EP2_Aulas_4_5_6-2023-2 (1) (1)

Prévia do material em texto

EP2 - Aulas 4, 5 e 6 Cálculo I
EP2 - CÁLCULO I
Nessa segunda semana vocês estudarão as aulas:
Aula 4:
O limite trigonométrico fundamental.
Aula 5:
Limites envolvendo infinito - primeira parte.
Aula 6:
Limites envolvendo infinito - segunda parte.
Na aula 4, vocês aprenderão o limite trigonométrico fundamental e, também, mais al-
gumas propriedades de limites de funções, que ampliarão consideravelmente o seu já
não tão pequeno conjunto de técnicas para levantar indeterminações. Nas aulas 5 e 6,
os conceitos de limites de funções e de limites laterais de funções, que vocês estuda-
ram na aula anterior, serão estendidos aos conceitos de limites de funções e de limites
laterais de funções que envolvem o sı́mbolo∞. Na aula 5 , vocês estudarão funções cu-
jas imagens possuem um comportamento “explosivo”em determinados momentos, ou
seja, funções cujas imagens assumem valores “muito grandes”positivos ou “muito gran-
des”negativos. Na aula 6, vocês aprenderão a analisar o comportamento das funções
quando seus domı́nios assumem valores “muito grandes”positivos ou “muito grandes”negativos.
Assim, nessa segunda semana, as principais metas que vocês deverão alcançar são:
� Entender o significado e a importância do limite trigonométrico fundamental;
� Aplicar o limite trigonométrico fundamental para levantar as indeterminações relaci-
onadas aos limites que envolvem funções trigonométricas;
� Calcular limites que envolvem funções trigonométricas utilizando o limite trigonométrico
fundamental;
� Entender o significado e aprender a calcular limites infinitos:
lim
x→a
f(x) = −∞ e lim
x→a
f(x) = +∞
� Entender o significado e aprender a calcular limites laterais à direita infinitos:
lim
x→a+
f(x) = +∞ e lim
x→a+
f(x) = −∞
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 1 Professor Mário Olivero (UFF)
EP2 - Aulas 4, 5 e 6 Cálculo I
� Entender o significado e aprender a calcular limites laterais à esquerda infinitos:
lim
x→a−
f(x) = +∞ e lim
x→a−
f(x) = −∞
� Entender o significado e aprender a calcular limites no infinito:
lim
x→+∞
f(x) = L e lim
x→−∞
f(x) = M
� Entender o significado e aprender a calcular limites infinitos no infinito:
lim
x→+∞
f(x) = ±∞ e lim
x→−∞
f(x) = ±∞
� Compreender a definição e a importância das assı́ntotas verticais e das assı́ntotas ho-
rizontais do gráfico de uma função;
� Saber encontrar as assı́ntotas verticais e assı́ntotas horizontais do gráfico de uma
função;
� Identificar e representar geometricamente as assı́ntotas verticais e as assı́ntotas hori-
zontais do gráfico de uma função;
� Aprender a determinar limites infinitos e limites no infinito através das assı́ntotas
verticais e das assı́ntotas horizontais do gráfico de uma função.
A partir das Aulas 5 e 6, você deverá saber calcular limites infinitos e limites no infi-
nito e interpretar geometricamente o significado de cada um deles. Para estimular a sua
intuição, tente desenhar, por exemplo, gráficos de funções tais que:
lim
x→4
f(x) = +∞, lim
x→2−
f(x) = +∞, lim
x→+∞
f(x) = −1 e lim
x→+∞
f(x) = +∞.
Esboce gráficos de funções com esses comportamentos no outro extremo (isto é, −∞).
Pense, ainda, se é possı́vel combinar esses diversos comportamentos no mesmo gráfico,
variando todas as possibilidades de comportamentos nos dois extremos. Se não for possı́vel
no mesmo gráfico, então quantos gráficos terı́amos que desenhar? Além disso, você
conhece o gráfico de uma função que não admite limite quando x → +∞ ou quando
x→ −∞?
