2- Conjuntos e Relações

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Organizado por: Professor Mestre Juliano Squarsone Di Siervo 
Teoria de Conjuntos 
 
Todo agrupamento de objetos ou números, de qualquer tipo e quantidade, é chamado de conjunto. 
Por exemplo, são conjuntos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os objetos que compõe os conjuntos são chamados de elementos. Tem-se, nos exemplos acima: 
❖ Domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira e sábado são elementos do 
conjunto dos dias da semana. 
❖ Janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro e dezembro 
são elementos do conjunto dos meses do ano. 
❖ A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z são elementos do conjunto 
das letras do alfabeto. 
❖ Arte, Biologia, Ciências, Educação Física, Filosofia, Física, Geografia, História, Língua Inglesa, 
Língua Portuguesa, Matemática, Química e Sociologia são elementos do conjunto das matérias 
escolares. 
 
Note que algumas considerações podem ser feitas a respeito desses conjuntos. 
❖ Sexta-feira é um elemento do conjunto dos dias da semana, pois este compõe o conjunto. 
❖ Outubro é um elemento do conjunto dos meses do ano, pois este faz parte do conjunto. 
❖ A letra π (pi) não faz parte do conjunto das letras do alfabeto. Então π não é elemento desse conjunto, 
mas do conjunto das letras do alfabeto grego. 
❖ Marcenaria não é um elemento do conjunto das matérias escolares. Logo ela não faz parte desse 
conjunto. 
 
Representação de um conjunto 
Geralmente, os conjuntos têm sua nomenclatura indicada por letras maiúsculas do nosso alfabeto (A, 
B, C, D etc.). Existem três formas de se representar um conjunto: enumeração ou forma tabular, por 
propriedade de seus elementos e pelo diagrama de Veen. 
Vejamos cada uma delas: 
❖ Enumeração ou forma tabular 
Os elementos são exibidos entre chaves e separados por vírgula ou ponto e vírgula. 
Por exemplo, o conjunto S dos dias da semana pode ser representado da seguinte forma: 
 
𝑆 = {domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado } 
 
❖ Representação pela propriedade de seus elementos 
Os elementos do conjunto são apresentados por uma propriedade ou característica que se verifica para 
todos eles e somente para eles. 
Dias da semana Meses do ano Letras do alfabeto Matérias escolares 
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Por exemplo, o conjunto M dos meses do ano pode ser representado da seguinte forma: 
 
𝑀 = {m | m é um dos meses do ano } 
 
Nesse caso, lê-se “M é o conjunto de todos os elementos m, tal que é um dos meses do ano”. 
 
❖ Diagrama de Venn 
Os elementos do conjunto são simbolizados por pontos no interior de uma região plana, delimitada por 
uma linha fechada e não entrelaçada. 
Por exemplo, o conjunto L das letras do alfabeto pode ser representado da seguinte forma: 
 
L 
 
 
 
 
 
 
 
 
A história conta 
 
“Esse modo visual de apresentar conjuntos, criado inicialmente por Leonhard Euler (1707-1783) e, 
posteriormente, ampliado e formalizado por John Venn (1834-1923), recebeu o nome de diagrama de Venn 
ou diagrama de Euler-Venn. Trata-se de uma forma bastante simples de descrever a ideia abstrata de conjuntos, 
facilitando a compreensão de propriedades e relações”. 
Fonte: COC 1ª série do EM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: https://apps.univesp.br/o-diagrama-de-venn/ 
 
 
Tipos de conjuntos 
Alguns conjuntos possuem características especiais, que justifica que recebam nomenclatura 
específica. São os mais conhecidos: 
❖ Conjunto unitário: é o conjunto que possui apenas e somente um elemento. 
 
Exemplo: 
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T é o conjunto de satélites naturais do planeta Terra 
 
T = {Lua} 
 
❖ Conjunto vazio: é o conjunto que não possui elemento algum. É representado pelo símbolo ∅ (letra de 
origem norueguesa) ou { }. 
Exemplo: 
P é o conjunto dos números primos pares e maiores que 2. 
 
