputando o competitivo 
e pouco aberto mercado financeiro.
Neste cenário, pode-se perceber que a expansão das Fintechs no 
Brasil é recente, por volta de 2010, a mudança ainda era silenciosa, 
mas hoje essas empresas comandam uma grande transformação 
nesse mercado. Com o surgimento das primeiras Fintechs, observa-
ATUALIDADES DO MERCADO FINANCEIRO
150
se no mercado um vertiginoso crescimento destas, impulsionando 
e influenciando mudanças aos participantes do mercado financeiro, 
em especial os bancos tradicionais.
É importante salientar que no desenvolvimento tecnológico no 
segmento bancário despontam as Fintechs, empresas 100% (cem 
por cento) digitais, que se dedicam a área financeira, facilitando a 
concessão de produtos e serviços, como por exemplo:
→ a disponibilização de crédito rápido, menos burocrático e 
com reduzidas taxas de juros;
→ abertura de conta corrente sem custos;
→ concessão de cartões de créditos com limites que agradam 
os usuários e sem anuidades;
→ serviços bancários como: transferências, pagamentos, 
seguros e investimentos;
→ atendimento remoto e muito ágil, facilitando a rotina dos 
usuários, já que não é necessário atendimento presencial, ou seja, 
agradável ao público a que se destina.
Diante dessas facilidades, verifica-se o crescimento das 
Startups e Fintechs por atuarem e buscarem parcela de clientes 
não bancarizados, ou descontentes com a forma de prestação de 
serviço bancário tradicional. Parcela de clientes que na maioria das 
vezes possui ampla voz ativa no mercado, aliados com contribuição 
que o marketing digital disponibiliza para a expansão crescente 
deste modelo de negócio.
Verifica-se que as Startups e Fintechs possuem hoje presença 
mínima no mercado financeiro, porém suficiente para impulsionar 
as mudanças no segmento, já que disponibiliza facilidades nunca 
antes vistas na forma de ofertar produtos e serviços financeiros 
aos diversos clientes, que precisam de novidades como medida de 
atração e segurança, e uma forma de fidelização em negócios de alta 
competitividade.
Neste cenário, as instituições bancárias tradicionais cientes das 
evoluções tecnológicas buscam moldar-se às tendências de mercado, 
para assegurar sua permanência no competitivo mercado financeiro.
Transformação digital no Sistema Financeiro
Disruptura do método tradicional de atendimento bancário
Sobre a conceituação do termo disruptura, que significa ruptura 
ou quebra da continuidade, diante do poder de influência das 
Startups e Fintechs, os bancos a cada dia criam formas de se ajustar 
a oferta de produtos e serviços seguindo as tendências de mercado, 
que em termos de avanços tecnológicos muitas mudanças deverão 
ocorrer para melhorias continuas dos processos. Para tanto, a prática 
mais adotada pelas instituições financeiras é a implementação dos 
canais digitais. Hoje os principais players do mercado financeiro estão 
altamente digitalizados2.
Nesse sentido, as principais ferramentas implementadas foram: 
acesso ao mobile banking; internet banking; correspondentes 
bancários e terminais de autoatendimento. Destes canais, o que mais 
cresceu foi o mobile banking devido aos smartphones ganharem 
significativo espaço no quotidiano das pessoas.
Os negócios bancários digitais, ou seja, aqui entendidos como 
os produtos e serviços bancários transacionados por meios digitais, 
se solidificam a cada dia, devido à percepção ao usuário externo 
da segurança e agilidade que possuem. Neste sentido, os bancos, 
se consubstanciam como o setor de mercado que mais investe em 
segurança no meio digital.
2 https://www.famaqui.edu.br/app/webroot/ojs/index.php/saberes/article/
download/26/25/.
O cenário de atuação bancária é de risco, e, portanto, são 
extremamente necessários os investimentos de tecnologia aliados 
com a segurança, com vistas a garantir que seus usuários e clientes 
tenham a proteção necessária, o que culminará com o sucesso da 
instituição no mercado.
A iminente concorrência de mercado ocasionada pelos players 
digitais, como as Fintechs, bem como o acelerado mundo dos negócios 
traz o despertar e a necessidade de incorporar a tecnologia aos 
processos bancários. Junto a esta necessidade, os bancos investem 
maciçamente em segurança, pois de nada adiantaria tecnologia que 
colocasse em risco os usuários e clientes.
As parcerias digitais como forma de cooperação
É notória a presença crescente das Startups e Fintechs em 
parcela significativa do mercado financeiro, e a principal causa desse 
crescimento, é sem dúvida, a facilitação na contratação de serviços 
ou na aquisição de produtos do segmento.
Nesse cenário de crescimento digital no ramo dos negócios, 
os bancos no movimento de observar os players do mercado 
tecnológico (aqui definidos como grupos com muita expertise no 
ramo, investidores em mercados não tão promissores, mas comgrande perspectiva de desenvolvimento), adotam a posição para 
mitigação de riscos inerentes à atividade, cuja forma mais comum se 
dá por meio das parcerias.
Consta-se que muitas das Fintechs ainda não contabilizam lucros, 
por dependerem de aportes pecuniários externos, fator determinante 
para sua sobrevivência. Os bancos tradicionais conhecedores dessa 
realidade frequentemente firmam parcerias em forma de capital 
x tecnologia, onde injetam recursos financeiros em troca de toda 
tecnologia desenvolvida para aplicarem em seus negócios. Os 
resultados geralmente são de altas performances financeiras.
Sobre a relação de parceria entre as Fintechs e bancos, a 
mesma se restringe a preocupação de Fintechs com uma chamada 
deexperiência do cliente, algo que os bancos também estão buscando 
alcançar um novo desenvolvimento de serviços.
Observa-se que por meio das parcerias se obtêm grande 
compartilhamento de informações, e essas permitem o crescimento 
e fortalecimento das organizações. Importante destacar, que 
as parcerias entre as Fintechs e grandes bancos, ocorrem em 
formatos variados das mais rápidas e pontuais: como maratonas de 
programação, conhecidas por hackathons; até níveis mais profundos 
de relacionamento e investimento, exemplo: a constituição de fundos 
para aporte em startups.
Os grandes bancos e correlatas do segmento que patrocinam as 
hackathons (maratonas de programação) buscam encontrar soluções 
inovadoras para seus produtos e serviços. Complementando 
tem-se os aportes financeiros vultosos de grandes bancos e suas 
subsidiárias nos chamados laboratórios de inovação, responsáveis 
pela experimentação de novas tecnologias a serem aplicadas através 
de testes.
Hoje existe uma única certeza no mercado financeiro: que 
todo grande banco precisa pensar como Fintech se não quiser 
ser incomodado por elas. Diante dessa constatação as grandes 
instituições bancárias no Brasil, já sinalizaram que entenderam o 
recado do mercado, e por conta disso, percebe-se a evolução digital 
nos negócios bancários.
Pode-se afirmar que nesse regime de parceria, os bancos detêm 
uma vantagem em relação às Fintechs, que é o requisito confiança. Por 
representarem solidez no mercado vislumbra-se que ao adequarem 
a tecnologia ao meio digital, podem atingir resultados sustentáveis 
e crescentes. Os grandes conglomerados bancários despontam na 
vanguarda da tecnologia digital, modernizando sua estrutura de 
atendimento de forma a proporcionar a melhor experiência a seus 
usuários.
ATUALIDADES DO MERCADO FINANCEIRO
151
Percebe-se que todo grande banco precisará pensar e agir como 
uma Fintech, caso deseje perpetuar no mercado competitivo e 
altamente digital. Trata-se de um novo processo de gestão bancária, 
onde a implementação das tecnologias tem a finalidade de melhorias 
nos processos, bem como a fidelização com o cliente de forma a 
dispor ao público produtos e serviços com segurança e rapidez.
FUNÇÕES DA MOEDA
Funções da moeda
Moeda é definida com base em suas três funções básicas: reser-
va de valor, meio de troca e unidade de conta. 
No que diz respeito à função de “meio de troca”, ela serve para 
eliminar a necessidade de dupla coincidência de desejos em uma 
transação comercial. Antes, numa economia de escambo, dependia-
-se desse desejo comum relacionado a produtos para um mercado 
funcionar, porém com a moeda, um objeto único para esse fim, a 
economia se descomplicou nesse sentido.
Como reserva de valor, nos referimos à capacidade que determi-
nados bens possuem de preservar o poder de compra com o tempo. 
Quem troca algum bem pela moeda pode usar tal moeda em troca de 
outros bens, é claro que muitos ativos também servem como reser-
va de valor, inclusive a moeda em si tende a se desvalorizar por não 
pagar juros, ficando atrás da inflação, mas ela tem a vantagem de ser 
universalmente aceita em transações.
Por fim, como unidade de conta, disse-se que a moeda é utiliza-
da como base para medir o preço dos demais bens. Ou seja, no caso 
da nossa moeda, os bens em si passam a ser medidos e avaliados 
em “quantos reais” são necessários para adquiri-los. 
MARKETPLACE
Marketplace
É uma plataforma online que conecta ofertas de produtos e 
serviços. Ela reúne vendedores e prestadores de serviço em um 
único lugar onde clientes pode acessar e fazer suas compras. Basi-
camente, Marketplace é um shopping center online. 
Um Marketplace oferece vantagens para todos os envolvidos. 
Primeiramente o fornecedor da plataforma vende produtos sem 
precisar se preocupar em possuir tais produtos, visto que recebe 
comissão sobre a vende dos lojistas cadastrados; em segundo os 
lojistas e fornecedores têm acesso a uma vitrine online, com pre-
ços acessíveis de assinatura, onde podem expor seu produtos para 
o Brasil e o mundo, excluindo muitas vezes a necessidade de lojas 
físicas, por exemplo, e eliminando boa parte dos custos; e por fim, 
o cliente tem acesso a um universo de possibilidades nesses sho-
ppings centers no conforto do lar. As plataformas de venda do tipo 
revolucionaram a maneira de se fazer compras e vender online.
CORRESPONDENTES BANCÁRIOS
Correspondentes bancários
São empresas contratadas por instituições financeiras autori-
zadas pelo Banco Central para prestar serviços para seus clientes. 
São como agentes intermediários entre as instituições bancárias e 
clientes que buscam crédito. Entre as mais conhecidas estão loté-
ricas, fintechs, lojas de crédito e empréstimo pessoal, ou seja, não 
são bancos, mas prestadores de serviços financeiros diversos e re-
gulamentados para simplificar processos tradicionais.
ARRANJOS DE PAGAMENTOS
Arranjos de pagamentos
Conjunto de procedimentos e regras que regem e disciplinam a 
prestação de serviços de pagamento ao público. Essas regras simpli-
ficam as transações financeiras que usam dinheiro eletrônico, por 
exemplo, um cliente só consegue pagar uma conta com o cartão 
de determinada bandeira de crédito, pois o fornecedor possui uma 
máquina que aceita tal bandeira.
SISTEMA DE PAGAMENTOS INSTANTÂNEOS (PIX)
Sistema de pagamentos e transferências desenvolvido pelo 
Banco Central do Brasil. As transações realizadas através dele são 
instantâneas, acontecendo no máximo em 10 segundos.
Funciona 24 por dia, todos os dias do ano, inclusive finais de 
semana e feriados. 
As transações podem ocorrer entre pessoas físicas, pessoas fí-
sicas e jurídicas, pessoas jurídicas e entre órgãos públicos para pa-
gamentos de impostos e taxas.
A intenção é integrar o sistema bancário, assim as transferên-
cias poderão ocorrer entre diferentes instituições.
Para fazer um PIX é necessário ter uma conta aberta em ban-
co, numa fintech ou em uma instituição de pagamento. Será criada 
uma chave com alguns dados, utilizados dentro da própria conta 
bancária.
• Diferença entre Pix e outros meios de transferência e de pa-
gamento
O Pix foi criado para ser um meio de pagamento bastante am-
plo. Qualquer pagamento ou transferência que hoje é feito usando 
diferentes meios (TED, cartão, boleto etc.), poderá ser feito com o 
Pix, simplesmente com o uso do aparelho celular.
As transferências tradicionais no Brasil são entre contas da 
mesma instituição (transferência simples) ou entre contas de insti-
tuições diferentes (TED e DOC). O Pix é mais uma opção disponível 
à população que convive com os tipos tradicionais. A diferença é 
que, com o Pix, não é necessário saber onde a outra pessoa tem 
conta. Você realiza a transferência a partir, por exemplo, de um te-
lefone na sua lista de contatos, usando a Chave Pix. Outra diferença 
é que o Pix não tem limite de horário, nem de dia da semana e os 
recursos são disponibilizados ao recebedor em poucos segundos. O 
Pix funciona 24 horas, 7 dias por semana, entre quaisquer bancos, 
de banco para fintech, de fintech para instituição de pagamento, 
entre outros.
