APOL I e II NOTA 100 Álgebra Linear

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APOL I NOTA 100%
Questão 1/10 - Álgebra Linear
Leia as informações abaixo:
Uma livraria registrou as vendas de livros didáticos durante a semana que antecede a volta às aulas (tabela 1), e na semana em que as aulas se iniciaram (tabela 2), conforme as respectivas tabelas a seguir:
Tabela 1
SegundaTerçaQuartaQuintaSextaMatemática1010151215Português1510101520Geografia51551012SegundaTerçaQuartaQuintaSextaMatemática1010151215Português1510101520Geografia51551012
Tabela 2:
SegundaTerçaQuartaQuintaSextaMatemática1051500Português2510150Geografia510052SegundaTerçaQuartaQuintaSextaMatemática1051500Português2510150Geografia510052
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a matriz que representa o total de vendas de livros nas duas semanas, por dia e o tipo de livro vendido:
Nota: 10.0
	
	A
	⎡⎢⎣20153012151515223020102551515⎤⎥⎦[20153012151515223020102551515]
	
	B
	⎡⎢⎣20153012151715203020102551514⎤⎥⎦[20153012151715203020102551514]
Você acertou!
Comentário: Basta somar cada elemento correspondente da linha e coluna.  
(Livro-base p. 26-32).
	
	C
	⎡⎢⎣201530121515152030201225141515⎤⎥⎦[201530121515152030201225141515]
	
	D
	⎡⎢⎣25153010151515223520103051515⎤⎥⎦[25153010151515223520103051515]
	
	E
	⎡⎢⎣10153012151518223021102651515⎤⎥⎦[10153012151518223021102651515]
Questão 2/10 - Álgebra Linear
Observe a transformação linear T:R2→R3T:R2→R3, onde  T(x,y)=(x,y,x−y)T(x,y)=(x,y,x−y), sendo u= (1, 3) e v =(-2, -1).
De acordo com a transformação linear dada acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, determine T(u) e T(v).T(u) e T(v).
Nota: 10.0
	
	A
	T(u)=(1,3,−2) e T(v)=(−2,−1,−1)T(u)=(1,3,−2) e T(v)=(−2,−1,−1)
Você acertou!
T(1,3)=(1,3,1−3)=(1,3,−2)T(−2,−1)=(−2,−1,−2+1)=(−2,−1,−1).T(1,3)=(1,3,1−3)=(1,3,−2)T(−2,−1)=(−2,−1,−2+1)=(−2,−1,−1).
(Livro-base p. 119-122)
	
	B
	T(u)=(1,−3,−2) e T(v)=(−2,1,−1)T(u)=(1,−3,−2) e T(v)=(−2,1,−1)
	
	C
	T(u)=(1,3,2) e T(v)=(−2,−1,1)T(u)=(1,3,2) e T(v)=(−2,−1,1)
	
	D
	T(u) = (1,3,-2) \ e \ T(v) = (-2, -1, 1)
	
	E
	T(u)=(1,3,−2) e T(v)=(−2,−1,−3)T(u)=(1,3,−2) e T(v)=(−2,−1,−3)
Questão 3/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre matrizes de mudança de base e, as bases
B={(1,0,1),(1,1,1),(1,1,2)} e B′={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}B={(1,0,1),(1,1,1),(1,1,2)} e B´={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}, 
assinale a alternativa com a matriz de mudança da base B´B´  para BB, [I]BB´.[I]BB´.
Nota: 10.0
	
	A
	[I]BB´=⎡⎢⎣0−1111−2−111⎤⎥⎦[I]BB´=[0−1111−2−111]
	
	B
	[I]BB´=⎡⎢⎣1−2301−1−1−31⎤⎥⎦[I]BB´=[1−2301−1−1−31]
	
	C
	[I]BB´=⎡⎢⎣1−1011−1−101⎤⎥⎦[I]BB´=[1−1011−1−101]
Você acertou!
Fazemos os vetores  de B´ combinação linear dos vetores da base B.
Resolvemos os três sistemas de equações, simultaneamente:
⎡⎢⎣111|100011|010112|001⎤⎥⎦[111|100011|010112|001]
⎡⎢⎣100|1−1001011−1001|−101⎤⎥⎦[100|1−1001011−1001|−101]
[I]BB´=⎡⎢⎣1−1011−1−101⎤⎥⎦[I]BB´=[1−1011−1−101]
(Livro-base p. 108-112).
	
