SUNI Semana 18 Series Númericas - Teoría

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ÁLGEBRA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Semestral Intensivo Virtual UNI
Docente: ***
Series
Semana 15
Objetivos:
 Definir la sumatoria, la serie su
clasificación y propiedades.
 Realiza la diferencia entre sumatoria y
serie, calcula el valor de convergencia
de una serie ayudado de resultados
notables.
 Resuelve diversos problemas aplicando
estrategias utilizando asertivamente el
marco teórico requerido.
I) Introducción
II) Sumatorias
III) Series
IV) Convergencia y divergencia de una serie.
V) Series notables
VI) Propiedades y teoremas adicionales
Índice
Un poco de historia con la serie P
Capitolio de los estados Unidos
En el siglo XVIII muchos matemáticos buscaban, sin demasiado éxito, el valor
de la expresión:
La primera aportación relevante fue hecha por Jacobo Bernoulli en 1689
cuando demostró la convergencia de dicha serie. Cuatro años después, Euler
calculó el valor con dieciocho cifras decimales y se dio cuenta de que
coincidían con la expresión de . En años posteriores, Euler no sólo
demostró que, efectivamente, ese era el valor de dicha suma sino que calculó
para 𝑝 un numero par.
1 +
1
22
+
1
32
+
1
42
+⋯
1 +
1
2𝑝
+
1
3𝑝
+
1
4𝑝
+⋯
π2
6
Jacobo Bernoulli 
Leonhard Euler
Sumatorias
Ejemplo
SUMATORIA
Sean las expresiones 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛. La suma
de estos, puede ser expresada mediante una
notación abreviada:
෍
𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘 = 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛
෍
𝑘=1
5
𝑘2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55
PROPIEDADES
෍
𝑘=1
𝑛
𝐶𝑎𝑘 = 𝐶෍
𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘
෍
𝑘=1
𝑛
(𝑎𝑘 ± 𝑏𝑘) = ෍
𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘 ±෍
𝑘=1
𝑛
𝑏𝑘
1.
2.
