Resoluções das Provas de Avaliação Intercalar-05022022

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3 Prova de Matemática de 5/02/2022
3.1 Grupo I
1.(Caṕıtulo 1) Considere os números inteiros pertencentes ao conjunto
[
−2, 1
2
[
∩
]
−
√
2, 1
]
.
Qual a opção correta?
(A) O seu produto é nulo. (B) O seu produto é negativo.
(C) A sua soma é nula. (D) A sua soma é positiva.
Resolução:
Considerando que −
√
2 ' −1, 4 consideremos o esquema que representa
[
−2, 1
2
[
∩
]
−
√
2, 1
]
Deste esquema conclúımos que
[
−2, 1
2
[
∩
]
−
√
2, 1
]
=
]
−
√
2, 1
2
[
Os inteiros que pertencem ao intervalo interseção são −1 e 0, sendo o produto destes números
nulo.
A resposta certa é a (A).
2.(Caṕıtulo 3) Qual das seguintes inequações é equivalente à inequação −4x < 8?
(A) x < −2 (B) x < 2
(C) x > −2 (D) x > 2
Resolução: A resposta certa é a (C) porque:
−4x < 8⇔ 4x > −8⇔ x > −8
4
⇔ x > −2
3.(Caṕıtulo 5) Relativamente à função definida por f(x) = 3 (x− h)2 + k; h, k ∈ R, sabe-se
que tem contradomı́nio R+0 e que f(−2) = 0. Pode, então, afirmar-se que:
21
(A) h = −2 e k = 0 (B) h = 2 e k = 0
(C) h = 0 e k = −2 (D) h = 0 e k = 2
Resolução: A opção que satisfaz as duas condições apresentadas é a opção (A):
f(x) = 3(x− h)2 + k
f(−2)=0⇒
D′f=R+0

(A)

