MATEMATICA - REVISAO DO ENSINO MEDIO

Prévia do material em texto

Matemática: Revisão do Ensino Médio
Aula 1
1.1 PotenciaçãoFerramenta externa
Potenciação
Apresentação
Durante os primeiros anos de estudo da matemática entramos em contato com as quatro operações: adição, subtração, multiplicação e divisão. No entanto, muitas situações aplicadas, como por exemplo o cálculo de juros compostos em um financiamento, a representação de números muito grandes ou muito pequenos, problemas de análise combinatória, são difíceis ou até mesmo impossíveis de se resolver utilizando apenas as quatro operações. Nessas situações, a potenciação é uma operação muito útil.
Quando trabalhamos com números naturais, as potências podem ser interpretadas como uma forma de representar multiplicações onde os fatores são iguais. Mas aprofundando nosso estudo na matemática, veremos que esse conceito pode ser ampliado para números inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos.
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos a potenciação, também conhecida como exponenciação. Estudaremos a sua definição, suas regras e propriedades, bem como aplicações em situações-problema.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
· Reconhecer um expoente.
· Identificar as propriedades da potenciação.
· Utilizar a potenciação em problemas aplicados.
Desafio
O uso da potenciação e de suas propriedades contribui para aumentar a eficiência e a confiabilidade nos resultados de cálculos que surgem em situações aplicadas nas mais diversas profissões, estando presente inclusive no dia a dia de pequenos empreendedores.
Imagine que você é proprietário de um buffet e está decidindo o cardápio para um evento em que sua empresa foi contatada.
Você sabe que se o processo de descongelamento das carnes não for correto, há aparecimento de bactérias que tornam o produto impróprio para consumo. Nas aulas de manipulação de alimentos, você aprendeu que o número de bactérias (B) cresce em função do tempo (t) de descongelamento, medido em horas, e é dado pela operação: B(t) = t³. Segundo a vigilância sanitária, o número máximo de bactérias permitido é 512 por peça de carne.
Nessa situação, qual será o período máximo de descongelamento para que o número de bactérias não exceda o máximo permitido?
Escreva sua resposta no campo abaixo:
​Sua resposta
Como o máximo de bactérias permitido é 512 por peça de carne, temos: B(t) = 512. Na fórmula B(t) = t³, teremos: 512 = t³. Ou seja, precisamos saber qual número elevado ao cubo tem como resultado 512. Sabemos que 8³ = 512. Deste modo, você poderá deixar as carnes em processo de descongelamento por, no máximo, 8 horas para que o número de bactérias não exceda o máximo permitido, que é de 512 por peça.
Infográfico
A potenciação é uma importante operação matemática, que aparece tanto em situações teóricas quanto aplicadas. Por isso, é necessário conhecer suas propriedades operatórias para reconhecer quais devem ser usadas em um problema específico e organizar suas principais propriedades nos auxilia nessa tarefa.
Além disso, algumas propriedades como, por exemplo, a do expoente nulo e a do expoente negativo, oferecem suporte teórico para estendermos as operações com expoentes inteiros positivos para todos os inteiros.
No Infográfico a seguir, conheça as regras de potenciação com inteiro positivo, potenciação nula e potenciação negativa que nos auxiliam na solução de potências e as regras envolvendo multiplicação e divisão de potências de mesma base.
Conteúdo do Livro
A potenciação fornece uma maneira fácil de denotar certas multiplicações. Entender as propriedades dos expoentes é fundamental para a álgebra, necessária ao estudo de funções e à resolução de equações.
Acompanhe trechos extraídos do livro Matemática Aplicada: Administração, Economia e Ciências Sociais e Biológicas. Essa obra foi escolhida como base teórica da nossa Unidade de Aprendizagem.
Boa leitura.
Dica do Professor
O uso da potenciação é muito útil em problemas aplicados, como por exemplo na Matemática Financeira ou Análise Combinatória. Entretanto, alguns problemas não podem ser resolvidos diretamente sem passar pelo uso de algumas propriedades operatórias da potenciação. Essas propriedades também podem ser utilizadas para simplificar expressões algébricas ou para relacionar a potenciação com as demais operações da aritmética.
Nessa dica do professor, você verá as propriedades da potenciação e como elas podem ser utilizadas em exemplos envolvendo simplificações.
Exercícios
Respostas enviadas em: 13/03/2022 18:49
1. 
Ao simplificar a expressão numérica  , utilizando propriedades da potenciação, obtemos:
Resposta incorreta.
A. 
Vamos transformar a raiz em expoente fracionário, substituir 4 por 2² e 32 por 25.
Depois utilizamos a propriedade de potência de potência, para finalmente aplicar as propriedades da multiplicação e da divisão de potências de mesma base:
​​​​​​​
Você acertou!
B. 
Vamos transformar a raiz em expoente fracionário, substituir 4 por 2² e 32 por 25.
Depois utilizamos a propriedade de potência de potência, para finalmente aplicar as propriedades da multiplicação e da divisão de potências de mesma base:
​​​​​​​
Resposta incorreta.
C. 
Vamos transformar a raiz em expoente fracionário, substituir 4 por 2² e 32 por 25.
Depois utilizamos a propriedade de potência de potência, para finalmente aplicar as propriedades da multiplicação e da divisão de potências de mesma base:
​​​​​​​
Resposta incorreta.
D. 
Vamos transformar a raiz em expoente fracionário, substituir 4 por 2² e 32 por 25.
Depois utilizamos a propriedade de potência de potência, para finalmente aplicar as propriedades da multiplicação e da divisão de potências de mesma base:
​​​​​​​
Resposta incorreta.
E. 
Vamos transformar a raiz em expoente fracionário, substituir 4 por 2² e 32 por 25.
Depois utilizamos a propriedade de potência de potência, para finalmente aplicar as propriedades da multiplicação e da divisão de potências de mesma base:
​​​​​​​
2. 
Suponha que x, y e z sejam diferentes de zero. Utilizando propriedades da potenciação para reescrever a expressão ²  e mantendo todos os fatores no numerador, obtemos:
Resposta incorreta.
A. 
​​​​​​​
Vamos transformar a raiz em expoente fracionário, substituir 9 por 3². Depois utilizamos a propriedade de potência de potência no denominador da fração, para finalmente aplicar a propriedade da divisão de potências de mesma base. Para manter todos os fatores no numerador, utilizamos o expoente negativo. Lembramos também que 30 = 1.
²²²²
Resposta incorreta.
B. 
Vamos transformar a raiz em expoente fracionário, substituir 9 por 3². Depois utilizamos a propriedade de potência de potência no denominador da fração, para finalmente aplicar a propriedade da divisão de potências de mesma base. Para manter todos os fatores no numerador, utilizamos o expoente negativo. Lembramos também que 30 = 1.
²²²²
Resposta incorreta.
C. 
​​​​​​​
Vamos transformar a raiz em expoente fracionário, substituir 9 por 3². Depois utilizamos a propriedade de potência de potência no denominador da fração, para finalmente aplicar a propriedade da divisão de potências de mesma base. Para manter todos os fatores no numerador, utilizamos o expoente negativo. Lembramos também que 30 = 1.
²²²²
Você acertou!
D. 
​​​​​​​
Vamos transformar a raiz em expoente fracionário, substituir 9 por 3². Depois utilizamos a propriedade de potência de potência no denominador da fração, para finalmente aplicar a propriedade da divisão de potências de mesma base. Para manter todos os fatores no numerador, utilizamos o expoente negativo. Lembramos também que 30 = 1.
²²²²
Resposta incorreta.
E. 
​​​​​​​
Vamos transformar a raiz em expoente fracionário, substituir 9 por 3². Depois utilizamos a propriedade de potência de potência no denominador da fração, para finalmente aplicar a propriedade da divisão de potências de mesma base. Para manter todos os fatores no numerador, utilizamos o expoente negativo. Lembramos também que 30 = 1.
²²²²
3. 
Chama-se montante (M) a quantia que uma pessoarecebe após aplicar um capital (C) a uma taxa (i) durante um tempo (t). No regime de capitalização composto, a expressão do montante é dada por M = C(1+i)t.
Suponha que um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a uma taxa mensal de 1% ao mês. Qual é o montante após 6 meses?
Você acertou!
A. 
R$ 21.230,40
Vamos utilizar a fórmula do montante, substituindo t por 6, i por 0,01 (pois 1% = 1/100) e C por 20000. Lembre que antes de calcular a potência é preciso calcular a expressão de dentro dos parêntesis. Assim:
M = C(1+i)t = 20000(1+0,01)6 = 20000(1,01)6= R$ 21.230,40
Resposta incorreta.
B. 
R$ 21.200,00​​​​​
Vamos utilizar a fórmula do montante, substituindo t por 6, i por 0,01 (pois 1% = 1/100) e C por 20000. Lembre que antes de calcular a potência é preciso calcular a expressão de dentro dos parêntesis. Assim:
M = C(1+i)t = 20000(1+0,01)6 = 20000(1,01)6= R$ 21.230,40
Resposta incorreta.
C. 
R$ 20.200,00
Vamos utilizar a fórmula do montante, substituindo t por 6, i por 0,01 (pois 1% = 1/100) e C por 20000. Lembre que antes de calcular a potência é preciso calcular a expressão de dentro dos parêntesis. Assim:
M = C(1+i)t = 20000(1+0,01)6 = 20000(1,01)6= R$ 21.230,40
Resposta incorreta.
D. 
R$ 10.200,40
Vamos utilizar a fórmula do montante, substituindo t por 6, i por 0,01 (pois 1% = 1/100) e C por 20000. Lembre que antes de calcular a potência é preciso calcular a expressão de dentro dos parêntesis. Assim:
M = C(1+i)t = 20000(1+0,01)6 = 20000(1,01)6= R$ 21.230,40
Resposta incorreta.
E. 
R$ 2.200,40​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​
Vamos utilizar a fórmula do montante, substituindo t por 6, i por 0,01 (pois 1% = 1/100) e C por 20000. Lembre que antes de calcular a potência é preciso calcular a expressão de dentro dos parêntesis. Assim:
M = C(1+i)t = 20000(1+0,01)6 = 20000(1,01)6= R$ 21.230,40
4. 
O proprietário de uma indústria estimou que ao inaugurar uma nova filial, a produção mensal, em toneladas é dada pela expressão P = 200 – 180.9–0,05t, onde t é o número de meses contados a partir da inauguração da nova filial. Após dez meses da inauguração, qual será a produção atingida?
Resposta incorreta.
A. 
200 toneladas
Queremos saber qual a produção após 10 meses. Então vamos substituir t por 10 e calcular a expressão numérica, utilizando as propriedades de expoente negativo e fracionário.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
B. 
180 toneladas
Queremos saber qual a produção após 10 meses. Então vamos substituir t por 10 e calcular a expressão numérica, utilizando as propriedades de expoente negativo e fracionário.
​​​​​​​
Você acertou!
C. 