Antes de passarmos aos exercı́cios, é bom lembrar que, com esses temas (limites infinitos
e limites no infinito), o ciclo de limites está se encerrando. A partir da semana que vem,
vocês deverão estar entrando em um novo tema muito importante: as derivadas. Isso sig-
nifica que, ao longo dessa semana, vocês deverão iniciar um processo de encerramento
dessa etapa de limites, revisando todos os conjuntos de problemas feitos até agora. Isso
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 2 Professor Mário Olivero (UFF)
EP2 - Aulas 4, 5 e 6 Cálculo I
ajudará vocês a terem uma visão mais global, aprendendo a identificar os diferentes tipos
de questões. Muito bem, nos exercı́cios que seguem, vocês poderão constatar que a ferra-
menta mais importante no estudo de limites infinitos é a análise do sinal das funções. Em
particular, o que determinará o sinal do limite infinito (+∞ ou −∞) será o sinal do deno-
minador da função, isto é, se o denominador da função tende a zero por valores positivos
ou negativos. É claro que, em paralelo, temos a análise dos limites laterais, que também
será bastante utilizada.
ATENÇÃO!!!
Para ajudá-los nos estudos dessa semana, postamos os arquivos Limites infinitos,
Limites no infinito e Assı́ntotas em Material complementar no tópico Semana 2 da
nossa página de Cálculo I.
BONS ESTUDOS!!!
1. Sabendo que a, b, c, d ∈ R são constantes não-nulas tais que c + d 6= 0, utilize o limite
trigonométrico fundamental para calcular os seguintes limites de funções:
(a) lim
x→0
tan(ax) + sen(bx)
sen(cx) + tan(dx)
(b) lim
x→0
tan(ax) sen(bx)
sen(cx) tan(dx)
2. Utilizando o limite trigonométrico fundamental, determine os seguintes limites de
funções:
(a) lim
x→0
4 sen(3x)
9x
(b) lim
x→1
(4x− 1) sen(x− 1)
x3 + x2 − 2x
(c) lim
x→−2
x2 sen(x+ 2)
x2 + x− 2
(d) lim
x→−2
3x2 sen (x+ 2)
x3 − x2 − 6x
(e) lim
x→2
sen(x− 2)
4− x2
(f) lim
x→4
(x2 + 2x) sen(x− 4)
x2 − 16
(g) lim
x→−2
x4 sen(x+ 2)
x3 + x2 − 2x
(h) lim
x→1
(x5 + 1) sen(x− 1)
x5 + 5x4 − 6x3
(i) lim
x→4
2x sen(x− 4)
x2 − 3x− 4
(j) lim
x→−1
(6x+ 1) sen(x2 − 1)
x5 − x3
(k) lim
x→−4
sen(x+ 4)
x3 + 3x2 − 4x
(l) lim
x→1
(x+ 4) sen(x2 − 1)
x4 − 2x3 − x2 + 2x
3. Utilizando o limite trigonométrico fundamental, determine os seguintes limites de
funções:
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 3 Professor Mário Olivero (UFF)
EP2 - Aulas 4, 5 e 6 Cálculo I
(a) lim
x→0
1− cos(2x)
x2
(b) lim
x→0
2 tg(x) sen(x)
3x2
(c) lim
x→−4
1− cos(x+ 4)
x2 + 8x+ 16
(d) lim
x→5
cos(x− 5)− 1
x2 − 10x+ 25
(e)lim
x→0
1− cos( 3
√
x)
3
√
x2
(f) lim
x→0+
x
cos(
√
x)− 1
(g) lim
x→0
x sen(2x)
cos(x)− 1
(h) lim
x→0
1− cos(4x)
2x2
(i) lim
x→0
cos(2 5
√
x)− 1
4
5
√
x2
(j) lim
x→0
x sen(3x)
1− cos(3x)
(k) lim
x→0
2− 2 cos(x2)
x4 − 3x3 − 4x2
(l) lim
x→−1
1− cos(x+ 1)
x2 + 2x+ 1
4. Considerando o gráfico da função f dado a seguir, determine lim
x→−3+
f(x) e lim
x→−3−
f(x).
O que você pode concluir do lim
x→−3
f(x)?
