AOL-4b Cálculo Diferencial

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Pergunta 1
Observe o gráfico a seguir:
O teste da primeira derivada permite determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função, pois, se a derivada de uma 
função em um intervalo é positiva, então a função é crescente neste intervalo e, analogamente, se a derivada da função é negativa, então a 
função é decrescente nesse intervalo.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o teste da primeira derivada, pode-se afirmar, em relação ao comportamento 
da função f (x ) , que:
a função é decrescente no intervalo (4, +∞).
a função é decrescente no intervalo do seu domínio.
Resposta correta
Correta: 
a função é decrescente em 0 < 𝓍 < 4.
a função é crescente em todo o seu domínio.
a inclinação da reta tangente em x = 0 é positiva.
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Pergunta 2
Uma bola é lançada verticalmente para cima, e a sua altura em metros, após segundos, é dada pela função f ( t) = 4+ 48t − 16t 2 .
Deseja-se, então, descobrir quanto tempo decorre desde o lançamento da bola até o momento em que ela atinge sua altura máxima.
Considerando essas informações e os conceitos envolvidos na resolução de problemas de otimização, analise as asserções abaixo e a 
relação proposta entre elas:
I. Para determinar quanto tempo leva para a bola alcançar a altura máxima, é necessário determinar a primeira derivada da função f(t)
Porque:
II. No instante em que a altura é máxima, a derivada da função f(t) é igual a zero.
A seguir, assinale a alternativa correta:
Resposta correta
Correta: 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma 
justificativa correta da I.
 A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
 As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
 A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
 As asserções I e II são proposições falsas.
Pergunta 3
Considerando que o teste da primeira derivada determinou os pontos críticos de uma função f (x ) , foi realizado o teste da segunda para 
determinar se os pontos críticos são pontos onde existe um mínimo ou um máximo relativo.
Considerando uma possível conclusão para o teste da segunda derivada, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:
I. O ponto crítico x = c é um ponto onde há um mínimo relativo da função. 
Porque:
II. A segunda derivada de f(x) em x = c é maior que zero.
A seguir, assinale a alternativa correta:
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
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A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
As asserções I e II são proposições falsas.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
Resposta correta
Correta: 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma 
justificativa correta da I.
Pergunta 4
Quando aplicamos o processo de derivação em uma função e obtemos outra função derivável, é possível repetir esta ação, sucessivas 
vezes, e obter a segunda, a terceira, a quarta derivadas da função de origem, e assim por diante.
Considerando o conceito apresentado e o conteúdo estudado na unidade, analise as afirmativas a seguir acerca das derivadas sucessivas da 
função 
f (x ) = − 8x 4− 5x 3+ 100x:
I. A segunda derivada é uma função polinomial de grau 3.
II. A quarta derivada é igual a f (x) = -192x.
III. A quinta derivada é igual a zero.
IV. A primeira derivada possui três termos diferentes de zero.
Está correto apenas o que se afirma em:
Resposta correta
Correta: 
III e IV.
II e III.
I e II.
I e IV.
II, III e IV.
Pergunta 5
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Pela definição, uma função é crescente em um intervalo se sua derivada nesse intervalo for positiva. Analogamente, a função é decrescente 
em um intervalo se sua derivada nesse intervalo for negativa.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a interpretação geométrica da derivada, analise as asserções abaixo e a 
relação proposta entre elas:
I. A função f (x ) =x 3 é crescente em todo o seu domínio.
Pois:
II. O coeficiente angular da reta tangente à curva é igual a zero.
Agora, assinale a alternativa correta:
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
Resposta correta
Correta: 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição 
falsa.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
As asserções I e II são proposições falsas.
Pergunta 6
Existem pontos ao longo do domínio de uma função, que pode ser dividido em diversos intervalos, nos quais, em cada intervalo, a função 
pode atingir valores máximos ou mínimos.
Considerando as propriedades dos máximos e mínimos estudadas nesta unidade, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Se a função tem um mínimo relativo em um ponto, nesse ponto também há um mínimo absoluto da função.
II. ( ) O ponto onde a derivada da função é igual à 0 é um ponto crítico dessa função.
III. ( ) O gráfico de uma função é um dos principais recursos para a verificação de seus máximos e mínimos.
IV. ( ) Os valores máximo e mínimo absolutos também são chamados de extremos da função.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
F, F, V, V.
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V, F, F, V.
V, V, V, F.
Resposta correta
Correta: 
F, V, F, V.
F, F, F, V.
Pergunta 7
Para descobrir o lucro obtido pela comercialização de um produto, basta encontrar a diferença entre a receita de vendas e o custo de 
produção desse
produto. Em uma fábrica de lâmpadas, a receita e o custo em função da quantidade x de lâmpadas são definidos pelas funções 
R (x ) = 3000x − 600x 2 e C (x ) = 2000x − 200x Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre problemas de otimização, 
pode-se afirmar que o número de lâmpadas que maximiza o lucro da empresa é:
 500 lâmpadas.
 600 lâmpadas.
Resposta correta
Correta: 
 300 lâmpadas.
 150 lâmpadas.
50 lâmpadas.
Pergunta 8
Observe o gráfico a seguir:
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Os pontos de inflexão são os pontos em que a concavidade de uma função muda de sentido, ou seja, a concavidade que está voltada para 
cima é alterada para baixo ou vice-versa.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre concavidade e pontos de inflexão da função, analise as afirmativas a seguir:
I. Os pontos x = −
6
6
e x =
6
6
 são pontos de inflexão da função.
II. No ponto x = -1 , a concavidade da função está voltada para cima.
III. No ponto x = 0 , a concavidade da função está voltada para baixo.
IV. O ponto (0,0) é um ponto de inflexão da função.
Agora, assinale a alternativa que apresenta as afirmativas corretas:
III e IV.
 I, II e IV.
Resposta correta
Correta: 
I, II e III.
 I e II.
 II e IV.
Pergunta 9
Quando nós tossimos, o raio da nossa traqueia diminui, alterando a velocidade do ar que percorre a traqueia. A velocidade do ar pode ser 
então dada em função do raio r
0
 normal da traqueia e do raio, quando ela está contraída r: v ( r) = ar 2( r
0
− r) , com sendo uma constante 
positiva.
Considerando essas informações e as etapas para a resolução de problemas de otimização, analise as afirmativas a seguir:
I. É possível encontrar a velocidade do ar que maximiza o raio r da traqueia.
II. O raio r da traqueia não pode assumir valores negativos.
III. Para encontrar um ponto crítico da função v ( r) , é preciso determinar a derivada v ' ( r) 
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IV. O teste da segunda derivada irá determinar os valores de r , que são pontos de máximo relativo.
Está correto apenas o que se afirma em:
Resposta correta
Correta: 
 II, III e IV.I, III e IV.
 II e III.
 III e IV.
 I e IV.
Pergunta 10
Para analisar o comportamento de uma função, uma etapa importante é determinar os intervalos de crescimento e decrescimento ao 
investigar o sinal da derivada da função.
Considerando a função f (x ) = − x 3+ 3x 2+ 9 , pode-se afirmar que o(s) intervalo(s) em que a função f (x ) é crescente:
são os intervalos (-∞,0) e (2,+∞).
Resposta correta
Correta: 
é o (0,2).
é o (-∞,0).
nenhum; a função é decrescente no intervalo do seu domínio.
é o (2,+∞).