As transações de pagamento por meio de boleto exigem a lei-
tura de código de barras, enquanto o Pix pode fazer a leitura de um 
QR Code. A diferençaé que, no Pix a liquidação é em tempo real, o 
pagador e o recebedor são notificados a respeito da conclusão da 
transação e o pagamento pode ser feito em qualquer dia e horário.
As transações de pagamento utilizando cartão de débito exi-
gem uso de maquininhas ou instrumento similar. Com Pix, as tran-
sações podem ser iniciadas por meio do telefone celular, sem a ne-
cessidade de qualquer outro instrumento. 
O Pix tende a ter um custo de aceitação menor por sua estrutu-
ra ter menos intermediários.
Mais detalhes sobre a diferenciação entre o Pix e os demais 
meios de transferência e de pagamento podem ser visualizadas na 
FAQ do Pix.
ATUALIDADES DO MERCADO FINANCEIRO
152
• Com quem é possível fazer um Pix
O Pix pode ser utilizado para transferências e pagamentos:
— entre pessoas (transações P2P, person to person);
— entre pessoas e estabelecimentos comerciais, incluindo co-
mércio eletrônico (transações P2B, person to business);
— entre estabelecimentos, como pagamentos de fornecedo-
res, por exemplo (transações B2B, business to business);
— para transferências envolvendo entes governamentais, 
como pagamentos de taxas e impostos (transações P2G e B2G, per-
son to government e business to government).
• Limite de valor nas transações
Não há limite mínimo para pagamentos ou transferências via 
Pix. Isso quer dizer que você pode fazer transações a partir de 
R$0,01. Em geral, também não há limite máximo de valores. Entre-
tanto, as instituições que ofertam o Pix poderão estabelecer limites 
máximos de valor baseados em critérios de mitigação de riscos de 
fraude e de critérios de prevenção à lavagem de dinheiro e ao finan-
ciamento do terrorismo.”
QUESTÕES
1. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2021/”PROVA A”
Considere o texto a seguir para responder à questão.
A crise econômica causada pela pandemia do novo coronavírus 
provocou a maior fuga de capitais da história do Brasil. Dados divul-
gados nesta quarta-feira (24/6) pelo Banco Central (BC) explicam 
que os investidores estrangeiros retiraram US$ 31,7 bilhões do mer-
cado brasileiro de títulos e ações só em março, abril e maio deste 
ano. Por isso, as retiradas somam R$ 50,9 bilhões nos últimos 12 
meses; o maior índice da série histórica do BC.
Considerando-se os efeitos sanitários, econômicos e sociais de-
correntes da pandemia da Covid-19 na economia global, o principal 
fator que justifica tamanha fuga de capitais do Brasil no ano passa-
do é o(a)
(A) aumento desenfreado da dívida externa brasileira.
(B) aumento das taxas de juros no mercado internacional.
(C) necessidade de recursos, no estrangeiro, para financiar as 
pesquisas científicas de vacinas contra o coronavírus.
(D) manipulação das taxas de câmbio nos mercados globais.
(E) maior percepção de risco, por parte dos estrangeiros, em 
investir em ativos denominados em moeda brasileira.
2. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2021/”PROVA A”
Considere o texto a seguir para responder à questão.
A crise econômica causada pela pandemia do novo coronavírus 
provocou a maior fuga de capitais da história do Brasil. Dados divul-
gados nesta quarta-feira (24/6) pelo Banco Central (BC) explicam 
que os investidores estrangeiros retiraram US$ 31,7 bilhões do mer-
cado brasileiro de títulos e ações só em março, abril e maio deste 
ano. Por isso, as retiradas somam R$ 50,9 bilhões nos últimos 12 
meses; o maior índice da série histórica do BC.
O principal impacto decorrente da enorme fuga de capitais do 
Brasil em 2020, descrita na reportagem mencionada anteriormen-
te, foi o(a)
(A) expressiva desvalorização do real brasileiro
(B) queda das taxas de juros internas
(C) aumento do preço das ações na Bovespa
(D) valorização dos ativos brasileiros
(E) aumento da dívida interna do Tesouro
3. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2021/”PROVA A”
Com evidências do enorme descolamento entre as taxas de 
juros de curto e de longo prazo no Brasil, o texto abaixo reproduz 
matéria jornalística, publicada no início de agosto de 2020, dando 
conta da enorme incerteza futura associada aos impactos adversos 
decorrentes da crise pandêmica da Covid-19 sobre a economia bra-
sileira.
Os juros futuros encerraram os negócios desta segunda- feira 
em alta firme, afetados por um movimento de maior incorpora-
ção de prêmio de risco ao longo da curva a termo, especialmente 
nos trechos mais longos (com vencimento no longo prazo). No fim 
da sessão regular, a taxa do contrato de Depósito Interfinanceiro 
(DI) para janeiro de 2021 passava de 1,87% no ajuste anterior para 
1,88%; a do DI para janeiro de 2022 ia de 2,65% para 2,67%; a do 
contrato para janeiro de 2023 subia de 3,76% para 3,79%; a do DI 
para janeiro de 2025 escalava de 5,40% para 5,47%; e a do contrato 
para janeiro de 2027 saltava de 6,35% para 6,43%.
REZENDE, V. Risco fiscal leva a alta das taxas de juros futuros ecur-
va tem maior inclinação desde fim de junho. Valor Econômico, 
10/08/2020. Disponível em: <https://valorinveste.globo.com/produ-
tos/renda-fixa/noticia/2020/08/10/risco-fiscal-leva-a-alta-das-taxas-
-de-juros-futuro-e-curva-tem-maior-inclinacao-desde-fim-de-junho.
ghtml>. Acesso em: 7 fev. 2021. Adaptado.
Para minorar os impactos da crise, a Emenda Constitucional 
nº 106, de 7 de maio de 2020, conhecida como o “Orçamento de 
Guerra”, instituiu uma diversidade de medidas nos âmbitos fiscal, 
financeiro e de contratações para enfrentamento da calamidade 
pública nacional, decorrente da pandemia da Covid-19. Dentre as 
medidas aprovadas, o Banco Central do Brasil ficou autorizado, 
temporariamente, a operar com instrumentos de política mone-
tária considerados não convencionais. A medida de política mone-
tária não convencional, por parte do Banco Central do Brasil, que 
poderia ter estimulado a redução das taxas de juros de longo prazo 
no ano passado é a
(A) redução da taxa de juros básica de curto prazo (Selic)
(B) venda de títulos públicos e privados no mercado secundário
(C) compra de títulos públicos e privados no mercado secun-
dário
(D) redução do percentual dos depósitos compulsórios
(E) venda de títulos mediante operações compromissadas
4. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2021/”PROVA C”
A inserção dos bancos digitais no Sistema Financeiro Nacional 
acarreta a disseminação de tecnologias e culturas inovadoras, den-
tre as quais merece menção o (a)
(A) maior contato físico entre bancos e clientes
(B) dispensa do armazenamento de dados dos clientes
(C) uso de inteligência artificial
(D) generalização de plataformas off-line
(E) utilização mínima de big-data
5. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2021/”PROVA A”
A partir do início de 2021, começou a primeira fase de im-
plantação do open banking (sistema financeiro aberto) no Brasil. 
As instituições financeiras participantes devem obedecer a regras 
definidas pelo Banco Central e pelo Conselho Monetário Nacional.
O open banking tem, entre outros, o objetivo de
(A) criar um mercado eletrônico exclusivo para operação das 
fintechs.
(B) permitir que mais instituições participem como bancos co-
ATUALIDADES DO MERCADO FINANCEIRO
153
merciais do mercado brasileiro, abrindo esse mercado.
(C) possibilitar o compartilhamento de informações, median-
te autorização expressa de cada cliente, e a movimentação de 
suas respectivas contas bancárias, entre diferentes instituições 
financeiras.
(D) controlar as operações de concessão de crédito de cada ins-
tituição financeira participante autorizada pelo Banco Central, 
dando mais transparência ao setor.
(E) recomendar a utilização de um sistema de informações úni-
co, de código aberto, para gestão de contas-correntes e suas 
movimentações, de modo a ser adotado por todas as institui-
ções financeiras em operação no Brasil.
6. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE DE TECNO-
LOGIA/2021
O Conselho Monetário Nacional e o Banco Central do Bra-
sil (BCB) vêm estabelecendo novas regras no Sistema Financeiro 
Nacional. Uma delas abre a possibilidadede clientes de produtos 
financeiros permitirem o compartilhamento de dados cadastrais 
entre diferentes instituições financeiras autorizadas pelo BCB, bem 
como a movimentação de suas contas bancárias a partir de dife-
rentes plataformas, e não apenas pelo aplicativo ou site do banco.
A essa nova modalidade denomina-se
(A) Fintech
(B) Open banking
(C) Shadow banking
(D) Internet banking
(E) Pix
7. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2021/”PROVA B”
Um indivíduo abriu uma conta em um banco digital. Essa insti-
tuição tem um modelo de negócio que desburocratizou o mercado 
e oferece soluções simples por meio da tecnologia, otimizando ser-
viços e deixando de repassar custos operacionais da empresa para 
seus clientes.
Como são chamadas as empresas que introduzem inovações 
nos mercados financeiros por meio do uso intenso de tecnologia, 
com potencial para criar novos modelos de negócios?
(A) Nutechs
(B) Inovatechs
(C) Fintechs
(D) SmartTechs
(E) HealthTechs
8. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2021/”PROVA C”
As startups têm transformado os negócios.
Um dos motivos para isso é que elas
(A) são ágeis, sempre vendem os seus produtos mais barato e 
visam a tornar-se um unicórnio.
(B) inovam, transformam processos e têm potencial de rápido 
crescimento.
(C) sempre são compradas com valores mais baixos que o mer-
cado.
(D) sempre possuem aplicativos para agilizar suas operações.
(E) são sempre empresas de internet.
9. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE DE TECNO-
LOGIA/2021
Fintechs são empresas que
(A) funcionam com o principal objetivo de compartilhar dados 
cadastrais entre diferentes instituições financeiras autorizadas 
pelo Banco Central do Brasil (BCB).
(B) prestam serviços ao BCB, notadamente a preparação de Re-
latórios contendo dados e informações sobre as operações de 
crédito e de câmbio de todas as instituições financeiras.
(C) prestam serviços ao BCB, notadamente a criação de siste-
mas de informações on-line que permitem o compartilhamen-
to de dados entre diversos órgãos reguladores, como o próprio 
BCB, a Comissão de Valores Mobiliários (CVM) e a Superinten-
dência de Seguros Privados (Susep).
(D) empregam tecnologias digitais de última geração e ofere-
cem serviços financeiros à margem do sistema bancário tradi-
cional, estando, portanto, livres da regulação do BCB.
(E) atuam por meio de plataformas on-line, lançando inovações 
no mercado financeiro, mediante uso intenso de tecnologias 
digitais com elevado potencial de criação de novos modelos de 
negócios.
10. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2021/”PROVA B”
Uma pessoa estava querendo fazer um empréstimo e desco-
briu que algumas instituições que praticam o shadow banking (“sis-
tema bancário sombra”) geralmente servem como intermediários 
entre credores e tomadores de empréstimos, fornecendo crédito e 
capital para investidores e corporações. Ao fazer uso dessas institui-
ções para fazer um empréstimo, a pessoa incorre em riscos?
(A) Não, pois vai ter toda a assessoria para fazer o empréstimo.
(B) Não, pois o shadow banking realiza operações passando por 
toda a supervisão ou regulação dos sistemas financeiros/ ban-
cários do país.
(C) Sim, pois essas instituições não são bancárias, não recebem 
depósitos tradicionais como um banco tradicional e são estru-
turas paralelas aos mercados tradicionais.
(D) Sim, pois o shadow banking é uma estrutura paralela aos 
mercados tradicionais, embora passe por todas as regulações e 
seja uma instituição bancária.
(E) Sim, pois o shadow banking não é uma instituição financei-
ra, embora tenha registro no Banco Central.
11. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2021/”PROVA C”
Considere o texto a seguir, retirado de Relatório do Banco Cen-
tral do Brasil.
