0503201501310_ListaAdicional-Mod 1-MAT

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Módulo 1
Atividades Adicionais Matemática
1. A negação da sentença: existem números irracionais e 
todos os naturais são racionais é:
a) Não existem números irracionais e nem todos os 
naturais são racionais.
b) Todos os números não são irracionais, mas todos 
os naturais são não irracionais.
c) Nem existem números irracionais e nem todos os 
naturais são racionais.
d) Todos os números não são irracionais ou existem 
naturais que não são racionais.
e) Existem números não irracionais ou todos os natu-
rais não são racionais.
2. (IBMEC) Sabe-se que entre os agentes Mileum, Mile-
dois e Miletrês do Serviço Secreto Vitruviano há um 
espião (e apenas um). Esses três agentes trabalham 
em equipe da seguinte maneira:
•	 Cada um deles recebe duas mensagens, que sem-
pre são sentenças (ou seja, declarações que so-
mente podem ser verdadeiras ou falsas); 
•	 Cada mensagem vem endereçada a um dos ou-
tros dois membros da equipe;
•	 Assim, cada uma das duas mensagens deve ser 
fielmente transmitida pelo agente que a recebeu 
para os outros dois membros da equipe, cada uma 
para seu destinatário.
Ainda não se sabe qual dos três é o espião, mas já foi 
descoberto que o espião transmite sempre as nega-
ções das mensagens que ele recebe, no lugar das 
sentenças originais. Dessa forma, para desmascará-
-lo foram enviadas seis mensagens verdadeiras para 
os agentes, duas para cada um, que deveriam circu-
lar conforme o esquema anteriormente apresenta-
do. A transmissão das informações entre os agentes 
foi registrada a seguir:
Mileum " Miledois: Eu não sou o espião e Miletrês 
também não é.
Mileum " Miletrês: Você não é o espião.
Miledois " Mileum: Se Miletrês não é o espião, então 
o espião é você.
Miledois " Miletrês: Mileum é o espião.
Miletrês " Mileum: Miledois é o espião.
Miletrês " Miledois: Se eu não sou o espião, então o 
Mileum também não é.
Determine quem é o espião, justificando seu ra-
ciocinio.
3. (IBMEC) Duas personalidades inseparáveis, Gollum e 
Sméagol, dialogam de uma maneira bem peculiar:
•	 Gollum sempre inicia com uma declaração que 
necessariamente é verdadeira ou falsa;
•	 Para cada declaração verdadeira proferida por 
Gollum, Sméagol faz em seguida uma declaração 
falsa e, para cada declaração falsa proferida por 
Gollum, Sméagol faz em seguida uma declaração 
verdadeira;
•	 Independente do que foi dito por Sméagol, 
Gollum faz na sequência uma outra declaração 
que é necessariamente verdadeira ou falsa, caso 
queira continuar o diálogo.
Considere que no diálogo a seguir, "nós" sempre se 
refere apenas a Sméagol e Gollum e que o "Mestre" 
não é nenhum dos dois.
1) Gollum: Se nós arrancarmos o dedo do precioso, 
então nós nunca mais morreremos.
2) Sméagol: Se nós nunca morreremos, então o Mes-
tre é imortal.
3) Gollum: O Mestre é mortal, e estamos com o dedo 
certo, com o do precioso.
4) Sméagol: O dedo que arrancamos é o do precioso, 
nos vamos morrer, ou o Mestre é imortal.
Classifique cada uma das sentenças a seguir como 
verdadeira ou falsa, justificando seu raciocínio.
p: Sméagol e Gollum arrancaram o dedo do pre-
cioso.
q: Sméagol e Gollum nunca mais morrerão.
r: O Mestre é imortal.
4. (PUC) Sendo A = {{1}, {2}, {1, 2}}, pode-se afirmar que:
a) {1} z A
b) {1} f A
c) {1} + {2} j A
d) 2 d A
e) {1} , {2} d A
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5. (FAAP) Analisando-se os resultados dos 112 alu-
nos do 1o- semestre de uma faculdade verificou-se 
que 58 ficaram reprovados em matemática, 42 
em informática e 31 foram reprovados em todas 
as disciplinas. Quantos desses alunos ficaram re-
provados nas duas disciplinas: matemática e in-
formática?
a) 15
b) 19
c) 23
d) 25
e) 39
6. (UERJ) Considere um grupo de 50 pessoas que foram 
identificadas em relação a duas categorias: quanto à 
cor dos cabelos, louras ou morenas; quanta à cor dos 
olhos, azuis ou castanhos. De acordo com essa iden-
tificação, sabe-se que 14 pessoas no grupo são louras 
com olhos azuis, que 31 pessoas são morenas e que 
18 têm olhos castanhos.
Calcule, no grupo, o número de pessoas morenas 
com olhos castanhos.
7. (UFMG) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos 
estes dados:
•	 40% dos entrevistados Ieem o jornal A;
•	 55% dos entrevistados Ieem o jornal B;
•	 35% dos entrevistados Ieem o jornal C;
•	 12% dos entrevistados Ieem os jornais A e B;
•	 15% dos entrevistados Ieem os jornais A e C;
•	 19% dos entrevistados Ieem os jornais B e C;
•	 7% dos entrevistados Ieem os três jornais;
•	 135 pessoas entrevistadas não Ieem nenhum dos 
três jornais.
Considerando-se esses dados, é correto afirmar que o 
