Para resolver a equação diferencial \(y'' - 10y' + 25y = 0\), primeiro precisamos encontrar a solução geral da equação característica associada, que é dada por: \[ r^2 - 10r + 25 = 0 \] Fatorando, obtemos: \[ (r - 5)^2 = 0 \] Isso nos dá uma raiz dupla \(r = 5\). Portanto, a solução geral da equação diferencial é: \[ y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{5t} \] Agora, precisamos usar as condições iniciais \(y(0) = 0\) e \(y'(0) = 1\) para determinar as constantes \(C_1\) e \(C_2\). 1. Aplicando \(y(0) = 0\): \[ y(0) = (C_1 + C_2 \cdot 0)e^{5 \cdot 0} = C_1 = 0 \] 2. Agora, substituímos \(C_1\) na expressão de \(y(t)\): \[ y(t) = C_2 t e^{5t} \] 3. Agora, precisamos calcular \(y'(t)\): \[ y'(t) = C_2(e^{5t} + 5t e^{5t}) = C_2 e^{5t}(1 + 5t) \] 4. Aplicando \(y'(0) = 1\): \[ y'(0) = C_2 e^{5 \cdot 0}(1 + 5 \cdot 0) = C_2 = 1 \] Portanto, a solução final é: \[ y(t) = t e^{5t} \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \(y = 3\cdot e^{4x} + 2x\cdot e^{4x}\) - Não é a solução correta. B) \(y = 2\cdot e^{4x}\) - Não é a solução correta. C) \(y = x\cdot e^{3x}\) - Não é a solução correta. D) \(y = x\cdot e^{5x}\) - Esta é a solução correta. E) \(y = 5\cdot e^{5x} + 3x\cdot e^{5x}\) - Não é a solução correta. Portanto, a alternativa correta é: D) \(y = x\cdot e^{5x}\).