No sistema financeiro mundial, existem muitas entidades que 
oferecem serviços de intermediação financeira, mas funcionam à 
margem do sistema de supervisão e regulação bancária. No Rela-
tório de Estabilidade Financeira, de 2015, o Banco Central do Brasil 
(BCB) estima o valor total dos ativos dessas entidades no país e ad-
verte que elas podem “ser fonte de risco sistêmico, por envolver, 
sem a devida supervisão e regulação, riscos tipicamente bancários, 
tais como alavancagem, transformações de maturidade e de liqui-
dez e transferência de risco de crédito”.
As entidades financeiras descritas formam o sistema denomi-
nado
(A) shadow banking
(B) internet banking
(C) open banking
(D) mobile banking
(E) blockchain
12. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2021/”PROVA A”
Uma investidora está querendo saber a relação entre a block-
chain e o bitcoin.
Em sua pesquisa, ela esclareceu sua dúvida, ao descobrir que
(A) blockchain é o meio utilizado para registrar e armazenar 
ATUALIDADES DO MERCADO FINANCEIRO
154
transações de bitcoin.
(B) blockchain é a tecnologia de inteligência artificial aplicada 
na bitcoin.
(C) bitcoin é uma moeda digital e blockchain é uma moeda em 
blocos.
(D) bitcoin é tecnologia usada para implementar a blockchain.
(E) bitcoin e blockchain são duas formas de implementar crip-
tomoedas.
13. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2021/”PROVA B”
A blockchain é um tipo específico de banco de dados distribuí-
do, no qual há uma cadeia de blocos ordenados e interligados, com 
garantia de ordem cronológica. Os dados registrados nos blocos po-
dem variar de transações financeiras a contratos inteligentes.
Na blockchain da bitcoin, as entidades que registram novos blo-
cos na cadeia são chamadas de
(A) registradores
(B) mineradores
(C) trabalhadores
(D) gerenciadores
(E) conectores
14. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2021/”PROVA B”
Leia as considerações seguintes sobre o expressivo crescimento 
das criptomoedas nas movimentações financeiras internacionais.
Criptomoeda, ou moeda criptografada, é um ativo digital de-
nominado na própria unidade de conta que é emitido e transacio-
nado de modo descentralizado, independentemente de registro 
ou validação por parte de intermediários centrais, com validade e 
integridade de dados assegurada por tecnologia criptográfica e de 
consenso em rede. Trata-se de instrumentos desenhados para via-
bilizar transferências de valores em rede de maneira segura e inde-
pendente de um sistema de intermediação financeira (...). Outro as-
pecto econômico que merece destaque é o lado político-econômico 
da atribuição de valor a uma moeda. As moedas estatais de curso 
forçado contam não apenas com reservas legais, mas também com 
uma infraestrutura estatal ou privada (fortemente regulada) e com 
as políticas monetária e cambial oficiais (...). Muitas criptomoedas, 
mesmo que funcionem como instrumentos descentralizados, têm 
grande parte de sua base monetária em poder da organização que 
a desenvolveu.
O texto sugere que o mercado de criptomoedas é fonte de 
enorme instabilidade e preocupação dos bancos centrais, porque 
as empresas emissoras desses ativos monetários
(A) são reguladas pelos bancos centrais.
(B) têm enorme capacidade de manipulação da taxa de câmbio 
entre a criptomoeda emitida e os demais ativos digitais.
(C) conseguiram transformá-los no principal meio de troca uti-
lizado nas transações financeiras internacionais.
(D) vinculam a unidade de conta da criptomoeda às principais 
moedas conversíveis, como o dólar norte-americano e o euro.
(E) forçam o enquadramento das criptomoedas emitidas na 
mesma categoria das demais moedas eletrônicas já existentes.
15. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2021/”PROVA C”
A cliente de um banco está chateada com as taxas bancárias 
sobre as suas transações e para manter a sua conta-corrente. Ela 
está pensando em investir em criptomoedas para ter mais domínio 
sobre o seu dinheiro e não pagar tantas taxas.
As criptomoedas válidas que ela tem para investir neste mo-
mento são
(A) zen e bitemoeda
(B) bitcoin e tokecardume
(C) bitcoin e bitemoeda
(D) bitcoin e ethereum
(E) ethereum e tokecardume
16. CESGRANRIO -ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE DE TECNO-
LOGIA/2021
Um dos objetivos almejados pelo Banco Central do Brasil, ao 
criar o Pix, é
(A) reduzir a velocidade de circulação da moeda.
(B) inibir a concorrência bancária.
(C) aumentar os fluxos de pagamento com cartões eletrônicos.
(D) disseminar os fluxos de pagamento de forma eletrônica.
(E) aumentar o número de intermediários financeiros envolvi-
dos nos fluxos de pagamentos.
17. CESGRANRIO - ESCRITURÁRIO (BB)/AGENTE COMER-
CIAL/2021/”PROVA A”
Um token físico, no contexto de transações bancárias, é um dis-
positivo eletrônico que possui um botão de ativação e um pequeno 
visor. O token permite gerar senhas aleatórias, temporárias e nu-
méricas (por exemplo, de seis dígitos). Essa senha é utilizada para 
dar mais segurança às transações bancárias realizadas via internet. 
No passado, os bancos comerciais disponibilizavam esses pequenos 
dispositivos aos seus clientes, de modo que pudessem ser afixados 
a um chaveiro.
Mais recentemente, nos últimos 10 anos, esses dispositivos fo-
ram sendo gradativamente substituídos para a grande maioria dos 
clientes, por um
(A) dispositivo que continua com apenas essa funcionalidade, 
porém um pouco maior, mas que ainda assim cabe em um bol-
so de camisa.
(B) aplicativo de cada banco, instalado e configurado no celular 
do correntista.
(C) porta-moedas eletrônico, semelhante aos cartões que dão 
acesso a meios de transporte.
(D) cartão de crédito que permite autorizar operações por 
aproximação.
(E) sensor específico para captura de impressões digitais.
GABARITO
1 E
2 A
3 C
4 C
5 C
6 B
7 C
8 B
9 E
10 C
11 A
12 A
13 B
14 B
ATUALIDADES DO MERCADO FINANCEIRO
155
15 D
16 D
17 B
ANOTAÇÕES
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
ATUALIDADES DO MERCADO FINANCEIRO
156
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
157
MATEMÁTICA FINANCEIRA
CONCEITOS GERAIS - O CONCEITO DO VALOR DO 
DINHEIRO NO TEMPO; CAPITAL, JUROS, TAXAS DE 
JUROS; CAPITALIZAÇÃO, REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO; 
FLUXOS DE CAIXA E DIAGRAMAS DE FLUXO DE 
CAIXA; EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA. JUROS SIMPLES 
- CÁLCULO DO MONTANTE, DOS JUROS, DA TAXA DE 
JUROS, DO PRINCIPAL E DO PRAZO DA OPERAÇÃO 
FINANCEIRA. JUROS COMPOSTOS - CÁLCULO DO 
MONTANTE, DOS JUROS, DA TAXA DE JUROS, DO 
PRINCIPAL E DO PRAZO DA OPERAÇÃO FINANCEIRA. 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO - SISTEMA PRICE; 
SISTEMA SAC
Juros simples (ou capitalização simples) 
Os juros são determinados tomando como base de cálculo o 
capital da operação, e o total do juro é devido ao credor (aquele que 
empresta) no final da operação. Devemos ter em mente:
– Os juros são representados pela letra J*.
– O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de ca-
pital e é representado pela letra C (capital) ou P(principal) ou VP ou 
PV (valor presente) *.
– O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela 
letra t ou n.*
– A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um ca-
pital durante certo tempo. É representado pela letra i e utilizada 
para calcular juros.
*Varia de acordo com a bibliografia estudada.
ATENÇÃO: Devemos sempre relacionar a taxa e o tempo na 
mesma unidade para efetuarmos os cálculos.
Usamos a seguinte fórmula: 
Em juros simples:
– O capital cresce linearmente com o tempo;
– O capital cresce a uma progressão aritmética de razão: J=C.i
– A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 
– Devemos expressar a taxa i na forma decimal.
– Montante (M) ou FV (valor futuro) é a soma do capital com 
os juros, ou seja:
M = C + J 
M = C.(1+i.t) 
Exemplo: 
(PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Qual é o capital que, 
investido no sistema de juros simples e à taxa mensal de 2,5 %, pro-
duzirá um montante de R$ 3.900,00 em oito meses?
(A) R$ 1.650,00
(B) R$ 2.225,00
(C) R$ 3.250,00
(D) R$ 3.460,00
(E) R$ 3.500,00
Resolução:
Montante = Capital + juros, ou seja: j = M – C , que fica: j = 
3900 – C ( I )
Agora, é só substituir ( I ) na fórmula do juros simples:
390000 – 100.C = 2,5 . 8 . C
– 100.C – 20.C = – 390000 . (– 1)
120.C = 390000
C = 390000 / 120
C = R$ 3250,00
Resposta: C
Juros compostos (capitalização composta)
A taxa de juros incide sobre o capital de cada período. Também 
conhecido como “juros sobre juros”.
Usamos a seguinte fórmula: 
O (1+i)t ou (1+i)n é chamado de fator de acumulação de capital.
ATENÇÃO: as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e 
do período (t), tem de ser necessariamente iguais.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
158
O crescimento do principal (capital) em:
– juros simples é LINEAR, CONSTANTE;
– juros compostos é EXPONENCIAL, GEOMÉTRICO e, portanto 
tem um crescimento muito mais “rápido”;
Observe no gráfico que:
– O montante após 1º tempo é igual tanto para o regime de 
juros simples como para juros compostos;
– Antes do 1º tempo o montante seria maior no regime de 
juros simples;
– Depois do 1º tempo o montante seria maior no regime de 
juros compostos.
Exemplo: 
(PREF. GUARUJÁ/SP – SEDUC – PROFESSOR DE MATEMÁTICA 
– CAIPIMES) Um capital foi aplicado por um período de 3 anos, com 
taxa de juros compostos de 10% ao ano. É correto afirmar que essa 
aplicação rendeu juros que corresponderam a, exatamente:
(A) 30% do capital aplicado.
(B) 31,20% do capital aplicado.
(C) 32% do capital aplicado.
(D) 33,10% do capital aplicado.
Resolução:
Como, M = C + j , ou seja , j = M – C , temos:
j = 1,331.C – C = 0,331 . C
0,331 = 33,10 / 100 = 33,10%
Resposta: D
Juros Compostos utilizando Logaritmos
Algumas questões que envolvem juros compostos, precisam de 
conceitos de logaritmos, principalmente aquelas as quais precisa-
mos achar o tempo/prazo. Normalmente as questões informam os 
valores do logaritmo, então não é necessário decorar os valores da 
tabela.
Exemplo: 
(FGV-SP) Uma aplicação financeira rende juros de 10% ao ano, 
compostos anualmente. Utilizando para cálculos a aproximação de 
, pode-se estimar que uma aplicação de R$ 1.000,00 seria resgatada 
no montante de R$ 1.000.000,00 após:
(A) Mais de um século.
(B) 1 século
(C) 4/5 de século
(D) 2/3 de século
(E) ¾ de século 
Resolução:
A fórmula de juros compostos é M = C(1 + i)t e do enunciado 
temos que M = 1.000.000, C = 1.000, i = 10% = 0,1:
1.000.000 = 1.000(1 + 0,1)t
 (agora para calcular t temos que usar lo-
garitmo nos dois lados da equação para pode utilizar a propriedade 
 , o expoente m passa multiplicando)
 
t.0,04 = 3
Resposta: E
Taxas de juros
Índices fundamentais no estudo da matemática financeira, 
sendo incorporadas sempre ao capital. São elas:
Taxa efetiva: são aquelas onde a taxa da unidade de tempo 
coincide com a unidade de tempo do período de capitalização(valo-
rização). Exemplo: Uma taxa de 13% ao trimestre com capitalização 
trimestral.
ATENÇÃO: Quando no enunciado não estiver citando o período 
de capitalização, a mesma vai coincidir com unidade da taxa. Em 
outras palavras iremos trabalhar com taxa efetiva!!!
Taxa nominal: são aquelas cujas unidade de tempo NÂO coin-
cide com as unidades de tempo do período de capitalização. 
Exemplo: 
(TJ/PE- ANALISTA JUDICIÁRIO-CONTADOR-FCC) Uma taxa de 
juros nominal de 21% ao trimestre, com juros capitalizados men-
salmente, apresenta uma taxa de juros efetiva, trimestral de, apro-
ximadamente,
(A) 21,7%.