5. Calcule, se existirem, os seguintes limites de funções:
(a) lim
x→0+
−3
x5
(b) lim
x→0
11
x4
(c) lim
x→0−
−4
x17
(d) lim
x→0+
5
x6
(e) lim
x→0−
−7
x18
(f) lim
x→0+
13
x9
(g) lim
x→0−
4− 9
x3
(h) lim
x→0
6
x2
− 15 (i) lim
x→0−
−1 + 2
x
(j) lim
x→0+
17− 18
x11
(k) lim
x→0−
21
x7
− 1
2
(l) lim
x→0+
19
8
+
27
x10
6. Calcule os seguintes limites infinitos de funções:
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 4 Professor Mário Olivero (UFF)
EP2 - Aulas 4, 5 e 6 Cálculo I
(a) lim
x→−2+
3x2 − 1
x+ 2
(b) lim
x→2−
x3 + x+ 1
x2 − 3x+ 2
(c) lim
x→−1+
x− 4
2 + x− x2
(d) lim
x→1−
2x2 + 1
x− 1
(e) lim
x→−3−
2x− 1
x+ 3
(f) lim
x→1+
1
x2 + 2x− 3
(g) lim
x→2+
x2 − 3x+ 4
x3 + x2 − 6x
(h) lim
x→2−
1− x3
x4 − 16
(i) lim
x→−6−
2x
(x2 + 5x− 6)4
(j) lim
x→4+
x2 − 1
(4− x)3
(k) lim
x→3−
1− x√
9− x2
(l) lim
x→−4−
−6
5
√
x3 + x2 − 12x
7. Seja f : R → R a função cujo gráfico está esboçado na figura que segue. Determine
lim
x→+∞
f(x) e lim
x→−∞
f(x).
8. Seja f : R→ R a função cujo gráfico está esboçado na figura abaixo.
Determine lim
x→+∞
f(x) e lim
x→−∞
f(x).
9. Calcule os seguintes limites de funções:
(a) lim
x→+∞
−2
x5
(b) lim
x→−∞
5
x4
(c) lim
x→−∞
−4
x7
(d) lim
x→−∞
8
x3
+ 1 (e) lim
x→+∞
3− 7
x11
(f) lim
x→+∞
15
x8
− 9
10. Calcule os seguintes limites de funções:
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 5 Professor Mário Olivero (UFF)
EP2 - Aulas4, 5 e 6 Cálculo I
(a) lim
x→+∞
4x5 − x3 − 2x+ 1 (b) lim
x→−∞
2x3 − 5x2 + x−
√
3
(c) lim
x→−∞
x4 + 3x2 − 4
√
7x+ 9 (d) lim
x→+∞
−x7 − 8x3 + x2 − x+ 6
(e) lim
x→+∞
√
6x8 − x5 + x4 − 7x3 (f) lim
x→−∞
−4x9 + x7 − 10x5 −
√
2x3 + x2
(g) lim
x→−∞
x+ x3 −
√
2x4 (h) lim
x→−∞
x2 − 5x3 + 3
√
2x4 − x6
(i) lim
x→+∞
4− 5
√
3x2 + x3 − 2x4 (j) lim
x→−∞
√
5x− x2 + 4x3 − 3x5
11. Calcule, se existirem, os seguintes limites de funções:
(a) lim
x→+∞
2−
√
5 + x (b) lim
x→−∞
4
√
1−
√
3x
(c) lim
x→+∞
3
√
4− x (d) lim
x→−∞
1 +
√
x2 + 3
√
2
(e) lim
x→+∞
4 +
3
√
2
√
5− x2 (f) lim
x→−∞
6
√
x+ 4
3
√
2
(g) lim
x→+∞
√
x2 − 5
√
3x+ 1 (h) lim
x→−∞
−1−
√
6 + x2
(i) lim
x→+∞
5 +
8
√
3
√
4 + x− 2x2 (j) lim
x→−∞
√
4x2 − 3
√
3x
(k) lim
x→+∞
3
√
3x4 − 2
√
2x2 + 1 (l) lim
x→−∞
5
√
9−
√
5x2 + 2x3
(m) lim
x→+∞
√
5
3
√
7− 4x6 (n) lim
x→−∞
4
√
x2 +
3
√
5x3 − 2
√
3x5
12. Calcule os seguintes limites de funções:
(a) lim
x→+∞
3x2 − x+
√
5
2 + x2
(b) lim
x→−∞
6x7 − x5 + 4
√
3x2 − x
x7 − 3
√
2x4 + x2 − 1
(c) lim
x→+∞
x2 − 3x+ 1
4x3 + 5x− 6
(d) lim
x→−∞
3x5 −
√
2x+ 1
4x2 + 5
(e) lim
x→−∞
5x4 − 4x+ 6
2x2 − 1
(f) lim
x→−∞
x3 − x2 −
√
5x+ 1√
2x4 + x3 − x2
(g) lim
x→+∞
7x6 +
√
3x4 − x3 + 5
x4 + 6
√
3x2 − x
(h) lim
x→−∞
√
1 + 4x2
x− 2
(i) lim
x→−∞
√
4x2 −
√
3x+ 1
x2 + x+ 2
(j) lim
x→+∞
3
√
2 + x2 −
√
7x4
