Estruturas de Concreto III - Prof Paulo Sérgio Bastos

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
UNESP - Campus de Bauru/SP 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
Departamento de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
Disciplina: 2133 - ESTRUTURAS DE CONCRETO III 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
SAPATAS DE FUNDAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS 
(wwwp.feb.unesp.br/pbastos) 
 
 
 
 
 
 
 
Bauru/SP 
Dezembro/2016
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
 
 Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 
2133 – Estruturas de Concreto III, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da 
Universidade Estadual Paulista - UNESP – Campus de Bauru. 
O texto apresenta o dimensionamento das sapatas de fundação, conforme os procedimentos 
contidos na NBR 6118/2014 - “Projeto de estruturas de concreto – Procedimento”. São estudados os 
seguintes tipos de sapatas: isoladas, corridas, com viga de equilíbrio e associadas. E segundo a 
classificação de rígidas ou flexíveis. 
Agradecimentos ao técnico Tiago Duarte de Mattos, pela confecção dos desenhos, e ao aluno 
Lucas F. Sciacca, pelo auxílio na digitação do texto. 
Críticas e sugestões serão bem-vindas. 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 .............................................................................................................................................................. 3 
1. SAPATAS DE FUNDAÇÃO .................................................................................................................................. 3 
1.1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................................... 3 
1.2 DEFINIÇÕES ....................................................................................................................................................... 4 
1.3 TIPOS DE SAPATAS .............................................................................................................................................. 6 
1.3.1 Sapata Isolada ........................................................................................................................................... 6 
1.3.2 Sapata Corrida ........................................................................................................................................... 8 
1.3.3 Sapata Associada ...................................................................................................................................... 9 
1.3.4 Sapata com Viga Alavanca ou de Equilíbrio ............................................................................................ 10 
1.4 CLASSIFICAÇÃO RELATIVA À RIGIDEZ ..................................................................................................................... 11 
1.5 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO .................................................................................................................... 12 
1.6 PROJETO DE SAPATAS ISOLADAS .......................................................................................................................... 14 
1.6.1 Comportamento Estrutural ..................................................................................................................... 14 
1.6.1.1 Sapatas Rígidas ................................................................................................................................................ 15 
1.6.1.2 Sapatas Flexíveis .............................................................................................................................................. 17 
1.6.2 Detalhes Construtivos .............................................................................................................................. 20 
1.6.3 Estimativa das Dimensões de Sapatas com Carga Centrada .................................................................. 21 
1.6.3.1 Balanços (abas) Iguais nas Duas Direções........................................................................................................ 22 
1.6.3.2 Balanços Não Iguais nas Duas Direções ........................................................................................................... 22 
1.6.4 Verificação à Punção ............................................................................................................................... 23 
1.6.4.1 Tensão de Cisalhamento Solicitante em Pilar Interno com Carregamento Simétrico ..................................... 24 
1.6.4.2 Tensão de Cisalhamento Solicitante em Pilar Interno com Momento Fletor Aplicado ................................... 24 
1.6.4.3 Verificação de Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na Superfície Crítica C ................... 25 
1.6.4.4 Tensão Resistente na Superfície Crítica C’ em Elementos Estruturais ou Trechos sem Armadura de Punção 26 
1.6.5 Projeto com Considerações do CEB-70 .................................................................................................... 28 
1.6.5.1 Dimensionamento e Disposições das Armaduras de Flexão ........................................................................... 28 
1.6.5.2 Verificação da Força Cortante ......................................................................................................................... 32 
1.6.5.3 Exemplo 1 – Sapata Isolada Rígida Sob Carga Centrada .................................................................................. 33 
1.6.5.4 Exercícios Propostos ........................................................................................................................................ 38 
1.6.6 Projeto Conforme o Método das Bielas ................................................................................................... 39 
1.6.6.1 Exemplo 2 - Sapata Isolada Rígida Sob Carga Centrada – Método das Bielas ................................................. 43 
1.6.7 Sapatas Sob Ações Excêntricas ................................................................................................................ 44 
1.6.7.1 Excentricidade em Uma Direção ..................................................................................................................... 45 
1.6.7.2 Excentricidade nas Duas Direções ................................................................................................................... 47 
1.6.7.3 Exemplo 3 – Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor ............................................................ 51 
1.6.7.4 Exemplo 4 – Sapata Isolada Sob Flexão Oblíqua ............................................................................................. 58 
1.6.8 Sapata Flexível Sob Carga Centrada ........................................................................................................ 62 
1.6.8.1 Verificação de Sapata Flexível à Força Cortante quando bW  5d ................................................................... 65 
1.6.8.2 Exemplo 5 – Sapata Flexível ............................................................................................................................ 66 
1.7 SAPATA CORRIDA ............................................................................................................................................. 71 
1.7.1 Sapata Rígida Sob Carga Uniforme ......................................................................................................... 72 
1.7.2 Sapata Flexível Sob Carga Uniforme ....................................................................................................... 73 
1.7.3 Exemplo 6 – Sapata Corrida Rígida Sob Carga Centrada ........................................................................ 75 
1.7.4 Exercício Proposto ................................................................................................................................... 77 
1.7.5 Exemplo 7 – Sapata Corrida Flexível Sob Carga Centrada.......................................................................77 
1.7.6 Exercício Proposto ................................................................................................................................... 79 
1.8 VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DE SAPATAS .......................................................................................................... 80 
1.9 VERIFICAÇÃO DO ESCORREGAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO EM SAPATAS ............................................................. 81 
 
1.10 SAPATA NA DIVISA COM VIGA DE EQUILÍBRIO ......................................................................................................... 82 
1.10.1 Roteiro de Cálculo ............................................................................................................................... 84 
1.10.2 Esforços Solicitantes na Viga de Equilíbrio .......................................................................................... 84 
1.10.3 Recomendações para o Pré-dimensionamento de Viga de Equilíbrio ................................................. 87 
1.10.4 Dimensionamento da Sapata da Divisa .............................................................................................. 87 
1.10.5 Exemplo 8 – Sapata na Divisa com Viga Alavanca ............................................................................. 89 
1.10.6 Atividade ............................................................................................................................................. 94 
1.10.7 Viga Alavanca Não Normal à Divisa ................................................................................................... 95 
1.10.8 Exercício Proposto ............................................................................................................................... 95 
1.11 SAPATA EXCÊNTRICA DE DIVISA ........................................................................................................................... 96 
1.12 SAPATA ASSOCIADA ........................................................................................................................................ 100 
1.12.1 Sapata com Base Retangular ............................................................................................................ 100 
1.12.2 Verificações e Dimensionamento ...................................................................................................... 102 
1.12.3 Sapata Trapezoidal ........................................................................................................................... 104 
1.12.4 Sapata Associada com Viga de Rigidez ............................................................................................. 105 
1.12.5 Exemplo 9 – Sapata Associada.......................................................................................................... 105 
QUESTIONÁRIO ........................................................................................................................................................... 114 
REFERÊNCIAS .............................................................................................................................................................. 115 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 3 
 
 
CAPÍTULO 1 
 
 
 
1. SAPATAS DE FUNDAÇÃO 
 
 
 
 
1.1 Introdução 
 
 A subestrutura, ou fundação, é a parte de uma estrutura composta por elementos estruturais, 
geralmente construídos abaixo do nível final do terreno, e que são os responsáveis por transmitir ao solo 
todas as ações (cargas verticais, forças do vento, etc.) que atuam na edificação. 
 A estrutura posicionada acima e que se apoia na subestrutura é chamada superestrutura. As ações 
que atuam na superestrutura das edificações são transferidas na direção vertical geralmente por pilares ou 
paredes de concreto. Como o solo geralmente tem resistência muito inferior à do concreto do pilar, é 
necessário projetar algum outro tipo de elemento estrutural com a função de transmitir as ações ao solo. Os 
elementos mais comuns para cumprir essa função são as sapatas e os blocos, sendo que os blocos atuam 
como elementos de transição das ações, dos pilares para as estacas ou tubulões (Figura 1.1). 
 
SUPERESTRUTURAVIGA
PILAR
LAJE
SAPATA
BLOCO BLOCO
SUB ESTRUTURA
TUBULÃO
ESTACAS
 
Figura 1.1 – Exemplos de elementos de fundação. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 4 
 
 
1.2 Definições 
 
 A fundação superficial, também chamada fundação rasa ou direta, é definida no item 3.1 da NBR 
6122[1]1 como o “elemento de fundação em que a carga é transmitida ao terreno pelas tensões distribuídas 
sob a base da fundação, e a profundidade de assentamento em relação ao terreno adjacente à fundação é 
inferior a duas vezes a menor dimensão da fundação.” O elemento de fundação superficial mais comum é a 
sapata, que pela área de contato base-solo transmite as cargas verticais e demais ações para o solo, 
diretamente, conforme ilustrado na Figura 1.2, onde B é a menor dimensão em planta. 
 Existe também o elemento de fundação profunda (Figura 1.3), definido na NBR 6122 (item 3.7) 
como o “elemento de fundação que transmite a carga ao terreno ou pela base (resistência de ponta) ou por 
sua superfície lateral (resistência de fuste) ou por uma combinação das duas, devendo sua ponta ou base 
estar assente em profundidade superior ao dobro de sua menor dimensão em planta, e no mínimo 3,0 m. 
Neste tipo de fundação incluem-se as estacas e os tubulões.”2 
 
< 2B
B
 
 
B = menor dimensão da sapata em planta. 
 
> 2D e > 3m
D
 
Figura 1.2 – Sapata de fundação e a condição 
geométrica para a fundação superficial. 
Figura 1.3 – Condição geométrica para a 
fundação profunda. 
 
 
 A sapata é definida na NBR 6122 (item 3.2) como o “elemento de fundação superficial, de concreto 
armado, dimensionado de modo que as tensões de tração nele resultantes sejam resistidas pelo emprego de 
armadura especialmente disposta para esse fim.” Na NBR 6118[2]3 (item 22.6.1), sapata é definida como as 
“estruturas de volume usadas para transmitir ao terreno as cargas de fundação, no caso de fundação 
direta.” 
Na superfície correspondente à base da sapata atua a máxima tensão de tração, que supera a 
resistência do concreto à tração, de modo que torna-se necessário dispor uma armadura resistente (Figura 
1.4). 
As
 
Figura 1.4 – Sapata de fundação com a armadura principal. 
 
 
1 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e execução de fundações. NBR 6122, ABNT, 2010, 91p. 
2 Os tubulões serão estudados no Capítulo “Blocos de fundação”. 
3 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. NBR 6118, ABNT, 
2014, 238p. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 5 
 
 
Quando o elemento é projetado com grande altura e a tensão de tração máxima diminui e pode ser 
resistida apenas pelo concreto, sem necessidade de acrescentar armadura, o elemento é chamado bloco de 
fundação direta, definido na NBR 6122 (item 3.3) com o “elemento de fundação superficial de concreto, 
dimensionado de modo que as tensões de tração nele resultantes sejam resistidas pelo concreto, sem 
necessidade de armadura.” 
 Para que as tensões de tração sejam resistidas pelo concreto, elas precisam ser baixas, de modo que a 
altura do bloco necessita ser relativamente grande. O bloco assim trabalhará preponderantemente à 
compressão. Para economia de concreto, os blocos têm geralmente a forma de pedestal, ou as superfícies 
laterais inclinadas (Figura 1.5). 
 
PILAR
BLOCO
REAÇÃO
DO
SOLO
 
Figura 1.5 – Bloco de fundação superficial. 
 
 
A NBR 6122 (7.8.2) estabelece que o ângulo β (Figura 1.6), expresso em radianos, satisfaça a: 
 
tg β
β
≥
σadm
fct
+1 
 
onde: adm = tensão admissível do terreno, em MPa; 
 fct = 0,4fctk ≤ 0,8 MPa, onde fct é a tensão de tração no concreto; 
 fctk = resistência característica à tração do concreto.
 
Figura 1.6 – Ângulo β nos blocos de fundação superficial. 
 
Um outro elemento, muito aplicado em edificações residenciais de pequeno porte em conjuntos 
habitacionais, é o radier, definido na NBR 6122 (3.4) como o “elemento de fundação superficial que abrange 
parte ou todos os pilares de uma estrutura, distribuindo os carregamentos.” 
 Quanto ao dimensionamento, as fundações superficiais devem ser definidas por meio de 
dimensionamento geométrico e de cálculo estrutural. 
 
 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 6 
 
 
1.3 Tipos de Sapatas 
 
Dentre todos os elementos de fundação superficial, a sapata é o mais comum, e devido à grande 
variabilidade existente na configuração e forma dos elementos estruturais que nela se apoiam, existem 
diversos tipos de sapatas, como isolada, corrida, associada, de divisa, com viga de equilíbrio, etc. 
 
1.3.1 Sapata Isolada 
 
 A sapata isolada é a mais comum nas edificações, sendo aquela que transmite ao solo as ações de 
um único pilar. As formas que a sapata isolada pode ter, em planta, são muito variadas, mas a retangular é a 
mais comum, devido aos pilares retangulares. (Figura 1.7). 
 
 
N
 
Figura 1.7 – Sapata isolada. 
 
 
As ações que comumente ocorrem nas sapatas são a força normal (N), os momentos fletores, em uma 
ou em duas direções (Mx e My), e a força horizontal (H), Figura 1.8. 
 
N
H
M
PILAR
ELEMENTO DE
FUNDAÇÃO
(SAPATA)
REAÇÃO
DO
SOLO
 
Figura 1.8 – Sapata isolada de fundação superficial. 
 
 
 Um limite para a sapata retangular é que a dimensão maior da base não supere cinco vezes a largura 
(A ≤ 5B)[3], Figura 1.9. Quando A > 5B, é chamada sapata corrida. 
 
h=cte h = var
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 7 
 
 
B
A < 5B
 
Figura 1.9 – Limite para a sapata retangular (A ≤ 5B). 
 
 
 Para sapata sob pilar de edifício de pavimentos existe a recomendação de que a dimensão mínima em 
planta seja de 80 cm.[3] Para a NBR 6122 (7.7.1), a menor dimensão não deve ser inferior a 60 cm. 
 O centro de gravidade (CG) do pilar deve coincidir com o centro de gravidade da base da sapata, 
para qualquer forma do pilar (Figura 1.10 e Figura 1.11). 
CG
B
2
B
2
A
2
A
2
B
A
B
A
A
/2
A
/2
B/2 B/2
CGPILAR
 
Figura 1.10 – Sapatas isoladas com o CG do pilar coincidente com o CG da sapata. 
 
B
A
A
/2
A
/2
B/2 B/2
CGPILAR
 
Figura 1.11 – Sapata isolada com o CG do pilar coincidente com o CG da sapata. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 8 
 
 
 Para o dimensionamento econômico é indicado que os balanços da sapata nas duas direções, as 
dimensões cA e cB , sejam iguais ou aproximadamente iguais (Figura 1.12). 
 
B
A
b
p
ap
C
B
CACA
C
B
 
Figura 1.12 – Sapata com balanços iguais (cA = cB). 
 
 No caso de sapata isolada sob pilar de divisa, e quando não se faz a ligação da sapata com um pilar 
interno, com viga de equilíbrio por exemplo, a flexão devido à excentricidade do pilar deve ser combatida 
pela própria sapata em conjunto com o solo. São encontradas em muros de arrimo, pontes, pontes rolantes, 
etc. (Figura 1.13). 
N
e
d
iv
is
a
 
Figura 1.13 – Sapata isolada de divisa. 
 
1.3.2 Sapata Corrida 
 
 Conforme a NBR 6122 (3.6), sapata corrida é aquela “sujeita à ação de uma carga distribuída 
linearmente ou de pilares ao longo de um mesmo alinhamento.”, Figura 1.14 e Figura 1.15. 
 As sapatas corridas são comuns em construções de pequeno porte, como casas e edificações de baixa 
altura, galpões, muros de divisa e de arrimo, em paredes de reservatórios e piscinas, etc. Constituem uma 
solução economicamente muito viável quando o solo apresenta a necessária capacidade de suporte em baixa 
profundidade. 
parede
sapata
PLANTA
ou
 
Figura 1.14 – Sapata corrida para apoio de parede. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 9 
 
 
A > 5B
B
PILARES
 
Figura 1.15 – Sapata corrida para apoio de pilares alinhados. 
 
 
 Para diferenciar a sapata corrida da sapata isolada retangular, a sapata corrida é aquela com 
comprimento maior que cinco vezes a largura (A > 5B)[3], Figura 1.16. 
 
B
PAREDE
PILARES
A > 5B
 
 
Figura 1.16 – Comprimento A mínimo para configurar a sapata corrida. 
 
 
1.3.3 Sapata Associada 
 
 Conforme a NBR 6122 (3.5), sapata associada é aquela “comum a mais de um pilar”. Também é 
chamada sapata combinada ou conjunta. Geralmente ocorre quando, devido à proximidade entre os pilares, 
não é possível projetar uma sapata isolada para cada pilar. Neste caso, uma única sapata pode ser projetada 
como a fundação para dois ou mais pilares. 
 A sapata associada pode ser projetada com ou sem uma viga de rigidez, como indicada na Figura 
1.17 e na Figura 1.18. 
P1 P2
A
B
N1 N2
p
l1 lcc l2
d
iv
is
a
h
 
Figura 1.17 – Sapata associada sem viga de rigidez. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 10 
 
 
 
PLANTA
VR
A
A
P1 P2
ELEVAÇÃO CORTE A
 
Figura 1.18 – Sapata associada com viga de rigidez (VR). 
 
 
1.3.4 Sapata com Viga Alavanca ou de Equilíbrio 
 
 Segundo a NBR 6122 (3.3.6), viga alavanca ou de viga de equilíbrio é o “elemento estrutural que 
recebe as cargas de um ou dois pilares (ou pontos de carga) e é dimensionado de modo a transmiti-las 
centradas às fundações. Da utilização de viga de equilíbrio resultam cargas nas fundações diferentes das 
cargas dos pilares nelas atuantes.” 
 A viga alavanca é de aplicação comum no caso de pilar posicionado na divisa de terreno, onde 
ocorre uma excentricidade (e) entre o ponto de aplicação de carga do pilar (N) e o centro geométrico da 
sapata. O momento fletor resultante da excentricidade é equilibrado e resistido pela viga alavanca, que na 
outra extremidade é geralmente vinculada a um pilar interno da edificação, ou no caso de ausência deste, 
vinculada a um elemento que fixe a extremidade da viga no solo (Figura 1.19). 
 
 
Figura 1.19 – Pilar de divisa sobre sapata combinada com viga alavanca (VA). 
 
 
sapata 2
VA
Viga alavanca (VA)
sapata 1
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 11 
 
 
1.4 Classificação Relativa à Rigidez 
 
 A classificação das sapatas relativamente à rigidez é muito importante, porque direciona a forma 
como a distribuição de tensões na interface base da sapata/solo deve ser considerada, bem como o 
procedimento ou método adotado no dimensionamento estrutural. 
 A NBR 6118 (item 22.6.1) classifica as sapatas como rígidas ou flexíveis, sendo rígida a que atende 
a equação: 
 
3
 a -A 
h
p
 1.1 
 
onde: h = altura da sapata (Figura 1.20); 
 A = dimensão da sapata em uma determinada direção; 
 ap = dimensão do pilar na mesma direção. 
 
 A Eq. 1.1 deve também ser verificada relativamente às dimensões B e bp da outra direção da sapata, 
sendo que para ser classificada como rígida a equação deve ser atendida em ambas as direções. No caso da 
equação não se verificar para as duas direções, a sapata será considerada flexível. 
 
h
A
ap Pilar
 
 
B
A
b
p
ap
C
B
CACA
C
B
 
 
Figura 1.20 – Dimensões da sapata. 
 
 
 As sapatas rígidas têm a preferência no projeto de fundações, por serem menos deformáveis, menos 
sujeitas à ruptura por punção4 e mais seguras. 
 As sapatas flexíveis são caracterizadas pela altura “pequena”, e segundo a NBR 6118 (item 
22.6.2.3): “Embora de uso mais raro, essas sapatas são utilizadas para fundação de cargas pequenas e solos 
relativamente fracos.” 
 Segundo Montoya[4], é difícil estabelecer um limite para a classificação das sapatas, e de qual método 
deve-se empregar no projeto. Ele, por exemplo, classifica como sapata rígida aquela onde o ângulo β é igual 
ou superior a 45° (β ≥ 45°, ver Figura 1.21). Em caso contrário a sapata é tratada como flexível (β < 45°). 
 Uma norma que pode ser considerada no projeto de sapatas é a do CEB de 1970 (CEB-70[5]), que 
utiliza um critério diferente e considera como sapata rígida quando o ângulo β (tg β = h/c) fica 
compreendido entre os limites: 
 
 0,5 ≤ tg β ≤ 1,5(26,6° ≤ β ≤ 56,3) 1.2 
 
 Se tg β < 0,5 a sapata é considerada flexível, e se tg β > 1,5 não é sapata, e sim bloco de fundação 
direta (aquele que dispensa armadura de flexão porque o concreto resiste à tensão de tração máxima existente 
na base do bloco). 
 
4 A punção está apresentada no item 1.6.4, sendo importante no projeto de sapatas flexíveis e principalmente nas lajes lisas e 
cogumelos. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 12 
 
 
h
ap Pilar

C
Balanço
 
Figura 1.21 – Ângulo  e balanço c. 
 
1.5 Distribuição de Tensões no Solo 
 
 A tensão ou pressão de apoio que a área da base de uma sapata exerce no solo é o fator mais 
importante relativo à interface base-solo. Diversos estudos analíticos e de campo indicaram que a pressão 
exercida no solo não é necessariamente distribuída uniformemente, e depende de vários fatores, como:[6] 
 
- existência de excentricidade do carregamento aplicado; 
- intensidade de possíveis momentos fletores aplicados; 
- rigidez da fundação; 
- propriedades do solo; 
- rugosidade da base da fundação. 
 
 A Figura 1.22 e a Figura 1.23 mostram a distribuição de pressão no solo aplicada na base de uma 
sapata, carregada concentricamente, em função do tipo de solo e da rigidez, se rígida ou flexível. Sapatas 
perfeitamente flexíveis curvam-se e mantém a pressão uniforme no solo. Sapatas perfeitamente rígidas não 
se curvam, e o recalque, se ocorrer, é uniforme, porém, a pressão no solo não é uniforme. 
 Devido à complexidade da análise ao se considerar a pressão como não uniforme, é comum assumir-
se a uniformidade sob carregamentos concêntricos, como mostrado na Figura 1.22e, e adicionalmente porque 
o erro cometido com a simplificação não é significativo.[6] 
 Sapatas apoiadas sobre solos granulares, como areia, a pressão é maior no centro e decresce em 
direção às bordas da sapata. No caso de solos argilosos, ao contrário, a pressão é maior nas proximidades das 
bordas e menor no centro. Essas características de não uniformidade da pressão no solo são comumente 
ignoradas porque sua consideração numérica é incerta e muito variável, dependendo do tipo de solo, e 
porque a influência sobre a intensidade dos momentos fletores e forças cortantes na sapata é relativamente 
pequena.[7] 
 No caso de radier5, que é comumente flexível quando comparado às sapatas, devem ter uma 
avaliação das tensões de flexão e da distribuição da pressão no solo de maneira mais cuidadosa. 
 A NBR 6118 (item 22.6.1) permite que, no caso de sapata rígida, se possa “admitir plana a 
distribuição de tensões normais no contato sapata-terreno, caso não se disponha de informações mais 
detalhadas a respeito. Para sapatas flexíveis ou em casos extremos de fundação em rocha, mesmo com 
sapata rígida, essa hipótese deve ser revista.” E no item 22.6.2.3 relativo às sapatas flexíveis: “A 
distribuição plana de tensões no contato sapata-solo deve ser verificada.” 
 A NBR 6122 (7.6.1) recomenda que a “área da fundação solicitada por cargas centradas deve ser 
tal que as tensões transmitidas ao terreno, admitidas uniformemente distribuídas, sejam menores ou iguais à 
tensão admissível ou tensão resistente de projeto do solo de apoio.” No item 7.8.1: “As sapatas devem ser 
calculadas considerando-se diagramas de tensão na base representativos e que são função das 
características do solo (ou rocha).” 
 
 
5 Segundo a NBR 6122 (3.4), o radier é um “elemento de fundação superficial que abrange parte ou todos os pilares de 
uma estrutura, distribuindo os carregamentos.” 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 13 
 
 
 
Figura 1.22 – Distribuição de pressão no solo em sapata sob carga centrada: a) sapata flexível sobre argila; 
b) sapata flexível sobre areia; c) sapata rígida sobre argila; d) sapata flexível sobre areia; 
e) distribuição simplificada. [6] 
 
SUPERFÍCIE DE
RUPTURA
d
2
d
2
RÍGIDA
(ARGILA)
RÍGIDA
(AREIA)
(ARGILA)
FLEXÍVEL
(AREIA)
FLEXÍVEL
 
Figura 1.23 – Distribuição de pressão no solo em sapata sob carga centrada: a) sapata flexível sobre argila; 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 14 
 
 
 Como se observou, a distribuição real não é uniforme, mas por simplicidade, na maioria dos casos, 
admite-se a distribuição uniforme, o que geralmente resulta esforços solicitantes maiores (Figura 1.24). 
Rígida
Areia
Flexível
Areia
 
Figura 1.24 – Distribuição de tensões no solo. 
 
1.6 Projeto de Sapatas Isoladas 
 
Neste item será estudado o dimensionamento estrutural de sapatas isoladas, com maior ênfase às 
sapatas rígidas, para as solicitações de carga centrada e carga excêntrica (com um ou dois momentos fletores 
solicitantes independentes), de base retangular ou quadrada, e com o centro de gravidade da sapata 
coincidente com o centro de gravidade do pilar. Os métodos de projeto abordados são o do CEB[5] de 1970, 
do ACI 318[8] e o tradicional “Método das Bielas”, de Blévot. 
 Os procedimentos de projeto de sapatas isoladas são largamente baseados nos resultados de 
investigações experimentais de Talbot[9] e Richart[10], e eles vêm sendo reavaliados em mais recentes 
pesquisas, com interesse nos efeitos da força cortante e da tração diagonal.[7] 
 O trabalho de Talbot em 1913, com ensaio experimental de 197 sapatas, representou o primeiro 
avanço para o entendimento do comportamento estrutural de sapatas, dos mecanismos de ruptura, e 
ressaltaram a importância da força cortante nas sapatas.[6] Richart apresentou em 1948 resultados de ensaios 
de 156 sapatas de várias formas e detalhes construtivos. 
 O relatório do ACI-ASCE[11] de 1962 apresentou uma síntese dos diversos dados experimentais e o 
desenvolvimento de análise e projeto de sapatas atualmente utilizadas nos Estados Unidos. Os modelos são 
simplificações do comportamento das sapatas, porém, são conservativos e seguros, sendo por isso utilizados 
até os dias de hoje, com várias justificativas, conforme apresentadas por Coduto.[6] 
O projeto da sapata isolada tem as seguintes fases: estimativa das dimensões da sapata, 
dimensionamento das armaduras de flexão, e as verificações: das tensões de compressão diagonais, da 
punção (para as sapatas flexíveis), da aderência da armadura de flexão e do equilíbrio referente ao 
tombamento e ao deslizamento. 
 
1.6.1 Comportamento Estrutural 
 
 A sapata isolada pode ser representada como tendo volumes de concreto em balanço que se projetam 
da seção transversal do pilar em ambas as direções, e submetidos à pressão do solo de baixo para cima. 
Assim, a sapata pode ser comparada a uma laje lisa invertida, em balanço ao redor do pilar, onde se apoia 
diretamente, e submetida aos esforços solicitantes internos de momento fletor e força cortante. (Figura 1.25). 
PILAR DE
APOIO
LAJE LISA
SUPERFÍCIE DE
RUPTURA
PILAR
SAPATA
SUPERFÍCIE DE
RUPTURA
REAÇÃO DO SOLO
 
 a) laje lisa; b) sapata de fundação. 
Figura 1.25 – Analogia entre laje lisa e sapata. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 15 
 
 
 O mecanismo de ruptura da sapata por efeito de força cortante é semelhante ao da laje lisa, e a 
resistência da sapata é maior que a resistência de vigas, desde que a característica tridimensional da sapata 
contribui para esse fenômeno. A sapata sujeita a elevadas cargas verticais tem o projeto direcionado mais 
pela força cortante do que pelo momento fletor.[12] No entanto, há a observar que a verificação da sapata à 
força cortante e à punção é muito importante no caso das sapatas flexíveis, conforme indicado pela NBR 
6118 e apresentado no próximo item. 
 Segundo o item 22.6.2 da NBR 6118, se eliminada a complexidade da interação solo-estrutura, o 
comportamento estrutural das sapatas pode ser analisado segundo a rigidez da sapata, se rígida ou flexível. 
 
1.6.1.1 Sapatas Rígidas 
 
 Conforme o item 22.6.2.2 da NBR 6118, o comportamentoestrutural das sapatas rígidas pode ser 
descrito como: 
 
“a) trabalho à flexão nas duas direções, admitindo-se que, para cada uma delas, a tração na flexão seja 
uniformemente distribuída na largura correspondente da sapata. Essa hipótese não se aplica à compressão 
na flexão, que se concentra mais na região do pilar que se apoia na sapata e não se aplica também ao caso 
de sapatas muito alongadas em relação à forma do pilar; (Figura 1.26) 
 
b) trabalho ao cisalhamento também em duas direções, não apresentando ruptura por tração diagonal, e 
sim por compressão diagonal verificada conforme 19.5.3.1. Isso ocorre porque a sapata rígida fica 
inteiramente dentro do cone hipotético de punção, não havendo, portanto, possibilidade física de punção.” 
 
 A admissão da uniformidade da tensão de tração ao longo da largura da sapata, em cada direção, faz 
com que a armadura de flexão As,B , por exemplo, paralela à dimensão B da sapata, seja disposta constante ao 
longo de toda a dimensão A da sapata, e de modo semelhante quanto à armadura As,A na outra direção. As 
duas armaduras são perpendiculares e formam uma malha, posicionadas próximas à superfície da base da 
sapata (Figura 1.27). 
 
COMPRESSÃO
TRAÇÃO
REAÇÃO DO
SOLO
TENSÃO DE TRAÇÃO
( )ct,f
 
Figura 1.26 – Trajetórias das tensões principais e tensão de tração uniforme na sapata rígida não alongada. 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 16 
 
 
B
A
AS,A
AS,B
B
ct,f
ct,f
AS,B
AS,A
A
h
TENSÃO DE TRAÇÃO
AO LONGO DE B
 
Figura 1.27 – Armaduras positivas de flexão de sapata isolada. 
 
 
 No caso de sapatas alongadas, ou seja, onde a dimensão A é muito superior à dimensão B, a tração 
uniforme não deve ser admitida, e neste caso, o critério do CEB-70 pode ser aplicado como solução para a 
distribuição da armadura, o que será mostrado na Figura 1.55 e Figura 1.56. 
 A possível ruptura devido às tensões de compressão diagonais (σII), deve ser verificada nas seções 
correspondentes ao perímetro do pilar (superfície crítica C conforme o item 19.5.3.1 da NBR 6118 (Figura 
1.28). 
Seção a ter compressão
verificada (item 19.5.3.1
da NBR6118)
I
II
 
Figura 1.28 – Tensões principais na sapata isolada. 
 
 O caso mais típico de possibilidade de ruptura por efeito de punção é aquele existente na ligação da 
laje lisa com o pilar de apoio (Figura 1.29). A sapata rígida, devido às dimensões em planta e à altura, não 
rompe por punção por estar inteiramente dentro do cone de punção (Figura 1.30). 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 17 
 
 
30°-35º
CONE DE
PUNÇÃO
PILARFISSURA POR
PUÇÃO
LAJE
 
Figura 1.29 – Laje apoiada diretamente em pilar (laje lisa). 
 
AS,A
AS,B
B
LIMITE DO CONE
DE PUNÇÃO
SAPATA
PILAR
POSSÍVEIS SUPERFÍCIES DE
RUPTURA POR PUNÇÃO
h
 
Figura 1.30 – Sapata rígida e o cone de punção. 
 
1.6.1.2 Sapatas Flexíveis 
 
 Segundo a NBR 6118 (item 22.6.2.3), o comportamento estrutural das sapatas flexíveis pode ser 
descrito como: 
“a) trabalho à flexão nas duas direções, não sendo possível admitir tração na flexão uniformemente 
distribuída na largura correspondente da sapata. A concentração de flexão junto ao pilar deve ser, em 
princípio, avaliada; 
 
b) trabalho ao cisalhamento que pode ser descrito pelo fenômeno da punção (ver 19.5). 
 
A distribuição plana de tensões no contato sapata-solo deve ser verificada.” 
 
 A Figura 1.31 apresenta o diagrama de momentos fletores, que variam ao longo das sapatas flexíveis. 
 A sapata flexível deve ter o comportamento à punção verificado, porque, devido à pequena altura h 
relativamente às dimensões da sapata em planta, há a possibilidade de ruptura por punção (Figura 1.30). 
 
N
p
M
(variável)
 
 
 
Figura 1.31 – Momento fletor na sapata flexível. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 18 
 
 
Possível superfície de ruptura por punção
h
 
Figura 1.32 – Sapata flexível e possível superfície de ruptura por punção. 
 
 A sapata pode romper por efeito de força cortante como uma viga larga (Figura 1.33a e Figura 1.34a) 
ou por puncionamento (Figura 1.33b, Figura 1.34b e Figura 1.35). 
 
 
SAPATA
SUPERFÍCIE DE
RUPTURA
d
d
AS
 
 
SUPERFÍCIE DE
RUPTURA
d
2
d
2
d
2
d
2
d
AS
 
a) análise como viga; b) análise à punção. 
Figura 1.33 – Seções críticas na análise da sapata à força cortante.[13] 
 
 
 
 
a) superfície de ruptura por efeito de 
força cortante, como viga; 
b) superfície de ruptura por punção. 
Figura 1.34 – Possíveis superfícies de ruptura de sapatas flexíveis.[13] 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 19 
 
 
 
 
Figura 1.35 – Superfície de ruptura por punção nas sapatas flexíveis.[13] 
 
 
 Nos Estados Unidos, os métodos normalizados para o projeto de sapatas enfatizam a possibilidade de 
ruptura por dois modos: por efeito de força cortante e por flexão. A Figura 1.36 mostra a ruptura por força 
cortante, considerada uma combinação de tensões inclinadas de tração com força cortante, evitada 
principalmente pela adequada altura da sapata. A ruptura por flexão (Figura 1.37) pode ser evitada pela 
adequada armadura de flexão, posicionada próxima à base da sapata. 
 
 
 
Figura 1.36 – Ruptura de sapata por efeito de força cortante. [6] 
 
 
Figura 1.37 – Ruptura de sapata por flexão. [6] 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 20 
 
 
1.6.2 Detalhes Construtivos 
 
 A NBR 6122 (item 7.7.3) estabelece que “Todas as partes da fundação superficial (rasa ou direta) 
em contato com o solo (sapatas, vigas de equilíbrio, etc.) devem ser concretadas sobre um lastro de concreto 
não estrutural com no mínimo 5 cm de espessura, a ser lançado sobre toda a superfície de contato solo-
fundação. No caso de rocha, esse lastro deve servir para regularização da superfície e, portanto, pode ter 
espessura variável, no entanto observado um mínimo de 5 cm.” 
 Segundo a NBR 6122 (item 7.7.2), “Nas divisas com terrenos vizinhos, salvo quando a fundação for 
assente sobre rocha, tal profundidade não deve ser inferior a 1,5 m. Em casos de obras cujas sapatas ou 
blocos estejam majoritariamente previstas com dimensões inferiores a 1,0 m, essa profundidade mínima 
pode ser reduzida.” O Anexo A da NBR 6122 apresenta procedimentos executivos relativos às fundações 
superficiais. 
 A superfície de topo da sapata deve ter um plano horizontal (mesa) maior que a seção transversal do 
pilar, com pelo menos 2,5 ou 3 cm, que facilita a montagem e apoio da fôrma do pilar (Figura 1.38). 
 Para evitar a possível ruptura nos lados da sapata é importante executar as faces extremas em 
superfície vertical, com a sugestão para ho :[14] 
 
 




cm15
3/h
ho 1.3 
 
lastro de concreto simples
(> 5 cm, > )fck
>
 3
0
 c
m
solo, rocha
h
h
0
2,5 a 10 cm

 
Figura 1.38 – Detalhes construtivos para a sapata. 
 
 
 O ângulo , de inclinação da sapata, deve ser preferencialmente igual ou menor que 30, que é 
ângulo do talude natural do concreto fresco, a fim de evitar a necessidade de fôrma na construção da sapata.6 
 O posicionamento de outros elementos em relação à sapata pode variar caso a caso, como as vigas 
por exemplo, conforme a Figura 1.39. 
 
 
6 O ângulo  depende da consistência do concreto. Para concreto autoadensável, por exemplo, será necessário fazer a fôrma para 
proporcionar a superfície inclinada da sapata. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 21 
 
 
VB
VB
Viga
baldrame
(VB)
 
Figura 1.39 – Posicionamento de viga em relação à sapata. 
 
 
1.6.3 Estimativa das Dimensões de Sapatas com Carga Centrada 
 
Observe na Figura 1.40 que cA e cB são distâncias da face do pilar à extremidade da sapata, em cada 
direção. Para obtenção de momentos fletores solicitantes e armaduras de flexão não muito diferentes nas 
duas direções da sapata, procura-se determinar as dimensões A e B de modo que os balanços sejam iguais ou 
semelhantes (cA cB). 
B
A
b
p
ap
C
B
CACA
C
B
 
Figura 1.40 – Notações para as dimensões da sapata isolada. 
 
 Fazendo cA = cB tem-se: 
 
A – ap = B – bp 1.4 
 
A – B = ap – bp 1.5 
 
e consequentemente, As,A  As,B . 
 
A área de apoio ou da base da sapata pode ser determinada como: 
 
adm
qkgkmaj
sap
NNK
S


 1.6 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 22 
 
 
onde: Ngk = carga vertical devida às ações permanentes, valor característico; 
 Nqk = carga vertical devida às ações variáveis, valor característico; 
 Kmaj = coeficiente majorador da carga vertical das ações permanentes; 
 σadm = tensão admissível do solo. 
 
O coeficiente Kmaj tem a finalidade de estimar o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata. A 
NBR 6122 (item 5.6) recomenda considerar o peso próprio da sapata como no mínimo 5 % da carga vertical 
permanente. Para Kmaj Campos[15] recomenda 1,05 para sapatas flexíveis e de 1,05 a 1,10 para sapatas rígidas, 
e quando as parcelas relativas às ações permanentes e variáveis (cargas acidentais sobre as lajes, etc.) não 
forem conhecidas, adotar 1,05 como fator multiplicador da carga total: 
 
adm
k,qg
sap
N05,1
S



 1.7 
 
1.6.3.1 Balanços (abas) Iguais nas Duas Direções 
 
 A área da base da sapata também pode ser definida por BASsap  , e: 
 
B
S
A
sap
 1.8 
 
 Com balanços iguais (cA = cB) e considerando as Eq. 1.5 e 1.8, fica: 
 
 A – B = ap – bp  pp
sap
baB
B
S
 
 
 Multiplicando por B e resolvendo a equação do segundo grau tem-se: 
 
 Ssap – B2 = (ap – bp) B 
 
    sap2pppp Sab
4
1
ab
2
1
B  1.9 
 
com Ssap definida pela Eq. 1.6 ou 1.7. 
 
 Os lados A e B devem ser preferencialmente múltiplos de 5 cm, por questões práticas. No caso de 
sapata sob pilar de edifício, a recomendação é de que a dimensão mínima em planta seja de 80 cm.[3] Para a 
NBR 6122 (7.7.1), a menor dimensão não deve ser inferior a 60 cm. 
 
1.6.3.2 Balanços Não Iguais nas Duas Direções 
 
 Neste caso, onde cA  cB (Figura 1.41), recomenda-se a seguinte relação entre os lados: 
 
 0,3
B
A
 
 
 Considerando R como a relação entre os lados tem-se: 
 
 RBAR
B
A
 
 
 Ssap = A . B  Ssap = B . R . B 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 23 
 
 
R
S
B
sap
 1.10 
 
 Deve-se definir um valor para R entre 1 e 3, e calcular a área da sapata (Ssap) com a Eq. 1.6 ou 1.7. 
Os lados A e B devem ser preferencialmente múltiplos de 5 cm. 
 
B
A
b
p
ap
C
B
CA CA
C
B
 
Figura 1.41 – Sapata isolada com balanços não iguais nas duas direções. 
 
1.6.4 Verificação à Punção 
 
 A verificação das sapatas à punção se faz conforme o item 19.5 da NBR 6118 - “Dimensionamento 
de lajes à punção”. A superfície de ruptura por punção está indicada na Figura 1.42. 
 
 
x
d
tg  , fazendo  = 27 
 
 d2
51,0
d
x
x
d
º27tg  
 
superfície de ruptura de
uma laje por efeito de
punção
 = 25º a 30º
d
As
x
pilar
-
laje
 
Figura 1.42 – Superfície de ruptura de uma laje por efeito de punção. 
 
 “O modelo de cálculo corresponde à verificação do cisalhamento em duas ou mais superfícies 
críticas definidas no entorno de forças concentradas. Na primeira superfície crítica (contorno C), do pilar 
ou da carga concentrada, deve ser verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto, 
através da tensão de cisalhamento.” (NBR 6118, 19.5.1). A Figura 1.43 ilustra as superfícies críticas C e C’. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 24 
 
 
C
C'
C
C'
C
C
C'
C'
2d 2d 2d
B
o
rd
a
 l
iv
re
B
. 
liv
re 2
d
B. livre
 
 
Figura 1.43 – Superfícies críticas C e C’. 
 