(B) 22,5%.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
159
(C) 24,8%.
(D) 32,4%.
(E) 33,7%.
Resolução:
21% a. t capitalizados mensalmente (taxa nominai), como um trimestre tem 3 meses, 21/3 = 7% a.m(taxa efetiva).
im = taxa ao mês 
it= taxa ao trimestre.
(1+im)3 = (1+it)  (1+0,07)3 = 1+it  (1,07)3 = 1+it  1,225043 = 1+it  it= 1,225043-1  it = 0,225043 x 100  it= 22,5043%
Resposta: B
ATENÇÃO: Para resolução de questões com taxas nominais devemos primeiramente descobri a taxa efetiva (multiplicando ou dividin-
do a taxa)
Toda taxa nominal traz implícita uma taxa efetiva que deve ser calculada proporcionalmente.
Taxas proporcionais (regime de juros simples): são taxas em unidade de tempo diferente que aplicadas sobre o mesmo capital ao 
mesmo período de tempo irão gerar o mesmo montante. 
Exemplo:
(PREF. FLORIANÓPOLIS/SC – AUDITOR FISCAL – FEPESE) A taxa de juros simples mensais de 4,25% equivalente à taxa de:
(A) 12,5% trimestral.
(B) 16% quadrimestral.
(C) 25,5% semestral.
(D) 36,0% anual.
(E) 52% anual.
Resolução:
Sabemos que taxas a juros simples são ditas taxas proporcionais ou lineares. Para resolução das questões vamos avaliar item a item 
para sabermos se está certo ou errado:
4,25% a.m
Trimestral = 4,25 .3 = 12,75 (errada) 
Quadrimestral = 4,25 . 4 = 17% (errada)
Semestral= 4,25 . 6 = 25,5 % (correta)
Anual = 4,25.12 = 51% (errada)
Resposta: C
Taxas equivalentes (regimede juros compostos): as taxas de juros se expressam também em função do tempo da operação, porém 
não de forma proporcional, mas de forma exponencial, ou seja, as taxas são ditas equivalentes. 
Exemplo:
Taxa Real, Aparente e Inflação
– Taxa real (ir) = taxa que considera os efeitos da inflação e seus ganhos.
– Taxa aparente (ia) = taxa que não considera os efeitos da inflação (são as taxas efetivas/nominais).
– Taxa de inflação (ii) = a inflação representa a perda do poder de compra.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
160
Escrevendo todas as taxas em função uma das outras, temos: 
(1+ia) = (1+ir).(1+ii)
Onde: , independe da quantidade de períodos e do regime de juros.
Descontos
É a diferença entre o valor título (valor nominal) e o valor recebido (valor atual).
D = N – A
Onde:
D = desconto
N = valor nominal
A = valor atual
ATENÇÃO: Comparando com o regime de juros, observamos que:
– o Valor Atual, ou valor futuro (valor do resgate) nos dá ideia de Montante;
– o Valor Nominal, nome do título (valor que resgatei) nos dá ideia de Capital;
– e o Desconto nos dá ideia de Juros.
Os descontos podem ser:
Desconto racional simples (por dentro): nos passa a ideia de “honesto”, pois todas a taxas são cobradas em cima do valor atual (A) do 
título. Associando com os juros simples teremos:
Também podemos escrever a seguinte fórmula:
Exemplo: 
(ASSAF NETO) Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu 
vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operação.
N = 4 000
t = 3 meses
i = 42% a.a = 42 / 12 = 3,5% a.m = 0,035
D = ?
Vd = ?
Vd = 4 000 – 380,10 = 3 619,90
MATEMÁTICA FINANCEIRA
161
Desconto comercial simples ou bancário (por fora): nos passa a ideia de que alguém está “levando” um por fora, pois, todas as taxas 
são cobradas em cima do valor nominal (N) do título. O valor nominal é sempre maior e é justamente onde eles querem ganhar.
• Desconto comercial (bancário) acrescido de uma taxa pré-fixada: quando se utiliza taxas pré-fixadas aos títulos, que são as taxas 
de despesas bancárias/administrativas (comissões, taxas de serviços, ...) cobradas sobre o valor nominal (N). Fazemos uso da seguinte 
formula:
Dc = N. (i.t + h)
Onde:
Dc = desconto comercial ou bancário
N = valor nominal
i = taxa de juros cobrada
t = tempo ou período
h = taxa de despesas administrativas ou bancárias.
Exemplo:
Um banco ao descontar notas promissórias, utiliza o desconto comercial a uma taxa de juros simples de 12% a.m.. O banco cobra, 
simultaneamente uma comissão de 4% sobre o valor nominal da promissória. Um cliente do banco recebe R$ 300.000,00 líquidos, ao 
descontar uma promissória vencível em três meses. O valor da comissão é de:
Resolução:
h = 0,04
t = 3
iB = 0,12 . 3
AB = N . [1 - (iB + h)]
300 000 = N . [1 - (0,12.3 + 0,04)]
300 000 = N . [1 – 0,4]
N = 500 000
Vc = 0,04 . N
Vc = 0,04 . 500 000
Vc = 20 000
Resposta: 200 000
– Relação entre Desconto Comercial (Dc) e Desconto Racional (Dr): para sabermos o valor do desconto caso fosse utilizado o desconto 
comercial e precisássemos saber o desconto racional e vice-versa, utilizamos a seguinte relação: Dc = Dr . (1 + i.t)
Desconto Racional Composto (por dentro): as fórmulas estão associando com os juros compostos, assim teremos:
MATEMÁTICA FINANCEIRA
162
Desconto Comercial Composto (por fora): como a taxa incide 
sobre o Valor Nominal (maior valor), trocamos na fórmula o N pelo 
A e vice-versa, mudando o sinal da taxa (de positivo para negativo).
Exemplo: 
(PREFEITURA DE SÃO PAULO/SP - AUDITOR FISCAL MUNICI-
PAL – CETRO) Com adiantamento de dois meses do vencimento, um 
título de valor nominal de R$30.000,00 é descontado a uma taxa 
composta de 10% a.m.. A diferença entre o desconto racional com-
posto e o desconto comercial composto será de:
(A) R$246,59.
(B) R$366,89.
(C) R$493,39.
(D) R$576,29.
(E) R$606,49.
Resolução:
N = 30000
t = 2 meses
i = 10% am = 0,10
Vamos utilizar a formula do Drc:
N = A(1 + i)t  30.000= A (1+ 0,1)2  30000 = A (1,1)2  30000 
= A.1,21 
A = 30000 / 1,21 = 24793,39
Como D = N – A 
D = 30000 – 24793,39
Drc = 30.000 - 24.793,39 = 5206,61
Para o desconto comercial composto (lembre-se que a taxa re-
caí sobre o nominal, então trocamos na formula o A pelo N e vice e 
versa e mudamos o sinal), temos:
A = N.(1 - i)t 
A = 30000 . (1 - 0,1)2 
A = 30000 . 0,81 
A = 24300
Como D = N – A 
D = 30000 – 24300 = 5700, que é o desconto comercial com-
posto
A diferença será dada pelo módulo, uma vez que sabemos que 
o Desconto Comercial é maior que o racional: |Drc - Dcc| 
|5.206,61 - 5.700 | = 493,39
Resposta: C
Equivalência de capitais
Dois ou mais capitais que se encontram em datas diferentes, 
são chamados de equivalentes quando, levados para uma mesma 
data, nas mesmas condições, apresentam o mesmo VALOR nessa 
data.
• Equação de Valor
Va1 + Va2 + Va3 + … = Vaa + Vab + Vac + …
• Resolução de Problemas de Equivalência
1. leia o problema todo;
2. construa, a partir do enunciado do problema, um diagrama 
de fluxo de caixa esquemático, colocando na parte de cima o plano 
original de pagamento e na parte de baixo o plano alternativo pro-
posto, indicando todos os valores envolvidos, as datas respectivas 
e as incógnitas a serem descobertas – esse diagrama é importante 
porque permite visualizar os grupos de capitais equivalentes e esta-
belecer facilmente a equação de valor para resolução do problema;
3. observe se os prazos de vencimento dos títulos e compro-
missos estão na mesma unidade de medida de tempo periodicida-
de da taxa; se não estiverem, faça as transformações necessárias 
(ou você expressa a taxa na unidade de tempo do prazo ou expressa 
o prazo na unidade de tempo da taxa – escolha a transformação que 
torne os cálculos mais simples);
4. leve todos os valores para a data escolhida para a negociação 
(data focal), lembrando sempre que capitais exigíveis antes da data 
focal deverão ser capitalizados através da fórmula do montante M = 
C (1 + in), dependendo da modalidade de desconto utilizada;
5. tendo transportado todos os capitais para a data focal e com 
base no diagrama de fluxo de caixa que você esquematizou, monte 
a EQUAÇÃO DE VALOR, impondo que a soma dos valores dos títulos 
(transportados para a data focal) da parte de cima do diagrama de 
fluxo de caixa seja igual à soma dos valores dos títulos (transpor-
tados para a data focal) da parte de baixo do diagrama de fluxo de 
caixa;
6. resolva a equação de valor;
7. releia a PERGUNTA do problema e verifique se o valor que 
você encontrou corresponde ao que o problema está pedindo (às 
vezes, devido à pressa, o candidato se perde nos cálculos, encontra 
um resultado intermediário e assinala a alternativa que o contém, 
colocada ali para induzi-lo em erro, quando seria necessário ainda 
uma passo a mais para chegar ao resultado final correto).
Exemplo: 
A aplicação de R$ 2.000,00 foi feita pelo prazo de 9 meses, con-
tratando-se a taxa de juros de 28% a.a. Além dessa aplicação, existe 
outra de valor nominal R$ 7.000,00 com vencimento a 18 meses. 
Considerando-se a taxa de juros de 18% a.a., o critério de desconto 
racional e a data focal 12 meses, a soma das aplicações é, em R$:
Resolução:
Inicialmente, precisamos calcular o valor nominal da primeira 
aplicação. Considerando n = 9 meses = 0,75 anos, temos que:
N = C (1 + in)
N = 2.000 (1 + 0,28 . 0,75) = 2.000 (1,21) = 2.420
Observando o diagrama de fluxo de caixa, vemos que, para se-
rem transportados à data doze, o título de 2.420 terá que ser capi-
talizado de três meses, ao passo que o título de 7.000 terá que ser 
descapitalizado de 6 meses. Além disso, a taxa de 18% a.a., consi-
derando-se capitalização simples, é equivalente a 1,5% a.m. = 0,015 
a.m. Desta forma, podemos escrever que:
2.420 (1 + 0,015 . 3) + 7.000/1 + 0,015 . 6 = x
2.420 (1,045) + 7.000/1,09 = x
2.528,9 + 6.422,02 = x
x = 8.950,92
Anuidades
Séries Financeiras também conhecidas comoRendas Certas ou 
Anuidades. São séries de depósitos ou prestações periódicas ou não 
periódicas, em datas de previamente estabelecidas, por um deter-
minado período de tempo. Os depósitos ou prestações podem ser 
uniformes quando todos são iguais ou variáveis quando os valores 
são diferentes.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
163
Quando as séries financeiras que tem como objetivo de acumular capital ou produzir certo montante temos uma Capitalização e quan-
do as séries financeiras têm como objetivo pagar ou amortizar uma dívida temos uma Amortização.
Elementos das séries financeiras
– Valor presente (VP) = Numa série de pagamentos, definimos VALOR ATUAL como sendo a parcela única que equivale (ou que subs-
titui) a todos os termos (devidamente descapitalizados) até o início do fluxo. É a soma dos valores atuais de todos os termos que compõe 
a série. 
– Valor futuro (VF) = Numa série de pagamentos, definimos MONTANTE como sendo a parcela única, que equivale (ou substitui) a 
todos os termos (devidamente capitalizados) até o final do fluxo. É a soma dos montantes de todos os termos que compõe a série.
– Prestações (P) = Numa série de pagamentos, definimos Prestações como sendo o valor que é pago (ou recebido) a cada período de 
capitalização de uma Série Pagamentos.
– Número de prestações (n) = número de Parcelas, Depósitos ou Pagamentos.
– Taxa efetiva de juro (i)= com capitalização na periodicidade das Prestações.
Séries financeiras postecipadas
São aquelas em que as prestações, pagamentos ou depósitos são efetuados no final de cada período.