P = ∅ 
Ou 
P = { } 
 
 
O Conjunto vazio não é representado por {∅}. Esse conjunto é 
unitário, de elemento ∅ 
 
 
 
❖ Conjunto universo: é o conjunto formado por todos os elementos com os quais se trabalha. É 
representado por U. 
Exemplo: 
A é o conjunto das cores do arco-íris 
 
A = {vermelho, laranja, amarelo, verde, azul, azul-anil e violeta} 
 
❖ Conjunto finito: é o conjunto vazio ou o conjunto que possui elementos que podem ser contados um a 
um, de modo que essa contagem chegue ao final, ou seja, que todos os elementos sejam contados. 
Exemplo: 
V é o conjunto das vogais do nosso alfabeto 
 
V = {A, E, I, O, U} 
 
C é o conjunto de carros que possuem 10 rodas 
 
C = ∅ 
 
❖ Conjunto infinito: é o conjunto que não é finito. 
Exemplo 
N é o conjunto dos números naturais 
 
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...} 
 
Relação de pertinência 
É dito que o elemento a pertence (∈) ao conjunto A para indicar que determinado elemento participa 
de um conjunto. Lê-se: 
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a ∈ A (lê-se: a pertence a A) 
 
Se o elemento a não pertence (∉) ao conjunto A, escreve-se: 
 
a ∉ A (lê-se: a não pertence a A) 
 
Os símbolos ∈ (pertence) e ∉ (não pertence) são usados para se relacionar elemento a conjunto. 
Exemplo: 
❖ Sexta-feira pertence ao conjunto S dos dias da semana, pois este compõe o conjunto. 
 
Sexta-feira ∈ S 
 
❖ Outubro pertence ao conjunto M dos meses do ano, pois este faz parte do conjunto. 
 
Outubro ∈ M 
 
❖ A letra π (pi) não pertence ao conjunto L das letras do alfabeto. Então π não é elemento desse conjunto, 
mas do conjunto das letras do alfabeto grego. 
 
Π ∉ L 
 
❖ Marcenaria não pertence ao conjunto E das matérias escolares. Logo ela não faz parte desse conjunto. 
 
Marcenaria ∉ E 
 
Relação de Inclusão 
É dito que o conjunto A está contido (⊂) no conjunto B para indicar que todos os elementos que 
pertencem ao conjunto A também pertencem ao conjunto B. Lê-se: 
 
A ⊂ B (lê-se: A está contido em B) 
 
Da mesma forma, se o conjunto A está contido no conjunto B, então o conjunto B contém (⊃) o 
conjunto A. Lê-se: 
B ⊃ A (lê-se: B contém A) 
 
Se o conjunto A possuir pelo menos um elemento que não pertença ao conjunto B, diz-se que o 
conjunto A não está contido (⊄) no conjunto B 
 
A ⊄ B (lê-se: A não está contido em B) 
 
Assim, se o conjunto A não está contido no conjunto B, então o conjunto B não contém (⊅) o 
conjunto A. 
 
B ⊅ A (lê-se: B não contém A) 
 
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Os símbolos ⊂ (contido), ⊄ (não contido), ⊃ (contém) e ⊅ (não contém) são usados para se relacionar 
dois conjuntos. 
Exemplo: 
❖ O conjunto F dos finais de semana está contido no conjunto S dos dias da semana, pois todos os 
elementos de F pertencem a F. Analogamente, o conjunto S contém o conjunto F. 
𝑆 = {domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado } 
𝐹 = {domingo, sábado } 
F ⊂ S 
S ⊃ S 
 
❖ O conjunto P dos números primos não está contido no conjunto I dos números ímpares, pois há o 
elemento 2 ∈ P, mas 2 ∉ I. Analogamente, o conjunto I não contém o conjunto P. 
I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13...} 
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13 ...} 
P ⊄ I 
I ⊅ P 
 
Hora de Praticar 
1- Escreva, enumerando seus elementos, os conjuntos a seguir. 
a) A = {x | x é vogal da palavra “estudante”} 
b) B = {x | x é um número par, maior que 15 e menor que 25} 
c) C = {x | x é um estado da região Sul do Brasil} 
d) D = {x | x é raiz da equação 2x + 1 = 17} 
e) E = {x | x é um número natural maior que 10 e menor que 100} 
 
2- Classifique os conjuntos a seguir em unitário ou vazio. 
I. A = {x | x é capital do Brasil.} 
II. B = {x | x é número par e x é número ímpar.} 
III. C = {x | x é diagonal de um triângulo.} 
IV. D = {x | x é solução da equação 3x – 5 = 1.} 
 
