Resoluções das Provas de Avaliação Intercalar-16012021

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5 Prova de Matemática de 16/01/2021
5.1 Grupo I
1.(Caṕıtulo 1) Acerca dos números inteiros pertencentes ao conjunto [−2, 1
2
[∩] −
√
2, 1], po-
demos afirmar que:
(A) A sua soma é positiva. (B) A sua soma é nula.
(C) O seu produto é negativo. (D) O seu produto é nulo.
Resolução:
Considere o esquema a seguir indicado para determinar
[
−2, 1
2
[
∩
]
−
√
2, 1
]
Deste conclui que
[
−2, 1
2
[
∩
]
−
√
2, 1
]
=
]
−
√
2, 1
2
[
Os inteiros que pertencem ao intervalo interseção são −1 e 0, sendo o produto destes números
nulo.
A resposta certa é a (D).
2.(Caṕıtulo 1) O valor da expressão numérica
(
1
2
+ 2
3
)−5 × (−8
7
+ 2
)−9 ÷ (−7
6
)4
é:
(A) −1
2
(B) 1
(C) 0 (D) 36
7
Resolução:(
1
2
+ 2
3
)−5 × (−8
7
+ 2
)−9 ÷ (−7
6
)4
=
(
3
6
+ 4
6
)−5 × (−8
7
+ 14
7
)−9 ÷ (−7
6
)4
=
(
7
6
)−5 × (6
7
)−9 ÷ (7
6
)4
=
(
7
6
)−5 × (7
6
)9 ÷ (7
6
)4
=
(
7
6
)4 ÷ (7
6
)4
= 1
A resposta certa é a (B).
3.(Caṕıtulo 3) Para fugir à violência do norte de África, um homem tinha uma longa distância
a percorrer até à fronteira do seu Páıs. Sabe-se que fez metade da viagem de carro e, acabada
37
a gasolina, fez um terço da viagem de comboio. Como a fronteira ficava a 20 km da última
estação de caminho de ferro, este efetuou o restante percurso a pé.
Então, a distância total percorrida pelo homem foi:
(A) 120km (B) 60km
(C) 20km (D) 100km
Resolução: A fração que representa a distância percorrida de carro é 1
2
, a que representa
a distância percorrida de comboio é 1
3
, donde resulta que a fração que representa a distância
percorrida a pé é:
1−
(
1
2
+
1
3
)
= 1−
(
3
6
+
2
6
)
= 1− 5
6
=
1
6
Esta fração corresponde a 20 km; a distância total é então 6× 20 = 120km.
A resposta certa é a (A).
4.(Caṕıtulo 2) Qual dos seguintes polinómios é igual a (x− 2)2 − x2?
(A) −4 (B) −4x− 4
(C) 4 (D) −4x+ 4
Resolução:
(x− 2)2 − x2 = x2 − 4x+ 4− x2 = −4x+ 4
A resposta certa é a (D).
5.(Caṕıtulo 4) Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A) No 2o Quadrante, cos (α)× tg (α) > 0.
(B) No 3o Quadrante, o cosseno e o seno têm sinais diferentes.
(C) Existe um ângulo no 4o Quadrante cujo cosseno é igual a 5/2.
(D) Existe um ângulo no 1o Quadrante cuja tangente é igual a -1.
Resolução:
38
(A) No 2o Quadrante o cosseno é negativo e a tangente também; o produto é positivo.
(B) No 3o Quadrante o cosseno é negativo e o seno também e por isso têm o mesmo sinal.
(C) O cosseno não pode ser maior que 1.
(D) No 1o Quadrante a tangente é positiva.
A resposta certa é a (A).
6.(Caṕıtulo 5) Considere a função f , de domı́nio R, definida por f(x) =
{
x+ 1
6
se x ≤ 1
x+ 1
2
se x > 1
(A) 1
3
(B) 5
6
(C) 3
5
(D) 7
6
Resolução:
f(x) =
{
x+ 1
6
se x ≤ 1
x+ 1
2
se x > 1
Sendo x = 2
3
< 1⇒ f
(
2
3
)
= 2
3
+ 1
6
= 4
6
+ 1
6
= 5
6
A resposta certa é a (B).
7.(Caṕıtulo 6) Nos quatro primeiros dias úteis de uma semana um funcionário de uma loja
de eletrodomésticos atendeu 19, 15, 17 e 21 clientes e no quinto dia útil dessa semana atendeu
n clientes. Se a média do número diário de clientes atendidos por esse funcionário, nos cinco
dias úteis dessa semana foi 19, a mediana foi de:
(A) 18 (B) 20
(C) 19 (D) 21
Resolução:
19 = 19+15+17+21+n
5
⇔ 95 = n+ 72⇔ n = 23
Ordenando os valores por ordem crescente 15 17 19 21 23 conclui-se que o valor ”cen-
tral”, ou seja, a mediana é 19.
A resposta certa é a (C).
39
5.2 Grupo II
1.(Caṕıtulo 1) Considere a seguinte expressão:
A =
(
1− 1
2
)3
× 43 −
(
2
3
− 1
)12
÷
(
1
3
)14
Utilizando, sempre que posśıvel, as regras das operações com potências, mostre que:
A = −1
Resolução:
A =
(
1− 1
2
)3 × 43 − (2
3
− 1
)12 ÷ (1
3
)14
=
(
2
2
− 1
2
)3 × 43 − (2
3
− 3
3
)12 ÷ (1
3
)14
=
(
1
2
)3 × 43 − (−1
3
)12 ÷ (1
3
)14
=
(
1
2
× 4
)3 − (1
3
)12 ÷ (1
3
)14
= 23 −
(
1
3
)−2
= 23 − 32 = 8− 9 = −1
2.(Caṕıtulo 2 e 3) Determine o conjunto dos valores inteiros de x que verificam simul-
taneamente as seguintes inequações: (x− 2)2 < (x+ 1)2 ∧ 3−x
2
+ 1 > 0
Resolução:
(x− 2)2 < (x+ 1)2 ∧ 3−x
2
+ 1 > 0⇔ x2 − 4x+ 4 < x2 + 2x+ 1 ∧ 3− x+ 2 > 0
⇔ −4x+ 4 < 2x+ 1 ∧ −x > −5⇔ −6x < −3 ∧ x < 5⇔ 6x > 3 ∧ x < 5⇔ x > 3
6
∧ x < 5
⇔ x > 1
2
∧ x < 5⇔]1
2
, 5[⇒]1
2
, 5[∩Z = {1, 2, 3, 4}
3.(Caṕıtulo 3) Acerca de um terreno, com a forma retangular, que a empresa XPTO ad-
quiriu sabe-se que:
• A área do terreno é superior a 60 m2;
• O peŕımetro do terreno não é superior a 84 m;
• Um dos lados mede 6,4 m.
Justificando convenientemente, comente a afirmação: “O maior lado do terreno pode assumir
qualquer medida até 35,6 m”.
Resolução: Representando por x a medida, em m, do maior lado do retângulo, temos:
6, 4x > 60 ∧ 2× 6, 4 + 2x ≤ 84⇔ x > 60
6,4
∧ 2x ≤ 84− 12, 8⇔ x > 9, 375 ∧ 2x ≤ 71, 2
⇔ x > 9, 375 ∧ x ≤ 71,2
2
⇔ x > 9, 375 ∧ x ≤ 35, 6
Donde se conclui que a afirmação é falsa porque a medida do maior lado deve ser superior
a 9, 375 m.
40
4.(Caṕıtulo 4) Num terreno retangular, [ABCD], destinado à pastagem de animais, pretende-
se construir uma estrada delineada por dois segmentos de reta paralelos, [AC] e [EF], ao longo
dos quais se colocará uma BrickRede, de forma a impedir os animais de passarem da zona
representada pelo triângulo [ABC], para a zona representada pelo triângulo [DEF], conforme
representação na figura abaixo:
AB = 9 m
BC = 12 m
AE = 4 m
Quantos metros de BrickRede será necessário adquirir?
Resolução: Com base no teorema de Pitágoras tem-se:
AC
2
= BC
2
+BA
2 ⇔ AC2 = 122 + 92 ⇔ AC2 = 122 + 92 = 225⇒ AC =
√
225 = 15 m
Com base nos dados tem-se:
ED = BC − AE = 12− 4 = 8 m
Os triângulos [DAC] e [DEF] são semelhantes porque têm dois ângulos iguais. Assim:
ED
AD
=
EF
AC
⇔ 8
12
=
EF
15
⇔ 12× EF = 15× 8⇔ EF = 120
12
= 10 m
O comprimento da BrickRede necessário será:
AC + EF = 15 + 10 = 25 m
5.(Caṕıtulo 4) Mostre que:
−1 + [cos(x) + sen(x)]2
2 cos(x)
= sen(x)
Resolução:
−1+[cos(x)+sen(x)]2
2 cos(x) =
−1+[(cos(x))2+2sen(x) cos(x)+(sen(x))2]
2 cos(x)
=
−1+[[(cos(x))2+(sen(x))2]+2sen(x) cos(x)]
2 cos(x) =
−1+[1+2sen(x) cos(x)]
2 cos(x)
= −1+1+2sen(x) cos(x)2 cos(x) =
2sen(x) cos(x)
2 cos(x)
x 6=π2+kπ,k∈Z=
cos(x) 6=0
sen(x)
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6.(Caṕıtulo 3) O valor de uma máquina decresce com o tempo, devido ao desgaste. Su-
ponha que o valor pode ser modelado por uma função do 1o grau em função do tempo de uso
da máquina. Sabendo que há dois anos a máquina valia 20.000,00e e hoje ela vale 15.000,00e,
quanto valerá daqui a cinco anos?
Resolução:
Como o valor, v, da máquina em função do tempo, t, é modelado por uma função do 1o
grau, v(t) = at+ b, tem-se:
v (−2) = a× (−2) + b = 20000
v (0) = −2× 0 + b = 15000
⇔