x3 + 1
(k) lim
x→+∞
4
√
2x5 − 1
x3 + x2 − 3x− 2
(l) lim
x→−∞
5
√√
9x2 − x+ 1
x4 − 2x− 5
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 6 Professor Mário Olivero (UFF)
EP2 - Aulas 4, 5 e 6 Cálculo I
13. Considere o gráfico da função f dado abaixo:
Analisando o gráfico de f , determine, se existirem:
(a) lim
x→−1+
f(x) e lim
x→−1−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→−1
f(x)?
(b) lim
x→1+
f(x) e lim
x→1−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→1
f(x)?
(c) lim
x→+∞
f(x) e lim
x→−∞
f(x).
(d) as assı́ntotas horizontais e as assı́ntotas verticais do gráfico de f .
14. Considerando o gráfico que segue da função f , determine, se existirem:
(a) o domı́nio e a imagem de f ;
(b) os intervalos onde f(x) > 0 e f(x) < 0;
(c) as raı́zes de f ;
(d) os intervalos onde f é crescente, decrescente e constante;
(e) lim
x→−2+
f(x) e lim
x→−2−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→−2
f(x)?
(f) lim
x→0+
f(x) e lim
x→0−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→0
f(x)?
(g) lim
x→2+
f(x) e lim
x→2−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→2
f(x)?
(h) lim
x→+∞
f(x) e lim
x→−∞
f(x);
(i) as assı́ntotas horizontais e as assı́ntotas verticais do gráfico de f .
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 7 Professor Mário Olivero (UFF)
EP2 - Aulas 4, 5 e 6 Cálculo I
15. Analisando o gráfico de f dado na sequência, determine, se existirem:
(a) o domı́nio e a imagem de f ;
(b) os intervalos onde f(x) > 0 e f(x) < 0;
(c) as raı́zes de f ;
(d) os intervalos onde f é crescente, decrescente e constante;
(e) lim
x→−2+
f(x) e lim
x→−2−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→−2
f(x)?
(f) lim
x→0+
f(x) e lim
x→0−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→0
f(x)?
(g) lim
x→2+
f(x) e lim
x→2−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→2
f(x)?
(h) lim
x→6+
f(x) e lim
x→6−
f(x). O que você pode concluir do lim
x→6
f(x)?
(i) lim
x→+∞
f(x) e lim
x→−∞
f(x);
(j) as assı́ntotas horizontais e as assı́ntotas verticais do gráfico de f .
16. Considere o gráfico da função f dado abaixo:
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 8 Professor Mário Olivero (UFF)
EP2 - Aulas 4, 5 e 6 Cálculo I
Determine, se existirem:
(a) o domı́nio e a imagem de f ;
(b) os intervalos onde f(x) > 0 e f(x) < 0;
(c) as raı́zes de f ;
(d) os intervalos onde f é crescente, decrescente e constante;
(e) lim
x→−1+
f(x), lim
x→−1−
f(x) e lim
x→−1
f(x);
(f) lim
x→0+
f(x), lim
x→0−
f(x) e lim
x→0
f(x);
(g) lim
x→1+
f(x), lim
x→1−
f(x) e lim
x→1
f(x);
(h) lim
x→+∞
f(x) e lim
x→−∞
f(x);
(i) as assı́ntotas horizontais e as assı́ntotas verticais do gráfico de f .