número total de entrevistados foi:
a) 1 200 b) 1 500 
c) 1 250 d) 1 350
8. (FGV) Para esta questão, considere a seguinte no-
tação:
A' = complemento de A em relação ao universo U. 
Sejam os conjuntos X, Y e Z. Qual das afirmações é 
falsa?
a) Se x f Y f Z então (Z − Y) f (Z − X)
b) (X , Y) − Y = X − Y 
c) X + X' = X.
d) Se X = Y’, então Y = X'.
e) (X , X') + (Y + Y') = 0
9. lndica-se por n (X) o número de elementos de um 
conjunto X. Sejam os conjuntos A e B tais que 
n(A , B) = 12, n(A + B) = 5 e n (B − A) = 3. Nestas con-
dições, n(A × B) é igual a:
a) 21 b) 36 
c) 40 d) 56 
e) 72
10. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e 
B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Sejam M = {(a; b)} d A × B  mdc 
(a; b) = 2} e N = {(a; b) d A × B  b = 2a}. Determine:
a) N k M b) N , M
11. (CESGRANRIO) Dados os conjuntos 
 A = 1, 1
2
 , {x d R  2 < x < 3} 
 e B = {x d R  1≤ x ≤ 2}, o gráfico de A × B é melhor 
representado por:
a) 2
1
1 2 33
2
 b) 2
1
1 2 33
2
c) 2
1
1 2 33
2
 d) 2
1
1 2 33
2
e) 2
1
1 2 33
2
12. (UNIFESP) Há funções y = f(x) que possuem a se-
guinte propriedade: “a valores distintos de x corres-
pondem valores distintos de y".
Tais funções são chamadas injetoras.
Qual, dentre as funções cujos gráficos aparecem a 
seguir, é injetora?
a) 
x1
y b) 
x1
y
c) 
x1
y d) 
x1
y
e) 
x1
y
3
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13. (ESPM) O gráfico a seguir mostra uma reta que re-
presenta a função f(x), cuja inversa é f−1(x). O valor 
de f−1(1) é:
y
x40
2
a) 1 b) 
3
2
 c) 2 d) 
5
2
 e) 3
14. (AFA) Se f e g são funções de R em R definidas por 
f(3x + 2) = 3x − 2
5
 e g(x − 3) = 5x − 2, então f(g(x)) é:
a) 
x − 4
5
 b) 
5x + 9
5
c) 5x + 13 d) 5x + 11
5
e) 
5x + 9
3
15. Para cada número real x ≠ 1, define-se f(x) por 
f(x) = x 
x − 1 
Então, f(f(x)) é sempre igual a:
a) x b) −x c) f(x)
d) f(x)2 e) f(x2)
16. (VUNESP) Considere as funções f(x) = 2x + 3 e 
g(x) = ax + b. Determine o conjunto C dos pontos 
(a; b) d R2 tais que f ο g = g ο f.
17. (FCC) O gráfico de uma função y = f(x) de domínio 
real, periódica, de período 3, no intervalo [2; 5], é:
x8765432
2
1
1
f(x)
No intervalo [−1; 1], o gráfico será:
a) 
2
321–1
1
f(x)
x
 b) 
–1 321
2
1
f(x)
x
c) 
–1 321
2
f(x)
x
1
 d) 
–1 321
2
1
f(x)
x
e) 
–1
2
1
f(x)
x321 x
18. (UNIFESP) Seja a função f: R " R, dada por f(x) = sen x.
Considere as afirmações seguintes:
1) A função f(x) é uma função par, isto é, f(x) = f(−x), 
para todo x real.
2) A função f(x) é periódica de período 2π, isto é, 
f(x + 2π) = f(x), para todo x real.
3) A função f(x) é sobrejetora.
4) f(0) = 0, f (π3 ) = 23 e f (
π
2 ) = 1
São verdadeiras as afirmações: 
a) 1 e 3, apenas. b) 3 e 4, apenas.
c) 2 e 4, apenas. d) 1, 2 e 3, apenas.
e) 1, 2, 3 e 4.
19. (MACK) Considerando-se as afirmações a seguir, as-
sinale a alternativa correta:
I. Toda função bijetora é uma função ímpar.
II. Toda função par é bijetora.
III. A função de R em R, definida por f(x) = ax + b, com 
a, b ≠ 0, não é par, nem ímpar.
IV. A função de [−1; 1] em − π
2
; 
π
2
, definida por f(x) = 
arc sen x, é impar.
a) São verdadeiras as afirmações I e II.
b) São verdadeiras as afirmações I e III.
c) São verdadeiras as afirmações II e IV.
d) São verdadeiras as afirmações III e IV.
e) São verdadeirasas afirmações I e IV.
20. (PUC) A produção diária de um certo produto, reali-
zada por um determinado operário, é avaliada por: 
Produção = 8 ⋅ x + 9 ⋅ x2 − x3 unidades, x horas após 
às 8 horas da manhã, quando começa o seu turno.
a) Qual é a sua produção até o meio-dia?
b) Qual é a sua produção durante a quarta hora de 
trabalho?
21. (UFMA) Dada a função f:[−2; + ∞ ] " [−4; + ∞ ) defi-
nida por f(x) = x2 + 4x: 
a) Esboce o gráfico cartesiano de f.
b) A função f admite a inversa? Em caso afirmativo, 
calcule f−1(x).
4
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22. Das representações gráficas a seguir, a que melhor re-
presenta o esboço do gráfico da função f: R − {2} " R 
definida por f(x) = x 2
x 4x 42
-
- +
 é:
a) 
2
1
–1
y
x
 b) 
2
1
y
x
c) 
2
1
y
x
 d) 
2
1
y
x
e) 
2
–1
y
x
23. (FEI) Se A(x) = x2 − 1 e B(x) = 1 − x2, determine o domínio 
e o conjunto imagem da função f(x) = A (x) + (x)B .
24. (FGV) seja f uma função de N* " R tal que 
f(n + 1) = 
.
2
2 ( ) 1f n + e f(1) = 2. 
Nessas condições, f(101) é igual a:
a) 49
b) 50 
c) 51 
d) 52 
e) 53 
25. Dizemos que (a, f(a)) é um ponto fixo do gráfico de 
uma função real f : R " R se f(a) = a. Se f(x) = x2 + 8x + 6, 
então a distância entre os pontos fixos do gráfico 
de f é:
a) 7 2 
b) 4 2 
c) 8 2 
d) 5 2 
e) 6 2
26. (UFSCar) Seja f: N " Q uma função definida por
f(x) = x + 1, se x é impar
 