140 toneladas
Queremos saber qual a produção após 10 meses. Então vamos substituir t por 10 e calcular a expressão numérica, utilizando as propriedades de expoente negativo e fracionário.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
D. 
100 toneladas
Queremos saber qual a produção após 10 meses. Então vamos substituir t por 10 e calcular a expressão numérica, utilizando as propriedades de expoente negativo e fracionário.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
E. 
60 toneladas
Queremos saber qual a produção após 10 meses. Então vamos substituir t por 10 e calcular a expressão numérica, utilizando as propriedades de expoente negativo e fracionário.
​​​​​​​
5. 
Alguns equipamentos podem sofrer perda de valor a medida que o tempo passa, esse fenômeno é chamado depreciação. Imagine que uma máquina sofre depreciação exponencial de modo que seu valor, em reais, após t anos de uso é dado pela expressão V = 10000 – 80000.(2)– t. Qual o valor dessa máquina após 5 anos de uso?
Resposta incorreta.
A. 
R$ 12.500,00
Queremos saber qual o valor da máquina após 5 anos de uso. Então basta substituir t por 5 e calcular a expressão numérica. Vamos utilizar a propriedade do expoente negativo:​​​​​​​​​​​​​​
​​​​​​​
Resposta incorreta.
B. 
R$ 9.750,00
Queremos saber qual o valor da máquina após 5 anos de uso. Então basta substituir t por 5 e calcular a expressão numérica. Vamos utilizar a propriedade do expoente negativo:​​​​​​​​​​​​​​
​​​​​​​
Resposta incorreta.
C. 
R$ 7.750,00
Queremos saber qual o valor da máquina após 5 anos de uso. Então basta substituir t por 5 e calcular a expressão numérica. Vamos utilizar a propriedade do expoente negativo:​​​​​​​​​​​​​​
​​​​​​​
Você acertou!
D. 
R$ 7.500,00
Queremos saber qual o valor da máquina após 5 anos de uso. Então basta substituir t por 5 e calcular a expressão numérica. Vamos utilizar a propriedade do expoente negativo:​​​​​​​​​​​​​​
​​​​​​​
Resposta incorreta.
E. 
R$ 2.500,00
Queremos saber qual o valor da máquina após 5 anos de uso. Então basta substituir t por 5 e calcular a expressão numérica. Vamos utilizar a propriedade do expoente negativo:​​​​​​​​​​​​​​
​​​​​​​
Na prática
A operação de potenciação possui inúmeras aplicações tanto em nosso cotidiano quanto no desenvolvimento científico. Um exemplo disso são os cálculos envolvendo juros compostos, que podem ser desenvolvidos a partir da potenciação das taxas de juros. Também podemos citar a função exponencial, aplicada em problemas de crescimento ou decrescimento, como por exemplo no cálculo da depreciação de um bem, no crescimento de uma cultura de bactérias ou no cálculo dos lucros tanto de uma empresa quanto de um investimento pessoal.
Veja nesse Na Prática um exemplo do uso da potenciação para a tomada de decisão entre duas possibilidades de investimento de um capital: poupança ou compra de um novo equipamento.
​​​​​​​Esse exemplo nos mostra que o estudo da potenciação além de ser importante no desenvolvimento da matemática, contribui na resolução de problemas cotidianos.
1.2 Razão e proporçãoFerramenta externa
Razão e proporção
Apresentação
Em matemática, o quociente entre dois números inteiros a e b, sendo b diferente de zero, é definido como uma razão. Grandezas, como a velocidade, por exemplo, podem ser expressas como a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la. Outro exemplo é a densidade demográfica, que pode ser expressa como a razão entre o número de habitantes de uma dada região e a sua área. Quando temos a igualdade entre duas razões, definimos a proporção.
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos a razão e a proporção, enfatizando duas definições, exemplos e aplicações.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
· Definir razão.
· Explicar o que é proporção.
· Resolver problemas envolvendo raciocínio proporcional.
Desafio
Um caminhão cegonha é o nome dado no Brasil ao tipo de carreta especializada no transporte de veículos automotores. Uma empresa especializada nesse tipo de transporte mediu que no último trajeto, o veículo gastou 7 horas para um percurso de 350 km. O próximo caminhão a ser liberado será para uma viagem de 250 km.
Determine o tempo de viagem para esse caminhão e a sua velocidade média (km/h).
Para isso, considere que a velocidade do caminhão em todas as viagens é a mesma.​​​​​​​
Escreva sua resposta no campo abaixo:
Sua resposta
50 / 7 = 50 Km/h 250 / 50 = 2,5 h ou 2:30 min vai demorar para fazer o trajeto de 250km 2:30min com velocidade média de 50 Km/h.
Infográfico
Razões e proporções nos auxiliam na interpretação de enumeradas situações aplicadas. Conhecer suas definições e propriedades é fundamental para a modelagem dessas situações. O Infográfico a seguir apresenta as definições de razão e proporção, bem como alerta para a existência da comparação multiplicativa ao lidarmos com razões e proporções.
Conteúdo do Livro
"Uma razão é um número que relaciona duas quantidades ou medidas dentro de uma dada situação através de uma relação multiplicativa (em contraste com uma relação de diferença ou aditiva)." (VAN DE WALLE, 2009, p. 383)
Para aprofundar os seus conhecimentos sobre este assunto, leia o capítulo Razão e Proporção da obra escolhida como base teórica da nossa Unidade de Aprendizagem Fundamentos de matemática.
Boa leitura!
Dica do Professor
Em matemática, razão é um quociente entre dois números. Assim, em situações aplicadas, podemos entender razão como um número que relacionaduas grandezas. No caso da proporção, temos a igualdade entre duas razões. Acompanhe, nesta Dica do Professor, situações quotidianas que podem ser modeladas por meio de razões e proporções.
Exercícios
Respostas enviadas em: 13/03/2022 19:26
1. 
No estoque de calças de uma loja, há 40 unidades, sendo 24 masculinas e 16 femininas. Sobre este estoque, marque a opção CORRETA:
Resposta incorreta.
A. 
16/40 é a razão entre a quantidade de calças masculinas e a quantidade total de calças.
Esta é a razão entre a quantidade de calças femininas e a quantidade total de calças.
Resposta incorreta.
B. 
16/24 é a razão entre a quantidade de calças femininas e a quantidade total de calças.
O denominador deveria ser 40 que é a quantidade total de calças.
Resposta incorreta.
C. 
24/16 é a razão entre a quantidade de calças masculinas e a quantidade total de calças.
O denominador deveria ser 40 que é a quantidade total de calças.
Você acertou!
D. 
24/40 é a razão entre a quantidade de calças masculinas e a quantidade total de calças.
A razão está em relação à quantidade total de 40 calças.
Resposta incorreta.
E. 
40/40 é a razão entre a quantidade de calças masculinas e a quantidade total de calças.
Não há relação, pois foram comparadas as mesmas grandezas.
2. 
Susan pode correr quatro voltas em 12 minutos e Carolina pode correr duas voltas em 5 minutos. Marque a opção CORRETA sobre a relação entre as duas corredoras:
Resposta correta.
A. 
Carolina gasta 2,5 minutos para cada volta e Susan gasta 3 minutos por volta.
3. 
Sandra e Julia estavam correndo ao redor de uma trilha. Quando Sandra completou 9 voltas, Júlia completou 3 voltas. Quando Júlia completou 15 voltas, quantas voltas Sandra completou?
Resposta incorreta.
A. 
135
Você se esqueceu de realizar a divisão de 135 por 3.
Você acertou!
B. 
45
Descrição da imagem não disponível
Resposta incorreta.
C. 
6
Esta é a diferença entre a quantidade de voltas no início.
Resposta incorreta.
D. 
405
Você efetuou a operação de multiplicação em vez de divisão.
Resposta incorreta.
E. 
15
Esta é a quantidade de voltas que Júlia percorreu.
4. 
Uma pessoa que pesa 80 quilos na Terra pesará 208 quilos no planeta Júpiter. Quanto uma pessoa que pesa 60 quilos na Terra pesará em Júpiter?
Resposta incorreta.
A. 
128 quilos.
Você apenas calculou a diferença entre os dados fornecidos.
Resposta incorreta.
B. 
188 quilos.
Você apenas subtraiu 20 quilos do peso de 208 já que a diferença desejada é de 80 para 60 quilos.
Você acertou!
C. 
156 quilos.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
D. 
23 quilos.
Você inverteu a razão.
Resposta incorreta.
E. 
277,3 quilos.
Você errou na elaboração da razão entre os pesos.
5. 
Considere que, no Brasil, você pode permutar $4,50 dólares por R$2,50. Quanto R$17,50 valem em dólares?
Resposta incorreta.
A. 
$15.
Você apenas calculou a diferença entre os dados fornecidos.
Resposta incorreta.
B. 
$35.
Você apenas calculou a diferença entre os dados fornecidos e multiplicou pelo valor desejado.
Resposta incorreta.
C. 
$78,75.
Você se esqueceu de realizar a divisão de 78,75 por 2,5.
Resposta incorreta.
D. 
$196,88.
Você efetuou a operação de multiplicação em vez de divisão.
Você acertou!
E. 
$31,50.
Na prática
Ao interpretarmos situações aplicadas podemos utilizar relações aditivas ou multiplicativas. Quando lidamos com soma ou diferença, dizemos que se trata de uma relação aditiva, ao passo que, nas situações que envolvem multiplicação ou divisão, estamos lidando com relações multiplicativas. O exemplo a seguir mostra, a partir de uma situação prática, a distinção entre esses dois tipos de relações.
Aula 2
2.1 Função ExponencialFerramenta externa
Função Exponencial
Apresentação
Nesta Unidade de Aprendizagem, trataremos da função exponencial por meio de sua definição e seus gráficos.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
· Definir uma função exponencial.
· Construir gráficos das funções exponenciais.
· Criar modelos usando funções exponenciais.
Desafio
Sofia aplicou o valor de R$1200,00 em renda fixa durante 6 anos em uma instituição bancária a uma taxa de 1,5% ao mês, no regime de juros compostos. Considerando que a fórmula dos juros compostos é dada por:
​​​​​​​M = C(1 + i)t
C = capital investido
M = montante final
i = taxa unitária
t = tempo de aplicação
Defina:
a) O saldo ao final de 12 meses.
b) O montante final da aplicação.
DICA: Como a taxa é ao mês, lembre de transformar o prazo de anos para meses. Também é importante saber que a taxa centesimal de 1,5% é equivalente à taxa unitária de 0,015.
Escreva sua resposta no campo abaixo:
​a) O saldo ao final de 12 meses.
Considerando os dados:
M = ?
C = 1200
i = 1,5% = 0,015 (taxa unitária)
t = 12 meses
M = 1200(1+ 0,015)12
M = 1200(1,015)12
M = 1200(1,195618)
M = 1.434,74
Após 12 meses, Sofia terá um saldo de R$ 1.434,74.
b) Montante final da aplicação.
Considerando os dados:
M = ?