Valor Futuro Postecipado (VFp)
O Valor Futuro (VF) produzido por uma série de n prestações P postecipadas, iguais e periódicas, aplicadas a uma taxa de juros i, na 
forma unitária, no mesmo período das prestações, será igual à soma de todos esses depósitos capitalizados para uma mesma data focal, 
coincidindo com o último depósito.
Fazemos uso da seguinte fórmula:
O valor capitalizado de cada um dos termos da Série de Pagamentos forma uma Progressão Geométrica (PG) cuja soma resulta na 
seguinte expressão:
Fator de Capitalização Postecipado
MATEMÁTICA FINANCEIRA
164
Valor Presente postecipado (VPp)
O Valor Presente (VP) produzido por uma série de n prestações P, iguais e periódicas, aplicadas a uma taxa de juros i, na forma unitária, 
no mesmo período das prestações, será igual à soma de todos esses depósitos descapitalizados para uma mesma data focal 0.
O valor descapitalizado de cada um dos termos de uma Série de Financeira postecipada forma uma Progressão Geométrica (PG) cuja 
soma resulta na seguinte expressão:
Fator de Descapitalização Postecipado
Séries financeiras antecipadas
São aquelas em que o depósito ou pagamento é efetuado no início de cada período e o valor futuro é obtido em um período de tempo 
após o último depósito ou pagamento da última prestação.
Valor Futuro antecipado (VFa)
O Valor Futuro de uma série financeira é obtido fazendo-se a capitalização da entrada e de cada um dos pagamentos, realizando-se a 
soma destes valores no final, conforme a seguir:
O valor capitalizado de cada uma das prestações de uma Série de Pagamentos forma uma Progressão Geométrica (PG) cuja soma 
resulta na seguinte expressão:
MATEMÁTICA FINANCEIRA
165
Fator de Capitalização Antecipado
O valor da prestação é obtido isolando-se a P na equação anterior.
Valor Presente antecipado (VPa)
O Valor Presente de uma série financeira antecipada é obtido fazendo-se a descapitalização de cada uma das prestações, somando-se 
no final a entrada e cada um destes valores, conforme a seguir:
O valor descapitalizado de cada um dos termos de uma Série de Financeira forma uma Progressão Geométrica cuja soma resulta na 
seguinte expressão:
O Fator de Descapitalização Antecipado
MATEMÁTICA FINANCEIRA
166
Séries financeiras diferidas ou com carência
Uma série de pagamentos possui DIFERIMENTO INICIAL quando ANTES do início do primeiro pagamento, é dado um prazo de dois ou 
mais períodos, nos quais não ocorrem pagamentos pertencentes à série. 
Uma série de pagamentos possui DIFERIMENTO FINAL quando APÓS o último pagamento, é dado um prazo de dois ou mais períodos, 
nos quais não ocorrem pagamentos pertencentes à série. 
Valor Presente com diferimento inicial
Podemos calcular o Valor Presente de duas maneiras: postecipado ou antecipado.
Cálculo do Valor Presente postecipado com diferimento inicial (VPpdi)
Numa série de pagamentos com diferimento inicial, vamos primeiro calcular o valor presente da série financeira postecipada, em 
seguida, vamos efetuar a descapitalização deste valor a juros compostos até o início do prazo da contratação (data focal 0).
CÁLCULO DO VP DA SÉRIE 
ANTECIPADA:
CÁLCULO DA DESCAPITALIZAÇÃO 
DO PERÍODO DE DIFERIMENTO: D
CÁLCULO DIRETO DO VPA COM 
DIFERIMENTO INICIAL:
Valor futuro com diferimento final
Podemos calcular o Valor Futuro de duas maneiras: postecipado ou antecipado.
Cálculo do Valor Futuro postecipado com diferimento final (VFpdf)
Numa série de pagamento com diferimento final, vamos primeiro calcular o valor futuro da série financeira postecipada, onde esse 
valor futuro é obtido logo após o último pagamento.
Já o cálculo com o diferimento final, temos que efetuar a capitalização desse valor, a juros compostos, até o prazo final do período de 
carência. Pode ocorrer que no período de carência a taxa de juros não seja a mesma da série financeira.
O VALOR FUTURO DA SÉRIE DE 
PAGAMENTOS POSTECIPADA
CAPITALIZAÇÃO DO PERÍODO DE 
CARÊNCIA
CÁLCULO DIRETO DO VFP COM 
DIFERIMENTO FINAL
Cálculo do Valor Futuro antecipado com diferimento final (VFadf)
Numa série de pagamento com diferimento final, vamos primeiro calcular o valor futuro da série financeira antecipada, onde esse 
valor futuro é obtido um período após o último pagamento. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
167
Já o cálculo com o diferimento final, temos que efetuar a capitalização desse valor, a juros compostos, até o prazo final do período de 
carência. Pode ocorrer que no período de carência a taxa de juros não seja a mesma da série financeira.
O VALOR FUTURO DA SÉRIE DE 
PAGAMENTOS ANTECIPADA
CAPITALIZAÇÃO DO PERÍODO DE 
CARÊNCIA
CÁLCULO DIRETO DO VFA COM 
DIFERIMENTO FINAL
Exemplo: 
Uma máquina é vendida a prazo através de oito prestações mensais de $4.000,00 sendo que o primeiro pagamento só irá ocorrer após 
três meses da compra. Determine o preço à vista, dada uma taxa de 5% ao mês.
Resolução:
R = $4.000,00
i = 5% a.m.
n = 8 meses
m = 2 meses
Pd = $23.449,30
Sistema de amortização
Visam liquidar uma dívida mediante de pagamentos periódicos e sucessivos.
Principais conceitos
Sempre que efetuamos um pagamento estamos pagando parte do valor relativo aos juros, que são calculados sobre o saldo devedor 
e outra parte chamada de amortização, que faz com que o saldo devedor diminua. 
– Saldo devedor: é o valor nominal do empréstimo ou financiamento ou simplesmente o Valor Presente (VP) na data focal 0, que é 
diminuído da parcela de amortização a cada período. 
– Amortização: é a parcela que é deduzida do saldo devedor a cada pagamento. 
– Juros: é o valor calculado a partir do saldo devedor e posteriormente somado à parcela de amortização. 
– Prestação: é o pagamento efetuado a cada período, composto pela parcela de juros mais a amortização: PRESTAÇÃO = JUROS + 
AMORTIZAÇÃO
Existem diversos sistemas de amortização de financiamentos e empréstimos, dos quais os mais usados são:
– Sistema de Amortização Francês (Tabela Price):
– Sistema de Amortização Constante (SAC):
– Sistema de Amortização Crescente (SACRE) ou Sistema de Amortização Misto (SAM).
MATEMÁTICA FINANCEIRA
168
Sistema de Amortização Francês (SAF)
Este sistema utiliza a chamada TABELA PRICE que consiste no cálculo do fator de descapitalização postecipado representado por 
fdp(i%,n) e é normalmente usada para financiamento em geral de bens de consumo, tipo: carros, eletrodomésticos, empréstimos bancá-
rios de curto prazo, etc. 
O SAF caracteriza-se por PRESTAÇÕES CONSTANTESE IGUAIS, normalmente mensais e decrescentes, com isso, as parcelas de amorti-
zações são crescentes. Isto é, o valor amortizado é crescente ao longo do tempo, ao contrário dos juros, que decrescem proporcionalmente 
ao saldo devedor.
Logo, as principais características do SAF são:
a) A prestação é constante durante todo o período de financiamento;
b) A parcela de amortização aumenta a cada período;
c) Os juros diminuem a cada período;
d) O percentual de prestações pagas não é igual ao percentual de quitação da dívida, pois no início das prestações os juros são maiores 
que as amortizações, sendo que do meio para o final das prestações esta situação é invertida.
e) Nos juros, temos uma PG (Progressão geométrica) de razão descrente.
Utilizamos as seguintes fórmulas:
Com isso podemos reescrever da seguinte forma, sabendo que : 
Sistema de Amortização Constante (SAC)
O SAC foi bastante usado pelo Sistema Financeiro de Habitação no início dos anos 70 e, atualmente, é amplamente utilizado para 
financiamentos bancários de longo prazo de imóveis.
O tomador do empréstimo pagará uma prestação decrescente em cada período, a qual é composta por duas parcelas: a amortização 
e os juros.
As principais características do SAC são:
a) A parcela de amortização é constante em todo período de financiamento;
b) A prestação é decrescente durante todo o período;
c) Os juros diminuem uniformemente a cada período;
d) O percentual de prestações pagas é igual ao percentual de quitação da dívida.
e) Nos Juros e nas Prestações observa-se de uma PA (Progressão Aritmética) de razão decrescente.
Fórmulas do Cálculo da Prestação (Séries Postecipadas)
UTILIZANDO O CAPITAL UTILIZANDO O MONTANTE
CASO O EXPOENTE SEJA NEGATIVO, UTILIZA-SE: 
Para séries antecipadas (com entrada), basta multiplicar o valor da prestação por .
MATEMÁTICA FINANCEIRA
169
Sistema de Amortização Crescente (SACRE) ou Sistema de Amortização Misto (SAM) 
No Sistema de Amortização Crescente ou Sistema de Amortização Misto, cada prestação é a média aritmética das prestações nos 
sistemas Francês (Tabela Price) e Sistema de Amortização Constante (SAC), quando a proporção for de 50% para o Sistema de Amortização 
Frances (SAF) e 50% para o Sistema de Amortização Constante (SAC), com isto as primeiras prestações são maiores que no SAF e menores 
que no SAC, sendo que a partir da metade do período do financiamento a situação é invertida. As parcelas de juros, das amortizações e 
dos saldos devedores de cada período também são obtidas pela média aritmética dos dois sistemas.
Exemplos:
(UFGD – ANALISTA ADMINISTRATIVO – ECONOMIA – AOCP) O sistema que consiste no plano de amortização de uma dívida em pres-
tações periódicas, sucessivas e decrescentes, em progressão aritmética, denomina-se:
(A) Sistema de Amortização Misto.
(B) Sistema Price.
(C) Sistema de Amortização Constante.
(D) Sistema Americano com fundo de amortização.
(E) Sistema Alemão.
Resolução:
Como vimos no estudo dos tipos de Amortização, a única que apresenta esta característica é o Sistema de Amortização Constante 
(SAC).
Resposta: C
(PREF. FLORIANÓPOLIS/SC – AUDITOR FISCAL DE TRIBUTOS MUNICIPAIS – FEPESE) Uma pessoa financiou 100% de um imóvel no 
valor de R$ 216.000,00 em 9 anos. O pagamento será em prestações mensais e o sistema de amortização é o sistema de amortização 
constante (SAC).
Sabendo que o valor da terceira prestação é de R$2.848,00, a taxa de juros mensal cobrada é de:
(A) 0,2%.
(B) 0,4%.
(C) 0,5%.
(D) 0,6%.
(E) 0,8%.
Resolução:
Sabemos que no SAC Amortizações são constantes:
Sabemos que E = 216.000
n = 9 anos x 12(mensal) = 108 parcelas
A = ?
Com a cota de amortização, podemos calcular o Saldo Devedor para todos os períodos:
PERÍODO SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO
0 216.000 - - -
1 216.000 – 2.000 = 214.000 2.000
2 214.000 – 2.000 = 212.000 2.000
3 212.000 – 2.000 = 210.000 2.000
...
Sabemos a prestação do período 3 que é R$ 2.848,00. Lembrando que P = A + J, temos que para o período 3:
P = A + J  2 848 = 2 000 + J  J = 2 848 – 2 000 = 848. Os juros incidem sobre o capital do período anterior que neste caso é o 2.O 
tempo é 1
J = C.i.t  848 = 212 000.i.1  i = 848 / 212 000  i = 0,004 x 100%  i = 0,4%
Resposta: B
MATEMÁTICA FINANCEIRA
170
FLUXO DE CAIXA
Um fluxo de caixa1 representa uma série de pagamentos ou de 
recebimentos que se estima ocorrer em determinado intervalo de 
tempo. É bastante comum, na prática, defrontar-se com operações 
financeiras que se representam por um fluxo de caixa. Por exem-
plo, empréstimos e financiamentos de diferentes tipos costumam 
envolver uma sequência de desembolsos periódicos de caixa. De 
maneira idêntica, têm-se os fluxos de pagamentos/recebimentos 
de aluguéis, de prestações oriundas de compras a prazo, de investi-
mentos empresariais, de dividendos etc.