	D
	[I]BB´=⎡⎢⎣1−1221−2−203⎤⎥⎦[I]BB´=[1−1221−2−203]
	
	E
	[I]BB´=⎡⎢⎣1−2011−2−121⎤⎥⎦[I]BB´=[1−2011−2−121]
Questão 4/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre mudança de base e coordenadas de um vetor, e as bases
A={p1=4−3x,p2=3−2x} e B={q1=x+2,q2=2x+3}A={p1=4−3x,p2=3−2x} e B={q1=x+2,q2=2x+3} do conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 1, assinale a alternativa com a matriz das 
coordenadas do polinômio p=x−4p=x−4 em relação a base A.
Nota: 10.0
	
	A
	[6   −5]t[6   −5]t
	
	B
	[5−8]t[5−8]t
Você acertou!
Determine as coordenadas de p=x−4p=x−4 em relação a base A.
p=x−4=a(4−3x)+b(3−2x)[−3−2|143|−4].p=x−4=a(4−3x)+b(3−2x)[−3−2|143|−4].
As coordenadas são [5   −8]t[5   −8]t
(Livro-base p. 119-122)
	
	C
	[8   −6]t[8   −6]t
	
	D
	[7   −9]t[7   −9]t
	
	E
	[3   −2]t[3   −2]t
Questão 5/10 - Álgebra Linear
Leia as informações abaixo:
Um sistema de equações lineares pode ter uma única solução, nenhuma solução ou infinitas soluções. Sendo assim, podemos classificá-lo em possível e determinado, impossível, ou possível e indeterminado, respectivamente.
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, determine a solução do seguinte sistema:
⎧⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪⎩x+y=2y+z=4x+y=5x+y+z=0{x+y=2y+z=4x+y=5x+y+z=0
Assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	Este sistema é indeterminado.
	
	B
	Este sistema é possível e sua solução é (0,0,0).     
	
	C
	Este sistema é possível e sua solução é (0,1,1).
	
	D
	Este sistema é impossível.
Você acertou!
Comentário: Podemos somar as três primeiras equações e obter 2x + 2y + 3z = 11. Dividindo por 2 teremos: x + y + z = 11/2. Como a quarta equação é x + y + z = 0, temos que o sistema é impossível.
(Livro-base p. 56-58)
	
	E
	Este sistema é possível e sua solução é (1,2,3).
Questão 6/10 - Álgebra Linear
Analise as matrizes A=[2002]A=[2002] e B=[3003]B=[3003].
De acordo com as matrizes acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, determine a matriz XX, tal que X=A.Bt+B.X=A.Bt+B.
Nota: 10.0
	
	A
	X=[120012]X=[120012]
	
	B
	X=[180018]X=[180018]
	
	C
	X=[9009]X=[9009]
Você acertou!
X=A.Bt+B=X=A.Bt+B= [2002][2002].[3003][3003]+ [3003][3003]=
=[6006][6006] +[3003][3003] =[9009][9009]
(Livro-base p. 26-38)
	
	D
	X=[8448]X=[8448]
	
	E
	X=[101110]X=[101110]
Questão 7/10 - Álgebra Linear
Leia as informações que seguem:
Seja o espaço vetorial V=R4V=R4 e W={(x,y,0,0)∈R4/x,y∈R}W={(x,y,0,0)∈R4/x,y∈R} um subconjunto do espaço vetorial  VV.
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas e assinale a sentença correta:
Nota: 10.0
	
	A
	WW não é um subespaço de VV, porque não satisfaz somente a propriedade da soma  u+v∈Wu+v∈W.
	
	B
	WW não é um subespaço de VV, porque não satisfaz somente a propriedade do produto escalar kv∈Wkv∈W.
	