17. Determine as assı́ntotas verticais e as assı́ntotas horizontais, caso existam, do gráfico
da função f , fazendo um estudo completo dos limites infinitos e no infinito, quando:
(a) f(x) =
3x2 − 4
x
(b) f(x) =
√
x2 + 4
x− 2
(c) f(x) =
−5− 2x
x2 + 5x+ 6
(d) f(x) =
2x2 − 3x+ 1
x2 − 16
(e) f(x) =
√
1 + 4x2
x− 2
(f) f(x) =
√
3x2 + 1
2− x
(g) f(x) =
√
5x2 + 2
x+ 1
(h) f(x) =
√
x2 + 1
2− x
(i) f(x) =
1
x2 + 2x− 3
(j) f(x) =
x+ 4√
x2 + 3x− 10
(k) f(x) =
3x− 1
2 + x
(l) f(x) =
x− 4
x+ 1
18. Determine as assı́ntotas verticais e as assı́ntotas horizontais, caso existam, do gráfico
da função f , fazendo um estudo completo dos limites infinitos e no infinito, e faça um
esboço do mesmo quando:
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 9 Professor Mário Olivero (UFF)
EP2 - Aulas 4, 5 e 6 Cálculo I
(a) f(x) =
4
x− 5
(b) f(x) =
2x− 1
x+ 3
(c) f(x) =
2x2 − 3x+ 1
x2 − 16
(d) f(x) =
2x√
x2 − 16
(e) f(x) =
3x√
x2 − 4
(f) f(x) =
x+ 2
1− x
19. Considerando os gráficos das funções abaixo, determine, caso existam, as assı́ntotas
horizontais e as assı́ntotas verticais dos mesmos:
(a) (b) (c)
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 10 Professor Mário Olivero (UFF)
EP2 - Aulas 4, 5 e 6 Cálculo I
(d) (e)
20. Considere a função f(x) =
x+ 1√
x2 + 3x− 4
.
(a) Determine o domı́nio de f ;
(b) Encontre as assı́ntotas horizontais e as assı́ntotas verticais, caso existam, do gráfico de
f , fazendo um estudo completo dos limites infinitos e no infinito;
(c) Trace um esboço do gráfico de f .
21. Considere a função f(x) =
x2 + x− 1√
x4 − 3x3 − 4x2
.
(a) Determine o domı́nio de f ;
(b) Encontre, caso existam, as assı́ntotas horizontais e as assı́ntotas verticais do gráfico de
f , fazendo um estudo completo dos limites infinitos e no infinito;
(c) Trace um esboço do gráfico de f .
22. Considere a função f(x) =
g(x)
h(x)
, onde g(x) = 3x e h(x) = 2− x− x2.
(a) Determine o domı́nio de f ;
(b) Trace um esboço do gráfico da função h e estude o sinal da mesma;
(c) Encontre as assı́ntotas horizontais e as assı́ntotas verticais, caso existam, do gráfico de
f , fazendo um estudo completo dos limites infinitos e no infinito;
(d) Trace um esboço do gráfico de f , identificando suas assı́ntotas.
23. Considere a função f(x) =
4x√
x2 − 9
.
(a) Determine o domı́nio de f ;
(b) Encontre as assı́ntotas horizontais e as assı́ntotas verticais, caso existam, do gráfico de
f , fazendo um estudo completo dos limites infinitos e no infinito;
(c) Trace um esboço do gráfico de f , identificando suas assı́ntotas.
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 11 Professor Mário Olivero (UFF)
EP2 - Aulas 4, 5 e 6 Cálculo I
Desejamos que estes exercı́cios sirvam de estı́mulo para uma ativa e
produtiva seção de trabalho. Procurem os mediadores pedagógicos
mesmo que tudo esteja correndo bem com os seus estudos indivi-
duais. Lembrem-se: divulgar informações, trocar ideias e comparti-
lhar conhecimento é fundamental para o progresso de todos. E não
esqueçam: nós queremos o seu sucesso! Estamos aqui na torcida!
Cristiane e Mário
Coordenadores de Cálculo I
BONS ESTUDOS A TODOS!!!
Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 12 Professor Mário Olivero (UFF)