Os fluxos de caixa podem ser verificados das mais variadas for-
mas e tipos em termos de períodos de ocorrência (postecipados, 
antecipados ou diferidos), de periodicidade (períodos iguais entre 
si ou diferentes), de duração (limitados ou indeferidos) e de valores 
(constantes ou variáveis). Os termos dos fluxos de caixa são gene-
ricamente simbolizados por PMT, sendo para as demais variáveis 
empregada a mesma simbologia adotada em capítulos anteriores 
(PV, FV n, i).
Modelo Padrão
Os fluxos de caixa podem ser representados sob diferentes for-
mas e tipos, exigindo cada um deles um tratamento específico em 
termos de formulações. Esquematicamente, os fluxos de caixa são 
identificados com base na seguinte classificação:
O modelo-padrão de um fluxo de caixa, conforme grifado no 
esquema acima, é verificado quando os termos de uma sucessão 
de pagamentos ou recebimentos apresentam, ao mesmo tempo, as 
seguintes classificações:
Postecipados - indica que os fluxos de pagamentos ou recebi-
mentos começam a ocorrer ao final do primeiro intervalo de tempo. 
Por exemplo, não havendo carência, a prestação inicial de um finan-
ciamento é paga ao final do primeiro período do prazo contratado, 
vencendo as demais em intervalos sequenciais.
1FARIA, Rogério Gomes de. Matemática Comercial e Financeira. 5 ed. São 
Paulo: Pearson Education do Brasil, 2000.
FRANCISCO, Walter De. Matemática Financeira. 7 ed. São Paulo: Atlas, 1991.
NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e suas Aplicações.12 ed. São 
Paulo: Atlas, 2012.
NETTO, Scipione Di Pierro; TEIXEIRA, James. Matemática Financeira. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 1998.
Limitados - o prazo total do fluxo de caixa é conhecido a prio-
ri, sendo finito o número de termos (pagamentos e recebimentos). 
Por exemplo, um financiamento por 2 anos envolve desembolsos 
neste intervalo fixo de tempo sendo, consequentemente, limitado o 
número de termos do fluxo (prestações do financiamento).
Constantes - indica que os valores dos termos que compõem o 
fluxo de caixa são iguais entre si.
Periódicos - é quando os intervalos entre os termos do fluxo 
são idênticos entre si. Ou seja, o tempo entre um fluxo e outro é 
constante.
Graficamente, o fluxo de caixa uniforme (padrão) é representa-
do da forma seguinte:
Observe que a estrutura desse fluxo obedece à classificação-
-padrão apresentada anteriormente:
- o PMT inicial ocorre em n = 1: postecipado;
- a diferença entre a data de um termo e outro é constante: 
periódico;
- o prazo do fluxo é preestabelecido (fixo), apresentando n pe-
ríodos: limitado ou finito;
- os valores PMT são uniformes (iguais): constantes.
Valor presente e fator de valor presente
O valor presente de um fluxo de caixa uniforme, conforme 
discutido no item precedente, para uma taxa periódica de juros, é 
determinado pelo somatório dos valores presentes de cada um de 
seus valores. Reportando-se à representação gráfica do fluxo-pa-
drão apresentado, tem-se:
Logo:
Colocando-se em evidência:
FPV
A expressão entre colchetes é denominada de Fator de Valor 
Presente, sendo representada pela Matemática Financeira da forma 
seguinte:
FPV (i, n)
Com isso, a formulação genéricado valor presente assume a 
expressão:
PV = PMT x FPV (i,n)
MATEMÁTICA FINANCEIRA
171
Observe que FPV, conforme é apresentado na formulação an-
terior entre colchetes, equipara-se à soma de uma progressão geo-
métrica (PG) DE n termos, sendo o primeiro termo (a1) e a razão (q) 
igual a (1 + i)-1, e o n-ésimo termo (an) igual a (1 + i)
-n.
A fórmula de cálculo da soma de uma PG é dada por:
Substituindo-se os valores da expressão na soma dos termos 
de uma PG, tem-se:
Seguindo-se a sequência de dedução adotada por Mathias e 
Gomes2 multiplica-se o numerador e o denominador por (1 + i), ob-
tendo-se:
Essa expressão é muitas vezes representada da maneira se-
guinte:
Mediante o FPV, a fórmula do valor presente de um fluxo de 
caixa uniforme é apresentada da maneira seguinte:
PV = PMT x
ou
2 MATHIAS, N. Franco; GOMES, J. Maria. Matemática financeira. 2ed.. São 
Paulo: Atlas, 1998. p. 242.
PV = PMT x FPV (i,n)
Exemplo
Determinar o valor presente de um fluxo de 12 pagamentos 
trimestrais, iguais e sucessivos de $ 700,00 sendo a taxa de juros 
igual a 1,7% a.m.
Resposta
PMT = $ 700,00
n = 12 pagamentos trimestrais
i = 1,7% a.m. ou: - 1 = 5,19% a.t.
PV = PMT x FPV (i, n)
PV = $ 700,00 x FPV (5,19%, 12)
PV = $ 700,00 x 8,769034
PV = $ 6.138,30
Valor futuro e fator de valor futuro
O valor futuro, para determinada taxa de juros por período, é a 
soma dos momentos de cada um dos termos da série de pagamen-
tos/recebimentos. Graficamente, tem-se a seguinte representação:
O valor futuro pelo padrão ocorre junto com o último termo 
do fluxo de caixa. Capitalizando-se cada um dos valores da série, 
apura-se a seguinte expressão:
Colocando-se PMT em evidência: 
Identicamente, a expressão entre colchetes é definida por Fa-
tor de Valor Futuro e representada por:
FFV (i,n)
A formulação genérica do valor futuro de um fluxo de caixa uni-
forme é expressa da forma seguinte:
FV = PMT x FFV (i, n)
Da mesma maneira em relação ao desenvolvimento da fórmula 
do valor presente, observe que a expressão do FFV representa a 
soma dos termos de uma progressão geométrica, onde = 1; q = (1 
+ i) e = . Pela mesma equação de cálculo da soma dos valores de 
uma PG, tem-se:
 = FFV x (i,n) = 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
172
Promovendo os mesmos ajustes e simplificações desenvolvidos na identidade do valor presente, chega-se a:
FFV (i, n) = 
Assim, a partir do FFV pode-se elaborar a expressão de cálculo do valor futuro (montante) de um fluxo de caixa uniforme, ou seja:
FV = PMT x 
Ou
FV = PMT x FFV (i,n)
Exemplo
Calcular o montante acumulado ao final do 7º mês de uma sequência de 7 depósitos mensais e sucessivos, no valor de $ 800,00 cada, 
numa conta de poupança que remunera a uma taxa de juros de 2,1% a.m.
Resposta
O valor futuro pode ser calculado pela soma do montante de cada depósito, isto é:
FV = 800,00 + 800,00 (1,021) + 800,00 
 + 800,00 + ... + 800,00 
FV = $ 5.965,41
Aplicando-se a fórmula-padrão de apuração do valor futuro, tem-se, de forma abreviada, o mesmo resultado:
FV = PMT x FFV (i,n)
FV = PMT x 
FV = 800,00 x 
FV = 800,00 x 7,456763 = $ 5.965,41
Equivalência financeira e fluxos de caixa
Deve ser ressaltado também no estudo do fluxo de caixa o conceito de equivalência financeira. Esse raciocínio é de fundamental im-
portância para a Matemática Financeira, permitindo o correto entendimento e uso de seus resultados. A equivalência financeira encontra 
extensas aplicações práticas, estando presente na tomada de decisões financeiras, na seleção de planos de empréstimos e financiamentos 
mais atraentes, em propostas de refinanciamento e reescalonamento de dívidas etc.
De acordo com o que foi desenvolvido anteriormente, diz-se que dois ou mais fluxos de caixa (capitais) são equivalentes quando pro-
duzem idênticos valores presentes num mesmo momento, convencionando-se determinada taxa de juros.
Por exemplo, os 4 fluxos de caixa ilustrados a seguir são equivalentes para uma taxa de juros de 5% ao mês, pois geram, para uma 
mesma taxa e juros, valores iguais em qualquer data focal escolhida.
Definindo-se (momento presente como data focal):
MATEMÁTICA FINANCEIRA
173
Registre-se, uma vez mais, que a equivalência financeira no regime de juros compostos, para dada taxa de juros, pode ser verificada 
em qualquer momento tomado como referência (data focal). Por exemplo, se a data for definida em , tem-se:
414,00 = 267,00 = 220,00 
 = 190,00 
e assim por diante.
A equivalência de dois ou mais capitais, para determinada taxa de juros, ocorre em qualquer data tomada como referência. Alteran-
do-se a taxa, a equivalência evidentemente deixa de existir, dado que o conceito depende da taxa de juros. Algumas ilustrações práticas 
evidenciando o uso do conceito de equivalência financeira são desenvolvidas a seguir.
Exemplo
Admita que uma empresa esteja avaliando quatro planos de pagamentos de um financiamento de $ 300.000,00 conforme apresenta-
dos a seguir. A taxa de juros considerada nas propostas é de 7% a.m. Qual a opção de pagamento economicamente mais atraente?
Resposta
Os planos de pagamento formulados apresentam o mesmo valor presente (data zero) quando descontados à taxa de juros de 7% a.m. 
O resultado atualizado continua igual, mesmo se definida outra data focal. Logo, conclui-se que os fluxos de pagamento do financiamento 
são equivalentes, apresentando o mesmo custo.
Assim, em termos estritamente econômicos de atratividade, torna-se indiferente (equivalente) a escolha de uma ou outra forma de 
pagamento. Mesmo que a soma das prestações seja diferente em cada proposta, o fundamental na avaliação econômica é a comparação 
entre valores expressos em uma mesma unidade de tempo.
A decisão, dessa forma, deve ser tomada levando em conta o aspecto financeiro do desembolso, pois os fluxos de caixa são diferentes 
em cada plano em termos de valores e data de ocorrência. A forma de pagamento escolhida deve, evidentemente, adequar-se à capacida-
de financeira do tomador de recursos e ao comportamento das taxas de juros de mercado.
Fluxos de caixa não convencionais
Os fluxos definidos no denominado modelo-padrão foram amplamente estudados no início do capítulo. Esta parte dedica-se, mais 
especificamente, aos demais tipos de caixa, não considerados no modelo-padrão. A seguir são desenvolvidos as várias classificações não 
convencionais dos fluxos de caixa.
Período de ocorrência
Com relação ao período em que a ocorrer, o fluxo de caixa pode ser identificado como postecipado, antecipado e diferido.
- Postecipado
MATEMÁTICA FINANCEIRA
174
No tipo postecipado, a série de pagamentos/recebimentos começa a acorrer exatamente ao final do primeiro período, de acordo com 
a ilustração gráfica acima. Esse fluxo enquadra-se no modelo-padrão detalhado inicialmente, não havendo nada mais a acrescentar.
- Antecipado
O fluxo de caixa antecipado indica que a série de valores começa a ocorrer antes do final do primeiro período, conforme é represen-
tado graficamente acima. Por exemplo, um aluguel pago no início do período de competência (geralmente no início do mês) enquadra-se 
como um fluxo de caixa antecipado por um período (mês). Se dois aluguéis forem adiantados ao locador, a antecipação é de dois períodos, 
e assim por diante.
A determinação do valor presente e montante de um fluxo de caixa antecipado não apresenta maiores novidades. Além de ter-se 
sempre a opção de atualizar ou corrigir os seus termos individualmente, pode-se também utilizar a fórmula do modelo-padrão para a parte 
convencional do fluxo, e adicionar os termos antecipados (corrigidos) a esse resultado.
Por exemplo, admita o seguinte fluxo de caixa com antecipação de dois períodos:
Para uma taxa de juros de 4% por período, tem-se:
PV = [70,00 FPV (4%, 8)] + 70,00 + 70,00 (1,04)
PV = (70,00 6,732745) + 70,00 + 72,80
PV = 471,29 + 70,00 + 72,80 = $614,09
FV = [70,00 FPV (4%, 8) + 70,00] + 70,00 
FV = (70,00 9,214226) + 95,80 + 99,63
FV = 645,00 + 95,80 + 99,63 = $ 840,43
- Diferido(Carência)
O diferimento indica que os termos da série começam a ocorrer após o final do primeiro período, conforme ilustrado no gráfico an-
terior.
Nessa ilustração, a série inicia-se no período imediatamente após o final do primeiro intervalo de tempo, indicando consequentemen-
te uma carência de um período. Se a série começar a ocorrer no momento 3 do gráfico, a carência atinge dois períodos: no momento 4 
tem-se uma carência de 3 períodos; e assim por diante.