 “Na segunda superfície crítica (contorno C’) afastada 2d do pilar ou da carga concentrada, deve ser 
verificada a capacidade da ligação à punção, associada à resistência à tração diagonal. Essa verificação 
também é feita através de uma tensão de cisalhamento, no contorno C’. Caso haja necessidade, a ligação 
deve ser reforçada por armadura transversal. A terceira superfície crítica (contorno C”) apenas deve ser 
verificada quando for necessário colocar armadura transversal.” (NBR 6118, 19.5.1). 
 No estudo aqui apresentado de punção, aplicado às sapatas, serão apresentados somente os itens 
relacionados à dispensa da armadura transversal. 
 A verificação é feita comparando a tensão de cisalhamento solicitante (τsd) nas superfícies críticas, 
com a tensão de cisalhamento resistente (τRd2), dada pela NBR 6118 para cada superfície crítica. Dispensa-se 
a armadura transversal para a punção quando τSd ≤ τRd2 . 
 
1.6.4.1 Tensão de Cisalhamento Solicitante em Pilar Interno com Carregamento Simétrico 
 
 A tensão de cisalhamento solicitante é (NBR 6118, 19.5.2.1): 
 
 
du
FSd
Sd

 1.11 
onde: 
 
2
dd
d
yx 
 = altura útil da laje ao longo do contorno crítico C’, externo ao contorno C da área de 
aplicação da força e distante 2d no plano da laje; 
dx e dy são as alturas úteis nas duas direções ortogonais; 
 u = perímetro do contorno crítico C’; 
 u . d = área da superfície crítica; 
 FSd = força ou reação concentrada de cálculo. 
 
No caso da superfície crítica C, u deve ser trocado por u0 (perímetro do contorno C). “A força de 
punção FSd pode ser reduzida da força distribuída aplicada na face oposta da laje, dentro do contorno 
considerado na verificação, C ou C’.” 
 
1.6.4.2 Tensão de Cisalhamento Solicitante em Pilar Interno com Momento Fletor Aplicado 
 
“No caso em que, além da força vertical, existe transferência de momento da laje para o pilar, o 
efeito de assimetria deve ser considerado,” e a tensão de cisalhamento solicitante é: 
 
 
dW
MK
du
F
p
SdSd
Sd




 1.12 
 
sendo: 
 K = coeficiente que fornece a parcela do momento fletor MSd transmitida ao pilar por cisalhamento, 
dependente da relação C1/C2 (ver Tabela 1.1); 
 C1 = dimensão do pilar paralela à excentricidade da força, indicado na Figura 1.44; 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 25 
 
 
 C2 = dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força. 
 
Tabela 1.1 - Valores de K em função de C1 e C2 . 
C1/C2 0,5 1,0 2,0 3,0 
K 0,45 0,60 0,70 0,80 
 
 “Para pilares circulares internos, deve ser adotado o valor k = 0,6.” 
 
 Wp = módulo de resistência plástica do contorno C’. Pode “ser calculado desprezando a curvatura 
dos cantos do perímetro crítico” por: 
 
 deW
u
0
p  1.13 
 
 d = comprimento infinitesimal no perímetro crítico u; 
e = distância de d ao eixo que passa pelo centro do pilar e sobre o qual atua o momento fletor MSd 
 
 1
2
221
2
1
p Cd2d16dC4CC
2
C
W  (para pilar retangular) 1.14 
 
 
 Wp = (D + 4d)2 (para pilar circular; D = diâmetro) 1.15 
 
Nota: para pilares de borda e de canto, ver a NBR 6118 (item 19.5.2.3 e 19.5.2.4). 
C'
e
e1
2dc1
c
2
dl
Msd
Fsd

Msd
Fsd
e1
Fsd
 
Figura 1.44 – Sapata submetida à força normal e momento fletor. 
 
1.6.4.3 Verificação de Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na 
Superfície Crítica C 
 
“Esta verificação deve ser feita no contorno C, em lajes submetidas à punção, com ou sem 
armadura. Deve-se ter:” (NBR 6118, 19.5.3.1) 
 
 Sd  Rd2 1.16 
 
 Rd2 = 0,27v fcd 1.17 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 26 
 
 
onde 






250
f
1 ckv , com fck em MPa. 
 
 “O valor de Rd2 pode ser ampliado de 20 % por efeito de estado múltiplo de tensões junto a um pilar 
interno, quando os vãos que chegam a esse pilar não diferem mais de 50 % e não existem aberturas junto ao 
pilar.” 
 A superfície crítica C corresponde ao contorno do pilar ou da carga concentrada, e por meio da 
tensão de cisalhamento nela atuante verifica-se indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto 
(Figura 1.45). A tensão de cisalhamento solicitante é: 
 
 
du
F
o
Sd
Sd  1.18 
 
com: FSd = força solicitante de cálculo; 
 uo = perímetro de contorno crítico C; 
 uo = 2 (ap + bp) 
 uo d = área da superfíciecrítica C; 
 d = altura útil ao longo do contorno crítico C. 
 
C
d
Fsd
sd
ap
b
p
 
Figura 1.45 – Tensão de cisalhamento na sapata. 
 
1.6.4.4 Tensão Resistente na Superfície Crítica C’ em Elementos Estruturais ou Trechos 
sem Armadura de Punção 
 
“A verificação de tensões na superfície crítica C’ deve ser efetuada como a seguir:” (NBR 6118, 
19.5.3.2) 
 Sd  Rd1 1.19 
 
   cp3
1
ck1Rd 10,0f100
d
20
113,0 








 1.20 
 
onde: 
 yx . ; 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 27 
 
 
 
2
dd
d
yx 
 = altura útil da laje ao longo do contorno crítico C da área de aplicação da força (cm); 
  = taxa geométrica de armadura de flexão aderente (armadura não aderente deve ser desprezada); 
 x e y = “taxas de armadura nas duas direções ortogonais assim calculadas; 
 
- na largura igual à dimensão ou área carregada do pilar acrescida de 3d para cada um dos lados; 
 - no caso de proximidade da borda, prevalece a distância até a borda, quando menor que 3d.” 
 
 fck em MPa. 
 
 No caso de sapatas de fundação, a tensão de cisalhamento resistente é: 
 
 2cd
3
ck1Rd f5,0
*a
d2
f100
d
20
113,0 








 1.21 
 
 fcd2 = resistência de cálculo do concreto à compressão para regiões não fissuradas. 
 
 a*  2d 
 
 cd
ck
2cd f
250
f
16,0f 





 , com fck em MPa 1.22 
 
 u* = 2ap + 2bp + 2a* 1.23 
 
Superfície C' 
(perímetro = u*)
d
ap
a
*
A
 
Figura 1.46 – Distância a*. 
 
 
 Para pilares com momento fletor solicitante, Sd é: 
 
 
dW
MK
d*u
F
p
SdSd
Sd  1.24 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 28 
 
 
1.6.5 Projeto com Considerações do CEB-70 
 
 O método proposto pelo CEB-70[5] para o cálculo de sapatas e blocos7 sobre estacas foi traduzido 
pelo Professor Lauro Modesto dos Santos.[16] Para o método poder ser aplicado, as sapatas devem apresentar 
as seguintes características geométricas (Figura 1.47): 
 
h2c
2
h
 (ou 2
h
c
2
1
 ) 1.25 
 
 Se c > 2h, a sapata pode ser considerada como viga ou como placa, e calculada de acordo com a 
teoria correspondente. Se o balanço (aba) for pequeno (c < h/2) em qualquer direção, é admitido que se trata 
de bloco de fundação, e o método apresentado não é aplicável. 
h
CC
 
Figura 1.47 – Balanço c na sapata isolada. 
 
 “Admite-se que o comportamento do solo seja elástico e que a estabilidade seja assegurada 
unicamente pelas forças elásticas que ele transmite à sapata através da superfície de apoio.”[16] Portanto, a 
distribuição das tensões devidas às reações do solo sobre a superfície de apoio da sapata é plana (Figura 
1.48). Forças horizontais que atuem na sapata são equilibradas unicamente por forças de atrito desenvolvidas 
entre a superfície de apoio da sapata e o solo, e as forças de atrito não podem ser consideradas para reduzir a 
armadura principal. 
 
N
M("pequeno")
(LN fora da
seção)
Superfície
plana
N
M("grande")
x
Distribuição admitida para
quando existirem tensões de
tração na base da sapata
 
Figura 1.48 – Distribuição da reação do solo na base da sapata. 
 
1.6.5.1 Dimensionamento e Disposições das Armaduras de Flexão 
 
As metodologias para projeto de sapatas diferem quanto à seção para consideração dos momentos 
fletores.8 No caso do CEB-70, os momentos fletores são calculados, para cada direção, em relação a uma 
seção de referência (S1A ou S1B) plana, perpendicular à superfície de apoio, ao longo da sapata e situada 
internamente ao pilar, distante da face do pilar de 0,15ap , onde ap é a dimensão do pilar normal à seção de 
referência (Figura 1.49). 
 A altura útil d da seção de referência é tomada na seção paralela à S1 e situada na face do pilar e não 
deve exceder 1,5c. Para a sapata da Figura 1.49, d ≤ 1,5cA . 
 
 
7 Os blocos sobre estacas são apresentados em outra apostila. 
8 Alguns autores consideram as faces do pilar como as seções para determinação dos momentos fletores na sapata. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 29 
 
 
As,A
ap
0,15ap
cA
d S1A
A 
 
Figura 1.49 – Seção de referência S1A , relativa à dimensão A da sapata. 
 
 
 O momento fletor relativo a uma seção de referência S1 é calculado considerando a reação do solo 
que age na área da base da sapata, limitada pela seção S1 e a extremidade da sapata mais próxima de S1 
(Figura 1.50). As duas direções devem ser consideradas, e o menor momento fletor deve ser pelo menos 1/5 
do maior momento fletor, isto é, a relação entre a armadura de flexão menor e a maior na direção ortogonal 
deve ser ≥ 1/5. 
 O cálculo da armadura de flexão que atravessa perpendicularmente a seção S1 é feito como nas vigas 
à flexão simples, considerando as características geométricas da seção de referência S1 . 
S1
1
2
 
Figura 1.50 – Diagrama para cálculo do momento fletor na seção de referência S1 . 
 
 
 Na avaliação dos momentos fletores não devem ser considerados o peso da sapata e do solo acima 
dela, porque não causam flexão na sapata. Se o momento fletor que resultar for negativo, deverá existir uma 
armadura negativa na parte superior da sapata. 
 Os momentos fletores são calculados nas seções de referência S1A e S1B , relativas respectivamente 
aos lados A e B da sapata. Os balanços cA e cb , como indicados na Figura 1.51, são: 
 
 
2
aA
c
p
A

 ; 
2
bB
c
p
B

 1.26 
 
 A pressão que a sapata exerce sobre o solo, e que corresponde à reação do solo, é: 
 
 
B.A
N
p k 
 
onde, como já comentado, não é necessário considerar em Nk o peso próprio da sapata e do solo sobre a 
sapata. 
 As distâncias xA e xB são: 
 
 xA = cA + 0,15ap 
 
 xB = cB + 0,15bp 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 30 
 
 
p
0
,1
5
ap
0,15ap
b
p
S1A
S1B
C
B
x
B
B
CA xA
A 
b
p
N
S1A
 
Figura 1.51 – Notações e seções de referência S1A e S1B . 
 
 As áreas da base da sapata (Figura 1.52), a serem consideradas no cálculo dos momentos fletores 
são: 
A1A = xA B 
 
 A1B = xB A 
 
B
A
x
B
xA
A1A
A1B
 
Figura 1.52 – Áreas de referência no cálculo dos momentos fletores. 
 
 Considerando a pressão no solo, atuante em cada área de influência, pode-se determinar a força 
resultante (Figura 1.53): 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 31 
 
 
 
 R1A = p . A1A = p . xA . B 
 
 R1B = p . A1B = p . xB . A 
 
Os momentos fletores relativos às 
seções de referência S1A e S1B são: 
 
2
x
RM AA1A1  , e 
 
2
x
RM BB1B1  
 
xA
S1A
R1A
p
 
 Figura 1.53 – Resultante da pressão no solo. 
 
portanto: 
B
2
x
pM
2
A
A1  
 
A
2
x
pM
2
B
B1  
1.27 
 
 Nas sapatas com superfícies superiores inclinadas, a seção comprimida de concreto (A’c) tem a 
forma de um trapézio (Figura 1.54), e o cálculo exato das armaduras de flexão deve ter essa consideração. 
Como uma alternativa simplificada, Machado[17 ] considera o cálculo admitindo uma seção retangular com 
braço de alavanca z = 0,85d, e que neste caso o erro cometido não ultrapassa 10 %, e a área de armadura é: 
 
yd
d
s
f.d85,0
M
A  1.28 
As
A'c
LN
 
Figura 1.54 – Área comprimida pela flexão (A’c). 
 
 A fim de evitar possíveis problemas no preenchimento do concreto na fôrma e entre as barras, e 
diminuir a possibilidade de fissuras, recomenda-se que o espaçamento entre as barras da armadura de flexão 
esteja compreendido no intervalo de: 10 cm ≤ e ≤ 20 cm. 
 A armadura deve se estender, sem redução de seção, sobre toda a extensão da sapata, ou seja, de face 
à face, e deve terminar com gancho nas extremidades. A NBR 6118 (22.6.4.1.1) diz: “A armadura de flexão 
deve ser uniformemente distribuída ao longo da largura da sapata, estendendo-se integralmente de face a 
face da sapata e terminando em gancho nas duas extremidades.” 
 Nas sapatas de base quadrada, a armadura de flexão pode ser uniformemente distribuída, 
paralelamente aos lados da sapata.Nas sapatas de base retangular, a armadura paralela ao lado maior, de 
comprimento A, dever ser uniformemente distribuída sobre a largura B da sapata. No caso da armadura na 
outra direção, aquela paralela ao lado menor (B), são dois os critérios de distribuição da armadura: 
 
a) quando B  ap + 2h (Figura 1.55): 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 32 
 
 
 
 Deve-se concentrar uma parcela da armadura total As na extensão B sob o pilar, segundo a fração: 
 
sA
BA
B2

 1.29 
 
onde h é a altura da sapata. O restante da armadura deve ser distribuído nas duas faixas além da dimensão B. 
 
B Armadura
B
A 
ap
b
p
 
 
Figura 1.55 – Distribuição de As quando B  ap + 2h. 
 
b) se B < ap + 2h (Figura 1.56): 
 
 Deve-se concentrar uma parcela da armadura total As na extensão ap + 2h sob o pilar, segundo a 
fração: 
 
 
s
p
p
A
h2aA
h2a2


 1.30 
 
 Do mesmo modo que o caso anterior, o restante da armadura deve ser distribuído nas duas faixas 
além da dimensão ap + 2h. 
Armadura
B
A 
ap
b
p
 + 2hap
 
Figura 1.56 – Distribuição de As quando B < ap + 2h. 
 
 
1.6.5.2 Verificação da Força Cortante 
 
 O método do CEB-70[5] considera que a força cortante deve ser verificada nas duas direções da 
sapata, atuantes em uma seção de referência (S2) distante d/2 da face do pilar, e que a força cortante atuante 
deve ser menor que uma força cortante limite (máxima). Segundo Machado[17], a força cortante limite 
preconizada pelo CEB-70 é muito baixa e, portanto, muito conservadora, de modo que não deve ser 
considerada no projeto de sapatas rígidas. Nessas sapatas, a NBR 6118 (item 22.6.2.2) preconiza que não 
ocorre ruptura por tração diagonal, e sim a possibilidade de ruptura da diagonal comprimida, de modo que 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 33 
 
 
apenas a superfície crítica C necessita ser verificada (conforme 19.5.3.1). Portanto, a força cortante atuante 
na sapata rígida não será verificada. No caso das sapatas flexíveis, tanto as forças cortantes atuantes quanto a 
punção devem ser verificadas. 
 
1.6.5.3 Exemplo 1 – Sapata Isolada Rígida Sob Carga Centrada 
 
 Dimensionar uma sapata de fundação superficial para um pilar com seção transversal 20 x 80 cm, que transfere 
à sapata uma carga vertical centrada total de 1.250 kN (Nk = valor característico), com armadura vertical no pilar 
composta por barras de 16 mm (,pil), tensão admissível do solo (σadm) de 0,26 MPa (2,6 kgf/cm2) e: 
 momentos fletores solicitantes externos inexistentes (Mx = My = 0); 
 coeficientes de ponderação da segurança: γc = γf = 1,4 ; γs = 1,15; 
 materiais: concreto C25, aço CA-50 (fyd = 43,48 kN/cm2); 
 cobrimento de concreto: c = 4 cm. 
 
Resolução 
 
a) Dimensões da sapata 
 
 Estimativa das dimensões da sapata em planta (Figura 1.57), considerando o fator majorador de carga (Kmaj) de 
1,1 a fim de levar em conta o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata9 (Eq. 1.6): 
 
 
2
adm
kmaj
sap cm885.52
026,0
12501,1NK
S 



 
 
 
80
 2
0B
A
b
p
ap
c
B
c
B
cAcA
 
Figura 1.57 – Dimensões (cm) do pilar e notações da sapata. 
 
 Fazendo sapata com balanços iguais (cA = cB = c), a dimensão do menor lado da sapata em planta é (Eq. 1.9): 
 
 sap
2
pppp S)ab(
4
1
)ab(
2
1
B  = 9,20152885)8020(
4
1
)8020(
2
1 2  cm 
 
como as dimensões devem ser preferencialmente valores múltiplos de 5 cm, adota-se 205 cm para B. Com cA = cB , o 
lado maior da sapata é (Eq. 1.5): 
 
 A – B = ap – bp  A – 205 = 80 – 20  A = 265 cm (ver Figura 1.59) 
 
 A área corrigida da base da sapata é: 
 
 Ssap = 265 . 205 = 54.325 cm2 > 52.885 cm2  ok! 
 
 
9 Essas cargas verticais e porventura outras previstas que atuarem sobre a sapata, que aumentam a pressão no solo, devem ser 
computadas no cálculo da área da base da sapata. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 34 
 
 
 Os balanços, iguais nas duas direções, resultam (Eq. 1.26): 
 
 5,92
2
80265
2
aA
cc
p
BA 



 cm 
 
 A altura da sapata, supondo-a como rígida conforme a NBR 6118, deve atender10 (Eq. 1.1): 
 
 7,61
3
80265
3
aA
h
p




 cm 
 
 Para possibilitar a ancoragem da armadura longitudinal do pilar dentro do volume da sapata, a altura útil d 
deve ser superior ao comprimento de ancoragem (b) da armadura do pilar: d > b (Error! Reference source not 
found.). O comprimento de ancoragem, considerando região de boa aderência, concreto C25, ,pil = 16 mm e 
ancoragem com gancho11, é b = 42 cm, conforme a Tabela A-7 anexa. Portanto, d > 42 cm. 
 Adotando h = 70 cm, a sapata é classificada como rígida (> 61,7 cm), e para a altura útil d pode-se considerar: 
 
 d = h – (c + 1) = h – (4,0 + 1,0) = h – 5 cm = 70 – 5 = 65 cm  d = 65 cm > b = 42 cm  ok! 
 
 Para a altura das faces verticais nas extremidades da sapata tem-se (Eq. 1.3): 
 
 


 

cm15
cm3,233/703/h
ho  ho = 25 cm (geralmente adota-se um valor múltiplo de 5 cm) 
 
d > b
c
h
h
o
As,pil
b

 
Figura 1.58 – Altura útil mínima para a sapata e demais notações. 
 
 
 O ângulo da superfície inclinada da sapata é: 
 
 
5,92
2570
c
hh
tg o



   = 25,9° 
 
 
10 Sendo os balanços iguais, não é necessário verificar na direção do lado B da sapata. 
11 Porque as barras, com ganchos na extremidade, são geralmente apoiadas sobre as armaduras da sapata. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 35 
 
 
S1A
 
80
 2
0B
2
0
5
 c
m
A
265 cm
 
92,5
 
92,5
 
9
2
,5
9
2
,5
b
p
ap
c
B
c
B
cAcA
 
104,5
xA
 
S1A

p
h
 =
 7
0
d
 =
 6
5
0,15 = 12,0ap
 
 
Figura 1.59 – Dimensões (cm) da sapata e seção de referência S1A . 
 
b) Determinação dos momentos fletores internos solicitantes 
 
 Os esforços solicitantes atuantes na sapata podem ser computados em função da pressão no solo calculada 
considerando as ações externas que atuam na sapata (forças e momentos fletores) já majoradas pelos coeficientes de 
ponderação das ações. A pressão no solo assim calculada é fictícia e não deve ser comparada à tensão admissível do 
solo. Isso permite que diferentes coeficientes de ponderação das ações (permanentes, variáveis, etc.) sejam considerados 
diretamente. A pressão no solo será um valor de cálculo, de modo que os esforços solicitantes decorrentes serão 
também valores de cálculo. As cargas relativas ao peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata não necessitam ser 
consideradas no cálculo do momento fletor. Com f 1,4, a pressão no solo12 é: 
 
 03221,0
205265
1250.4,1
BA
N
p dd 



 kN/cm2 
 
 Nota-se que os limites impostos na Eq. 1.25 para aplicar o processo do CEB-70 são atendidos13: 
 
 702c
2
70
h2c
2
h
  35 < c = 92,5 cm < 140 cm  ok! 
 
 As distâncias das seções de referência S1 às extremidades da sapata são: 
 
 xA = cA + 0,15ap = 92,5 + 0,15 . 80 = 104,5 cm 
 
 xB = cB + 0,15bp = 92,5 + 0,15 . 20 = 95,5 cm 
 
12 A pressão no solo é uniforme porque a carga na sapata é centrada, devida unicamente a N. 
13 No caso de balanços não iguais (cA ≠ cB), a verificação deve ser feita nas duas direções da sapata. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 36 
 
 
 Cálculo dos momentos fletores nas seções de referência S1A e S1B (Eq. 1.27): 
 
 053.36205
2
5,104
03221,0B
2
x
pM
22
A
dd,A1  kN.cm 
 
 924.38265
2
5,95
03221,0A
2
x
pM
22
B
dd,B1  kN.cm 
 
 A Figura 1.60 ilustra os momentos fletores solicitantes na sapata. 
 
M
1
A
,d 38924
3
6
0
5
3
M1B,d
A = 265
B
 =
 2
0
5
S1A
M = 360531A,d
M = 389241B,d
 
Figura 1.60 – Momentos fletores atuantes na sapata. 
 
 As armaduras de flexão segundo os lados A e B da sapata, considerando γs = 1,15, e fyd = 50/1,15 = 43,48 
kN/cm2para o aço CA-50, são (Eq. 1.28): 
 
 
2
yd
d,B1
B,s
2
yd
d,A1
A,s
cm20,16
48,43.65.85,0
38924
f.d85,0
M
A
cm01,15
48,43.65.85,0
36053
f.d85,0
M
A


 
 
A escolha das armaduras pode ser feita com auxílio da Tabela A-11 (ver anexo A) de armadura em cm2/m. É 
necessário transformar a armadura de cm2 para cm2/m: 
 
Na dimensão A14: 32,7
05,2
01,15
 cm2/m  na Tabela A-11:  10 mm c/10 cm (8,00 cm2/m) 
 
Na dimensão B: 11,6
65,2
20,16
 cm2/m  na Tabela A-11:  10 mm c/13 cm (6,15 cm2/m) 
 
Para a armadura de flexão, na prática recomenda-se que o espaçamento entre as barras esteja compreendido 
entre os valores: 10 cm ≤ e ≤ 20 cm. 
“Para barras com  ≥ 25 mm, deve ser verificado o fendilhamento em plano horizontal, uma vez que pode 
ocorrer o destacamento de toda a malha de armadura.” (NBR 6118, 22.6.4.1.1). Esta verificação está apresentada no 
item 1.9 desta apostila. Como o diâmetro das barras de flexão neste exemplo é 10 mm, essa verificação é necessária. 
 O detalhamento das armaduras está mostrado na Figura 1.62. A NBR 6118 não especifica uma armadura 
mínima de flexão para as sapatas. Alguns autores aplicam a armadura mínima especificada pela norma para as vigas, o 
que geralmente resulta armadura mínima maior que a calculada no caso das sapatas rígidas, devido à sua grande altura. 
 
14 Observe na Eq. 1.27 que o momento fletor M1A,d é relativo à pressão do solo atuante ao longo do lado B da sapata, de modo que a 
área As,A deve ser distribuída em B (205 cm). 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 37 
 
 
Outros autores adotam a armadura mínima de lajes, de 0,0010bw d. O ACI 318 (item 10.5.1) recomenda a armadura 
mínima especificada para os elementos fletidos, sendo que a armadura mínima especificada para as lajes com altura 
uniforme pode ser muito pequena e insuficiente, e que não é uma boa situação na combinação de altas tensões de 
cisalhamento e baixas taxas de armadura de flexão (). Desse modo, recomendam armaduras mínimas de 0,0018bw d ou 
0,0020bw d, dependendo do tipo de aço. 
 No caso por exemplo de se utilizar a armadura mínima do ACI, de 0,0018bw d = 0,0018 . 205 . 65 = 23,99 cm2 
(relativa ao lado A da sapata – momento fletor M1A,d), tem-se uma armadura mínima muito superior à armadura 
calculada, de 15,01 cm2, pois é um valor muito conservador. Desse modo, não será aplicada a armadura mínima até que 
a NBR 6118 defina o seu valor. 
 
 
c) Verificação da diagonal comprimida 
 
 Como a sapata é rígida, não ocorre a ruptura por punção, por isso basta verificar a tensão na diagonal de 
compressão, na superfície crítica C. 
 
 uo = 2 (20 + 80) = 200 cm (perímetro da superfície crítica C = perímetro do pilar - Figura 1.61) 
 
 Conforme o item 1.6.4, fazendo o cálculo da força FSd sem considerar a possível redução devida à reação de 
baixo para cima na base da sapata, proveniente do solo: 
 
 FSd = NSd = γf N = 1,4 . 1250 = 1.750 kN 
ap
b
p
80
2
0
C
 
 
Figura 1.61 – Superfície crítica C – contorno do pilar. 
 
 Tensão de cisalhamento atuante (Eq. 1.18): 
 
135,0
65200
1750
du
F
o
Sd
Sd 

 kN/cm2 = 1,35 MPa 
 
 Tensão de cisalhamento resistente (Eq. 1.17): 
 
43,0
4,1
5,2
250
25
127,0f27,0 cdV2,Rd 





 kN/cm2 = 4,3 MPa 
 
τSd = 1,35 MPa < τRd,2 = 4,3 MPa  ok! 
 
 Portanto, não irá ocorrer o esmagamento do concreto na diagonal comprimida. Verifica-se que a sapata tem 
uma grande folga neste quesito. 
 As sapatas devem ter o equilíbrio verificado, quanto à possibilidade de tombamento e escorregamento, 
conforme apresentado no item 1.8. Essas verificações não estão apresentadas neste exemplo. 
 
d) Detalhamento das armaduras (Figura 1.62) 
 
 A NBR 6118 (item 22.6.4.1.1) especifica que a armadura de flexão deve ser uniformemente distribuída ao 
longo da largura da sapata (ver item 1.6.5.1 desta apostila), sem maiores detalhes. O ACI 318 e o CEB-70 apresentam 
prescrições detalhadas quanto à distribuição da armadura, dependendo das dimensões dos lados A e B da sapata. No 
item 1.6.5.1 está apresentado o procedimento do CEB-70. Nota-se que: ap + 2h = 80 + 2 . 70 = 220 cm, é maior que a 
largura B (205 cm), e pelo CEB-70 a armadura deve ter uma parte concentrada sob o pilar. No entanto, neste exemplo, a 
sapata não é muito retangular, sendo a diferença dos lados de apenas 29 % (265/205 = 1,29), o que justifica distribuir as 
barras uniformemente na sapata, como preconizado pela NBR 6118. Na dúvida, pode-se seguir o recomendado pelo 
ACI 318 ou pelo CEB-70. 
 Considerando  10 mm, C25, região de boa aderência e ancoragem sem gancho, o comprimento de ancoragem 
(b) na Tabela A-7 é de 38 cm. 
 A NBR 6118 especifica que as barras das armaduras de flexão sejam estendidas até as faces nas extremidades 
da sapata, e terminadas em gancho. A consideração aqui será de que as barras devem se estender com o comprimento de 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 38 
 
 
ancoragem básico (b), a partir da extremidade da sapata. Como o cobrimento de concreto da armadura é de 4 cm e ho é 
25 cm, pode-se considerar que o gancho vertical nas extremidades das barras seja: ho – 10 cm = 25 – 10 = 15 cm. O 
comprimento do gancho inclinado então é a diferença entre o comprimento de ancoragem básico e o comprimento do 
gancho vertical:15 
 
 gancho,incl = 38 – 15 = 23 cm 
 
 Portanto, pode-se arredondar gancho,incl para 25 cm (preferencialmente um valor múltiplo de 5 cm). 
 
B
205
A = 265
20 N2 20 N1
2
5
N
1
 -
 2
0
 c
/1
0
(2
0
5
 -
 8
)/
1
0
 =
 1
9
,7
N2 - 20 c/13
(265 - 8)/13 = 19,8
92,5
6
5
Øl,pil
N1 - 20 Ø10 C = 337
1
5
1
5257
N
2
 -
 2
0
 Ø
1
0
 C
 =
 2
7
7
1
9
7
15
15
As,B
A
s
,A
 23 
As,A
A
s
,B
2
5
2
5
25 25
 
 
Figura 1.62 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata. 
 
 
1.6.5.4 Exercícios Propostos 
 
1o) Dimensionar e detalhar as armaduras da sapata isolada apresentada em Alonso[18] (pg. 14), para um pilar 
de seção 30 x 100 cm, com carga vertical característica de 3.000 kN, com: 
 σadm = 0,3 MPa Mx = My = 0 
 C25 ,pilar = 22,5 mm 
 
2o) Resolver o Exercício 1 fazendo o pilar circular com diâmetro de 60 cm, e com a sapata de base circular. 
 
 
 
 
 
 
15 A NBR 6118 não especifica o gancho inclinado; informa apenas que a barra deve terminar em gancho nas duas 
extremidades. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 39 
 
 
1.6.6 Projeto Conforme o Método das Bielas 
 
 O Método das Bielas para o projeto de sapatas foi proposto por Lebelle (1936, Figura 1.63), tendo 
sido elaborado com base nos resultados de numerosos ensaios experimentais. Aplica-se às sapatas corridas 
ou isoladas, com o seguinte limite para a altura útil: 
 
 
4
aA
d
p
 1.31 
 
 Como a NBR 6118 classifica a sapata rígida conforme a relação h ≥ (A – ap)/3 - ver Eq. 1.1, nota-se 
que o limite de Lebelle corresponde à sapata flexível para a NBR 6118, de modo que existe uma faixa de 
valores para d que, se adotados, resultarão na sapata flexível segundo a NBR 6118. 
 A carga é transferida do pilar para a base da sapata por meio de bielas de concreto comprimido, que 
induzem tensões de tração na base da sapata (Figura 1.64), que devem ser resistidas por armadura. 
 Segundo Gerrin[19] (1955), os ensaios mostram que não ocorre ruptura por compressão das bielas de 
concreto, e sua verificação pode ser dispensada. 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.63 – Início do texto de Lebelle onde apresenta a teoria das bielas para sapatas corridas ou isoladas. 
 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 40 
 
 
Biela de compressão
Armadura necessária para
resistir à força de tração
 
Figura 1.64 – Caminhamento da carga do pilar em direção à base da sapata. 
 
 A Figura 1.65 mostra as forças atuantes na sapata, de acordo com o método das bielas. 
 
P
0
y
x
AB
d
0
dT x
d x
d
y
dT
dN
dTy
p d
 dx 
 y
 
Figura 1.65 – Esquema de forças segundo o método das bielas. 
 
 Considerando somente a direção x, como se fosse uma sapata corrida (Figura 1.66), tem-se as 
equações para definição da força de tração na base da sapata (Tx): 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 41 
 
 
ap
P
d
 
 
=
 
A
 .
 d
(A
 -
 
 
 
)
d
 0

dxAs
a
p

d s
 
 
p
A
2
A
2
2dP
d
 

dT
x
p d x = dP
d
0
A
0

dN
dT
dP
 
 
Figura 1.66 – Forças na direção x da sapata. 
 
 
 dT = dN cos α ; dP = dN sen α 
 
 
0d
x
dxp
tg
dP
cos
sen
dP
dT 



 
 
 




















 
2
2
p
x
2
2
0
2
A
x
0
x
x
4
A
dA
)aA(p
2
1
T
x
4
A
d
p
2
1
dxx
d
p
T
 
 Para x = 0, Tx = Tmáx  
4
A
dA
)aA(
A
P
2
1
T
2
p
x


 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 42 
 
 
 
d
)aA(
8
P
T
p
x

 1.32 
 
 De forma análoga para a direção 𝑦 da sapata isolada: 
 
 
d
)bB(
8
P
T
p
y

 1.33 
 
 A tensão máxima na biela de compressão é obtida das relações: 
 
 
s
c
d
dN
 , onde 


sen
dx
ds 
 
 A máxima compressão ocorre nas bielas mais inclinadas ( = o)(α = α0) e a tensão máxima ocorre 
no ponto A, onde a seção da biela é a mínima. A tensão máxima resulta: 
 
 
 











2
0
2
p
p
c
d4
aA
1
a
P
 1.34 
 
 A Figura 1.67 mostra as armaduras de flexão da sapata, conforme o Método das Bielas. 
 
B
A
x
y
P
h
d
 
1 4
 (
A
 -
 
 
)
a
p
Asx ou As,A
P
Asy ou As,B
d 1
4
 (B - )bp
ap
b
p
 
Figura 1.67 – Armaduras de flexão da sapata. 
 
 As armaduras são: 
 
 
yd
xd
A,ssx
f
T
AA  1.35 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 43 
 
 
 
yd
yd
B,ssy
f
T
AA  1.36 
 
 Levando-se em consideração as duas direções, a tensão máxima na biela é: 
 
 
   

























2
0
2
2
p
2
p
pp
máx,c
d
1
1
4
bBaA
1
ba
p
 1.37 
 
onde 
B
b
A
a
Pp  (áreas hometéticas). 
 
 No caso particular de sapatas (e pilares) quadradas: 
 
 





























2
0
p
p
máx,c
d
1
1
aA
2
1
1
aA
p
 1.38 
 
1.6.6.1 Exemplo 2 - Sapata Isolada Rígida Sob Carga Centrada – Método das Bielas 
 
 Calcular as armaduras de flexão da sapata do Exemplo 1 pelo “Método das Bielas”. Os dados considerados do 
Exemplo 1 são: ap = 80 cm, Nk = P = 1.250 kN, A = 265 cm, B = 205 cm (Figura 1.68). 
 
92,5 92,5
9
2
,5
9
2
,5
 
80
 2
0
B
 =
 2
0
5
A = 265
b
p
ap
c
B
c
B
cAcA
 
Figura 1.68 – Dimensões (cm) da sapata. 
 
Resolução 
 
 No Exemplo 1 a sapata foi projetada como rígida conforme o critério da NBR 6118 (Eq. 1.1): 
 7,61
3
80265
3
aA
h
p




 cm 
 
 Pelo “Método das Bielas” deve-se ter (Eq. 1.31): 
 3,46
4
80265
4
aA
d
p




 cm 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 44 
 
 
 Considerando que a altura útil d é apenas um pouco inferior a h, nota-se que o valor limite da NBR 6118 para 
sapata rígida sempre atenderá ao valor limite do “Método das Bielas”. A sapata foi considerada com altura de 70 cm, e 
d = 65 cm > 46,3 cm, de modo que o método pode ser aplicado. 
 O ângulo β de inclinação da sapata é: 
 
 7027,0
)80265(
2
1
65
)aA(
2
1
d
tg
p




  β = 35,1°(16) 
 
 Forças de tração na base da sapata (Eq. 1.32 e 1.33): 
 
 7,444
65
)80265(
8
1250
d
)aA(
8
P
T
p
x 



 kN 
 
 7,444
65
)20205(
8
1250
d
)bB(
8
P
T
p
y 



 kN 
 
 Como a sapata tem balanços iguais (cA = cB), as forças de tração resultaram iguais (Tx = Ty), de modo que as 
armaduras são também iguais nas duas direções: As,A = As,B . Com γf = 1,4 e Eq. 1.35 e 1.36: 
 
 32,14
15,1
50
7,4444,1
f
T
AA
yd
xd
B,sA,s 

 cm2 
 
 Com o “Método das Bielas” a armadura de flexão resultou um pouco inferior à calculada no Exemplo 1 (As,A = 
15,01 e As,B = 16,20 cm2), conforme o método do CEB-70. A NBR 6118 recomenda verificar a tensão na diagonal 
comprimida (item 19.5.3.1), como demonstrado no Exemplo 1. 
 As sapatas devem ter o equilíbrio verificado, quanto à possibilidade de tombamento e escorregamento, 
conforme apresentado no item 1.8. 
 
1.6.7 Sapatas Sob Ações Excêntricas 
 
 Excentricidades nas sapatas podem ser causadas pela existência de momentos fletores ou força 
horizontal no pilar, como também pela carga vertical, quando aplicada fora do centro de gravidade da base 
da sapata, como as sapatas de divisa (Figura 1.69 e Figura 1.70). 
 
A
A/2 A/2
N e
d
iv
is
a
 
N
H
M
 
Figura 1.69 – Sapatas isoladas sob ações excêntricas. 
 
 
16 Montoya[4] recomenda que o ângulo  seja igual ou superior a 45 para classificar a sapata como rígida. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 45 
 
 
N
MA
HA
A
BN
M
B
H
B
 
Figura 1.70 – Sapata isolada sob ações excêntricas. 
 
1.6.7.1 Excentricidade em Uma Direção 
a) Ponto de aplicação da força dentro do núcleo central de inércia 






6
A
e (Figura 1.71) 
 Ocorre quando 
6
A
e  . Tem-se: 
 
 
I
yM
BA
N 


 
 
 








A
e6
1
BA
N
máx ; 








A
e6
1
BA
N
mín 1.39 
 
A
B
A
6
B
6
e
N
máx
mín
Nnúcleo
 
Figura 1.71 – Ponto de aplicação da força dentro do núcleo central de inércia. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 46 
 
 
b) Ponto de aplicação da força no limite do núcleo central 






6
A
e (Figura 1.72) 
 
BA
N
2máx

 1.40 
 
A
A
6
máx
N
 
 
Figura 1.72 – Ponto de aplicação da força no limite do núcleo central. 
 
c) Ponto de aplicação da força fora do núcleo central 






6
A
e (Figura 1.73) 
 
 Parte da base da sapata (e solo) fica sob tensões de tração (mín < 0). Neste caso, um novo diagrama 
triangular é adotado, excluindo-se a zona tracionada, e com o CG (CP) do triângulo coincidente com o limite 
do novo núcleo central. A tensão de compressão máxima aumenta para: 
 
 








e
2
A
B3
N2
máx 
1.41 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 47 
 
 
A
A
6
máx, 1
N
e
B
LNmín
 
6
A0
máx
LN
3(A/2 - e)
A0
 
Figura 1.73 – Ponto de aplicação da força fora do núcleo central. 
 
1.6.7.2 Excentricidade nas Duas Direções 
 
A Figura 1.74 mostra o desenho em planta de uma sapata com excentricidades nas duas direções. 
y
xe
B
eA
A
B
N
 
Figura 1.74 – Sapata com excentricidade nas duas direções. 
 
 O equilíbrio é obtido com as pressões atuando em apenas uma parte da área da base da sapata, e: 
 
 
I
xM
I
yM
BA
N AB 



 1.42 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 48 
 
 
N
MB
HB
B
N
MA
HA
A
 
Figura 1.75 – Forças e momentos fletores atuantes na sapata. 
 
 
 MA’base = MA + HA . h ; MB’base = MB + HB . h 
 
 
N
M
e AA  , 
N
M
e BB  
 
a) Quando 
6
1
B
e
A
e BA  (Figura 1.76) 
 
y
xe
B
eA
A
B
N
CG
 m
áx
 m
ín
 
Figura 1.76 – Tensões na sapata para 
6
1
B
e
A
e BA  . 
 
 
 








B
e6
A
e6
1
BA
N BA
máx ; 








B
e6
A
e6
1
BA
N BA
mín 1.43 
 
 (toda seção seta comprimida) 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 49 
 
 
b) Quando 
6
1
B
e
A
e BA  (Figura 1.77) 
 
y
x
e
B
eA
A
B
N
2
1
4
3
 m
áx
 m
ín

seção
comprimida
 
Figura 1.77 – Tensões na sapata para
6
1
B
e
A
e BA  . 
 
 
BAK
N
1
1máx

 1.44 
 
 mín = 4 = K4 1 (fictício, não considerado) 1.45 
 
 mín = 4 < 0 1.46 
 
 K1 e K4 são determinadas no ábaco mostrado na Figura 1.78. Num ponto qualquer de coordenadas 
(x, y) a tensão é: 
 
  









tg
A
B
1
tg
A
B
B
y
A
x
414mín 1.47 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 50 
 
 
 
 
Figura 1.78 – Ábaco para determinaçãodas tensões máximas nas sapatas retangulares rígidas para 
ação com dupla excentricidade (Montoya[4]). 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 51 
 
 
Notas: 
 - em todos os casos analisados deve-se ter, para a combinação de carregamento mais desfavorável, 
σmáx = 1,3σadm ; 
 - para as cargas permanentes atuantes sobre a sapata, a base da sapata deve estar inteiramente 
comprimida, isto é: 
 
6
1
B
e
A
e g,Bg,A
 1.48 
 
 (G = peso próprio e solo sobre a sapata - Figura 1.79). 
 