2
x ,se x é par
Se n é impar e f(f(f(n))) = 5, a soma dos algarismos de 
n é igual a:
a) 10
b) 9
c) 8
d) 7
e) 6
27. Sejam f e g funções reais tais que f(g(x)) = x2 − 3x + 2 
e g(x) = 2x − 3, para todo x d R. A partir dessas in-
formações, considere as seguintes afirmativas, 
atribuindo V para a(s) verdadeira(s) e f para a(s) 
falsa(s):
( ) As raízes de f são −1 e 1.
( ) O produto de f(3) e g(f(7)) é igual a 60.
( ) O resto da divisão de f(g(x)) por g(x) é igual a − 4
1 .
( ) Para todo x ≤ 3 tem-se que f(g(x)) ≤ 2.
a) F, F, V, F.
b) V, F, V, F.
c) F, V, V, F.
d) V, V, F, V.
e) F, V, F, V.
28. (FAAP) Dados os seguintes intervalos:
A = [3, 6[ = { x d R, tal que 3 ≤ x < 6}
B = ]2, 7] = { x d R, tal que 2 < x ≤ 7}
C = [2, 6[ = { x d R, tal que 2 ≤ x < 6}
em que R é o conjunto dos números reais, o interva-
lo (A , B) + (A , C) é igual a:
a) [2; 6]
b) [2; 6[
c) ]2; 6]
d) ]2; 6[
e) n.r.a.
29. Se x = 1, 666..., o valor numérico da expressão 
x x
x x
1
1
12
+ −
+
 é:
a) 
3
5
 
