estatistica exercicio 3 - UNIP

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 
(Unicamp 2007 – adaptado) Uma enchedora automática de refrigerantes está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de 1000 cm3 e 
desvio padrão de 10 cm3. Admita que o volume siga uma distribuição normal. Se 10 garrafas são selecionadas ao acaso, qual é a probabilidade de que, no máximo, 4 
tenham volume de líquido superior a 1002 cm3? 
Resposta Selecionada: b. 
58,22% 
Respostas: a. 
42,00% 
 b. 58,22% 
 c. 68,21% 
 d. 49,32% 
 e. 87,21% 
Comentário 
da 
resposta: 
Resposta: B 
Comentário: Para facilitar o entendimento desta questão, vamos resolver em duas partes: 
 
1ª Parte: Vamos calcular a probabilidade de todas as garrafas que tenham volume de líquido superior a 1002 cm³, devemos fazer o 
cálculo da probabilidade pela distribuição normal, o que representa a determinação das áreas envolvidas. 
 
É importante representar o gráfico da curva para visualizar a área procurada. 
 
 
 
 1000 1002 
Fonte: Autoria própria. 
 
Após, converter a variável X para a curva reduzida, obtida pela fórmula: 
 
 
 
O valor do escore- z é obtido na tabela do livro-texto: z 
 
 
 
Tabela 
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 
0,1 
0,5398 
0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 
 
 
Fonte: Livro-texto. 
 
2ª Parte: Se 10 garrafas são selecionadas ao acaso, qual é a probabilidade de que, no máximo, 4 tenham volume de líquido superior a 
1002 cm³, vamos efetuar o cálculo usando diretamente a fórmula da distribuição binomial. 
 
Para usar a fórmula, determinar o valor de três parâmetros: n; p; x. 
 
n = 10 garrafas 
Probabilidade de sucesso: p = 0,42 (calculada na 1ª parte da questão - volume de líquido superior a 1002 cm³) 
 
x ≤ 4 (no máximo), então, temos que calcular a probabilidade de 
P (x ≤ 4) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2) + P (x = 3) + P (x = 4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a probabilidade de que no máximo 4 garrafas tenham volume de líquido superior a 1002 cm³ é 
P (x ≤ 4) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2) + P (x = 3) + P (x = 4) -> P (x ≤ 4) = 0,0043 + 0,0311 + 0,1017 + 0,1963 + 0,2488 = 0,5822 = 
58,22% 
 
 Pergunta 2 
0,4 em 0,4 pontos 
 
Durante um ano particular, 70% das ações negociadas na bolsa de valores do Rio de Janeiro tiveram sua cotação 
aumentada, enquanto 30% tiveram sua cotação diminuída ou estável. No começo do ano, um serviço de assessoria 
financeira escolhe dez ações como sendo especialmente recomendadas. Se as dez ações representam uma seleção 
aleatória, qual a probabilidade de que todas as dez ações escolhidas tenham tido suas cotações aumentadas? 
 
Resposta Selecionada: a. 
2,82% 
Respostas: a. 
2,82% 
 b. 3,12% 
 c. 1,98% 
 d. 2,30% 
 e. 2,98% 
 
Comentário da 
resposta: Resposta: A Comentário: Para resolver esta questão, vamos efetuar 
o cálculo usando diretamente a fórmula da 
distribuição binomial. 
 
Para usar a fórmula, determinar o valor de três 
parâmetros: 
 
n = 10 
Probabilidade de sucesso: p = 0,70 (probabilidade de 
uma ação ter alta) 
x = 10 
 
 
 
 
 
 
 
 Pergunta 3 
0,4 em 0,4 pontos 
O trem do metrô para no meio de um túnel. O defeito pode ser na antena receptora ou no painel de controle. Se o defeito for na antena, o conserto poderá 
ser feito em 5 minutos. Se no defeito for no painel, o conserto poderá ser feito em 15 minutos. O encarregado da manutenção acredita que a probabilidade 
 
de o defeito ser no painel é de 40%. Qual é a expectativa do tempo de conserto? 
 
Resposta Selecionada: c. 
9 minutos. 
Respostas: a. 
11 minutos. 
 b. 6 minutos. 
 c. 9 minutos. 
 d. 5 minutos. 
 e. 2 minutos. 
Comentário 
da 
resposta: 
Resposta: C 
Comentário: Para resolver esta questão, o ponto de partida é construir uma tabela 
distribuição de probabilidades a partir dos dados do enunciado e encontrar o valor 
esperado (esperança matemática). 
 
 
Local 
do 
defeito 
Tempo 
de 
conserto 
(min) 
Probabilidade 
(em %) Probabilidade (em decimal) (min) 
Antena 5 60 0,60 5.0,60= 3 
 
Painel 15 40 0,40 15.0,40 = 
6 
 Valor esperado 9 
 
Portanto, a expectativa do tempo de conserto é de 09 minutos. 
 
