De São Paulo ao Rio de Janeiro com uma corda ideal

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de Janeiro com umade Janeiro com umade Janeiro com umade Janeiro com umade Janeiro com uma
corda “IDEALcorda “IDEALcorda “IDEALcorda “IDEALcorda “IDEAL”””””
Geraldo Garcia Duarte Júnior
Tome uma corda esticada, unindo um ponto A de
São Paulo a m ponto B do Rio de Janeiro. Supo-
nha que a distância entre estes pontos A e B seja
de exatamente 400 km. Tome outra corda com
um metro a mais que a anterior, ou seja, com
400.001 metros, e fixe também suas extremida-
des nos pontos A e B. Ela ficará bamba. Levante
esta corda pelo seu ponto médio formando um
triângulo, conforme a Figura 1
Figura 1
Pergunta-se:
i) A altura h deste triângulo formado será maior
ou menor que um metro?
ii) O que ocorreria com a altura, se o triângulo
formado fosse como o da Figura 2?
Figura 2
Por mais absurdo que possa parecer, caberia
dentro do triângulo, no caso i), um prédio de for-
ma retangular com 126 andares de altura e 50
quarteirões de comprimento!
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Ao fazermos as contas, vemos que a altura h será aproximadamente 447
metros no caso i) e 0,99999 metros no caso ii), que são valores bem diferen-
tes do imaginado.
Vejamos as soluções:
i) Pelo teorema de Pitágoras temos:
 . Logo,
Sendo a = 400.000 m, temos m.
ii) Neste caso temos as relações
De (1) temos c = a – b + 1 que, aplicado com (2), dá
b2 + a2 = b2 + a2 + 1 + 2a – 2ab – 2b,
ou seja, 2ab + 2b = 2a + 1. Logo,
 Sendo a = 400.000 m, temos m.
Fazendo os gráficos de h e b como funções de a, temos
Para nossa surpresa,
h → ∞ quando a → ∞,
b → 1 quando a → ∞.
Perplexos com a solução, fi-
camos a imaginar por que falha
a nossa intuição.