C = 1200
i = 1,5% = 0,015 (taxa unitária)
t = 6 anos = 6 x 12 = 72 meses
M = 1200(1+ 0,015)72
M = 1200(1,015)72
M = 1200(2,921158)
M = 3.505,39
Após 6 anos, Sofia terá um saldo de R$ 3.505,39.
Infográfico
As funções exponenciais são usadas para descrever eventos que crescem ou decrescem rapidamente. Acompanhe o infográfico para identificar as características dos gráficos da função exponencial.
Conteúdo do Livro
A equação y = 2x é um exemplo de um grupo especial de funções: as funções exponenciais. Acompanhe o capítulo Função Exponencial do livro Fundamentos de Matemática. Essa obra foi escolhida como base teórica da nossa unidade.
Boa leitura
Dica do Professor
Agora você assistirá um vídeo sobre os principais assuntos da unidade.
Exercícios
Respostas enviadas em: 20/03/2022 18:49
1. 
Encontre todos os x para que f(x) = 27 na função f(x)=35x.
Você acertou!
A. 
3/5.
Primeiro, transformamos 27 em potência: 27 = 3³.Desejamos todos os valores de x para que 3^5x seja igual a 3³. Como as bases são iguais, basta então igualarmos os expoentes:5x = 3x = 3/5.
Resposta incorreta.
B. 
-3/5.
Primeiro, transformamos 27 em potência: 27 = 3³.Desejamos todos os valores de x para que 3^5x seja igual a 3³. Como as bases são iguais, basta então igualarmos os expoentes:5x = 3x = 3/5.
Resposta incorreta.
C. 
3.
Primeiro, transformamos 27 em potência: 27 = 3³.Desejamos todos os valores de x para que 3^5x seja igual a 3³. Como as bases são iguais, basta então igualarmos os expoentes:5x = 3x = 3/5.
Resposta incorreta.
D. 
-3.
Primeiro, transformamos 27 em potência: 27 = 3³.Desejamos todos os valores de x para que 3^5x seja igual a 3³. Como as bases são iguais, basta então igualarmos os expoentes:5x = 3x = 3/5.
Resposta incorreta.
E. 
15.
Primeiro, transformamos 27 em potência: 27 = 3³.Desejamos todos os valores de x para que 3^5x seja igual a 3³. Como as bases são iguais, basta então igualarmos os expoentes:5x = 3x = 3/5.
2. 
A solução correta para a equação exponencial é: 23x-1=32
Resposta incorreta.
A. 
-2.
Você acertou!
B. 
2.
Resposta incorreta.
C. 
1.
Resposta incorreta.
D. 
-1.
Resposta incorreta.
E. 
3.
3. 
A solução correta para a equação exponencial é:
112x+5 = 1
Resposta incorreta.
A. 
5.
Resposta incorreta.
B. 
2/5.
Resposta incorreta.
C. 
-(2/5).
Resposta incorreta.
D. 
5/2.
Você acertou!
E. 
-(5/2).
4. 
Analisando os gráficos de funções de crescimento e decaimento exponenciais, pode-se afirmar que:
Resposta incorreta.
A. 
Os gráficos nunca interceptam o eixo vertical (eixo y).
Os gráficos têm resultados que se aproximam, mas nunca interceptam o eixo horizontal (eixo x); logo a função não tem raízes.
Resposta incorreta.
B. 
Os gráficos interceptam os eixos horizontal e vertical.
Os gráficos têm resultados que se aproximam, mas nunca interceptam o eixo horizontal (eixo x); logo a função não tem raízes.
Você acertou!
C. 
Os gráficos nunca interceptam o eixo horizontal (eixo x).
Os gráficos têm resultados que se aproximam, mas nunca interceptam o eixo horizontal (eixo x); logo a função não tem raízes.
Resposta incorreta.D. 
Os gráficos são retas paralelas ao eixo vertical.
Os gráficos têm resultados que se aproximam, mas nunca interceptam o eixo horizontal (eixo x); logo a função não tem raízes.
Resposta incorreta.
E. 
Os gráficos são parábolas.
Os gráficos têm resultados que se aproximam, mas nunca interceptam o eixo horizontal (eixo x); logo a função não tem raízes.
5. 
O aparelho de ar-condicionado de um escritório estragou. A função que descreve a temperatura ambiente (em graus Celsius) em função de t, o tempo transcorrido em horas, desde a quebra do ar-condicionado, é:
Considere que To é a temperatura interna do escritório enquanto a refrigeração funcionava, e Text é a temperatura externa (suponha constante). E sabendo que To = 21°C e Text = 30°C, calcule a temperatura no interior do escritório transcorridas 4 horas desde a quebra do sistema de ar-condicionado.
Resposta incorreta.
A. 
T(4) = 25.
Resposta incorreta.
B. 
T(4) = 2,5.
Você acertou!
C. 
T(4) = 29,1.
Resposta incorreta.
D. 
T(4) = 19.
Resposta incorreta.
E. 
T(4) = 35.
2.2 Função LogarítmicaFerramenta externa
Função Logarítmica
Apresentação
As funções estão presentes em diversas situações aplicadas que envolvem relação entre variáveis com características específicas. Ao calcular o PH de determinada substância, ao determinar a intensidade de um terremoto ou ao medir a intensidade de um som, por exemplo, estamos lidando com um caso especial de função denominada função logarítmica.
A função logarítmica é uma função de R*+ em R que associa cada número real x>0 a um número real logax, onde a é denominada base e a>0 e a≠1. Neste caso, uma propriedade importante que nos ajudará a resolver problemas aplicados é saber que a função logarítmica é a função inversa da exponencial.
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos a função logarítmica por meio de sua definição, suas propriedades e seus gráficos, procurando associá-la a problemas aplicados.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
· Converter equações para funções logarítmicas da forma logarítmica para a exponencial e vice-versa.
· Traçar gráficos das funções logarítmicas.
· Identificar as propriedades das funções logarítmicas.
Desafio
A poluição sonora gera problemas para o ser humano, principalmente nos grandes centros urbanos. Nosso ouvido é capaz de notar uma enorme faixa de intensidade de ondas sonoras, ou seja, de som. Considere as nossas faixas extremas de intensidade sonora:
Limiar de audição: 10-12 W/m2
Sensação de dor: 1 W/m2
Sabendo que a sensação da intensidade sonora varia com melhor aproximação, o nível de intensidade G medido em decibéis (dB) se define por:
G = 10 log (I/10-12), sendo I a intensidade do som.
A partir da função logarítmica que descreve o nível de intensidade de uma onda sonora, defina então:
a. Nível (em dB) do limiar de audição do ser humano.
b. Nível (em dB) do limiar de audição dolorosa do ser humano.
Sua resposta
a. A intensidade do som (W/m2) é I = 10-12 no limiar da audição, logo: G = 10 log (I/10-12) = 10 log (10-12/10-12) = 10 log(1) Como 1 = 100, portanto log(1) é igual a zero: G = 1O log(1) = 10.0 = 0 Assim limiar da audição é O decibéis. b. A intensidade do som (W/m2) é I = 1 no limiar da audição dolorosa, logo: G = 10 log (I/10-12) = 10 log (I/10-12) = 10 log (I/1012) Como log(a)b = b log(a); e log 10 = 1, portanto: G = 10 log(1012) = 10.12 log(10) = 120 log(10) = 120.(1) = 120 Assim, limiar da audição dolorosa é 120 decibéis.
Infográfico
A função logarítmica, inicialmente desenvolvida para facilitar os cálculos dos astrônomos na elaboração de tabelas de navegação, hoje também é muito útil na resolução de problemas aplicados a diversas áreas da ciência e ocupa papel de destaque na Análise Matemática. Saber reconhecer a função logarítmica, suas propriedades e gráfico é muito importante para a resolução de problemas.
Veja neste infográfico a definição e leitura da função logarítmica e os tipos de gráficos dessas funções para os casos crescente e decrescente.
Conteúdo do Livro
Em geral, podemos expressar a equação x = ay (a > 0, a 1) na forma y = f(x) definindo uma função logarítmica.
Acompanhe trechos extraídos do livro "Matemática Aplicada: Administração, Economia e Ciências Sociais e Biológicas", de Harshbarger e Reynolds, a partir do tópico 5.2, Funções Logarítmicas e suas propriedades (até o exemplo 4, da página 234). Essa obra foi escolhida como base teórica da nossa Unidade de Aprendizagem.
Dica do Professor
Antes do desenvolvimento das calculadoras eletrônicas alguns cálculos envolvendo potências cuja base ou expoente são formados por números decimais eram difíceis de serem realizados, de modo que as funções logarítmicas foram desenvolvidas para facilitar essa resolução. Com o tempo, novas aplicações foram surgindo e conhecer as características desse tipo de função é muito importante para saber aplicá-las de modo adequado.
Acompanhe nessa dica a definição da função logarítmica, suas características, gráfico e a relação com a função exponencial.
Exercícios
Respostas enviadas em: 20/03/2022 19:23
1. 
Para lidar com funções ou com equações logarítmicas frequentes em problemas aplicados precisamos em muitos casos calcular logaritmos simples. Assim marque a alternativa que contém o valor de log5 625.
Resposta incorreta.
A. 
3
Log5625 é o expoente da potência de base 5 que resulta em 625:
log5625 = x | 5x = 625
Como 625 são 54, logo: 5x = 54
Então x = 4
Você acertou!
B. 
4
Log5625 é o expoente da potência de base 5 que resulta em 625:
log5625 = x | 5x = 625
Como 625 são 54, logo: 5x = 54
Então x = 4
Resposta incorreta.
C. 
5
Log5625 é o expoente da potência de base 5 que resulta em 625:
log5625 = x | 5x = 625
Como 625 são 54, logo: 5x = 54
Então x = 4
Resposta incorreta.
D. 
6
Log5625 é o expoente da potência de base 5 que resulta em 625:
log5625 = x | 5x = 625
Como 625 são 54, logo: 5x = 54
Então x = 4
Resposta incorreta.
E. 
7
Log5625 é o expoente da potência de base 5 que resulta em 625:
log5625 = x | 5x = 625
Como 625 são 54, logo: 5x = 54
Então x = 4
2. 
A função logarítmica é a função inversa da exponencial, mas é preciso que a base satisfaça determinadas condições. Com base no exposto, quando a equação y=logax representa a mesma função que a equação x=ay?
Resposta incorreta.
A. 
Quando a < 0 e a diferente de 1.
Para a > 0 e a diferente de 1, que satisfazem a relação da questão.
Você acertou!
B. 
Quando a > 0 e a diferente de 1.
Para a > 0 e a diferente de 1, que satisfazem a relação da questão.
Resposta incorreta.
C. 
Quando a = 0 e a menor que 1.
Para a > 0 e a diferente de 1, que satisfazem a relação da questão.
Resposta incorreta.
D. 
Quando a < -1 e a igual a 0.
Para a > 0 e a diferente de 1, que satisfazem a relação da questão.
Resposta incorreta.
E. 
