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TÓPICO 2 | EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA
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No caso de uma viga suportar uma carga distribuída w(x), a linha elástica 
pode ser obtida diretamente de w(x), através de quatro integrações sucessivas. 
As constantes serão determinadas a partir dos valores de contorno de V, M, q e y.
Lembramos do cálculo elementar, a expressão que fornece a curvatura de 
uma curva plana em um ponto Q(x, y):
Nessa equação, dy/dx e d2y/dx2 são a primeira e a segunda derivadas da 
função y(x) que a curva representa. Para a linha elástica de uma viga, a declividade 
dy/dx é muito pequena, de modo que o seu quadrado pode ser desprezado em face 
da unidade. Podemos escrever, então:
1/ρ = d2y/dx2 (Equação 4)
Substituindo o valor de 1/ρ dado da (Equação 4) na equação (2), teremos:
d2y/dx2 = M(x)/EI (Equação 5)
A equação (5) é uma equação diferencial linear de segunda ordem; é a 
equação diferencial que rege o comportamento da linha elástica.
O produto E.I é chamado de rigidez flexional. Se a rigidez flexional varia 
ao longo da viga, como é o caso de vigas de seção variável, devemos exprimi-la 
como uma função de x antes de proceder à integração da Equação (5). No caso de 
vigas prismáticas, que é o caso considerado aqui, a rigidez flexional é constante. 
Podemos então multiplicar os dois membros da por E.I e integrar na variável x. 
Vamos ter:
EIdy/dx= € M(x)dx + C1 (Equação 6)
Onde C1 é uma constante de integração. Chamando de q(x) o ângulo, 
medido em radianos, que a tangente à curva elástica no ponto Q forma com a 
horizontal (Fig. 62). Lembrando que este ângulo nas vigas é muito pequeno, 
podemos escrever:
dy/dx = tg θ(x)= θ(x)