3- Dados os conjuntos: 
S = {domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira,quinta-feira, sexta-feira, sábado} 
M = {janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro, dezembro} 
L = {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z} 
G = {Arte, Biologia, Ciências, Educação Física, Filosofia, Física, Geografia, História, Língua Inglesa, Língua 
Portuguesa, Matemática, Química, Sociologia} 
 
Preencha as lacunas com ∈ (pertence) e ∉ (não pertence). 
a) Português _____ G 
b) terça _____ M 
c) A _____ S 
d) abril _____ M 
e) R _____ S 
f) Matemática _____ G 
 
 
Respostas no final do capítulo 
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4- Seja os conjuntos A, B e C, tais que 
A = {1, 2, 3, 5, 9} 
B = {2, 3} 
C = {11, 12} 
 
Preencha as lacunas com ⊂ (contido), ⊄ (não contido), ⊃ (contém) e ⊅ (não contém). 
a) A ___ B 
b) B ___ A 
c) C ___ A 
d) A ___ C 
 
 
Subconjuntos 
Lembre-se de dois conjuntos já citados nesse capítulo: o conjunto S dos dias da semana e o conjunto 
F dos finais de semana. 
 
𝑆 = {domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado } 
𝐹 = {domingo, sábado } 
 
Como F ⊂ S (F está contido em S), diz-se que F é um subconjunto de S, isto é, todos os elementos de 
F estão também em S. 
Importante perceber que o conjunto vazio é o menor subconjunto de qualquer conjunto, pois nele não 
há elementos. Da mesma forma, o próprio conjunto em questão é o maior subconjunto de um conjunto, pois 
este possui todos os elementos de si. Assim, dado um conjunto A: 
O conjunto vazio é subconjunto de todos os conjuntos, ou seja ∅ ⊂ A. 
Todo conjunto é subconjunto de si, isto é, A ⊂ A. 
 
Igualdade entre conjuntos 
Dois conjuntos são iguais quando eles possuem os mesmos elementos. 
Exemplo 
❖ Seja C o conjunto das vogais da palavra crase e T o conjunto das vogais da palavra tela: 
 
C = {a, e} 
T = {e, a} 
 
Note que todos os elementos do conjunto C pertencem a T e todos os elementos de T também 
pertencem a C. Assim, C = T. 
É possível imaginar que, se dois conjuntos, A e B, não são iguais, então eles são diferentes: A ≠ B (lê-
se: A é diferente de B). Isso acontece quando existe pelo menos um elemento de um dos conjuntos que não 
pertence ao outro. 
 
Conjunto de conjuntos 
Tem-se um conjunto de conjuntos quando os elementos de um conjunto são também conjuntos. 
Exemplo 
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❖ O conjunto A = {{8}, {5, 6}, {1, 3, 7}} possui três elementos, que são os conjuntos {8}, {5, 6} e {1, 
3, 7}. 
Assim, é correto dizer: 
o {8} ∈ A; 
o {1, 3, 7} ∈ A; 
o {{8}, {5, 6}} ⊂ A. 
 
Observação: percebe-se que as afirmações a seguir são falsas: 
o 8 ∈ A (pois 8 não é um elemento de A). O conjunto unitário {8} é elemento; 
o 3 ∈ A (pois 3 não é um elemento de A); 3 é elemento do conjunto {1, 3, 7} e o conjunto em 
questão que é elemento de A. 
o {1, 3, 7} ⊂ A (pois 2, 4 e 7 não são elementos de A). Veja que {1, 3, 7} é elemento de A. O 
subconjunto unitário {{1, 3, 7}} é que está contido em A. 
 
Conjunto das partes 
Denomina-se P(A) o conjunto das partes de um conjunto A e n[P(A)] o número de elementos de 
P(A). P(A) é definido como o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Lembre-se que ∅ ⊂ A e A 
⊂ A, então os conjuntos ∅ e A serão sempre elementos de P(A). 
Exemplo 
❖ Consideremos o conjunto A = {3, 5, 7}. Para determinar todos os seus subconjuntos, iniciamos pelo 
conjunto vazio e formamos: 
o subconjuntos com um elemento: {3}, {5} e {7}; 
o subconjuntos com dois elementos: {3, 5}, {3, 7} e {5,7}; 
o subconjuntos com três elementos: {3, 5,7}; 
 
Assim: 
P(A) = {∅, {3}, {5}, {7},{3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7}} 
P(A) possui 8 elementos, ou seja, n[P(A)] = 8. 
 