Gs2
Gb2
Gs1
Gb1
 
Figura 1.79 – Forças representativas do peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata. 
 
- Para garantir a segurança contra tombamento da sapata, na condição mais desfavorável, pelo menos a 
metade da base da sapata deve estar comprimida, o que se consegue fazendo: 
 
 
9
1
B
e
A
e
2
B
2
A 











 1.49 
 
 
1.6.7.3 Exemplo 3 – Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor 
 
 Para um pilar de 20 x 100 cm submetido a uma força de compressão (Nk) de 1.600 kN e um momento fletor 
(Mk) de 10.000 kN.cm, atuando em torno do eixo paralelo ao menor lado do pilar (Figura 1.80), dimensionar a fundação 
em sapata isolada, sendo conhecidos: concreto C25, aço CA-50 (fyd = 43,48 kN/cm2), σadm = 0,030 kN/cm² (0,30 MPa), 
armadura longitudinal do pilar composta por barras de ,pil = 20 mm. 
b
p
ap
k
kN
100
2
0 B
A
M
 
Figura 1.80 – Notação das dimensões e ações aplicadas na sapata. 
 
Resolução 
 
1) Cálculo das dimensões (em planta) da sapata (sem considerar o efeito do momento fletor) 
 
 Área de apoio da sapata, considerando Kmaj = 1,05 como estimativa do peso próprio da sapata e do solo sobre a 
sapata (Eq. 1.7): 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 52 
 
 
 000.56
030,0
160005,1NK
S
adm
maj
sap 



 cm2 
 
 Dimensão B da sapata em planta (Eq. 1.9), com balanços (c) iguais nas duas direções (Figura 1.81): 
 
     sap2pppp Sab
4
1
ab
2
1
B  =     0,2005600010020
4
1
10020
2
1 2
 cm 
 
que já é um valor múltiplo de 5 cm, de modo que B = 200 cm. Para balanços iguais (cA = cB) tem-se (Eq. 1.5): 
 
 A – ap = B – bp 
 
 A = B – bp + ap = 200 – 20 + 100 = 280 cm 
 
e a área da base da sapata passa a ser: Ssap = A . B = 280 . 200 = 56.000 cm2, que corresponde à área mínima para 
atender a tensão admissível do solo. 
B
2
0
0
A
280
 2
0
 
100
b
p
ap
 
Figura 1.81 – Dimensões da sapata (cm). 
 
2) Verificação das tensões na base da sapata 
 
 O cálculo da tensão no solo será feito considerando a estimativa do peso próprio da sapata e do solo sobre a 
sapata, pelo fator Kmaj de 1,05. Tensões na base da sapata (Figura 1.83): 
 
 
I
yM
BA
N 


 
 
 
2
A
y  ; 
12
AB
I
3
 
 
 95,5
160005,1
10000
NK
M
e
maj


 cm ; 7,46
6
280
6
A
 cm 
 
 7,46
6
A
95,5e  cm  a força N está aplicada dentro do núcleo central de inércia (ver Figura 1.71) 
 
 A tensão máxima é (Eq. 1.39): 
 
 








A
e6
1
BA
N
máx 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 53 
 
 
 0338,0
280
95,56
1
200280
160005,1
máx 




 



 kN/cm2 > σadm = 0,030 kN/cm2  não ok! 
 
 Neste caso deve-se aumentar a seção da base da sapata. Fazendo o lado A = 300 cm e com a Eq. 1.5 tem-se o 
lado B e a nova área da base da sapata: 
 
 B = A – ap + bp = 300 – 100 + 20 = 220 cm 
 
 Ssap = A . B = 300 . 220 = 66.000 cm2 
 
 A excentricidade (e) não se altera, de modo que com as novas dimensões a tensão máxima é: 
 
 0285,0
300
95,56
1
220300
160005,1
máx 




 



 kN/cm2 < σadm = 0,030 kN/cm2  ok! a tensão admissível do solo 
não foi ultrapassada. 
 
3) Altura da sapata 
 
 Fazendo como sapata rígida, conforme o critério da NBR 6118 (Eq. 1.1): 
 
 7,66
3
100300
3
aA
h
p




 cm , e fazendo cA = cB , não é necessário verificar na direção do lado B. 
 
 É importante definir a altura da sapata também em função do comprimento de ancoragem da armadura 
longitudinal do pilar ( 20 mm). Considerando situação de boa aderência, com gancho, C25, CA-50 (nervurado) tem-se 
o comprimento de ancoragem b = 53 cm na Tabela A-7. 
 Adotando h = 80 cm tem-se a altura útil é: 
 
 d = h – 5 cm = 80 – 5 = 75 cm > b = 53 cm  ok! 
 
 A altura da face vertical nas extremidades da sapata é (Eq. 1.3): 
 
 







cm15
cm7,26
3
80
3
h
ho  adotado ho = 30 cm 
 
 O balanço c da sapata, com balanços iguais (ver Figura 1.82), é (Eq. 1.26): 
 
 100
2
100300
2
aA
ccc
p
BA 



 cm 
 
 O ângulo da superfície inclinada da sapata é: 
 
 
100
3080
c
hh
tg o



   = 26,6° 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 54 
 
 
B
2
2
0
A
300
 
1
0
0
 2
0
 
1
0
0
 
100
 
100
 
100
c
B
c
B
cA cA
b
p
ap
 
Figura 1.82 – Dimensões e balanços da sapata (cm). 
 
 
4) Cálculo dos momentos fletores segundo o CEB-70 
 
 Verificação se o processo do CEB-70 pode ser aplicado: 
 
 802c
2
80
h2c
2
h
  40  c = 100  160 cm  ok! 
 
 Para cálculo dos esforços solicitantes atuantes na sapata (V e M), não é necessário considerar o peso próprio da 
sapata e do solo sobre a sapata, pois não influenciam nesses esforços solicitantes, de modo que o cálculo será refeito 
desconsiderando o fator Kmaj = 1,05, e com as ações externas majoradas por coeficientes de ponderação, neste caso γf = 
1,4: 
 25,6
1600.4,1
10000.4,1
N
M
e
d
d  cm 
 
 Tensão máxima teórica17 é (Eq. 1.39): 
 
 








A
e6
1
BA
N
máx 
 
 03818,0
300
25,66
1
220300
1600.4,1
d,máx 




 


 kN/cm2 
 
 02970,0
300
25,66
1
220300
1600.4,1
d,mín 




 


 kN/cm2 > 0 (como esperado, porque a força N aplicada está dentro 
do núcleo central de inércia) 
 
 Conforme o CEB-70, o momento fletor M1A,d deve ser calculado na seção de referência S1A (Figura 1.84). O 
cálculo deve compreender o diagrama de reações no solo compreendido entre a seção de referência e a extremidade da 
sapata, onde ocorre a tensão máxima (0,03818 kN/cm2). 
 A distância entre a extremidade da sapata e a seção de referência S1A é: 
 
 xA = cA + 0,15ap = 100 + 0,15 . 100 = 115 cm 
 
 A tensão no solo na posição da seção de referência S1A é: 
 
 
 
03493,0115
300
02970,003818,0
03818,0p A,1 

 kN/cm2 (ver Figura 1.84) 
 
 
17 A tensão máxima real aplicada no solo é de 0,0285 kN/cm2. O valor de 0,03818 kN/cm2 é teórico, serve apenas para 
calcular os esforços solicitantes na sapata, e considera o coeficiente de ponderação majorador das ações. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 55 
 
 
100
2
0
2
2
0
300
N
M
M
0,03818
0,02970
Nd
A . B
M yd
I
 
Figura 1.83 – Dimensões da sapata e esquema de tensões do solo. 
 
 
 
B
2
2
0
A
300
0,03818
0,02970
h 8
0 d 7
5
 
1
0
0
 2
0
 
1
0
0
 
100
 
100
 
100
c
B
c
B
cA cA
b
p
ap
S1A
p1,A
xa
 
115
0,15 = 15ap
 
p1,A
P1
P2
0,03818
0,03493
S1A 115
57,5
76,7 38,3
57,5
0
,1
9
4
,0
2
 
Figura 1.84 – Seção de referência S1A e valores das tensões do solo (kN/cm2). 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 56 
 
 
 As forças resultantes das tensões no solo, para o diagrama de tensões mostrado na Figura 1.84, são: 
 
 P1 = 0,03493 . 115 = 4,02 kN 
 
 P2 = (0,03818 – 0,03493) . 115/2 = 0,19 kN 
 
 M1A,d = (4,02 . 57,5 + 0,19 . 76,7) 220 = 54.059 kN.cm 
 
 Na dimensão B o momento fletor M1B,d deve ser calculado na seção de referência S1B (ver Figura 1.85). 
Considerando a tensão média entre as tensões mínima e máxima tem-se: 
 
 03394,0
2
02970,003818,0
pméd 

 kN/cm2 
 
 A distância entre a extremidade da sapata e a seção de referência S1B é: 
 
 xB = cB + 0,15bp = 100 + 0,15 . 20 = 103 cm 
 
 010.54300
2
103
03394,0A
2
x
pM
22
B
médd,B1  kN.cm0,02970
S 1A
S
1B
p
1A = 0,03493 0,03818
0,03818
0,03394
(valor médio)
0,02970
0,02970
 
Figura 1.85 – Esquema de reações do solo na base da sapata. 
 
 
 Armaduras de flexão (Eq. 1.28): 
 
yd
d
s
fd85,0
M
A   50,19
48,437585,0
54059
A A,s 

 cm2 
 
Transformando a armadura em cm2/m: 
86,8100
220
50,19
 cm2/m  na Tabela A-11:  10 mm c/9 cm (8,89 cm2/m) 
 
49,19
48,437585,0
54010
A B,s 

 cm2 
 
50,6100
300
49,19
 cm2/m  na Tabela A-11:  10 mm c/12 cm (6,67 cm2/m) 
 
 Para a armadura de flexão recomenda-se que o espaçamento entre as barras esteja compreendido entre os 
valores: 10 cm ≤ e ≤ 20 cm. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 57 
 
 
 
5) Verificação da diagonal comprimida na superfície crítica C 
 
 O perímetro do pilar é: 
 
 uo = 2(ap + bp) = 2(20 + 100) = 240 cm (Figura 1.86) 
 
100
ap
2
0bp
 
Figura 1.86 – Perímetro do pilar – superfície crítica C. 
 
 A força aplicada pelo pilar, sem considerar a possível redução devida à reação de baixo para cima na base da 
sapata, proveniente do solo, é: 
 
 FSd = NSd = γf . N = 1,4 . 1600 = 2.240 kN 
 
 Tensão de cisalhamento atuante (Eq. 1.18): 
 
124,0
75240
2240
du
F
o
Sd
Sd 

 kN/cm2 = 1,24 MPa 
 
 Tensão de cisalhamento resistente (Eq. 1.17): 
 
43,0
4,1
5,2
250
25
127,0f27,0 cdv2,Rd 





 kN/cm2 = 4,3 MPa 
 
τSd = 1,24 MPa < τRd,2 = 4,3 MPa  ok! 
 
 Portanto, não irá ocorrer o esmagamento das bielas comprimidas de concreto. 
 
 As sapatas devem ter o equilíbrio verificado, quanto à possibilidade de tombamento e escorregamento, 
conforme apresentado no item 1.8. 
 
6) Detalhamento das armaduras (Figura 1.87) 
 
 As armaduras serão distribuídas uniformemente nas direções A e B, conforme a NBR 6118 (22.6.4.1.1), a qual 
especifica que as barras das armaduras de flexão sejam estendidas até as faces das extremidades da sapata, e terminadas 
em gancho. Como o cobrimento de concreto é 4 cm e ho é 30 cm, pode-se considerar que o gancho vertical nas 
extremidades das barras seja: ho – 10 cm = 30 – 10 = 20 cm. 
 O comprimento de ancoragem das barras de flexão, considerando  10 mm, C25, boa aderência, sem gancho, 
na Tabela A-7 é b = 38 cm. O comprimento do ganho inclinado então é a diferença entre o comprimento de ancoragem 
(b) e o gancho vertical: 
 
 gancho,incl ≥ 38 – 20 ≥ 18 cm 
 
 Portanto, pode-se arredondar o gancho,incl para 20 cm. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 58 
 
 
20 20
2
0
20
80
30
N
1
 -
 2
4
 c
/9
N2 - 24 c/12
100
ØlØ,pil
24 Ø10
24 Ø10
N1 - 24 Ø10 C = 372
2
0 2
0292
N
2
 -
 2
4
 Ø
1
0
 C
 =
 2
9
2
2
1
2
20
20
 
 
Figura 1.87 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata. 
 
 
1.6.7.4 Exemplo 4 – Sapata Isolada Sob Flexão Oblíqua 
(Exemplo de Edja L. Silva[20], Dissertação de Mestrado, 1988, EESC-USP, São Carlos/SP) 
 
 Dimensionar a sapata isolada de um pilar considerando: 
 
 - seção transversal do pilar: 40 x 60 cm ; ,pilar = 22  20 mm (parte tracionada); 
 - força normal característica Nk = N = 1.040 kN; 
 - concreto C20 ; aço CA-50 ; c = 4,5 cm; 
 - tensão admissível do solo σadm = 500 kN/m2; 
 - momentos fletores solicitantes característicos: Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m. 
 
Resolução 
 
a) Estimativa das dimensões da base da sapata 
 
 Considerando o fator Kmaj = 1,1 para estimar o peso próprio da sapata e do solo sobre ela, bem como outras 
eventuais cargas sobre o pavimento acima da sapata, tem-se: 
 
 288,2
500
10401,1N1,1
S
adm
sap 



 m2 = 22.880 cm2 
 
 Fazendo abas (balanços) iguais (cA = cB = c): 
 
     sap2pppp Sab
4
1
ab
2
1
B  =     m42,1288,26,04,0
4
1
6,04,0
2
1 2
 
 
adotado B = 140 cm. 
 
 A – ap = B – bp  A = B – bp + ap = 140 – 40 + 60 = 160 cm (Figura 1.88) 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 59 
 
 
 
 A área da base da sapata é: Ssap = A . B = 160 . 140 = 22.400 cm2 ≥ 22.880 cm2  ok! 
 
B
1
4
0
c
m
A
160cm
x
y
60
40
N
N
Mx
N
My
 
Figura 1.88 – Dimensões (cm) e esforços solicitantes na sapata. 
 
b) Verificação das tensões na base da sapata 
 
 Em função da força normal e dos momentos fletores solicitantes: 
 
 N = 1.040 kN ; Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m 
 
as excentricidades da força vertical são: 
 cm27m270,0
1040
280
ex  e cm3,18m183,0
1040
190
ey  
 
 Cálculo da tensão máxima 1 com auxílio do ábaco da Figura 1.78: 
 
 
13,0
140
3,18
B
e
17,0
160
0,27
A
e
y
y
x
x


  ábaco (Figura 1.78)  1 = 0,34, zona C 
 
 6505003,13,1
BA
F
adm
1
V
1 

 kN/m2 
 
 Considerando o fator Kmaj = 1,1 para estimar o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata, a tensão é: 
 
 502.1
4,16,134,0
10401,1
1 


 kN/m2 >> 1,3σadm = 650 kN/m2  não ok! 
 
 As dimensões da sapata devem ser aumentadas! Nova tentativa com A = 220 cm, B = 200 cm e cA = cB = c = 
80 cm: 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 60 
 
 
 12,0
220
0,27
x  ; 09,0
200
3,18
y  
 
 Verifica-se que: 
 
6
1
21,0
B
e
A
e
yx
yx  (há tração na base) 
 
no ábaco (Figura 1.78): 1 = 0,44,  = 36, 4 = 0,10 e zona C. 
 
 Tensões nos vértices da sapata (Figura 1.89): 
 
 591
0.2.2,2.44,0
1040.1,1
1  kN/m2 < 1,3σadm = 650 kN/m2  ok! 
 
 σ4 = – λ4 σ1 = – 0,10 . 591 = – 59,1 kN/m2 (fictícia) 
 
 






36cos36sen
36sen
)1,59591(591
sensen
sen
)(
4112 
 
 2 = 317,4 kN/m2 
 
 






36cos36sen
36sen
)1,59591(591
sensen
sen
)(
4113 
 
 3 = 214,5 kN/m2 
215
591
-59
317
L
N
 
Figura 1.89 – Tensões nos vértices da sapata. 
 
c) Verificação do tombamento da sapata 
 
 111,0
9
1
9
1
B
e
A
e 2
y
2
x
2
y
2
x












 
 
 0,122 + 0,092 = 0,023 < 0,111  ok! 
 
 Deve ainda ser verificada a equação: 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 61 
 
 
6
1
B
e
A
e g,yg,x
 
 
d) Determinação da altura da sapata como rígida 
 
 Pelo critério da NBR 6118: 
 
3,53
3
60220
3
aA
h
p




 cm 
 
 Para a armadura do pilar (22  20 mm) será utilizado o gancho a fim de diminuir o comprimento de ancoragem 
e a altura necessária para a sapata. Para  20, C20, boa aderência, com gancho, resulta b = 61 cm, e: 
 
 d > b = 61 cm 
 
 Será adotado h = 75 cm, e d = 75 – 5 = 70 cm > b = 61 cm  ok! 
 
 cm35hadotado
cm15
cm25
3
75
3
h
h oo 






 
 
e) Determinação dos momentos fletores conforme o CEB-70 
 
 Verificação: 75280
2
75
h2c
2
h
 
 
 37,5 ≤ c = 80 ≤ 150 cm  ok! o método do CEB-70 pode ser aplicado. 
 
 As seções de referência S1 estão indicadas na Figura 1.90. Para simplificação pode-se admitir uma tensão 
uniforme de referência como: 
 
 








méd
máx
ref 3
2
 
 
 Como simplificação a favor da segurança será considerada a maior tensão entre aquelas na metade dos lados A 
e B. 
 Dimensão A (S1A): 0,2
2
89,0
0,454B
2
x
pM
22
A
A  
 
 0,454
2
317591
p 

 kN/m2 
 
 MA = 359,61 kN.m = 35.961 kN.cm 
 
 MA,d = 1,4 . 35961 = 50.346 kN.cm 
 
 Dimensão B (S1B): 2,2
2
86,0
0,403A
2
x
pM
22
B
B  
 
 0,403
2
215591
p 

 kN/m2 
 
 MB = 327,86 kN.m = 32.786 kN.cm 
 
 MB,d = 1,4 . 32786 = 45.901 kN.cm 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 62 
 
 
215
591
-59
317
403 439
E
F
G
H
D
B
C
A
45
4
x B
86
B 
= 2
00
165
xA
89
A = 220
47
3
97
S
1B
S 1A
302
 
 
Figura 1.90 – Tensões na base da sapata e seções de referência S1 . 
 
 
Atividade: fazer os demais cálculos, verificações e o detalhamento final das armaduras. 
 
 
1.6.8 Sapata Flexível Sob Carga Centrada 
 
 Segundo o critério da NBR 6118, sapatas flexíveis são aquelas que: 
 
 
3
a -A 
 <h 
p
 1.50 
 
 As sapatas flexíveis são menos utilizadas que as sapatas rígidas, esão indicadas para cargas verticais 
baixas e solos relativamente fracos (NBR 6118, item 22.6.2.3). A verificação da punção é obrigatória, pois o 
cone de punção pode ficar dentro da sapata. 
 Conforme Andrade[14], os momentos fletores e as forças cortantes podem ser calculados segundo dois 
critérios: 
 
a) “independentes” segundo cada direção, desprezando o fato que a sapata trabalha como laje armada em 
cruz (Figura 1.91a); 
b) segundo cada direção com um determinado quinhão de carga, determinados geometricamente e 
empiricamente, repartindo-se a área da sapata em “áreas de influência”, que podem ser triangulares ou 
trapezoidais (Figura 1.91b e Figura 1.91c). 
 
 Os momentos fletores são calculados segundo as duas direções da sapata, nas seções correspondentes 
ao seu centro. As forças cortantes são calculadas nas seções de referência 1 e 2, nas faces do pilar, conforme 
a Figura 1.91. 
 Os momentos fletores calculados com área triangular e trapezoidal são praticamente idênticos, e com 
área retangular são mais elevados. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 63 
 
 
2 2
1
1
N
2
N
2
A2
A1
 
2 2
N
4
1
1
A1
A3
A2
A4
N
4
 
N
4
1
2 2
A1
A3
A2
A4
N
4
2 2
1
1
 
a) Primeiro critério: áreas 
compostas por retângulos; 
b) Segundo critério: áreas 
compostas por triângulos; 
c) Segundo critério: áreas composta 
 por trapézios. 
 
Figura 1.91 – Áreas relativas aos quinhões de carga. 
 
 A tensão aplicada pela sapata no solo é: 
A
N
p  
 A tensão atuante na área do pilar devida à força vertical centrada é: 
pp
pil
ba
N
p  
 
a) Áreas compostas por retângulos (Figura 1.92) 
 
 O momento fletor máximo relativo ao lado A (lado maior) da sapata é: 
 
p
2
p
pil
2
A b
2
a
p
2
1
-B
2
A
p
2
1
 = M 













 
 
 )a -(A 
8
N
 = M pA 1.51 
 
 Analogamente para o lado B da sapata: 
 
 )b - (B 
8
N
 = M pB 1.52 
2 2
1
1
N
2
N
2
A2
A1
 
Figura 1.92 – Quinhões de carga por área retangular. 
 
 A força cortante para o lado A da sapata é: 
 
  pA a-Ap
2
1
 = V 
 
 







A
a
-1
2
N
 = V
p
A 1.53 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 64 
 
 
 Analogamente para o lado B: 
 
 







B
b
-1
2
N
 = V
p
B 1.54 
 
b) Áreas compostas por triângulos (Figura 1.93) 
 
 Momento fletor máximo relativo ao lado A: 
 
 
2
a
3
2
 
4
N
- 
2
A
3
2
4
N
 = M
p
A 













 
 
 )a -(A 
12
N
 = M pA 1.55 
 
2 2
N
4
1
1
A1
A3
A2
A4
N
4
 
Figura 1.93 – Quinhões de carga por área triangular. 
 
 Força cortante relativo ao lado A: 
 
 )a -(A 
2
1
 )b + (B 
2
1
 p = V ppA 
 
 
















A
a
1 
B
b
1 
4
N
 = V
pp
A 1.56 
 
 Analogamente para o lado B: 
 
 )b - (B 
12
N
 = M pB 
 
 
















A
a
1 
B
b
1 
4
N
 = V
pp
B 
1.57 
 
b) Áreas compostas por trapézios (Figura 1.94) 
 
 A carga N/4 é aplicada no centro de gravidade do trapézio, com: 
 
 
















p
pp
CG
b + B
b + 2B
 
6
a -A 
 = x 1.58 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 65 
 
 
N
4
1
2 2
A1
A3
A2
A4
N
4
2 2
1
1
 
Figura 1.94 – Quinhões de carga por área trapezoidal. 
 
 O momento fletor no centro da sapata relativo ao lado A é: 
 
 
2
a
3
2
4
N
2
a
bB
bB2
6
aA
4
N
 = M
pp
p
pp
A 


























 
 
 
 E finalmente, para os dois lados: 
 
 


























 
6
a
bB
bB2
6
aA
4
N
 = M
p
p
pp
A 
 
 


























 
6
b
aA
aA2
6
bB
4
N
 = M
p
p
pp
B 
1.59 
 
 A força cortante na seção 1 relativo ao lado A é: 
 
    ppA aA
2
1
 bB 
2
1
p = V  
 
 E finalmente, para os dois lados: 
 
 
















A
a
1 
B
b
1 
4
N
 = V
pp
A 
 
 
















A
a
1 
B
b
1 
4
N
 = V
pp
B 
1.60 
 
1.6.8.1 Verificação de Sapata Flexível à Força Cortante quando bW  5d 
 
 A força cortante nas sapatas pode ser verificada como nas lajes quando bw  5d (NBR 6118, item 
19.4), onde bw é a largura da sapata na direção considerada. As lajes não necessitam de armadura transversal 
à força cortante quando: 
 
 VSd  VRd1 1.61 
 
com: 
 
 VRd1 = [τRd k(1,2 + 40ρ1) + 0,15σcp] bw d 1.62 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 66 
 
 
onde: Rd = tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento; 
k = coeficiente igual a 1 para elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o apoio; 
para os demais casos k = | 1,6 – d | > 1, com d em metros; 
 
 0,02 
db
A
 = 
w
s1
1  1.63 
 
c
Sd
cp
A
N
 =  1.64 
 
NSd = força longitudinal na seção derivada à protensão ou carregamento (compressão positiva); 
As1 = área da armadura de flexão que se estende pelo menos d + b,nec além da seção considerada. 
 
1.6.8.2 Exemplo 5 – Sapata Flexível 
 
 Resolver a sapata do Exemplo 3 fazendo a sapata como flexível. 
 
Resolução 
 
 As dimensões da sapata em planta estão indicadas na Figura 1.95. Como apresentado na resolução do Exemplo 
3, a sapata foi resolvida como rígida, com h = 80 cm. Pelo critério da NBR 6118 a sapata será flexível se h < 66,7 cm. 
Como a armadura principal do pilar tem b = 53 cm, deve-se atender esse valor. A sapata será flexível adotando h = 60 
cm, e: 
 d = h – 5 cm = 60 – 5 = 55 cm > b = 53 cm  ok! 
 
B
2
2
0
A
300
 
1
0
0
 2
0
 
1
0
0
 
100
 
100
 
100
c
B
c
B
cA cA
b
p
ap
 
Figura 1.95 – Dimensões da sapata (cm). 
 
a) Momentos fletores e forças cortantes 
 
a.1) Área por triângulos (Figura 1.97) 
 
 As fórmulas desenvolvidas são para sapata com carga centrada. Para aplicação neste exemplo, onde ocorre 
momento fletor e a tensão no solo na base da sapata não é uniforme (Figura 1.96), é necessário adotar um critério de 
modo a uniformizar a tensão. Um critério simples é: 
 
 













03394,0
2
03818,002970,0
2
03054,003818,08,08,0
p
mínmáx
máx
d,based  pd = 0,03394 kN/cm
2 (ver Figura 1.97) 
 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 67 
 
 
100
2
0
2
2
0
300
N
M
M
0,03818
0,02970
Nd
A . B
M yd
I
 
Figura 1.96 – Tensões (valores de cálculo) no solo na base da sapata. 
 
 
2
3
100
p = 0,03394d
N
4
 
100
ap
 2
0
b
pB
2
2
0
A
300
A
2
0,03818 KNcm²
0,02970
 
Figura 1.97 – Área de um triangulo, dimensões da sapata e reação do solo. 
 
 Com pd pode-se determinar Nd : 
 
 
BA
N
 = p dd

  Nd = pd . A . B = 0,03394 . 300 . 220 = 2.240 kN 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 68 
 
 
 Os momentos fletores são: 
 
 37.333 = 100) (300
12
2240
 = )aA (
12
N
 =M p
d
dA,  kN.cm 
 
 333.37)20220(
12
2240
)bB(
12
N
M p
d
d,B  kN.cm 
 
 As forças cortantes atuantes são: 
 
 




























300
100
1
220
20
1
4
2240
A
a
1
B
b
1
4
N
VV
ppd
d,Bd,A = 339,4 kN 
 
 A verificação da sapata à força cortante pode ser feita conforme indicado no item 1.6.8.1. 
 
a.2) Área por trapézios (Figura 1.98) 
 
 Os momentos fletores são: 
 
 


























 

6
a
bB
bB2
6
aA
4
N
M
p
p
ppd
d,A = 


















 
6
100
20220
202202
6
100300
4
2240
= 45.111 kN.cm 
 
 


























 

6
b
aA
aA2
6
bB
4
N
M
p
p
ppd
d,B = 533.34
6
20
100300
1003002
6
20220
4
2240



















 
kN.cm 
 
N
4
 
100
ap
 2
0
b
pB
2
2
0
A
300
0,03394 KNcm²p =d
 
Figura 1.98– Área de um trapézio e reação do solo. 
 
 As forças cortantes atuantes são (Figura 1.99): 
 
 kN4,339
A
a
1
B
b
1
4
N
VV
ppd
d,Bd,A 















 (igual à área por triângulos) 
 
MB
MA
B
A 
Figura 1.99 – Indicação dos momentos fletores solicitantes. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 69 
 
 
b) Armaduras de flexão 
 
 Adotando os momentos fletores calculados para as áreas de trapézios, tem-se: 
 
 2
yd
d
A,s cm18,22
5,435585,0
45111
fd85,0
M
A 



 
 
 08,10100
220
18,22
 cm2/m  na Tabela A-11:  10 c/8 cm (10,00 cm2/m) 
 
 
2
B,s cm98,16
5,435585,0
34533
A 

 
 
 66,5100
300
98,16
 cm2/m  na Tabela A-11:  10 c/14 cm (5,71 cm2/m) 
 
 Taxas de armadura, considerando as armaduras efetivas: 
 
 01818,0
55100
00,10
d100
As
A 

 
 
 00104,0
55100
71,5
d100
As
B 

 
 
c) Verificação da punção 
 
c1)Verificação da superfície crítica C’ (Figura 1.100) 
 
 Os balanços da sapata são iguais, cB = cA = 100 cm. 
 
 2d = 2 . 55 = 110 cm > cA = cB = 100 cm. Se 2d > cA ou 2d > cB , deve-se adotar para a* o menor valor entre cA 
e cB , portanto, neste caso a* = cB = cA = 100 cm. 
B
2
2
0
A
300
a*
a
*
C
C'
 
Figura 1.100 – Superfície critica C’ e distância a*. 
 
 Tensão de cisalhamento solicitante (τSd) para sapata com um momento fletor externo solicitante (Eq. 1.12 ou 
Eq. 1.24): 
 
 
dW
MK
d*u
F
p
SdSd
Sd  
 
 Área limitada pelo contorno C’: 
 
 Acont,C’ = ap . bp + 2a*ap + 2a* bp + (a*)2 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 70 
 
 
 Acont,C’ = 100 . 20 + 2 . 100 . 100 + 2 . 100 . 20 + (100)2 = 57.415 cm2 
 
 Com a tensão média na base da sapata de pd = 0,03394 kN/cm2, a força na área Acont, C’ devida à tensão (reação) 
do solo é: 
 7,948.157415.03394,0ApF 'C,contdSd  kN 
 
 Força sobre a sapata reduzida da reação do solo: 
 
 FSd,red = FSd – ∆FSd = (1,4 . 1600) – 1948,7 = 291,3 kN 
 
 Perímetro u* do contorno C’: 
 
 u* = 2ap + 2bp + 2a*  u* = 2 . 100 + 2 . 20 + 2 . 100 = 868,3 cm 
 
 Parâmetro K, dependente de C1 e C2 (Figura 1.101): 
 
C
a
C1
ap
C bC
2
b
p
e
N
e1
Msd
 
Figura 1.101 – Parâmetros C1 e C2 . 
 
 C1 = ap = 100 cm ; C2 = bp = 20 cm  5
20
100
C
C
2
1   na Tabela 1.1, K = 0,80 
 1
2
221
2
1
p Cd2 + 16d d4C CC 
2
C
 W  (para pilar retangular) 
 
com d = a* = 100 cm: 
 
 0100102 + 01016 010024 02100 
2
010
 W 2
2
p  = 237.830 cm
2 
 
 
25237830
)100004,1(8,0
253,868
3,291
dW
MK
du
F
p
Sd
*
Sd
Sd




 = 0,0153 kN/cm2 = 0,153 MPa 
 
onde d = h0 – 5 = 30 – 5 = 25 cm (d é a altura útil em C’). 
 
 Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’, com d = 25 cm (h0 – 5): 
 
 2cd
3
ck1Rd f5,0
*a
d2
f100
d
20
113,0 








 
 











 cd
ck
2cd f
250
f
16,05,0f5,0
4,1
5,2
250
25
16,05,0 











 = 0,480 kN/cm2 
 
 0,5fcd2 = 4,82 MPa 
 
 169,0
100
252
2500104,0100
25
20
113,0 31Rd 










 MPa (utiliza-se a menor taxa de armadura ρ) 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 71 
 
 
 τRd1 = 0,169 MPa ≤ 0,5fcd2 = 4,82 MPa  ok! 
 
 Não é necessário colocar armadura para punção, pois: 
 
 τSd = 0,153 MPa < τRd1 = 0,169 MPa 
 
 Quando ocorre a necessidade geralmente aumenta-se a altura da sapata para eliminar tal necessidade, a fim de 
simplificar a execução da sapata. 
 
c2) Verificação da superfície crítica C 
 
 Não ocorrendo punção na superfície crítica C’, dificilmente ocorrerá problema na superfície C. 
 
1.7 Sapata Corrida 
 
 Sapata corrida é aquela destinada a receber cargas lineares distribuídas, possuindo por isso uma 
dimensão preponderante em relação às demais. Assim como as sapatas isoladas, as sapatas corridas são 
classificadas em rígidas ou flexíveis, conforme o critério da NBR 6118 já apresentado. 
 Como as bielas de compressão são íngremes, surgem tensões de aderência elevadas na armadura 
principal As (Figura 1.102), que provocam o risco de ruptura da aderência e ruptura do concreto de 
cobrimento por fendilhamento, que pode ser evitada com diâmetro menores para as barras e espaçamentos 
menores. 
 Nas sapatas corridas flexíveis, especialmente, a ruptura por punção deve ser obrigatoriamente 
verificada. 
4
5
°
fissura
A
(principal)
Asbiela
comprida
armadura
secundária
 
Figura 1.102 – Armaduras, biela de compressão e fissuração na sapata corrida. 
 
 
Recomenda-se adotar para a altura 
(Figura 1.103): 
 
 h ≥ 15 cm (nas sapatas retangulares) 
 
 ho ≥ 10 ou 15 cm 
h
h
h
0
 
Figura 1.103 – Altura h da sapata corrida. 
 
 
 A distribuição de pressão no solo depende principalmente da rigidez da sapata e do tipo de solo. No 
cálculo prático são adotados diagramas simplificados, como os indicados na Figura 1.104: 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 72 
 
 
N N NA) B) C)
 
 
Figura 1.104 – Distribuição de pressão no solo. 
 
 A indicação de Guerrin[19] é: 
 
a) solos rochosos 
 - sapata rígida: diagrama bi triangular (a); 
 - sapata flexível: diagrama retangular (b); 
 
b) solos coesivos: diagrama retangular (b) em todos os casos; 
 
c) solos arenosos 
 - sapata rígida: diagrama retangular (b); 
 - sapata flexível: diagrama triangular (c). 
 
1.7.1 Sapata Rígida Sob Carga Uniforme 
 
 As sapatas corridas rígidas são utilizadas geralmente sob muros ou paredes com cargas relativamente 
altas e sobre solos com boa capacidade de suporte. 
 As sapatas corridas rígidas18 podem ter os momentos fletores (M) calculados na seção de referência 
S1 , conforme o CEB-70. As verificações necessárias e o dimensionamento das armaduras pode ser feito de 
modo semelhante às sapatas isoladas rígidas, fazendo B = 1 m. 
 O “Método das Bielas” também pode ser utilizado, em opção ao CEB-70, obedecido o limite para a 
altura útil (Eq. 1.31): 
 
 
4
aA
d
p
 
aap
A
h
 
Figura 1.105 – Notação da sapata. 
 
A armadura principal deve ser dimensionada para a força Tx (Figura 1.106): 
 
 






 

d
aA
8
N
T
p
x  Txd = γf Tx 1.65 
 
 
yd
xd
A,ssx
f
T
AA  1.66 
 
 
18 Conforme a NBR 6118 a sapata é rígida quando h ≥ (A – ap)/3. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 73 
 
 
 O fenômeno da punção não ocorre, porém, conforme a NBR 6118 (19.5.3.1), a tensão de compressão 
na diagonal comprimida deve ser verificada na superfície crítica C (item 19.5.3.1). 
 
aap
A
d
Tx
N
dd
0
p
 
Figura 1.106 – Força Tx conforme o Método das Bielas. 
 
 
1.7.2 Sapata Flexível Sob Carga Uniforme 
 
 A sapata tem duas armaduras, uma considerada principal, posicionada na direção do lado A, e outra 
secundária ou de distribuição, perpendicular à principal e disposta ao longo do comprimento da sapata. A 
armadura principal é dimensionada para o momento fletor solicitante máximo, na seção do eixo da parede 
(Figura 1.107). A força cortante máxima é considerada atuando na seção correspondente à face da parede 
apoiada na sapata. Esses esforços solicitantes são calculados sobre faixas unitárias (B = 1 m) ao longo do 
comprimento da sapata. 
hd
ØlØ , pilar
p
N
A
As,princA 
hh0
As,secA 
p
M
V
 
Figura 1.107 – Sapata corrida flexível. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 74 
 
 
 Pressão no solo: 
A
N
p  
 Pressão sob a parede: 
p
par
a
N
p  
 
 Força cortante (máxima) na seção correspondente à face da parede: 
 
  paA
2
1
V p 
 
 








A
a
1
2
N
V
p
 1.67 
 
 Momento fletor (máximo) no centro da sapata: 
 
 
8
a.p
8
pA
2
a
p
2
1
2
A
p
2
1
M
2
ppar
22
p
par
2














 
 
  paA
8
N
M  1.68 
 
 A armadura secundária (As,sec), também chamada armadura de distribuição,deve ter área: 
 
 






m/cm9,0
A
5
1
A
2
princ,s
sec,s 1.69 
 
 As bordas da sapata (balanço) podem ser reforçadas com barras construtivas, como indicado na 
Figura 1.108. 
 
Øl
 
Figura 1.108 – Reforço das bordas com barras adicionais. 
 
 
 A punção, conforme já estudada, deve ser sempre verificada nas sapatas corridas flexíveis (Figura 
1.109). 
4
5
°45
°
superfície de ruptura por
punção, segundo Leonhardt
 
Figura 1.109 – Superfície de ruptura por punção na sapata flexível. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 75 
 
 
1.7.3 Exemplo 6 – Sapata Corrida Rígida Sob Carga Centrada 
 
 Dimensionar a sapata rígida pelo “Método das Bielas” sob uma parede corrida de concreto de 20 cm de largura 
com carga vertical N = 200 kN/m (20 tf/m). Dados: 
 
 C20; σadm = 1,1 kgf /cm2 = 11 tf /m2 = 0,011 kN /cm2 = 0,11 MPa 
 d = h – 5 cm ; CA-50 ; c = 4,5 cm ; kmaj = 1,05 
 
a = 20ap
A
d
N
h
p
hh0
c
90
 
Figura 1.110 – Sapata corrida rígida. 
 
Resolução 
 
a) Largura da sapata 
 
 A área da base da sapata é: Ssap = A . B = (Kmaj . N)/adm . Considerando que a sapata seja calculada como faixa 
de 1 m ao longo do comprimento da sapata, tem-se que B = 1 m = 100 cm e com N = 2,0 kN/cm: 
 
 
011,0
0,205,1NK
1.A
adm
maj 


 = 190,9 cm  adotado A = 190 cm 
 
 Os balanços têm o valor: 
 
 85
2
20190
2
aA
c
p




 cm 
 
b) Altura da sapata 
 
- pelo critério da NBR 6118 (Eq. 1.1): cm56,7
3
20)(190
3
)a(A
h
p




 
 
- para aplicar o Método das Bielas no cálculo deve-se ter (Eq. 1.31): 
 
 5,42
4
20190
4
aA
d
p




 cm 
 
 Adotando h = 60 cm e d = h – 5 = 55 cm, verifica-se que o “Método das Bielas” pode ser aplicado e a sapata é 
classificada como rígida conforme a NBR 6118, e considerando também que a altura da sapata possibilite a ancoragem 
da armadura principal da parede 
 
c) Armadura de flexão 
 
 Força de tração na armadura principal: 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 76 
 
 
 3,77
55
20190
8
200
d
aA
8
N
T
p
x 




 







 
 kN/m 
 
com γf = 1,4 e CA-50 (fyd = 43,48 kN/cm2), a armadura principal é: 
 
 49,2
48,43
3,774,1
f
T
AA
yd
xd
A,sx,s 

 cm2/m = 0,0249 cm2/cm 
 
para  8 mm (1  8  0,50 cm2) tem-se: 0249,0
s
5,0
  s = 20,1 cm 
 
 s = 20 cm  20 ou 25 cm (indicação prática como espaçamento máximo para as barras) 
 
 Como alternativa, considerando  6,3 mm (0,31 cm2): 
 
 4,12
0249,0
31,0
s  cm  20 cm  ok! 
 
 Portanto: 
 
 As,A = As,princ :  8 c/20 cm (2,50 cm2) ou  6,3 c/12 cm (2,58 cm2) 
 
 Para a armadura de distribuição pode-se considerar: 
 
 m/cm9,0A
m/cm50,0
5
49,2
m/cm9,0
A
5
1
m/cm9,0
A 2distr,s2
2
princ,s
2
distr,s 












 
 
  5 c/20 cm (1,00 cm2/m) 
 
 sdist ≤ 33 cm, mas na prática: sdistr  20 ou 25 cm 
 
Nota: conforme a NBR 6118, a superfície crítica C deve ter a tensão de compressão diagonal verificada (item 19.5.3.1). 
 
d) Detalhamento 
 
 A ancoragem da armadura principal pode ser feita estendendo-se as barras às bordas da sapata, fazendo o 
gancho vertical com ho – 10 cm. 
 
 cm20h
cm15
cm20
3
60
3
h
h oo 






 
d
 =
 5
5
h
 =
 6
0
h = 20h0
Ø 6,3 c/12 Ø5 c/ 20
 
Figura 1.111 – Esquema indicativo do detalhamento das armaduras. 
 