Ejemplo
෍
𝑘=1
6
3𝑘2 = 3෍
𝑘=1
6
𝑘2
෍
𝑘=1
7
𝑘2 + 𝑘 = ෍
𝑘=1
7
𝑘2 +෍
𝑘=1
7
𝑘
SUMAS NOTABLES
෍
𝑘=1
𝑛
𝑐 = 𝑐. 𝑛1. = 𝑐 + 𝑐 + 𝑐 + ⋯+ 𝑐
𝑛 sumandos
෍
𝑘=1
10
15 = 15 ∙ 10= 15 + 15 + 15 +⋯+ 15
10 sumandos
= 150
෍
𝑘=1
𝑛
𝑘 =
𝑛 𝑛 + 1
2
2. = 1 + 2 + 3 +⋯+ 𝑛
෍
𝑛=1
20
𝑛 = 1 + 2 + 3 +⋯+ 20 = 210=
20 20 + 1
2
෍
𝑘=1
𝑛
𝑘2 =
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
3. = 12 + 22 + 32 +⋯+ 𝑛2
෍
𝑛=1
10
𝑛2= 12 + 22 + 32 +⋯+ 102 = 385=
10 11 21
6
෍
𝑘=0
𝑛
𝑟𝑘 =
𝑟𝑛+1 − 1
𝑟 − 1
4. = 1 + 𝑟 + 𝑟2 +⋯+ 𝑟𝑛
෍
𝑛=0
10
2𝑛 = 1 + 2 + 22 +⋯+ 210 = 2047=
211 − 1
2 − 1
5. Propiedad telescópica.
෍
𝑘=𝑚
𝑛
𝑓 𝑘 + 1 − 𝑓(𝑘) = 𝑓 𝑛 + 1 − 𝑓(𝑚)
෍
𝑘=3
10
𝑘 + 1
𝑘 + 2
−
𝑘
𝑘 + 1
=
10 + 1
10 + 2
−
3
3 + 1
=
1
6
෍
𝑘=1
𝑛
1
𝑘2 + 𝑘
=
1
1
−
1
𝑛 + 1
=
𝑛
𝑛 + 1
= ෍
𝑘=1
𝑛
1
𝑘 𝑘 + 1
= ෍
𝑘=1
𝑛
1
𝑘
−
1
𝑘 + 1
Series
Dada la sucesión de infinitos números reales
𝑎𝑛 = 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑛; … . La sucesión de
sumas parciales se define como
𝑆1 = 𝑎1
𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2
𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3
⋮
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 = ෍
𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘
⋮
A partir de ellos se forma la sucesión de sumas
parciales
𝑆𝑛 = 𝑆1; 𝑆2; 𝑆3; … ; 𝑆𝑛; …
𝑆𝑛 = 𝑎1; 𝑎1 + 𝑎2; 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3; … ; 𝑆𝑛; …
Enésima 
suma 
parcial
Sea la sucesión 𝑎𝑛 = 1;
1
2
;
1
3
;
1
4
; …
𝑆1 = 1
𝑆2 = 1 +
1
2
𝑆3 = 1 +
1
2
+
1
3
⋮
𝑆𝑛 = 1 +
1
2
+
1
3
+⋯+
1
𝑛
= ෍
𝑘=1
𝑛
1
𝑛
Luego se forma la sucesión de sumas parciales
𝑆𝑛 = 1; 1 +
1
2
; 1 +
1
2
+
1
3
; … ; 𝑆𝑛; …
⋮
= ෍
𝑘=1
𝑛
1
𝑛
𝑆1; 𝑆2; 𝑆3; …
Las sumas parciales de la sucesión son:
Ejemplo
SUMAS PARCIALES DE UNA SUCESIÓN
Una serie se forma por la suma de los infinitos
términos de la sucesión 𝑎𝑛 y se denota por
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯ = ෍
𝑛=1
∞
𝑎𝑛
Ejemplo
෍
𝑛=1
+∞
𝑛 = 1 + 2 + 3 + 4 +⋯
෍
𝑛=0
+∞
1
5
𝑛
= 1 +
1
5
+
1
25
+
1
125
+⋯
CONVERGENCIA DE UNA SERIE 
converge si la sucesión de
Analice la convergencia de la serie
Se dirá que la serie ෍
𝑘=1
∞
𝑎𝑘
suma parciales 𝑆𝑛 converge, es decir:
= lim
𝑛→+∞
𝑠𝑛𝑆 = ෍
𝑘=1
∞
𝑎𝑘 = lim
𝑛→+∞
෍
𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘
Ejemplos
෍
𝑘=1
∞
1
𝑘(𝑘 + 1)
Para saber si la serie converge, calculamos el límite
a la sucesión de sumas parciales
𝑆𝑛 = ෍
𝐾=1
𝑛
1
𝑘(𝑘 + 1)
lim
𝑛→+∞
𝑠𝑛 = lim
𝑛→+∞
𝑛
𝑛 + 1
= 1 ∴ La serie converge a 1
= +∞
=
5
4
෍
𝑛=1
+∞
−1 𝑛 = −1 + 1 − 1 + 1 − 1 +⋯ = 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
= ෍
𝑘=1
𝑛
1
𝑘
−
1
𝑘 + 1
=
1
1
−
1
𝑛 + 1
SERIES
Para saber si la serie converge, calculamos el
límite a la sucesión de sumas parciales
𝑆𝑛 = 1 +
1
5
+
1
5
2
+
1
5
3
+⋯+
1
5
𝑛−1
=
1
5
𝒏
− 1
1
5
− 1
𝑆𝑛
= lim
𝑛→+∞
1
5
𝒏
− 1
1
5
− 1
lim
𝑛→+∞
𝑠𝑛 =
𝟎 − 1
1
5
− 1
=
5
4
∴ La serie converge a
Analice la convergencia de la serie ෍
𝑘=1
∞
1
5
𝑛
5
4
𝑆𝑛 = −1 + 1 − 1 + 1 − 1 +⋯+ −1 𝑛
= ቊ
0 ; 𝑛 𝑝𝑎𝑟
−1 ; 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
𝑆𝑛
= ቊ
0 ; 𝑛 𝑝𝑎𝑟
−1 ; 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
lim
𝑛→+∞
𝑠𝑛
∴ La serie es divergente
Analice la convergencia de la serie ෍
𝑘=1
∞
−1 𝑛
Este límite no existe, por ello la seria no es
converge.
