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Questão 1/10 - Álgebra Linear Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre sistemas de equações lineares, resolva o problema: Usando escalonamento, assinale a alternativa com valor de k� de modo que o sistema linear: ⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{�+2�=35�−3�=22�−2�=� admita solução única. Nota: 10.0 A k=1�=1 B k=−1�=−1 C k=0�=0 Você assinalou essa alternativa (C) Você acertou! Faça os escalonamentos: −5L1+L2→L2−2L1+L3→L3−5�1+�2→�2−2�1+�3→�3 ⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{�+2�=35�−3�=22�−2�=� ⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=3−13y=−13−6y=k−6{�+2�=3−13�=−13−6�=�−6 k−6=−6k=0�−6=−6�=0 (Livro-base p. 96) D k=−2�=−2 E k=2�=2 Questão 2/10 - Álgebra Linear Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre operações com matrizes e dada as matrizes: A=[x−w−z3y] , B=[z2yxw] e C=[−3−10−1−10]�=[�−�−�3�] , �=[�2���] � �=[−3−10−1−10]. Dado que A+B=C�+�=�, assinale a alternativa com a solução correta da equação matricial: Nota: 10.0 A x=−3,z=−1,y=−2 e w=2.�=−3,�=−1,�=−2 � �=2. B x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.�=−2,�=−1,�=−4 � �=2. Você assinalou essa alternativa (B) Você acertou! A+B=C⇒�+�=�⇒ [x+z−w+2y−z+x3y+w]=[−3−10−1−10]x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.[�+�−�+2�−�+�3�+�]=[−3−10−1−10]�=−2,�=−1,�=−4 � �=2. (Livro-base p. 40-51) C x=−5,z=−6,y=3 e w=2.�=−5,�=−6,�=3 � �=2. D x=−1,z=−2,y=3 e w=−2.�=−1,�=−2,�=3 � �=−2. E x=4,z=−2,y=−4 e w=3.�=4,�=−2,�=−4 � �=3. Questão 3/10 - Álgebra Linear Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Álgebra LinearÁlgebra Linear sobre base de autovetores, considere a transformação T:R2→R2�:�2→�2 , definido por T(x,y)=(−3x+4y,−x+2y)�(�,�)=(−3�+4�,−�+2�), cujos autovalores da matriz de transformação [T][�] são λ1=1 e λ2=−2.�1=1 � �2=−2. Assinale a alternativa com a base de autovetores da matriz de transformação de [T][�]: Nota: 10.0 A {(1,−1),(4;0,25)}{(1,−1),(4;0,25)} B {(−1,1),(2,1)}{(−1,1),(2,1)} C {(1,−1),(1,1)}{(1,−1),(1,1)} D {(1,0),(4,−1)}{(1,0),(4,−1)} E {(1,1),(4,1)}{(1,1),(4,1)} Você assinalou essa alternativa (E) Você acertou! Comentário: A matriz de transformação é dada por: [T]=A=[−34−12][�]=�=[−34−12] Devemos determinar os autovetores [−34−12][xy]=1[xy](1,1)[−34−12][xy]=−2[xy](4,1){(1,1).(4,1)}[−34−12][��]=1[��](1,1)[−34−12][��] =−2[��](4,1){(1,1).(4,1)} (livro-base p. 164-165) Questão 4/10 - Álgebra Linear Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear sobre autovetores, dada a matriz de transformação de T:R3→R3�:�3→�3, [T]=⎡⎢⎣100023032⎤⎥⎦[�]=[100023032], assinale a alternativa com os autovalores de [T]: Nota: 10.0 A λ1=0,λ2=2,λ3=2�1=0,�2=2,�3=2 B λ1=−2λ2=2,λ3=2�1=−2�2=2,�3=2 C λ1=1,λ2=5,λ3=1�1=1,�2=5,�3=1 Você assinalou essa alternativa (C) Você acertou! det(A−λI)=∣∣ ∣∣1−λ0002−λ3032−λ∣∣ ∣∣=0���(�−��)=|1−�0002−�3032−�|=0 Resolvendo o determinante temos que: λ1=1,λ2=5,λ3=1�1=1,�2=5,�3=1 (livro-base p. 165-170) D λ1=3,λ2=2,λ3=1�1=3,�2=2,�3=1 E λ1=−2,λ2=2,λ3=1�1=−2,�2=2,�3=1 Questão 5/10 - Álgebra Linear Seja o espaço vetorial V=R2�=�2 e W={(x,y)∈R2/y=3x}�={(�,�)∈�2/�=3�}. De acordo com o espaço vetorial dado acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa cuja afirmativa é correta com relação ao conjunto W�. Nota: 10.0 A (3x,x)∈W(3�,�)∈� B Para todos vetores u,v∈W,�,�∈�, temos u+v∉W�+�∉�. C Para todos vetores u,v∈W,�,�∈�, temos u.v∉W�.