Em suma, a base de comparação para se definir uma carência é o final do primeiro período. Para a matemática financeira, a carência 
existe quando o primeiro fluxo de caixa se verificar após o final do primeiro período, ou seja, após ter decorrido c períodos de tempo. 
A determinação do montante de um fluxo de caixa com carência segue a formulação desenvolvida do modelo-padrão. Deve ser res-
saltado, uma vez mais, que nesse caso n representa o número de termos da série, e não o seu prazo total.
A formulação do valor presente, no entanto, requer um pequeno ajuste, de forma a ser expresso na data zero, ou seja:
PV = PMT x FPV (i, n) x FAC (i, c)
MATEMÁTICA FINANCEIRA
175
Onde: 
c = número de períodos de carência.
FAC = Fator de Atualização de Capital (valor presente).
FAC = 1/ (1 + i)n
Por exemplo, admita o seguinte fluxo de caixa diferido por 2 períodos:
- Diferido (Carência)
Observe que o fluxo de caixa apresenta um prazo total de 9 períodos, sendo o número determos igual a 7 (n = 7), e a carência de 2 
períodos (c = 2).
Para uma taxa de juros de 2,2% por período, têm-se os seguintes resultados:
PV = 100,00 x FPV (2,2%, 7) x FAC (2,2%, 2)
PV = 100,00 x 6,422524 x 0,957410 = $ 614,90
FV = 100,00 x FFV (2,2%, 7)
FV = 100,00 x 7,479318 = $747,93
Periodicidade
A periodicidade reflete os intervalos de tempo em que os fluxos de caixa ocorrem. Se esses intervalos forem sempre iguais, diz-se 
que os fluxos são periódicos, enquadrando-se no modelo-padrão apresentado. Se, por outro lado, os termos se verificarem em intervalos 
irregulares (diferentes entre si), tem-se o que se denomina de fluxos de caixa não periódicos. O gráfico a seguir ilustra um fluxo de caixa 
não periódico, onde os valores não se verificam uniformemente em termos de sua periodicidade.
Tanto o cálculo do valor presente, como o do valor futuro, devem ser processados, respectivamente, pelo somatório da atualização 
e capitalização de cada um dos termos.
Genericamente, têm-se as seguintes expressões:
Ilustrativamente, admita o seguinte fluxo de caixa não periódico:
Para uma taxa de juros de 1,9% a.m., tem-se:
PV = 100,00 + + + + 
PV= 100,00 + 94,51 + 92,75 + 86,02 + 75,40
MATEMÁTICA FINANCEIRA
176
PV = $ 448,68
FV = 100,00 + 100,00 (1,019)7 + 100,00 (1,019)11 + 100,00 
(1,019)12 + 100,00 (1,019)15
FV = 100,00 + 114,08 + 123,00 + 125,34 + 132,62
FV = $ 595,04 ou FV = 448,68 x (1,019)15 = $ 595,04. 
Duração
A duração de um fluxo de caixa pode ser finita, característica 
do modelo-padrão, ou indeterminada (indefinida), quando o prazo 
não é conhecido previamente. No caso de uma série infinita, deter-
mina-se unicamente o seu valor presente. Para algumas situações 
específicas podem ser atribuídas probabilidades para se definir a 
duração de um fluxo, como é o caso da atividade de seguros. No 
entanto, este tipo de situação não será tratada aqui, ficando mais 
restrito estudo da Matemática Atuarial.
A representação gráfica de uma série indefinida pode ser ilus-
trada da forma seguinte:
O cálculo do valor presente é efetuado pelo somatório do valor 
atualizado de cada um de seus termos, isto é:
 
Genericamente:
Detalhando a formulação:
 
Os valores entre colchetes representam a soma dos termos de 
uma progressão geométrica indefinida, cuja razão é menor que 1. 
Aplicando-se o teorema de limite na fórmula da soma dos termos, 
tem-se:
 
Processando-se as deduções e simplificações pertinentes a par-
tir dessa expressão, chega-se ao valor presente de um fluxo de caixa 
igual, constante, periódico e indeterminado, ou seja:
Em outras palavras, o valor presente desse fluxo é determinado 
pela relação entre o pagamento/recebimento periódico, igual e su-
cessivo, e a taxa de juros considerada. As séries indeterminadas en-
contram aplicações práticas principalmente em avaliações de imó-
veis efetuadas com base nos rendimentos de aluguéis, na apuração 
do preço de mercado de uma ação a partir do fluxo previsto de di-
videndos etc. Com o intuito de proceder a uma aplicação prática do 
cálculo do valor presente de um fluxo indeterminado, admita que 
um imóvel esteja rendendo $ 2.000,00 de aluguel mensalmente. 
Sendo de 2% a.m.o custo de oportunidade de mercado (ganho da 
melhor alternativa de aplicação disponível), pode-se avaliar preli-
minarmente que o valor deste imóvel atinge $ 100.000,00, isto é:
 
O valor de referência do imóvel, válido para uma avaliação ini-
cial, é o valor presente do fluxo de rendimentos mensais (aluguéis) 
previsto por um prazo indeterminado, descontado a um custo de 
oportunidade.
Valores
No que se refere aos valores, os termos de caixa podem ser 
constantes, se os fluxos de caixa apresentarem-se sempre iguais, ou 
variáveis, se os fluxos não forem sempre iguais entre si. Se os va-
lores de caixa forem constantes, o fluxo identifica-se com o mode-
lo-padrão estudado. No entanto, se os valores de caixa apresenta-
rem-se desiguais (variáveis), o valor presente é calculado pela soma 
dos valores atualizados de cada um de seus termos. O valor futuro, 
por seu lado, é determinado pelo somatório dos montantes de cada 
um dois termos ou, ainda, capitalizando-se o valor presente para a 
data futura. Identicamente aos fluxos de caixa não periódicos, têm-
-se as seguintes generalizações:
 
Ou
Por exemplo, admita um fluxo de caixa com os seguintes valo-
res, ocorrendo respectivamente ao final de cada um dos próximos 
5 anos: $ 80,00, $ 126,00, $ 194,00, $ 340,00 e $ 570,00. Para uma 
taxa de juros de 4% a.a., têm-se os seguintes resultados:
MATEMÁTICA FINANCEIRA
177
Questões
01. Uma mercadoria é vendida a prazo em 5 pagamentos mensais de $ 700,00. Sendo de 3,5% a.m. a taxa de juros, determinar o seu 
preço à vista admitindo que o primeiro pagamento é efetuado no ato da compra:
(A) R$ 3.500,00
(B) R$ 3.377,50
(C) R$ 3.271,16
(D) R$ 3.200,85
(E) R$ 3.429,29
02. Uma pessoa irá necessitar de $ 7.000,00 daqui a 10 meses. Quanto deverá ela depositar mensalmente num fundo de poupança 
que rende 1,7% a.m. de juros?
(A) 625,15
(B) 586,10
(C) 648,10
(D) 500,18
(E) 700,00
03. Um veículo, cujo preço à vista é de $ 30.000,00, está sendo vendido nas seguintes condições:
a) entrada = 30%
b) saldo em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira daqui a dois meses.
Determinar o valor de cada prestação, admitindo uma taxa de juros de 2% a.m.
(A) $ 4.541,50
(B) $ 4.000,00
(C) $ 3.010,02
(D) $ 2.100,02
(E) $ 3.824,02
04. Determinado produto está sendo vendido por $ 1.800,00 a vista, ou em 3 pagamento mensais e iguais de $ 650,00. Estando atual-
mente em 3,3% a.m. as taxas de juros de mercado, a melhor alternativa de compra é a compra à vista.
( )Certo
( )Errado
05. Determinada mercadoria é vendida por $ 2.500,00 a vista ou por 20% de entrada mais prestações mensais de $ 309,00. Sendo de 
2% a.m. a taxa corrente de juros, determinar o número de prestações mensais.
(Dado: log 1,2 = e log 0,870550 = )
(A) 6 prestações
(B) 7 prestações
(C) 8 prestações
(D) 9 prestações
(E) 10 prestações
06. Determinado bem é vendido em 7 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de $ 4.000,00. Para uma taxa de juros de 2,6% a.m., 
até que preço compensa adquirir o aparelho à vista?
(A) $ 25.000,00
(B) $ 26.001,18
(C) $ 23.300,18
(D) $ 25.301,18
(E) $ 21.201,00
MATEMÁTICA FINANCEIRA
178
07. Um veículo novo está sendo vendido por $ 4.000,00 de entrada mais 6 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de $ 3.000,00. 
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 5,5% a.m., determinar até que preço interessa comprar o veículoa vista.
(A) 18.986,59
(B) 20.586,59
(C) 17.746,50
(D) 16.500,50
(E) 19.999,59
Respostas
01. Resposta: C.
PV = 700,00 + [700,00 x FPV (3,5%, 4)]
PV = 700,00 + (700,00 x 3,673079)
PV = R$ 3.271,16
02. Resposta: C.
03. Resposta: E.
 Valor a financiar = 30.000,00 - 9.000,00 = $ 21.000,00
PV = PMT x FPV (2%, 6) x FAC (2%, 1)
21.000,00 = PMT x x (1,02)-1
21.000,00 = PMT x 5,601431 x 0,980392
21.000,00 = pmt X 5.491598
MATEMÁTICA FINANCEIRA
179
PMT = = $ 3.824,02
04. Resposta: Certo.
A indicação da alternativa de compra mais interessante pode 
ser obtida pelo valor presente das duas propostas (escolhe-se evi-
dentemente aquela de menor PV), ou pela determinação do custo 
mensal da venda a prazo (o percentual apurado é comparado com 
a taxa de mercado).
PV (a vista) = $ 1.800,00
PV = (a prazo) = 650,00 x FPV (3,3%, 3)
 650,000 x 2,812375
 = $ 1.828,04
A venda a prazo, por apresentar um PV maior que o valor a 
vista, indica um custo maior que a taxa de mercado (3,3% a.m.). 
Interessa a compra à vista.
O custo mensal da compra a prazo é calculado:
PV = PMT x FPV (i, n)
1.800,00 = 650,00 x 
i = 4,11% a.m.
Confirma-se um custo embutido na venda a prazo de 4,11% 
a.m. maior que os juros de mercado (3,3% a.m.).
05. Resposta: B.
Valor a financiar: 2.500,00 - 20% = $ 2.000,00
PV = PMT + FPV (i, n)
2.000,00 = 309,00 x FPV (2,0%, n)
 x 0,02 = 1 - (1,02)-n
0,129450 = 1 - (1,02)-n
(1,02)-n = 0,870550
Aplicando-se a propriedade de logaritmo:
- n x log 1,02 = log 0,870550
n = - 
n = - = 7 meses (prestações mensais)
06. Resposta: D.
PMT = $ 4.000,00 PV= ?
 
 
 
Ou
 
 
 
O valor presente pode também ser calculado pela atualização 
de cada uma dos termos do fluxo, ou seja:
Resolvendo-se a expressão chega-se, evidentemente, ao mes-
mo resultado: PV = $ 25.301,18.
07. Resposta: A.
O preço à vista é formado pela entrada de $ 4.000,00 mais a 
soma dos valores atuais das prestações de $ 3.000,00 cada, ou seja: 
PV = Entrada + [PMT x FPV (i,n)]
PV = 4.000,00 + 3.000,00 x FPV (5,5%, 6)
PV = 4.000,00 + 3.000,00 x 4,995530
PV = 18.986,59
QUESTÕES
1. CESGRANRIO - Escriturário (BB)/Agente Comer-
cial/2021/”Prova A”
Devido às oscilações de receita em seu negócio durante a pan-
demia, um cliente vai precisar pagar um boleto, cujo principal (até 
a data de vencimento) é de R$ 25.000,00, com 12 dias de atraso. 
Nesse caso, são cobrados adicionalmente, sobre o valor do princi-
pal, dois encargos: 2% de multa, mais juros simples de 0,2% ao dia. 
Por causa dos juros altos, o cliente procurou seu gerente, que não 
conseguiu uma solução menos custosa.
Com isso, nas condições dadas, o cliente deverá pagar nessa 
operação um valor total de
(A) R$ 25.600,00
(B) R$ 25.800,00
(C) R$ 26.100,00
(D) R$ 26.300,00
(E) R$ 26.500,00
2. CESGRANRIO - Escriturário (BB)/Agente Comer-
cial/2021/”Prova B”
No boleto bancário da sua prestação, uma pessoa leu que é 
cobrada uma multa de 1,2% por dia de atraso sobre o valor da pres-
tação, condicionada a atrasos não maiores que 30 dias. Em certo 
mês, essa pessoa pagou uma prestação com atraso, tendo de de-
sembolsar R$ 233,20 em vez dos R$ 220,00 normalmente pagos nos 
meses em que não houve atraso no pagamento.