b) 
4
3
c) 
3
8
 
d) 
8
3
e) 
5
3
30. Se 
p
q
 é a fração irredutível equivalente a 
6,888...
2,444...
 , o 
valor de p + q é:
a) 38 
b) 39 
c) 40 
d) 41 
e) 42
5
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31. (FUVEST) Dados dois números reais a e b que satis-
fazem as desigualdades 1 ≤ a ≤ 2 e 3 ≤ b ≤ 5, pode-se 
afirmar que:
a) 
a
b
 ≤ 
2
5
 
b) 
a
b
 ≥ 
2
3
 
c) 
1
5
 ≤ 
a
b
 ≤ 
2
3
 
d) 
1
5
 ≤ 
a
b
 ≤ 
1
2
 
e) 
3
2
 ≤ 
a
b
 ≤ 5 
32. (FATEC) sejam a e b números irracionais. Das afir-
mações: 
 I. a ⋅ b é um número irracional.
 II. a + b é um número irracional.
III. a − b pode ser um número racional.
pode-se concluir que: 
a) as três são faIsas.
b) as três são verdadeiras.
c) somente I e II são verdadeiras.
d) somente I é verdadeira.
e) somente I e II são falsas.
33. (FUVEST) Na figura estão representados geometri-
camente os números reais 0, x, y e 1.
0 x y 1
Qual a posição do número xy?
a) À esquerda de 0. 
b) Entre 0 e x. 
c) Entre x e y.
d) Entre y e 1. 
e) À direita de 1.
34. Sendo A = 10 6 833 2- + e B = 7 7 9+ − , 
calcule o valor de A B2 2+ .
35. (MACK) Em uma promoção de final de semana, uma 
montadora de veículos colocou à venda n unida-
des, ao preço único de R$ 20.000, 00.
No sábado, foram vendidos 
2
9
 dos veículos, no do-
mingo, 
1
7
 do que restou, e sobraram 300 veículos. 
Nesse final de semana, se os n veículos tivessem 
sido vendidos, a receita da montadora, em miihões 
de reais, seria de:
a) 7, 6 
b) 8, 4 
c) 7 
d) 9, 5 
e) 9
36. Um automóvel flex, que funciona com álcool e ga-
solina misturados em qualquer proporção, está 
com meio tanque de combustível, com uma mistu-
ra de álcool e gasolina na proporção de 3 : 7. O mo-
torista, então, completa o tanque colocando o res-
tante com uma mistura de álcool e gasolina na 
proporção de 3 : 5. A proporção final de álcool e 
gasolina no tanque cheio é de:
a) 9 : 35 
b) 27 : 53 
c) 15 : 21 
d) 36 : 35 
e) 27 : 35
37. (MACK) Subtraindo 
8 – 3 7
5
 de 
7 3
12
+
 , obtém-se: 
a) 81 − 4 7 
b) 22 + 21 7 
c) −22 − 21 7
d) 41 7 − 81 
e) n.r.a.
38. (FUVEST) Usando (1, 41)2 < 2 < (1,42)2, prove que:
6,1 < 
5
1 50
0
+
 < 6,3
39. (MACK) I. Se k + 1
k
 = 3, então k
k
13
3+ = 3 2 .
II.( 3 5+ + 3 – 5 )2 = 10
III. Não existe x real tal que 2
– 4 4x x
–x
2 +
 = x − 2
Relativamente às afirmações anteriores, é correto 
afirmar que:
a) todas são verdadeiras.
b) todas são falsas.
c) somente I e II são verdadeiras.
d) somente I e Ill são verdadeiras.
e) somente II e Ill são verdadeiras.
40. (PUC) Simplificando a fração 
a – ac
a ab – ac – bc
2
2 +
, 
obtém-se:
a) ab − ac b) a
a b+
c) a
a c–
 d) 
a b
c
a2 +
e) a − b 
6
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41. (MACK) O valor da expressão 
2 2
2 2 2
2 –1n n
n n4n 2 1
–
–
+
+ +++
 é:
a) 1
b) 2n+1
c) 83
3
d) 3
82
e) n 
42. (FATEC) Se os números reais x e y são tais que 
y = 
x x
x
x
x x
3 3 1
2
3 2
3 2
++
+ +
+
, então y é igual a:
a) 
2
7
b) 
2
x
x
3+
+
c) 3x
x 1
+
+
d) x
x
1+
e) ( )x
x
3 1
2 1
+
+
43. (FGV) A expressão 
a – b
a b–
– –
–4 –4
2 2 equivale a:
a) a−2 − b−2 
b) a−2 + b2 
c) a2 − b−2 
d) a2 − b2 
e) a−2 + b−2
44. A expressão a b
a b
a – b
a b–3 3 3 3
+
+d dn n (a ≠ ±b) é equiva-
lente a:
a) a2 + 2ab + b2 
b) a3 + ab − b3 
c) a4 + b4 
d) a4 + a2b2 + b4 
e) a4 − a2b2 + b4
45. (FGV) Uma empresa, a título de promoção, tira foto-
cópias cobrando R$ 0,10 por folha, até um máximo 
de 100 foIhas; o que exceder a 100 folhas, a empre-
sa cobra R$ 0,08 por folha. 
a) Se um cliente deseja tirar 200 fotocópias, qual o 
preço total?
b) Chamando de y o preço total e x o número de fo-
tocópias tiradas por um cliente, expresse y em 
função de x.
46. (MACK) Em cada uma das salas de aula de uma es-
cola existem 30 carteiras. Distribuídos os alunos da 
escola nas salas, uma delas fica com exatamente 20 
carteiras vazias e, as demais salas, totalmente ocu-
padas. Utiiizando 4 salas a menos, e acrescentando 
10 carteiras em cada uma delas, todas ficam total-
mente ocupadas. O número de alunos da escola é:
a) 370 
b) 380 
c) 400 
d) 410 
e) 440
47. (FUVEST) Os estudantes de uma classe organizaram 
sua festa de final de ano, devendo cada um contri-
buir com RS 135,00 para as despesas. Como 7 alu-
nos deixaram a escola antes da arrecadação e as 
despesas permaneceram as mesmas, cada um dos 
estudantes restantes teria de pagar RS 27, 00 a mais. 
No entanto, o diretor, para ajudar, colaborou com 
R$ 630,00. Quanto pagou cada aluno participante 
da festa?
a) R$ 136,00 
b) R$ 138,00 
c) RS 140,00 
d) R$ 142,00 
e) R$ 144,00
48. (FATEC) Sobre as raízes reais da equação x + – 12
32
x = 0, 
é verdade que:
a) uma delas é o dobro da outra.
b) têm sinais contrários.
c) são maiores que 10.
d) não são inteiras.
e) são inexistentes.
49. (FAAP) Determine o valor de p para que as raízes da 
equação x2 − (p + 1)x + 
p p4
4
2 +
 = 0 sejam reais e 
iguais.
50. (VUNESP) Um vaIor de m para o quaI uma das raízes 
da equação x2 − 3mx + 5m = 0 é o dobro da outra é:
a) − 2
5 
b) 2 
c) −2
d) −5 
e) 2
5 
51. Determine os valores de m para que a equação 
(m + 1)x2 − 2mx + (m − 1) = 0 tenha uma raiz positiva 
e outra negativa.
52. (UFMS) Considere os poIinômios p(x) = x2 − mx + 4 e 
q(x) = x2 − 4x + n, onde m, n d R. Sabendo que p(x) 
7
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tem uma única raiz real e que uma das raízes de q(x) 
é zero, considere as seguintes afirmações:
 I. m + n = 4, se m > 0.
 II. m − n = −4.
III. {0; 4} é o conjunto solução da equação q(x) = 0.
IV. A soma das raízes de p(x) é 4 ou −4.
V. Se p(1) = 9, então m = 4.
Somente estão corretas as afirmações:
a) I e II.
b) III, IV e V. 
c) III e IV.
d) II, IV e V. 
e) I,III e IV.
53. Resolva as equações seguintes (U = R):
a) x4 − x2 − 12 = 0
b) x6 − 28x3 + 27 = 0
54. . Determine as raízes da equação:
– 4
7
1x x
2
2 +d n − 1,25 – 4
7
1x x2 +d n + 0, 25 = 0
55. (FUVEST) Sejam x1 e x2 as raízes da equação 10x
2 + 
33x − 7 = 0. O número inteiro mais próximo do nú-
mero 5x1x2 + 2(x1 + x2) é:
a) −33 
b) −10 
c) −7 
d) 10 
e) 33
56. (PUC-C) No conjunto R, o conjunto verdade de 
−x2 + 2x + 15 < 0 é:
a) V = {3, 5} 
b) V = {x d R  −3 < x < 5}
c) V = {x d R  x ≠ −3 e x ≠ 5} 
d) V = {x d R  x < −3 ou x > 5}
e) n.d.a
57. (FAAP) Resolver a inequação (x2 − 5x + 6)(−x2 + 5x − 4) > 0.
58. (FUVEST) Resolver a inequação 
– 3
1
x x
– –x x
2
2
 ≥ 0.
59. (FGV) Seja R o conjunto dos números reais. O con-
junto solução da inequação –
– 3
x
x
2 ≤ x − 1 é:
a) {x d R 1 ≤ x < 2} 
b) {x d R x > 2}
c) {x d R x ≤ 1} 
d) {x d R x ≥ 2}
e) {x d R x < 0}
60. (FATEC) Se 
–x3 27
4
2 − 93x
x
+ ≤ 0, então:
a) x d ] −∞ ; −1] , [4; +∞ [
b) x d ] −∞ ; −3] , [−1; 3[ , [4; +∞ [
c) x d ]−∞ ; −4] , [−3; 1] , ]3; +∞ [
d) x d ]; −3; −1] , ]3; 4]
e) n.r.a
61. Resolva o sistema: 
 –x
x
3
1–2
 ≥ 0
x
x x4 3–2 +
 ≤ 0
62. (FUVEST) Três cidades A, B e C situam-se ao Iongo de 
uma estrada reta; B situa-se entre A e C, e a distância 
de B a C é igual a dois terços da distância de A a B. 
Um encontro foi marcado por 3 moradores, um de 
cada cidade, em um ponto P da estrada, Iocalizado 
entre as cidades B e C e à distância de 210 km de A. 
Sabendo-se que P está 20 km mais próximo de C do 
que de B, determinar a distância que o morador de 
B deverá percorrer até o ponto de encontro.
63. (FUVEST) No segmento AC, toma-se um ponto B de 
forma que AC
AB
 = 2 A
BC
B ⋅ Então, o valor de A
BC
B é;
a) 2
1
b) 
3
2
1–
c) 5 1–
d) 2
1–5
e) 3
1–5
64. O ângulo agudo formado pelos ponteiros de um re-
lógio às 8 horas e 56 minutos é:
a) 60° b) 64° 
c) 68° d) 72° 
e) 82°
65. (FUVEST) No retângulo a seguir, o valor, em graus, 
de a + b é: 
40°
a) 50 b) 90 
c) 120 d) 130 
e) 220
8
133133
66. (INSPER) Na figura a seguir:
•	os segmentos AF e BF são congruentes;
•	a soma das medidas dos ângulos ∠BĈ E, ∠AD̂ E e 
∠CÊD totaliza 130°.
A
C
F
E B 
D
Nessas condições, o ângulo ∠DÂB mede:
a) 25° 
b) 30° 
c) 35° 
d) 40° 
e) 45°
67. (UFT) Na figura a seguir, os comprimentos dos Iados 
AB e BC do triângulo ABC são iguais.
 