Quando a > 1 e a diferente de 0.
Para a > 0 e a diferente de 1, que satisfazem a relação da questão.
3. 
No estudo de funções, a análise do gráfico pode ser utilizada para a tomada de decisões e isso pode ocorrer também com a função logarítmica. Analise as alternativas a seguir e marque a que contém uma característica que se aplica ao gráfico da função logarítmica y=logax.
Resposta incorreta.
A. 
O gráfico da função logarítmica é uma reta.
A reta representa o gráfico da função do primeiro grau e a parábola representa o gráfico da função do segundo grau. O gráfico da função logarítmica y=logax para os casos crescente e decrescente estão ilustrados abaixo.
Podemos perceber que o gráfico da função logarítmica y=logax é crescente quando a>1 e decrescente quando 0<a<1. Também vemos que ele sempre corta o eixo x igual a 1 (1,0) e nunca corta o eixo y.​​​​​​​
Resposta incorreta.
B. 
O gráfico da função logarítmica é uma parábola.
A reta representa o gráfico da função do primeiro grau e a parábola representa o gráfico da função do segundo grau. O gráfico da função logarítmica y=logax para os casos crescente e decrescente estão ilustrados abaixo.
Podemos perceber que o gráfico da função logarítmica y=logax é crescentequando a>1 e decrescente quando 0<a<1. Também vemos que ele sempre corta o eixo x igual a 1 (1,0) e nunca corta o eixo y.​​​​​​​
Resposta incorreta.
C. 
O gráfico da função logarítmica sempre passa pelo ponto (0,1).
A reta representa o gráfico da função do primeiro grau e a parábola representa o gráfico da função do segundo grau. O gráfico da função logarítmica y=logax para os casos crescente e decrescente estão ilustrados abaixo.
Podemos perceber que o gráfico da função logarítmica y=logax é crescente quando a>1 e decrescente quando 0<a<1. Também vemos que ele sempre corta o eixo x igual a 1 (1,0) e nunca corta o eixo y.​​​​​​​
Resposta incorreta.
D. 
Quando 0<a<1, o gráfico da função logarítmica é crescente.
A reta representa o gráfico da função do primeiro grau e a parábola representa o gráfico da função do segundo grau. O gráfico da função logarítmica y=logax para os casos crescente e decrescente estão ilustrados abaixo.
Podemos perceber que o gráfico da função logarítmica y=logax é crescente quando a>1 e decrescente quando 0<a<1. Também vemos que ele sempre corta o eixo x igual a 1 (1,0) e nunca corta o eixo y.​​​​​​​
Você acertou!
E. 
O gráfico da função logarítmica sempre passa pelo ponto (1,0).
A reta representa o gráfico da função do primeiro grau e a parábola representa o gráfico da função do segundo grau. O gráfico da função logarítmica y=logax para os casos crescente e decrescente estão ilustrados abaixo.
Podemos perceber que o gráfico da função logarítmica y=logax é crescente quando a>1 e decrescente quando 0<a<1. Também vemos que ele sempre corta o eixo x igual a 1 (1,0) e nunca corta o eixo y.​​​​​​​
4. 
O tempo de duplicação para um investimento capitalizado continuamente pode ser encontrado resolvendo a equação ert=2, onde r é a taxa unitária e t é o tempo. Se um investimento rende a uma taxa de 15% de juros anuais, compostos continuamente, em quanto tempo (em anos) ele duplicará?
Resposta incorreta.
A. 
4,8.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
B. 
4,7.
​​​​​​​​​​​​​​
Você acertou!
C. 
4,6.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
D. 
4,5.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
E. 
4,4.​​​​​​​
​​​​​​​
5. 
Suponha que, depois que um aluno começou a estudar funções logarítmicas, o número de horas h que leva até que ele se sinta p por cento preparado para realizar a prova, possa ser modelado por
Em quanto tempo esse aluno se sentirá 100% preparado para realizar a prova?
Resposta incorreta.
A. 
10 horas.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
B. 
15 horas.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
C. 
20 horas.
​​​​​​​
Você acertou!
D. 
40 horas.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
E. 
30 horas.
​​​​​​​
Na prática
As aplicações da função logarítmica foram ampliando ao longo do tempo, à medida que o conceito foi se desenvolvendo. O que se iniciou como uma forma de facilitar cálculos algébricos trabalhosos, hoje pode ser utilizado na química ao calcular o PH, na física ao medir a intensidade do som, ou até mesmo no mercado financeiro.
Veja nesse Na Prática um exemplo do uso da função logarítmica na modelagem da participação no mercado de um novo produto lançado por uma determinada empresa.
Aula 3
3.1 Funções TrigonométricasFerramenta externa
Funções Trigonométricas
Apresentação
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos as funções trigonométricas por meio das definições de seno, cosseno e tangente, suas propriedades e gráficos.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
· Reconhecer as principais funções trigonométricas.
· Encontrar as propriedades das funções seno, cosseno e tangente.
· Projetar os gráficos dessas funções trigonométricas.
Desafio
Para resolver este desafio, você precisará aplicar as relações de função trigonométrica.
Vamos ao desafio!
O Natal é a época do ano mais esperada pela família de Jorge. A árvore do quintal que ele está planejando enfeitar será a maior que já decoraram. Na fase de preparação, Jorge precisa estimar a quantidade de luzes e enfeites que serão necessários a partir da altura aproximada da árvore.
Considere as relações trigonométricas, a figura, e sabendo que sen(x) = 0,32 e cos(x) = 0,76, determine qual a altura da árvore que Jorge planeja enfeitar neste Natal.
Escreva sua resposta no campo abaixo:
​ Sua resposta
A altura da árvore será a tangente de x, isto é: tg(x) = x/20 Considerando a relação trigonométrica entre tangente, seno e cosseno, sabe-se que: tg(x) = sen(x)/con(x) Substituindo os valores dados de sen(x) e cos(X), temos que: tg(x) = 0,32/0,76 = 0,421 Retomando que tg(x) = x/20 e que tg(x) = 0,421, então: x/20 = 0,421 x = 0,421 . 20 = 8,42 m
Infográfico
As funções trigonométricas surgiram para descrever situações periódicas. Definimos em trigonometria o seno, o cosseno e a tangente, e a partir da combinação entre eles surgiram novas funções trigonométricas aplicadas às várias áreas de estudo.
Conteúdo do Livro
Acompanhe trechos extraídos do livro Matemática Aplicada, de Goldstein e Schneider. Essa obra foi escolhida como base teórica da nossa Unidade de Aprendizagem.
Destacamos do livro a descrição da função trigonométrica: "(...) essas funções são periódicas, isto é, depois de um certo ponto os seus gráficos se repetem. Esse fenômeno repetitivo não é exibido por qualquer uma das funções que consideramos até agora. No entanto, vários fenômenos naturais são repetitivos ou cíclicos."
Boa leitura.​​​​​​​
Dica do Professor
A seguir, você verá um vídeo que possui como finalidade consolidar o aprendizado sobre o assunto abordado nesta Unidade.
Exercícios
Respostas enviadas em: 20/03/2022 19:44
1. 
Considerando a função f(x) = 2 + sen(x), x ϵ IR, o intervalo real que representa o conjunto imagem da função f é:
Resposta incorreta.
A. 
[-1,1].
Como o sen(x) assume dois valores: -1, 1, logo:
f(x) = 2 + sen(x) = 2 + (-1) = 2 - 1 = 1
f(x) = 2 + sen(x) = 2 + (1) = 2 + 1 = 3
Imagem: [1,3]
Você acertou.
B. 
[1,3].
Como o sen(x) assume dois valores: -1, 1, logo:
f(x) = 2 + sen(x) = 2 + (-1) = 2 - 1 = 1
f(x) = 2 + sen(x) = 2 + (1) = 2 + 1 = 3
Imagem: [1,3]
Resposta incorreta.
C. 
[-3,3].
Como o sen(x) assume dois valores: -1, 1, logo:
f(x) = 2 + sen(x) = 2 + (-1) = 2 - 1 = 1
f(x) = 2 + sen(x) = 2 + (1) = 2 + 1 = 3
Imagem: [1,3]
Resposta incorreta.
D. 
[0,3].
Como o sen(x) assume dois valores: -1, 1, logo:
f(x) = 2 + sen(x) = 2 + (-1) = 2 - 1 = 1
f(x) = 2 + sen(x) = 2 + (1) = 2 + 1 = 3
Imagem: [1,3]
Resposta incorreta.
E. 
[2,3].
Como o sen(x) assume dois valores: -1, 1, logo:
f(x) = 2 + sen(x) = 2 + (-1) = 2 - 1 = 1
f(x) = 2 + sen(x) = 2 + (1) = 2 + 1 = 3
Imagem: [1,3]
2. 
Encontre, com x real, o menor valor de f(x) = 1/(2 - cos x).
Resposta incorreta.
A. 
1/2.
Sabemos que cos x pode assumir no mínimo (-1) e no máximo (+1). Portanto:
Se cos x = -1, então:
1/(2 - (-1)) = 1/(2 + 1) = 1/3
Se cos x = +1, então:
1/(2 - (+1)) = 1/(2 - 1) = 1
O menor valor de f(x) = 1/(2 - cos x) será 1/3.
Você acertou!
B. 
1/3.
Sabemos que cos x pode assumir no mínimo (-1) e no máximo (+1). Portanto:
Se cos x = -1, então:
1/(2 - (-1)) = 1/(2 + 1) = 1/3
Se cos x = +1, então:
1/(2 - (+1)) = 1/(2 - 1) = 1
O menor valor de f(x) = 1/(2 - cos x) será 1/3.
Resposta incorreta.
C. 
1.
Sabemos que cos x pode assumir no mínimo (-1) e no máximo (+1). Portanto:
Se cos x = -1, então:
1/(2 - (-1)) = 1/(2 + 1) = 1/3
Se cos x = +1, então:
1/(2 - (+1)) = 1/(2 - 1) = 1
O menor valor de f(x) = 1/(2 - cos x) será 1/3.
Resposta incorreta.
D. 
-1.
Sabemos que cos x pode assumir no mínimo (-1) e no máximo (+1). Portanto:
Se cos x = -1, então:
1/(2 - (-1)) = 1/(2 + 1) = 1/3
Se cos x = +1, então:
1/(2 - (+1)) = 1/(2 - 1) = 1
O menor valor de f(x) = 1/(2 - cos x) será 1/3.
Resposta incorreta.
E. 
-3.
Sabemos que cos x pode assumir no mínimo (-1) e no máximo (+1). Portanto:
Se cos x = -1, então:
1/(2 - (-1)) = 1/(2 + 1) = 1/3
Se cos x = +1, então:
1/(2 - (+1)) = 1/(2 - 1) = 1
O menor valor de f(x) = 1/(2 - cos x) será 1/3.
3. 
Determine o valor máximo da função y = 8 + 5 cos 10x.
Resposta incorreta.
A. 
5.
O valor máximo da função é encontrado quando o fator cos10x é máximo, ou seja, quando cos 10x = 1.
