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Questão 1/10 - Álgebra Linear Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Álgebra LinearÁlgebra Linear sobre base de autovetores, considere a transformação T:R2→R2T:R2→R2 , definido por T(x,y)=(−3x+4y,−x+2y)T(x,y)=(−3x+4y,−x+2y), cujos autovalores da matriz de transformação [T][T] são λ1=1 e λ2=−2.λ1=1 e λ2=−2. Assinale a alternativa com a base de autovetores da matriz de transformação de [T][T]: Nota: 10.0 A {(1,−1),(4;0,25)}{(1,−1),(4;0,25)} B {(−1,1),(2,1)}{(−1,1),(2,1)} C {(1,−1),(1,1)}{(1,−1),(1,1)} D {(1,0),(4,−1)}{(1,0),(4,−1)} E {(1,1),(4,1)}{(1,1),(4,1)} Você acertou! Comentário: A matriz de transformação é dada por: [T]=A=[−34−12][T]=A=[−34−12] Devemos determinar os autovetores [−34−12][xy]=1[xy](1,1)[−34−12][xy]=−2[xy](4,1){(1,1).(4,1)}[−34−12][xy]=1[xy](1,1)[−34−12][xy]=−2[xy](4,1){(1,1).(4,1)} (livro-base p. 164-165) Questão 2/10 - Álgebra Linear Considere o operador linear T, dado por T:R2→R2, com T(x,y,z)=(3x+y,2x+2y)T:R2→R2, com T(x,y,z)=(3x+y,2x+2y). De acordo com as informações acima e com os conteúdos estudados na Videoaula da Aula 5 - Operadores, autovetores e autovalores, assinale a alternativa cujos valores são os autovalores de TT: Nota: 10.0 A λ1=2 e λ2=3λ1=2 e λ2=3 B λ1=3 e λ2=1λ1=3 e λ2=1 C λ1=4 e λ2=1λ1=4 e λ2=1 Você acertou! Temos que a matriz T é dada por: T=[3122]T=[3122] Os autovetores são dados por: T=∣∣∣3−λ122−λ∣∣∣=0λ1=4 e λ2=1T=|3−λ122−λ|=0λ1=4 e λ2=1 (Videoaula da Aula 5, tempo: 27'00") D λ1=−2 e λ2=2λ1=−2 e λ2=2 E λ1=5 e λ2=2λ1=5 e λ2=2 Questão 3/10 - Álgebra Linear Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base ortogonal e a base B={(1,2),(−2,1)}B={(1,2),(−2,1)} ortogonal do espaço vetorial V=R2V=R2 em relação ao produto interno usual, assinale a alternativa com a base ortonormal a base BB: Nota: 10.0 A B′=1√5{(1,2),(−2,1)}B′=15{(1,2),(−2,1)} Você acertou! Comentário: Temos que u=u|u|=(1,2)√12+22=(1,2)√5v=v|v|=(−2,1)√(−2)2+12=(−2,1)√5u=u|u|=(1,2)12+22=(1,2)5v=v|v|=(−2,1)(−2)2+12=(−2,1)5 B′=1√5{(1,2),(−2,1)}B′=15{(1,2),(−2,1)} (Livro-base p. 150-152) B B′=1√5{(1,0),(0,1)}B′=15{(1,0),(0,1)} C B′={(1,2),(1,0)}B′={(1,2),(1,0)} D B′={(−2,2),(0,2)}B′={(−2,2),(0,2)} E B′={1√5(−1,−2),13(−2,−1)}B′={15(−1,−2),13(−2,−1)} Questão 4/10 - Álgebra Linear Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre sistemas de equações lineares, resolva o problema: Usando escalonamento, assinale a alternativa com valor de kk de modo que o sistema linear: ⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{x+2y=35x−3y=22x−2y=k admita solução única. Nota: 10.0 A k=1k=1 B k=−1k=−1 C k=0k=0 Você acertou! Faça os escalonamentos: −5L1+L2→L2−2L1+L3→L3−5L1+L2→L2−2L1+L3→L3 ⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{x+2y=35x−3y=22x−2y=k ⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=3−13y=−13−6y=k−6{x+2y=3−13y=−13−6y=k−6 k−6=−6k=0k−6=−6k=0 (Livro-base p. 96) D k=−2k=−2 E k=2k=2 Questão 5/10 - Álgebra Linear Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear sobre autovetores, dada a matriz de transformação de T:R3→R3T:R3→R3, [T]=⎡⎢⎣100023032⎤⎥⎦[T]=[100023032], assinale a alternativa com os autovalores de [T]: Nota: 10.0 A λ1=0,λ2=2,λ3=2λ1=0,λ2=2,λ3=2 B λ1=−2λ2=2,λ3=2λ1=−2λ2=2,λ3=2 C λ1=1,λ2=5,λ3=1λ1=1,λ2=5,λ3=1 Você acertou! det(A−λI)=∣∣ ∣∣1−λ0002−λ3032−λ∣∣ ∣∣=0det(A−λI)=|1−λ0002−λ3032−λ|=0 Resolvendo o determinante temos que: λ1=1,λ2=5,λ3=1λ1=1,λ2=5,λ3=1 (livro-base p. 165-170) D λ1=3,λ2=2,λ3=1λ1=3,λ2=2,λ3=1 E λ1=−2,λ2=2,λ3=1λ1=−2,λ2=2,λ3=1 Questão 6/10 - Álgebra Linear Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base ortogonal e a base B={v=(1,2),u=(x,y)}B={v=(1,2),u=(x,y)} ortogonal do espaço vetorial V=R2V=R2 em relação ao produto interno usual, assinale a alternativa com as coordenadas do vetor u:u: Nota: 10.0 A u=(−2,1)u=(−2,1) Você acertou! Comentário: Como B é uma base ortogonal do R2R2, implica que a dim(B) =2 e que (x,y)=0 ==> x=-2y. Logo, u=(-2,1). (livro-base p. 143-149) B u=(0,0)u=(0,0) C u=(3,2)u=(3,2) D u=(1,−2)u=(1,−2) E u=(−2,2)u=(−2,2) Questão 7/10 - Álgebra Linear Considere a forma bilinear B, dada por: B:R2×R2→R, com B((x1,y1),(x2,y2))=−x1x2+2y1x2+5y1y2B:R2×R2→R, com B((x1,y1),(x2,y2))=−x1x2+2y1x2+5y1y2 De acordo com as informações acima e com os conteúdos estudados na Videoaula da Aula 6 - Formas bilineares e quádricas, assinale a alternativa com a forma matricial de B:B: Nota: 10.0 A B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[0−152].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[0−152].[x2y2] B B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−2125].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−2125].[x2y2] C B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−1025].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−1025].[x2y2] Você acertou! Comentário: Como a matriz de B é [−1025][−1025] Então B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−1025].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−1025].[x2y2] (Videoaula da Aula 6, tempo: 28') D B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−322−5].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−322−5].[x2y2] E B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−10−52].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−10−52].[x2y2] Questão 8/10 - Álgebra Linear Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base de um espaço vetorial e os vetores: u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(k,0,3)u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(k,0,3). Assinale a alternativa com o valor de kk para que os vetores u,v e wu,v e w formem uma base do R3.R3. Nota: 10.0 A k≠8k≠8 B k≠−7k≠−7 C k≠5k≠5 D k≠−9k≠−9 Você acertou! Determine o valor de kk para que os vetores u,v e wu,v e w formem uma base do R3.R3. Montamos o sistema linear ⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=0−a+b=0−2a+b+3c=0{a+2b+kc=0−a+b=0−2a+b+3c=0 Efetuamos o escalonamento ⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=05b+(2k+3)c=0⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=0(k+9)3c=0k≠−9{a+2b+kc=03b+kc=05b+(2k+3)c=0{a+2b+kc=03b+kc=0(k+9)3c=0k≠−9 (Livro-base p. 95-100) E k≠6k≠6 Questão 9/10 - Álgebra Linear Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre operações com matrizes e dada as matrizes: A=[x−w−z3y] , B=[z2yxw] e C=[−3−10−1−10]A=[x−w−z3y] , B=[z2yxw] e C=[−3−10−1−10]. Dado que A+B=CA+B=C, assinale a alternativa com a solução correta da equação matricial: Nota:1 0.0 A x=−3,z=−1,y=−2 e w=2.x=−3,z=−1,y=−2 e w=2. B x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.x=−2,z=−1,y=−4 e w=2. Você acertou! A+B=C⇒A+B=C⇒ [x+z−w+2y−z+x3y+w]=[−3−10−1−10]x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.