165°
145°
125°
A
B
C
O valor do ângulo a na figura é:
a) 18° 
b) 20° 
c) 25° 
d) 22° 
e) 17°
68. Na figura a seguir, o triângulo ADE é equilátero e 
AD = BD.
B
D
C
E
A
Além disso, o triângulo ABC é isósceles de base BC. A 
medida do ângulo a é:
a) 25° 
b) 30° 
c) 35° 
d) 40°
e) 45°
69. (PUC-C) O triângulo ABC é isósceles (AC = BC). AO, 
BO, CO são bissetrizes respectivamente dos ângulos 
Â, B̂ e Ĉ . Sendo AÔB = 130°, então:
C 
A B
O
a) AĈO + B̂ = 90°
b) Â = 65°, B̂ = 65º, Ĉ = 50°,
c) AÔC = 135°
d) OĈB = 60°
e) n.r.a. 
70. (FUVEST) Na figura a seguir, o Iado de cada quadra-
do da malha quadriculada mede 1 unidade de com-
primento. Calcule a razão CB
DE
.
B
D
A
E
F
C
71. (VUNESP) Um obelisco de 12 m de altura projeta, 
num certo momento, uma sombra de 4, 8 m de ex-
tensão. Calcule a distância máxima que uma pessoa 
de 1, 80 m de altura poderá se afastar do centro da 
base do obelisco, ao Iongo da sombra, para, em pé, 
continuar totalmente na sombra.
72. (FUVEST) Na figura, os ângulos assinalados são re-
tos. Temos necessariamente:
m
px
y
a) y
x
 = m
p
 b) y
x
 = p
m
c) xy = pm d) x2 + y2 = p2 + m2
e) 
1
x + y
1
 = m
1
 + p
1
9
133133
73. (FUVEST) No triângulo acutângulo ABC, a base AB 
mede 4 cm e a altura relativa a essa base também 
mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e 
N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q, 
ao lado AC. O perimetro desse retângulo, em cm, é:
C
A B
PQ
NM
a) 4 
b) 8
c) 12 
d) 14 
e) 16
74. (FUVEST) No retângulo ABCD da figura tem-se CD = l 
e AD = 2l. Além disso, o ponto E pertence à diago-
nal BD, o ponto F pertence ao lado BC e EF é perpen-
dicular a BD.
A
B
B
F C
D2

Sabendo que a área do retângulo ABCD é cinco ve-
zes a área do triângulo BEF, então BF mede:
a) 

8
2
b) 
 2
4
c) 
 2
2
d) 
 2
4
3
e)  2
75. Na figura a seguir, BÂC ≅ BĈ D e BD = CD.
A C
D
B
Sabendo-se que AD
BD
 =  12 , podemos concluir que BD
BC é igual a:
a) 3 b) 
1
2
c) 2 d) 
1
3
e) n.r.a.
76. O mapa de uma região utiliza a escala de 1: 200 000. 
A porção desse mapa, contendo uma Área de Pre-
servação Permanente (APP), está representada na 
figura, na qual AF e DF são segmentos de reta, o 
ponto G está no segmento AF, o ponto E está no 
segmento DF, ABEG é um retângulo e BCDE é um 
trapézio. Se AF = 15, AG = 12, AB = 6, CD = 3 e 
DF = 5 5 indicam valores em centímetros no 
mapa real, então a área da APP é:
B
A F G
E
C D
Obs.: figura ilustrativa sem escala
a) 100 km2
b) 108 km2
c) 210 km2
d) 240 km2
e) 444 km2
77. (FUVEST) Considere em um triângulo acutângulo 
ABC as alturas AD e BE.
a) Demonstre que os triângulos ADC e BEC são se-
melhantes e escreva a relação de proporcionali-
dade entre os lados desses triângulos.
b) Demonstre, a seguir, que os triângulos ABC e DEC 
são semelhantes.
78. (MACK) Na figura ao Iado, pelo ponto O, foram tra-
çadas retas paralelas aos lados do triângulo ABC, 
obtendo-se os triângulos assinalados com áreas 1, 4 
e 9. Então a área do triângulo ABC é:
A
A
O
B
a) 25 b) 36 
c) 49 d) 64 
e) 81
10
133133
79. (VUNESP) Uma certa propriedade rural tem o for-
mato de um trapézio como na figura. As bases WZ e 
XY do trapézio medem 9,4 km e 5,7 km, respectiva-
mente, e o Iado YZ margeia um rio. 
W Z
Y
rio
(�gura fora de escala)
X
b
2b
9,4 km
5,7 km
(figura fora de escala)
Se o ângulo XŶ Z é o dobro do ângulo XŴ Z, a medi-
da, em km, do lado YZ que fica à margem do rio é:
3) 7,5 
b) 5,7 
c) 4,7 
d) 4,3 
e) 3,7
80. Define-se geometricamente a razão áurea do se-
guinte modo: O ponto C da figura abaixo divide 
o segmento AB na razão áurea quando os valo-
res AC/AB e CB/AC são lguais. Esse valor comum 
é chamado "razão áurea"
A C B
"A razão áurea, também denominada propor-
ção áurea, número de ouro ou divina propor-
ção, conquistou a imaginação popular e é tema 
de vários livros e artigos. Em geral, suas proprie-
dades matemáticas estão corretamente enun-
ciadas, mas muitas afirmações feitas sobre ela 
na arte, na arquitetura, na literatura e na estéti-
ca são falsas ou equivocadas. lnfelizmente, es-
sas afirmações sobre a razão áurea foram am-
plamente divulgadas e adquiriram status de 
senso comum. Mesmo livros de geometria utili-
zados no ensino médio trazem conceitos incor-
retos sobre ela."
Trecho traduzido e adaptado do artigo de G. Markowsky. 
Misconceptions about the golden ratio. The College 
Mathematics Journal, 23, 1º January, 1992, p. 2-19.
Na figura a seguir, o polígono ADEFG é um pentágo-
no regular.
Utilize semelhança de triângulos para demonstrar 
que o ponto C da figura divide o segmento AB na 
razão áurea.
A
G
F
E
D
81. (FUVEST) No quadrilátero ABCD, temos AD = BC = 2 
e o prolongamento desses lados forma um ângulo 
de 60°.
A B
C
D
a) lndicando por Â, B̂ , Ĉ e D̂ , respectivamente, as 
medidas dos ângulos internos do quadrilátero de 
vértices A, B, C e D, calcuie  + B̂ e Ĉ + D̂ .
b) Sejam J o ponto médio de DC, M o ponto médio 
de AC e N o ponto médio de BD. Calcule JM e JN.
c) Calcule a medida do ângulo MĴN.
82. (EN) Considere o triângulo ABC de área S, baricentro 
G e medianas CM e BN. A área do quadrilátero AMGN 
é igual a:
a) 
S
2 
b) 3
2S
c) 
S
3 
d) 
S
4
e) 
S
4
3
83. (FGV) As medianas BD e CE do triângulo ABC indica 
do na figura são perpendiculares, BD = 8 e CE = 12. 
Assim, a área do triângulo ABC é:
A
E
B
CD
a) 96 
b) 64 
c) 48 
d) 32 
e) 24 
11
133133
84. (UNEMAT) Na figura a seguir, o triângulo ABC é um 
triângulo equilátero de 3 cm de Iado, e o triângulo 
retângulo BCD tem lados BD = 4 cm e CD = 5 cm e 
CB̂ D = 90°.
AB
C
D
Qual a medida do segmento AD?
a) 3
b) 34
c) 3100 +
d) 31225 +
e) 32
85. (MACK) A folha de papel retangular da figura I é do-
brada como mostra a figura II. Então o segmento DP 
mede:
A B
C
20
16
D
Figura I
A
BP
CD
Figura II
a) 12 5
b) 10 5
c) 8 5
d) 21 
e) 25
86. (FAAP) No triângulo ABC, retângulo em A, ao lado, 
têm-se AC = 8 cm e BC = 10 cm. Sendo AD ⊥ BC, cal-
cule o comprimento do segmento AD.
A
8
10
B
C
D
87. (FGV) No triângulo retângulo ABC, retângulo em C, 
tem-se que AB = 3 3 . Sendo P um ponto de AB tal 
que PC = 2 e AB perpendicular a PC, a maior medida 
possível de PB é igual a:
a) 
3 3 11
2
+
b) 3 11+
c) 2
3 3 5+_ i
d) 2
3 3 7+_ i
e) 2
3 3 11+_ i
88. (ITA) Seja ABC um triângulo retângulo cujos catetos 
AB e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente. Se D 
é um ponto sobre AB e o triângulo ADC é isósceles, 
a medida do segmento AD, em cm, é igual a :
a) 4
3
 b) 6
15
c) 4
15
 d) 4
25
 