Sendo y = 8 + 5 cos 10x e substituindo cos 10x por 1, logo, o valor máximo da função será:
y = 8+ 5 .1 = 13.
Resposta incorreta.
B. 
8.
O valor máximo da função é encontrado quando o fator cos 10x é máximo, ou seja, quando cos 10x = 1.
Sendo y = 8 + 5 cos 10x e substituindo cos 10x por 1, logo, o valor máximo da função será:
y = 8+ 5 .1 = 13.
Resposta incorreta.
C. 
-13.
O valor máximo da função é encontrado quando o fator cos 10x é máximo, ou seja, quando cos 10x = 1.
Sendo y = 8 + 5 cos 10x e substituindo cos 10x por 1, logo, o valor máximo da função será:
y = 8+ 5 .1 = 13.
Você acertou!
D. 
13.
O valor máximo da função é encontrado quando o fator cos 10x é máximo, ou seja, quando cos 10x = 1.
Sendo y = 8 + 5 cos 10x e substituindo cos 10x por 1, logo, o valor máximo da função será:
y = 8+ 5 .1 = 13.
Resposta incorreta.
E. 
40.
O valor máximo da função é encontrado quando o fator cos 10x é máximo, ou seja, quando cos 10x = 1.
Sendo y = 8 + 5 cos 10x e substituindo cos 10x por 1, logo, o valor máximo da função será:
y = 8+ 5 .1 = 13.
4. 
Encontre os valores de a para que se tenha simultaneamente sen x = a +1 e cos x = a.
Resposta incorreta.
A. 
a = 0, a = 1.
1. Sabe-se pela relação trigonométrica fundamental que:
sen² x + cos² x = 1.
Substituindo, temos que:
(a + 1)² + (a)² = 1.
2. Desenvolvendo o produto notável (a + 1)², tem-se:
a² + 2.a.1 + (1)² = a² + 2a + 1
3. Retomando a relação fundamental (a + 1)² + (a)² = 1, logo:
a² + 2a + 1 + a² = 1
a² + 2a + 1 + a² - 1 = 0
2a² + 2a = 0
2a(a + 1) = 0
4. Separando os fatores e igualando a zero, tem-se:
2a = 0
a = 0
e
a + 1 = 0
a = -1
Resposta incorreta.
B. 
a = 1, a = -1.
1. Sabe-se pela relação trigonométrica fundamental que:
sen² x + cos² x = 1.
Substituindo, temos que:
(a + 1)² + (a)² = 1.
2. Desenvolvendo o produto notável (a + 1)², tem-se:
a² + 2.a.1 + (1)² = a² + 2a + 1
3. Retomando a relação fundamental (a + 1)² + (a)² = 1, logo:
a² + 2a + 1 + a² = 1
a² + 2a + 1 + a² - 1 = 0
2a² + 2a = 0
2a(a + 1) = 0
4. Separando os fatores e igualando a zero, tem-se:
2a = 0
a = 0
e
a + 1 = 0
a = -1
Resposta incorreta.
C. 
a = 0, a = -2.
1. Sabe-se pela relação trigonométrica fundamental que:
sen² x + cos² x = 1.
Substituindo, temos que:
(a + 1)² + (a)² = 1.
2. Desenvolvendo o produto notável (a + 1)², tem-se:
a² + 2.a.1 + (1)² = a² + 2a + 1
3. Retomando a relação fundamental (a + 1)² + (a)² = 1, logo:
a² + 2a + 1 + a² = 1
a² + 2a + 1 + a² - 1 = 0
2a² + 2a = 0
2a(a + 1) = 0
4. Separando os fatores e igualando a zero, tem-se:
2a = 0
a = 0
e
a + 1 = 0
a = -1
Você acertou!
D. 
a = 0, a = -1.
1. Sabe-se pela relação trigonométrica fundamental que:
sen² x + cos² x = 1.
Substituindo, temos que:
(a + 1)² + (a)² = 1.
2. Desenvolvendo o produto notável (a + 1)², tem-se:
a² + 2.a.1 + (1)² = a² + 2a + 1
3. Retomando a relação fundamental (a + 1)² + (a)² = 1, logo:
a² + 2a + 1 + a² = 1
a² + 2a + 1 + a² - 1 = 0
2a² + 2a = 0
2a(a + 1) = 0
4. Separando os fatores e igualando a zero, tem-se:
2a = 0
a = 0
e
a + 1 = 0
a = -1
Resposta incorreta.
E. 
a = 1, a = -2.
1. Sabe-se pela relação trigonométrica fundamental que:
sen² x + cos² x = 1.
Substituindo, temos que:
(a + 1)² + (a)² = 1.
2. Desenvolvendo o produto notável (a + 1)², tem-se:
a² + 2.a.1 + (1)² = a² + 2a + 1
3. Retomando a relação fundamental (a + 1)² + (a)² = 1, logo:
a² + 2a + 1 + a² = 1
a² + 2a + 1 + a² - 1 = 0
2a² + 2a = 0
2a(a + 1) = 0
4. Separando os fatores e igualando a zero, tem-se:
2a = 0
a = 0
e
a + 1 = 0
a = -1
5. 
As funções seno e cosseno são exemplos de funções trigonométricas que estão presentes em variadas situações, como cálculo de distâncias, estudo de fenômenos periódicos como as marés, frequência cardíaca, variação da temperatura em determinado local, entre outros. Conhecer suas características e saber lidar com essas funções é fundamental para o processo de resolução de problemas aplicados. Sendo assim, marque a alternativa que expressa corretamente uma característica dessas funções.
Resposta incorreta.
A. 
Um número real t pode representar mais de um ponto ( cos t, sen t ) no ciclo trigonométrico.
Um número t representa um único ponto ( cos t, sen t ) no ciclo trigonométrico, caso contrário, seno e cosseno não seriam funções.
Resposta incorreta.
B. 
Considere um ângulo de t radianos. Quando 0 < t < ( π/ 2 ), os valores de sen t e cos t podem ser expressos como a razão entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, onde sen t = (cateto adjacente ) / hipotenusa  e cos t = (cateto oposto ) / hipotenusa.
Quando 0 < t < ( π/ 2 ), os valores de sen t e cos t podem ser expressos como a razão entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, onde sen t = (cateto oposto )/hipotenusa e cos t = (cateto adjacente)/hipotenusa.
Resposta incorreta.
C. 
Quando o ângulo t varia entre π e 3π/2 radianos, o valor de sen t é positivo e cos t é negativo.
Quando o ângulo t varia entre π e 3π/2  valores tanto de sen t quanto de cos t são negativos.
Você acertou!
D. 
Se conhecermos o valor de cos t, então podemos encontrar o valor de sen t.
Utilizando a relação trigonométrica sen2t + cos2t = 1 e sabendo que um número t representa um único ponto ( cos t, sen t ) no ciclo trigonométrico, conhecendo o valor de cos t é possível encontrar o valor de sen t e vice versa.
Resposta incorreta.
E. 
As funções seno e cosseno são funções periódicas, sendo que o período da função seno é 2π e o período da função cosseno é π.
As funções seno e cosseno são funções periódicas e ambas possuem período igual a 2π.
3.2 RadiciaçãoFerramenta externa
Radiciação
Apresentação
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos a radiciação por meio de sua definição, suas regras e propriedades. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
· Identificar um radical e seus elementos.
· Aplicar as propriedades da radiciação.
· Realizar operações e simplificações com radicais.
Desafio
Para resolver este desafio, você precisará aplicar as regras da radiciação. Vamos ao desafio!
No Brasil, a cada 100 funcionários, a empresa deve contratar um funcionário com necessidades especiais. Tal relação foi implantada pelo governo brasileiro com intuito de reduzir o desemprego nessa classe populacional. 
Mas, pesquisas recentes do IBGE apontaram que ainda há elevado desemprego para pessoas com necessidades especiais. Então, o ministro do trabalho sugeriu uma nova relação para decidir a quantidade obrigatória de contratação, dada a partir da equação abaixo, considerando que F é a quantidade obrigatória, n é o número total de funcionários e t é tempo de existência da empresa.
F = (nt)0,2
​​​​​​​F = quantidade obrigatória de contratação de pessoas com deficiência. 
n = número de funcionários. 
t = tempo de existência da empresa.
Encontre, a partir da nova equação, a quantidade obrigatória para empresas com 50, 100 e 200 funcionários com 10, 20 e 30 anos cada uma e compare com a regra atual de contratação. Decida se tal proposta deveria ser aceita, considerando o objetivo de empregar mais pessoas com deficiência.​​​​​​​
Escreva sua resposta no campo abaixo:
​ Sua resposta
F= 50x10 elevado a 0,2= 3.47 PCD F= 100x20 elevado a 0,2= 4,57 PCD F= 200X30 elevado a 0,2= 5,70 PCD A proposta da equação do ministro do trabalho inclui a variável t (tempo de empresa) no cálculo da quantidade obrigatória de contratação de pessoas com deficiência. Considerando as respostas da tabela acima, haveria aumento de contratação dessa classe de funcionários se compararmos com a proposta atual de que a cada 100 funcionários, um deve ter alguma deficiência. Logo, a sugestão do Ministério do Trabalho é válida para reduzir o desemprego desses trabalhadores.
Infográfico
O infográfico apresenta a definição de raiz enésima com n par e ímpar, e as regras para radicais.
Conteúdo do Livro
Um processo intimamente relacionado com o de elevar um número a potências é o de extrair raízes.
Acompanhe trechos extraídos do livro Matemática Aplicada: Administração, Economia e CiênciasSociais e Biológicas, de Harshbarger e Reynolds. Esta obra foi escolhida como base teórica da nossa Unidade de Aprendizagem.
Boa leitura.
Exercícios
Respostas enviadas em: 20/03/2022 20:08
1. 
Marque a opção em que a expressão não é número real:
Resposta incorreta.
A. 
Somente as raízes pares de números negativos não são números reais.
Você acertou!
B. 
Somente as raízes pares de números negativos não são números reais.
Resposta incorreta.
C. 
Somente as raízes pares de números negativos não são números reais.
Resposta incorreta.
D. 
Somente as raízes pares de números negativos não são números reais.
Resposta incorreta.
E. 
Somente as raízes pares de números negativos não são números reais.
2. 
 A resposta correta para a expressão 82⁄3 é:
Resposta incorreta.
A. 
2.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
B. 
-2.
​​​​​​​
Você acertou!
C. 
4.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
D. 
-4.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
E. 
3.
​​​​​​​
3. 
A resposta correta para a expressão (-8)(2⁄3) é:
Resposta incorreta.
A. 
2.
Resposta incorreta.
B. 
-2.
​​​​​​​
Você acertou!
C. 
4.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
D. 
-4.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
E. 
3.
​​​​​​​​​​​​​​
4. 
A simplificação de ​​​​​​​  é:
Resposta incorreta.
A. 
1.
Deve-se dividir 7 (expoente da base x) pelo radical 7 = 7/7 = 1. Logo, a resposta é x.