	C
	WW não é subespaço de VV, porque não satisfaz as duas propriedades da soma u+v∈Wu+v∈W e do produto escalar kv∈Wkv∈W.
	
	D
	WW é um subespaço de VV.
Você acertou!
Para WW ser subespaço de VV , deve satisfazer as propriedades:
1. u+v=(x1+x2,y1+y2,z1+z2,t1+t2)=(x1+x2,y1+y2,0,0)∈Wu+v=(x1+x2,y1+y2,z1+z2,t1+t2)=(x1+x2,y1+y2,0,0)∈W
2. ku=(kx1,ky1,kz1,kt1)=(kx1,ky1,0,0)∈Wku=(kx1,ky1,kz1,kt1)=(kx1,ky1,0,0)∈W
Logo WW  é subespaço.  
(Livro-base p. 82-86).
	
	E
	WW não é subespaço, porque (x.y,0,0)∉R4(x.y,0,0)∉R4.
Questão 8/10 - Álgebra Linear
Leia as informações a seguir:
Uma matriz quadrada possui inversa se o seu determinante for diferente de zero. Ao multiplicar a matriz dada, com sua inversa, o resultado deve ser a matriz identidade de mesma ordem. 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise a matriz  A=[1021]A=[1021] e assinale a alternativa que indica sua inversa:
Nota: 10.0
	
	A
	A−1=[10−21]A−1=[10−21]
Você acertou!
A inversa de A é a matriz A−1A−1, tal que:
A.A−1=IA.A−1=I.  assim, temos:
[1021][1021].[abcd][abcd] = [1001][1001]
[ab2a+c2b+d][ab2a+c2b+d] = [1001][1001]
assim, A−1=[10−21]A−1=[10−21]
(Livro-base p. 52-56).
	
	B
	A−1=[1021]A−1=[1021]
	
	C
	A−1=[−10−2−1]A−1=[−10−2−1]
	
	D
	A−1=⎡⎣10−212⎤⎦A−1=[10−212]
	
	E
	A−1=⎡⎣01−212⎤⎦A−1=[01−212]
Questão 9/10 - Álgebra Linear
Sejam os vetores u=(1,2,3),v=(0,1,1) e w=(0,0,1)u=(1,2,3),v=(0,1,1) e w=(0,0,1), tais que eles formam uma base do espaço vetorial R3R3.  
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale  a alternativa com as coordenadas do vetor (1,1,0)∈R3(1,1,0)∈R3 com relação à base formada pelos vetores u,v e w.u,v e w. 
Nota: 10.0
	
	A
	⎡⎢⎣1−1−2⎤⎥⎦[1−1−2]
Você acertou!
Para que os vetores u,v e wu,v e w  formem uma base do R3R3, é necessário que existam os reais a, b e c tais que au+bv+cw=(0,0,0)au+bv+cw=(0,0,0)  e que sejam todos nulos. Assim, tem-se o sistema linear:
⎧⎪⎨⎪⎩a=02a+b=03a+b+c=0{a=02a+b=03a+b+c=0
Esse sistema tem solução única, a=b=c=00.  Logo, formam uma base do  R3R3.
Para determinar as coordenadas do vetor (1,1,0)(1,1,0)  em relação à base{u,v,w}{u,v,w} , digamos ββ  deve-se resolver o sistema:
⎧⎪⎨⎪⎩x=12x+y=13x+y+z=0{x=12x+y=13x+y+z=0A solução do sistema é z=−2,y=−1 e x=1z=−2,y=−1 e x=1 e as coordenadas do vetor são
⎡⎢⎣1−1−2⎤⎥⎦β[1−1−2]β  (livro-base p. 96-99).
	