Serie armónica: 
෍
𝑛=1
∞
1
𝑛
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ ⋯
Serie geométrica: 
෍
𝑛=0
∞
𝑎𝑟𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 +⋯
La serie armónica es divergente.
= +∞
I. Si −1 < 𝑟 < 1, entonces la serie converge
𝒂 + 𝒂𝒓 + 𝒂𝒓𝟐 + 𝒂𝒓𝟑 +⋯ =
𝒂
𝟏 − 𝒓
II. Si 𝑟 ≥ 1, entonces la serie diverge
𝑟 : razón
Ejemplos
෍
𝑛=1
∞
5
3𝑛
=
𝟓
𝟑
+
5
9
+
5
27
+
5
81
+⋯
𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝒓 =
𝟏
𝟑
=
𝟓
𝟑
1 −
𝟏
𝟑
=
5
2
෍
𝑛=1
∞
−
1
2
𝑛
𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝒓 = −
𝟏
𝟐
= −
𝟏
𝟐
+
1
4
−
1
8
+
1
16
+⋯ =
−
𝟏
𝟐
1 − −
𝟏
𝟐
= −
1
3
෍
𝑛=1
∞
2𝑛
𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝒓 = 𝟐
= 𝟐 + 4 + 8 + 16 +⋯ = +∞
෍
𝑛=1
∞
−1 𝑛
𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝒓 = −𝟏
= −1 + 1 − 1 + 1 − 1 +⋯ = No existe
SERIES NOTABLES
Aplicación:
Calcule
𝑆 =
7
12
+
25
144
+
91
1728
+
337
20736
+⋯
UNI 2012-1
Solución: 
𝑆 =
3 + 4
3.4
+
9 + 16
9.16
+
27 + 64
27.64
+
81 + 256
81.256
+⋯
𝑆 =
1
3
+
1
4
+
1
9
+
1
16
+
1
27
+
1
64
+
1
81
+
1
256
+⋯
𝑆 =
1
3
+
1
9
+
1
27
+
1
81
+⋯ +
1
4
+
1
16
+
1
64
+
1
256
+⋯
𝑆 =
1
3
1 −
1
3
+
1
4
1 −
1
4
𝑆 =
1
2
+
1
3
=
5
6
Serie - p
෍
𝑛=1
∞
1
𝑛𝑝
=
1
1𝑝
+
1
2𝑝
+
1
3𝑝
+
1
4𝑝
…
I) Si 𝑝 > 1,
II) Si 𝑝 ≤ 1,
Ejemplos
෍
𝑛=1
∞
1
𝑛2
=
1
12
+
1
22
+
1
32
+
1
42
+⋯
𝑺𝒆𝒓𝒊𝒆 − 𝒑 𝒑 = 𝟐
es convergente
la serie-p es convergente.
la serie-p es divergente.