e) 2
25
89. No trapézio ABCD, as diagonais AC e BD são perpen-
diculares, BC = AD = 5 e a base AB mede 7. A medida 
da base CD é:
A B
CD
a) 2
1
 b) 1
c) 2 d) 3 
e) 4
12
133133
93. (FEI) No momento em que a incidência dos raios sola-
res ocorre segundo um ângulo de 30°, a partir da linha 
do horizonte, a sombra projetada no solo (horizontal) 
por um poste tem comprimento x. No momento em 
que a incidência ocorre segundo um ângulo de 60°, o 
comprimento da sombra é y. Se x − y = 2 m, então a 
altura do poste mede:
a) 2 m 
b) 2 3 m
c) 4 m 
d) 3 m 
e) 3 3 m
94. (UNICAMP) Caminhando em Iinha reta ao longo de 
uma praia, um banhista vai de um ponto A a um 
ponto B, cobrindo a distância AB = 1 200 metros. 
Quando em A, ele avista um navio parado em N de 
tal maneira que o ângulo NÂB é de 60°; e, quando 
em B, verifica que o ângulo NB̂ A é de 45°. 
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
b) Calcule a distância em que se encontra o navio 
da praia.
95. (VUNESP) Na figura, os pontos C, D e B são colinea-
res e os triângulos ABD e ABC são retângulos em B.
A
BDC
30° 60°
Se a medida do ângulo ADB é 60° e a medida do 
ângulo ACB é 30°, demonstre que:
a) AD = DC b) CD = 2 ⋅ DB 
96. Na figura a seguir, o triângulo BCD é isósceles de 
base DC, o raio da circunferência circunscrita ao tri-
ângulo ABC é 2 3 e os ângulos têm as medidas as-
sinaladas. Determine:
75°
60°
A
C
DB
O
90. (FUVEST) Para se calcular a altura de uma torre, uti-
lizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figu-
ra: um aparelho (de altura desprezível) foi colocado 
no solo, a uma certa distância da torre, e emitiu um 
raio em direção ao ponto mais alto da torre. O ân-
gulo determinado entre o raio e o solo foi de a =  π3 
radianos. A seguir, o aparelho foi deslocado 4 me-
tros em direção à torre e o ângulo então obtido foi 
de b radianos, com tgb = 3 3
α
É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é:
a) 4 3 
b) 5 3 
c) 6 3 
d) 7 3 
e) 8 3
91. (FATEC) No triângulo ABC, onde CM é a altura sobre 
o Iado AB, temos tg a = 0, 2, tg b = 0, 5 e h = 10. A 
medida do Iado AB é:
A B
M
h
C
α
a) 18 
b) 20 
c) 21 
d) 22 
e) 24 
92. (FUVEST)
M t
A
Q
s
P
30°
Dados: MP ⊥ s; MQ ⊥ t; MQ ⊥ PQ; MP = 6. Então, PQ é 
igual a:
a) 3 3 b) 3
c) 6 3 d) 4 3 
e) 2 3 
13
133133
a) o comprimento de BD. 
b) o comprimento de DC.
97. No triângulo ABC, AB = 8, AC = 6 e m (BÂC) = 60°.
BE e CF são alturas do triângulo, sendo que E está 
sobre AC e F está sobre AB. Quanta mede EF?
a) 11 b) 12 
c) 31 d) 14 
e) 15 
98. Na figura ao Iado, D e E são pontos médios dos seg-
mentos AB e BC, respectivamente, e F é a intersec-
ção de AE e CD. Determine os possiveis valores de 
FD, sabendo que cos(AF̂ C) = −  16
11 , AD = 3 e AE = 6.
B
D
E
F
C
A
99. (MACK) A área do triângulo da figura a seguir é:
7
5
60°
a) 12 3 
b) 18 3 
c) 10 3 
d) 20 3 
e) 15 3 
100. (EEM-FEI) a) No ∆ABC temos BC = a, AC = b, CÂB = 
45° e CB̂ A = 30°. Sendo a + b = 1 + 2 , calcule a.
B
b a
45° 30°
C
A
b) No paralelogramo ABCD, onde AB = 2 m, BC = 1 m 
e BÂD = 60°, calcule a diagonal maior AC.
60°
B
1 m
2 m
D C
A
14
133133
Respostas das Atividades adicionais
Matemática
 1. D
 2. O enunciado não explicita se os agentas que não são o 
espião transmitem aos outros membros da equipe as 
mesmas mensagens que recebem; assim, resolveremos 
esse problema sem essa suposição.
Se Mileum é o espião, ele transmitiu a negação das afir-
mações que recebeu. Assim, podemos concluir a partir 
da segunda sentença que Miletrês é o espião, uma con-
tradição. Logo Mileum não é o espião.
Se Miletrês é o espião, podemos concluir que a última 
sentença é falsa. Como uma sentença do tipo p & q é 
falsa se, e somenta se, p é V e q é F, conclui-se que Mile-
três não é o espião, uma contradição.
Portanto, o espião é Miledois.
 3. De acordo com o enunciado, as sentenças podem ser re-
presentadas da seguinte forma:
1) Gollum: p & q
2) Sméagol: q & r
3) Gollum: ∼r ∧ p 
4) Sméagol: p ∨ ∼q ∨ R 
Fazendo a tabela verdade temos;
p q ∼q r ∼r 1 2 3 4
V V F V F V V F V
V F V V F F V F V
V V F F V V F V V
V F V F V F V V V
F V F V F V V F V
F F V V F V V F V
F V F F V V F F F
F F V F V V V F V
 Como Gollum e Sméagol não fazem afirmações conse-
cutivas, ambas falsas ou verdadeiras, temos que nem as 
colunas 1 e 2, nem as colunas 3 e 4 podem ser ambas 
verdadeiras ou ambas falsas, ou seja, p e r são verdadei-
ras e q é falsa.
 4. E
 5. B
 6. 13 pessoas
 7. B
 8. C
 9. E
10. Temos M = {(2; 4), (2; 6), (2; 8), (2; 10), (4; 6), (4; 10), (6; 4), (6; 
8), (6; 10)} e N = {(2; 4), (3; 6); (4: 8); (5; 10)}.
a) N + M = {(2; 4)}
b) N , M = {(2; 4), (2; 6), (2; 8), (2; 10), (3; 6), (4; 6), (4; 8), (4; 
10), (5: 10), (6; 4), (6; 8), (6; 10)}
11. B
12. E
13. C
14. B
15. A 
16. C = {(a; b) d R2  3a − b − 3 = 0}
17. A
18. C
19. D
20. a) 112 unidades
b) 34 unidades 
21. a) A função f : R " R dada por f(x) = x2 + 4x tem como grá-
fico uma parábola com concavidade para cima, cujas raí-
zes são −4 e 0 e cujo ponto de mínimo é o ponto (−2; −4) 
Como o domínio de f é [−2; +∞ [, seu gráfico é o seguinte:
x
–2
–4
y
b) Como f é injetora e sobrejetora, segue que esta admite 
inversa.
Sendo y = x2 + 4x, trocando x por y, temos:
x = y2 + 4y + y2 + 4y + 4 = x + 4 + (y + 2)2 = x + 4
+ y + 2 = 4x + + y = 4x + − 2 = f−1(x)
22. A
15
133133
23. f(x) = ( )A x + ( )B x = 1x –2 + 1 – x2 devemos ter:
 x2 − 1 ≥ 0 x2 − 1 ≥ 0
 1 − x2 ≥ 0 + x2 − 1 ≤ 0 + x
2 − 1 = 0 + x = 1 ∨ x = −1
D(f) = {1,−1}
Como f(1) = f(−1) = 0, temos lm(f) = {0}.
24. D
25. A
26. A
27. B
28. D
29. C
30. E
31. C
32. E
33. B
34. A = 10 – 6 8333 + = 10 – 6 233 + = 
= 10 – 23 = 2 
e B = 7 7 – 9+ = 7 7 – 3+ = 7 2+ = 3.
Logo A B22 + = 16 9+ = 5.
35. A
36. B
37. C
38. (1,41)2 < 2 < (142)2 +1,41< 2 < 1, 42 + 7, 05 < 5 2 < 7,10
+ 7,05 < 50 < 7,10 + 8,05 < 1 + 50 < 8,10 +
+ 8, 05
1
 > 
1 50
1
+
 > 8, 10
1
 + 8, 05
50
 > 
1 50
50
+
 >
> 8, 10
50
 + 6,22 > 
1 50
50
+
 > 6,17 
+ 6,3 > 6,22 > 
1 50
50
+
 > 6,17 > 6,1 
+ 6,3 > 
1 50
50
+
 > 6,1
39. C
40. B
41. D
42. D
43. E
44. D
45. a) R$ 18,00
b) y = 0,10x, para 0 ≤ x ≤ 100
 y = 0, 08x + 2, para x > 100
46. C
47. E
48. A
49. p =  2
1
 