Resposta incorreta.
B. 
7.
Deve-se dividir 7 (expoente da base x) pelo radical 7 = 7/7 = 1. Logo, a resposta é x.
Resposta incorreta.
C. 
0.
Deve-se dividir 7 (expoente da base x) pelo radical 7 = 7/7 = 1. Logo, a resposta é x.
Você acertou!
D. 
x.
Deve-se dividir 7 (expoente da base x) pelo radical 7 = 7/7 = 1. Logo, a resposta é x.
Resposta incorreta.
E. 
x2.
Deve-se dividir 7 (expoente da base x) pelo radical 7 = 7/7 = 1. Logo, a resposta é x.
5. 
Assinale a alternativa correspondente à simplificação de:
​​​​​​​
Resposta incorreta.
A. 
x2+1.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
B. 
x3+1.
​​​​​​​
Você acertou!
C. 
(x2+1)2.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
D. 
x+2.
​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​
Resposta incorreta.
E. 
(x2-1)2.
​​​​​​​
Aula 4
4.1 Produtos notáveisFerramenta externa
Produtos notáveis
Apresentação
Nesta Unidade de Aprendizagem, estudaremos os produtos notáveis por meio de suas operações, propriedades e exemplos.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
· Identificar os tipos de produtos notáveis.
· Usar as regras de produtos notáveis.
· Realizar operações e simplificações de polinômios.
Desafio
Marina acabou de comprar um apartamento novo e como adora receber visitas, deseja comprar uma mesa quadrada de oito lugares.
Antes de comprá-la, Marina buscou ajuda de uma arquiteta para saber qual modelo e tamanho seria o ideal para sua sala de jantar. Considerando que o cômodo é quadrado, tem x metros e que a mesa, para que todos possam circular livremente, precisa ficar 30 cm afastada de cada parede, encontre:
a) A equação para a área da sala.
b) A equação do produto notável que representa a superfície que a mesa ocupará na sala.
Sua resposta
a) Como a sala tem x metros e é quadrada, logo sua área será calculada por: x . x = x². b) A mesa deve ficar afastada 30 cm de cada parede, logo: 30 cm = 0,3 m. Então, a mesa precisa ficar afastada 0,3 m de cada lateral. O comprimento de cada lateral é: (x - 0,6). Portanto, a mesa quadrada ocupará a área de: (x - 0,6) (x - 0,6) = (x - 0,6)².
Infográfico
O infográfico a seguir apresenta os tipos de produtos notáveis. Veja!
Conteúdo do Livro
As multiplicações que devemos fazer frequentemente envolvem binômios. Sendo assim, é bom relembrar alguns produtos especiais. Acompanhe o conteúdo a partir do tópico Produto de dois polinômios extraído do livro Matemática Aplicada: Administração, Economia e Ciências Sociais e Biológicas, de Harshbarger e Reynolds. Essa obra foi escolhida como base teórica da nossa unidade.
Dica do Professor
A seguir você irá assistir um vídeo que trata dos produtos notáveis.
Exercícios
Respostas enviadas em: 20/03/2022 23:49
1. 
Utilizando as regras dos produtos notáveis, calcule (x + 3y)²:
Resposta incorreta.
A. 
x² + 3yx + 6y
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Logo:
(x + 3y)²
= x² + 2.x.(3y) + (3y)²
= x² + 6xy + 9y²
Resposta incorreta.
B. 
2x + 6xy + 6y²
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Logo:
(x + 3y)²
= x² + 2.x.(3y) + (3y)²
= x² + 6xy + 9y²
Você acertou!
C. 
x² + 6xy + 9y²
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Logo:
(x + 3y)²
= x² + 2.x.(3y) + (3y)²
= x² + 6xy + 9y²
Resposta incorreta.
D. 
x² - 6xy + 9y²
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Logo:
(x + 3y)²
= x² + 2.x.(3y) + (3y)²
= x² + 6xy + 9y²
Resposta incorreta.
E. 
x² - 3xy - 9y²
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Logo:
(x + 3y)²
= x² + 2.x.(3y) + (3y)²
= x² + 6xy + 9y²
2. 
Utilizando as regras dos produtos notáveis, calcule (7x – 4)²:
Resposta incorreta.
A. 
49x² + 28x + 16.
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Logo:
(7x – 4)²
= (7x)² – 2.(7x).4 + 4²
= 49x² – 56x + 16
Resposta incorreta.
B. 
49x² – 28x + 16.
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Logo:
(7x – 4)²
= (7x)² – 2.(7x).4 + 4²
= 49x² – 56x + 16
Resposta incorreta.
C. 
49x² – 56x - 16.
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Logo:
(7x – 4)²
= (7x)² – 2.(7x).4 + 4²
= 49x² – 56x + 16
Resposta incorreta.
D. 
49x² + 56x + 16.
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Logo:
(7x – 4)²
= (7x)² – 2.(7x).4 + 4²
= 49x² – 56x + 16
Você acertou!
E. 
49x² – 56x + 16.
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Logo:
(7x – 4)²
= (7x)² – 2.(7x).4 + 4²
= 49x² – 56x + 16
3. 
Utilizando as regras dos produtos notáveis, calcule (2a + x) . (2a – x):
Você acertou!
A. 
4a² – x².
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. Logo:
(2a + x) . (2a – x)
= (2a)² – (x)²
= 4a² – x²
Resposta incorreta.
B. 
4a² + x².
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. Logo:
(2a + x) . (2a – x)
= (2a)² – (x)²
= 4a² – x²
Resposta incorreta.
C. 
2a² – 2x².
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. Logo:
(2a + x) . (2a – x)
= (2a)² – (x)²
= 4a² – x²
Resposta incorreta.
D. 
2a² + x².
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. Logo:
(2a + x) . (2a – x)
= (2a)² – (x)²
= 4a² – x²
Resposta incorreta.
E. 
2a² – x².
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. Logo:
(2a + x) . (2a – x)
= (2a)² – (x)²
= 4a² – x²
4. 
Utilizando as regras dos produtos notáveis, calcule (x + 3)³:
Resposta incorreta.
A. 
x³ - 9x² + 27x - 27.
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, mais o cubodo segundo. Logo:
(x + 3)³
= x³ + 3(x²)(3) + 3(x)(3)² + (3³)
= x³ + 9x² + 27x + 27
Voce acertou.
B. 
x³ + 9x² + 27x + 27.
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo. Logo:
(x + 3)³
= x³ + 3(x²)(3) + 3(x)(3)² + (3³)
= x³ + 9x² + 27x + 27
Resposta incorreta.
C. 
x³ + 3x² + 3x + 27.
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo. Logo:
(x + 3)³
= x³ + 3(x²)(3) + 3(x)(3)² + (3³)
= x³ + 9x² + 27x + 27
Resposta incorreta.
D. 
x³ - 3x² + 3x - 27.
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo. Logo:
(x + 3)³
= x³ + 3(x²)(3) + 3(x)(3)² + (3³)
= x³ + 9x² + 27x + 27
Resposta incorreta.
E. 
x³ + 3x² + 3x + 9.
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo. Logo:
(x + 3)³
= x³ + 3(x²)(3) + 3(x)(3)² + (3³)
= x³ + 9x² + 27x + 27
5. 
Utilizando as regras dos produtos notáveis, calcule (x - 3)³:
Resposta incorreta.
A. 
-x³ + 9x² + 27x - 27.
O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo. Logo:
(x - 3)³
= x³ - 3(x²)(3) + 3(x)(3)² - (3³)
= x³ - 9x² + 27x - 27
Resposta incorreta.
B. 
-x³ - 9x² + 27x - 27.
O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo. Logo:
(x - 3)³
= x³ - 3(x²)(3) + 3(x)(3)² - (3³)
= x³ - 9x² + 27x - 27
Resposta incorreta.
C. 
x³ + 9x² + 27x + 27.
O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo. Logo:
(x - 3)³
= x³ - 3(x²)(3) + 3(x)(3)² - (3³)
= x³ - 9x² + 27x - 27
Você acertou!
D. 
x³ - 9x² + 27x - 27.
O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo. Logo:
(x - 3)³
= x³ - 3(x²)(3) + 3(x)(3)² - (3³)
= x³ - 9x² + 27x - 27
Resposta incorreta.
E. 
x³ - 9x² + 27x + 27.
O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo. Logo:
(x - 3)³
= x³ - 3(x²)(3) + 3(x)(3)² - (3³)
= x³ - 9x² + 27x - 27
4.2 Fatorações algébricasFerramenta externa
Fatorações algébricas
Apresentação
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos as fatorações algébricas por meio de suas operações, propriedades e exemplos.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
· Definir a propriedade distributiva.
· Demonstrar a fatoração de monômios em um polinômio.
· Usar as regras de fatoração de um trinômio.
Desafio
Um gerente de produção recebeu um relatório que define a equação x2y - 2xy2 como forma para se obter o custo da produção do produto A.
Sabendo que xy é igual a 15, e que o segundo termo após a fatoração é igual a 20, solicita-se:
a) Fatorar a equação inicial.
b) Definir o segundo termo após a fatoração.
c) Substituir pelos dados conhecidos para encontrar o valor total do custo para que se possa produzir A.
Escreva sua resposta no campo abaixo:
​Sua resposta
a) Fatorando x²y - 2xy², reconhecemos que xy está presente nos dois termos da equação, logo, a fatoração de x²y - 2xy² é xy (x - 2y). b) Se o primeiro termo é xy, logo, o segundo termo após a fatoração é (x - 2y). c) Substituindo os dois termos isolados pelos valores dados, temos: xy = 15 (x - 2y) = 20 xy(x - 2y) = 15 . 20 = 300 (custo de produção de A).
Infográfico
Verifique o passo a passo da fatoração de um trinômio por meio de um exemplo.
Conteúdo do Livro
Para aprender um pouco mais sobre a fatoração, acompanhe os trechos extraídos do livro Matemática Aplicada: Administração, Economia e Ciências Sociais e Biológicas, de Harshbarger e Reynolds. A referida obra foi escolhida como base teórica da nossa Unidade de Aprendizagem.
Boa leitura.
Dica do Professor
A seguir, você irá assistir um vídeo que contém os assuntos abordados nesta unidade.
Exercícios
Respostas enviadas em: 21/03/2022 22:47
1. 
Fatore a expressão 8x3– 12x:
Resposta incorreta.
A. 
4(2x3 - 3x).
Solução: 8x3 – 12x = 4x(2x2 – 3) O 4x é o fator monômio comum da expressão.
Você acertou!
B. 
4x(2x2 - 3).
Solução: 8x3 – 12x = 4x(2x2 – 3) O 4x é o fator monômio comum da expressão.
Resposta incorreta.
C. 
x(8x2 - 12).
Solução: 8x3 – 12x = 4x(2x2 – 3) O 4x é o fator monômio comum da expressão.
Resposta incorreta.
D. 
4x(2x2 + 3).