[x+z−w+2y−z+x3y+w]=[−3−10−1−10]x=−2,z=−1,y=−4 e w=2. (Livro-base p. 40-51) C x=−5,z=−6,y=3 e w=2.x=−5,z=−6,y=3 e w=2. D x=−1,z=−2,y=3 e w=−2.x=−1,z=−2,y=3 e w=−2. E x=4,z=−2,y=−4 e w=3.x=4,z=−2,y=−4 e w=3. Questão 10/10 - Álgebra Linear Leia o texto a seguir: "Dizemos que uma matriz An×nAn×n é diagonizável se seu operador associado TA:Rn→RnTA:Rn→Rn for diagonalizável, ou seja, A A é diagonalizável se AA admitir nn autovetores LI." Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1986. Considerando o trecho de texto apresentado, os conteúdos do livro-base Cálculo NuméricoCálculo Numérico sobre diagonalização, dada a matriz A=[110a]A=[110a]uma transformação linear do R2,R2, assinale a alternativa com o valor de aa para a qual a matriz AA é diagonalizável: Nota: 10.0 A a≠−2a≠−2 B a≠−1a≠−1 C a≠1a≠1 Você acertou! Comentário: Para que a seja diagonalizável, deve ter 2 autovetores LI ou seja, dois autovalores distintos. Então, det(A−λI)=[1−λ10a−λ]=0det(A−λI)=[1−λ10a−λ]=0 Logo, a≠1.a≠1. (livro-base p. 163-169) D a≠2a≠2 E a≠0a≠0 Questão 1/10 - Álgebra Linear Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre sistemas de equações lineares, resolva o problema: Usando escalonamento, assinale a alternativa com valor de kk de modo que o sistema linear: ⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{x+2y=35x−3y=22x−2y=k admita solução única. Nota: 10.0 A k=1k=1 B k=−1k=−1 C k=0k=0 Você acertou! Faça os escalonamentos: −5L1+L2→L2−2L1+L3→L3−5L1+L2→L2−2L1+L3→L3⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{x+2y=35x−3y=22x−2y=k ⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=3−13y=−13−6y=k−6{x+2y=3−13y=−13−6y=k−6 k−6=−6k=0k−6=−6k=0 (Livro-base p. 96) D k=−2k=−2 E k=2k=2 Questão 2/10 - Álgebra Linear Considere a forma bilinear B, dada por: B:R2×R2→R, com B((x1,y1),(x2,y2))=−x1x2+2y1x2+5y1y2B:R2×R2→R, com B((x1,y1),(x2,y2))=−x1x2+2y1x2+5y1y2 De acordo com as informações acima e com os conteúdos estudados na Videoaula da Aula 6 - Formas bilineares e quádricas, assinale a alternativa com a forma matricial de B:B: Nota: 10.0 A B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[0−152].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[0−152].[x2y2] B B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−2125].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−2125].[x2y2] C B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−1025].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−1025].[x2y2] Você acertou! Comentário: Como a matriz de B é [−1025][−1025] Então B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−1025].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−1025].[x2y2] (Videoaula da Aula 6, tempo: 28') D B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−322−5].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−322−5].[x2y2] E B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−10−52].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−10−52].