�∉� D W� não é um subespaço vetorial de V.�. E W� é um subespaço vetorial de V.�. Você assinalou essa alternativa (E) Você acertou! Considere os vetores u=(x1,y1)�=(�1,�1) e v=(x2,y2)�=(�2,�2) de V=R2.�=�2. Deve-se verificar se são satisfeitas as seguintes condições: 1. Se u,v∈W�,�∈� então, u+v∈W�+�∈�. u+v=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1,3x1)+(x2,3x2)==(x1+x2,3(x1+x2))∈W.�+�=(�1,�1)+(�2,�2)=(�1,3�1)+(�2 ,3�2)==(�1+�2,3(�1+�2))∈�. 2. Se u∈W,então,αu∈W,�∈�,���ã�,��∈�, para todo α∈R.�∈�. αu=α(x1,y1)=(αx1,αy1)=(αx1,3αx1)∈W.��=�(�1,�1)=(��1,��1)=(��1,3� �1)∈�. Logo, pode-se afirmar que W� é um subespaço de V.�. (Livro-base p. 82-88). Questão 6/10 - Álgebra Linear Considere a forma bilinear B, dada por: B:R2×R2→R, com B((x1,y1),(x2,y2))=−x1x2+2y1x2+5y1y2�:�2×�2→�, ��� �((�1,�1),(�2,�2))=−�1�2+2�1�2+5�1�2 De acordo com as informações acima e com os conteúdos estudados na Videoaula da Aula 6 - Formas bilineares e quádricas, assinale a alternativa com a forma matricial de B:�: Nota: 10.0 A B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[0−152].[x2y2]�((�1,�1),(�2,�2))=[�1�1].[0 −152].[�2�2] B B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−2125].[x2y2]�((�1,�1),(�2,�2))=[�1�1].[− 2125].[�2�2] C B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−1025].[x2y2]�((�1,�1),(�2,�2))=[�1�1].[− 1025].[�2�2] Você assinalou essa alternativa (C) Você acertou! Comentário: Como a matriz de B é [−1025][−1025] Então B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−1025].[x2y2]�((�1,�1),(�2,�2))=[�1�1].[−1025].[�2 �2] (Videoaula da Aula 6, tempo: 28') D B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−322−5].[x2y2]�((�1,�1),(�2,�2))=[�1�1].[ −322−5].[�2�2] E B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−10−52].[x2y2]�((�1,�1),(�2,�2))=[�1�1].[ −10−52].[�2�2] Questão 7/10 - Álgebra Linear Leia as informações abaixo: O setor de controle de estoque de um grupo comercial tem acompanhado a circulação de 4 produtos em 3 filiais. O estoque no início de um dia foi registrado e é dado pela matriz: Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 110523Filial 287106Filial 396612������� 1������� 2������� 3������� 4������ 110523������ 287106������ 396612 No final do dia, foi registrado o total de vendas dos 4 produtos nas 3 filiais, que é dada pela matriz abaixo: Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 16322Filial 24385Filial 382310������� 1������� 2������� 3������� 4������ 16322������ 24385������ 382310 De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear e se o valor de cada produto é dado pela tabelaProdutoPreço14,0025,0033,0042,00����������ç�14,0025,0033,0042,00, assinale a alternativa cuja matriz é o valor do estoque atualizado para cada filial: Nota: 10.0 A ⎡⎢⎣Filial1=28Filial2=44Filial3=37⎤⎥⎦[������1=28������2=44����� �3=37] Você assinalou essa alternativa (A) Você acertou! a) Basta fazer a subtração das duas matrizes: ⎡⎢⎣105238710696612⎤⎥⎦[105238710696612]- ⎡⎢⎣6322438582310⎤⎥⎦[6322438582310]= ⎡⎢⎣420144211432⎤⎥⎦[420144211432] b) Basta multiplicar a matriz atualizada pela matriz de valores: ⎡⎢⎣420144211432⎤⎥⎦[420144211432].