Percebe-se que, se um conjunto A possuir n elementos, ele terá 2n subconjuntos, ou seja, 
n[P(A)] = 2n(A) 
 
Hora de Praticar 
5- Sejam os conjuntos: 
A = {x | x é número ímpar compreendido entre 1 e 9}; 
B = {x | x é número primo compreendido entre 1 e 10}; 
C = {x | x é número primo, par e maior que 3} 
D = {x | x é divisor de 7 compreendido entre 1 e 10}. 
 
Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação a seguir. 
I. A é subconjunto de B 
II. B é subconjunto de D 
III. D não é subconjunto de A 
IV. C é subconjunto de A 
V. B não é subconjunto A 
VI. 2 ⊂ B 
Respostas no final do capítulo 
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6- Sejam os conjuntos A = {–1 ; 2x + y ; 2 ; 3 ; 1} e B = {2 ; 4 ; x – y ; 1 ; 3}. Se A = B, então é correto afirmar 
que: 
a. x > y 
b. x < y 
c. x = y 
d. 2x < y 
e. x > 2y 
 
7- Dado o conjunto A = {1, 2, {1}, {3}, ∅}, classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação a seguir. 
I. {3} ∈ A 
II. {3} ⊄ A 
III. {2} ∈ A 
IV. {1} ∉ A 
V. {1} ⊄ A 
VI. {{1}} ⊂ A 
VII. {1, {1}} ∈ A 
VIII. ∅ ∈ A 
IX. ∅ ⊄ A 
X. {∅} ⊂ A 
 
Operações entre conjuntos 
Muitos conjuntos podem ser escritos a partir de resultado de operações efetuadas entre dois conjuntos. 
Basicamente as operações entre conjuntos são a de união entre conjuntos, a intersecção entre conjuntos e a 
diferença entre conjuntos. Vejamos cada uma delas: 
 
❖ União entre conjuntos 
Dados os conjuntos A e B, a união ou reunião de A e B é o conjunto formado pelos elementos que 
pertencem a A ou a B, indicado por A ∪ B (lê-se: A união B.). Na prática, é o conjunto que reúne todos os 
elementos de A e de B. 
 
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} 
 
❖ Intersecção entre conjuntos 
Dados os conjuntos A e B, a intersecção de A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem 
a A e a B, indicado por A ∩ B (lê-se: A inter B.). Na prática, é o conjunto composto pelos elementos comuns 
a A e a B. 
 
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} 
 
❖ Diferença entre conjuntos 
Dados os conjuntos A e B, a diferença de A e B, nessa ordem, é o conjunto formado pelos elementos 
que pertencem a A e não pertencem a B, indicado por A – B (lê-se: A menos B). Na prática, é o conjunto 
formado pelos elementos de A, excluindo-se os elementos que estão na intersecção entre eles. 
 
A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B} 
 
Exemplos: 
❖ Sejam os conjuntos M = {0, 1, 2, 3, 5} e N = {2, 3, 4, 5}. 
o A união entre M e N é: 
 
N ∪ M = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 
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A união entre os conjuntos pode ser representada pelo seguinte diagrama de Venn: 
 
 
Fonte: Manual Compacto de Matemática: Ensino Fundamental 
 
o A intersecção entre M e N é: 
 
M ∩ N = {3, 5} 
 
A união entre os conjuntos pode ser representada pelo seguinte diagrama de Venn: 
 
 
Fonte: Manual Compacto de Matemática: Ensino Fundamental 
 
o A diferença entre os conjuntos N e M, nessa ordem é 
 
N – M = {2, 4} 
 
A diferença entre os conjuntos pode ser representada pelo diagrama de Venn: 
 
 
Fonte: Adaptação do Manual Compacto de Matemática: Ensino Fundamental 
 
Observação: Perceba que M – N ≠ N – M. No exemplo, M – N = {0, 1}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
N 
M 
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Hora de Praticar 
8- Sejam os conjuntos: 
A = {x | x é número par maior que 0 e menor que 15}; 
B = {x | x é número primo maior que 1 e menor que 12}; 
C = {x | x é número ímpar compreendido entre 2 e 12}; 
D = {x | x é múltiplo de 4 compreendido entre 3 e 13} 
Obtenha: 
a) A ∪ B 
b) A ∩ B 
c) C ∪ D 
d) A ∩ C 
e) A ∪ B∪ C 
f) A ∩ B ∩ C 
 
9- Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {2, 4, 5}, C = {3, 5, 6, 7} e D = {1, 3, 7}, determine: 
a) A – B 
b) A – C 
c) B – A 
d) B – D 
e) A – (A – B) 
f) A – (B ∪ C) 
g) (A – B) ∩ (A – C) 
h) A – (B ∩ C) 
i) (A – B) ∪ (A – C) 
 
 
Conjunto complementar 
A palavra complementar tem como significado, entre outros, completar. Assim, na teoria de 
conjuntos, o complementar de um conjunto, A, em relação a um outro conjunto, B, é o conjuntodos 
elementos que faltam em A para que ele seja igual a B. Em outras palavras, e o conjunto B – A. 
Formalmente, dados dois conjuntos, A e B, tais que A ⊂ B, chamamos de complementar de A em 
relação a B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a B e não pertencem a A, indicado por 𝐶𝐵
𝐴. 
 
Se A ⊂ B, então o 𝑪𝑩
𝑨 = {x | x ∈ B e x ∉ A} 
 
Sua representação no diagrama de Veen, em que o 𝐶𝐵
𝐴 está representado por toda a região colorida: 
 
 
Fonte: COC 1ª série do EM – Vol 1 
 
Exemplos 
❖ Se A = {2, 3, 5} e B = {1,2, 3, 4, 5, 6}, então A ⊂ B. Logo: 
 
𝐶𝐵
𝐴 = {1, 4, 6} 
 
❖ Note que, se A ⊄ B, então não existe 𝐶𝐵
𝐴 . 
Respostas no final do capítulo 
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. 
Número de elementos da diferença de conjuntos 
Considere os conjuntos A e B, subconjuntos de um universo U, tais que: 
 
 
Fonte: COC 1ª série do EM – Vol 1 
 
Assim: 
 
n[(A – B)] = n(A) – n(A ∩ B). 
 
De maneira prática, o número de elementos do conjunto A – B é o número de elementos do conjunto 
A, menos o número de elementos do conjunto B. Se A ⊄ B, então os elementos que estão em B e em A, estão 
no conjunto A ∩ B. 
Perceba que, se A ∩ B = ∅, então n(A – B) = n(A), pois n(A ∩ B) = 0. 
 
Número de elementos da união e da intersecção de conjuntos 
Considere os conjuntos A e B, subconjuntos de um universo U, tais que: 
 
 
Fonte: COC 1ª série do EM – Vol 1 
 
Assim: 
n[(A ∪ B)] = n(A) + n(B) – n(A ∩ B). 
 
De maneira prática, o número de elementos do conjunto A ∪ B é o número de elementos do conjunto 
A, mais o número de elementos do conjunto B, menos o número de elementos que A e B possuem em comum, 
ou seja, n(A ∩ B). Se essa subtração não for feita, os elementos de A ∩ B serão contados duas vezes. 
 
Para os conjuntos A, B e C, subconjuntos de um universo U, tais como: 
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Fonte: COC 1ª série do EM – Vol 1 
 
n[(A ∪ B ∪ C)] = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C). 
 
De maneira prática, o número de elementos do conjunto A ∪ B ∪ C é o número de elementos do 
conjunto A, mais o número de elementos do conjunto B, mais o número de elementos do conjunto C, menos 
o número de elementos que A e B possuem em comum, menos o número de elementos que A e C possuem 
em comum, menos o número de elementos que B e C possuem em comum. Se essas subtrações não forem 
feitas, os elementos das intersecções A ∩ B, A ∩ C e B ∩ C serão contados duas vezes. Entretanto, ao se 
subtrair as intersecções entre dois desses conjuntos, os elementos que são comuns aos três conjuntos, A ∩ B 
∩ C, também é excluído. Assim, para se incluir esses elementos, soma-se o número de elementos que são 
comuns aos três conjuntos. 
Exemplos 
❖ Indica-se por n(X) o número de elementos do conjunto X. Se A e B são conjuntos tais que n(A) = 20, 
n(B – A) = 15 e n(A ∩ B) = 8, determine: 
a) n(A – B) 
b) n(B) 
c) n(A ∪ B) 
d) n(A∪ B) – n(A ∩ B) 
e) n(A) – n(B) 
 