 As sapatas devem ter o equilíbrio verificado, quanto à possibilidade de tombamento e escorregamento, 
conforme apresentado no item 1.8. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 77 
 
 
1.7.4 Exercício Proposto 
 
 Dimensionar a sapata corrida rígida para uma parede de largura 20 cm, com: 
 
 c = 4,0 cm ; N = 300 kN/m (30 tf/m); σadm = 2,0 kgf/cm2 ; C25 ; CA-50 
 
1.7.5 Exemplo 7 – Sapata Corrida Flexível Sob Carga Centrada 
 
 Dimensionar a sapata do Exemplo 6 como sapata flexível. Dados: a`p = 20 cm ; N = 200 kN/m ; C20 ; 
σadm = 0,011 kN/cm2. São conhecidos: largura da sapata A = 190 cm, balanços c = 85 cm. 
 
Resolução 
 
a) Altura da sapata 
 
 Critério da NBR 6118 para sapata flexível: 
 
 cm7,56
3
)20190(
3
)aA(
h
p




 
 
 Será adotado h = 50 cm, considerando que esta altura seja suficiente para a ancoragem da armadura da parede. 
 
b) Esforços solicitantes e armadura de flexão 
 
 5,89
190
20
1
2
200
A
a
1
2
N
V
p














 kN/m (V na face da parede) 
 
 250.4)20190(
8
200
)aA(
8
N
M p  kN.cm/m (M no centro da parede) 
 
 Os esforços solicitantes V e M ocorrem em 1 m de comprimento da sapata corrida. 
 
Dimensionamento à flexão: 
 
 58,3
48,43.45.85,0
42504,1
fd85,0
M
A
yd
d
s 

 cm2/m 
 
 Na Tabela A-11 tem-se:  6,3 mm c/8 cm (3,94 cm2/m), ou  8 mm c/14 cm (3,57 cm2/m). 
 
com s ≤ 20 ou 25 cm (valores da prática) 
 
 Armadura de distribuição: 
 
 







m/cm72,0
5
58,3
A
5
1
m/cm9,0
A
2
princ,s
2
distr,s 
 
As,distr = 0,90 cm2/m   5 c/20 cm (1,00 cm2/m) 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 78 
 
 
h
 =
 5
0
d
 =
 4
5
 a = 20ap
N
A = 190
h = 20h0

M
V
C
85
V
+
1
0
0
20
C
 
Figura 1.112 – Dimensões e diagramas de esforços solicitantes na sapata. 
 
 
d) Verificação da diagonal comprimida 
 
 Verificação da superfície crítica C, considerando 1 m de comprimento da sapata: 
 
 uo = 2 (20 + 100) = 240 cm 
 
 FSd = NSd = 1,4 . 200 = 280 kN/m (desprezando-se a ação contrária proporcionada pela reação do solo) 
 
 Tensão de cisalhamento atuante: 
 
 0259,0
45240
280
du
F
o
Sd
Sd 



 kN/cm2/m 
 
 Tensão de cisalhamento resistente: 
 
 Rd2 = 0,27v fcd = 355,0
4,1
0,2
250
20
127,0 





 kN/cm2 
 
 Sd = 0,259 MPa < Rd2 = 3,55 MPa  ok! 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 79 
 
 
e) Verificação da força cortante 
 
 A verificação da força cortante será feita como nas lajes maciças, conforme o critério da NBR 6118, 
apresentado no item 1.6.8.1, com bw  5d (ver item 1.6.8.1 deste texto), onde bw é o comprimento da sapata paralelo à 
parede. Deve-se ter VSd  VRd1 para se dispensar a armadura transversal. 
 
 VRd1 = [Rd k (1,2 + 401) + 0,15cp] bw d 
 
 0008,0
45100
58,3
1 

 
 
 k = |1,6 – d| > 1 = |1,6 – 0,45| = 1,15 > 1 
 
 Rd = 0,25 fctd = 276,0
4,1
203,07,0
25,0
3 2


MPa 
 
 VRd1 = [0,0276 . 1,15 (1,2 + 40 . 0,0008)] 100 . 45 
 
 VRd1 = 175,9 kN/m 
 
 VSd = 1,4 . 89,5 = 125,3 kN/m < VRd1 = 175,9 kN/m 
 
  ok! não é necessário colocar armadura transversal. 
 
 Comparação com o Exemplo anterior (item 1.7.3): 
 
 Sapata rígida Sapata flexível 
As 2,49 3,58 
h 60 50 
 
f) Detalhamento (Figura 1.113) 
 
Ø6,3 c/ 8 Ø5 c/ 20
h
 =
 5
0
d
 =
 4
5
h = 20h0
 
Figura 1.113 – Detalhamento indicativo das armaduras. 
 
 As sapatas devem ter o equilíbrio verificado, quanto à possibilidade de tombamento e escorregamento, 
conforme apresentado no item 1.8. No caso de armaduras de flexão compostas por barras de diâmetro 20 mm ou 
superior é importante também verificar o possível descolamento ou escorregamento das armaduras, conforme 
apresentado no item 1.9. 
 
1.7.6 Exercício Proposto 
 
 Projetar a sapata corrida para a fundação de um muro. São conhecidos: 
 
- C25 ; CA-50 ; hmuro = 3,0 m ; σadm = 2,0 kgf/cm2 
- emuro = largura do bloco de concreto de vedação = 19 cm (aparente, sem revestimento de argamassa); 
- muro em alvenaria de blocos de concreto; 
- blocos enrijecedores a cada 5 m, perpendiculares ao muro; 
- considerar ação do vento para a cidade de São Paulo; 
- fazer verificações da estabilidade da sapata; 
- tipo de solo = argila rija. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 80 
 
 
3
,0
m
m
u
ro
 
Figura 1.114 – Sapata corrida sob muro. 
 
 
1.8 Verificação da Estabilidade de Sapatas 
 
 Nas sapatas submetidas a forças horizontais e/ou momentos fletores é importante verificar aspossibilidades de escorregamento e tombamento. 
 
a) Segurança ao tombamento 
 
 A verificação ao tombamento é feita comparando-se os momentos fletores, em torno de um ponto 1 
(Figura 1.115). 
P
N
M
FH
h
A
2
A
2
1
 
Figura 1.115 – Forças atuantes na sapata. 
 
 Momento de tombamento: 
 
 Mtomb = M + FH . h 1.70 
 
 Momento estabilizador: 
 
 Mestab = (N + P) A/2 1.71 
 
 O peso do solo sobre a sapata pode também ser considerado no Mestab . O coeficiente de segurança 
deve ser  1,5: 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 81 
 
 
 5,1
M
M
tomb
estab
tomb  1.72 
 
b) Segurança ao escorregamento (deslizamento) 
 
 A segurança é garantida quando a força de atrito entre a base da sapata e o solo supera a ação das 
forças horizontais aplicadas. 
 O efeito favorável do empuxo passivo pode ser desprezado, por não se ter garantia de sua atuação 
permanente. Da Figura 1.115 tem-se: 
 
 (N + P) tg φ = FH . γesc 1.73 
 
onde: tg  =  = coeficiente de atrito; 
φ = ângulo de atrito entre os dois materiais em contato (concreto x solo), não maior que o ângulo de 
atrito interno do solo. 
 
 Um outro modelo que pode ser adotado é: 
 
 Festab = atrito + coesão 
 
   











 c
3
2
A
3
2
tgPNFestab 1.74 
 
onde:  = ângulo de atrito interno do solo; 
 c = coesão do solo; 
 A = dimensão da base em contato com o solo. 
 
 5,1
F
F
H
estab
esc  1.75 
 
1.9 Verificação do Escorregamento da Armadura de Flexão em Sapatas 
 
 No caso de armadura, com barras de diâmetro 20 mm ou superior (25 mm segundo a NBR 6118), e 
de feixes de barras, é importante verificar a aderência com o concreto, a fim de evitar o escorregamento. 
 O esquema de forças entre a armadura e o concreto é como indicado na Figura 1.116: 
x
Rc
Rs
V
M z
d
ØØ
l
Rc + Rc
Rs + Rs
C
M + M
 
Figura 1.116 – Esforços atuantes no elemento de comprimento x. 
 
 Tem-se que: M = Rs ∙ z = Rc ∙ z, daí: 
 
 
z
M
Rs

 
 ΔRs = fb ∙ u ∙Δx 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 82 
 
 
onde: fb = resistência de aderência; 
 u = perímetro de l . 
 
 

zuf
x
M
xuf
z
M
b
v
b 




 
 V = fb . u . z 
 
tomando z  0,87d e fazendo valores de cálculo: 
 
 Vd ≈ 0,87fbd . u . d 
 
fazendo o perímetro como u = n π l d, com n sendo o número de barras da armadura de flexão: 
 
 Vd = 0,87fbd . n  1 d 1.76 
 
com: Vd = força cortante de cálculo nas seções de referência S1A e S1B, por unidade de largura. 
 Vd = V1dA na seção de referência S1A ; 
 Vd = V1dB na seção de referência S1B . 
 
 Se Vd for maior haverá o escorregamento. 
 
1.10 Sapata na Divisa com Viga de Equilíbrio 
 
 A viga de equilíbrio (VE) também é comumente chamada “viga alavanca” (VA - Figura 1.117). 
 Os pilares posicionados na divisa do terreno ficam excêntricos em relação ao centro da sapata, o que 
faz surgir um momento fletor, que pode ser absorvido por uma “viga de equilíbrio”, vinculada à sapata de 
um outro pilar, interno à edificação. A viga também atua transferindo a carga do pilar para o centro da sapata 
de divisa (Figura 1.118). 
 
divisa
V.
 E
.
 
Figura 1.117 – Sapata sob pilar de divisa e associada à viga de equilíbrio. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 83 
 
 
2,5cm
b aA
b
B
A
b
aA
1
b
w
a
p
1
bp1
bp2
a
p
2
A
2
B2
N1
N2
VE
BB1
VE
R1
R2p1
p2h
h
h
h
0
h
1h
v ee1
z
divisa
N1
N2
R2
R1
ee1
z
 
Figura 1.118 – Notações da sapata com viga de equilíbrio. 
 
 Área da sapata de divisa sob o pilar P1: 
 
 S1 = A1 . B1 
 
 Considerando o fator Kmaj para estimar o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata: 
 
 
adm
1
maj1
R
KS

 
 
 Excentricidade e1 e reação R1: 
 
  M (N2) = 0  N1 z = R1 (z – e1) 
 
 
1
1
1
ez
zN
R


 1.77 
 
 Da geometria da sapata de divisa: 
 
 
2
b
2
B
e
1p1
1  1.78 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 84 
 
 
1.10.1 Roteiro de Cálculo 
 
O roteiro tem a finalidade de estimar as dimensões A1 e B1 da sapata de divisa. 
 
1) Assumir um valor para R1’: 
 
 R1’ = 1,2 N1 
 
2) Calcular a área de apoio da sapata de divisa (1): 
 
 
adm
1
maj1
'R
K'S

 
 
3) Escolher as dimensões da sapata de divisa: 
 
 3
B
A
1
1  
 
 Adotando-se A1 = 2B1 e com S1’ = A1’ . B1’ tem-se: 
 
 S1’ = 2B1’ . B1’  
2
'S
'B 11   adotar B1’ com valor inteiro e múltiplo de 5 cm. 
 
4) Cálculo da excentricidade e1 : 
 
 
2
b
2
'B
'e
1p1
1  
 
5) Cálculo do R1’’ : 
 
 
'ez
z
N''R
1
11

 
 
6) Comparar R1’ e R1’’ 
 
6.1) Se R1’ = R1’’, fazer R1 = R1’  B1 = B1’ e 
1
1
1
B
'S
A  
6.2) Se 0,95R1’’ ≤ R1’ ≤1,05R1’’ 
 
 B1 = B1’ 
1
1
1
adm
1
maj1
B
S
A
''R
KS 

 
 
6.3) Se R1’  R1’’ e não atender a tolerância de 6.2: 
 
 Retornar ao item 2 fazendo R1’ = R1’’ 
 
 
1.10.2 Esforços Solicitantes na Viga de Equilíbrio 
 
A Figura 1.119 mostra o esquema estático e os diagramas de esforços solicitantes (V e M) na viga de 
equilíbrio. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 85 
 
 
N2
R2
p1
q1 (pilar 1)
bbp1
(1)
BB1
(2) (3)
-
V1L
M1L Vmáx
-
M2L
V2L
M
V
x
 
Figura 1.119 – Diagramas de esforços solicitantes na viga de equilíbrio e seções transversais de referência 1, 2, e 3. 
 
 
 A carga q1 aplicada pelo pilar de divisa, na sua largura, é: 
 
 
1p
1
1
b
N
q  
 
 A reação da base da sapata de divisa é: 
 
 
1
1
1
B
R
p  com 
1
1
1
ez
zN
R

 
 
a) Para o trecho (0 ≤ x ≤ bp1) e considerando a seção 1 - Figura 1.120 
p1
q1
V1
M1
q1x
x
1x
 
 
Figura 1.120 – Trecho (0 ≤ x ≤ bp1) e seção 1. 
 
 Somatório de forças verticais: 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 86 
 
 
  Fv = 0 
 
 q1 x + V1 – p1 x = 0  V1 = x (p1 – q1) 
 
 Somatório de momentos fletores em torno da seção 1: 
 
  M = 0  0
2
x
p
2
x
qM
2
1
2
11  
  11
2
1 qp
2
x
M  
 
 para x = bp1 (limite do trecho): 
 
 V1L = bp1 (p1 – q1) 
 
  11
2
1p
L1 qp
2
b
M  
 
b) Trecho considerando a seção 2 (bp1 ≤ x ≤ B1), Figura 1.121 
 
V2
seção 2
p1
q1
bp1q1
M2
x
p . x1
 
Figura 1.121 – Trecho (bp1 ≤ x ≤ B1) e seção 2. 
 
  Fv = 0 
 
 V2 + q1 bp1 – p1 x = 0  V2 = p1 x – q1 bp1 
 
para V2 = 0  
1
1p1
máx
p
bq
x

 , que mostra a posição onde ocorre o momento fletor máximo. 
 
 Somatório de momentos fletores em torno da seção 2: 
 
0
2
x
p
2
b
xbqM
2
1
1p
1p12 







 
 
 








2
b
xbq
2
x
pM
1p
1p1
2
12 
 
no limite do trecho, com xmáx = x: 
 
 








2
b
xbq
2
x
pM
1p
máx1p1
2
máx
1máx 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 87 
 
 
 Para x = B1 tem-se  V2L = p1 B1 – q1 – bp1 
 
 








2
b
Bbq
2
B
pM
1p
11p1
2
1
1L2 
 
c) Trecho 








2
b
zxB
1p
1 e considerando a seção 3 - Figura 1.122 
p1
q1
bbp1
B
x
B1
V3
M3
 
Figura 1.122 – Trecho 








2
b
zxB
1p
1 e seção 3. 
  Fv = 0 
 
 V3 + q1 bp1 – p1 B1 = 0  V3 = p1 B1 – q1 bp1 = N = cte 
 
 Somatório de momentos fletores em torno da seção 3: 
 
 






























2
b
xbq
2
B
xBpM
0
2
B
xBp
2
b
xbqM
1p
1p1
1
113
1
11
1p
1p13
 
 
 
1.10.3 Recomendações para o Pré-dimensionamento de Viga de Equilíbrio 
 
a) largura: bw ≥ ap1 + 5 cm; 
 
b) altura: hv ≥ h1 (h1 = altura da sapata de divisa - 1); 
 
 dv > b (b = comprimento de ancoragem da armadura longitudinal do pilar). 
 
 Podem também serem deduzidas equações para bw em função de V1L e Mmáx . 
 
 
1.10.4 Dimensionamento da Sapata da Divisa 
 
 Um modelo para cálculo dos esforços solicitantes na sapata de divisa é aquele proposto pelo CEB-
70, já apresentado. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 88 
 
 
a) Momento fletor na seção de referênciaS1A - Figura 1.123 
 
AA
1
b
w
a
p
1
bp1
0
,1
5
bb
wS1A
BB1
A
A
0,15bbw
d
1
S
1
A
bbw
aap1
h
h
h
0
h
1
h
v
A1
xA
p
CORTE A
 
Figura 1.123 – Sapata sob o pilar da divisa e seções de referência S1 e S2 . 
 
 Resultante da reação do solo na base da sapata (F1A): 
 
 F1A = p1 B1 xA 
 
sendo: 
11
1
1
BA
R
p

 
 
 w
w1
A b15,0
2
bA
x 

 
 
Momento fletor: 
 
 
2
x
BpM
2
x
FM
2
A
11A1
A
A1A1  
 
b) Altura da sapata 
 
 Pode ser definida em função do critério da NBR 6118: 
 
 
3
bA
h w11

  para sapata rígida; 
 
 d1 = h1 – 5 cm 
 
c) Armadura à flexão 
 
 Armadura principal: 
 
 
yd1
d,A1
A1,s
fd85,0
M
A

 
 
 A armadura é disposta uniformemente distribuída na dimensão B1 . 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 89 
 
 
 Armadura de distribuição (paralela à dimensão B1): 
 
 






m/cm9,0
A
5
1
A
2
A1,s
distr,s , com s ≤ 33 cm. 
 
1.10.5 Exemplo 8 – Sapata na Divisa com Viga Alavanca 
(Exemplo de FERRO[21], N.C.P., Notas de Aula, 2005) 
 
 Dimensionar uma sapata para pilar de divisa, fazendo a viga de equilíbrio ou alavanca (Figura 1.124). Dados: 
C20 ; CA-50 ; N1 = 550 kN ; N2 = 850 kN ; adm = 0,02 kN/cm2 ; c = 4,0 cm ; γc = γf = 1,4 ; γs = 1,15 
armadura longitudinal do pilar = 10  12,5 mm. 
 
30
2
0
2,5
400cm
30
3
0
divisa
 
Figura 1.124 – Esquema dos pilares. 
 
 
Resolução 
 
1) Dimensionamento das dimensões em planta da sapata de divisa 
 
1.1) Assumir um valor para R1’ 
 
 R1’ = 1,2N1 = 1,2 . 550 = 660 kN 
 
1.2) Área de apoio da sapata 
 
 Estimando em 10 % o peso da sapata e do solo sobre a sapata (Kmaj = 1,1): 
 
 2
adm
1
maj1 cm300.36
02,0
660
1,1
'R
K'S 

 
 
1.3) Largura da sapata 
 
 cm7,134
2
36300
2
'S
'B 11  
 
 Adotado B1’ = 135 cm 
 
1.4) Excentricidade e1 
 
 cm505,2
2
30
2
135
f
2
b
2
'B
'e
1p1
1  
 
 f = distância da face do pilar à linha de divisa, geralmente em torno de 2,5 ou 3 cm. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 90 
 
 
1.5) Cálculo de R1’’ 
 
 kN6,628
50400
400
550
'ez
z
N''R
1
11 



 
 
1.6) Comparação entre R1’ e R1’’ 
 
 R1’ = 660 kN ≠ R1’’ = 628,6 kN 
 
 Verificação da tolerância: 0,95R1’’ ≤ R1’ ≤ 1,05R1’’ 
 
 0,95 . 628,6 ≤ R1’ ≤ 1,05 . 628,6  597,1 ≤ R1’≤ 660  ok! 
 
 Se não atender a tolerância, refazer com R1’ = R1’’ 
 
 Calcula-se a área da base da sapata de divisa, com R1’’: 
 
 2
adm
1
maj1 cm573.34
02,0
6,628
1,1
''R
KS 

 
 
 Fazendo B1 = B1’ = 135 cm tem-se o comprimento da base da sapata: 
 
 cm1,256
135
34573
B
S
A
1
1
1   adotado A1 = 260 cm 
 
 Verifica-se que 293,1
135
260
B
A
1
1  
 
2) Esforços máximos na viga alavanca 
 
2.1) Esforços solicitantes na seção x = bp1 
 
 V1L = bp1 (p1 – q1) ; )qp(
2
b
M 11
2
1p
L1  ; bp1 = 30 cm 
 
 656,4
135
6,628
B
R
p
1
1
1  kN/cm 
 
333,18
30
550
b
N
q
1p
1
1  kN/cm 
 
   155.6333,18656,4
2
30
M
2
L1  kN.cm 
 
 V1L = 30 (4,656 – 18,333) = – 410,3 kN 
 
2.2) V2L e M2L (seção x = B1) e momento fletor máximo 
 
 V2L = p1 . B1 – q1 . bp1 = 4,656 . 135 – 18,333 . 30 = 78,6 kN 
 
 cm1,118
656,4
30333,18
p
bq
x
1
1p1
máx 



 
 
 














2
30
1,11830333,18
2
1,118
656,4
2
b
xbq
2
x
pM
2
1p
máx1p1
2
máx
1máx 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 91 
 
 
 Mmáx = – 24.234 kN.cm 
 
 








2
b
Bbq
2
B
pM
1p
11p1
2
1
1L2 
 
 571.23
2
30
13530333,18
2
135
656,4M
2
L2 





 kN.cm 
 
 Diagrama de esforços solicitantes na viga alavanca (Figura 1.125): 
 
xmáx
N2
R2
p1
q1
30
bp1
 = 135B1
(3)
-
-
V (KN)
 = 118,1
 = 18,333 KNcm
 = 4,656
410,3
78,6
6.155 24.234 23.571
M ( KNcm )
 
Figura 1.125 – Diagramas e esforços solicitantes na viga de equilíbrio. 
 
3) Largura da viga alavanca 
 
 bw = ap1 + 5 cm = 20 + 5 = 25 cm  será adotado bw = 35 cm (ver Figura 1.126) 
 
4) Altura da sapata da divisa 
 
 Para sapata rígida: 
 
 NBR 6118  h1  (A1 – bw)/3  (260 – 35)/3  75 cm  adotado h1 = 75 cm 
 
 5,112
2
35260
2
bA
c w1 



 
 
 A altura da viga alavanca será feita igual à da sapata: hv = h1 = 75 cm 
 
 d1 = dv = 75 – 5 = 70 cm 
 
 O pilar tem armadura  12,5 mm e considerando concreto C20, região de boa aderência, com gancho, na 
Tabela A-7 tem-se o comprimento de ancoragem b = 38 cm, e: 
 
 d1 = 70 cm > b = 38 cm  ok! 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 92 
 
 
 
 =
 2
6
0
A
1
P1 P2
 = 135B1
VE
h
= 7
5
h
0
h
1
C
 =
1
1
2
5
C
 =
1
1
2
5
sapata 2
sapata 1
h
v
 = 35bw
 
Figura 1.126 – Dimensões (cm) da sapata sob o pilar de divisa. 
 
5) Dimensionamento da viga alavanca 
 
 A armadura longitudinal superior da viga alavanca na região da sapata de divisa pode ser calculada fazendo-se 
a analogia da viga com um consolo curto, ou segundo a teoria de viga fletida. 
 
5.1) Armadura de flexão no trecho da sapata de divisa (B1) 
 
 São conhecidos os valores: bw = 35 cm, hv = h1 = 75 cm, dv = d1 = 70 cm e Md,máx = 1,4 . 24234 = 33.928 
kN.cm. 
 1,5
33928
7035
M
db
K
2
d
2
c 

  na Tabela A-1: x = 0,22 ≤ 0,45 (ok!), domínio 2 e Ks = 0,025 
 
 12,12
70
33928
025,0As  cm
2  6  16 mm (12,00 cm2) 
 
 Como esta armadura não é muito alta, ela pode ser estendida até o pilar P2, sem corte. 
 
 Armadura mínima (Tabela A-6, concreto C20): As,mín = 0,15 % bw hv = 0,0015 . 35 . 75 = 3,94 cm2 
 
 Para a armadura longitudinal inferior pode-se adotar a armadura mínima (2  16 ou 5  10  4,00 cm2). 
 
5.2) Armadura transversal 
 
 No trecho da sapata de divisa (B1): Vk = V1L = 410,3 kN  VSd = 1,4 . 410,3 = 574,4 kN 
 
 Para cálculo de Asw , conforme as equações simplificadas do Modelo de Cálculo I19, com concreto C20 e dv = 
70 cm (ver Tabela A-4 anexa): 
 
 
19 Ver BASTOS, P.S.S. Dimensionamento de vigas de concreto armado à força cortante. Disciplina 2123 – Estruturas de Concreto 
II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista (UNESP), abr/2015, 74p. 
Acesso em: http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 93 
 
 
 VRd2 = 0,35bw d = 0,35 . 35 . 70 = 857,5 kN > VSd  ok! 
 
 VSd,mín = 0,101bw d = 0,101 . 35 . 70 = 247,5 kN < VSd 
 
 97,143517,0
70
4,574
55,2b17,0
d
V
55,2A w
Sd
sw  cm
2/m 
 
 mcm09,335
5010
)203,0(20
b
f
f20
A 2
3 2
w
ywk
m,ct
mín,sw 


 
 
 Com Asw = 14,97 cm2/m, fazendo estribo com quatro ramos tem-se Asw,1,ramo = 14,97/4 = 3,74 cm2/m, e na 
Tabela A-11 (ver tabela anexa), encontra-se:  8 mm c/13 cm (3,85 cm2/m). 
 
 Espaçamento máximo: 0,67VRd2 = 0,67 . 857,5 = 574,5 kN 
 
 s  0,6d  30 cm  s  0,6 . 70 = 42 cm  30 cm 
 
  s  30 cm 
 
 0,2 VRd2 = 171,5 kN < VSd  st  0,6d  35 cm 
 
 st  0,6 . 70  42 cm  35 cm  ok! 
 
 No trecho da viga coincidente com a sapata de divisa (B1) convém colocar a armadura calculada para a força 
cortante máxima. No trecho além da sapata, a armadura deve ser calculada para a menor seção transversal, 35 x 40 na 
união com a sapata 2 (pilar interno): 
 
 VSd = 1,4 . 78,6 = 110,0 kN 
 
 VRd2 = 0,35bw d = 0,35 . 35 . 35 = 428,8 kN > VSd  ok! 
 
 VSd,mín = 0,101bw d = 0,101 . 35 . 35 = 123,7 kN > VSd  Asw,mín 
 
 mcm09,335
5010
)203,0(20
b
f
f20
A 2
3 2
w
ywk
m,ct
mín,sw 


 
 
 Na Tabela A-11 tem-se estribo  6,3 mm c/20 cm (1,58 cm2/m) com 2 ramos (2 . 1,58 = 3,16 cm2/m): 
 
 0,67VRd2 = 287,3 kN > VSd  s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm 
 
 s = 0,6 ∙ 35 = 21 cm ≤ 30   smáx = 21 cm 
 
 0,2VRd2 = 85,8 kN < VSd  st ≤ 0,6 d ≤ 35 cm   st,máx = 21cm 
 
 Para a viga com bw = 35 cm a largura do estribo com dois ramos resulta 26,4 cm (35-4,3-4,3), maior que o 
valor st = 21 cm. Portanto, o estribo deve ter mais de dois ramos. Por exemplo, estribo com quatro ramos  5 mm: 
 
 0309,0
s
20,04


  s = 25,9 cm > smáx = 21 cm 
 
 Então: estribo  5 mm c/21 cm 4 ramos (3,81 cm2/m) 
 
5.3 Armadura de pele 
 
 De acordo com a NBR 6118, é obrigatória a armadura de pele quando a altura da viga supera 60 cm (h > 60 
cm): 
 Asp = 0,10% bw h = 0,0010 . 35 . 75 = 2,63 cm2 por face 
 
 5  8 mm (2,50 cm2) por face da viga, ao longo do comprimento. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 94 
 
 
5.4 Armadura de costura 
 
 A armadura de costura é colocada na extensão da largura da sapata de divisa (B1), abaixo da armadura 
longitudinal negativa e ao longo da altura da viga, e tem a finalidade de aumentar a resistência e ductilidade da viga 
alavanca. 
 Pode ser adotada como: As,cost = 0,4. As stcos,s A4,0A  
 
 As,cost = 0,4 . 12,12 = 4,85 cm2  10  8 mm (5,00 cm2) 
 
6. Detalhamento das armaduras na viga de equilíbrio (Figura 1.127) 
 
 
N5 - 10 c/ 13 N6 - c/20
N1 - 6 Ø16A
A
N3
N2
N3
5N4
6N1
CORTE AA
N1 - 2 x 3 Ø16 C = (em laço)
N2 - 2 x 5 Ø8 C = (arm. costura - em laço)
N3 - 2 x 5 Ø8 C = VAR (arm. pele)
N4 - 5 Ø10 C = 
3 laços (6N1)
N5 - 10 x 2 Ø8 C =
N6 - x 2 Ø5 C = VAR.
Detalhe dos laços sob
o pilar P1
 
Figura 1.127 – Detalhamento das armaduras na viga de equilíbrio (viga alavanca). 
 
Notas: a) em distâncias pequenas entre os pilares a viga alavanca pode ser feita com altura constante; 
 b) a armadura N1 pode ter parte interrompida antes do pilar P2, conforme o diagrama de momentos fletores. 
 
1.10.6 Atividade 
 
a) Dimensionar e detalhar as armaduras da sapata sob o pilar P1; 
b) Idem para a sapata isolada sob o pilar P2 ; 
c) Se a sapata sob o pilar da divisa (P1) tiver a largura B1 diminuída e o comprimento A, aumentado, quais as 
implicações que essas alterações resultam para a viga alavanca? 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 95 
 
 
1.10.7 Viga Alavanca Não Normal à Divisa 
 
a) O centro geométrico da sapata 1 deve estar sobre o eixo da viga alavanca; 
b) As faces laterais da sapata devem ser paralelas ao eixo da viga alavanca para minimizar o efeito do 
momento de torção; 
c) Recomenda-se que as cotas sejam tomadas nas projeções (direção normal à divisa). 
 
B 1
e 1
P1
P2
CGsap
e1h
B1R
d
iv
is
a
eix
o d
a v
iga
 al
av
an
ca
 
Figura 1.128 – Viga alavanca não normal à divisa. 
 
Área da Sapata Sob o Pilar Interno (P2) 
 
 Pode ser considerado parte do alívio proporcionado pelo pilar da divisa. 
 
N1 N2
R2R1
P1 pilar P2
 
Figura 1.129 – Forças atuantes na viga alavanca não normal à divisa. 
 
 N1 + N2 = R1 + R2 → N2 – R2 = R1 – N1 
 
 R1 – N1 = ∆N 
 
 Ssap = 1,1 (N2 - ∆N/2) 
 
 
1.10.8 Exercício Proposto 
 
 Dimensionar e detalhar as armaduras das sapatas e da viga alavanca dos pilares P1 e P2, sendo 
conhecidos: σadm = 0,018 kN/cm2 ; C20 ; CA-50 ; NP1 = 520 kN ; NP2 = 970 kN ; ,pil = 12,5 
mm. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 96 
 
 
40
20
8
0
P1
P2
2,5 285
40
20
d
iv
is
a
 
Figura 1.130 – Dimensões a serem consideradas. 
 
 
1.11 Sapata Excêntrica de Divisa 
 
 Quando a sapata de divisa não tem vinculação com um pilar interno, com viga de equilíbrio por 
exemplo, a flexão devido à excentricidade do pilar deve ser combatida pela própria sapata em conjunto com 
o solo. São encontradas em muros de arrimo, pontes, pontes rolantes, etc. 
 A reação do solo não é linear, mas por simplicidade pode-se adotar a distribuição linear na maioria 
dos casos. 
bp
B
D
iv
is
a
não linear
N
 
Figura 1.131 – Sapata excêntrica sob pilar de divisa. 
 
 
 Para não ocorrer tração na base da sapata, a largura B deve ser escolhida de tal forma que: 
B ≤ 1,5bp . Recomenda-se também que A ≤ 2B. 
 Em função do valor da excentricidade da força vertical N, os seguintes casos são considerados: 
 
a) B < 1,5bp (e < B/6) - Figura 1.132 
 
 
admmáx 3,1
B
e6
1
BA
N
p 








 
 
 









B
e6
1
BA
N
pmín
 
1.79 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 97 
 
 
bp
A
6
B
6e
A
B
pmín.
pmáx.
N
 
 
Figura 1.132 – Caso onde B < 1,5bp (e < B/6). 
 
b) B = 1,5bp (e = B/6) - Figura 1.133 
 
 
admmáx 3,1
BA
N2
p 


 
1.80 
 
B
6e
A
B
pmáx.
N
 
Figura 1.133 – Caso onde B = 1,5bp (e = B/6). 
 
c) B > 1,5bp (e > B/6) - Figura 1.134 
 
 
admmáx 3,1
e
2
B
A3
N2
p 








 
1.81 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 98 
 
 
B
6e
A
B
pmáx.
N
3 ( B 2 - e )
 
 
Figura 1.134 – Caso onde B > 1,5bp (e > B/6). 
 
 
 A sapata de divisa pode ter altura constante (geralmente para alturas baixas e cargas pequenas) ou 
variável. 
 Para casos onde resulte A > 2B pode-se criar viga associada à sapata excêntrica de divisa, como 
ilustrado nos exemplos mostrados na Figura 1.135 e Figura 1.136. Para não ocorrer torção na viga convém 
coincidir o centro da viga com o centro do pilar. A viga pode ser projetada na direção perpendicular à divisa 
(Figura 1.136). 
 
N
d
iv
is
a
d
iv
is
a
viga
enrijecedora
 
Figura 1.135 – Sapata isolada sob pilar de divisa. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 99 
 
 
h
viga
 
Figura 1.136 – Sapata excêntrica na divisa com viga de reforço. 
 
 
 A estrutura deve oferecer uma reação horizontal, para equilibrar a excentricidade do pilar/sapata. 
 
H
H
l
P
pilar
flexível
e
R
M H
H
P pilar
rígido
M
e R
 
 
Figura 1.137 – Estrutura para absorver forças horizontais. 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 100 
 
 
1.12 Sapata Associada 
 
 As sapatas associadas são também chamadas conjuntas ou conjugadas. No projeto de fundações de 
um edifício com sapatas, o projeto mais econômico é aquele com sapatas isoladas. Porém, quando as sapatas 
de dois ou mais pilares superpõem-se, é necessário fazer a sapata associada. 
 Há várias possibilidades para a sapata associada, que pode receber carga de dois ou mais pilares, de 
pilares alinhados ou não, com cargas iguais ou não, com um pilar na divisa, com desenho em planta 
retangular, trapezoidal, etc. 
 Dependendo da capacidade de carga do solo e das cargas dos pilares, a sapata associada pode ter 
uma viga unindo os pilares (viga de rigidez), sendo essa a sapata mais comum no Brasil. 
 
1.12.1 Sapata com Base Retangular 
 
 O centro geométrico da sapata deve coincidir com o centro de carga dos pilares, e deste modo a 
pressão no solo pode simplificadamente ser considerada uniforme. 
 A sapata pode ter a altura determinada segundo os critérios já mostrados e resultar flexível ou rígida. 
 Os seguintes casos podem ser considerados: 
h
1 cc 2
c1
c2
P1 P2
B
2
B
2
A
B
N1 N2
c1 c2ap2ap1
x
R
padm
q1 N1
ap1
 q2 N2
ap2

p R
A.B.
V
M
 
Figura 1.138 – Sapata conjunta. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 101 
 
 
a) N1  N2 e largura B previamente fixada 
 
 R = (N1 + N2) Kmaj 
 
 ∑ M (N1) = 0 
 
 0xRN cc2  
 
 cc
2
R
N
x  
 
 
adm
R
BA

 
 
 As dimensões 1 e 2 podem ser deduzidas e: 
 
 cc
2
adm
1
R
N
B2
R
 

 
 
 cc
1
adm
2
R
N
B2
R
 

 
 
 A = 1 + cc + 2 
 
 Os esforços solicitantes são determinados de maneira semelhante à viga de equilíbrio das sapatas 
com pilar de divisa, como já mostrado. Se o pilar estiver com a largura na direção da dimensão A, pode-se 
simplificar fazendo-o apenas como um apoio pontual (carga N1 no centro de ap1 ao invés da carga q1 em ap1). 
 A sapata econômica será obtida fazendo o momento fletor negativo próximo do momento fletor 
positivo. 
 
b) N1  N2 e comprimento A previamente fixado 
 
 cc
2
R
N
x  ; R = Kmaj (N1 + N2) 
 
 x
2
A
1  ; )x(
2
A
cc2   
 
 Largura da sapata: 
admA
R
B

c) 2121 NNouNN  e comprimento 1 fixado 
 
 Este caso geralmente ocorre com pilar de divisa. A sapata pode ser retangular quando N1 não é muito 
diferente de N2 . O comprimento A da sapata deve se estender pelo menos até as faces externas dos pilares. 
 
 cc
2
R
N
x  
 
 Comprimento da sapata:  x2A 1   
Largura da sapata: 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 102 
 
 
admA
R
B

 
1 cc 2
P1 P2
A
B
N1 N2
ap2ap1
x
R
p
b
p
1
b
p
2
d
iv
is
a
h
 
Figura 1.139 – Sapata conjunta com pilar de divisa. 
 
 No caso de cargas dos pilares iguais ou muito próximas, e pilares não de divisa, o dimensionamento 
econômico é conseguido com os balanços sendo A/5. 
 
A
5
3
5 A
A
5
P1 P2
A
B
 
Figura 1.140 – Balanço econômico para a sapata conjunta. 
 
 
1.12.2 Verificações e Dimensionamento 
 
 Punção: nas sapatas flexíveis a punção deve ser obrigatoriamente verificada. Nas sapatas rígidas 
deve ser verificada a tensão de compressão diagonal, na superfície crítica C. 
 Força Cortante: as forças cortantes determinadas segundo a direção longitudinal devem ser 
verificadas como laje se B ≥ 5d, e como viga se B < 5d. Estribos com 2, 4, 6, ou mais ramos podem ser 
aplicados. 
 Momentos Fletores - Armaduras de flexão: na direção longitudinal a armadura de flexão deve ser 
dimensionada conforme os momentos fletores solicitantes, e posicionadas de acordo com o sinal do 
momento fletor, ou seja, onde ocorrem as tensões de tração oriundas dos momentos fletores. Na direção 
transversal pode-se determinar uma viga sob cada pilar, com largura d/2 além das faces do pilar (Figura 
1.141). 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 103 
 
 
P1
P2
B b
p
1
b
p
2
h
ap1
d
2
d
2ap2
d
2f
AI AIII
I II III IV
d
A
a + 0,5d + fap1 a + dap2
 
 
Figura 1.141 – Armaduras de flexão diferentes para as regiões I a IV. 
 
 
 f = distância da face do pilar P1 à face da sapata na extremidade relativa à divisa. 
 
 Nas regiões II e IV deve ser colocada a armadura mínima de viga, por metro: 
 
 AsII = AsIV = ρmín ∙ h (cm2/m) 
 
 Região I: 
 
 
B
N
q 11  
 
2
 
2
b-B
qM
2
p1
11








 
 
 
yd
1f
s
f0,85d
M
A


 ; 
 
 As,mín = ρmín (f + ap1 + 0,5d) h ; 
h 0,5d)a(f
A
p1
s

 
 ρ ≥ ρmín 
 
 Região III: os cálculos são semelhantes à região I, mas com a carga N2 , a largura ap2 + d e vão 
B – bp2 . As armaduras das regiões I e III devem ser colocadas nas larguras (f + ap1 + 0,5d) e (ap2 + d), 
respectivamente. 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 104 
 
 
1.12.3 Sapata Trapezoidal 
 
 Quando a carga de um pilar é muito maior que a do outro pilar, utiliza-se a sapata com forma de 
trapézio (Figura 1.142). 
cc
pp2 B2
P1
ap1c
P2
B
1
B
2
N1 N2
A
x R
pp1 B1
 
 
Figura 1.142 – Sapata conjunta com planta em trapézio. 
 
As dimensões A e c são adotadas, e: 
 
 R = Kmaj (N1 + N2) 
 
 
adm
sap
R
S

 
 
 A
2
BB
S 21sap

 
 
  M (P1) = 0 
 
 N2 . cc – R . x 
 Coincidindo o centro de gravidade da sapata (trapézio) com o centro de carga (força R), tem-se: 
 
 








21
211p
BB
B2B
3
A
c
2
a
x 
 
 Com esta equações e a seguinte, determinam-se os lados B1 e B2 . 
 
 A
2
BB
S 21sap

 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 105 
 
 
1.12.4 Sapata Associada com Viga de Rigidez 
 
 Nas sapatas associadas sob pilares com cargas elevadas é recomendável associar a sapata com uma 
“viga de rigidez” (VR), que aumenta a segurança da sapata, diminui a possibilidade de punção, diminui a 
deformabilidade da sapata, melhora a uniformidade das tensões no solo, enfim, aumenta a rigidez da sapata e 
melhora seu comportamento global. 
 
0,15bw
d
S
1
bbw
h
CORTE A
d
v
h
v
As
psapata
V.R.
1m
B
A
A
A
P1 P2
N1 N2
As,distr
V.R.
 
0,15bw
d S
1
bbw
h
CORTE A
d
v
h
v
As
psapata
V.R.
1m
B
A
A
A
P1 P2
N1 N2
As,distr
 
Figura 1.143 – Sapata conjunta com viga de rigidez. 
 
 
BA
NN
p 21


 
 
 Os diagramas de momento fletor e força cortante são como aqueles da sapata associada sem viga de 
rigidez. A viga de rigidez deve ter as armaduras dimensionadas para esses esforços, determinados segundo a 
direção longitudinal da sapata (direção A). 
 
 







cm5b
cm5b
b
2p
1p
w (5 cm, valor mínimo) 
 
 dv > b,,pil ; hv  h 
 
 A sapata é calculada considerando-se faixa de 1 m de largura, segundo a direção da largura B. Como 
modelo de cálculo pode ser adotado aquele do CEB-70, ou o “Método das Bielas”. No caso do CEB-70 
devem ser consideradas as seções de referência (S1 e S2) como indicadas na Figura 1.143. O 
dimensionamento da sapata à flexão resultará na armadura principal As , que é paralela à dimensão B da 
sapata. Nos balanços da sapata (c) são colocadas armaduras de distribuição, na direção A da sapata. 
 