 Pergunta 4 
0,4 em 0,4 pontos 
 
Sabendo-se que a probabilidade de um estudante obter aprovação em certo teste de estatística é igual a 0,80 e 
considerando um grupo de 5 estudantes, determine a probabilidade de que no máximo dois sejam aprovados. 
 
Resposta Selecionada: b. 
5,79% 
Respostas: a. 
2,00% 
 b. 5,79% 
 c. 3,18% 
 d. 5,45% 
 e. 4,90% 
Comentário da 
resposta: Resposta: B Comentário: Para resolver esta questão, vamos 
 
efetuar o cálculo usando diretamente a fórmula da 
distribuição binomial. 
 
Para usar a fórmula, determinar o valor de três 
parâmetros: n; p; x. 
 
n = 5 
Probabilidade de sucesso: p = 0,80 (probabilidade de 
uma aprovação) 
x ≤ 2 (no máximo), então, temos que calcular a 
probabilidade de 
P (x ≤ 2) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a probabilidade de que no máximo dois 
sejam aprovados é de 
 
P (x ≤ 2) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2) = 0,00032 + 
0,0064+0,0512 = 0,05792 = 5,79% 
 
 Pergunta 5 
0,4 em 0,4 pontos 
 
Supondo que o número de carros que chegam a uma fila do guichê de um pedágio seja uma taxa de 5 por minuto, 
calcule a probabilidade de que cheguem 6 carros nos próximos 2 minutos. 
 
Resposta Selecionada: b. 
6,31% 
Respostas: a. 
3,15% 
 b. 6,31% 
 c. 16,20% 
 d. 
 
7,05% 
 e. 15,03% 
Comentário 
da resposta: Resposta: B Comentário: Para resolver esta questão, vamos efetuar 
o cálculo usando diretamente a fórmula da distribuição 
de Poisson, usada para encontrar a probabilidade de 
um número designado de sucessos por unidade de 
intervalo. 
 
Para usar a fórmula, determinar o valor de três 
grandezas: ; ; . 
 
 
 
 
 
 
 Pergunta 6 
0,4 em 0,4 pontos 
 
Suponha que o diâmetro dos parafusos produzidos por uma fábrica seja normalmente distribuído com média de 0,25 polegadas e desvio-padrão de 0,02 
polegadas. Um parafuso é considerado defeituoso se o seu diâmetro é menor que 0,20 polegadas ou maior que 0,28 polegadas. Encontre a porcentagem de 
parafusos defeituosos produzidos pela fábrica. 
Resposta Selecionada: c. 
7,30% 
Respostas: a. 
4,50% 
 b. 6,68% 
 c. 7,30% 
 d. 9,32% 
 e. 3,70% 
Comentário 
da 
resposta: 
Resposta: C 
Comentário: No enunciado é dada a média e o desvio padrão, então, para resolver esta questão, devemos fazer o cálculo da probabilidade pela 
distribuição normal, o que representa a determinação das áreas envolvidas. 
 
É importante representar o gráfico da curva para visualizar a área procurada. 
 
 
 
 0,20 0,25 0,28 
Fonte: Autoria própria. 
 
Após, converter a variável X para a curva reduzida, obtida pela fórmula: 
 
 
A área procurada é a probabilidade de um parafuso considerado defeituoso se o seu diâmetro é menor que 0,20, calculamos: 
 
 
 
O valor do escore- z é obtido na tabela do livro-texto: 
Tabela 
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
-2,6 
0,0047 
0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 
-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048 
-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064 
 
Fonte: Livro-texto. 
 
Analogamente, o cálculo da probabilidade de um parafuso considerado defeituoso se o seu diâmetro é maior que 0,28, calculamos: 
 
 
O valor do escore- z é obtido na tabela do livro-texto: 
 
 
Tabela 
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
1,4 
0,9192 
0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,94411,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 
 
Fonte: Livro-texto. 
 
Portanto, a porcentagem de parafusos defeituosos produzidos pela fábrica é de 
 
 
 
 Pergunta 7 
0,4 em 0,4 pontos 
 
Um aluno de direito ao redigir seu TCC (trabalho de conclusão de curso) cometeu alguns erros de gramática. Suponha 
que 25 erros foram feitos ao longo do trabalho de 400 páginas. Determine a probabilidade de uma página conter 
exatamente um erro e a probabilidade de a soma dos erros em duas páginas ser 2. 
 
Resposta Selecionada: e. 
5,87%; 0,0689% 
Respostas: a. 
5,67%; 0,0445% 
 b. 3,95%; 0,0601% 
 c. 4,28%; 0,0689% 
 d. 2,18%; 0,0545% 
 e. 5,87%; 0,0689% 
 
Comentário 
da resposta: Resposta: E Comentário: Para resolver esta questão, vamos efetuar 
o cálculo usando diretamente a fórmula da distribuição 
de Poisson, usada para encontrar a probabilidade de 
um número designado de sucessos por unidade de 
intervalo. 
 