Solução: 8x3 – 12x = 4x(2x2 – 3) O 4x é o fator monômio comum da expressão.
Resposta incorreta.
E. 
x(8x2 + 12).
Solução: 8x3 – 12x = 4x(2x2 – 3) O 4x é o fator monômio comum da expressão.
2. 
Fatore a expressão 3x(x2 + 5) – 5(x2+ 5):
Resposta incorreta.
A. 
(x2 + 5).
3x(x2+ 5) – 5(x2+ 5) = (x2 + 5)(3x - 5).
​​​​​​​A fatoração por agrupamento é feita de forma que os fatores comuns (frequentemente fatores binômios) possam ser removidos.
Resposta incorreta.
B. 
(x2 + 5)(3 - 5).
3x(x2+ 5) – 5(x2+ 5) = (x2 + 5)(3x - 5).
​​​​​​​A fatoração por agrupamento é feita de forma que os fatores comuns (frequentemente fatores binômios) possam ser removidos.
Resposta incorreta.
C. 
(x2 + 5)(3x + 5).
3x(x2+ 5) – 5(x2+ 5) = (x2 + 5)(3x - 5).
​​​​​​​A fatoração por agrupamento é feita de forma que os fatores comuns (frequentemente fatores binômios) possam ser removidos.
Você acertou!
D. 
(x2 + 5)(3x - 5).
3x(x2+ 5) – 5(x2+ 5) = (x2 + 5)(3x - 5).
​​​​​​​A fatoração por agrupamento é feita de forma que os fatores comuns (frequentemente fatores binômios) possam ser removidos.
Resposta incorreta.
E. 
(x2 -3x)(x2 - 5).
3x(x2+ 5) – 5(x2+ 5) = (x2 + 5)(3x - 5).
​​​​​​​A fatoração por agrupamento é feita de forma que os fatores comuns (frequentemente fatores binômios) possam ser removidos.
3. 
Considerando a expressão 4x2 + 9, é correto dizer que:
Resposta incorreta.
A. 
4x2 + 9 pode ser fatorada em (2x + 3)2.
A expressão 4x2 + 9 não pode ser fatorada. De fato, somas de quadrados não podem ser fatoradas.
Resposta incorreta.
B. 
4x2 + 9 pode ser fatorada em (2x - 3)2.
A expressão 4x2 + 9 não pode ser fatorada. De fato, somas de quadrados não podem ser fatoradas.
Resposta incorreta.
C. 
4x2 + 9 pode ser fatorada em (2x + 3)(2x - 3).
A expressão 4x2 + 9 não pode ser fatorada. De fato, somas de quadrados não podem ser fatoradas.
Você acertou!
D. 
A expressão 4x2 + 9 não pode ser fatorada.
A expressão 4x2 + 9 não pode ser fatorada. De fato, somas de quadrados não podem ser fatoradas.
Resposta incorreta.
E. 
4x2 + 9 pode ser fatorada em (x + 3)(x - 3).
A expressão 4x2 + 9 não pode ser fatorada. De fato, somas de quadrados não podem ser fatoradas.
4. 
Considerando a expressão x2– x + 12, é correto dizer que:
Resposta incorreta.
A. 
Fatorar x2– x + 12 é (x – 4)(x + 3).
A equação x2 – x + 12 não pode ser fatorada. Não podemos encontrar dois números cujo produto é +12 e cuja soma é –1.
Resposta incorreta.
B. 
Fatorar x2– x + 12 é (x + 4)(x + 3).
A equação x2 – x + 12 não pode ser fatorada. Não podemos encontrar dois números cujo produto é +12 e cuja soma é –1.
Resposta incorreta.
C. 
Fatorar x2– x + 12 é (x - 4)(x - 3).
A equação x2 – x + 12 não pode ser fatorada.Não podemos encontrar dois números cujo produto é +12 e cuja soma é –1.
Você acertou!
D. 
Não é possível fatorar x2– x + 12.
A equação x2 – x + 12 não pode ser fatorada. Não podemos encontrar dois números cujo produto é +12 e cuja soma é –1.
Resposta incorreta.
E. 
Fatorar x2– x + 12 é (x + 6)(x - 3).
A equação x2 – x + 12 não pode ser fatorada. Não podemos encontrar dois números cujo produto é +12 e cuja soma é –1.
5. 
Fatore completamente a equação 16x2 – 64y2:
Resposta incorreta.
A. 
(4x + 8y)(4x – 8y).
16x2 – 64y2 = 16(x2 – 4y2) = 16(x + 2y)(x – 2y)
Fatorar imediatamente a diferença dos dois quadrados nos daria (4x + 8y)(4x – 8y), o que não está completamente fatorado, porque podemos ainda fatorar 4 de 4x + 8y e 4 de 4x – 8y.
Resposta incorreta.
B. 
(4x - 8y)(4x – 8y).
16x2 – 64y2 = 16(x2 – 4y2) = 16(x + 2y)(x – 2y)
Fatorar imediatamente a diferença dos dois quadrados nos daria (4x + 8y)(4x – 8y), o que não está completamente fatorado, porque podemos ainda fatorar 4 de 4x + 8y e 4 de 4x – 8y.
Resposta incorreta.
C. 
(4x + 8y)(4x + 8y).
16x2 – 64y2 = 16(x2 – 4y2) = 16(x + 2y)(x – 2y)
Fatorar imediatamente a diferença dos dois quadrados nos daria (4x + 8y)(4x – 8y), o que não está completamente fatorado, porque podemos ainda fatorar 4 de 4x + 8y e 4 de 4x – 8y.
Você acertou!
D. 
16(x + 2y)(x – 2y).
16x2 – 64y2 = 16(x2 – 4y2) = 16(x + 2y)(x – 2y)
Fatorar imediatamente a diferença dos dois quadrados nos daria (4x + 8y)(4x – 8y), o que não está completamente fatorado, porque podemos ainda fatorar 4 de 4x + 8y e 4 de 4x – 8y.
Resposta incorreta.
E. 
16(x + 2y)2.
16x2 – 64y2 = 16(x2 – 4y2) = 16(x + 2y)(x – 2y)
Fatorar imediatamente a diferença dos dois quadrados nos daria (4x + 8y)(4x – 8y), o que não está completamente fatorado, porque podemos ainda fatorar 4 de 4x + 8y e 4 de 4x – 8y.
Aula 5
5.1 PolinômiosFerramenta externa
Polinômios
Apresentação
Ao resolvermos problemas aplicados, é comum necessitarmos de um tratamento algébrico para a situação, principalmente quando lidamos com valores desconhecidos. Nesse contexto, o uso de expressões polinomiais ou até mesmo de funções polinomiais é muito útil. Podemos tomar como exemplo o caso de desejarmos saber as dimensões de uma caixa de água em formato cúbico, conhecendo o valor de seu volume.
Caso estejamos lidando com uma única variável x, um polinômio é toda a expressão algébrica do tipo p(x)= anxn +an-1xn-1+...+a1x+a0, onde os an são números reais chamados coeficientes, n é um número inteiro positivo ou nulo e o maior expoente de x com coeficiente não nulo é denominado o grau do polinômio.
Nesta unidade de aprendizagem, vamos definir polinômios com uma ou mais variáveis, identificar o seu grau, analisar suas propriedades e efetuar operações de adição, subtração, multiplicação e redução de termos semelhantes.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
· Identificar um polinômio;
· Analisar as propriedades dos polinômios;
· Realizar operações e simplificações de polinômios.
Desafio
Frequentemente ao resolver situações aplicadas necessitamos escrever uma expressão algébrica que a descreva de forma clara. Neste caso, podemos fazer uso de polinômios, lembrando que um polinômio que contém dois termos é chamado binômio, com três termos é chamado trinômio e com um único termo é chamado monômio. Caso necessitemos trabalhar com uma igualdade entre duas expressões, lidaremos com equações, situação mais comum em problemas aplicados.
Imagine que você deseja investir o valor que consegue economizar do seu salário para fazer uma viagem daqui alguns meses. Você recebe mensalmente R$ 2.000,00 e suas despesas consomem 85% de sua receita. Você foi ao banco e seu gerente ofereceu duas opções de investimentos:
1. Poupança: retorno mensal de 0,5% com liquidez diária, ou seja, caso precise usar o valor aplicado, você pode sacar a qualquer momento.
2. CDB: retorno mensal de 1,2% com liquidez anual, ou seja, caso precise usar o valor aplicado, você só pode sacar, sem prejuízo dos juros adquiridos, daqui um ano.
Você tem a preocupação de não investir tudo em apenas uma das opções oferecidas, pois pode ter eventualidades no decorrer do tempo e precisar imediatamente de recurso financeiro. Então, você decidiu em investir 50% na poupança e 50% no CDB.
a. Descubra o valor mensal disponível para investimento;
b. Desenvolva a equação que apresenta o valor mensal total que você terá investido nas duas opções (juros simples);
c. Sabendo que os gastos com sua viagem ficarão em torno de R$ 4.000, defina por quanto tempo você deverá investir a parcela que sobra de seu salário nas condições atuais de que dispõe.
Escreva sua resposta no campo abaixo:
​a. Seu Salário: R$ 2.000,00
Gastos: 85% de R$ 2.000,00 = 0,85∙2000 = R$ 1.700,00
Valor mensal para investir: R$ 2.000,00 - R$ 1.700,00 = R$ 300,00
b. Equação do saldo final mensal que você tem investido, sendo o investimento de 50% em cada opção, considerando S o saldo mensal e x o tempo de aplicação em meses, tem-se:
S=(150∙rendimento mensal da poupança +150∙rendimneto mensal do CDB)x
S=(150∙0,005 +150∙0,012)x
S=302,55x
c. Como a viagem desejada custa R$ 4.000,00, este é o saldo que você precisa acumular. Logo:
S = R$ 4.000,00
Substituindo na equação, tem-se:
4.000 = 302,55x
x = 4.000/302,55
x = 13,22 meses
Infográfico
Algumas situações aplicadas que envolvem envolvendo variáveis podem ser descritas por meio de polinômios. No entanto, para lidar com essas situações de forma satisfatória precisamos saber identificar corretamente todos os termos da expressão para saber se realmente se trata de um polinômio. Acompanhe nesse infográfico como podemos identificar os elementos do polinômio: variável, coeficientes, termo independente e grau.
Conteúdo do Livro
Segundo Harshbarger (2013, p.28), "Todo produto de um número real (chamado coeficiente) por uma ou mais variáveis elevadas a alguma potência é chamado termo. A soma de um número finito de termos com potências inteiras não negativas das variáveis é denominada polinômio." (p. 28)
Acompanhe o tópico 0.5: Operações com Expressões Algébricas, do livro Matemática Aplicada: Administração, Economia e Ciências Sociais e Biológicas, de Harshbarger e Reynolds. Essa obra foi escolhida como base teórica da nossa unidade.
Boa leitura.