Fazendo o diagrama: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) n(A – B) = 12 
b) n(B) = 8 + 15 = 23 
c) n(A ∪ B) = 12 + 8 + 15 = 35 
20 – 8 = 12 8 15 
A – B B – A 
A ∩ B 
A 
B 
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d) n(A ∪ B) – n(A ∩ B) = 35 – 8 = 27 
e) n(A) – n(B) = 20 – 23 = 3 
 
 
Hora de Praticar 
10- Sejam os conjuntos A, B e o conjunto universo U, tais que: 
A = {2, 6, 10}, 
B = {2, 4, 6, 10, 12} e o conjunto universo 
U = {x | x é número par, positivo e menor do que 18}. 
Considere as afirmações: 
I. 𝐶𝐵
𝐴 = {4, 12} 
II. 𝐶𝐴
𝐵 = ∅ 
III. B = {8, 14, 16} 
IV. n[P(B)] – n[P(A)] = 24, em que n[P(X)] é o número de elementos do conjunto das partes de um conjunto 
X. 
Quantas são as afirmações corretas? 
 
11- Analisando-se as carteiras de vacinação das 84 crianças de uma creche, verificou-se que 68 receberam a 
vacina Sabin, 50 receberam a vacina contra o sarampo e 12 não foram vacinadas. Quantas dessas crianças 
receberam as duas vacinas? 
 
12- Num grupo de 10 estudantes, todos fizeram pedidos de suco e/ou lanche em uma lanchonete. Verificou-
se que 6 deles iriam tomar suco e 8 solicitaram um lanche para cada um. Determine quantos estudantes 
pediram: 
a) suco e lanche; 
b) apenas lanche. 
 
 
Relações 
Uma relação é um conjunto de pares ordenados de números reais, em que o primeiro número do par 
ordenado vem de um conjunto chamado de DOMÍNIO e o segundo número do par ordenado vem conjunto 
chamado CONTRADOMÍNIO. O subconjunto do CONTRADOMÍNIO, chamado de IMAGEM contém os 
elementos que se relacionam com os elementos do DOMÍNIO. 
Analisemos a seguinte situação, retirada do artigo “Relação”, escrito por Ramos e disponível no site 
Brasil Escola, que forma uma relação: 
Uma pessoa recebe R$3,00 por objeto que fabrica. Ela consegue produzir de 5 a 10 objetos por dia. O 
seu salário diário s está determinado pelo número n de objetos que faz: 
A tabela a seguir traduz a relação apresentada. 
 
n 5 6 7 8 9 10 
s 15 18 21 24 27 30 
 
Uma relação pode ser escrita por meio de um conjunto de pares ordenados, por meio de gráfico, por 
uma fórmula ou na forma de diagrama. 
❖ Conjunto de pares ordenados 
O conjunto S dos pares ordenados (n; s) que traduz a relação é: 
Respostas no final do capítulo 
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S = { (5,15), (6,18), (7,21), (8,24), (9,27), (10,30) } 
 
Na solução acima tem-se 6 pares ordenados, em que cada par ordenado é formado por dois números. 
O DOMÍNIO da relação é o conjunto 
 
D(S) = {5, 6, 7, 8, 9, 10}. 
 
O conjunto IMAGEM da relação é 
 
Im(S) = {15, 18, 21, 24, 27, 30}. 
 
❖ Gráfico: 
Os elementos do conjunto domínio estão no eixo X, chamado de EIXO DAS ABSCISSAS e os 
elementos do CONTRADOMÍNIO estão no eixo Y, chamado de EIXO DAS ORDENADAS. Os elementos 
que estão no CONTRADOMÍNIO e se relacionam com os elementos do DOMÍNIO formam o conjunto 
IMAGEM. 
 
 
Fonte: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/relacao.htm 
 
❖ Fórmula ou regra: 
Para cada elemento da relação, a imagem (y = s) do par ordenado é triplo do domínio (x = n). Assim, 
pode-se escrever a fórmula: 
 
y = 3 . x 
 
❖ Diagrama 
 
 
Fonte: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/relacao.htm 
15 
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Hora de Praticar 
13- Dada a função f: {–1; 0; 1} → {–2; –1; 0; 1; 2;}, definida pela sentença matemática 
f(x) = x + 1, determine: 
a) o domínio da função; 
b) o contradomínio da função; 
c) f(–1); 
d) x, tal que f(x) = 1; 
e) y, tal que y = f(1); 
f) o conjunto imagem. 
 
