FIGURAS GEOMÉTRICAS

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Seção 2
Construção do conhecimento matemático em ação:
entendendo, usando e medindo figuras geométricas
Esperamos que, ao longo desta seção, você possa:
• Representar objetos por meio de maquetes e desenhos;
• Identificar poliedros, prismas e figuras planas associadas;
• Construir estratégias para o cálculo do volume de prismas e de áreas;
• Identificar a dimensão de figuras geométricas;
• Identificar o aspecto de um objeto sob diferentes pontos de vista e saber representá-lo
por meio de desenho.
Objetivo
da seção
Reconhecendo poliedros
Dentre a infinidade de formas geométricas espaciais não contidas em um plano, existem
as que são formadas apenas por superfícies planas e outras, não. Veja na ilustração 9:
Ilustração 9
TP3 - Matemática nas Formas Geométricas e na Ecologia - Parte I
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Estamos querendo distinguir, entre essas, aquelas que chamaremos de poliedros.
Este é um conceito que sofreu várias modificações ao longo da história da matemática e,
até hoje, é possível encontrar distintas definições de poliedro.
Vamos adotar uma definição que abrange uma grande classe de figuras espaciais de
fácil reconhecimento e cujo estudo será útil em matemática. Em estudos posteriores você
poderá apurar seu conhecimento sobre poliedros e reconhecer, entre eles, outras formas
mais elaboradas.
Dentre as figuras espaciais não contidas em um plano, mas limitadas apenas por
superfícies planas, existem algumas com características especiais:
1) São a reunião de um número finito de polígonos.
2) A intersecção de dois polígonos distintos é uma aresta comum, um ponto comum
ou é vazia.
3) Nenhuma aresta tem alguma parte livre e toda aresta une exatamente dois
polígonos.
4) Dois polígonos unidos por uma aresta não são coplanares.
Tais formas são chamadas poliedros1.
Os polígonos são chamados faces do poliedro, seus lados são as arestas do polie-
dro e os vértices dos polígonos são os vértices do poliedro.
1 Estamos admitindo a existência de polígonos convexos ou côncavos na constituição de um poliedro, de acordo com Castrucci (1962).
Na ilustração anterior, as figuras 1, 2, 3 e 4 não são poliedros pois possuem faces
que não são planas.
A figura 5 não é um poliedro no sentido que estamos tomando (podemos chamá-la
de superfície poliédrica aberta); a figura 7 não é um poliedro pois, embora seja uma
reunião de polígonos, ela tem arestas (na face maior) que não são a intersecção de duas
faces, além disso, a intersecção do polígono mais alto com o polígono lateral do cubo
não é uma aresta comum (o mesmo ocorre com a intersecção dessa face mais alta com a
face posterior do cubo); 6, 8 e 9 são poliedros.
Atividade 2
a) Cite ou desenhe pelo menos dois objetos que tenham as características citadas.
No universo que nos cerca, há muitos objetos que lembram poliedros. Caixas sem tampa
lembram poliedros, ainda que, na verdade, falte uma face para fechá-la.
b) Identifique com um X, nos desenhos abaixo, os que lembram poliedros.
O universo das formas
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da
de
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Ilustração 10
Poliedro
- Nas raízes da palavra poliedro temos poli, do grego, significando muitas; enquanto
hedron é uma palavra indo-européia significando assento, ou lugar de apoio. Significa
que o poliedro (convexo) tem muitas faces para se apoiar.
George W. Hart – Polyhedra Names
http://mathforum.org.dr.math/faq.polygon.names.html
- A palavra poliedro significa “muitos assentos”; os “assentos”, neste caso, significan-
do as faces do poliedro, sobre cada uma das quais ele pode apoiar-se quando coloca-
do sobre uma superfície horizontal.
George Olshewsky – http://members.aol.com/Polycell/what.html
Assim como polígono pode significar tanto o contorno como a região compreen-
dida por ele, poliedro pode significar um sólido ou apenas sua casca.
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Poliedros convexos e côncavos
Se, apoiando-se qualquer face de um poliedro sobre um plano, ele fica inteiramente
contido em um mesmo semi-espaço determinado por esse plano, então o poliedro é
convexo. Se isso nem sempre ocorre, o poliedro é côncavo.
Agora, preste atenção nas figuras planas que formam as faces do poliedro. Você
deve ter reparado que, em cada uma:
- todos os lados dessas figuras são segmentos de reta.
- dois lados consecutivos não são colineares (isto é, não estão sobre uma mesma reta) e
encontram-se em um único ponto (chamado vértice).
- os lados não se cruzam.
- o contorno da figura é uma linha fechada - na verdade, constitui o que se chama uma
linha poligonal fechada.
Você já sabe que essas figuras são chamadas polígonos e conhece vários deles:
triângulos, retângulos, paralelogramos, trapézios, pentágonos etc.
Um polígono é uma figura plana formada por uma linha poligonal fechada sem
auto-intersecções, isto é, cada lado tem apenas um ponto comum com o lado anterior
e com o seguinte, mas não com os demais.Como dissemos, a palavra polígono pode
designar tanto o contorno como a região do plano limitada por ela. Se falamos em
área de um polígono, estamos nos referindo à região poligonal.
Existem polígonos convexos e côncavos.
Polígonos convexos
Para quaisquer dois pontos P e Q da
região poligonal, o segmento PQ está
inteiramente contido na região.
Polígonos côncavos
Ilustração 11
Poliedros convexos Poliedros côncavos