	B
	⎡⎢⎣21−2⎤⎥⎦[21−2]
	
	C
	⎡⎢⎣1−22⎤⎥⎦[1−22]
	
	D
	⎡⎢⎣2−4−2⎤⎥⎦[2−4−2]
	
	E
	⎡⎢⎣2−2−2⎤⎥⎦[2−2−2]
Questão 10/10 - Álgebra Linear
Seja T:R2→R2T:R2→R2 a transformação linear dada por T(x,y)=(x+2y,y).T(x,y)=(x+2y,y). 
De acordo com a transformação linear dada e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa que contém a matriz de TT com relação à base canônica do R2R2:
Nota: 10.0
	
	A
	[1201].[1201].
Você acertou!
Observamos que
T(1,0)=(1,0)=1(1,0)+0(0,1) e T(0,1)=(2,1)=2(1,0)+1(0,1).T(1,0)=(1,0)=1(1,0)+0(0,1) e T(0,1)=(2,1)=2(1,0)+1(0,1).
Logo, a matriz de TT com relação à base canônica é [1201][1201]  (livro-base p. 130-139)
	
	B
	[1021].[1021].
	
	C
	[1210].[1210].
	
	D
	[2110].[2110].
	
	E
	[1012].[1012].
APOL II NOTA 100%
Questão 1/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre sistemas de equações lineares, resolva o problema: 
Usando escalonamento, assinale a alternativa com valor de kk de modo que o sistema linear: 
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{x+2y=35x−3y=22x−2y=k
admita solução única.  
Nota: 10.0
	
	A
	k=1k=1
	
	B
	k=−1k=−1
	
	C
	k=0k=0
Você acertou!
Faça os escalonamentos:
−5L1+L2→L2−2L1+L3→L3−5L1+L2→L2−2L1+L3→L3
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{x+2y=35x−3y=22x−2y=k
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=3−13y=−13−6y=k−6{x+2y=3−13y=−13−6y=k−6
k−6=−6k=0k−6=−6k=0
(Livro-base p. 96)
	
	D
	k=−2k=−2
	
	E
	k=2k=2
Questão 2/10 - Álgebra Linear
Considere a seguinte equação ∣∣
∣∣x+123x1531−2∣∣
∣∣|x+123x1531−2|= ∣∣∣41x−2∣∣∣|41x−2| . 
De acordo com a equação acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa com o valor de x:
Nota: 10.0
	
	A
	x=−32x=−32
	
	B
	x=−18x=−18
	
	C
	x=−25x=−25
	
	D
	x=−22x=−22
Você acertou!
Resolvendo os determinantes à direita e à esquerda, temos: 
−2(x+1)+3x+30−9−5(x+1)+4x=−8−x−2x−2+3x+30−9−5x−5+4x=−8−x−2x+3x−5x+4x−2+30−9−5=−8−x14=−8−x14+8=−x22=−x−22=x−2(x+1)+3x+30−9−5(x+1)+4x=−8−x−2x−2+3x+30−9−5x−5+4x=−8−x−2x+3x−5x+4x−2+30−9−5=−8−x14=−8−x14+8=−x22=−x−22=x
(Livro-base p. 39-42).
	
	E
	x=−20x=−20
Questão 3/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre operações com matrizes e dada as matrizes:
A=[x−w−z3y] , B=[z2yxw] e C=[−3−10−1−10]A=[x−w−z3y] , B=[z2yxw] e C=[−3−10−1−10].
Dado que A+B=CA+B=C, assinale a alternativa com a solução correta da equação matricial:
Nota: 10.0
	
	A
	x=−3,z=−1,y=−2 e w=2.x=−3,z=−1,y=−2 e w=2.
	
	B
	x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.
Você acertou!
A+B=C⇒A+B=C⇒ [x+z−w+2y−z+x3y+w]=[−3−10−1−10]x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.[x+z−w+2y−z+x3y+w]=[−3−10−1−10]x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.
(Livro-base p. 40-51)
	
	C
	x=−5,z=−6,y=3 e w=2.x=−5,z=−6,y=3 e w=2.
	
	D
	x=−1,z=−2,y=3 e w=−2.x=−1,z=−2,y=3 e w=−2.
	