1.12.5 Exemplo 9 – Sapata Associada 
 
 Projetar uma sapata associada para dois pilares (Figura 1.144), sendo: N1 = 900 kN ; N2 = 1.560 kN ; C20 ; 
solo = 1.925 kgf/m3 (peso específico do solo) ; carga atuante de 500 kgf/m2 sobre o piso final acima da sapata ; ,pil = 
12,5 mm ; c = 4,0 cm ; distância de 2,08 m entre a base inferior da sapata e o piso final ; σadm = 191,5 kPa = 0,1915 
MPa ; coeficientes de ponderação: γf = γc = 1,4 , γs = 1,15. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 106 
 
 
 
30
4
5
d
iv
is
a
P1 P2
40
17,5cm 6.10m
 
Figura 1.144 – Medidas para a sapata associada do exemplo. 
 
Resolução 
 
 Neste exemplo, a carga relativa ao peso próprio da sapata será considerada simplificadamente com o peso 
específico do solo, e somada à carga atuante sobre o piso acima da sapata: 
 
 gtot = (gsolo + gsap) + gpiso = (2,08 . 1925) + 500 = 4.504 kgf/m2 = 45,04 kPa 
 
a) Dimensões da sapata 
 
 Para fins de cálculo, a tensão admissível do solo será diminuída da carga total que atua sobre a sapata (gtot), de 
modo que a tensão admissível líquida do solo é: 
 
 σadm,líq = σadm – gtot = 191,5 – 45,04 = 146,5 kPa = 146,5 kN/m2 = 0,1465 MPa 
 
 Área da sapata: 
 
 8,16
5,146
1560900NN
S
líq,adm
21
sap 




 m2 
 
 Centro de cargas: cc
21
2
NN
N
x 

 ; N1 + N2 = R 
 
 87,310,6
1560900
1560
x 

 m 
 
 Comprimento da sapata:  x2A 1   
 
 A = 2 (0,175 + 3,87) = 8,09 m  8,10 m (ver Figura 1.145) 
 
 Largura da sapata: 
A
S
B
sap
 
 
 07,2
10,8
8,16
B  m  2,10 m 
 
 A tensão aplicada pela sapata no solo, sem considerar o peso da sapata e do solo sobre a sapata, pois essas 
cargas transferem-se diretamente sem causar flexão na sapata, é: 
 
 01446,0
210810
1560900
BA
NN
p 21 





 kN/cm2 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 107 
 
 
 Considerando a largura B da sapata: 
 
 pB = 0,01446 . 210 = 3,037 kN/cm 
 
30
4
5
d
iv
is
a
P1 P2
17,5
A
162
5
CP
x 
387
223 182
5
B
2
1
0
900 kN 1560 kN
610
3,037 KNcmpB
 
53,1
846,9 554,3
1005,7
(kN)Vk
(kN.cm)Mk
-
+
331
465
50575
117605
 
Figura 1.145 – Esforços solicitantes na sapata associada. 
 
b) Altura da sapata 
 
 Conforme a NBR 6118, a sapata é rígida quando h  (A – ap)/3. No caso de sapata isolada simétrica, tem-se 
que A – ap = 2c. Para a sapata associada em questão, o maior balanço c ocorre no lado direito do pilar circular, onde c = 
162,5 cm (Figura 1.145), e conforme o critério da norma: 
 
 3,108
3
5,1622
h 

 cm 
 
 Fazendo a sapata como rígida com h ≥ 108 cm não será necessário verificar a punção. No entanto, a fim de 
exemplificar a verificação à punção, a altura da sapata será adotada de tal forma a resultar uma sapata flexível, com 
h = 85 cm. 
 
c) Armadura de flexão na direção longitudinal 
 
c1) Momento fletor máximo negativo 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 108 
 
 
 M =  117.605 kN.cm  Md = γf M = 1,4 ( 117.605) =  164.647 kN.cm 
 
 Para a alturaútil será adotada: d = h – 5 cm = 80 cm 
 
 2,8
164647
80210
M
db
K
2
d
2
c 

  Tabela A-1: x = 0,13 ≤ 0,45 (ok!), Ks = 0,024 e domínio 2. 
 
 39,49
80
164647
024,0
d
M
KA dss  cm
2  17  20 mm (53,55 cm2), barras N4 na Figura 1.152. 
 
 Armadura mínima (Tabela A-6, concreto C20): As,mín = 0,15 % bw h = 0,0015 . 210 . 85 = 26,78 cm2 
 
c2) Momento fletor máximo positivo 
 
 M = 50.575 kN.cm  Md = γf M = 1,4 (50.575) = 70.805 kN.cm ; d = 80 cm 
 
 0,19
70805
80210
M
db
K
2
d
2
c 

  Tabela A-1: x = 0,06 ≤ 0,45 (ok!), Ks = 0,024 e domínio 2. 
 
 24,21
80
70805
024,0
d
M
KA dss  cm
2 
 
 As < As,mín   As,mín = 26,78 cm2  22  12,5 mm (27,50 cm2), barras N8 na Figura 1.152. 
 
d) Armadura de flexão na direção transversal (Figura 1.146) 
30
 
 
 =
 4
5
d
iv
is
a
P1 P2
 + 0,5d + f
72,5
 + d
120
122
5
B
 =
 2
1
0
 c
m
b
p
1
ap1
ap2ap1
40
ap2
8
5
f
 
Figura 1.146 – Regiões para a armadura de flexão. 
 
d1) Região do pilar P1 
 
 A lagura da faixa a ser considerada existente uma flexão importante devida à carga do pilar P1 é: 
 
 ap1 + 0,5d + f = 30 + 0,5 . 80 + 2,5 = 72,5 cm 
 
 29,4
210
900
B
N
q 11  kN/cm 
 
 600.14
2
2
45210
29,4
2
2
bB
qM
22
1p
11 





 








 
 kN.cm 
 
 M1d = γf M1 = 1,4 . 14600 = 20.440 kN.cm 
 
 7,22
20440
805,72
M
db
K
2
d
2
c 

  Tabela A-1: x = 0,05 ≤ 0,45 (ok!), Ks = 0,023 e domínio 2. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 109 
 
 
 88,5
80
20440
023,0
d
M
KA dss  cm
2 
 
 Armadura mínima (Tabela A-6): As,mín = 0,15 % bw h = 0,0015 . 72,5 . 85 = 9,24 cm2 
 
 As < As,mín   As,mín = 9,24 cm2 
 
 74,12100
5,72
24,9
 cm2/m 
 na Tabela A-11 resulta  12,5 c/9,5 cm (13,16 cm2/m), barras N1 na Figura 1.152. 
 
d2) Região do pilar P2 
 
 A lagura da faixa de flexão do pilar P2 é: 
 
 ap2 + d = 40 + 80 = 120 cm 
 
 43,7
210
1560
B
N
q 22  kN/cm 
 
 841.26
2
2
40210
43,7
2
2
bB
qM
22
2p
22 





 








 
 kN.cm 
 
 M2d = γf M2 = 1,4 . 26841 = 37.577 kN.cm 
 
 9,19
37577
79120
M
db
K
2
d
2
c 

  Tabela A-1: x = 0,05 ≤ 0,45 (ok!), Ks = 0,023 e domínio 2. 
 
 94,10
79
37577
023,0
d
M
KA dss  cm
2 
 
 Armadura mínima (Tabela A-6): As,mín = 0,15 % bw h = 0,0015 . 120 . 85 = 15,30 cm2 
 
 As < As,mín   As,mín = 15,30 cm2 
 
 75,12100
120
30,15
 cm2/m 
 na Tabela A-11 resulta  12,5 c/9,5 cm (13,16 cm2/m), barras N1 na Figura 1.152. 
 
e) Verificação da punção na superfície crítica C’ 
 
e1) Pilar circular P2 (Figura 1.147) 
2d
160
40
2
d
C'
 
Figura 1.147 – Superfície critica C’. 
 
 Tensão de cisalhamento solicitante (τSd): 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 110 
 
 
 
du
FSd
Sd

 
 
 Alturas úteis relativas às armaduras ortogonais, considerando que a armadura na direção y está posicionada 
sobre a armadura na direção x, e com  = 12,5 mm e c = 4,0 cm: 
 
 dx = h – c – /2 = 85 – 4,0 – 1,25/2 = 80,4 cm 
 
 dy = h – c –  – /2 = 85 – 4,0 – 1,25 – 1,25/2 = 79,1 cm 
 
 8,79
2
1,794,80
2
dd
d
yx




 cm 
 
 A distância entre a face do pilar P2 e as extremidades laterais da sapata é de 85 cm, de modo que o limite 
relativo à superfície crítica C’ (2d = 2 . 79,8 = 159,6 cm) estende-se além da sapata, Neste caso, deve ser considerada a 
distância a* como limite para a superfície C’ (Figura 1.148). 
a*
85
C'1
0
5
1
0
5
 
Figura 1.148 – Distância a*. 
 
 85
2
40210
2
a
2
B
*a
2p


 cm ; a* = 85 cm  2d  159,6 cm 
 
 u* = 2 r = 2 . 105 = 659,7 cm 
 
 Acont,C’ = D2/4 =  2102/4 = 34.635 cm2 
 
 Força de baixo para cima devida à reação do solo, atuante na área compreendida pela superfície crítica C’:20 
 
 FSd = γf (p . Acont,C’) = 1,0 (0,01446 . 34635) = 500,8 kN 
 
 Força reduzida: FSd,red = (γf N2) – FSd = (1,4 . 1560) – 500,8 = 1.683,2 kN 
 
 Tensão de cisalhamento atuante: 
 
 032,0
8,797,659
2,1683
Sd 

 kN/cm2 = 0,32 MPa 
 
 As taxas de armadura x e y (Figura 1.149) devem ser determinadas na distância 3d além das faces do pilar. 
Pelos cálculos já efetuados, observa-se que na direção do lado A (dir. x) a armadura de flexão resultou a mínima para o 
momento fletor positivo, isto é, x = mín = 0,0015. Na direção do lado B (dir. y) também resultou armadura mínima 
para o momento fletor transversal, de modo que y = mín = 0,0015. Portanto,  = 0,0015. 
 
 yx  
 
 
20 Neste caso, o coeficiente de ponderação γf deve ser adotado igual a 1,0 (Tabela 11.1 da NBR 6118), porque o efeito é 
favorável, isto é, a reação do solo diminui a tensão atuante. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 111 
 
 
 
x y
 
 
Figura 1.149 – Taxas de armadura longitudinal nas duas direções. 
 
 Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’: 
 
 2cd
3
ck1Rd f5,0
*a
d2
f100
d
20
113,0 








 
 
cd
ck
2cd f
250
f
16,05,0f5,0 











 = 
4,1
0,2
250
20
16,05,0 











 = 0,394 kN/cm2 = 3,94 MPa 
 
 
85
802
200015,0100
80
20
113,0 31Rd










 = 0,53 MPa = 0,053 kN/cm2 ≤ 0,394 kN/cm2  ok! 
 
 Portanto, τSd = 0,32 MPa < Rd1 = 0,53 MPa, o que significa que não ocorrerá ruptura da sapata por punção, na 
posição do pilar P2. 
 
e2) Pilar retangular P1 (Figura 1.150) 
 
 O momento fletor, que atua na direção do lado B da sapata e na faixa relativa ao pilar P1, será desprezado. 
 
532
1
0
5
1
0
5
82
a*
8
2
a
*
8
2
a
*
4
5
5
5
5
5
82
a*
B
 =
 2
1
0
 
Figura 1.150 – Distância a* no pilar da divisa. 
 
 Tensão de cisalhamento solicitante (τSd): 
 
 
d*u
FSd
Sd  ; FSd = 1,4 . 900 = 1.260 kN 
 
 d = 79,8 cm 
 
 Conforme observa-se na Figura 1.150, o perímetro do contorno C’ é: 
 
 u* = 32,5 + 32,5 + 45 +  . 82,5 = 369,2 cm 
 
 Tensão de cisalhamento atuante: 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 112 
 
 
 0428,0
8,792,369
900.4,1
Sd 

 kN/cm2 = 0,428 MPa 
 
 A taxa de armadura será calculada considerando a armadura longitudinal negativa na direção x e a armadura 
transversal positiva na direção y (B), Figura 1.151. 
As, cosntr.
8
5
d
 =
 8
0
Ø12,5
17 Ø12,5
 
Figura 1.151 – Armaduras longitudinais da sapata sob o pilar de divisa. 
 
 Com a armadura composta por 17  20 (53,55 cm2) tem-se: 
 
 003,0
85210
55,53
A
A
c
s
x 

 
 
 Na direção do lado B (dir. y) resultou a armadura mínima e y = mín = 0,0015. 
 A armadura construtiva inferior na direção x também auxilia na resistência à punção, mas não será 
considerada. 
 
 00212,00015,0003,0yx  
 
 Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’: 
 
 2cd*
3
ck1Rd f5,0
a
d2
f100
d
20
113,0 








 
 
 
5,82
802
2000212,0100
80
20
113,0 31Rd










 = 0,612 MPa ≤ 3,94 MPa  ok! 
 
 τSd = 0,428 MPa < Rd1 = 0,612 MPa  ok! Não vai ocorrer punção na região do pilar P1. 
 
f) Dimensionamento da armadura transversal segundo a direção longitudinal 
 
 Com a altura útil d = 80 cm tem-se que 5d = 5 . 80 = 400 cm. Verifica-se que bw = B = 210 cm < 5d = 400 cm, 
o que significa que a verificação da força cortante na sapata deve ser considerando a sapata como uma viga, e não como 
uma laje. 
 A verificação será feita para a força cortante máxima na sapata, atuante na posição do pilar P2: 
 
 VSd = γf Vk = 1,4 . 1005,7 = 1.408 kN 
 
 Para o concreto C20 e adotando o Modelo de Cálculo I, conforme a formulação apresentada em Bastos[22], a 
força cortante máxima é (ver Tabela A-4 anexa): 
 
 VRd2 = 0,35 bw d = 0,35 . 210 . 80 = 5.880 kN 
 
 VSd = 1.408 kN < VRd2  ok! 
 
 A força cortante mínima, aquela correspondente à armadura transversal mínima, é: 
 
 VSd,mín = 0,101bw d = 0,101 . 210 . 80 = 1.697 kN 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 113 
 
 
 VSd = 1.408 kN < VSd,mín = 1.697 kN   Asw = Asw,mín 
 
 56,18210
5010
203,020
b
f
f20
A
3 2
w
ywk
m,ct
mín,sw 







 cm2/m 
 
 Espaçamento máximo entre os estribos: 
 
 0,67VRd2 = 3.940 kN > VSd 
 
 s  0,6d  0,6 . 80  48 cm  30 cm  smáx = 30 cm 
 
 Espaçamento máximo entre ramos verticais dos estribos: 
 
 0,2VRd2 = 1.176 kN < VSd 
 
 st  0,6d  48 cm  35 cm  st,máx = 35 cm 
 
 Fazendo estribo  6,3 mm com 6 ramos (6 . 0,31 = 1,86 cm2): 
 
 1856,0
s
86,1
  s = 10 cm ≤ 30 cm  ok! 
 
 O espaçamento entre os ramos verticais dos estribos resulta: st = 200/5 = 40 cm  st,máx = 35 cm (como a 
armadura transversal é a mínima, será aceito um espaçamento um pouco superior a st,máx). 
 
g) Detalhamento das armaduras (Figura 1.152) 
 
 No detalhamento, as barras N5 e N7 formam armaduras construtivas, aplicadas para aumentar a segurança da 
sapata, determinadas em função das dimensões da sapata e das armaduras principais de flexão (barras N4 e N8). As 
barras N6 reforçam as faces laterais verticais da sapata. Os comprimentos das barras N7 e N8 devem ser determinados 
em função do “cobrimento” do diagrama de momentos fletores, bem como das barras N4. 
 
N1 - 84 c/9,5
75
75
2
0
0
N
1
 -
 8
4
 Ø
1
2
,5
 C
 =
 3
5
0
 
 
7
5
7
5
4 N6
N2 - 80 c/10
N3 - 2 x 80 c/10
N4 - 17 Ø20 C = N5 - 10 Ø10
N6 - 2 x 4 Ø6,3 CORR
N7 - 10 Ø10 C = N8 - 22 Ø12,5 C =
7
5
7
5
202
77
N2 - 80 Ø6,3 C =
40
77
N3 - 160 Ø6,3
22 N8
4 N6
17 N4
 
Figura 1.152 – Esquema do detalhamento das armaduras da sapata. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 114 
 
 
 As sapatas devem ter o equilíbrio verificado, quanto à possibilidade de tombamento e escorregamento, 
conforme apresentado no item 1.8. No caso de armaduras de flexão compostas por barras de diâmetro 20 mm ou 
superior é importante também verificar o possível descolamento ou escorregamento das armaduras, conforme 
apresentado no item 1.9. 
 
Atividade: alterar o projeto da sapata fazendo uma viga de rigidez entre os dois pilares. Comparar o 
consumo de materiais (concreto e aço) entre as duas soluções. A altura da sapata (85 cm) pode ser alterada. 
 
 
Questionário 
 
1) Definir resumidamente: fundação superficial, sapata, sapata isolada, sapata corrida, sapata associada, 
sapata com viga de equilíbrio, sapata excêntrica de divisa sem viga de equilíbrio. Exemplificar com 
desenhos. 
2) Por que a razão entre o lado maior e o lado menor de uma sapata isolada deve ser mantido até 2,5? 
3) Por que é interessante fazer os balanços iguais nas sapatas isoladas? Isso é obrigatório? 
4) Apresente o critério da NBR 6118 para a definição da rigidez da sapata. Compare com o critério do 
CEB-70. 
5) Estude e descreva o comportamento estrutural das sapatas rígidas e flexíveis. 
6) Por que não ocorre ruptura por punção nas sapatas rígidas? 
7) Em que situações a NBR 6118 indica a aplicação das sapatas flexíveis? 
8) A distribuição das tensões da sapata no solo é um assunto complexo, e depende de diversos fatores. 
Recomendo que seja estudada num livro de Fundações (Mecânica dos Solos). Procure saber as 
simplificações que são feitas em função da sapata ser rígida ou flexível e das características do solo 
(rocha, areia, argila, etc.). 
9) Sobre o processo de cálculo do CEB-70, mostre como é calculado o momento fletor na sapata. Qual o 
carregamento considerado? Analise os casos de sapata sem e com momentos fletores. 
10) Descreva os processos para ancoragem da armadura positiva. 
11) Sobre o processo de cálculo do CEB-70, mostre como é calculada a força cortante de referência. 
12) Por que a NBR 6118 manda verificar a superfície crítica C? Quando? 
13) Por que a NBR 6118 manda verificar a superfície crítica C’ ? Quando? 
14) Explique resumidamente o método das bielas. Em que tipo de sapata pode ser aplicado? 
15) Analise as diversas situações de tensão, diagrama de pressão no solo, etc., no caso de sapatas com 
momentos fletores aplicados. 
16) No caso de sapatas flexíveis, geralmente o cálculo é feito fazendo-se uma analogia com quais elementos 
estruturais? Como são calculados os momentos fletores e forças cortantes? 
17) Que verificação é extremamente importante de ser feita nas sapatas flexíveis? E nas sapatas corridas? 
18) Quais processos de cálculo podem ser aplicados no dimensionamento das sapatas rígidas? E no caso das 
sapatas flexíveis? 
19) Como são consideradas as duas dimensões no cálculo das sapatas corridas? Qual é e como é disposta a 
armadura principal? E a armadura secundária? 
20) Quando é necessário verificar o equilíbrio das sapatas quanto ao tombamento e escorregamento? Não 
esqueça de fazer essas verificações no exercício da sapata corrida da questão anterior. 
21) Quando e como verificar o escorregamento das armaduras de flexão nas sapatas? 
22) Por que fazer viga alavanca em pilar de divisa? 
23) Como é feito o dimensionamento da viga alavanca? 
24) No caso da sapata de divisa com viga alavanca, como é feito seu cálculo, em que direção? 
25) Na sapata excêntrica de divisa sem viga alavanca, qual a largura máxima indicada? Quais os casos de 
pressão no solo? Como a estrutura deve equilibrar a sapata? 
26) Na sapata excêntrica de divisa sem viga alavanca, em quais casos pode ser recomendado colocar vigas 
na sapata? 
27) Quais as preocupações básicas no projeto de uma sapata associada? 
28) É recomendado o projeto de uma viga de rigidez nas sapatas associadas? Por que? 
29) Como é dimensionada a viga de rigidez nas sapatas associadas? E a sapata na direção normal à viga de 
rigidez? 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 115 
 
 
Referências 
 
1.ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e execução de fundações. NBR 6122, ABNT, 
2010, 91p. 
2.ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. NBR 
6118, ABNT, 2014, 238p. 
3.HACHICH, W. ; FALCONI, F.F. ; SAES, J.L. ; FROTA, R.G.Q. ; CARVALHO, C.S. ; NIYAMA, S. Fundações – 
Teoria e prática. São Paulo, Ed. Pini, ABMS/ABEF, 2ª. ed., 2000, 751p. 
4.MONTOYA, J. Hormigon armado, v.1-2. Barcelona, Ed. Gustavo Gili, 5a. ed., 1971. 
5.COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BETON. Recommendations particulières au calcul et à l’exécution des 
semelles de fondation. Bulletin d’Information n.73. Paris, 1970. 
6.CODUTO, D.P. Foundation Design – Principles and Practices. Upper Saddle River, Prentice Hall, 2a ed., 2001, 
883p. 
7.NILSON, A.H. ; DARWIN, D. ; DOLAN, C.W. Design of concrete structures. 14ª ed., McGraw Hill Higher 
Education, 2010, 795p. 
8.AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Building code requirements for structural concrete and Commentary. ACI 
318-11, 2011, 503p. 
9.TALBOT, A.N. ; ARTHUR, N. Reinforced concrete wall footings and column footings. Bulletin n. 67, University of 
Illinois Engineering Experiment Station, Urbana, 1913. 
10.RICHART, F.E. Reinforced concrete wall and column footings. Journal of the American Concrete Institute, v.20, 
n.2, p.97-127, and v.20, n.3, p.237-260, 1948. 
11.ACI-ASCE. Report of committee on shear and diagonal tension. Proceedings, American Concrete Institute, v.59, 
n.1, 1962. 
12.NAWY, E.G. Reinforced concrete – A fundamental approach. Upper Saddle River, Pearson Prentice Hall, 5a ed. 
ACI 318-05 Code Edition, 2005, 824p. 
13.McCORMAC, J.C. ; NELSON, J.K. Design of reinforced concrete – ACI 318-05 Code Edition. 7ª ed., John Wiley & 
Sons, 2006, 721p. 
14.ANDRADE, J.R.L. Fundações, blocos e vigas de transição. São Carlos, EESC/USP. Notas de aula, Estruturas 
Correntes de Concreto Armado, 4a parte, 1989. 
15.CAMPOS, J.C. Elementos de fundações em concreto. São Paulo, Ed. Oficina de Textos, 2015, 542p. 
16.SANTOS, L.M. Edifícios de Concreto Armado – Fundações. São Paulo, FDTE, EPUSP, fev. 1984, p.10.1-10.16. 
17.MACHADO, C.P. Edifícios de Concreto Armado – Fundações. São Paulo, FDTE,EPUSP, nov. 1985, p.11.31-
11.33. 
18.ALONSO, U.R. Exercícios de fundações. São Paulo, Ed. Edgard Blücher, 1983. 
19.GUERRIN, A. Tratado de Concreto Armado. v.2. São Paulo, Ed. Hemus, 1980. 
20.SILVA, E.L. Análise dos métodos estruturais para a determinação dos esforços resistentes em sapatas isoladas. 
Dissertação (Mestrado), São Carlos, EESC-USP, 1998. 
21.FERRO, N.C.P. Concreto III – Notas de Aula. Departamento de Engenharia Civil, UNESP, Bauru, 2005. 
22. BASTOS, P.S.S. Dimensionamento de vigas de concreto armado à força cortante. Disciplina 2123 – Estruturas de 
Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista 
(UNESP), abr/2015, 74p. Acesso em: http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 116 
 
 
ANEXO A - TABELAS 
 
Tabela A-1 – Valores de Kc e Ks para o aço CA-50 (para concretos do Grupo I de resistência – 
fck ≤ 50 MPa, c = 1,4, γs = 1,15). 
FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR - ARMADURA SIMPLES 
d
x
x  
Kc (cm2/kN) Ks (cm2/kN) 
Dom. 
C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA-50 
0,01 137,8 103,4 82,7 68,9 59,1 51,7 45,9 41,3 0,023 
2 
0,02 69,2 51,9 41,5 34,6 29,6 25,9 23,1 20,8 0,023 
0,03 46,3 34,7 27,8 23,2 19,8 17,4 15,4 13,9 0,023 
0,04 34,9 26,2 20,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,023 
0,05 28,0 21,0 16,8 14,0 12,0 10,5 9,3 8,4 0,023 
0,06 23,4 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,024 
0,07 20,2 15,1 12,1 10,1 8,6 7,6 6,7 6,1 0,024 
0,08 17,7 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,024 
0,09 15,8 11,9 9,5 7,9 6,8 5,9 5,3 4,7 0,024 
0,10 14,3 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,024 
0,11 13,1 9,8 7,8 6,5 5,6 4,9 4,4 3,9 0,024 
0,12 12,0 9,0 7,2 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,024 
0,13 11,1 8,4 6,7 5,6 4,8 4,2 3,7 3,3 0,024 
0,14 10,4 7,8 6,2 5,2 4,5 3,9 3,5 3,1 0,024 
0,15 9,7 7,3 5,8 4,9 4,2 3,7 3,2 2,9 0,024 
0,16 9,2 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1 2,7 0,025 
0,17 8,7 6,5 5,2 4,3 3,7 3,2 2,9 2,6 0,025 
0,18 8,2 6,2 4,9 4,1 3,5 3,1 2,7 2,5 0,025 
0,19 7,8 5,9 4,7 3,9 3,4 2,9 2,6 2,3 0,025 
0,20 7,5 5,6 4,5 3,7 3,2 2,8 2,5 2,2 0,025 
0,21 7,1 5,4 4,3 3,6 3,1 2,7 2,4 2,1 0,025 
0,22 6,8 5,1 4,1 3,4 2,9 2,6 2,3 2,1 0,025 
0,23 6,6 4,9 3,9 3,3 2,8 2,5 2,2 2,0 0,025 
0,24 6,3 4,7 3,8 3,2 2,7 2,4 2,1 1,9 0,025 
0,25 6,1 4,6 3,7 3,1 2,6 2,3 2,0 1,8 0,026 
0,26 5,9 4,4 3,5 2,9 2,5 2,2 2,0 1,8 0,026 
0,27 5,7 4,3 3,4 2,8 2,4 2,1 1,9 1,7 0,026 
3 
0,28 5,5 4,1 3,3 2,8 2,4 2,1 1,8 1,7 0,026 
0,29 5,4 4,0 3,2 2,7 2,3 2,0 1,8 1,6 0,026 
0,30 5,2 3,9 3,1 2,6 2,2 1,9 1,7 1,6 0,026 
0,31 5,1 3,8 3,0 2,5 2,2 1,9 1,7 1,5 0,026 
0,32 4,9 3,7 3,0 2,5 2,1 1,8 1,6 1,5 0,026 
0,33 4,8 3,6 2,9 2,4 2,1 1,8 1,6 1,4 0,026 
0,34 4,7 3,5 2,8 2,3 2,0 1,8 1,6 1,4 0,027 
0,35 4,6 3,4 2,7 2,3 2,0 1,7 1,5 1,4 0,027 
0,36 4,5 3,3 2,7 2,2 1,9 1,7 1,5 1,3 0,027 
0,37 4,4 3,3 2,6 2,2 1,9 1,6 1,5 1,3 0,027 
0,38 4,3 3,2 2,6 2,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,027 
0,40 4,1 3,1 2,5 2,0 1,8 1,5 1,4 1,2 0,027 
0,42 3,9 2,9 2,4 2,0 1,7 1,5 1,3 1,2 0,028 
0,44 3,8 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,028 
0,45 3,7 2,8 2,2 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 0,028 
0,46 3,7 2,7 2,2 1,8 1,6 1,4 1,2 1,1 0,028 
0,48 3,5 2,7 2,1 1,8 1,5 1,3 1,2 1,1 0,028 
0,50 3,4 2,6 2,1 1,7 1,5 1,3 1,1 1,0 0,029 
0,52 3,3 2,5 2,0 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,029 
0,54 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 1,0 0,029 
0,56 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 0,9 0,030 
0,58 3,1 2,3 1,8 1,5 1,3 1,2 1,0 0,9 0,030 
0,60 3,0 2,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,030 
0,62 2,9 2,2 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,031 
0,63 2,9 2,2 1,7 1,5 1,2 1,1 1,0 0,9 0,031 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 117 
 
 
 
Tabela A-2 – Área e massa linear de fios e barras de aço (NBR 7480). 
 
Diâmetro (mm) Massa 
(kg/m) 
Área 
(mm2) 
Perímetro 
(mm) Fios Barras 
2,4 - 0,036 4,5 7,5 
3,4 - 0,071 9,1 10,7 
3,8 - 0,089 11,3 11,9 
4,2 - 0,109 13,9 13,2 
4,6 - 0,130 16,6 14,5 
5 5 0,154 19,6 17,5 
5,5 - 0,187 23,8 17,3 
6 - 0,222 28,3 18,8 
- 6,3 0,245 31,2 19,8 
6,4 - 0,253 32,2 20,1 
7 - 0,302 38,5 22,0 
8 8 0,395 50,3 25,1 
9,5 - 0,558 70,9 29,8 
10 10 0,617 78,5 31,4 
- 12,5 0,963 122,7 39,3 
- 16 1,578 201,1 50,3 
- 20 2,466 314,2 62,8 
- 22 2,984 380,1 69,1 
- 25 3,853 490,9 78,5 
- 32 6,313 804,2 100,5 
- 40 9,865 1256,6 125,7 
 
 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 118 
 
 
Tabela A-3 – Área de aço e largura bw mínima. 
Diâm. As (cm2) Número de barras 
(mm) bw (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
4,2 
As 0,14 0,28 0,42 0,56 0,70 0,84 0,98 1,12 1,26 1,40 
bw 
Br. 1 - 8 11 14 16 19 22 25 27 30 
Br. 2 - 9 13 16 19 23 26 30 33 36 
5 
 As 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 
bw 
Br. 1 - 9 11 14 17 20 22 25 28 31 
Br. 2 - 9 13 16 20 23 27 30 34 37 
6,3 
As 0,31 0,62 0,93 1,24 1,55 1,86 2,17 2,48 2,79 3,10 
bw 
Br. 1 - 9 12 15 18 20 23 26 29 32 
Br. 2 - 10 13 17 20 24 28 31 35 39 
8 
As 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 
bw 
Br. 1 - 9 12 15 18 21 25 28 31 34 
Br. 2 - 10 14 17 21 25 29 33 36 40 
10 
As 0,80 1,60 2,40 3,20 4,00 4,80 5,60 6,40 7,20 8,00 
bw 
Br. 1 - 10 13 16 19 23 26 29 33 36 
Br. 2 - 10 14 18 22 26 30 34 38 42 
12,5 
As 1,25 2,50 3,75 5,00 6,25 7,50 8,75 10,00 11,25 12,50 
bw 
Br. 1 - 10 14 17 21 24 28 31 35 38 
Br. 2 - 11 15 19 24 28 32 36 41 45 
16 
As 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 20,00 
bw 
Br. 1 - 11 15 19 22 26 30 34 38 42 
Br. 2 - 11 16 21 25 30 34 39 44 48 
20 
As 3,15 6,30 9,45 12,60 15,75 18,90 22,05 25,20 28,35 31,50 
bw 
Br. 1 - 12 16 20 24 29 33 37 42 46 
Br. 2 - 12 17 22 27 32 37 42 47 52 
22 
As 3,80 7,60 11,40 15,20 19,00 22,80 26,60 30,40 34,20 38,00 
bw 
Br. 1 - 12 16 21 25 30 34 39 43 48 
Br. 2 - 13 18 23 28 33 39 44 49 54 
25 
As 4,90 9,80 14,70 19,60 24,50 29,40 34,30 39,20 44,10 49,00 
bw 
Br. 1 - 13 18 23 28 33 38 43 48 53 
Br. 2 - 13 19 24 30 35 41 46 52 57 
32 
As 8,05 16,10 24,15 32,20 40,25 48,30 56,35 64,40 72,45 80,50 
bw 
Br. 1 - 15 21 28 34 40 47 53 60 66 
Br. 2 - 15 21 28 34 40 47 53 60 66 
40 
As 12,60 25,20 37,80 50,40 63,00 75,60 88,20 100,80 113,40 126,00 
bw 
Br. 1 - 17 25 33 41 49 57 65 73 81 
Br. 2 - 17 25 33 41 49 57 65 73 81 
largura bw mínima: 
bw,mín = 2 (c + t) + no barras .  + ah.mín (no barras – 1) 
 
Br. 1 = brita 1 (dmáx = 19 mm) ; Br. 2 = brita 2 (dmáx = 25 mm) 
Valores adotados: t = 6,3 mm ; cnom = 2,0 cm 
Para cnom  2,0 cm, aumentar bw,mín conforme: 
cnom = 2,5 cm  + 1,0 cm 
cnom = 3,0 cm  + 2,0 cm 
cnom = 3,5 cm  + 3,0 cm 
cnom = 4,0 cm  + 4,0 cm 
 






agrmáx,
mín,h
1,2d
cm 2
a  
 
w
h
v
Øt
Ø
c
b
a
a
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 119 
 
 
Tabela A-4 – Equações simplificadas segundo o Modelo de Cálculo I para concretos do Grupo I. 
Modelo de Cálculo I 
 (estribo vertical, c = 1,4, s = 1,15, aços CA-50 e CA-60, flexão simples). 
Concreto 
VRd2 
(kN) 
VSd,mín 
(kN) 
Asw 
(cm2/m) 
C20 db35,0 w db101,0 w w
Sd b17,0
d
V
55,2  
C25 db43,0 w db117,0 w w
Sd b20,0
d
V
55,2  
C30 db51,0 w db132,0 w w
Sd b22,0
d
V
55,2  
C35 db58,0 w db147,0 w w
Sd b25,0
d
V
55,2  
C40 db65,0 w db160,0 w w
Sd b27,0
d
V
55,2  
C45 db71,0 w db173,0 w w
Sd b29,0
d
V
55,2  
C50 db77,0 w db186,0 w w
Sd b31,0
d
V
55,2  
bw = largura da viga, cm; VSd = força cortante de cálculo, kN; 
d = altura útil, cm; 
 
 
 
Tabela A-5 – Equações simplificadas segundo Modelo de Cálculo II para concretos do Grupo I. 
Modelo de Cálculo II 
(estribo vertical, c = 1,4, s = 1,15, aços CA-50 e CA-60, flexão simples) 
Concreto 
VRd2 
(kN) 
VSd,mín 
(kN) 
Asw 
(cm2/m) 
C20  cos.sen.d.b71,0 w 1cw Vgcot.d.b.035,0  
 
 
 
 
 
 
d
VV
tg55,2 1cSd

 
C25  cos.sen.d.b87,0 w 1cw Vgcot.d.b.040,0  
C30  cos.sen.d.b02,1 w 1cw Vgcot.d.b.045,0  
C35  cos.sen.d.b16,1 w 1cw Vgcot.d.b.050,0  
C40  cos.sen.d.b30,1 w 1cw Vgcot.d.b.055,0  
C45  cos.sen.d.b42,1 w 1cw Vgcot.d.b.059,0  
C50  cos.sen.d.b54,1 w 1cw Vgcot.d.b.064,0 
bw = largura da viga, cm; VSd = força cortante de cálculo, kN; 
d = altura útil, cm;  = ângulo de inclinação das bielas de compressão (); 
VC1 = força cortante proporcionada pelos mecanismos complementares ao de treliça, kN; 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 120 
 
 
Tabela A-6 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas (Tabela 17.3 da NBR 6118). 
Forma 
da seção 
Valores de mín(a) (%) 
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 
Retan- 
gular 
0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,208 0,211 0,219 0,226 0,233 0,239 0,245 0,251 0,256 
(a) Os valores de mín estabelecidos nesta Tabela pressupõem o uso de aço CA-50, d/h = 0,8, c = 1,4 e s = 1,15. Caso esses 
fatores sejam diferentes, mín deve ser recalculado. 
mín = As,mín/Ac 
 
 
 
 
Tabela A-7 – Comprimento de ancoragem (cm) para o aço CA-50 nervurado. 
COMPRIMENTO DE ANCORAGEM (cm) PARA As,ef = As,calc CA-50 nervurado 
 
(mm) 
Concreto 
C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 
Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 
6,3 
48 33 39 28 34 24 30 21 27 19 25 17 23 16 21 15 
33 23 28 19 24 17 21 15 19 13 17 12 16 11 15 10 
8 
61 42 50 35 43 30 38 27 34 24 31 22 29 20 27 19 
42 30 35 24 30 21 27 19 24 17 22 15 20 14 19 13 
10 
76 53 62 44 54 38 48 33 43 30 39 28 36 25 34 24 
53 37 44 31 38 26 33 23 30 21 28 19 25 18 24 17 
12,5 
95 66 78 55 67 47 60 42 54 38 49 34 45 32 42 30 
66 46 55 38 47 33 42 29 38 26 34 24 32 22 30 21 
16 
121 85 100 70 86 60 76 53 69 48 63 44 58 41 54 38 
85 59 70 49 60 42 53 37 48 34 44 31 41 29 38 27 
20 
151 106 125 87 108 75 95 67 86 60 79 55 73 51 68 47 
106 74 87 61 75 53 67 47 60 42 55 39 51 36 47 33 
22,5 
170 119 141 98 121 85 107 75 97 68 89 62 82 57 76 53 
119 83 98 69 85 59 75 53 68 47 62 43 57 40 53 37 
25 
189 132 156 109 135 94 119 83 108 75 98 69 91 64 85 59 
132 93 109 76 94 66 83 58 75 53 69 48 64 45 59 42 
32 
242 169 200 140 172 121 152 107 138 96 126 88 116 81 108 76 
169 119 140 98 121 84 107 75 96 67 88 62 81 57 76 53 
40 
329 230 271 190 234 164 207 145 187 131 171 120 158 111 147 103 
230 161 190 133 164 115 145 102 131 92 120 84 111 77 103 72 
 Valores de acordo com a NBR 6118. 
 No Superior: Má Aderência ; No Inferior: Boa Aderência 
 Sem e Com indicam sem ou com gancho na extremidade da barra 
 As,ef = área de armadura efetiva ; As,calc = área de armadura calculada 
 O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: 






mm 100
10
3,0 b
mín,b

 
 c = 1,4 ; s = 1,15 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 121 
 
 
Tabela A-8 – Comprimento de ancoragem (cm) para o aço CA-60 entalhado. 
COMPRIMENTO DE ANCORAGEM (cm) PARA As,ef = As,calc CA-60 entalhado 
 
(mm) 
Concreto 
C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 
Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 
3,4 
50 35 41 29 35 25 31 22 28 20 26 18 24 17 22 16 
35 24 29 20 25 17 22 15 20 14 18 13 17 12 16 11 
4,2 
61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 
43 30 35 25 31 21 27 19 24 17 22 16 21 14 19 13 
5 
73 51 60 42 52 36 46 32 41 29 38 27 35 25 33 23 
51 36 42 30 36 25 32 23 29 20 27 19 25 17 23 16 
6 
88 61 72 51 62 44 55 39 50 35 46 32 42 29 39 27 
61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 
7 
102 71 84 59 73 51 64 45 58 41 53 37 49 34 46 32 
71 50 59 41 51 36 45 32 41 28 37 26 34 24 32 22 
8 
117 82 96 67 83 58 74 51 66 46 61 42 56 39 52 37 
82 57 67 47 58 41 51 36 46 33 42 30 39 27 37 26 
9,5 
139 97 114 80 99 69 87 61 79 55 72 50 67 47 62 43 
97 68 80 56 69 48 61 43 55 39 50 35 47 33 43 30 
Valores de acordo com a NBR 6118. 
 No Superior: Má Aderência ; No Inferior: Boa Aderência 
 Sem e Com indicam sem ou com gancho na extremidade da barra 
 As,ef = área de armadura efetiva ; As,calc = área de armadura calculada 
 O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: 






mm 100
10
3,0 b
mín,b

 
 c = 1,4 ; s = 1,15 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 122 
 
 
Tabela A-9 – Valores mínimos para armaduras passivas aderentes em lajes (Tabela 19.1 da NBR 6118). 
Armadura 
Elementos estruturais sem 
armaduras ativas 
Armaduras negativas s mín 
Armaduras negativas de bordas sem continuidade s 0,67mín 
Armaduras positivas de lajes armadas nas duas 
direções 
s 0,67mín 
Armadura positiva (principal) de lajes armadas em 
uma direção 
s mín 
Armadura positiva (secundária) de lajes armadas 
em uma direção 
s/s  20 % da armadura principal 
s/s  0,9 cm2/m 
s  0,5 mín 
s = As/(bw h) 
Os valores de mín constam da Tabela A-6. 
 
 
 
 
 
Tabela A-10 – Diâmetro dos pinos de dobramento (D) (Tabela 9.1 da NBR 6118). 
Bitola 
(mm) 
Tipo de aço 
CA-25 CA-50 CA-60 
< 20 4  5  6  
 20 5  8  - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 123 
 
 
Tabela A-11 – Área de armadura por metro de largura (cm2/m). 
 