−2a+ 15000 = 20000
b = 15000
⇔

−2a = 5000
b = 15000
⇔

a = −2500
b = 15000
⇒ v (t) = −2500t+ 15000
Donde resulta:
v (5) = −2500× 5 + 15000 = 2500 e
7.(Caṕıtulo 6) Num saco há 6 bolas brancas e as restantes são pretas. Sabe-se que, ao
retirar uma bola do saco, ao acaso, a probabilidade de sair branca é 2
5
. Determine o número de
bolas pretas que há no saco.
Resolução:
Representando por n o número de bolas pretas existentes no saco, tem-se:
6
6+n
= 2
5
⇔ 30 = 12 + 2n⇔ 2n = 18⇔ n = 9
8.(Caṕıtulo 1, 3 e 6) Seja k um número natural. Sabe-se que 10 é o valor exato da média
dos números 5, 7, 10, 12 e k2. Qual é o valor de k?
Resolução:
Por definição de média de uma amostra, x, tem-se:
x = 5+7+10+12+k
2
5
= 10⇔ 5 + 7 + 10 + 12 + k2 = 50
⇔ k2 = 50− 34⇔ k2 = 16⇔ k = ±4⇒ k =
k∈N
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	Prova de Matemática de 16/01/2021
	Grupo I
	Grupo II