[x2y2] Questão 3/10 - Álgebra Linear Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base de um espaço vetorial e os vetores: u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(k,0,3)u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(k,0,3). Assinale a alternativa com o valor de kk para que os vetores u,v e wu,v e w formem uma base do R3.R3. Nota: 10.0 A k≠8k≠8 B k≠−7k≠−7 C k≠5k≠5 D k≠−9k≠−9 Você acertou! Determine o valor de kk para que os vetores u,v e wu,v e w formem uma base do R3.R3. Montamos o sistema linear ⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=0−a+b=0−2a+b+3c=0{a+2b+kc=0−a+b=0−2a+b+3c=0 Efetuamos o escalonamento ⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=05b+(2k+3)c=0⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=0(k+9)3c=0k≠−9{a+2b+kc=03b+kc=05b+(2k+3)c=0{a+2b+kc=03b+kc=0(k+9)3c=0k≠−9 (Livro-base p. 95-100) E k≠6k≠6 Questão 4/10 - Álgebra Linear Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear sobre autovetores, dada a matriz de transformação de T:R3→R3T:R3→R3, [T]=⎡⎢⎣100023032⎤⎥⎦[T]=[100023032], assinale a alternativa com os autovalores de [T]: Nota: 10.0 A λ1=0,λ2=2,λ3=2λ1=0,λ2=2,λ3=2 B λ1=−2λ2=2,λ3=2λ1=−2λ2=2,λ3=2 C λ1=1,λ2=5,λ3=1λ1=1,λ2=5,λ3=1 Você acertou! det(A−λI)=∣∣ ∣∣1−λ0002−λ3032−λ∣∣ ∣∣=0det(A−λI)=|1−λ0002−λ3032−λ|=0 Resolvendo o determinante temos que: λ1=1,λ2=5,λ3=1λ1=1,λ2=5,λ3=1 (livro-base p. 165-170) D λ1=3,λ2=2,λ3=1λ1=3,λ2=2,λ3=1 E λ1=−2,λ2=2,λ3=1λ1=−2,λ2=2,λ3=1 Questão 5/10 - Álgebra Linear Leia as informações abaixo: O setor de controle de estoque de um grupo comercial tem acompanhado a circulação de 4 produtos em 3 filiais. O estoque no início de um dia foi registrado e é dado pela matriz: Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 110523Filial 287106Filial 396612Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 110523Filial 287106Filial 396612 No final do dia, foi registrado o total de vendas dos 4 produtos nas 3 filiais, que é dada pela matriz abaixo: Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 16322Filial 24385Filial 382310Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 16322Filial 24385Filial 382310 De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear e se o valor de cada produto é dado pela tabelaProdutoPreço14,0025,0033,0042,00ProdutoPreço14,0025,0033,0042,00, assinale a alternativa cuja matriz é o valor do estoque atualizado para cada filial: Nota: 10.0 A ⎡⎢⎣Filial1=28Filial2=44Filial3=37⎤⎥⎦[Filial1=28Filial2=44Filial3=37] Você acertou! a) Basta fazer a subtração das duas matrizes: ⎡⎢⎣105238710696612⎤⎥⎦[105238710696612]- ⎡⎢⎣6322438582310⎤⎥⎦[6322438582310]= ⎡⎢⎣420144211432⎤⎥⎦[420144211432] b) Basta multiplicar a matriz atualizada pela matriz de valores: ⎡⎢⎣420144211432⎤⎥⎦[420144211432].⎡⎢ ⎢ ⎢⎣4532⎤⎥ ⎥ ⎥⎦[4532]= ⎡⎢⎣284437⎤⎥⎦[284437] (Livro-base p. 36-41). B ⎡⎢⎣Filial1=21Filial2=42Filial3=38⎤⎥⎦[Filial1=21Filial2=42Filial3=38] C ⎡⎢⎣Filial1=24Filial2=39Filial3=38⎤⎥⎦[Filial1=24Filial2=39Filial3=38] D ⎡⎢⎣Filial1=26Filial2=38Filial3=44⎤⎥⎦[Filial1=26Filial2=38Filial3=44] E ⎡⎢⎣Filial1=32Filial2=46Filial3=38⎤⎥⎦[Filial1=32Filial2=46Filial3=38] Questão 6/10 - Álgebra Linear Considere o operador linear T, dado por T:R2→R2, com T(x,y,z)=(3x+y,2x+2y)T:R2→R2, com T(x,y,z)=(3x+y,2x+2y). De acordo com as informações acima e com os conteúdos estudados na Videoaula da Aula 5 - Operadores, autovetores e autovalores, assinale a alternativa cujos valores são os autovalores de TT: Nota: 10.0 A λ1=2 e λ2=3λ1=2 e λ2=3 B λ1=3 e λ2=1λ1=3 e λ2=1 C λ1=4 e λ2=1λ1=4 e λ2=1 Você acertou! Temos que a matriz T é dada por: T=[3122]T=[3122] Os autovetores são dados por: T=∣∣∣3−λ122−λ∣∣∣=0λ1=4 e λ2=1T=|3−λ122−λ|=0λ1=4 e λ2=1 (Videoaula da Aula 5, tempo: 27'00") D λ1=−2 e λ2=2λ1=−2 e λ2=2 E λ1=5 e λ2=2λ1=5 e λ2=2 Questão 7/10 - Álgebra Linear Leia o texto a seguir: "Dizemos que uma matriz An×nAn×n é diagonizável se seu operador associado TA:Rn→RnTA:Rn→Rn for diagonalizável, ou seja, A A é diagonalizável se AA admitir nn autovetores LI." Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1986. Considerando o trecho de texto apresentado, os conteúdos do livro-base Cálculo NuméricoCálculo Numérico sobre diagonalização, dada a matriz A=[110a]A=[110a]uma transformação linear do R2,R2, assinale a alternativa com o valor de aa para a qual a matriz AA é diagonalizável: Nota: 10.0 A a≠−2a≠−2 B a≠−1a≠−1 C a≠1a≠1 Você acertou! Comentário: Para que a seja diagonalizável, deve ter 2 autovetores LI ou seja, dois autovalores distintos. Então, det(A−λI)=[1−λ10a−λ]=0det(A−λI)=[1−λ10a−λ]=0 Logo, a≠1.a≠1. (livro-base p. 163-169) D a≠2a≠2 E a≠0a≠0 Questão 8/10 - Álgebra Linear Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base ortogonal e a base B={v=(1,2),u=(x,y)}B={v=(1,2),u=(x,y)} ortogonal do espaço vetorial V=R2V=R2 em relação ao produto interno usual, assinale a alternativa com as coordenadas do vetor u:u: Nota: 10.0 A u=(−2,1)u=(−2,1) Você acertou! Comentário: Como B é uma base ortogonal do R2R2, implica que a dim(B) =2 e que (x,y)=0 ==> x=-2y. Logo, u=(-2,1). (livro-base p. 143-149) B u=(0,0)u=(0,0) C u=(3,2)u=(3,2) D u=(1,−2)u=(1,−2) E u=(−2,2)u=(−2,2) Questão 9/10 - Álgebra Linear Seja o espaço vetorial V=R2V=R2 e W={(x,y)∈R2/y=3x}W={(x,y)∈R2/y=3x}. De acordo com o espaço vetorial dado acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa cuja afirmativa é correta com relação ao conjunto WW. Nota: 10.0 A (3x,x)∈W(3x,x)∈W B Para todos vetores u,v∈W,u,v∈W, temos u+v∉Wu+v∉W. C Para todos vetores u,v∈W,u,v∈W, temos u.v∉Wu.v∉W D WW não é um subespaço vetorial de V.V. E WW é um subespaço vetorial de V.V. Você acertou! Considere os vetores u=(x1,y1)u=(x1,y1) e v=(x2,y2)v=(x2,y2) de V=R2.V=R2. Deve-se verificar se são satisfeitas as seguintes condições: 1. Se u,v∈Wu,v∈W então, u+v∈Wu+v∈W. u+v=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1,3x1)+(x2,3x2)==(x1+x2,3(x1+x2))∈W.u+v=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1,3x1)+(x2,3x2)==(x1+x2,3(x1+x2))∈W. 2. Se u∈W,então,αu∈W,u∈W,então,αu∈W, para todo α∈R.α∈R. αu=α(x1,y1)=(αx1,αy1)=(αx1,3αx1)∈W.αu=α(x1,y1)=(αx1,αy1)=(αx1,3αx1)∈W. Logo, pode-se afirmar que WW é um subespaço de V.V. (Livro-base p. 82-88). Questão 10/10 - Álgebra Linear Considere a seguinte equação ∣∣ ∣∣x+123x1531−2∣∣ ∣∣|x+123x1531−2|= ∣∣∣41x−2∣∣∣|41x−2| . De acordo com a equação acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa com o valor de x: Nota: 10.0 A x=−32x=−32 B x=−18x=−18 C x=−25x=−25 D x=−22x=−22 Você acertou! Resolvendo os determinantes à direita e à esquerda, temos: −2(x+1)+3x+30−9−5(x+1)+4x=−8−x−2x−2+3x+30−9−5x−5+4x=−8−x−2x+3x−5x+4x−2+30−9−5=−8−x14=−8−x14+8=−x22=−x−22=x−2(x+1)+3x+30−9−5(x+1)+4x=−8−x−2x−2+3x+30−9−5x−5+4x=−8−x−2x+3x−5x+4x−2+30−9−5=−8−x14=−8−x14+8=−x22=−x−22=x(Livro-base p. 39-42). E x=−20x=−20
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