ÁREA DE ARMADURA POR METRO DE LARGURA (cm2/m) 
Espaçamento 
(cm) 
Diâmetro Nominal (mm) 
4,2 5 6,3 8 10 12,5 
5 2,77 4,00 6,30 10,00 16,00 25,00 
5,5 2,52 3,64 5,73 9,09 14,55 22,73 
6 2,31 3,33 5,25 8,33 13,33 20,83 
6,5 2,13 3,08 4,85 7,69 12,31 19,23 
7 1,98 2,86 4,50 7,14 11,43 17,86 
7,5 1,85 2,67 4,20 6,67 10,67 16,67 
8 1,73 2,50 3,94 6,25 10,00 15,63 
8,5 1,63 2,35 3,71 5,88 9,41 14,71 
9 1,54 2,22 3,50 5,56 8,89 13,89 
9,5 1,46 2,11 3,32 5,26 8,42 13,16 
10 1,39 2,00 3,15 5,00 8,00 12,50 
11 1,26 1,82 2,86 4,55 7,27 11,36 
12 1,15 1,67 2,62 4,17 6,67 10,42 
12,5 1,11 1,60 2,52 4,00 6,40 10,00 
13 1,07 1,54 2,42 3,85 6,15 9,62 
14 0,99 1,43 2,25 3,57 5,71 8,93 
15 0,92 1,33 2,10 3,33 5,33 8,33 
16 0,87 1,25 1,97 3,13 5,00 7,81 
17 0,81 1,18 1,85 2,94 4,71 7,35 
17,5 0,79 1,14 1,80 2,86 4,57 7,14 
18 0,77 1,11 1,75 2,78 4,44 6,94 
19 0,73 1,05 1,66 2,63 4,21 6,58 
20 0,69 1,00 1,58 2,50 4,00 6,25 
22 0,63 0,91 1,43 2,27 3,64 5,68 
24 0,58 0,83 1,31 2,08 3,33 5,21 
25 0,55 0,80 1,26 2,00 3,20 5,00 
26 0,53 0,77 1,21 1,92 3,08 4,81 
28 0,49 0,71 1,12 1,79 2,86 4,46 
30 0,46 0,67 1,05 1,67 2,67 4,17 
33 0,42 0,61 0,95 1,52 2,42 3,79 
Elaborada por PINHEIRO (1994) 
Diâmetros especificados pela NBR 7480. 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
UNESP - Campus de Bauru/SP 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
Departamento de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
Disciplina: 2133 - ESTRUTURAS DE CONCRETO III 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
BLOCOS DE FUNDAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS 
(wwwp.feb.unesp.br/pbastos) 
 
 
 
 
 
Bauru/SP 
Maio/2017 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
 
Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 
2133 – Estruturas de Concreto III, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da 
Universidade Estadual Paulista - UNESP – Campus de Bauru. 
O texto apresenta o dimensionamento dos blocos de fundação, conforme os procedimentos 
contidos na NBR 6118/2014 - “Projeto de estruturas de concreto – Procedimento”. 
Outras apostilas e livros devem ser utilizados para complementar o estudo, conforme 
apresentados na Bibliografia e na página da disciplina na internet: 
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto3.htm 
Agradecimentos ao técnico Tiago Duarte de Mattos, pela confecção de desenhos, e ao 
aluno Lucas F. Sciacca, pelo auxílio na digitação. 
Críticas ou sugestões serão bem-vindas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
1. DEFINIÇÃO ............................................................................................................................ 1 
2. COMPORTAMENTO ESTRUTURAL DOS BLOCOS RÍGIDOS .................................. 1 
3. MODELOS DE CÁLCULO ...................................................................................................2 
4. MÉTODO DAS BIELAS ........................................................................................................ 2 
5. BLOCO SOBRE UMA ESTACA .......................................................................................... 3 
6. BLOCO SOBRE DUAS ESTACAS ...................................................................................... 4 
6.1 Altura Útil ............................................................................................................................. 5 
6.2 Verificação das Bielas .......................................................................................................... 6 
6.3 Armadura Principal .............................................................................................................. 7 
6.4 Armaduras Complementares (Superior e de Pele) ............................................................... 7 
6.5 Ancoragem da Armadura Principal e Comprimento do Bloco............................................. 8 
7. BLOCO SOBRE TRÊS ESTACAS ..................................................................................... 10 
7.1 Altura Útil ........................................................................................................................... 11 
7.2 Verificação das Bielas ........................................................................................................ 12 
7.3 Armadura Principal ............................................................................................................ 13 
7.3.1 Armaduras Paralelas aos Lados (sobre as estacas) e Malha Ortogonal. .................... 13 
7.3.2 Armaduras na Direção das Medianas e Paralelas aos Lados (Armadura de 
Cintamento) ........................................................................................................................... 15 
7.4 Armadura Superior e de Pele .............................................................................................. 16 
8. BLOCO SOBRE QUATRO ESTACAS .............................................................................. 17 
8.1 Altura Útil ........................................................................................................................... 18 
8.2 Verificação das Bielas ........................................................................................................ 18 
8.3 Armadura Principal ............................................................................................................ 19 
8.3.1 Na Direção das Diagonais .......................................................................................... 19 
8.3.2 Na Direção das Diagonais e Paralela aos Lados ........................................................ 20 
8.3.3 Paralela aos Lados e em Malha .................................................................................. 21 
8.4 Armaduras Complementares .............................................................................................. 21 
9. BLOCO SOBRE CINCO ESTACAS .................................................................................. 22 
9.1 Bloco com uma Estaca no Centro (Bloco Quadrado)......................................................... 22 
9.1.1 Altura Útil .................................................................................................................. 22 
9.1.2 Verificação das Bielas ................................................................................................ 23 
9.1.3 Armadura Principal .................................................................................................... 23 
9.2 Pilares Muito Retangulares ................................................................................................. 23 
9.3 Bloco em Forma de Pentágono ........................................................................................... 24 
9.3.1 Altura Útil .................................................................................................................. 25 
9.3.2 Verificação das Bielas ................................................................................................ 26 
9.3.3 Armadura Principal .................................................................................................... 26 
9.3.4 Armaduras Complementares ...................................................................................... 27 
10. BLOCO SOBRE SEIS ESTACAS ....................................................................................... 27 
10.1 Bloco em Forma de Pentágono ........................................................................................ 27 
10.1.1 Altura Útil ............................................................................................................... 28 
10.1.2 Verificação das Bielas ............................................................................................ 28 
10.1.3 Armadura Principal ................................................................................................ 28 
10.2 Bloco em Forma de Hexágono ........................................................................................ 29 
10.2.1 Altura Útil ............................................................................................................... 29 
10.2.2 Verificação das Bielas ............................................................................................ 30 
10.2.3 Armadura Principal ................................................................................................ 30 
11. BLOCO SOBRE SETE ESTACAS ..................................................................................... 32 
12. MÉTODO DO CEB-70 ......................................................................................................... 32 
12.1 Momentos Fletores .......................................................................................................... 33 
12.2 Armadura Principal .......................................................................................................... 33 
12.3 Forças Cortantes .............................................................................................................. 34 
12.4 Força Cortante Limite ...................................................................................................... 35 
12.5 Resistência Local à Força Cortante ................................................................................. 35 
12.6 Armadura Principal em Bloco Sobre Três Estacas .......................................................... 36 
13. PILARES SUBMETIDOS À CARGA VERTICAL E MOMENTOS FLETORES ....... 37 
14. EXEMPLOS NUMÉRICOS ................................................................................................ 40 
14.1 Exemplo 1 - Bloco Sobre Duas Estacas .......................................................................... 40 
14.2 Exemplo 2 - Bloco Sobre Três Fustes de Tubulão .......................................................... 45 
14.3 Exemplo 3 - Bloco Sobre Quatro Estacas ........................................................................ 52 
15. EXERCÍCIOS PROPOSTOS .............................................................................................. 55 
16. FUNDAÇÃO EM TUBULÃO .............................................................................................. 57 
16.1 Tubulão a Céu Aberto ...................................................................................................... 57 
16.2 Armadura Longitudinal do Fuste – Carga Centrada ........................................................ 60 
16.3 Armadura Transversal ..................................................................................................... 61 
16.4 Bloco de Transição .......................................................................................................... 63 
16.5 Roteiro para Cálculo de Blocos de Transição ..................................................................65 
17. BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................... 68 
2133 – Estruturas de Concreto III – Blocos de Fundação 
 
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1 
1. DEFINIÇÃO 
 
Conforme a NBR 61181, item 22.7: “Blocos são estruturas de volume usadas para 
transmitir às estacas e aos tubulões as cargas de fundação, podendo ser considerados rígidos ou 
flexíveis por critério análogo ao definido para sapatas. 
Os blocos sobre estacas podem ser para 1, 2, 3... e teoricamente para n estacas, 
dependendo principalmente da capacidade da estaca e das características do solo. Blocos sobre 
uma ou duas estacas são mais comuns em construções de pequeno porte, como residências térreas 
e de dois pavimentos (sobrado), galpões, etc., onde a carga vertical proveniente do pilar é 
geralmente de baixa intensidade. Nos edifícios de vários pavimentos, como as cargas podem ser 
altas (ou muito altas), a quantidade de estacas é geralmente superior a duas. Há também o caso de 
bloco assente sobre um tubulão2, quando o bloco atua como elemento de transição de carga entre 
o pilar e o fuste do tubulão (Figura 1). 
 
ESTACA
PILAR
TUBULÃO
BLOCO
 
 a) b) 
Figura 1 - Bloco sobre: a) estacas; b) tubulão. 
 
 
2. COMPORTAMENTO ESTRUTURAL DOS BLOCOS RÍGIDOS 
 
Conforme a NBR 6118 (item 22.2.7.1), o comportamento estrutural dos blocos rígidos é 
caracterizado por: 
 
a) “trabalho à flexão nas duas direções, mas com trações essencialmente concentradas nas linhas 
sobre as estacas (reticulado definido pelo eixo das estacas, com faixas de largura igual a 1,2 vez 
seu diâmetro); 
b) forças transmitidas do pilar para as estacas essencialmente por bielas de compressão, de 
forma e dimensões complexas; 
c) trabalho ao cisalhamento também em duas direções, não apresentando ruínas por tração 
diagonal, e sim por compressão das bielas, analogamente às sapatas.” 
 
A Figura 2 mostra as duas bielas de compressão inclinadas atuantes nos blocos sobre duas 
estacas. 
 A NBR 6118 também apresenta o bloco flexível: “Para esse tipo de bloco deve ser 
realizada uma análise mais completa, desde a distribuição dos esforços nas estacas, dos tirantes 
de tração, até a necessidade da verificação da punção.” 
 
 
1 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. NBR 6118, 
ABNT, 2014, 238p. 
2 Há também a possibilidade do bloco apoiar-se sobre fustes de tubulão sem base alargada, como apresentado no Exemplo 2 do 
item 14. 
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2 
 
Figura 2 – Bielas de concreto no bloco sobre duas estacas. 
 
 
3. MODELOS DE CÁLCULO 
 
A NBR 6118 descreve (item 22.7.3) que “Para cálculo e dimensionamento dos blocos, são 
aceitos modelos tridimensionais lineares ou não lineares e modelos biela-tirante 
tridimensionais.” E que na “região de contato entre o pilar e o bloco, os efeitos de fendilhamento 
devem ser considerados, conforme requerido em 21.2, permitindo-se a adoção de um modelo de 
bielas e tirantes para a determinação das armaduras. No modelo de bielas e tirantes, a biela é a 
representação do concreto comprimido e o tirante das armaduras tracionadas. 
E sempre que houver forças horizontais significativas ou forte assimetria, o modelo deve 
contemplar a interação solo-estrutura.” 
No Brasil, os modelos de cálculo mais utilizados para o dimensionamento dos blocos sobre 
estacas são o “Método das Bielas” (Blévot, de 1967), o método do CEB-70 e nos últimos anos 
modelos tridimensionais de bielas e tirantes. Os métodos, das Bielas e do CEB-70, devem ser 
aplicados apenas nos blocos rígidos. No caso de blocos flexíveis, são aplicados métodos clássicos 
aplicáveis às vigas ou às lajes. 
 
4. MÉTODO DAS BIELAS 
 
O Método das Bielas admite como modelo resistente, no interior do bloco, uma “treliça 
espacial”, para blocos sobre várias estacas, ou plana, para blocos sobre duas estacas. As forças 
atuantes nas barras comprimidas da treliça são resistidas pelo concreto e as forças atuantes nas 
barras tracionadas são resistidas pelas barras de aço (armadura). A principal incógnita é 
determinar as dimensões das bielas comprimidas, resolvida com as propostas de Blévot (1967). 
O Método das Bielas é recomendado quando: 
 
a) o carregamento é quase centrado, comum em edifícios. O método pode ser empregado para 
carregamento não centrado, admitindo-se que todas as estacas estão com a maior carga, o que 
tende a tornar o dimensionamento antieconômico; 
b) todas as estacas devem estar igualmente espaçadas do centro do pilar. 
 
O Método das Bielas é o método simplificado mais empregado, porque: 
 
a) tem amplo suporte experimental (116 ensaios de Blévot, entre outros); 
b) ampla tradição no Brasil e Europa; 
c) modelo de treliça é intuitivo. 
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3 
5. BLOCO SOBRE UMA ESTACA 
 
No caso de pilares com dimensões próximas à dimensão da estaca, o bloco atua como em 
um elemento de transferência de carga, necessário por razões construtivas, para a locação correta 
dos pilares, chumbadores, correção de pequenas excentricidades da estaca, uniformização da 
carga sobre a estaca, etc. (Figura 3). 
São colocados estribos horizontais fechados para o esforço de fendilhamento e estribos 
verticais construtivos. 
Ø
e
ap
4
ap
Øe
A
B
AS
3 a 5 cm
d
2
d
2
10 a 15 cm
P
2
T
P
2
5
 a
 1
0
 c
m
d
 =
 1
,0
 a
 1
,2
 
 
Figura 3 – Bloco sobre uma estaca: esquema de forças e detalhes das armaduras. 
 
Cálculo simplificado da força de tração horizontal (T) (Figura 3): 
 
P
4
1a-
P
4
1
T
e
pe



 
 
Valor de cálculo da força de tração: Td = 0,25Pd 
 
A armadura, na forma de estribos horizontais, para resistir a força de tração Td é: 
yd
d
s
f
T
A  
Øe
AS (estribos
horizontais)
estribo
vertical
estribos
verticais
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4 
Geralmente, por simplicidade, adotam-se para os estribos verticais, nas duas direções do 
bloco, áreas iguais à armadura principal As (estribos horizontais). 
Para edifícios de pavimentos, onde a carga sobre o bloco não é baixa, a dimensão A do 
bloco pode ser tomada como: A = e + 2 ∙ 10 cm, ou 15 cm ao invés de 10 cm (Figura 3), 
dependendo da carga vertical, diâmetro e capacidade da estaca, etc. Sendo a estaca circular o 
bloco resulta quadrado em planta, com B = A. 
Para construções de pequeno porte, com cargas baixas sobre o bloco (casas, sobrados, 
galpões, etc.): A = e + 2 ∙ 5 cm. Exemplo: pilarete de sobrado, e = 20 cm, resulta o bloco 30 x 
30 cm de dimensões em planta (Figura 4). Neste caso, o pilarete sobre o bloco deve ter dimensão 
máxima ≤ 25 cm. Para pilaretes com dimensões maiores, deve-se aumentar as dimensões do 
bloco. A altura d do bloco pode ser estimada entre e e 1,2e , como indicado na Figura 3. Para o 
exemplo resulta: 1,2e = 1,2 . 20 = 24 cm, e h = 24 + 5 = 29 cm, podendo adotar h = 30 cm. 
 
5
2
5
5 520
30
30
3
0
3
0
 
Figura 4 – Dimensões mínimas (em cm) sugeridas para bloco sobre uma estaca circular 
(e = 20 cm) com cargas baixas em construção de pequeno porte. 
 
 
6. BLOCO SOBRE DUAS ESTACAS 
(Método das Bielas - Blévot)3 
 
A Figura 5 mostra o bloco sobre duas estacas, com a biela de concreto comprimido e o 
esquema de forças atuantes. 
 
3 A descrição de blocos de fundação, segundo o Método das Bielas, toma como base o texto de MACHADO (Edifícios de 
Concreto Armado - Fundações. São Paulo, FDTE/EPUSP, 1985). 
 
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5 
ØØe

N
2
aap
d
'
d h
biela
comprimida
N
2
N
2
 
Rs Rs
e
2
e
2
N
2
R
cR c d
4
ap
4
ap
N
2
N
2
ØØe
e
 
Figura 5 – Esquema de forças no bloco sobre duas estacas. 
 
 
Do polígono de forças (Figura 6): 
4
a
2
e
d
 tg e 
R
2
N
tg
ps 
 
 
R c

Rs
N
2 d
e
2
 - 
 
4
ap
 
 
Figura 6 – Polígono de forças no bloco 
sobre duas estacas. 
 
d
)a(2e
8
N
R
p
s

 (força de tração na armadura principal, As) 
 


sen2
N
R
R
2
N
sen c
c
 
 
6.1 Altura Útil 
 
As bielas comprimidas de concreto não apresentam risco de ruptura por punção, desde que 
40°    55°, onde  pode ser calculado por: 
 
4
a
2
e
d
tg
p

 
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6 
Substituindo  pelos ângulos 40° e 55° tem-se o intervalo de variação para d: 
 













2
a
e0,714d
2
a
e419,0
pp
 
 
Segundo Machado (1985), deve-se ter 45°    55°, o que resulta: 
 

















2
a
e0,71d ; 
2
a
e0,5d
p
máx
p
mín 
 
A NBR 6118 (22.7.4.1.4) prescreve que o “bloco deve ter altura suficiente para permitir a 
ancoragem da armadura de arranque dos pilares. Nessa ancoragem pode-se considerar o efeito 
favorável da compressão transversal às barras decorrente da flexão do bloco (ver Seção 9).”4 
Desse modo, a armadura longitudinal vertical do pilar ficará ancorada dentro do bloco se: 
 
d > b,,pil , onde b,,pil é o comprimento de ancoragem da armadura do pilar. 
 
A altura h do bloco é: 
h = d + d’ 






5
a
cm 5
d' com 
est
 
 
onde: aest = lado de uma estaca de seção quadrada, com mesma área da estaca de seção circular: 
 
eest
2
π
a  
 
6.2 Verificação das Bielas 
 
A seção ou área (Figura 7) das bielas varia ao longo da altura do bloco e, por isso, são 
verificadas as seções junto ao pilar e junto às estacas. 
 
Ap /2
A
b
Ae
A
b

biela
comprimida
 
A
b
Ap

/2
 
 
Ae
A
b

 
Figura 7 – Área da biela (Ab) de concreto comprimido, na base do pilar e no topo da estaca. 
 
 
4 Arranque é uma armadura inserida dentro do bloco, e que fica de “espera” para posteriormente ter nela emendada, geralmente por 
transpasse, a armadura principal do primeiro lance do pilar, de modo a proporcionar a ligação entre o bloco e o pilar. 
Opcionalmente a armadura do pilar pode ser inserida no bloco, diretamente, sem emenda com armadura de arranque, o que é mais 
econômico. 
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7 
No pilar: 
2/A
A
ens
p
b   sen
2
A
A
p
b 
 
Na estaca: 
e
b
A
A
ens   Ab = Ae sen α 
 
onde: Ab = área da biela; 
Ap = área do pilar; 
Ae = área da estaca. 
Considerando a equação básica de tensão (
b
cd
cd
A
R
σ  ), a tensão de compressão na biela, 
relativa ao pilar e à estaca, é: 
 
- no pilar: 
 




2
p
d
p
d
pilb,cd,
senA
N
sen
2
A
2sen
N
σ 
 
- na estaca: 
 




2
e
d
e
d
estb,cd,
sen2A
N
senA2sen
N
σ 
 
Para evitar o esmagamento do concreto, as tensões atuantes devem ser menores que as 
tensões resistentes (máximas ou últimas). Blévot considerou: 
 
cd,b,lim,pil = cd,b,lim,est = 1,4 KR fcd 
 
KR = 0,9 a 0,95 = coeficiente que leva em consideração a perda de resistência do concreto ao 
longo do tempo devido às cargas permanentes (efeito Rüsch). 
 
6.3 Armadura Principal 
 
Como Blévot verificou que, nos ensaios, a força medida na armadura principal foi 15 % 
superior à indicada pelo cálculo teórico, considera-se Rs acrescida de 15 %: 
 
d
)a(2e
8
1,15N
R
p
s

 
 
A armadura principal, disposta sobre o topo das estacas, é: 
 
)a(2e
f8d
1,15NR
A p
yd
d
sd
sd
s 

 
 
6.4 Armaduras Complementares (Superior e de Pele) 
 
A NBR 6118 (22.7.4.1.5) especifica o seguinte sobre armaduras laterais (de pele) e 
superior: “Em blocos com duas ou mais estacas em uma única linha, é obrigatória a colocação de 
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8 
armaduras laterais e superior.5 Em blocos de fundação de grandes volumes, é conveniente a 
análise da necessidade de armaduras complementares.”6 A armadura superior pode ser tomada 
como uma pequena parcela da armadura principal:7 
 
As,sup = 0,2 As 
 
Armadura de pele (lateral) e estribos verticais em cada face lateral: 
 
/m)(cm 0,075B
s
A
s
A
2
facemín,
sw
facemín,
sp














 
 
onde B = largura do bloco em cm (Figura 8), 
podendo ser tomado, para cargas elevadas 
(edifícios de grande porte) como: 
 
B ≥ e + 2 ∙ 15 cm 
 
Para edifícios de pequeno porte (com 
cargas verticais baixas): B ≥ e + 2 ∙ 5 cm. 
 
B
 
Figura 8 – Largura B do bloco. 
Espaçamento da armadura de pele: 
 






cm 20
3
d
s , e também s ≥ 8 cm (recomendação prática) 
 
 Espaçamento dos estribos verticais: 
 
- sobre as estacas: 









eest
2
5,00,5a
cm 15
s 
 
- nas outras posições além das estacas: s ≤ 20 cm 
 
6.5 Ancoragem da Armadura Principal e Comprimento do Bloco 
 
A NBR 6118 (22.7.4.1.1)8 especifica para os blocos rígidos que a armadura de flexão 
“deve ser disposta essencialmente (mais de 85 %) nas faixas definidas pelas estacas, 
considerando o equilíbrio com as respectivas bielas. As barras devem se estender de face a face 
do bloco e terminar em gancho nas duas extremidades. Deve ser garantida a ancoragem das 
armaduras de cada uma dessas faixas, sobre as estacas, medida a partir das faces internas das 
 
5 Excetuando o bloco sobre duas estacas, blocos sobre uma única linha de estacas são raros. Eventualmente podem ser necessários 
blocos sobre três ou mais estacas em linha, mas não são comuns. De modo que, a rigor, esta prescrição da norma não se aplica a 
blocos sobre três ou mais estacas que não estejam em uma única linha. Na frase seguinte a norma mostra a conveniência de colocar 
armaduras complementares nos blocos de maneira geral, entre elas a superior, mas não define o que é um bloco de grande volume. 
Pode-se em tese dizer que é aquele sujeito a uma maior possibilidade de ocorrência de fissuras, principalmente por efeito da 
retração e do calor do concreto gerado na hidratação do cimento. 
6 Esta prescrição da NBR 6118 deve ser aplicada a todos os blocos, independentemente do número de estacas. 
7 A norma não recomenda um valor para a armadura. Alguns autores recomendam esse valor. 
8 A NBR 6118 também apresenta informações no caso de estacas tracionadas. 
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9 
estacas. Pode ser considerado o efeito favorável da compressão transversal às barras, decorrente 
da compressão das bielas (ver Seção 9).”9 
A ancoragem da armadura positiva do bloco deve ter no mínimo o comprimento de 
ancoragem básico (b), iniciada a partir da face interna da estaca próxima à extremidade do bloco, 
como indicado na Figura 9. O gancho vertical pode ser considerado de modo a possibilitar a 
redução do comprimento de ancoragem, bem como o acréscimo de armadura em relação à 
calculada. Portanto, conforme o comprimento de ancoragem necessário:10 
 
ef,s
calc,s
bnec,b
A
A
  
 
A distância da face externa da estaca à borda extrema do bloco deve ser suficiente para 
garantir a ancoragem da armadura, de modo que o comprimento do bloco sobre duas estacas pode 
ser estimado como: 
 
 = e + e + 2 ∙ 15 cm (valores maiores que 15 cm podem ser necessários) 
 
ou, opcionalmente: = e + 2e + 2c , com c = cobrimento da armadura. 
 
Lb
e
Lb
As
 
Figura 9 – Ancoragem da armadura principal no bloco sobre duas estacas. 
 
 
Detalhamento das armaduras (Figura 10): 
 
 
9 Essas especificações da norma devem ser tomadas para os blocos rígidos de modo geral, independentemente do número de 
estacas. 
10 BASTOS, P.S.S. Ancoragem e emenda de armaduras. Disciplina 2123 – Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento 
Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista (UNESP), maio/2015, 40p. Disponível em: 
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm 
 
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10 
aest
 
2
Øe
15cm
15 cm
8,5 20 cm
N
 
2
Øe
e
l
15cm
Asp
Asw
Barras negativas (N1)
(estribos horizontais)
(arm. principal)
Asp
As
ØØe
N1
Asw
1515
B

 
Figura 10 – Esquema do detalhamento das armaduras do bloco sobre duas estacas. 
 
 
7. BLOCO SOBRE TRÊS ESTACAS 
(Método das Bielas – Blévot) 
 
O pilar é suposto de seção quadrada, com centro coincidente com o centro geométrico do 
bloco (Figura 11). O esquema de forças é analisado segundo uma das medianas do triângulo 
formado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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11 
L
e
2
e
2
e
e
1
3
 L
2
3
 L
A
A
aap
 

N
3
e 
 3 
3
 - 0,3 
Rs
R c
ap
d
 
 

N
3
N
3
e 
 3 
3
d
'
d
0,3aap
h
Rs
biela
Corte A
R c
 
Figura 11 – Bloco sobre três estacas. 
 
 
Do polígono de forças mostrado na Figura 11: 
 
p
s 0,3a
3
3
e
d
R
3
N
tg

 
 







 

d
0,9a3e
9
N
R
p
s ; 


sen3
N
Rc 
 
na direção das medianas do triângulo formado tomando os centros das estacas como vértices. 
Para pilares retangulares (ap . bp) pode-se adotar o pilar de seção quadrada equivalente: 
 
ppeqp, baa  
 
7.1 Altura Útil 
 
Blévot indicou ângulos α entre: 
 
40º ≤ α ≤ 55º  0,485(e  0,52ap) ≤ d ≤ 0,825(e  0,52ap) 
 
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12 
Com α assumindo valores de 45º e 55º resulta: 
 

















2
a
e0,825d
2
a
e0,58
pp
 , portanto: 
 









2
a
e0,58d
p
mín ; 







2
a
e,8250d
p
máx 
 
Altura: h = d + d’ 
 
com: eestest 2
a , 
5
a
cm 5
d' 







 
 
7.2 Verificação das Bielas 
 
A seção ou área das bielas varia ao longo da altura do bloco e, por isso, são verificadas as 
seções junto ao pilar e junto às estacas. Fazendo de forma análoga ao indicado para o bloco sobre 
duas estacas, e conforme a Figura 7, porém, considerando Ap/3 ao invés de Ap/2, tem-se: 
 
- área da biela na posição relativa à base do pilar:  sen
3
A
A
p
b 
 
- área da biela na posição relativa ao topo da estaca: Ab = Ae sen α 
 
onde: Ab = área da biela; 
Ap = área do pilar; 
Ae = área da estaca. 
Considerando a equação básica de tensão (
b
cd
cd
A
R
σ  ), a tensão de compressão na biela, 
relativa ao pilar e à estaca, é: 
 
- no pilar: 
 




2
p
d
p
d
pilb,cd,
senA
N
sen
3
A
3sen
N
σ 
 
- na estaca: 
 




2
e
d
e
d
estb,cd,
sen3A
N
senA3sen
N
σ 
 
A tensão última, ou máxima, pode ser adotada com o seguinte valor empírico 
(experimental), adotado por Blévot: 
 
σcd,b,lim,pil = σcd,b,lim,est = 1,75KR fcd 
 
A condição de segurança será atendida se: 
 
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13 
σcd,b,pil ≤ σcd,b,lim,pil 
 , com 0,9 ≤ KR ≤ 0,95 
σcd,b,est ≤ σcd,b,lim,est 
 
7.3 Armadura Principal 
 
Existem diferentes modos de posicionamento e detalhamento da armadura principal nos 
blocos sobre três estacas, conforme descrito na sequência. 
 
7.3.1 Armaduras Paralelas aos Lados (sobre as estacas) e Malha Ortogonal. 
 
Esta é a configuração mais usada no Brasil. Apresenta a menor fissuração e a maior 
economia (Figura 12). 
As,lado
(sobre as estacas)
As,lado
A
s
,m
a
lh
a
As,lado
trecho usado
para armadura
de suspensão
d
 -
 5
As,susp/face
 
Figura 12 – Bloco sobre três estacas com armaduras paralelas aos lados e malha ortogonal. 
 
 
A força Rs atua na direção das medianas do triângulo, cujos vértices são os centros das três 
estacas, e deve ter sua componente R’s determinada segundo os eixos das estacas. Considerando o 
esquema de forças mostrado na Figura 13, pela lei dos senos tem-se: 
 
3
3
RR'
30ºsen
R'
120ºsen
R
ss
ss  
30°
3
0
°
R's
R
' s R
s
3
0
° 12
0°
R's
R
' s
R s
 
Figura 13 – Decomposição da força de tração Rs na direção dos eixos das estacas. 
 
 
A armadura para resistir à força R’s , que é paralela aos lados do bloco
11, é: 
 
11 Esta armadura deve ser convenientemente ancorada sobre a estaca, como apresentado no item 6.5. 
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14 
yd
sd
lados,
f
R'
A  
 
)0,9a3(e
f27d
N3
A p
yd
d
lados,  
 
A NBR 6118 (22.7.4.1.2) especifica que “Para controlar a fissuração, deve ser prevista 
armadura positiva adicional, independente da armadura principal de flexão, em malha 
uniformemente distribuída em duas direções para 20 % dos esforços totais.”12 A armadura em 
malha, de barras finas em duas direções, pode ser: 
 
susp/faces,lados,malhas, AA
5
1
A  (em cada direção) 
 
onde As,susp/face é a armadura de suspensão por face, apresentada a seguir. 
 
Armadura de suspensão 
 
A armadura de suspensão tem a função de evitar o surgimento de fissuras nas regiões entre 
as estacas (Figura 14), que podem ocorrer pelo fato de formarem-se bielas de concreto 
comprimido que transferem partes da carga do pilar para as regiões inferiores do bloco, entre as 
estacas, e que se apoiam nas armaduras paralelas aos lados. Disso surgem tensões de tração que 
devem ser resistidas pela armadura de suspensão, a qual suspende as forças de tração para a região 
superior do bloco, e que daí caminham para as estacas. 
A NBR 6118 (22.7.4.1.3) especifica que “Se for prevista armadura de distribuição para 
mais de 25 % dos esforços totais ou se o espaçamento entre estacas for maior que 3 vezes o 
diâmetro da estaca, deve ser prevista armadura de suspensão para a parcela de carga a ser 
equilibrada.”13 De modo geral, independentemente da quantidade de armadura de distribuição e 
da distância entre as estacas, costuma-se prescrever uma armadura de suspensão, com valor de: 
 
yde
d
totsusp,s,
f1,5n
N
A  ; ne = número de estacas 
 
Para bloco sobre três estacas: 
 
yd
d
totsusp,s,
f5,4
N
A  
 
Portanto, a armadura de suspensão por face do bloco é: 
 
3
A
A
 totsusp, s,
facesusp,s,  
 
12 Da NBR 6118: “Este valor pode ser reduzido desde que seja justificado o controle das fissuras na região entre as armaduras 
principais.” 
13 As prescritas da NBR 6118 para armaduras em malha e de suspensão são gerais, independentemente do número de estacas sob o 
bloco. 
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15 
fissura
 
 
Figura 14 – Possível fissuração que exige armadura de suspensão no bloco sobre três estacas. 
 
 
7.3.2 Armaduras na Direção das Medianas e Paralelas aos Lados (Armadura de 
Cintamento) 
 
Esta disposição de armadura no bloco sobre três estacas não atende ao prescrito pela NBR 
6118 (22.7.4.1.1), de que pelo menos 85 % da armadura de flexão deveser disposta nas faixas 
definidas pelas estacas, no entanto, tem sua aplicação já consagrada pelo uso no Brasil (Figura 
15). Tem a desvantagem da superposição dos três feixes de barras, no centro do bloco, além de 
ocorrer fissuração elevada nas faces laterais do bloco, provocadas pela falta de apoio nas 
extremidades das barras das medianas, conhecida por “armadura em vazio”. De modo que deve-se 
dar preferência à disposição anterior, de armaduras paralelas aos lados e malha ortogonal. 
 
e
m
e
n
d
a
a
lte
rn
a
r
As,med
As,med As,med
A
s
, 
m
e
d
As,cinta
As,susp/face
 
Figura 15 – Bloco sobre três estacas com armadura na direção 
das medianas e paralelas aos lados. 
 
 
A força de tração na direção das medianas é: 
 
)0,9a3(e
9d
N
R ps  
 
A armadura nas três medianas pode ser um pouco reduzida, devido à existência das 
armaduras nos lados, sendo: 
 
k)-(1)0,9a3(e
f9d
N
f
k)(1R
A p
yd
d
yd
sd
meds, 

  armadura em cada mediana 
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16 
com 
5
4
k
3
2
 
 
Armadura de cintamento em cada lado do bloco: 
 
d
)0,9a3(e
9
N
3f
3k
3
R3
f
k
f
R'k
A
pd
yd
sd
ydyd
sd
cintas,

 
 
 )0,9a3(e
f27d
N3k
A p
yd
d
s,cinta 

 (em cada lado do bloco) 
 
Armadura de suspensão: 
 
yd
d
totsusp,s,
4,5f
N
A  
 
7.4 Armadura Superior e de Pele 
 
A armadura superior, em cada direção da malha, pode ser tomada como uma parcela da 
armadura principal:14 
 
As,sup = 0,2 As 
 
Em cada face vertical lateral do bloco deve ser colocada armadura de pele, na forma de 
estribos ou simplesmente barras horizontais, com a finalidade de reduzir a abertura de possíveis 
fissuras nessas faces (Figura 16), sendo: 
 
totals,facesp, A
8
1
A  
 
Com As,total = 3As,med = armadura principal total. 
 






cm20
3
d
s , s ≥ 8 cm 
 
 
14 Embora a norma recomende, esta armadura pode, a critério do projetista, ser suprimida em blocos de pequenos volumes. 
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17 
Asp, face
Asp, face
malha superior 
As, lado
 
Figura 16 – Armadura de pele no bloco sobre três estacas. 
 
 
8. BLOCO SOBRE QUATRO ESTACAS 
(Método das Bielas – Blévot) 
 
Pilar de seção quadrada, com centro coincidente com o centro geométrico do bloco e das 
estacas (Figura 17). 

N
4
e 
 2 
2
d
'
d h
Rs
CORTE A
R c
 
 2 
4
ap
aap
(e 
 2 
2
 - 
 2 
4
)
d
Rs
ap
N
4
A
A
aap
aa
p

R c
N
4
e
e
 
Figura 17 – Bloco sobre quatro estacas. 
 
 
Da Figura 17, o ângulo de inclinação das bielas é: 
 
4
2
a
2
2
e
d
R
4
N
α tg
p
s 
 
 
Do diagrama de forças tem-se a força de tração na direção das diagonais: 
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18 
d
)a(2e
16
2N
R
p
s

 ; 


4sen 
N
Rc 
 
Para pilar retangular deve-se substituir ap por ap,eq : 
 
ppeqp, baa  
 
8.1 Altura Útil 
 
Deve-se ter: 45º ≤ α ≤ 55º, e: 
 









2
a
e0,71d
p
mín ; 
2
a
ed
p
máx  
 
h = d + d’ ; 






5
a
cm 5
d'
est
 ; eest
2
π
a  
8.2 Verificação das Bielas 
 
Fazendo de forma análoga ao indicado para o bloco sobre duas estacas, e conforme a 
Figura 7, porém, considerando Ap/4 ao invés de Ap/2, tem-se: 
 
- área da biela na posição relativa à base do pilar:  sen
4
A
A
p
b 
 
- área da biela na posição relativa ao topo da estaca: Ab = Ae sen α 
 
Considerando a equação básica de tensão (
b
cd
cd
A
R
σ  ), a tensão de compressão na biela, 
relativa ao pilar e à estaca, é: 
 
- no pilar: 
 




2
p
d
p
d
pilb,cd,
senA
N
sen
4
A
4sen
N
σ 
 
- na estaca: 
 




2
e
d
e
d
estb,cd,
sen4A
N
senA4sen
N
σ 
 
Tensão limite indicada por Blévot: 
 
cd,b,lim,pil = cd,b,lim,est = 2,1KR fcd com 0,9 ≤ KR ≤ 0,95 
 
Condição de segurança: 
 
cd,b,pil  cd,b,lim,pil ; cd,b,est  cd,b,lim,est 
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19 
8.3 Armadura Principal 
 
Há quatro tipos diferentes de detalhamento da armadura principal, indicados na Figura 18. 
 
 
a) Segundo a direção das diagonais; 
 
b) Paralela aos lados; 
 
c) Segundo a direção das diagonais 
e paralela aos lados; 
 
d) Em malha única. 
Figura 18 – Possíveis detalhes da armadura principal no bloco sobre quatro estacas. 
 
 
O detalhamento mais usual na prática é o b da Figura 18, sendo um dos mais eficientes. O 
detalhamento a apresentou fissuras laterais excessivas já para cargas reduzidas. A armadura 
apenas com malha (d), apresentou carga de ruptura inferior ao dos outros casos, com uma 
eficiência de 80 %, e o melhor desempenho quanto à fissuração. Nos detalhamentos a, b e c, deve 
ser acrescentada uma armadura inferior em malha, a fim de evitar fissuras na parte inferior do 
bloco. 
 
8.3.1 Na Direção das Diagonais 
 
A Figura 18a e Figura 19 mostram esta forma de detalhamento da armadura principal. A 
força de tração na direção das diagonais é: 
 
d
)a(2e
16
2N
R
p
s

 
 
A área de armadura, na direção de cada diagonal: 
 
)a(2e
f16d
2N
A p
yd
d
diags, 

 
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20 
As, diag.
As, diag.
 
Figura 19 – Bloco sobre quatro estacas com armadura principal na direção das diagonais. 
 
 
Outras armaduras adicionais são necessárias, como armadura superior (As,sup) e de pele 
(Asp), ver item 6.4 e 8.4. 
 
8.3.2 Na Direção das Diagonais e Paralela aos Lados 
 
A Figura 18c e Figura 20 mostram esta forma de detalhamento da armadura principal. 
Sendo 45º o ângulo entre as diagonais e os lados, resulta: 
 
d
)a(2e
16
N
2
R
R'
ps
s

 
 
A armadura paralela a cada lado é: 
 
)a(2e
f16d
Nk
A p
yd
d
lados, 

 , com: 
3
2
k
2
1
 
 
A armadura na direção de cada diagonal é: 
 
)a(2e
f16d
2Nk)-(1
A p
yd
d
diags, 

 
A
s, diag.
A
s
, 
la
d
o
As, lado
As, diag.
 
Figura 20 – Bloco sobre quatro estacas com armadura principal 
disposta nos lados e nas diagonais. 
 
 
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21 
8.3.3 Paralela aos Lados e em Malha 
 
O detalhamento da armadura principal paralela aos lados, e com adição de armadura em 
malha, é o mais usual na prática (Figura 21). 
As, malha
A
s
, 
la
d
o
A
s
,m
a
lh
a
As, lado
As, susp.
 
 
4 gancho p/
armad. de
suspensão
As, lado
As, lado
As, malha
As, malha
 
Figura 21 – Disposição da armadura mais usual no Brasil para o bloco sobre quatro estacas: 
armadura paralela aos lados e em malha. 
 
 
A força de tração paralela aos lados é R’s , e a armadura paralela a cada lado é: 
 
)a(2e
f16d
N
A p
yd
d
lados, 

 
 
A armadura de distribuição em malha, em cada direção, pode ser adotada como: 
 
As,malha = 0,25As,lado ≥ 
4
As,susp
 
Armadura de suspensão total: 
 
yd
d
s,susp
6f
N
A  
 
8.4 Armaduras Complementares 
 
Além da armadura de suspensão deve ser colocada uma armadura de pele, em forma de 
barras horizontais nas faces, com área por face de: 
 
Asp,face = tot,sA
8
1
 
 
As,tot = armadura principal total = 4As,lado ou 4As,diag , conforme o tipo de armadura principal. 
 