14- Esboce o gráfico da função f: {–2; –1; 0; 1; 2} →ℝ , definida por f(x) = x + 2. 
 
15- Considere o gráfico da relação p: A → B 
 
 
a) Determine o domínio da relação. 
b) Determine o conjunto imagem da função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas no final do capítulo 
16 
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Referência Bibliográfica 
 
Coleção COC Azul da 1ª série do Ensino Médio - COC. 3ª edição. COC by Pearson. Vol. 1, Capítulo 1, pág. 
15 - 51. 
 
BOSQUILHA, Alessandra; AMARAL, João Tomás do; MIRANDA, Mônica. Manual Compacto de 
Matemática: Ensino Fundamental. São Paulo: Rideel, 2010. 
 
BOSQUILHA, Alessandra; AMARAL, João Tomás do; MIRANDA, Mônica. Manual Compacto de 
Matemática: Ensino Médio. São Paulo: Rideel, 2010. 
 
"Teoria dos conjuntos" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2022. Consultado em 
dez de 2022. Disponível em <https://www.somatematica.com.br/emedio/conjuntos3.php> 
 
FERREIRA, Jaime Campos. Elementos de lógica matemática e teoria dos conjuntos. Lisboa: Departamento 
de Matemática do Instituto Superior Técnico, 2001. 
 
RAMOS, Danielle de Miranda. "Relação"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/mate 
matica/relacao.htm.Acesso em 13 de dezembro de 2022. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Respostas e Resoluções 
 
1- 
A = {e, u, a}; 
 
B = {16, 18, 20, 22, 24}; 
 
C= {Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul} 
 
D= {8}; 
2x + 1 = 17 
2x = 17 – 1 
2x = 16 
x = 8 
 
E = {11, 12, 13, 14, ..., 99} 
 
2- 
I. A = {x | x é capital do Brasil.} 
A = {Brasília} 
A é conjunto unitário 
 
II. B = {x | x é número par e x é número ímpar.} 
B = { } 
B é conjunto vazio 
 
III. C = {x | x é diagonal de um triângulo.} 
C = { } 
C é conjunto vazio 
 
IV. D = {x | x é solução da equação 3x – 5 = 1.} 
3x – 5 = 1 
3x = 1 + 5 
3x = 6 
x = 2 
D = {2} 
D é unitário 
 
3- 
a) Português ∈ G 
b) terça ∉ M 
c) A ∉ S 
d) abril ∈ M 
e) R ∉ S 
f) Matemática ∈ G 
 
4- 
a) A ⊃ B 
b) B ⊂ A 
c) C ⊄ A 
d) A ⊅ C 
 
5- 
Sejam 
A = {x | x é número ímpar compreendido entre 1 e 
9} = {3, 5, 7} 
B = {x | x é número primo compreendido entre 1 e 
10} = {2, 3, 5, 7} 
C = {x | x é número primo, par e maior que 3} = ∅ 
D = {x | x é divisor de 7 compreendido entre 1 e 
10} = {7} 
Assim: 
I. Verdadeira, pois todo elemento de A é também 
de B. 
II. Verdadeira, pois o único elemento de D 
também pertence a B. 
III. Falsa, pois o único elemento de D também 
pertence a A. 
IV. Verdadeira, pois C = ∅ e ∅ ⊂ A, qualquer que 
seja o conjunto A. 
V. Verdadeira, pois 2 ∈ B e 2 ∉ A. 
VI. Falsa, pois 2 é elemento de B, isto é, 2 ∈ B. 
 
6- 
Alternativa B 
Sabe-se que A = B. Assim, os elementos que estão 
em A também estão em B. 
É notório que – 1 ≠ 4, então 
x – y = – 1 e 2x + y = 4. 
Resolvendo o sistema de equações {
x – y = – 1 
2x + y = 4
, 
tem-se que x = 1 e y = 2. Logo x < y. 
 