Dica do Professor
Expressões algébricas são frequentes em problemas matemáticos aplicados, mas nem toda a expressão algébrica envolve polinômios. Um polinômio é um tipo muito especial de expressão algébrica, com características específicas, que precisam ser identificadas para que possamos resolver o problema de maneira adequada.
Acompanhe nesse vídeo a definição de polinômio, identificação do grau, valor numérico, a raiz de um polinômio e a redução de termos semelhantes.
Exercícios
Respostas enviadas em: 22/03/2022 00:50
1. 
Ao lidarmos com expressões polinomiais frequentemente necessitamos realizar operações, como por exemplo a adição, que é realizada por meio da adição de termos semelhantes de ambos os polinômios. Assim, calcule (5xy + 5x) + (4xy - 2x) e marque a opção correta:
Resposta incorreta.
A. 
9xy - 3x.
Deve-se somar ou subtrair termos semelhantes, somando ou subtraindo os coeficientes das variáveis. Logo:
(5xy + 5x) + (4xy - 2x)
= 9xy + 3x.
Resposta incorreta.
B. 
5xy + 7x.
Deve-se somar ou subtrair termos semelhantes, somando ou subtraindo os coeficientes das variáveis. Logo:
(5xy + 5x) + (4xy - 2x)
= 9xy + 3x.
Resposta incorreta.
C. 
9xy + x + 3.
Deve-se somar ou subtrair termos semelhantes, somando ou subtraindo os coeficientes das variáveis. Logo:
(5xy + 5x) + (4xy - 2x)
= 9xy + 3x.
Você acertou!
D. 
9xy + 3x.
Deve-se somar ou subtrair termos semelhantes, somando ou subtraindo os coeficientes das variáveis. Logo:
(5xy + 5x) + (4xy - 2x)
= 9xy + 3x.
Resposta incorreta.
E. 
xy + 3x.
Deve-se somar ou subtrair termos semelhantes, somando ou subtraindo os coeficientes das variáveis. Logo:
(5xy + 5x) + (4xy - 2x)
= 9xy + 3x.
2. 
Uma das operações entredois polinômios é a subtração. Neste caso, é importante utilizar a propriedade distributiva para eliminar os parêntesis. Dessa forma, calcule (4x² - 4y + 2) - (3x² - 2y + 2) e marque a opção correta:
Resposta incorreta.
A. 
7x² - 6y + 4.
A subtração de polinômios utiliza a propriedade distributiva para eliminar os parênteses. Logo:
(4x² - 4y + 2) - (3x² - 2y + 2)
= 4x² - 4y + 2 - 3x² + 2y - 2
= x² - 2y
Resposta incorreta.
B. 
x² - 2y + 4.
A subtração de polinômios utiliza a propriedade distributiva para eliminar os parênteses. Logo:
(4x² - 4y + 2) - (3x² - 2y + 2)
= 4x² - 4y + 2 - 3x² + 2y - 2
= x² - 2y
Você acertou!
C. 
x² - 2y.
A subtração de polinômios utiliza a propriedade distributiva para eliminar os parênteses. Logo:
(4x² - 4y + 2) - (3x² - 2y + 2)
= 4x² - 4y + 2 - 3x² + 2y - 2
= x² - 2y
Resposta incorreta.
D. 
x² + 2y.
A subtração de polinômios utiliza a propriedade distributiva para eliminar os parênteses. Logo:
(4x² - 4y + 2) - (3x² - 2y + 2)
= 4x² - 4y + 2 - 3x² + 2y - 2
= x² - 2y
Resposta incorreta.
E. 
x² + 2y + 4.
A subtração de polinômios utiliza a propriedade distributiva para eliminar os parênteses. Logo:
(4x² - 4y + 2) - (3x² - 2y + 2)
= 4x² - 4y + 2 - 3x² + 2y - 2
= x² - 2y
3. 
Em situações envolvendo expressões algébricas, é importante reduzir os termos semelhantes para facilitar a resolução do problema. Assim, remova os parênteses e combine os termos semelhantes em 9x – 5x(x + 2) + 4x² .
Você acertou!
A. 
-x² - x.
Observe que sem parênteses ao redor de 9x – 5x, a multiplicação tem prioridade sobre a subtração.
9x – 5x(x + 2) + 4x²
= 9x - 5x² - 10x + 4x²
= –x² – x
Resposta incorreta.
B. 
x² + x.
Observe que sem parênteses ao redor de 9x – 5x, a multiplicação tem prioridade sobre a subtração.
9x – 5x(x + 2) + 4x²
= 9x - 5x² - 10x + 4x²
= –x² – x
Resposta incorreta.
C. 
x² - x.
Observe que sem parênteses ao redor de 9x – 5x, a multiplicação tem prioridade sobre a subtração.
9x – 5x(x + 2) + 4x²
= 9x - 5x² - 10x + 4x²
= –x² – x
Resposta incorreta.
D. 
8x² + 8x.
Observe que sem parênteses ao redor de 9x – 5x, a multiplicação tem prioridade sobre a subtração.
9x – 5x(x + 2) + 4x²
= 9x - 5x² - 10x + 4x²
= –x² – x
Resposta incorreta.
E. 
4x - 10 + 4x².
Observe que sem parênteses ao redor de 9x – 5x, a multiplicação tem prioridade sobre a subtração.
9x – 5x(x + 2) + 4x²
= 9x - 5x² - 10x + 4x²
= –x² – x
4. 
Uma das operações envolvendo polinômios é a multiplicação. Para executá-la, é necessário efetuar a multiplicação termo a termo (propriedade distributiva) e depois agrupar os termos semelhantes. Com base no exposto, calcule o produto (2x + 1) (4x² – 2x + 1) e marque a opção correta:
Resposta incorreta.
A. 
8x² - 2.
Considerando as regras de expoentes e as propriedades comutativa e associativa para multiplicação, temos:
Resposta incorreta.
B. 
8x³ - 2.
Considerando as regras de expoentes e as propriedades comutativa e associativa para multiplicação, temos:
Resposta incorreta.
C. 
x³ - 8x² + 2.
Considerando as regras de expoentes e as propriedades comutativa e associativa para multiplicação, temos:
Você acertou!
D. 
8x³ + 1.
Considerando as regras de expoentes e as propriedades comutativa e associativa para multiplicação, temos:
Resposta incorreta.
E. 
4x³ + 2x³.
Considerando as regras de expoentes e as propriedades comutativa e associativa para multiplicação, temos:
5. 
Ao lidarmos com expressões algébricas, podemos simplificá-las resolvendo as operações envolvidas e reduzindo os termos semelhantes. Assim, a simplificação de 3x² – [2x – (3x² – 2x)] é:
Resposta incorreta.
A. 
6x².
Em equações com dois ou mais símbolos de agrupamentos, inicia-se a simplificação pelo símbolo mais interno em direção ao mais externo.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
B. 
3x² - 4x.
Em equações com dois ou mais símbolos de agrupamentos, inicia-se a simplificação pelo símbolo mais interno em direção ao mais externo.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
C. 
6x² - x.
Em equações com dois ou mais símbolos de agrupamentos, inicia-se a simplificação pelo símbolo mais interno em direção ao mais externo.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
D. 
-4x.
Em equações com dois ou mais símbolos de agrupamentos, inicia-se a simplificação pelo símbolo mais interno em direção ao mais externo.
​​​​​​​
Você acertou!
E. 
6x² - 4x.
Em equações com dois ou mais símbolos de agrupamentos, inicia-se a simplificação pelo símbolo mais interno em direção ao mais externo.
​​​​​​​
Na prática
Expressões algébricas são uma ferramenta poderosa na resolução de problemas aplicados. Os polinômios estudados nessa unidade são um caso especial de expressão algébrica que pode ser útil para modelar situações aplicadas.
Veja nesse Na Prática um exemplo do uso de polinômios na modelagem das funções custo, receita e lucro de uma fábrica de doces.
5.2 Múltiplos e divisores: MDC e MMCFerramenta externa
Múltiplos e divisores: MDC e MMC
Apresentação
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos os múltiplos (mínimo múltiplo comum) e divisores (máximo divisor comum) por meio de sua definição, exemplos e aplicações. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
· Identificar as características dos números primos.
· Apontar os múltiplos e divisores de um número.
· Conceituar e calcular o mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum.
Desafio
Ana, professora de Matemática, propõe um desafio aos seus alunos. Ela tem 36 livros e 60 canetas a serem distribuídos pelo maior número de alunos, sendo que cada um, ao final, deverá ter a mesma quantidade de cada material. Defina, para Ana, o maior número possível de alunos que irão receber a mesma quantidade de livros e canetas, e quantos de cada item cada aluno receberá.
Escreva sua resposta no campo abaixo:
​Como Ana deseja encontrar o maior número possível de alunos que receberá a mesma quantidade de livros e canetas, deve-se calcular o máximo divisor comum de 36 e 60:
MDC (36, 60) = 2 . 2 . 3 = 12 alunos
E, sabendo-se agora que são 12 alunos, divide-se a quantidade de livros e canetas pelo número de 12 alunos, para saber quantos cada um ganhará. Assim:
Livros: 36 ÷ 12 = 3
Canetas: 60 ÷ 12 = 5
Portanto, Ana dividirá os 36 livros e as 60 canetas por 12 alunos, sendo que cada um ganhará três livros e cinco canetas.
Infográfico
O infográfico a seguir reforça as definições de múltiplo, divisor, mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum.
Conteúdo do Livro
O maior número inteiro que divide dois números inteiros é chamado de máximo divisor comum desses inteiros. O mínimo múltiplo comum dos números inteiros positivos a e b é o menor inteiro positivo divisível por ambos, a e b. O mínimo múltiplo comum de a e b é indicado por MMC
(a, b). Para aprofundar seus conhecimentos sobre o assunto, leia o capítulo Múltiplos e Divisores: MDC e MMC do livro Fundamentos de Matemática​​​​​​​.
Boa leitura!
Dica do Professor
Assista ao vídeo a seguir sobre MMC e MDC, com exemplos práticos.
Exercícios
Respostas enviadas em: 22/03/2022 01:16
1. 
Os números primos são muito úteis no estudo do mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum. Considerando esse tema da Matemática, a alternativa que apresenta a definição CORRETA e alguns exemplos de números primos é:
Resposta incorreta.
A. 
Todo número inteiro positivo maior que 1 que é divisível por, apenas, dois números inteiros: por 1 e por ele mesmo. Exemplos: 1, 2, 3, 5 e 7.
O número 1 não é número primo, pois somente é divisível por ele mesmo.
Você acertou!
B. 
Todo número inteiro positivo maior que 1 que é divisível por, apenas, dois números inteiros: por 1 e por ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7 e 11.
Número primo é todo número inteiro positivo maior que 1 que é divisível por, apenas, dois números inteiros: por 1 e por ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7 e 11.
Resposta incorreta.
C. 
Todo número inteiro positivo maior que 1 que é multiplicável por, apenas, dois números inteiros: por 1 e por ele mesmo. Exemplos: 1, 2, 3, 5 e 7.
O número primo é todo número inteiro positivo maior que