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22 






cm20
3
d
s ; s ≥ 8 cm 
 
A armadura superior, em cada direção da malha, podeser tomada como uma parcela da 
armadura principal: 
 
As,sup = 0,2 As 
 
9. BLOCO SOBRE CINCO ESTACAS 
(Método das Bielas – Blévot) 
 
9.1 Bloco com uma Estaca no Centro (Bloco Quadrado) 
 
O procedimento para dedução de Rs é semelhante ao bloco sobre quatro estacas, 
substituindo-se N por N
5
4
 (Figura 22): 
 
c' e 2 c'
e e
aap
 
Figura 22 – Bloco sobre cinco estacas com uma estaca no centro. 
 
 
d
)a(2e
16
2N
5
4
R
p
s

 
 
 
9.1.1 Altura Útil 
 
Considerando 45 ≤ α ≤ 55º , e: 
 









2
a
e0,71d
p
mín ; 
2
a
ed
p
máx  
 
d'dh  ; 







e
est
2
π
5
1
5
a
cm 5
d' 
 
 
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23 
9.1.2 Verificação das Bielas 
 
De forma análoga ao descrito para os blocos sobre duas, três e quatro estacas, a tensão na 
biela junto ao pilar e à estaca é: 
 
αsenA
N
σ
2
p
d
pilb,cd,  ; 
αsen5A
N
σ
2
e
d
estb,cd,  
 
Tensão limite junto ao pilar e à estaca: 
 
cd,b,lim,pil = 2,6KR fcd com 0,9 ≤ KR ≤ 0,95 
 
cd,b,lim,est = 2,1KR fcd 
 
Condição de segurança: 
 
cd,b,pil  cd,b,lim,pil ; cd,b,est  cd,b,lim,est 
 
9.1.3 Armadura Principal 
 
Nas expressões para os blocos sobre quatro estacas, Nd deve ser substituído por dN
5
4
, 
sendo os detalhamentos análogos. Apresenta-se apenas o caso do detalhamento mais usual, o de 
armadura principal paralela aos lados e em malha. 
A armadura paralela a cada lado é: 
 
)a(2e
f20d
N
)a(2e
f16d
N
5
4
A p
yd
d
p
yd
d
lados, 



 
 
Armadura de distribuição em malha, em cada direção: 
 
As,malha = 0,25As,lado ≥ 
4
As,susp
 (4 = número de faces do bloco) 
 
Armadura de suspensão total: 
 
yd
d
s,susp
7,5f
N
A  
 
O detalhamento é idêntico àquele mostrado para o bloco sobre quatro estacas, para o 
detalhamento “Armaduras Paralelas aos Lados e em Malha” (ver Figura 21). A armadura superior 
e de pele também devem ser acrescentadas (ver item 6.4). 
 
9.2 Pilares Muito Retangulares 
 
Para esses pilares pode ser projetado um bloco retangular (Figura 23). São tratados como 
os blocos sobre quatro estacas, devendo as fórmulas serem adaptadas em função das distâncias 
diferentes entre as estacas. 
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24 
aap
e
e
e 
 3 
2
e 
 3 
2
 
Figura 23 – Bloco retangular sobre cinco estacas para pilar alongado. 
 
 
Como opção, existe a possibilidade de fazer uma linha com três estacas e outra com duas 
estacas (Figura 24). O cálculo do bloco é semelhante ao dos blocos com mais de seis estacas. 
 
6
0
°
e e
e
e
2
e
2
3 3
10
 e
 3 
5
 e
 3 
2
 e
 
Figura 24 – Outro arranjo no posicionamento das cinco estacas no bloco para pilar alongado. 
 
 
9.3 Bloco em Forma de Pentágono 
 
As estacas posicionam-se nos vértices de um pentágono (Figura 25). O centro do pilar 
quadrado coincide com o centro geométrico das estacas. 
 
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25 
A
A
e
2
e
2
0
,6
8
8
e
0
,2
6
3
e
0
,5
8
8
e
0
,8
5
1
e
0,809e0,809e
e
5
4
°
aa
p
72°
36°
5
4
°
1
8
°
72°
R's
R
' sR
s
e
 
Figura 25 – Bloco sobre cinco estacas com forma de pentágono 
 
 
Conforme o Corte A, passando pelo centro do pilar e por uma das estacas (Figura 26), o 
ângulo de inclinação das bielas e a força de tração segundo a direção do centro do pilar e do 
centro das estacas são: 
ps 0,25a0,85e
d
5R
N
αtg

 
 









3,4
a
e
5d
0,85N
R
p
s 

N
5
0,85e
d
'
d
Rs
0,25 aap Rc
 
Figura 26 – Esquema de forças sobre uma estaca. 
 
 
9.3.1 Altura Útil 
 
Deve-se ter: 45º ≤ α ≤ 55º , e: 
 









3,4
a
e0,85d
p
mín ; 








3,4
a
e1,2d
p
máx 
 
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26 
h = d + d’  







e
est
2
π
5
1
5
a
cm5
d' 
 
9.3.2 Verificação das Bielas 
 
Se d for adotado entre dmín e dmáx , não será necessário verificar as tensões de compressão 
nas bielas comprimidas de concreto. 
 
9.3.3 Armadura Principal 
 
Dentre os detalhamentos possíveis, o mais comum é aquele com barras paralelas aos lados 
acrescentada de armadura em malha (Figura 27). 
(s
o
b
re
 a
s
 e
s
ta
c
a
s
)
A
s
, 
la
d
o
A
s
, 
m
a
lh
a
As, susp, tot
 
 
5
As, lado As, malha, y
As, malha, x
 
Figura 27 – Bloco sobre cinco estacas com armadura principal paralela aos lados e em malha. 
 
 
Considerando as forças mostradas na Figura 28, a força R’s na direção dos eixos das 
estacas é: 











3,4
a
e
5d54ºcos2
0,85N
54ºcos2
R
R'
ps
s 
R's
R
' sR
s
5
4
°
54°
 
Figura 28 – Esquema de forças de tração sobre uma estaca. 
 
 
A armadura paralela aos lados sobre as estacas (5x), resulta: 
 











3,4
a
e
f5d
0,725N
f
R'
A
p
yd
d
yd
sd
lados, 
 
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27 
Armadura em malha, em cada direção (x , y): 
 
As,malha = 0,25As,lado ≥ 
5
A tots,susp,
 
 
9.3.4 Armaduras Complementares 
 
Armadura de suspensão total: 
 
yd
d
tots,susp,
7,5f
N
A  
 
Armadura de pele (por face): 
 
Asp,face = tot,sA
8
1
 , com As,tot = armadura principal total. 
 
A armadura superior, em cada direção da malha, pode ser tomada como uma parcela da 
armadura principal: 
 
As,sup = 0,2 As 
 
10. BLOCO SOBRE SEIS ESTACAS 
(Método das Bielas – Blévot) 
 
As formas mais comuns são o retangular, em pentágono e em hexágono. No caso de 
pentágono é acrescentada uma estaca no centro, com centro coincidente com o centro do pilar e 
com o centro das demais estacas. O bloco retangular é indicado para pilares retangulares e 
alongados (Figura 29). 
e
2Rsy
Rsy e
2
e
R'sy
R'sx
y
e e
x
 
Figura 29 – Bloco retangular sobre seis estacas. 
 
 
10.1 Bloco em Forma de Pentágono 
 
Para as estacas posicionadas nos vértices e no centro do pentágono, procede-se como no 
caso do bloco sobre cinco estacas, substituindo-se N por 5N/6. 
A força de tração Rs na direção do eixo do pilar e as estacas nos vértices é: 
 
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28 









3,4
a
e
6d
0,85N
R
p
s 
 
10.1.1 Altura Útil 
 
Considerando 45 ≤ α ≤ 55º , e: 
 









3,4
a
e0,85d
p
mín ; 








3,4
a
e2,1d
p
máx 
 
d'dh  







e
est
2
π
5
1
5
a
cm 5
d' 
 
10.1.2 Verificação das Bielas 
 
Adotando-se d dentro do intervalo entre dmín e dmáx não é necessário verificar a tensão nas 
bielas. 
 
10.1.3 Armadura Principal 
 
Entre os diferentes detalhamentos possíveis, será mostrado apenas o mais comum, que é 
aquele com barras paralelas aos lados acrescida de uma malha. A força de tração Rs (Figura 30), 
decomposta na direção paralela aos lados, é: 
 
R
' s
R's
R
s
5
4
°
72°
54°
 
Figura 30 – Decomposição da força de tração na direção paralela aos lados. 
 
 
72ºsen
R
54ºsen
R' ss   sss R85,0
72ºsen
54ºsen
RR'  
 

















4,3
a
e
6d
0,725N
4,3
a
e
6d
0,85N
85,0R'
pp
s 
 
E a armadura paralela aos lados do pentágono: 
 











3,4
a
e
f6d
0,725N
f
R'
A
p
yd
d
yd
sd
lados, 
 
Armadura em malha, em cada direção (x ; y): 
 
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29 
As,malha = 0,25As,lado ≥ 
5A tots,susp,
 
 
Armadura de suspensão total: 
 
yd
d
tots,susp,
7,5f
N
A  
 
A armadura superior, em cada direção da malha, pode ser tomada como uma parcela da 
armadura principal: 
 
As,sup = 0,2 As 
 
Em cada face vertical lateral do bloco deve ser colocada armadura de pele (barras 
horizontais), com a finalidade de reduzir a abertura de possíveis fissuras nessas faces, sendo: 
 
totals,facesp, A
8
1
A  
 






cm20
3
d
s , s ≥ 8 cm 
 
O detalhamento das armaduras é idêntico àquele mostrado para o bloco em forma de 
pentágono sobre cinco estacas. 
 
10.2 Bloco em Forma de Hexágono 
 
Neste caso, as estacas são posicionadas junto aos vértices do hexágono (Figura 31). 
Admitindo-se pilar quadrado, com o centro coincidente com o centro das estacas, para um corte A 
passando por um vértice e pelo centro do pilar, as seguintes expressões para o ângulo de 
inclinação das bielas de concreto podem ser escritas: 
 











4
a
e
6d
N
R
4
a
e
d
R
6
N
αtg
p
s
ps
 
 
10.2.1 Altura Útil 
 
Considerando 45 ≤ α ≤ 55º , e: 
 
4
a
ed
p
mín  ; 








4
a
e43,1d
p
máx 
 
d'dh  ; 







e
est
2
π
5
1
5
a
cm 5
d' 
 
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30 
10.2.2 Verificação das Bielas 
 
Não é necessário verificar a tensão nas bielas caso dmín ≤ d ≤ dmáx . 
 
apa
e
6
0
°
e
e
 3 
2
 e
 3 
2
 e
e
2
e
2
e
2
e
2
 
Figura 31 – Bloco sobre seis estacas em forma de hexágono. 
 
 
10.2.3 Armadura Principal 
 
10.2.3.1 Armadura Paralela aos Lados e em Malha 
 
Este tipo de detalhamento (Figura 32), comparativamente a outros, é econômico e 
apresenta menor fissuração. 
Aplicando a lei dos senos: 
 
60ºsen
R'
60ºsen
R ss   Rs = R’s
 
 









4
a
e
d6
N
'R
p
s 
 
Armadura paralela aos lados em cada lado e sobre as estacas (6 vezes): 
 











4
a
e
f6d
N
f
R'
A
p
yd
d
yd
sd
lados, 
 
Armadura de distribuição em malha, em cada direção: 
 
lados,malhas, 0,25AA  
 
A armadura de suspensão pode ser calculada conforme apresentado no item 7.3.1. A 
armadura de pele deve ser prevista, horizontal nas faces, além da armadura negativa em malha, 
próxima à borda superior do bloco (ver item 6.4). 
 
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31 
As, lado
As, lado
A
s
, 
m
a
lh
a
As, malha (nas direções x - y)
 
Figura 32 – Bloco sobre seis estacas com armadura paralela aos lados e em malha. 
 
 
10.2.3.2 Armadura na Direção das Diagonais e com Cintas Paralelas aos Lados 
 
O detalhamento está apresentado na Figura 33. As armaduras na direção das diagonais 
(As,diag) e em forma de cintas paralelas aos lados (As,cinta) são: 
 
 









4
a
e
f6d
Nk-1
A
p
yd
d
diag,s
 
 











4
a
e
f6d
Nk
A
p
yd
d
aintc,s 
5
3
k
5
2
:com  
 
As, diag
A
s, d
ia
g
As, cinta
As, cinta As, cinta
As,diag
 
Figura 33 – Bloco sobre seis estacas com armadura principal na direção 
das diagonais e em cinta. 
 
 
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32 
11. BLOCO SOBRE SETE ESTACAS 
 
No caso do bloco em forma de hexágono, a sétima estaca fica posicionada no centro do 
bloco, sob o pilar. 
 
Para 45 ≤ α ≤ 55º , tem-se: 
 
4
a
ed
p
mín  ; 








4
a
e43,1d
p
máx 
 
A compressão nas bielas não precisa ser verificada no caso de d ser escolhido entre dmín e 
dmáx . 
As armaduras, dispostas na direção das diagonais e com cintas paralelas aos lados, podem 
ser calculadas como: 
 











4
a
e
f7d
Nk)-(1
A
p
yd
d
diags, 
 












4
a
e
f7d
Nk
A
p
yd
d
cintas, , 
5
3
k
5
2
com  
 
O detalhamento dessas armaduras é idêntico ao mostrado na Figura 33 para o bloco sobre 
seis estacas. 
 
12. MÉTODO DO CEB-70 
 
O método proposto (Boletim 73, fascículo 4 do CEB-70) é semelhante ao apresentado para 
as sapatas, com algumas particularidades. 
A altura do bloco deve ser menor ou igual a duas vezes a distância da face do pilar ao eixo 
da estaca mais afastada (c), e maior que 2/3 de c. 
 
c2hc
3
2
 
 
e 
 
d  b,,pil h d
C
bloco
pilar
 estaca mais afastada
d'
 
 
Figura 34 – Notação aplicada ao bloco. 
 
 
O método propõe o cálculo da armadura principal para a flexão, e a verificação da 
resistência do bloco às forças cortantes. 
 
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33 
12.1 Momentos Fletores 
 
A armadura principal (inferior) é determinada para o momento fletor calculado em relação 
a uma seção de referência S1 (Figura 35), em cada direção, posicionada internamente ao pilar e 
distante 0,15ap (ou 0,15bp) da face do pilar. 
 
d
ap
e e
S1A
c
h
B
A
0,15
0
,1
5
 
S1A
S1B
ASA
ap
ap
d
1
b
p
b
p
 
 
Figura 35 – Seção de referência S1 . 
 
 
d1 = d  1,5c 
 
d1 = altura útil, medida no plano da superfície de referência S1 . Em blocos, geralmente 
d1 = d. 
O momento fletor na seção S1 é calculado fazendo o produto das reações das estacas pela 
distância à seção S1 , considerando-se as estacas existentes entre a seção S1 e a face lateral do 
bloco, paralela à seção S1 . 
 
12.2 Armadura Principal 
 
O cálculo da armadura principal é feito como nas vigas à flexão, para a seção transversal 
do bloco na seção de referência S1 . A armadura é perpendicular à seção de referência S1 e pode 
ser calculada simplificadamente segundo a equação: 
 
ydA1
d,A1
A,s
fd85,0
M
A  
 
(armadura paralela à dimensão A – perpendicular à seção S1A , onde o momento fletor M1A,d foi 
calculado). 
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34 
 Para a seção de referência S1B : 
 
ydB1
d,B1
B,s
fd85,0
M
A  
 
(armadura paralela à dimensão B – perpendicular à seção S1B , onde o momento fletor M1B,d foi 
calculado). 
A,sB,s A
5
1
A  para As,A > As,B 
 
Essas armaduras devem se estender de uma face à outra do bloco, sem redução, e podem 
ser distribuídas uniformemente na dimensão do bloco. Como uma opção, podem ter partes 
concentradas em faixas sobre as estacas, e o restante ser distribuída uniformemente entre as 
estacas. 
 
12.3 Forças Cortantes 
 
A verificação à força cortante é feita nas seções de referência S2 (Figura 36), 
perpendiculares à seção de apoio do bloco e posicionadas externamente ao pilar, distantes d/2 da 
face do pilar, na direção considerada. No caso do bloco sobre três estacas dispostas segundo os 
vértices de um triângulo equilátero, é suficiente fazer a verificação da força cortante relativa à 
estaca mais afastada do centro do pilar. 
A distância entre a seção S2 e a estaca mais afastada é c2 . Na direção A considera-se a 
seção de referência S2A , e a largura da seção é: 
 
b2A = bp + d2A , com d2A ≤ 1,5c2A 
 
onde d2A é a altura útil do bloco na seção S2A , geralmente igual a d, como mostrado na Figura 36. 
 
d
d
2
h
B
A
ap
b
p
ap
d
2
A
S2A
S2B
4
5
°
b2B
a + dp
c2A
d
2
 
 
 
 +
 d
b
2
A
b
p
 
Figura 36 – Seções de referência S2 . 
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35 
Se existir uma estaca ou uma linha de estacas dentro da distância d/2, a seção de referência 
S2 deve ser posicionada na face do pilar (Figura 37). 
 
B
d
2
 = c
S 2A
estaca dentro da
distância d2
b
p
 
 
 
 +
 d
b
2
A
b
p
c2A
 
Figura 37 – Seção de referência S2 quandoestacas encontram-se dentro da distância d/2. 
 
 
12.4 Força Cortante Limite 
 
As forças cortantes atuantes nas seções de referência S2 devem ser menores que as forças 
cortantes limites: 
ck22
c
limd, fdb
5d
c
1
γ
0,25
V 





 
 
com: fck em kN/cm
2; 
Vd,lim em kN; 
b2 e d2 em cm; 
 
A força cortante de cálculo atuante deve ser menor que a força cortante limite: Vd ≤ Vd,lim . 
 
12.5 Resistência Local à Força Cortante 
 
Por segurança, verifica-se a resistência do bloco à força cortante nas estacas posicionadas 
nos cantos do bloco. A força cortante é a reação da estaca (Re). 
A seção a ser verificada fica em uma distância d1/2 da face da estaca. A largura b’2 é d1 
acrescida da largura (ou diâmetro) da estaca, e sua altura d’2 é a altura útil efetiva da seção S’2 
(Figura 38). d1 é a altura útil medida junto à face da estaca. 
 
As,lado
 = + 
 2
S' 2
b'2 d1 Øf
d
1
c
' 2
2
S'2
1
d
' 2
Øf
d1
 
Figura 38 – Seção de referência S’2 . 
 
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36 
Se a altura do bloco for constante (h = cte), tem-se: d1 = d’2 = d . 
 
A reação Re,d da estaca deve ser, no máximo, igual à reação limite: 
 
ck22
c
limd, fd'b'
γ
0,12
R 
 
 
Re,d ≤ Rd,lim 
 
com: fck em kN/cm2; 
Rd,lim em kN; 
b’2 e d’2 em cm; 
d’2  1,5c’2 
 
12.6 Armadura Principal em Bloco Sobre Três Estacas 
 
Deve ser adotada uma seção de referência S1 relativa ao pilar e a estaca mais afastada 
(Figura 39). Sendo Re a reação da estaca, o momento fletor nesta seção é: 
 
M1 = Re ∙ c1 
 
Do momento fletor na seção de referência (S1) surge a força de tração Rs (na direção da 
mediana), considerando a equação básica M1 = Rs . z, com z o braço de alavanca, o qual pode ser 
tomado aproximadamente igual a 0,8d1 . Portanto, a força de tração Rs é: 
 
1
1e
1
11
s
0,8d
cR
0,8d
M
z
M
R


 
 
com d1 = altura útil em S1 (geralmente igual a d). 
 
E de Rs surge a força de tração R’s na direção de duas estacas (para cálculo da armadura 
paralela ao lado): 
 
3
3
RR' ss  
 
Armadura paralela ao lado: 
 
yd
s
lados,
f
R'
A  
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37 
Rs
R
A
s
, 
la
d
o
A
s, lado
S1
S1
3
0
°
3
0
°
R' s
R's
Rs
c1
A s, l
ad
o
ap
d
1
0,15 ap
 
Figura 39 – Seção de referência S1 para bloco sobre três estacas 
conforme do método do CEB-70. 
 
 
13. PILARES SUBMETIDOS À CARGA VERTICAL E MOMENTOS FLETORES 
 
O método a seguir apresentado considera a superposição dos efeitos da carga normal e dos 
momentos fletores, atuando separadamente. 
Para ser válido o procedimento, os eixos x e y devem ser os eixos principais de inércia e as 
estacas devem ser verticais, do mesmo tipo, diâmetro e comprimento. 
Para pilar submetido a uma carga vertical N e momentos Mx e My apoiado sobre um 
conjunto de estacas verticais, a tensão no centro de uma estaca i, é dada por: 
 
y
iy
x
ix
i
I
xM
I
yM
S
N
 
 
onde: N = carga vertical do pilar; 
 S = área da seção transversal de todas as estacas; 
Mx = momento fletor que atua em torno do eixo x, positivo quando comprime o lado 
positivo do eixo y; 
My = momento fletor que atua em torno do eixo y, positivo quando comprime o lado 
positivo do eixo x; 
xi = coordenada x da estaca i; 
yi = coordenada y da estaca i. 
 
 A área de todas as estacas pode ser considerada como: 
 
 S = ne Si 
 
sendo: ne = número de estacas; 
 Si = área da seção de cada estaca, admitindo-se todas iguais. 
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38 
 
 
y
iiy
x
iix
e
iii
I
SxM
I
SyM
n
N
NS  
 
com Ni = carga vertical na estaca i. 
 
 Considerando-se que os momentos de inércia são dados por: 
 
 Ix = ne Ixi + Si  yi
2  Ix  Si  yi
2 
 
 Iy = ne Iyi + Si  xi
2  Iy  Si  xi
2 
 
 
2
i
iy
2
i
ix
e
i
x
xM
y
yM
n
N
N



 
 
 Considerando finalmente o peso próprio do bloco, tem-se: 
 
 
2
i
iy
2
i
ix
e
i
x
xM
y
yM
n
N1,1
N



 
 
x
y
C.C.
i
My
Mx y
i
xi
N
My
N
M
y
 
Figura 40 – Momentos fletores e carga normal atuantes no bloco. 
 
 
Exemplo 
 
Dado um bloco sobre seis estacas moldadas “in loco”, tipo Strauss, com carga de trabalho 
de 300 kN, dispostas de acordo com a distribuição já conhecida, submetido a uma carga vertical 
de compressão de 1.300 kN e um momento em torno do eixo y, My = 100 kN.m. Efetuar o 
dimensionamento da armadura do bloco à flexão, bom como todas as verificações necessárias. 
Dados: d’ = 5 cm, C20, armadura do pilar 18  12,5 mm. 
 
Resolução 
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39 
 
 Carga na estaca: 
 
 N = 1.300 kN ; Mx = 0 ; My = 100 kN.m = 10.000 kN.cm 
 
 My = momento em torno do eixo y (convenção aqui utilizada) 
 
x
3
0
9
5
3
0
30 95 95
1 2 3
4 5 6
y
30
 
Figura 41 – Numeração das estacas e distâncias (cm). 
 
 
2
i
iy
2
i
ix
e
i
x
xM
y
yM
n
N1,1
N



 
 
238
6
13001,1
n
N1,1
e


 kN 
 
 xi
2 = ( 95)2 + 02 + 952 + ( 95)2 + 02 + 952 = 36.100 cm2 
 (1) (2) (3) (4) (5) (5) 
 
N1 = 
 
7,211
36100
9510000
238 

 kN 
 
N2 = 
 
0,238
36100
010000
238  kN 
 
N3 = 
 
3,264
36100
9510000
238  kN 
 
N4 = N1 = 211,7 kN 
 
N5 = N2 = 238,0 kN 
 
N6 = N3 = 264,3 kN 
 
 
 
 
 
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40 
14. EXEMPLOS NUMÉRICOS 
 
14.1 Exemplo 1 - Bloco Sobre Duas Estacas 
(Exemplo de Machado, 1985) 
 
Dimensionar e detalhar as armaduras de um bloco para pilar com seção transversal 20 x 30 
cm, sobre duas estacas com capacidade nominal de 400 kN (40 tf) e diâmetro (e) de 30 cm. Os 
momentos fletores solicitantes no pilar estão indicados na Figura 42. Dados: c = 3,0 cm ; concreto 
C20 ; aço CA-50 (fyd = fyk/s = 50/1,15 = 43,5 kN/cm
2) ; As,pil = 28,65 cm
2 (10  20 mm → 31,50 
cm2), e os esforços solicitantes aplicados no pilar (Figura 42 e Figura 43): 
 
 Nk = 716,8 kN 
 
Mx = 440 kN.cm (relativo à direção x do pilar); 
 
My = 450 kN.cm (relativo à direção y do pilar). 
 
20
3
0
V
 1
6
P1
20/30
880 kN.cm
9
0
0
 k
N
.c
m
hx
V 1 x
M = 440x
M = 450y
Mx
M
y
y
 = 20
 
 =
 3
0
h
y
 
Figura 42 – Momentos fletores solicitantes no pilar, oriundos das vigas do pavimento tipo. 
 
 
O pilar é “de canto” de um edifício de oito pavimentos tipo, e faz parte de um pórtico 
indeslocável, podendo ser considerado um pilar contraventado. Os momentos fletores atuantes ao 
nível do pavimento são propagados à base do pilar, como indicado na Figura 43, e como são 
pequenos, em princípio poderiam ser desprezados. 
 
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41 
x
c
c
30
20
T
T
90
0/2 880/2
900 
kN.c
m 880 kN.cm
V 1V 16
y
 
Figura 43 – Diagramas dos momentos fletores atuantes no pilar. 
 
 
Resolução 
 
a) Dimensões do bloco em planta 
 
Em função da capacidade da estaca e dos esforços solicitantes no pilar, o bloco terá duas 
estacas, na direção do eixo y do pilar (lado maior). O momento fletor My será absorvido ou 
resistido por uma viga transversal, para travamento do bloco na direção x do pilar (Figura 44). 
 
10
30
10
B = 50
35 e = 80
20 30 50 30 20
150
35
30
2
0
h d
d
'
 
80
N
 
My
Re,nom Re,nom
y
x
 
Figura 44 – Dimensões (cm) do bloco sobre duas estacas. 
 
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O momento fletor atuante aumenta a carga na estaca do lado direito conforme o desenho 
mostrado na Figura 44: 
 
kN400RkN371,2
80
450
2
716,8
1,02
e
M
2
N
02,1R nome,
yk
máxe,  
 
Notas: a) 1,02 supõe o peso próprio do bloco e do solo sobre o bloco; 
b) 80 cm é o braço de alavanca do momento Mx aplicado nas estacas. 
 
Considerando a favor da segurança a maior carga nas estacas, a força normal sobre o bloco 
passa a ser: 
Nk = 371,2 . 2 = 742,4 kN 
 
Nd = f . Nk = 1,4 . 742,4 = 1.039,4 kN 
 
b) Altura do bloco 
para  = 45  cm 32,5
2
30
805,0
2
a
e5,0d
p
mín 













 
 
para  = 55  cm 2,46
2
30
8071,0
2
a
e71,0d
p
máx 













 
cm6'd
cm3,530
25
1
25
1
5
a
cm 5
d'
e
est











 
 
Adotado h = 50 cm  d = h – d’ = 50 – 6 = 44 cm 
 
dmín = 32,5 cm < d = 44 cm < dmáx = 46,2 cm  ok! 
 
Verificação da ancoragem da armadura longitudinal do pilar no bloco: considerando 
concreto C20, ,pil = 20 mm, boa aderência e com gancho, o comprimento de ancoragem básico 
(b) resulta 61 cm e: 
 
d = 44 cm < b,,pil = 61 cm  não ok! 
 
Soluções: aumentar a altura do bloco, de tal forma a atender a necessidade de ancoragem 
da armadura do pilar; diminuir o comprimento de ancoragem básico da armadura do pilar, o que 
se pode conseguir de algumas maneiras, como com o aumento da armadura ancorada do pilar no 
bloco; fazer um “colarinho”, que é um alargamento da seção do pilar sobre o bloco, de modo a 
aumentar a altura para a ancoragem da armadura do pilar; etc. 
O “colarinho” será feito com seção 30 x 40 cm e altura 35
2
4030


cm (Figura 45). O 
bloco terá o nível superior rebaixado em 15 cm, ficando sua face superior 45 cm abaixo do nível 
do piso. 
Considerando o colarinho o ângulo α é: 
 
55ºα55,71ºα1,467
4
40
2
80
44
4
a
2
e
d
αtg máx
p




  ok! 
 
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43 
d = 44
5 30 5
40 3
5
7
9
ap

 
Figura 45 – “Colarinho” no bloco sobre duas estacas. 
 
 
c) Verificação das bielas 
 
Tensão limite: 
19kN/cm1,9
1,4
2,0
0,951,4f1,4Kσ 2cdRlimb,cd,  MPa 
0,90  KR  0,95 
 
Tensão atuante junto às estacas: 
 
2
2
22
e
d
estb,cd, kN/cm1,077
55,71sen
4
30π
2
1039,4
αsen2A
N
σ 







 
 
cd,b,est = 10,77 MPa < cd,b,lim = 19,0 MPa  ok! 
 
Tensão atuante junto ao pilar, considerando a seção 30 x 40 cm do colarinho: 
 
 
1,269
55,71sen4030
1039,4
αsenA
N
σ
22
p
d
pilb,cd, 

 kN/cm2 
 
cd,b,pil = 12,69 MPa < cd,b,lim = 19,0 MPa  ok! 
 
d) Armaduras 
 
Armadura principal: 
 
    9,3740802
43,5448
1039,41,15
a2e
f8d
1,15N
A p
yd
d
s 




 cm2 
 
As = 9,37 cm
2 (5  16 mm → 10,00 cm2) 
 
 Armadura superior (negativa, na direção das duas estacas): 
 
As,sup = 0,2As = 0,2 . 9,37 = 1,87 cm
2 (4  8 mm → 2,00 cm2) 
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44 
 Armadura de pele e estribos verticais por face: 
 
 /mcm3,75500,075B0,075
s
A
s
A
2
mín,face
sw
mín,face
sp














 
 
 8 mm c/13 cm (3,85 cm2/m conforme a Tabela 2 anexa, composta por estribos verticais e 
horizontais) 
 
e) Detalhamento (Figura 46) 
 
O comprimento de ancoragem básico pode ser determinado na Tabela 5 anexa. Na coluna 
sem gancho, considerando concreto C20, aço CA-50, diâmetro da barra de 16 mm e região de boa 
aderência, encontra-se o comprimento de ancoragem básico (b) de 70 cm. Com  = 0,7, o 
comprimento de ancoragem necessário é: 
ef,s
calc,s
bnec,b
A
A
  9,45
00,10
37,9
707,0  cm 
 
Com cobrimento da armadura de 3 cm, o comprimento de ancoragem efetivo ou útil é: 
b,ef = 50 – 3 = 47 cm, o que permite a ancoragem, pois b,nec = 45,9 cm < b,ef = 47 cm. Caso o b,ef 
não seja suficiente, a solução mais simples é aumentar a distância entre a extremidade externa da 
estaca e a face do bloco. 
O comprimento do gancho vertical deve ser no mínimo 8 = 8 . 1,6 = 12,8 cm. O gancho pode ser 
estendido até à face superior (obedecido o cobrimento), a fim de reforçar a superfície vertical 
extrema do bloco. 
N1 - 2 c 8 C=142
N 2 - 4 ø 8 C=382
N3 - 5 ø16 C=222
4 N2
N3
30 5
10
35
44
6
45
50
4
2
4
0
142
4
0
20 5
5 N3
2 N1
10 30 10
44
4
1
N4 - 11 ø 8 C=180
N4N4
144
As,pilar
5
5
 
Figura 46 – Detalhamento final das armaduras no bloco sobre duas estacas. 
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45 
Notas: 
a) o colarinho deve ter os estribos horizontais determinados segundo a teoria do fendilhamento; 
b) barras verticais adicionais de reforço são colocadas próximas às faces do colarinho. 
 
14.2 Exemplo 2 - Bloco Sobre Três Fustes de Tubulão 
 
Para um bloco assentado sobre três fustes de tubulão (Figura 47), dimensionar e detalhar 
as armaduras, sendo conhecidos: 
diâmetro do fuste: f = 70 cm; 
seção transversal do pilar: 65 x 65 cm; 
diâmetro da armadura vertical do pilar: ,pil = 25 mm; 
carga vertical do pilar Nk = 5.000 kN; 
coeficientes de ponderação: c = f = 1,4 ; s = 1,15. 
concreto C25; aço CA-50 (fyd = fyk/s = 50/1,15 = 43,5 kN/cm
2); 
cobrimento nominal: c = 4,0 cm. 
 
Para efeito de demonstração e comparação, o bloco será dimensionado segundo o “Método 
das Bielas” e o CEB-70. 
6
0
125 125 40 40
35
35
35
45,8
fuste
1
2 3
e
2
1
6
,5
7
2
,2
1
4
4
,3
e
 =
 2
5
0
7
0
7
2
,2
80
7
0
3
5
3
5
6
,51
4
4
,3
7
0
60
 
Figura 47 – Dimensões (cm) do bloco sobre três fustes de tubulão. 
 
 Para o bloco sobre três estacas, as dimensões podem ser adotadas conforme a sugestão de 
Campos, apresentadas na Figura 48. 
a
A = 0,154a
a
e/2 e/2 A/2A/2
a
e
L
1
/3
 L
2
/3
 L
Ø
e
Ø
 
/2
e
Ø e
 
Figura 48 – Dimensões indicadas para o bloco sobre três estacas. 
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46 
a) Resolução segundo o Método das Bielas 
 
a1) Determinação da altura 
 
Com α assumindo valores de 45º e 55º resulta: 

















2
a
e0,825d
2
a
e0,58
pp
 
 
2,126
2
65
2500,58dmín 





 cm ; 4,179
2
65
2500,825dmáx 





 cm 
 
com: cm12'd
cm4,1270
25
1
25
1
5
a
cm 5
d'
f
est











 
 
Adotando a altura do bloco como h = 160 cm, a altura útil resulta: 
 
h = d + d’  d = 160 – 12 = 148 cm 
 
Verifica-se que a altura útil atende aos valores mínimo e máximo e o bloco é classificado 
como rígido: 
dmín = 126,2 cm < d = 148 cm < dmáx = 179,4 cm 
 
Além disso, deve-se verificar se a altura do bloco é suficiente para garantir a ancoragem da 
armadura longitudinal vertical do pilar. Considerando ,pil de 25 mm, concreto C25, ancoragem 
com gancho e região de boa aderência, resulta o comprimento básico de ancoragem b = 66 cm, e: 
 
d = 148 cm > b = 66 cm  ok! 
 
Ângulo de inclinação da biela de concreto comprimido: 
 
1855,1
653,0
3
3
250
148
0,3a
3
3
e
d
tg
p




   = 49,9 
como era de se esperar resultou um valor entre 45º e 55º, dado que d foi adotado entre dmín e dmáx . 
 
a2) Verificação das bielas de concreto 
 
Tensão limite no fuste15 (ou estaca, quando for o caso) e no pilar: 
2,97
1,4
2,5
0,951,75fK75,1σσ cdRpillim,b,cd,estlim,b,cd,  kN/cm
2 = 29,7 MPa 
 
Tensão atuante junto ao pilar: 
 
 
83,2
49,9sen6565
50001,4
αsenA
N
σ
22
p
d
pilb,cd, 


 kN/cm2 
cd,b,pil = 28,3 MPa < cd,b,lim,pil = 29,7 MPa  ok! 
 
15 Embora o bloco deste exemplo apoie-se sobre fustes,foi mantida a notação de bloco sobre estacas. 
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47 
Tensão atuante junto ao fuste: 
 
04,1
49,9sen
4
70π
3
50001,4
αsen3A
N
σ
2
22
e
d
estb,cd, 







 

 kN/cm2 
cd,b,est = 10,4 MPa < cd,b,lim,est = 29,7 MPa  ok! 
 
a3) Cálculo das Armaduras 
 
Será feito o detalhamento composto por barras paralelas aos lados, sobre os fustes, com a 
adição de uma armadura em malha. 
Estimando o peso próprio do bloco como 350 kN, e com f = 1,4, a força vertical de 
cálculo é: 
Nd = 1,4 (5000 + 350) = 7.490 kN 
 
  95,27659,03250
5,4314827
74903
)0,9a3(e
f27d
N3
A p
yd
d
lados, 


 cm2 
 
As,lado = 27,95 cm
2  (9  20 mm  28,35 cm2 - paralelas aos lados do bloco e sobre 
os fustes) 
 
Armadura em malha: As,malha = 1/5 As,lado = 1/5 ∙ 27,95 = 5,59 cm
2 (inferior, nas direções x 
- y) 
 
Para bloco sobre três fustes (estacas), a armadura de suspensão total é: 
 
26,38
5,435,4
7490
f5,4
N
A
yd
d
totsusp,s, 

 cm2 
A armadura de suspensão por face do bloco é: 75,12
3
26,38
3
A
A
 totsusp, s,
facesusp,s,  cm
2 
 
Como os ganchos verticais das barras da malha inferior podem também ser a armadura de 
suspensão, deve-se ter: 
As,malha ≥ As,susp,face  As,malha = 5,59 cm
2 < As,susp,face = 12,75 cm
2  não ok! 
 
portanto, As,malha = As,susp,face = 12,75 cm
2 (adotado em cada direção 10  12,5 mm  12,50 cm2) 
 
Armadura superior negativa, em malha: As,sup,tot = 0,2As,total , com As,total = 3As,lado 
 
As,sup,tot = 0,2 (3 . 27,95) = 16,79 cm
2 
 
Para cada direção da malha tem-se 16,79/2 = 8,39 cm217  8 mm  8,50 cm2 (b. N3) 
 
 Considerando o cobrimento de 4 cm e as medidas de 410,8 e 356,5 cm para as dimensões 
do bloco nas direções horizontal e vertical do desenho (ver Figura 47), para as barras horizontais 
no desenho resulta [356,5 – (2 . 4)]/(17 – 1) = 21,8 cm, portanto, 17  8 c/22 cm (8,50 cm2).16 Na 
outra direção (barras verticais no desenho), pode-se ajustar as 17 barras no espaço existente, 
iniciando a primeira barra em torno de 25 cm de cada quina do bloco, como mostrado no 
 
16 O espaçamento de 22 cm entre as 17 barras é indicativa, serve como referência. Na execução da armadura pequenos ajustes 
podem ser necessários, de modo a distanciar igualmente as 17 barras no espaço existente. 
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48 
detalhamento das armaduras (ver Figura 52), mantendo o espaçamento de 22 cm para a confecção 
de uma malha quadrada. O espaçamento resulta [410,8 – 2(25 + 4)]/(17 – 1) = 22,1 cm, que deve 
ser tomado como referência na execução da armadura. 
 Uma alternativa para a armadura de suspensão àquela indicada acima (ganchos das barras 
da malha inferior), é fazer todas as barras da malha inferior (5,66 cm2) e da malha superior (8,49 
cm2) com ganchos longos verticais, o que resulta 5,66 + 8,49 = 14,15 cm2, que atende com uma 
pequena folga a área necessária (As,susp,face = 12,75 cm
2) por face do bloco (ver Figura 52). 
 
 Armadura de pele por face: totals,facesp, A
8
1
A    48,1095,273
8
1
 cm2 
 
(13  10 mm  10,40 cm2 por face  s  10 cm – barras N1) 
 







cm20
cm3,49
3
148
3
d
s  s  20 cm e s ≥ 8 cm 
como s  10 cm  ok! 
 
b) Resolução segundo o método do CEB-70 
 
b1) Verificação para aplicação do método 
 
A altura do bloco deve ser menor ou igual a duas vezes a distância da face do pilar ao eixo 
do fuste mais afastado (c), e maior que 2/3 de c. 
c2hc
3
2
 
 
Com base nas medidas apresentadas na Figura 47, a distância c é: 
 
c = 144,3 – 65/2 = 111,8 cm , como indicado na Figura 49. 
 
 Verificação: 8,1112h8,111
3
2
  74,5 cm < h = 160 cm < 223,6 cm  ok! 
125 125
e
2
5
0
60
6
0
3
5
7
0
1
4
4
,3
7
2
,2
7
0
7
0
35
35
3
5
6
,5
FUSTE
d
f
C
1
1
4
,3
 
Figura 49 – Distância da face do pilar ao centro do fuste mais afastado (fuste 1). 
 
b2) Momento fletor e cálculo da armadura principal (paralela ao lado) 
 
A armadura pode ser calculada apenas para o momento fletor máximo, que é aquele 
relativo ao fuste mais afastado do centro do pilar (fuste 1 - Figura 50), com a seção de referência 
S1 indicada na Figura 35. Esta armadura é adotada para os outros dois fustes. 
A distância c1 (ver Figura 47) é o braço de alavanca relativo à seção S1 : 
 
c1 = 144,3 – (65/2) + 0,15 . 65 = 121,6 cm 
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49 
A
s
, 
la
d
o
A
s, lado
S'1
S'1
3
0
°
R' s
R'
s
Rs
c1
A s, l
ad
o
ap
d
1
0,15 ap
3
0
°
 
Figura 50 – Seção de referência S1 relativa ao fuste 1. 
 
 Carga nos fustes, acrescentando o peso próprio do bloco ( 350 kN) à carga do pilar: 
 
 N = 5000 + 350 = 5.350 kN  Rf = 3,783.1
3
350.5
3
N
 kN 
 
Momento fletor na seção de referência S1: M1 = Rf ∙ c1 = 1783,3 . 121,6 = 216.849 kN.cm 
 
Força de tração Rs provocada por M1: 
1
11
s
0,8d
M
z
M
R  5,831.1
1488,0
216849


 kN 
com d1 = altura útil em S1 (d1 = d = 148 cm). 
 