f(−2) = 3(−2 + 2)2 + 0 = 0→ verdadeiro
3(x+ 2)2 ≥ 0⇒ 3(x+ 2)2 + 0 ≥ 0→ verdadeiro
(B) f(−2) = 3(−2− 2)2 + 0 = 0→ falso
(C) f(−2) = 3(−2 + 0)2 − 2 = 0→ falso
(D) f(−2) = 3(−2 + 0)2 + 2 = 0→ falso
Nota: Só (A) satisfaz f(−2) = 0.
4.(Caṕıtulo 1) Um comboio anda a uma velocidade média de 60 km/h e faz um certo percurso
em 36 minutos. Quanto tempo demoraria a fazer o mesmo percurso se fosse a 80 km/h?
(A) 48 (B) 27
(C) 42 (D) 24
Resolução: A distância percorrida foi 60× 36 = 2160 km.
Assim, a resposta certa é a (B) porque 80× 27 = 2160 km.
5.(Caṕıtulo 5) Considere a função f : R→ R+0 definida por f (x) = (x− 2)
2
(A) A função f é par. (B) A função f é injetiva.
(C) A função f é ı́mpar. (D) A função f é sobrejetiva.
Resolução: A resposta certa é a (D) porque:
(A) falsa porque por exemplo f (1) = (1− 2)2 = 1 ∧ f (−1) = (−1− 2)2 = 9 ∧ 9 6= 1
(B) falsa porque por exemplo f (1) = (1− 2)2 = f (3) = (3− 2)2 = 1
(C) falsa porque por exemplo f (1) = (1− 2)2 = 1 ∧ f (−1) = (−1− 2)2 = 9 ∧ 9 6= −1
(D) verdadeira porque o contradomı́nio, D
′
f = R
+
0 , igual ao conjunto de chegada.
6.(Caṕıtulo 1 e 6) Considere o seguinte espaço amostral S = {1, 3, 6, 8, 9, 11} e os acon-
tecimentos A = {1, 3, 6} , B = {3, 9, 11} e C = {1, 9}. Tem-se
(
A ∩B
)
∪ C é igual a:
22
(A) {1, 3, 6, 8, 11} (B) {}
(C) {3} (D) {3, 6, 8, 11}
Resolução:
B = {3, 9, 11} ⇔ B = {1, 6, 8} ⇒ A ∩B = {1, 3, 6} ∩ {1, 6, 8} = {1, 6}
C = {1, 9} ⇔ C = {3, 6, 8, 11} ⇒
(
A ∩B
)
∪ C = {1, 6} ∪ {3, 6, 8, 11} = {1, 3, 6, 8, 11}
A resposta certa é a (A).
7.(Caṕıtulo 6) Num de três testes de avaliação cont́ınua ocorreram problemas com a correção.
De modo a não prejudicar os alunos nesse teste, decidiu-se subir 1,6 valores às classificações de
cada aluno. Sabendo que as classificações iniciais apresentavam média de 8,2 valores e desvio-
padrão de 4 valores, então estas duas medidas, após a correção aplicada a cada aluno, passam
a ser:
(A) média 9,8 e desvio-padrão 4 (B) média 9 e desvio-padrão 4,8
(C) média 8,2 e desvio-padrão 5,6 (D) média 9,8 e desvio-padrão 5,6
Resolução:
Se adicionarmos uma constante positiva a todos os valores de uma variável a média aumenta
essa constante mas a dispersão da variável mantém-se, ou seja, o desvio padrão não se altera.
A resposta certa é a (A).
3.2 Grupo II
1.(Caṕıtulo 1) Utilizando, sempre que posśıvel, as regras das operações com potências, sim-
plifique a expressão (
1
8
)−2 × 83 ÷ 25
65 ÷ 35
+
85
45
× 40
Resolução:
( 18)
−2
×83÷25
65÷35 +
85
45
× 40 = 82×83÷25
(6÷3)5 +
(
8
4
)5 × 1 = 85÷25
25
+ 25 = 4
5
25
+ 25 =
(
4
2
)5
+ 25
= 25 + 25 = 2× 25 = 26 = 64
2.(Caṕıtulo 2 e 3) Considere o polinómio A (x) = x2 − mx + 1, m ∈ R. Determine os
valores de m para os quais o polinómio admite apenas uma raiz real.
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Resolução:
A (x) = x2 −mx+ 1 = 0⇔ x = m±
√
m2−4
2
é única se m2 − 4 = 0⇒ m = 2 ∨m = −2
3.(Caṕıtulo 2 e 3) Resolva em R a condição: x2+x−2
x+3
≤ 0.
Resolução: No numerador temos um polinómio de 2o grau cuja representação gráfica é uma
parábola voltada para cima. No denominador temos uma reta de declive positivo. Determine-
mos os zeros:
x2 + x− 2 = 0⇔ x = −1±
√
1+8
2
⇔ x = 1 ∨ x = −2
x+ 3 = 0⇔ x = −3
Construindo o quadro de sinal:
x −∞ −3 −2 1 +∞
x2 + x− 2 + + + 0 − 0 +
x+ 3 − 0 + + + + +
Sinal de x
2+x−2
x+3
− ND + 0 − 0 +
Conclui-se que: x
2+x−2
x+3
≤ 0⇔ x ∈ ]−∞,−3[ ∪ [−2, 1].
Ou então, através da representação gráfica da reta e da parábola:
Conclúımos que o conjunto de valores de x para os quais as imagens são de sinais contrários é
]−∞,−3[ ∪ ]−2, 1[.
A este conjunto devem ser acrescentados os valores onde a parábola se anula, x = −2 e x = 1
e obtemos o conjunto ]−∞,−3[ ∪ [−2, 1]
4.(Caṕıtulo 3) A Sara e o Pedro receberam conjuntamente 600 euros. Se a Sara der um
sexto do dinheiro que recebeu ao Pedro, ficarão ambos com o mesmo dinheiro. Determine a
quantia que cada um recebeu.
Resolução: Representando por x o dinheiro que a Sara recebeu e por y o dinheiro que o
Pedro recebeu, temos:
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
x+ y = 600
x− 1
6
x = y + 1
6
x
⇔