50. E
51. Para tal, devemos ter:
 P < 0 
 ∆ > 0 
+ 1
– 1
m
m
+ < 0
 (−2m)2 − 4(m − 1)(m + 1) > 0
+
 −1 < m < 1 
+
 −1 < m < 1
 4m2 − 4(m2 − 1) > 0 4 > 0
+ −1 < m < 1
52. E
53. a) V = {−2; 2}
b) V = {1; 3}
54. – 4
7
1x x2
2
+a k − 1,25 – 4
7
1x x2 +a k + 0, 25 = 0 +
 m2 − 4
5
m + 4
1
 = 0 
+ + 
 m = x2 − 4
7
 x + 1
 m = 1 ou m = 4
1
 x2 − 4
7
 x + 1 = 1 4x2 − 7x = 0
+ + ou + ou
 m = x2 − 4
7
 x + 1 x2 − 4
7
x + 1 = 4
1
 4x2 − 7x + 3 = 0
 x = 0 ou x = 4
7
 
+
 x = 1 ou x = 4
3
 
V = 0, 1, 4
3
, 4
7% /
55. B
56. D
57. V = ]1; 2[ , ]3; 4[
58. V = {x : x d R e (x ≤ 2
1 – 5ou x > 3)}
59. B
60. B
61. –
–
x
x
3
12
 ≥ 0 (I)
 