Para usar a fórmula, determinar o valor de três 
parâmetros: ; ; . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para calcular a probabilidade de a soma dos erros em 
duas páginas ser 2, a taxa média será a mesma utilizada 
no cálculo anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pergunta 8 
0,4 em 0,4 pontos 
 
Uma amostra de 15 peças é extraída com reposição de um lote que contém 10% de peças defeituosas. Qual a 
probabilidade de que o lote não contenha peça defeituosa? 
 
Resposta Selecionada: d. 
20,59% 
Respostas: a. 
15,00% 
 b. 23,58% 
 c. 34,87% 
 d. 20,59% 
 e. 21,67% 
 
Comentário da 
resposta: Resposta: D Comentário: Para resolver esta questão, vamos 
efetuar o cálculo usando diretamente a fórmula da 
distribuição binomial. 
 
Para usar a fórmula, determinar o valor de três 
parâmetros: n; p; x. 
 
n = 15 
Probabilidade de sucesso: p = 0,10 (probabilidade de 
uma peça ter defeito) 
x = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 Pergunta 9 
0,4 em 0,4 pontos 
 
Uma empresa produz televisores de 2 tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito 
grave no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição normal sendo que, no tipo A, com média de 
10 meses e desvio padrão de 2 meses e no tipo B, com média de 11 meses e desvio padrão de 3 meses. Quais as probabilidades de haver restituição no 
televisor do tipo A e de não haver a restituição do tipo B, respectivamente? 
 
Resposta Selecionada: c. 
2,28% e 95,25%, respectivamente. 
Respostas: a. 
2,28% e 84,75%, respectivamente. 
 b. 96,25% e 2,30%, respectivamente. 
 c. 2,28% e 95,25%, respectivamente. 
 d. 2,07% e 92,77%, respectivamente. 
 e. 1,67% e 90,16%, respectivamente. 
Comentário 
da 
resposta: 
Resposta: C 
Comentário: No enunciado é dada a média e o desvio padrão, então, para resolver esta questão, devemos fazer o cálculo da probabilidade 
pela distribuição normal, o que representa a determinação das áreas envolvidas. 
 
É importante, representar o gráfico da curva para visualizar a área procurada. 
 
X: 6 meses (restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave) 
 
Tipo A (comum): 
Tipo B (luxo): 
 
 
 
 6 10 tipo A 
 6 11 tipo B 
 
Fonte: Autoria própria. 
 
Após, converter a variável X para a curva reduzida, obtida pela fórmula: 
 
 
A área procurada é a probabilidade de haver restituição do televisor do tipo A, é abaixo de 6 meses, calculamos: 
 
O valor do escore- z é obtido na tabela do livro-texto: 
Tabela 
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 
-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143 
-2,0 
0,0228 
0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183 
 
Fonte: Livro-texto. 
 
Analogamente, o cálculo da probabilidade de não haver restituição do televisor do tipo B é a área procurada acima de 6 meses, 
calculamos: 
 
 
 6 11 tipo B 
Fonte: Autoria própria. 
 
 
O valor do escore- z é obtido na tabela do livro-texto: 
Tabela 
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 
0,0384 
0,0375 0,0367 
-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 
-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559 
 
Fonte: Livro-texto 
 
Como queremos a área acima de 6 meses, então, 
 
 
 
 Pergunta 10 
0,4 em 0,4 pontos 
 
Uma grande loja sabe que o número de dias entre enviar uma fatura mensal e receber o pagamento de seus clientes é aproximadamente uma distribuição normal 
com média de 18 dias e desvio-padrão de 4 dias. Em 200 faturas, quantas se esperaria que fossem pagas entre 16 e 20 dias? 
Resposta Selecionada: c. 
77 faturas. 
Respostas: a. 
50 faturas. 
 b. 90 faturas. 
 c. 77 faturas. 
 
 d. 70 faturas. 
 e. 89 faturas. 
Comentário 
da 
resposta: 
Resposta: C 
Comentário: No enunciado é dada a média e o desvio padrão, então, para resolver esta questão devemos fazer o cálculo da probabilidade pela 
distribuição normal, o que representa a determinação das áreas envolvidas. 
 
É importante representar o gráfico da curva para visualizar a área procurada. 
 
 
 16 18 20 
Fonte: Autoria própria. 
 
Após, converter a variável X para a curva reduzida, obtida pela fórmula: 
 
 
A área procurada é a probabilidade que representa as faturas pagas entre 16 e 20 dias, calculamos : 
 
 
O valor do escore- z é obtido na tabela do livro-texto: 
Tabela 
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
-0,6 
0,2743 
0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451 
-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776 
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121 
 
 Fonte: Livro-texto 
 
 
 
Tabela 
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
0,4 
0,6554 
0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 
 
Fonte: Livro-texto 
 
Perceba que a área de 0,6915 nada mais é do que a área 0,3085 mais a área que estamos procurando saber o valor, logo, o valor da área procurada é 
a diferença das áreas que lemos na tabela, ou seja: 
 
Portanto, o número de faturas que se esperaria que fossem pagas entre 16 e 20 dias é de: 
 
Nª total de faturas x % faturas pagas entre 16 e 20 dias 
 -> 200 x 38,30% = 76,6 ~ 77 faturas