	E
	x=4,z=−2,y=−4 e w=3.x=4,z=−2,y=−4 e w=3.
Questão 4/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre base ortogonal e a base B={v=(1,2),u=(x,y)}B={v=(1,2),u=(x,y)} ortogonal do espaço vetorial V=R2V=R2 em relação ao produto interno usual, assinale a alternativa com as coordenadas do vetor u:u:
Nota: 10.0
	
	A
	u=(−2,1)u=(−2,1)
Você acertou!
Comentário: Como B é uma base ortogonal do R2R2, implica que a dim(B) =2 e que (x,y)=0 ==> x=-2y.  Logo, u=(-2,1).
(livro-base p. 143-149)
	
	B
	u=(0,0)u=(0,0)
	
	C
	u=(3,2)u=(3,2)
	
	D
	u=(1,−2)u=(1,−2)
	
	E
	u=(−2,2)u=(−2,2)
Questão 5/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear sobre autovetores, dada a matriz de transformação de T:R3→R3T:R3→R3, [T]=⎡⎢⎣100023032⎤⎥⎦[T]=[100023032], assinale a alternativa com os autovalores de [T]:
Nota: 10.0
	
	A
	λ1=0,λ2=2,λ3=2λ1=0,λ2=2,λ3=2
	
	B
	λ1=−2λ2=2,λ3=2λ1=−2λ2=2,λ3=2
	
	C
	λ1=1,λ2=5,λ3=1λ1=1,λ2=5,λ3=1
Você acertou!
det(A−λI)=∣∣
∣∣1−λ0002−λ3032−λ∣∣
∣∣=0det(A−λI)=|1−λ0002−λ3032−λ|=0
Resolvendo o determinante temos que:
λ1=1,λ2=5,λ3=1λ1=1,λ2=5,λ3=1
(livro-base p. 165-170)
	
	D
	λ1=3,λ2=2,λ3=1λ1=3,λ2=2,λ3=1
	
	E
	λ1=−2,λ2=2,λ3=1λ1=−2,λ2=2,λ3=1
Questão 6/10 - Álgebra Linear
Considere o operador linear T, dado por
T:R2→R2, com T(x,y,z)=(3x+y,2x+2y)T:R2→R2, com T(x,y,z)=(3x+y,2x+2y).
De acordo com as informações acima e com os conteúdos estudados na Videoaula da Aula 5 - Operadores, autovetores e autovalores, assinale a alternativa cujos valores são os autovalores de TT:
Nota: 10.0
	
	A
	λ1=2 e λ2=3λ1=2 e λ2=3
	
	B
	λ1=3 e λ2=1λ1=3 e λ2=1
	
	C
	λ1=4 e λ2=1λ1=4 e λ2=1
Você acertou!
Temos que a matriz T é dada por:
T=[3122]T=[3122]
Os autovetores são dados por:
T=∣∣∣3−λ122−λ∣∣∣=0λ1=4 e λ2=1T=|3−λ122−λ|=0λ1=4 e λ2=1
(Videoaula da Aula 5, tempo: 27'00")
	
	D
	λ1=−2 e λ2=2λ1=−2 e λ2=2
	
	E
	λ1=5 e λ2=2λ1=5 e λ2=2
Questão 7/10 - Álgebra Linear
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Álgebra LinearÁlgebra Linear sobre base de autovetores, considere a transformação T:R2→R2T:R2→R2 , definido por T(x,y)=(−3x+4y,−x+2y)T(x,y)=(−3x+4y,−x+2y), cujos autovalores da matriz de transformação [T][T] são λ1=1 e λ2=−2.λ1=1 e λ2=−2. Assinale a alternativa com a base de autovetores da matriz de transformação de [T][T]:
Nota: 10.0
	
	A
	{(1,−1),(4;0,25)}{(1,−1),(4;0,25)}
	
	B
	{(−1,1),(2,1)}{(−1,1),(2,1)}
	
	C
	{(1,−1),(1,1)}{(1,−1),(1,1)}
	
	D
	{(1,0),(4,−1)}{(1,0),(4,−1)}
	
	E
	{(1,1),(4,1)}{(1,1),(4,1)}
Você acertou!
Comentário:
A matriz de transformação é dada por:
[T]=A=[−34−12][T]=A=[−34−12]
Devemos determinar os autovetores
[−34−12][xy]=1[xy](1,1)[−34−12][xy]=−2[xy](4,1){(1,1).(4,1)}[−34−12][xy]=1[xy](1,1)[−34−12][xy]=−2[xy](4,1){(1,1).(4,1)}
(livro-base p. 164-165)
Questão 8/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre base ortogonal e a base B={(1,2),(−2,1)}B={(1,2),(−2,1)} ortogonal do espaço vetorial V=R2V=R2 em relação ao produto interno usual, assinale a alternativa com a base ortonormal a base BB:
Nota: 10.0
	