⎡⎢ ⎢ ⎢⎣4532⎤⎥ ⎥ ⎥⎦[4532]= ⎡⎢⎣284437⎤⎥⎦[284437] (Livro-base p. 36-41). B ⎡⎢⎣Filial1=21Filial2=42Filial3=38⎤⎥⎦[������1=21������2=42����� �3=38] C ⎡⎢⎣Filial1=24Filial2=39Filial3=38⎤⎥⎦[������1=24������2=39����� �3=38] D ⎡⎢⎣Filial1=26Filial2=38Filial3=44⎤⎥⎦[������1=26������2=38����� �3=44] E ⎡⎢⎣Filial1=32Filial2=46Filial3=38⎤⎥⎦[������1=32������2=46����� �3=38] Questão 8/10 - Álgebra Linear Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base de um espaço vetorial e os vetores: u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(k,0,3)�=(1,−1,−2),�=(2,1,1) � �=(�,0,3). Assinale a alternativa com o valor de k� para que os vetores u,v e w�,� � � formem uma base do R3.�3. Nota: 10.0 A k≠8�≠8 B k≠−7�≠−7 C k≠5�≠5 D k≠−9�≠−9 Você assinalou essa alternativa (D) Você acertou! Determine o valor de k� para que os vetores u,v e w�,� � � formem uma base do R3.�3. Montamos o sistema linear ⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=0−a+b=0−2a+b+3c=0{�+2�+��=0−�+�=0−2�+�+3�=0 Efetuamos o escalonamento ⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=05b+(2k+3)c=0⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=0(k+9)3c=0k≠−9{�+2�+��=03�+��=05�+(2�+3)�=0{�+2�+� �=03�+��=0(�+9)3�=0�≠−9 (Livro-base p. 95-100) E k≠6�≠6 Questão 9/10 - Álgebra Linear Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre baseortogonal e a base B={(1,2),(−2,1)}�={(1,2),(−2,1)} ortogonal do espaço vetorial V=R2�=�2 em relação ao produto interno usual, assinale a alternativa com a base ortonormal a base B�: Nota: 10.0 A B′=1√5{(1,2),(−2,1)}�′=15{(1,2),(−2,1)} Você assinalou essa alternativa (A) Você acertou! Comentário: Temos que u=u|u|=(1,2)√12+22=(1,2)√5v=v|v|=(−2,1)√(−2)2+12=(−2,1)√5�=�|�|=(1,2)12+22=(1,2)5�=�|�|=(−2,1)(−2) 2+12=(−2,1)5 B′=1√5{(1,2),(−2,1)}�′=15{(1,2),(−2,1)} (Livro-base p. 150-152) B B′=1√5{(1,0),(0,1)}�′=15{(1,0),(0,1)} C B′={(1,2),(1,0)}�′={(1,2),(1,0)} D B′={(−2,2),(0,2)}�′={(−2,2),(0,2)} E B′={1√5(−1,−2),13(−2,−1)}�′={15(−1,−2),13(−2,−1)} Questão 10/10 - Álgebra Linear Leia o texto a seguir: "Dizemos que uma matriz An×n��×� é diagonizável se seu operador associado TA:Rn→Rn��:��→�� for diagonalizável, ou seja, A � é diagonalizável se A� admitir n� autovetores LI." Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1986. Considerando o trecho de texto apresentado, os conteúdos do livro-base Cálculo NuméricoCálculo Numérico sobre diagonalização, dada a matriz A=[110a]�=[110�]uma transformação linear do R2,�2, assinale a alternativa com o valor de a� para a qual a matriz A� é diagonalizável: Nota: 0.0Você não pontuou essa questão A a≠−2�≠−2 B a≠−1�≠−1 Você assinalou essa alternativa (B) C a≠1�≠1 Comentário: Para que a seja diagonalizável, deve ter 2 autovetores LI ou seja, dois autovalores distintos. Então, det(A−λI)=[1−λ10a−λ]=0���(�−��)=[1−�10�−�]=0 Logo, a≠1.�≠1. (livro-base p. 163-169) D a≠2�≠2 E a≠0�≠0
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