–
x
x x4 32 +
 ≤ 0 (II)
Cálculo de VI: 
Sendo A = x2 − 1 e B = x − 3, temos o seguinte quadro de sinais:
16
133133
A
A/B
B
–1 1 3
Assim, VI = [-1; 1] , ]3; + ∞ [
Cálculo de VII: 
Sendo C = x2 − 4x + 3 e D = x, temos o seguinte quadro de 
sinais:
C
C/D
D
0 1 3
Logo VII = ]-∞ : 0[ , [1; 3].
–1
VI
VII
0 1 3
V = VI ∩ VII
Portanto, o conjunto verdade do sistema é dado por 
V = VI + VII = [-1; 0[ , {1}.
62. Seja x a distância, em km, entre A e B. Assim, a distância 
entre B e C é 3
2
x e a distância entre A e C é x + 3
2
x = 3
x5
, 
conforme mostra a figura a seguir:
210
A B P C
x
5x
3
Como a distância entre P e B é 210 − x e entre P e C é 
3
x5
 − 210, temos: 
3
x5
 − 210 = (210 − x) − 20 + x = 150 km
A distância que o morador de B deve percorrer é igual à 
distância entre P e B, ou seja, 210 − 150 = 60 km.
63. B
64. C
65. D
66. A
67. B
68. D
69. A
70. 3
2
71. 4,08 m
72. B
73. B
74. E
75. E
76. E
77. a) AD̂ C = BÊC (retos) 
&
AA
 ∆ADC ∼ ∆ABEC
 A ̂CD = B ̂CE (medem a) 
∆ADC ∼ ∆BEC & BE
AD
 = BC
AC
 = EC
DC
que é a relação de proporcionalidade desejada.
A
α
B D C
E
b) Da proporção anterior: B
A
C
C
 = C
C
E
D
 + C
C
D
A
= EC
CB
.
Po outro lado, AĈB ≅ DĈE (medem a)
C
C
D
A
= EC
CB
 LAL
& ∆ABC ∼ ∆DEC
AĈB ≅ DĈE
78. B
79. E
80. O ângulo interno do pentágono regular mede 
   
( ) º
5
5 2 180–
 = 108º. Assim, no triângulo ADE, que é isós-
celes, m(DÂE) = m(DÊA) = 
18 º 108º
2
0 −
 = 36º. Analoga-
mente, m (AD̂ G) = m(FD̂ E) = 36º.
No triângulo ABD, m(BÂD) = 36º, m(AD̂ B) = m(AD̂ E) − 
m(FD̂ E) = 108º − 36º = 72º e m(AB̂ D) = 180º − 36º − 72º = 
72º. No triângulo BCD, m(BD̂ C) = m(AD̂ B) − m(AD̂ G) = 72º 
− 36º = 36º.
Assim, os triângulos ABD e DBC têm ângulos de mesma 
medida, sendo semelhantes pelo caso AA. Além disso, 
são isósceles. Sendo m(AD̂ G) = m(DÂE) = 36º, o triângulo 
ACD é também isósceles. Logo AD = AB e BD = CD = AC.
Pela semelhança, DC
AD
= C
B
B
D
 + C
A
A
B
= C
C
B
A
 e, portanto, C 
divide AB na razão áurea.
81. a) m(Â) + m(B̂ ) = 120º; m(Ĉ ) + m(D̂ ) = 240º.
b) JM = JN = 1
c) m(MĴN) = 60º
17
133133
82. C
83. B
84. D
85. B
86. AD = 4,8 cm
87. A
88. D
89. B
90. C
91. D
92. B
93. D
94. a) 
60° 45°
A B1 200 m
N
60° 45°
45°
A C B
N
b) 
60° 45°
A B1 200 m
N
60° 45°
45°
A C B
N
A distância do navio à praia é d = NC, sendo NC ⊥ AB.
Como o ∆BCN, retângulo em C, é isósceles, concluímos 
que BC = NC = d.
Logo AC = 1 200 − d. No triângulo ACN, retângulo em C, 
temos CA
CN
 = tg 60º
+ 1200 – d
d
 = 3 + d = 1 200 3 − d 3 + 
+ d( 3 +1) = 1 200 3 
+ d = 
3
3
1
1200
+
 = 
3 1 3 1
1200 3 3 1
–
–
+_ _
_
i i
i
 = 600(3 − 3 )m.
95. a) Pelo teorema do ângulo externo, m (CÂD)+ m (AĈ D) = 
m (AD̂ B) + m (CÂD) + 30° = 60° + m(CÂD) = 30º.
Logo o triângulo ADC é isósceIes de base AC, isto é, 
AD = DC. 
b) No triângulo ADB temos que AD
DB
 = cos 60º.
Portanto, como AD = CD, D
DB
C = 2
1
 + CD = 2DB.
96. a) Sendo BC = BD = x e R = 2 3 o raio da circunferência 
circunscrita, pela lei dos senos:
ºsen
BC
60 = 2R + 
2
3
x
 = 2 ⋅ 2 3 + x = 6
b) Como o ângulo CB̂ D é externo ao triângulo ABC, m(CB̂ D) 
= 60° + 75° = 135° e, portanto, pela lei dos cossenos:
 CD2 = 62 + 62 − 2 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ cos135° + CD2 = 72 + 36 2 
+ CD = 6 22 + 
97. E
98. Sendo F a mediana do triângulo ABC, F divide o segmento 
AE na razão 2 : 1, ou seja, AF = 4 e FE = 2. 
Sendo θ a medida do ângulo AF̂C, m(AF̂D) = 180° − θ e, 
assim, cos(AF̂D) = cos(180° − θ) = −cos θ = − 16
11−
 = 16
11
⋅ 
Dessa forma, pela lei dos cossenos, no triângulo AFD, 
AD2 = AF2 + FD2 − 2 AF ⋅ FD ⋅ cos(AF̂D) + 
+ 9 = 16 + FD2 − 2 ⋅ 4 ⋅ FD ⋅ 16
11
 + 
+ FD2 − 
11
2  ⋅ FD + 7 = 0 +
+ FD = 2 ou FD =  2
7
 .
99. C
100. a) a = 2 b) AC = 7 m