	A
	B′=1√5{(1,2),(−2,1)}B′=15{(1,2),(−2,1)}
Você acertou!
Comentário:
Temos que
u=u|u|=(1,2)√12+22=(1,2)√5v=v|v|=(−2,1)√(−2)2+12=(−2,1)√5u=u|u|=(1,2)12+22=(1,2)5v=v|v|=(−2,1)(−2)2+12=(−2,1)5
B′=1√5{(1,2),(−2,1)}B′=15{(1,2),(−2,1)}
(Livro-base p. 150-152)
	
	B
	B′=1√5{(1,0),(0,1)}B′=15{(1,0),(0,1)}
	
	C
	B′={(1,2),(1,0)}B′={(1,2),(1,0)}
	
	D
	B′={(−2,2),(0,2)}B′={(−2,2),(0,2)}
	
	E
	B′={1√5(−1,−2),13(−2,−1)}B′={15(−1,−2),13(−2,−1)}
Questão 9/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base de um espaço vetorial e os vetores:
u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(k,0,3)u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(k,0,3).
Assinale a alternativa com o valor de kk para que os vetores u,v e wu,v e w formem uma base do R3.R3. 
Nota: 10.0
	
	A
	k≠8k≠8
	
	B
	k≠−7k≠−7
	
	C
	k≠5k≠5
	
	D
	k≠−9k≠−9
Você acertou!
Determine o valor de kk para que os vetores u,v e wu,v e w formem uma base do R3.R3. 
Montamos o sistema linear 
⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=0−a+b=0−2a+b+3c=0{a+2b+kc=0−a+b=0−2a+b+3c=0
Efetuamos o escalonamento
⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=05b+(2k+3)c=0⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=0(k+9)3c=0k≠−9{a+2b+kc=03b+kc=05b+(2k+3)c=0{a+2b+kc=03b+kc=0(k+9)3c=0k≠−9
(Livro-base p. 95-100)
	
	E
	k≠6k≠6
Questão 10/10 - Álgebra Linear
Seja o espaço vetorial V=R2V=R2  e W={(x,y)∈R2/y=3x}W={(x,y)∈R2/y=3x}.  
De acordo com o espaço vetorial dado acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa cuja afirmativa é correta com relação ao conjunto WW.
Nota: 10.0
	
	A
	(3x,x)∈W(3x,x)∈W
	
	B
	Para todos vetores u,v∈W,u,v∈W, temos u+v∉Wu+v∉W.
	
	C
	Para todos vetores u,v∈W,u,v∈W, temos u.v∉Wu.v∉W
	
	D
	 WW  não é um subespaço vetorial de V.V.
	
	E
	 WW  é um subespaço vetorial de V.V.
Você acertou!
Considere os vetores u=(x1,y1)u=(x1,y1)  e v=(x2,y2)v=(x2,y2) de V=R2.V=R2.   
Deve-se verificar se são satisfeitas as seguintes condições:
1. Se u,v∈Wu,v∈W então, u+v∈Wu+v∈W.   
u+v=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1,3x1)+(x2,3x2)==(x1+x2,3(x1+x2))∈W.u+v=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1,3x1)+(x2,3x2)==(x1+x2,3(x1+x2))∈W.
2. Se u∈W,então,αu∈W,u∈W,então,αu∈W,para todo α∈R.α∈R.
αu=α(x1,y1)=(αx1,αy1)=(αx1,3αx1)∈W.αu=α(x1,y1)=(αx1,αy1)=(αx1,3αx1)∈W.
Logo, pode-se afirmar que WW é um subespaço de V.V.
(Livro-base p. 82-88).