7- 
I. V 
II. V 
III. F 
IV. V 
V. F 
VI. V 
VII. F 
VIII. V 
IX. F 
X. V 
 
 
 
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8- 
A = {x | x é número par maior que 0 e menor que 
15} = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} 
B = {x | x é número natural divisor de 10.} = {1, 
2, 5, 10} 
C = {x | x é número ímpar compreendido entre 2 e 
12} = {3, 5, 7, 11} 
D = {x | x é múltiplo de 4 compreendido entre 5 e 
7} = ∅ 
Assim: 
a. A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} ∪ {1, 2, 5, 10} 
= {1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14} 
b. A ∩ B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} ∩ {1, 2, 5, 10} 
= {2, 10} 
c. C ∩ D = C ∪ ∅ = C = {3, 5, 7, 11} 
d. A ∩ C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} ∩ {3, 5, 7, 11} 
= ∅ 
e. A ∪ B ∪ C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} ∪ {1, 2, 5, 
10} ∪ {3, 5, 7, 11} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 
12, 14} 
f. A ∩ B ∩ C = {2, 10} ∩ {3, 5, 7, 11} = ∅ 
 
9- 
a. A – B = {1, 3} 
b. A – C = {1, 2, 4} 
c. B – A = ∅ 
d. B – D = {2, 4, 5} = B 
e. A – (A – B) = {2, 4, 5} 
f. A – (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, 5} – {2, 3, 4, 5, 6, 7} 
= {1} 
g. (A – B) ∩ (A – C) = {1, 3} ∩ {1, 2, 4} = {1} 
h. A – (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4, 5} – {5} = {1, 2, 3, 
4} 
i. (A – B) ∪ (A – C) = {1, 3} ∪ {1, 2, 4} = {1, 2, 
3, 4} 
 
10- 
Sejam A = {2, 6, 10}, B = {2, 4, 6, 10, 12} e U = 
{x | x é número par, positivo e menor que 18.} = 
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} 
Assim: 
I. Verdadeira, pois, como A ⊂ B, temos 𝐶𝐵
𝐴 = {4, 
12}. 
II. Falsa, pois, como B ⊄ A, não existe 𝐶𝐴
𝐵 . 
III. Verdadeira, pois, como A ⊂ U, temos B = {8, 
14, 16}. 
IV. Verdadeira, pois n[P(B)] – n[P(A)] = 2n(B) – 
2n(A) = 25 – 23 = 32 – 8 = 24. 
Portanto, o número de afirmações corretas é 3. 
 
11- 
Seja n o número de crianças que receberam as 
duas vacinas. Assim, temos: 
 
 
 
(68 – n) + n + (50 – n) + 12 = 84 ⇒ n = 46 
 
12- 
A: Conjunto dos estudantes que pediram suco. 
B: Conjunto dos estudantes que pediram lanche. 
n(A) = 6; n(B) = 8 e n(A ∪ B) = 10. 
Assim: 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 10 = 6 + 8 – 
n(A ∩ B) ⇔ n(A ∩ B) = 4 
a) Como n(A ∩ B) = 4, temos que 4 estudantes 
pediram suco e lanche. 
b) Dos 8 estudantes que pediram lanche, 4 pediram 
suco. Assim, 4 estudantes pediram só lanche. 
 
13- 
a) D(f) = {–1; 0; 1} 
b) CD(f) = {–2; –1; 0; 1; 2} 
c) f(–1) = –1 + 1 = 0 
d) f(x) = 1 ⇒ x + 1 = 1 ⇒ x = 0 
e) y = f(1) = 1 + 1 = 2 ⇒ y = 2 
f) Do item (c), tem-se f(–1) = 0 
Do item (d), tem-se f(0) = 1 
Do item (e), tem-se f(1) = 2. Logo, lm(f) = {0; 1; 
2} 
 
 
 
 
 
 
19 
Organizado por: Professor Mestre Juliano Squarsone Di Siervo 
14- 
 
 
Pares ordenados: (–2; 0), (–1; 1), (0; 2), (1; 3), (2; 
4) 
 
 
15- 
a. D = {x ∈ R | x ≤ r} 
 
 
A projeção ortogonal do gráfico no eixo x 
compreende o conjunto {x ∈R | x ≤ r} 
 
b) Im = {y ∈ R | – c < y ≤ c ou y = – r} 
 
A projeção ortogonal do gráfico no eixo y 
compreende o conjunto {y ∈R | – c < y ≤ c ou y = 
– r}.