Por quantos dias ela atrasou a prestação nesse mês?
(A) 5
(B) 10
(C) 15
(D) 20 
(E) 25
3. CESGRANRIO - Escriturário (BB)/Agente Comer-
cial/2021/”Prova B”
Um banco fez um empréstimo de R$10.000,00 a um cliente, 
pelo prazo de um mês, cobrando o valor de R$ 100,00 a título de 
juros.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
180
Qual foi a taxa de juros que o banco cobrou do cliente?
(A) 0,01 ao mês
(B) 10% ao ano
(C) 1% ao ano
(D) 0,1 ao mês
(E) 0,05 ao mês
4. CESGRANRIO - Escriturário (BB)/Agente Comer-
cial/2021/”Prova C”
Uma pessoa está planejando comprar uma geladeira no valor 
de R$1.300,00, no futuro.
Sabendo-se que ela pretende gastar exatamente esse valor e 
que dispõe de um capital de R$1.000,00, que será aplicado no dia 
de hoje a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês, qual será o 
prazo dessa aplicação, em meses, para que ela consiga comprar a 
geladeira à vista, o mais rápido possível?
(A) 2
(B) 16
(C) 20
(D) 50
(E) 200
5. CESGRANRIO - Escriturário (BB)/Agente Comer-
cial/2021/”Prova C”
Qual é a taxa de juros simples utilizada por uma aplicação 
para tornar um capital inicial de R$1.000,00 em um montante de 
R$1.240,00, em um período de um ano?
(A) 0,02 ao mês
(B) 0,02% ao mês
(C) 0,02 ao ano
(D) 0,02% ao ano
(E) 0,24% ao ano
6. CESGRANRIO - Assistente (LIQUIGÁS)/Administrativo I/2018/
Edital 02
Uma empresa toma um empréstimo de R$ 200.000,00, por 20 
dias, a uma determinada taxa de juro, no regime de simples. Consi-
dere que, ao final desse período, os juros pagos são de R$ 8.800,00.
Assim, a taxa mensal de juro simples cobrada nesse emprésti-
mo, considerando o mês com 30 dias, foi igual a
(A) 4,0%
(B) 4,4%
(C) 6,0%
(D) 6,6%
(E) 8,8%
7. CESGRANRIO - Assistente (LIQUIGÁS)/Administrativo I/2018/
Edital 02
Um comprador tem duas opções de pagamento: pagar à vista, 
com desconto de 20% sobre o preço de tabela ou a prazo, um mês 
após a data da compra, com um acréscimo de 10% sobre o preço 
de tabela.
O valor mais próximo da taxa de juro mensal cobrada nessa 
operação, comparando-se o valor a ser pago, por um mesmo produ-
to, em cada uma das opções apresentadas, é igual a
(A) 10%
(B) 22%
(C) 30%
(D) 33%
(E) 38%
8. CESGRANRIO - Profissional (LIQUIGÁS)/Vendas/Júnior/2018/
Edital 02
Um funcionário da Liquigás pretende fazer uma pequena re-
forma em sua casa daqui a 1 ano e gostaria de ter, em sua conta 
investimento, R$ 3.000,00 no momento de iniciar a reforma.
Considerando que suas economias rendem juros de 20% a.a., 
quanto ele deveria ter hoje, em sua conta investimento, para ter 
exatamente a quantia desejada daqui a 1 ano, sem que seja feito 
nenhum depósito?
(A) R$ 2.800,00
(B) R$ 2.600,00
(C) R$ 2.500,00
(D) R$ 2.400,00
(E) R$ 2.333,33
9 CESGRANRIO - Profissional (LIQUIGÁS)/Economia/Jú-
nior/2018/Edital 02
Uma empresa toma um empréstimo de R$ 350.000,00 por 25 
dias, a uma taxa de juro simples de 4,8% ao mês, em um mês com 
30 dias. Considere que, ao final desse período, a empresa quita a 
dívida pagando, além dos juros, uma taxa de utilização de crédito 
igual a 0,5% do valor tomado emprestado.
 Assim, o valor mais próximo do custo total do empréstimo no 
momento da quitação, em reais, é igual a
(A) 13.500,00
(B) 14.250,00
(C) 15.750,00
(D) 16.800,00
(E) 18.550,00
10. CESGRANRIO - Técnico Bancário (BASA)/2022
Um banco oferece um financiamento utilizando uma taxa de 
juros simples de 6% a.a.
Qual a taxa trimestral equivalente à taxa oferecida pelo banco?
(A) 0,0147 a.t.
(B) 0,15 a.t.
(C) 0,50% a.t.
(D) 1,47% a.t.
(E) 1,50% a.t.
11. CESGRANRIO - Profissional Petrobras de Nível Superior (PE-
TROBRAS)/Auditoria/2018
Um cliente de uma loja de eletrodomésticos deseja antecipar 
duas parcelas iguais de R$ 1.000,00 de seu financiamento, com ven-
cimento para, respectivamente, 30 e 60 dias a partir de hoje.
Considerando-se uma taxa de desconto de 2% a.m., desconto 
comercial simples e calendário comercial, quanto será exigido do 
cliente para quitar as duas parcelas?
(A) R$ 1.940,00
(B) R$ 1.940,40
(C) R$ 1.941,93
(D) R$ 1.960,00
(E) R$ 2.000,00
12. CESGRANRIO - Analista Júnior (TRANSPETRO)/Financei-
ro/2018
Um título, cujo valor de resgate é de R$ 260.000,00, está sendo 
negociado exatamente dois meses antes do seu vencimento por R$ 
244.361,00. Nessas condições, o valor mais próximo da taxa de des-
conto bancário cobrada nessa operação é igual a
(A) 2,0%
(B) 2,4%
(C) 3,0%
MATEMÁTICA FINANCEIRA
181
(D) 3,8%
(E) 4,5%
13. CESGRANRIO - Profissional (LIQUIGÁS)/Economia/Jú-
nior/2018/Edital 02
Suponha uma operação simples de desconto realizada em um 
banco, 4 meses antes do vencimento de um título, com valor no-
minal de resgate e taxa de juros definidos. Essa operação é livre 
de despesas bancárias ou quaisquer outros encargos, além dos já 
definidos.
Nessa operação,utilizando-se os métodos de descontos “por 
dentro” (racional) ou “por fora” (comercial ou bancário) verifica-se 
que o valor
(A) líquido liberado para o tomador será maior se o método de 
desconto praticado for o desconto “por fora”.
(B) líquido liberado para o tomador será o mesmo para ambos 
os métodos.
(C) de resgate será menor para o desconto “por dentro”.
(D) de resgate será o mesmo, seja qual for o método de des-
conto utilizado.
(E) de resgate será maior para o desconto “por fora”.
14. CESGRANRIO - Escriturário (BB)/Agente Comer-
cial/2021/”Prova A”
Um cliente fez um investimento de R$ 100.000,00 em janei-
ro de 2019, comprando cotas de um fundo imobiliário, o que lhe 
proporcionou uma taxa de retorno de 21%, ao final de 12 meses 
de aplicação. Em janeiro de 2020, buscando maior rentabilidade, 
procurou um especialista financeiro indicado pelo seu gerente, que 
lhe recomendou aplicar todo o montante da operação anterior em 
renda variável. O cliente fez conforme recomendado, o que lhe pro-
porcionou um retorno de 96% em 12 meses, resgatando o novo 
montante em janeiro de 2021.
Considerando-se um sistema de juros compostos, a taxa de re-
torno equivalente, obtida em cada período de 12 meses pelo clien-
te, de janeiro de 2019 a janeiro de 2021, foi igual a
(A) 54%
(B) 56%
(C) 58%
(D) 60%
(E) 62%
15. CESGRANRIO - Escriturário (BB)/Agente Comer-
cial/2021/”Prova B”
Um cliente deseja fazer uma aplicação em uma instituição fi-
nanceira, que paga uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, 
por um período de 3 anos, já que, ao final da aplicação, planeja 
comprar uma TV no valor de R$ 3.500,00 à vista.
Qual o valor aproximado a ser investido para esse objetivo ser 
alcançado?
(A) R$ 2.629,60
(B) R$ 2.450,00
(C) R$ 2.692,31
(D) R$ 2.341,50
(E) R$ 2.525,00
16. CESGRANRIO - Técnico Bancário Novo (CEF)/”Sem 
Área”/2021/PcD
Um banco possui, atualmente, um modelo de financiamento 
em regime de juros compostos, em que as parcelas são pagas, men-
salmente, a uma taxa de juros de 2% ao mês. Para um certo perfil 
de clientes, o banco pretende possibilitar o pagamento da dívida a 
cada três meses, a uma taxa de juros trimestral equivalente à prati-
cada no modelo atual.
A melhor aproximação para o valor da taxa de juros trimestral 
desse novo modelo de financiamento é:
(A) 2,48%
(B) 6,00%
(C) 6,12%
(D) 7,28%
(E) 8,00%
17. CESGRANRIO - Analista Júnior (TRANSPETRO)/Comercializa-
ção e Logística Júnior/Comércio e Suprimento/2018
Considere que uma empresa vai realizar uma aplicação de 10 
milhões de reais, com prazo de resgate para 1 ano, a partir de hoje, 
e precisa decidir entre as cinco opções apresentadas a seguir.
Opção I – taxa de 24% ao ano, com capitalização mensal
Opção II – taxa efetiva de 24% ao ano
Opção III – taxa de 24% ao ano, com capitalização quadrimes-
tral
Opção IV – taxa de 2,2% ao mês, no regime de juros simples
Opção V – taxa de 24% ao ano, com capitalização semestral
Considerando-se 1,27 como aproximação para 1,02 12, a op-
ção que apresenta a maior taxa anual de retorno, dentre as cinco 
apresentadas, é a
(A) I
(B) II
(C) III
(D) IV
(E) V
18. CESGRANRIO - Técnico Júnior (TRANSPETRO)/Administra-
ção e Controle Júnior/2018
Uma empresa avalia antecipar o pagamento das duas últimas 
parcelas de um financiamento, realizado a uma taxa de juro de 5% 
ao mês, para abril de 2018. As parcelas, no valor de R$ 8.820,00 
cada uma, têm data de vencimento para maio de 2018 e junho de 
2018.
Considerando-se o desconto racional composto, o valor de qui-
tação total das duas parcelas, se o pagamento das duas for realiza-
do em abril de 2018, é igual a
(A) R$ 15.876,00
(B) R$ 16.000,00
(C) R$ 16.400,00
(D) R$ 16.800,00
(E) R$ 17.640,00
19. CESGRANRIO - Profissional Petrobras de Nível Superior (PE-
TROBRAS)/Auditoria/2018
Uma construtora anuncia a venda de um imóvel à taxa nominal 
de juros de 12% a.a. com correção mensal do saldo e das presta-
ções.
Qual é a taxa real anual, aproximada, do financiamento, consi-
derando-se uma inflação anual de 10%?
(A) 2,44%
(B) 2,00%
(C) 1,98%
(D) 1,82%
(E)- 2,38%
20. CESGRANRIO - Escriturário (BB)/Agente Comer-
cial/2021/”Prova B”
Um banco ofereceu a um cliente um financiamento de R$ 
120.000,00, pelo sistema SAC, a uma taxa de juros de 10% a.m., 
para ser pago em 4 prestações mensais ao final de cada mês, sendo 
a primeira prestação no valor de R$ 42.000,00. A Tabela abaixo po-
derá ser usada para seus cálculos.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
182
Quais os valores aproximados que serão pagos, pelo cliente, 
a título de juros e prestação, respectivamente, ao final do terceiro 
mês?
(A) R$ 12.000,00; R$ 42.000,00
(B) R$ 3.000,00; R$ 39.000,00
(C) R$ 12.000,00; R$ 30.000,00
(D) R$ 6.000,00; R$ 36.000,00
(E) R$ 9.000,00; R$ 33.000,00
GABARITO
1 C
2 A
3 A
4 C
5 A
6 D
7 E
8 C
9 C
10 E
11 A
12 C
13 D
14 A
15 A
16 C
17 A
18 C
19 A
20 D
ANOTAÇÕES
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________