෍
𝑛=1
∞
1
𝑛
=
1
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+⋯+⋯
𝑺𝒆𝒓𝒊𝒆 − 𝒑 𝒑 = 𝟏
es divergente
Serie telescópica: 
෍
𝑘=1
∞
𝑎𝑘 − 𝑎𝑘−1
Ejemplo
Calcule el valor de convergencia de:
෍
k=2
∞
cos
π
𝑘 + 1 2
− cos
π
k2
Resolución
෍
𝑘=2
∞
cos
π
𝑘 + 1 2
− cos
π
k2
=
= lim
𝑛→∞
cos
π
𝑛 + 1 2
− cos
π
22
= lim
𝑛→∞
෍
𝑘=2
𝑛
cos
π
𝑘 + 1 2
− cos
π
k2
= cos0 − cos
π
4
= 1 −
2
2
Series notables 
෍
𝑛=0
∞
1
𝑛!
=
1
0!
+
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+⋯ = 𝑒
෍
𝑛=0
∞
𝑥𝑛
𝑛!
= 𝑒𝑥
෍
𝑛=1
∞
1
𝑛2
=
𝜋2
6
=
1
0!
+
𝑥
1!
+
𝑥2
2!
+
𝑥3
3!
+ ⋯
=
1
12
+
1
22
+
1
32
+
1
42
+⋯
∴ El valor de convergencia es 2 − 2
2
= lim
𝑛→∞
෍
𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘 − 𝑎𝑘−1 = lim𝑛→∞
𝑎𝑛 − 𝑎0
PROPIEDADES
1. ෍
𝑛=1
∞
𝑐. 𝑎𝑛 = 𝑐෍
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 ; 𝑐 ∈ ℝ
2. ෍
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛 = ෍
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 ± ෍
𝑛=1
∞
𝑏𝑛
Si: ෍
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 y ෍
𝑛=1
∞
𝑏𝑛 son series convergente
Ejemplos
෍
𝑛=1
∞
5
3𝑛
= 5෍
𝑛=1
∞
1
3𝑛
෍
𝑛=1
∞
1
5𝑛
+
1
3𝑛
= ෍
𝑛=1
∞
1
5𝑛
+ ෍
𝑛=1
∞
1
3𝑛
TEOREMA
Si: ෍
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 es convergente, entonces lim𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0
Si: lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 ≠ 0 entonces; la serie ෍
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 es divergente.
Ejemplos
Analice la serie ෍
𝑛=1
∞
3𝑛 + 1
2𝑛 − 1
Es divergente puesto que: 𝑎𝑛 =
3𝑛 + 1
2𝑛 − 1
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
3𝑛 + 1
2𝑛 − 1
=
3
2
≠ 0
CRITERIO DE CONVERGENCIA (Del término general)
Sea ෍
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 una serie
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
= 𝐿, entonces:
Ejemplo
Analice la serie ෍
𝑛=1
∞
𝑛2. 2𝑛+1
3𝑛
Sea 𝑎𝑛 =
𝑛2. 2𝑛+1
3𝑛
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
= lim
𝑛→∞
4 𝑛2 + 2𝑛 + 1
6 . 𝑛2
=
4
6
CRITERIO DE LA RAZÓN
Sea ෍
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 una serie de términos positivos tal que:
෍
𝑛=1
∞
𝑎𝑛I. Si 0 < 𝐿 < 1, la seriees convergente
෍
𝑛=1
∞
𝑎𝑛II. Si 𝐿 > 1, la serie es divergente
III. Si 𝐿 = 1, el criterio no decide el carácter de la
serie
Resolución
𝑎𝑛+1 =
𝑛 + 1 2. 2𝑛+2
3𝑛+1
Luego:
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
=
𝑛2 + 2𝑛 + 1 . 2𝑛. 22. 3𝑛
𝑛2. 2𝑛. 2 . 3𝑛. 3
=
𝑛2 + 2𝑛 + 1 . 4
𝑛2. 2 . 3
Ahora hallando el límite :
𝐿 =
Como 𝐿 =
2
3
< 1 ∴ la serie෍
𝑛=1
∞
𝑛2. 2𝑛+1
3𝑛
es convergente.
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