 Força R’s paralela ao lado: 
 
4,057.1
3
3
5,1831
3
3
R'R ss  kN 
 
Força de cálculo com f = 1,4: R’sd = 1,4 . 1057,4 = 1.480,4 kN 
Armadura paralela ao lado: 
 
 03,34
5,43
4,1480
f
R'
A
yd
sd
lados,  cm
2 
Observa-se que, neste exemplo, a armadura principal de 34,51 cm2 (As,lado na direção dos 
eixos dos três fustes) resultou maior (22 %) que a determinada segundo o “Método das Bielas”, de 
28,29 cm2. As demais armaduras complementares devem ser as mesmas determinadas segundo o 
Método das Bielas. 
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50 
b3) Verificação da força cortante 
 
A verificação à força cortante é feita nas seções de referência S2 , como indicado na Figura 
36, perpendiculares à seção de apoio do bloco e posicionadas externamente ao pilar, distantes d/2 
da face do pilar, na direção considerada. 
No caso de bloco sobre três fustes, dispostos segundo os vértices de um triângulo 
equilátero, é suficiente fazer a verificação da força cortante devida ao fuste mais afastado do 
centro do pilar. No caso deste exemplo, o fuste superior no desenho apresentado na Figura 47 
(fuste 1). 
A seção a ser verificada fica em uma distância d1/2 da face do fuste, tendo largura b’2 , que 
é d1 acrescido do diâmetro do fuste. A altura útil é d’2 (altura efetiva da seção S’2), Figura 51. 
 
As,lado
 = + 
 2
S' 2
b'2 d1 Øf
d
1
c
' 2
2
S'2
1
d
' 2
Øf
d1
 
Figura 51 – Seção de referência S’2 . 
 
Como a altura h do bloco é constante, tem-se: d1 = d’2 = d = 148 cm 
 
A reação Rf,d do fuste deve ser, no máximo, igual à reação limite: 
 
ck22
c
limd, fd'b'
γ
0,12
R 
 
109
2
70
2
148
22
d
'c f12 

 cm 
 
d’2  1,5c’2  d’2 = 148 cm < 1,5 . 109 < 163,5 cm  ok! 
 
b’2 = d1 + f = 148 + 70 = 218 cm 
 
6,372.45,2148218
4,1
12,0
R lim,d  kN 
 
Deve-se ter: Rf,d ≤ Rd,lim , onde Rf,d é a reação de cálculo do fuste: 
 
7,496.2
3
53504,1
3
N
R dd,f 

 kN < Rd,lim = 4.372,6 kN  ok! 
 
c) Detalhamento 
 
O detalhamento está mostrado com as armaduras calculadas conforme o “Método das 
Bielas” (Figura 52). O comprimento de ancoragem básico (Tabela 5 anexa), para diâmetro de 20 
mm da armadura principal, sem gancho, C25, aço CA-50 e região de boa aderência, é b = 75 cm. 
Com  = 0,7 para considerar o gancho, e as armaduras determinadas (As,lado = 27,95 cm
2 e As,ef = 
28,35 cm2), o comprimento de ancoragem necessário é: 
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51 
ef,s
calc,s
bnec,b
A
A
  8,51
35,28
95,27
757,0  cm 
 
Com cobrimento da armadura de 4 cm, e considerando a distância de 35 cm entre a face 
externa do fuste e a face vertical do bloco, o comprimento de ancoragem efetivo, a partir da face 
interna do fuste, é: b,ef = 70 + 35 – 4 = 101 cm, o que permite a ancoragem com folga, pois b,nec 
= 51,8 cm < b,ef = 101 cm.17 
 
Figura 52 – Detalhamento das armaduras. 
 
17 Como o comprimento de ancoragem básico (b = 75 cm) é menor que o comprimento de ancoragem efetivo (101 cm), em 
princípio não há a necessidade de gancho. Porém, o gancho aumenta a segurança da ancoragem da armadura principal, sendo 
importante considerar em um bloco sob alta carga vertical. A norma indica para fazer o gancho. 
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52 
14.3 Exemplo 3 - Bloco Sobre Quatro Estacas 
(Exemplo de Machado, 1985) 
 
Dimensionar e detalhar as armaduras de um bloco sobre quatro estacas, supondo estacas 
pré-moldadas de Concreto Armado. Dados conhecidos: 
capacidade nominal da estaca: 400 kN (40 tf), diâmetro da estaca: e = 30 cm; 
seção transversal do pilar: 20 x 75 cm; 
diâmetro da armadura vertical do pilar: ,pil = 16 mm; 
carga vertical Nk = 1.303 kN; 
momentos fletores nulos: Mx = My = 0; 
concreto C20; aço CA-50 (fyd = 43,5 kN/cm
2) 
cobrimento nominal: c = 3 cm; 
coeficientes de ponderação: c = f = 1,4 ; s = 1,15. 
 
Resolução 
 
a) Dimensões do bloco em planta (Figura 53) 
 
Espaçamento mínimo entre as estacas, considerando emín ≥ 2,5e para estacas do tipo pré-
moldadas: 
emín ≥ 2,5 ∙ 30 ≥ 75 cm  adotado e = 80 cm 
 
150
150
20 30 50 30 20
35
80
35
20
75
 
Figura 53 – Dimensões do bloco sobre quatro estacas. 
 
 
b) Simplificação para pilar retangular 
 
Lado do pilar quadrado de mesma área do pilar retangular:18 
 
cm38,737520baa ppeqp,  
 
c) Determinação da altura 
para  = 45  cm43,1
2
38,73
800,71
2
a
e0,71d
p
mín 













 
 
para  = 55  cm60,6
2
38,73
80
2
a
ed
p
máx  
 
18 Para aplicação do Método de Blevot (das Bielas), o pilar deve ser quadrado. 
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53 









cm5,330
25
1
2
π
5
1
5
a
cm5
d'
e
est
 , adotado d’ = 6 cm. 
 
Adotando a altura (h) do bloco como 60 cm tem-se: 
 
d = h – d’ = 60 – 6  d = 54 cm 
 
Verifica-se que a altura útil atende aos valores mínimo e máximo: 
 
dmín = 43,1 cm < d = 54 cm < dmáx = 60,6 cm 
 
Além disso, deve-se verificar se a altura útil é suficiente para garantir a ancoragem da 
armadura longitudinal vertical do pilar. Considerando os dados conhecidos de  16 mm, C20, 
ancoragem com gancho e região de boa aderência, resulta o comprimento de ancoragem b,,pil = 
49 cm, e: 
d = 54 cm > b,,pil = 49 cm  ok! 
 
Ângulo de inclinação da biela de concreto comprimido: 
 
1,259
4
2
38,73
2
2
80
54
4
2
a
2
2
e
d
αtg
p




  α = 51,55º 
 
como era de se esperar resultou um valor entre 45 e 55º, dado que d foi adotado entre dmín e dmáx . 
 
d) Verificação das bielas de concreto 
 
Tensão limite: 
2,85
1,4
2,0
0,952,1f2,1Kσσ cdRpillim,b,cd,estlim,b,cd,  kN/cm
2 = 28,5 MPa 
 
Tensão atuante junto ao pilar: 
 
 
1,98
51,55sen38,7338,73
13031,4
αsenA
N
σ
22
p
d
pilb,cd, 


 kN/cm2 
 
cd,b,pil = 19,8 MPa < cd,b,lim,pil = 28,5 MPa  ok! 
 
Tensão atuante junto à estaca: 
 
1,05
51,55sen
4
30π
4
13031,4
αsen4A
N
σ
2
22
e
d
estb,cd, 







 

 kN/cm2 
cd,b,est = 10,5 MPa < cd,b,lim,est = 28,5 MPa  ok! 
 
 
 
 
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54 
e) Cálculo das Armaduras 
 
Será feito o detalhamento composto por barras paralelas aos lados, sobre as estacas, 
acrescidas de armadura em malha, por ser um dos arranjos de armadura mais eficientes. O 
detalhamento das armaduras está mostrado na Figura 54. 
Armadura principal, considerando a atuação do peso próprio do bloco (gpp), com concr = 25 
kN/m3: 
gpp = 25 (1,5 ∙ 1,5 ∙ 0,6) = 33,8 kN 
 
    6,0438,73802
43,55416
33,8)1,4(1303
a2e
f16d
N
A p
yd
d
lados, 




 cm2 
 
As,lado = 6,04 cm² (3  16 mm  6,00 cm
2 ou 5  12,5 mm  6,25 cm2 – barras N4) 
 sobre as estacas19 
 
Armadura em malha: As,malha = 0,25As,lado = 0,25 ∙ 6,04 = 1,51 cm
2 
 
Como os ganchos verticais da armadura em malha poderão ser também a armadura de 
suspensão, deve-se ter: As,malha ≥ As,susp,face 
 Armadura de suspensão total: 17,7
5,436
33,8)1,4(1303
6f
N
A
yd
d
totsusp,s, 


 cm2 
 Armadura de suspensão por face: /facecm1,79
4
7,17
A 2facesusp,s,  
 
 As,malha = As,susp,face = 1,79 cm
2 (barras N3 em cada direção, 6  6,3 mm  1,86 cm2) 
 
Armadura superior negativa, em malha: As,sup,tot = 0,2As,total , com As,total = 4As,lado 
 
As,sup,tot = 0,2 (4 . 6,04) = 4,83 cm
2 
 
Para cada direção da malha tem-se 4,83/2 = 2,42 cm2 (8  6,3 mm  2,48 cm2, barras N2). 
Considerando as dimensões do bloco em planta de 150 cm nas duas direções, o cobrimento de 3 
cm e que a primeira barra seja colocada em torno de 15 cm da extremidade, o espaçamento entre 
as barras resulta [150 – 2(15 + 3)]/(8 – 1) = 16,3 cm, portanto, pode-se dispor 8  6,3 c/16 cm, nas 
duas direções, formando uma malha quadrada. 
 Armadura de pele por face: 
   2tots,sp,face cm3,026,04 4
8
1
A
8
1
A   6  8 mm (3,00 cm2) por face (barras N1) 
s  11 cm 
 
f) Detalhamento (Figura 54) 
 
O comprimento de ancoragem básico (Tabela 5 anexa), para diâmetro de 16 mm da 
armadura principal, sem gancho, C20, aço CA-50 e região de boa aderência, é b = 70 cm. Com  
= 0,7 para considerar o gancho, e as armaduras determinadas (As,lado = 6,04 cm
2 e As,ef = 6,00 
cm2), o comprimento de ancoragem necessário é: 
 
ef,s
calc,s
bnec,b
A
A
  3,49
00,6
04,6
707,0  cm 
 
19 As barras de As,lado devem ficar posicionadas em uma faixa sobre a estaca com dimensão 1,2e . 
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55 
Com cobrimento da armadura de 3 cm, e considerando a distância de 20 cm entre a face 
externa da estaca e a face vertical extrema do bloco (Figura 53), o comprimento de ancoragem 
efetivo ou útil é: b,ef = 30 + 20 – 3 = 47 cm, o que não permite a ancoragem por uma pequena 
diferença, pois b,nec = 49,3 cm > b,ef = 47 cm. Como uma solução simples, pode-se aumentar a 
distância de 20 cm para 22 cm. 
Como uma segunda solução, mantendo-se a distância de 20 cm, pode-se verificar se a 
ancoragem é atendida com alteração da armadura principal para 5  12,5 mm (6,25 cm2), com 
agora b = 55 cm: 
ef,s
calc,s
bnec,b
A
A
  2,37
25,6
04,6
557,0  cm 
o que permite a ancoragem, pois b,nec = 37,2 cm < b,ef = 47 cm. 
 
8
 N
2
3
 N
4
3
 N
4
6
 N
1
6 N3
6
 N
3
3 N4 3 N4
6 N1
20 20N1 - 6 Ø 8 C =
2
0
2
0
N
1
 -
 6
 Ø
 8
 C
 =
2
0
2
0
N
1
 -
 6
 Ø
 8
 C
 =
20 20N1 - 6 Ø 8 C =
N2 - 8 Ø 6,3 C =
8 N2
10 10
50 50
N
2
 -
 8
 Ø
 6
,3
 C
 =
1
0
1
0
5
0
5
0
N
3
 -
 6
 Ø
 6
,3
 C
 =
N
4
 -
 2
 x
 3
 Ø
 1
6
C
 =
N3 - 6 Ø 6,3 C =
N4 - 2 x 3 Ø 16 C =
 
Figura 54 – Detalhamento final das armaduras no bloco. 
 
 
15. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Para os exercícios, dimensionar os blocos, fazendo o cálculo e o detalhamento das 
armaduras. Adotar valores caso não estejamfornecidos. 
 
1) Bloco sobre dois tubulões, considerando: concreto C25 ; pilar com seção 40/90 ; Nk = 5.600 
kN; df = 80 cm ; ,pil = 20 mm. 
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56 
40
230
95pilar
bloco
tubulão
 
Figura 55 – Dimensões e distâncias (cm) a serem consideradas. 
 
2) Fazer o pilar da questão anterior sobre um bloco de três tubulões. Resolver pelo “Método das 
Bielas” e do CEB-70. Sugestão de dimensões no desenho. 
 
25
0
1
2
5
1
2
5
=7
0
d
f
Ø
f
 
Figura 56 – Distâncias entre as estacas (cm). 
 
 
3) Bloco de transição sobre tubulão. Dados: df = f = 70 cm, Nk = 450 kN ; pilar de seção 20/40 ; 
,pil = 12,5 mm. 
 
4) Bloco sobre seis estacas, moldadas “in loco”, com carga nominal de 300 kN. Dados: Nk = 
1.300 kN ; M = 100 kN.m ; C25 ; l = 32 cm ; seção do pilar: 30/50 cm ; armadura do pilar: 18  
12,5 mm ; e = 95 cm (verificar). 
y
x30
50
9
5
95 95
M = 100kN.m
y
x
 
Figura 57 – Distâncias entre as estacas (cm). 
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57 
5) Bloco sobre quatro estacas, quadrado em planta. Pilar 25/40 ; Nk = 875 kN ; As,pil = 10  12,5 
mm ;  = 32 cm, moldada no local ; Rnom, est = 250 kN ; C25 ; armaduras principais paralelas aos 
lados ; c = 4,5 cm ; d’ = 7 cm. 
 
 = 30 kN.m
40
25 Nk
Mx
 = 40 kN.mMy
esforços junto à base do pilar,
 sobre o bloco
 
Figura 58 – Momentos fletores atuantes no pilar. 
 
 
16. FUNDAÇÃO EM TUBULÃO 
 
NBR 6122 (3.10): “Tubulão – elemento de fundação profunda, cilíndrico, em que, pelo 
menos na sua etapa final, há descida de operário. Pode ser feito a céu aberto ou sob ar 
comprimido (pneumático) e ter ou não base alargada. Pode ser executado com ou sem 
revestimento, podendo este ser de aço ou de concreto. No caso de revestimento de aço (camisa 
metálica), este poderá ser perdido ou recuperado.” 
NBR 6122 (3.8): “Fundação Profunda – Elemento de fundação que transmite a carga ao 
terreno pela base (resistência de ponta), por sua superfície lateral (resistência de fuste) ou por 
uma combinação das duas, e que está assente em profundidade superior ao dobro de sua menor 
dimensão em planta, e no mínimo 3 m, salvo justificativa. Neste tipo de fundação incluem-se as 
estacas, os tubulões e os caixões.” 
As fundações profundas são apresentadas no item 7 da NBR 6122. Os tubulões são 
descritos a partir do item 7.8.12, até o 7.8.20. 
A NBR 6118 não trata do tubulão especificamente. 
 
16.1 Tubulão a Céu Aberto 
 
a) Cabeça: segmento inicial, encarregado da redistribuição das tensões existentes na base do pilar. 
Seu dimensionamento é análogo ao de bloco sobre uma estaca, sendo a armadura calculada pela 
teoria de fendilhamento e disposta com estribos horizontais. 
Para   60 dispensa-se armadura na base (NBR 6122, 7.8.17.7). 
A cabeça pode ser substituída por um bloco sobre o topo do fuste (bloco de transição - 
Figura 60). 



 

pilb,
f
b
2 a 1,5
h

 , c’  10 cm 
 
2133 – Estruturas de Concreto III – Blocos de Fundação 
 
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58 
N
c
a
b
e
ç
a
fu
s
te
b
a
s
e


6
0
º cota de
apoio  20 cm



 2
 m
(N
B
R
 6
1
2
2
)
h
b
 70 cm
Øf

{Ø
f
l b
, 
Ø
 p
il.
h
c
cota de
arrasamento
M
H
solo
Øb
 
Figura 59 – Esquema de um tubulão. 
 
 
 
h
b
fuste
bloco
pilar
c
'
c'
Øf
 
h
b
fuste
bloco
pilar
c
'
c'
Øf
 
Figura 60 – Bloco no topo do fuste do tubulão. 
 
 
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59 
D
f
2
D
b
Falsa elipse
N

 20 cm



 2
 m
h
b
a
s
e
cota de
arrasamento
M
2
Db
2
Db
df
Bloco de
transição
20 a 30cm
(conforme projeto)
h
b
lo
c
o
5
 a
 1
0
 c
m
2
D
b
2
D
b
Base circular
h
b
a
s
e
70 cmdf
2
Db
2
Dbx
2
x
2
2
 
Figura 61 – Esquema e notações no tubulão. 
 
 
H e M são absorvidos pelo tubulão ou por vigas de travamento. 
 
b) Fuste: é dimensionado como pilar de Concreto Simples, submetido à compressão simples. Se 
existir momento fletor na base do pilar, este deve ser considerado no dimensionamento do fuste. 
O Concreto Simples é tratado pela NBR 6118 no item 24. “O concreto simples estrutural 
deve ter garantidas algumas condições básicas, como confinamento lateral (caso de estacas ou 
tubos), compressão em toda seção transversal (caso de arcos), apoio vertical contínuo no solo ou 
em outra peça estrutural (caso de pilares, paredes, blocos ou pedestais). 
Não é permitido o uso de concreto simples em estruturas sujeitas a sismos ou a explosões, 
e em casos onde a ductilidade seja qualidade importante da estrutura.” 
 
- Concreto ≥ C10; 
 
- γc = 1,2∙1,4 = 1,68; 
 
- 
c
3 2
ck
c
ctm
c
infctk,
ctd
γ
f0,30,7
γ
0,7f
γ
f
f

 
 
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60 
- σcRd = 0,85fcd (compressão); 
 
- σctRd = 0,85fctd (tração). 
 
 A NBR 6122 fornece: 
 
 - γc = 1,5 para tubulão com revestimento com camisa de aço (7.8.14.10); 
 
 - γc = 1,6 para tubulão sem revestimento (7.8.18.1). 
 
 Diâmetro do fuste de Concreto Simples (M = 0): 
 
 
cd
d
f
f
d
cd
σ
N
A
A
N
σ  
 
 
ck
cd2
f
c
ck
d
2
f
0,85fπ
γ4N
γ
f
0,85
N
4
π



 
 
cm) 5 de múltiplo (inteiro, cm 70
0,85fπ
γ4N
d
ck
cd
ff 

 
 
Para fuste escavado mecanicamente, verificar os diâmetros existentes, em função do 
equipamento a ser utilizado. 
 
16.2 Armadura Longitudinal do Fuste – Carga Centrada 
 
Leonhardt e Mönnig (1982) indicam: 
 
4
π
0,0028A%0,28A
2
f
ffustes,

 
 
Número de barras: ≥ 6 
Øe
s
tr
estribo
 
Figura 62 – Disposição do estribo no fuste do tubulão. 
 






máx,agr
tr
1,2d
4
cm 40
s  , na prática str  25 cm 
 
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61 
16.3 Armadura Transversal 
 
 Andrade (1989) sugere a armadura transversal como nos pilares, na forma de estribos 
circulares. E para tubulão sob carga centrada, o seguinte dimensionamento do fuste: 
 
 
ck
d
ffcdd
0,85fπ
4N
dA0,85fN

 
 
 c = 1,6 para tubulão sem revestimento, 
 
 As = As,min = 0,50 % Af 
 
Base: segmento inferior que transfere a carga para o solo. 
 
Altura da base: 
 
Para β = 60º  60ºtg
2
h fbb

 
 
)0,866(h fbb  , para base circular ver Alonso (1989). 
 
)0,866(ah fb  , para base de falsa elipse. 
 
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62 
1
5
 a
 2
5
 cm
df
Bloco l b
5
 a
 1
0
c
m

2
 a
p
o
d
e
 s
e
r 
m
a
is
 a
c
ri
té
ri
o
 d
o
 p
ro
je
ti
s
ta
3
d
f
Fuste
d
f

 5
 c
m
d
s
As
 
Figura 63 – Indicações de Andrade (1989). 
 
 
 
6
0
º 


 2
 m
h
b
Øf
Øb
base
fuste
Ø
bØ f
Ø f b
x
a
 
Figura 64 – Notações da base. 
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63 
Nota: para pré-dimensionamento das dimensões dos tubulões, estudar o Cap. 2 de Alonso (1989). 
 
A NBR 6122 (6.3.2.2) fornece uma equação para a escolha do ângulo β, em função da 
tensão admissível do solo e da resistência do concreto à tração: 
 
 
 1
σ
σ
β
βtg
ct
adm 
 
adm = tensão admissível do solo (MPa) 
 
ct = tensão de tração no concreto (ct = 0,4fck  0,8 MPa) 
 
 em radianos. 
 
Andrade (1989) faz as seguintes sugestões para a formulação: 
 
a) Tubulão com base alargada 
 
solo
b
solo
b
π
4N
D
N
A



  para base circular 
 
A recomendação prática para x é: 
 
x 1,5 a 2,0Db  
solo
b
2
b NDx
4
Dπ

  para base falsa elipse 
Altura da base: 
 
 fb dxDβtg
2
1
H  , com x = 0 para base circular 
H
df
Øb

solo
 
Figura 65 – Base do tubulão. 
 
16.4 Bloco de Transição 
 
São os elementos de transferência de carga do pilar para o fuste do tubulão ou para a 
estaca. Deve ter uma armadura na forma de estribos horizontais para combater os esforços de 
fendilhamento, além de outras armaduras construtivas. 
Uma carga concentrada axial, simétrica em relação ao eixo da peça, tem as tensões 
distribuídas em uma zona de transição, de comprimento 1 a 1,1A, onde a partir desta seção as 
tensões se distribuem de maneira uniforme (ver Leonhard e Monnig, 1982: vol.3 – cap. 15, vol.2 – 
cap. 3). 
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64 
0
h
2
h
2
ap
4
ap
Nd
2
Td
Rc
T1d T1d = 0,015Nd
Nd
A
 o
u
 1
,1
A
A
0
,2
5
h
0
,7
5
h
 (p/ esforço de
fendilhamento )
As
Td
 (p/ esforço )T1dAs1
h
2
2
Nd
Td
Rc
A
4
 - 
4
ap
 
Figura 66 – Esquema de forças no bloco de transição. 
 
 
2
h
4
aA
2
N
T
p
d
d

 
 









A
a
1
4
N
T
pd
d 
 
Andrade (1989) sugere: 
 









A
a-A
N29,0T
p
dd 
 
 Armadura para combater Td (armadura de fendilhamento): 
 
yd
d
s
f
T
A  
 
armadura a ser distribuída em camadas até a altura h aproximadamente igual à dimensão A. 
A disposição das barras das camadas horizontais, como alternativa, pode ser a indicada na 
Figura 67. 
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65 
armadura
contínua
estribos
isolados
estribos
entrelaçados
barras
isoladas
Figura 67 – Disposição das barras das camadas horizontais. 
 
16.5 Roteiro para Cálculo de Blocos de Transição 
 
Sugestão de Andrade (1989). 
 
 Direção x: 
 











f
pf
dxd
a
0,29NT 
 











f
pf
e
d
td
a
HB
N
0,40σ 
 
yd
xd
sx
f
T
A  
folga 5 cm folga 10 a 15 cm
Øf
Ct
Nd
ap
 
 {
1
,1
1
,5
 (
 
 
 
 
 
)
1
,5
 (
 
 
 
 
 
)
Ø
f Ø
f
- 
a
p
b
p
- 
Ø
f
H
e
B
A
x
y
b
p
Ø
f

C
t
 
Figura 68 – Dimensões sugeridas por Andrade. 
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66 
 Direção y: 
 







 

p
fp
dyd
b
b
0,29NT ; 







 

p
fp
td
b
b
0,40σ 
5
A
f
T
A sx
yd
yd
sy  
 
σtd = tensão de tração máxima. 
 
Exemplo de detalhamento das armaduras (Figura 69): 
 
35 35
70
3
5
3
5
7
0
64
6
4
62
6
2
P13 - 4Ø10
c/ 15 C = 267
P11 - 4Ø10
c/ 15 C = 275
P13 - 4Ø10
c/ 15
P
1
1
 -
 4
Ø
1
0
c
/ 
1
5
2
7
,5
0
5
62
6
4
P12 - 4Ø10
c/ 15 C = 271
 
Figura 69 – Exemplo de detalhamento das armaduras para o bloco de transição. 
 
2133 – Estruturas de Concreto III – Blocos de Fundação 
 
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67 
35 35
70
3
5
3
5
7
0
64
6
4
P11 - 4Ø10
c/ 15 C = 275 (hor.)
P
1
2
 -
 4
Ø
1
0
c
/ 
1
5
P11 - 4Ø10
c/ 15
62
6
2
P13 - 4Ø10
c/ 15 C = 267
70
P13 - 4Ø10
c/ 15
P
1
1
 -
 4
Ø
1
0
c
/ 
1
5
7
0
62
6
4
P12 - 4Ø10
c/ 15 C = 271
 
Figura 70 – Exemplo de detalhamento das armaduras para o bloco de transição. 
 
4
a
p
10 a 15cm
Corte AA
3
2
1
A
x
A
B By
lg
 
Øf
5
1
0
3
 
 
3
c
m
1
,1
 Ø
1
,5
 (
 Ø
 -
 
 
 )
1
,5
 (
 
 
 -
 Ø
 )
a
p
b
p
H
e
bp
Corte BB 
 
Figura 71 – Exemplo de detalhamento das armaduras para o bloco de transição. 
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68 












12,5 - cm 25
10 - cm 20
8 - cm 15
6,3 - cm 10
g 
 
Armadura calculada para direção x: 1 + 2 
Armadura calculada para direção y: 1 + 3 
Estribos 4 e 5 são construtivos, com um diâmetro inferior ao da armadura principal. 
 



p
dxd
a
0,29NT 
 
p
p
dyd
b
b
0,29NT

 
 
17. BIBLIOGRAFIA 
 
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2133 – Estruturas de Concreto III – Blocos de Fundação 
 
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70 
TABELAS ANEXAS 
 
 
Tabela 1 – Valores de Kc e Ks para o aço CA-50. 
 
FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR - ARMADURA SIMPLES 
d
x
x  
Kc (cm2/kN) Ks (cm2/kN) 
Dom. 
C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA-50 
0,01 137,8 103,4 82,7 68,9 59,1 51,7 45,9 41,3 0,0232 
0,02 69,2 51,9 41,5 34,6 29,6 25,9 23,1 20,8 0,023 
0,03 46,3 34,7 27,8 23,2 19,8 17,4 15,4 13,9 0,023 
0,04 34,9 26,2 20,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,023 
0,05 28,0 21,0 16,8 14,0 12,0 10,5 9,3 8,4 0,023 
0,06 23,4 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,024 
0,07 20,2 15,1 12,1 10,1 8,6 7,6 6,7 6,1 0,024 
0,08 17,7 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,024 
0,09 15,8 11,9 9,5 7,9 6,8 5,9 5,3 4,7 0,024 
0,10 14,3 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,024 
0,11 13,1 9,8 7,8 6,5 5,6 4,9 4,4 3,9 0,024 
0,12 12,0 9,0 7,2 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,024 
0,13 11,1 8,4 6,7 5,6 4,8 4,2 3,7 3,3 0,024 
0,14 10,4 7,8 6,2 5,2 4,5 3,9 3,5 3,1 0,024 
0,15 9,7 7,3 5,8 4,9 4,2 3,7 3,2 2,9 0,024 
0,16 9,2 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1 2,7 0,025 
0,17 8,7 6,5 5,2 4,3 3,7 3,2 2,9 2,6 0,025 
0,18 8,2 6,2 4,9 4,1 3,5 3,1 2,7 2,5 0,025 
0,19 7,8 5,9 4,7 3,9 3,4 2,9 2,6 2,3 0,025 
0,20 7,5 5,6 4,5 3,7 3,2 2,8 2,5 2,2 0,025 
0,21 7,1 5,4 4,3 3,6 3,1 2,7 2,4 2,1 0,025 
0,22 6,8 5,1 4,1 3,4 2,9 2,6 2,3 2,1 0,025 
0,23 6,6 4,9 3,9 3,3 2,8 2,5 2,2 2,0 0,025 
0,24 6,3 4,7 3,8 3,2 2,7 2,4 2,1 1,9 0,025 
0,25 6,1 4,6 3,7 3,1 2,6 2,3 2,0 1,8 0,026 
0,26 5,9 4,4 3,5 2,9 2,5 2,2 2,0 1,8 0,026 
0,27 5,7 4,3 3,4 2,8 2,4 2,1 1,9 1,7 0,026 
3 
0,28 5,5 4,1 3,3 2,8 2,4 2,1 1,8 1,7 0,026 
0,29 5,4 4,0 3,2 2,7 2,3 2,0 1,8 1,6 0,026 
0,30 5,2 3,9 3,1 2,6 2,2 1,9 1,7 1,6 0,026 
0,31 5,1 3,8 3,0 2,5 2,2 1,9 1,7 1,5 0,026 
0,32 4,9 3,7 3,0 2,5 2,1 1,8 1,6 1,5 0,026 
0,33 4,8 3,6 2,9 2,4 2,1 1,8 1,6 1,4 0,026 
0,34 4,7 3,5 2,8 2,3 2,0 1,8 1,6 1,4 0,027 
0,35 4,6 3,4 2,7 2,3 2,0 1,7 1,5 1,4 0,027 
0,36 4,5 3,3 2,7 2,2 1,9 1,7 1,5 1,3 0,027 
0,37 4,4 3,3 2,6 2,2 1,9 1,6 1,5 1,3 0,027 
0,38 4,3 3,2 2,6 2,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,027 
0,40 4,1 3,1 2,5 2,0 1,8 1,5 1,4 1,2 0,027 
0,42 3,9 2,9 2,4 2,0 1,7 1,5 1,3 1,2 0,028 
0,44 3,8 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,028 
0,45 3,7 2,8 2,2 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 0,028 
0,46 3,7 2,7 2,2 1,8 1,6 1,4 1,2 1,1 0,028 
0,48 3,5 2,7 2,1 1,8 1,5 1,3 1,2 1,1 0,028 
0,50 3,4 2,6 2,1 1,7 1,5 1,3 1,1 1,0 0,029 
0,52 3,3 2,5 2,0 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,029 
0,54 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 1,0 0,029 
0,56 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 0,9 0,030 
0,58 3,1 2,3 1,8 1,5 1,3 1,2 1,0 0,9 0,030 
0,60 3,0 2,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,030 
0,62 2,9 2,2 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,031 
0,63 2,9 2,2 1,7 1,5 1,2 1,1 1,0 0,9 0,031 
 
 
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71 
Tabela 2 - Área de armadura por metro de largura (cm2/m). 
 
Espaçamento 
(cm) 
Diâmetro Nominal (mm) 
4,2 5 6,3 8 10 12,5 
5 2,77 4,00 6,30 10,00 16,00 25,00 
5,5 2,52 3,64 5,73 9,09 14,55 22,73 
6 2,31 3,33 5,25 8,33 13,33 20,83 
6,5 2,13 3,08 4,85 7,69 12,31 19,23 
7 1,98 2,86 4,50 7,14 11,43 17,86 
7,5 1,85 2,67 4,20 6,67 10,67 16,67 
8 1,73 2,50 3,94 6,25 10,00 15,63 
8,5 1,63 2,35 3,71 5,88 9,41 14,71 
9 1,54 2,22 3,50 5,56 8,89 13,89 
9,5 1,46 2,11 3,32 5,26 8,42 13,16 
10 1,39 2,00 3,15 5,00 8,00 12,50 
11 1,26 1,82 2,86 4,55 7,27 11,36 
12 1,15 1,67 2,62 4,17 6,67 10,42 
12,5 1,11 1,60 2,52 4,00 6,40 10,00 
13 1,07 1,54 2,42 3,85 6,15 9,62 
14 0,99 1,43 2,25 3,57 5,71 8,93 
15 0,92 1,33 2,10 3,33 5,33 8,33 
16 0,87 1,25 1,97 3,13 5,00 7,81 
17 0,81 1,18 1,85 2,94 4,71 7,35 
17,5 0,79 1,14 1,80 2,86 4,57 7,14 
18 0,77 1,11 1,75 2,78 4,44 6,94 
19 0,73 1,05 1,66 2,63 4,21 6,58 
20 0,69 1,00 1,58 2,50 4,00 6,25 
22 0,63 0,91 1,43 2,27 3,64 5,68 
24 0,58 0,83 1,31 2,08 3,33 5,21 
25 0,55 0,80 1,26 2,00 3,20 5,00 
26 0,53 0,77 1,21 1,92 3,08 4,81 
28 0,49 0,71 1,12 1,79 2,86 4,46 
30 0,46 0,67 1,05 1,67 2,67 4,17 
33 0,42 0,61 0,95 1,52 2,42 3,79 
Elaborada por PINHEIRO (1994) 
Diâmetros especificados pela NBR 7480. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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72 
 
Tabela 3 – Características de fios e barras de aço. 
 
Diâmetro (mm) Massa 
(kg/m) 
Área 
(mm2) 
Perímetro 
(mm) Fios Barras 
2,4 - 0,036 4,5 7,5 
3,4 - 0,071 9,1 10,7 
3,8 - 0,089 11,3 11,9 
4,2 - 0,109 13,9 13,2 
4,6 - 0,130 16,6 14,5 
5 5 0,154 19,6 17,5 
5,5 - 0,187 23,8 17,3 
6 - 0,222 28,3 18,8 
- 6,3 0,245 31,2 19,8 
6,4 - 0,253 32,2 20,1 
7 - 0,302 38,5 22,0 
8 8 0,395 50,3 25,1 
9,5 - 0,558 70,9 29,8 
10 10 0,617 78,5 31,4 
- 12,5 0,963 122,7 39,3 
- 16 1,578 201,1 50,3 
- 20 2,466 314,2 62,8 
- 22 2,984 380,1 69,1 
- 25 3,853 490,9 78,5 
- 32 6,313 804,2 100,5 
- 40 9,865 1256,6 125,7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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73 
Tabela 4 – Área de aço e largura bw mínima. 
Diâm. As (cm2) Número de barras 
(mm) bw (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
4,2 
As 0,14 0,28 0,42 0,56 0,70 0,84 0,98 1,12 1,26 1,40 
bw 
Br. 1 - 8 11 14 16 19 22 25 27 30 
Br. 2 - 9 13 16 19 23 26 30 33 36 
5 
 As 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 
bw 
Br. 1 - 9 11 14 17 20 22 25 28 31 
Br. 2 - 9 13 16 20 23 27 30 34 37 
6,3 
As 0,31 0,62 0,93 1,24 1,55 1,86 2,17 2,48 2,79 3,10 
bw 
Br. 1 - 9 12 15 18 20 23 26 29 32 
Br. 2 - 10 13 17 20 24 28 31 35 39 
8 
As 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 
bw 
Br. 1 - 9 12 15 18 21 25 28 31 34 
Br. 2 - 10 14 17 21 25 29 33 36 40 
10 
As 0,80 1,60 2,40 3,20 4,00 4,80 5,60 6,40 7,20 8,00 
bw 
Br. 1 - 10 13 16 19 23 26 29 33 36 
Br. 2 - 10 14 18 22 26 30 34 38 42 
12,5 
As 1,25 2,50 3,75 5,00 6,25 7,50 8,75 10,00 11,25 12,50 
bw 
Br. 1 - 10 14 17 21 24 28 31 35 38 
Br. 2 - 11 15 19 24 28 32 36 41 45 
16 
As 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 20,00 
bw 
Br. 1 - 11 15 19 22 26 30 34 38 42 
Br. 2 - 11 16 21 25 30 34 39 44 48 
20 
As 3,15 6,30 9,45 12,60 15,75 18,90 22,05 25,20 28,35 31,50 
bw 
Br. 1 - 12 16 20 24 29 33 37 42 46 
Br. 2 - 12 17 22 27 32 37 42 47 52 
22 
As 3,80 7,60 11,40 15,20 19,00 22,80 26,60 30,40 34,20 38,00 
bw 
Br. 1 - 12 16 21 25 30 34 39 43 48 
Br. 2 - 13 18 23 28 33 39 44 49 54 
25 
As 4,90 9,80 14,70 19,60 24,50 29,40 34,30 39,20 44,10 49,00 
bw 
Br. 1 - 13 18 23 28 33 38 43 48 53 
Br. 2 - 13 19 24 30 35 41 46 52 57 
32 
As 8,05 16,10 24,15 32,20 40,25 48,30 56,35 64,40 72,45 80,50 
bw 
Br. 1 - 15 21 28 34 40 47 53 60 66 
Br. 2 - 15 21 28 34 40 47 53 60 66 
40 
As 12,60 25,20 37,80 50,40 63,00 75,60 88,20 100,80 113,40 126,00 
bw 
Br. 1 - 17 25 33 41 49 57 65 73 81 
Br. 2 - 17 25 33 41 49 57 65 73 81 
largura bw mínima: 
bw,mín = 2 (c + t) + no barras .  + eh.mín (no barras – 1) 
 
Br. 1 = brita 1 (dmáx = 19 mm) ; Br. 2 = brita 2 (dmáx = 25 mm) 
Valores adotados: t = 6,3 mm ; cnom = 2,0 cm 
Para cnom  2,0 cm, aumentar bw,mín conforme: 
cnom = 2,5 cm  + 1,0 cm 
cnom = 3,0 cm  + 2,0 cm 
cnom = 3,5 cm  + 3,0 cm 
cnom = 4,0 cm  + 4,0 cm 
 






agr,máx
mín,h
d2,1
cm2
e  
 
cØ t
eh,mín
Ø
w,mínb
 
 
 
 
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74 
 
Tabela 5 – Comprimento de ancoragem para CA-50 nervurado. 
 
TABELA 3 
COMPRIMENTO DE ANCORAGEM b (cm) PARA As,ef = As,calc CA-50 nervurado 
 
(mm) 
Concreto 
C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 
Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 
6,3 
48 33 39 28 34 24 30 21 27 19 25 17 23 16 21 15 
33 23 28 19 24 17 21 15 19 13 17 12 16 11 15 10 
8 
61 42 50 35 43 30 38 27 34 24 31 22 29 20 27 19 
42 30 35 24 30 21 27 19 24 17 22 15 20 14 19 13 
10 
76 53 62 44 54 38 48 33 43 30 39 28 36 25 34 24 
53 37 44 31 38 26 33 23 30 21 28 19 25 18 24 17 
12,5 
95 66 78 55 67 47 60 42 54 38 49 34 45 32 42 30 
66 46 55 38 47 33 42 29 38 26 34 24 32 22 30 21 
16 
121 85 100 70 86 60 76 53 69 48 63 44 58 41 54 38 
85 59 70 49 60 42 53 37 48 34 44 31 4129 38 27 
20 
151 106 125 87 108 75 95 67 86 60 79 55 73 51 68 47 
106 74 87 61 75 53 67 47 60 42 55 39 51 36 47 33 
22,5 
170 119 141 98 121 85 107 75 97 68 89 62 82 57 76 53 
119 83 98 69 85 59 75 53 68 47 62 43 57 40 53 37 
25 
189 132 156 109 135 94 119 83 108 75 98 69 91 64 85 59 
132 93 109 76 94 66 83 58 75 53 69 48 64 45 59 42 
32 
242 169 200 140 172 121 152 107 138 96 126 88 116 81 108 76 
169 119 140 98 121 84 107 75 96 67 88 62 81 57 76 53 
40 
303 212 250 175 215 151 191 133 172 120 157 110 145 102 136 95 
212 148 175 122 151 105 133 93 120 84 110 77 102 71 95 66 
 Valores de acordo com a NBR 6118/03 
 No Superior: Má Aderência ; No Inferior: Boa Aderência 
 b Sem e Com ganchos nas extremidades 
 As,ef = área de armadura efetiva ; As,calc = área de armadura calculada 
 O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: 






mm 100
10
3,0 b
mín,b

 
 c = 1,4 ; s = 1,15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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75 
 
Tabela 6 – Comprimento de ancoragem para CA-60 entalhado. 
 
COMPRIMENTO DE ANCORAGEM ℓb (cm) PARA As,ef = As,calc CA-60 entalhado 
 
(mm) 
Concreto 
C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 
Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 
3,4 
 
50 35 41 29 35 25 31 22 28 20 26 18 24 17 22 16 
35 24 29 20 25 17 22 15 20 14 18 13 17 12 16 11 
4,2 
 
61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 
43 30 35 25 31 21 27 19 24 17 22 16 21 14 19 13 
5 
 
73 51 60 42 52 36 46 32 41 29 38 27 35 25 33 23 
51 36 42 30 36 25 32 23 29 20 27 19 25 17 23 16 
6 
 
88 61 72 51 62 44 55 39 50 35 46 32 42 29 39 27 
61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 
7 
 
102 71 84 59 73 51 64 45 58 41 53 37 49 34 46 32 
71 50 59 41 51 36 45 32 41 28 37 26 34 24 32 22 
8 
 
117 82 96 67 83 58 74 51 66 46 61 42 56 39 52 37 
82 57 67 47 58 41 51 36 46 33 42 30 39 27 37 26 
9,5 
 
139 97 114 80 99 69 87 61 79 55 72 50 67 47 62 43 
97 68 80 56 69 48 61 43 55 39 50 35 47 33 43 30 
Valores de acordo com a NBR 6118/03 
 No Superior: Má Aderência ; No Inferior: Boa Aderência 
 ℓb Sem e Com ganchos nas extremidades 
 As,ef = área de armadura efetiva ; As,calc = área de armadura calculada 
 O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: 






mm 100
10
3,0 b
mín,b

 
 c = 1,4 ; s = 1,15