x+ y = 600
6x− x = 6y + x
⇔

y = 600− x
4x = 6 (600− x)
⇔

y = 600− x
4x = 3600− 6x
⇔

y = 600− x
4x+ 6x = 3600
⇔

y = 600− x
10x = 3600
⇔

y = 600− 360 = 240
x = 360
A Sara recebeu 360 euros e o Pedro 240 euros.
5.(Caṕıtulo 4) Mostre que, para qualquer ângulo agudo x, se tem:
−1 + (cos(x) + sen(x))2
2 cos(x)
= sen(x)
Resolução:
−1+[cos(x)+sen(x)]2
2 cos(x) =
−1+[(cos(x))2+2sen(x) cos(x)+(sen(x))2]
2 cos(x)
=
−1+[[(cos(x))2+(sen(x))2]+2sen(x) cos(x)]
2 cos(x) =
−1+[1+2sen(x) cos(x)]
2 cos(x)
= −1+1+2sen(x) cos(x)2 cos(x) =
2sen(x) cos(x)
2 cos(x)
x 6=π2+kπ,k∈Z=
cos(x)6=0
sen(x)
6.(Caṕıtulo 3) Um exame é composto por 50 questões de escolha múltipla. Em cada questão
só há uma resposta correta e são atribúıdos 4 pontos se for assinalada a opção correta, e é
descontado 1 ponto se for assinalada uma opção incorreta. O Pedro, que respondeu a todas as
questões, teve uma classificação de 140 pontos.
6.1 Escreva um sistema de equações lineares que modele o problema.
Resolução: Representando por x o no de questões em que o Pedro assinalou a opção cor-
reta e por y o no de questões em que o Pedro assinalou a opção incorreta, temos o seguinte
sistema: 
x+ y = 50
4x− y = 140
6.2 Usando o sistema de equações lineares da aĺınea anterior, determine o número de questões
em que o Pedro assinalou a opção correta e o número de questões em que o Pedro assinalou a
opção incorreta.
Resolução:
x+ y = 50
4x− y = 140
⇔

y = 50− x
4x− (50− x) = 140
⇔
{
y = 50− x
4x− 50 + x = 140 ⇔

y = 50− x
5x = 140 + 50
25
⇔

y = 50− x
5x = 190
⇔

y = 50− 38 = 12
x = 190
5
= 38
O Pedro assinalou a opção correta em 38 questões e a opção incorreta em 12 questões.
7.(Caṕıtulo 5) Seja f uma função real de variável real. Sabendo que na figura se encon-
tra representada parte do seu gráfico, indique
7.1 O domı́nio e contradomı́nio da função f .
Resolução: O domı́nio, Df , é o conjunto de valores de x para os quais existe imagem. O
contradomı́nio, D′f , é o conjunto de valores de y = f(x) que são imagem de algum valor de x.
Assim, temos:
Df = ]−2,+∞[ D′f = ]−∞, 4[
7.2 Os zeros da função f .
Resolução: Os zeros de uma função são os valores de x para os quais f(x) = 0, ou seja,
os valores de x onde o gráfico interseta o eixo Ox. Assim, temos:
f(x) = 0⇔ x = 0 ∨ x = 4
7.3 Os intervalos de monotonia da função f .
Resolução: Pretendemos indicar os intervalos onde a função é crescente, constante ou de-
crescente. Neste caso temos:
f é monótona crescente em [1, 3]
fé monótona decrescente em ]−2, 1[ e em [3,+∞[
8.(Caṕıtulo 6)
Na figura está representada uma roleta dividida em 4 setores geometri-
camente iguais e numerados de 1 a 4.
Considere a experiência que consiste em rodar a roleta duas vezes e
registar a soma dos números ocorridos.
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8.1 Recorrendo a uma tabela de dupla entrada, indique o espaço de resultados.
Resolução: A tabela pedida é:
Soma 1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
8.2 Qual é o resultado mais provável de ocorrer? Justifique.
Resolução: A distribuição de probabilidade da variável ”soma dos números obtidos” pode
ser descrita pelo seguinte quadro:
Soma obtida 2 3 4 5 6 7 8
Probabilidade 1
16
2
16
3
16
4
16
3
16
2
16
1
16
Donde se conclui que o resultado mais provável é o 5.
8.3 Dê exemplo de dois resultados que tenham igual probabilidade de ocorrer.
Resolução: Consideremos os acontecimentos:
A: ”obter soma par”
B: ”obter soma ı́mpar”
Estes acontecimentos são equiprováveis porque:
P (A) = P (2) + P (4) + P (6) + P (8) = 1
16
+ 3
16
+ 3
16
+ 1
16
= 8
16
= 1
2
P (B) = P (3) + P (5) + P (7) = 2
16
+ 4
16
+ 2
16
= 8
16
= 1
2
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	Prova de Matemática de 5/02/2022
	Grupo I
	Grupo II