Resoluções das Provas de Avaliação Intercalar-20022016

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14 Prova de Matemática de 20/02/2016
14.1 Grupo I
1.(Caṕıtulo 1) A soma do maior número inteiro com o menor número inteiro pertencentes ao
intervalo ]−1, 3] ∩
[
−
√
2, e
[
é:
(A) 0 (B) 2
(C) 1 (D) 3
Resolução:
De acordo com a representação apresentada conclúımos que ]−1, 3]∩
[
−
√
2, e
[
= ]−1, e[, sendo
{0, 1, 2} o conjunto dos inteiros que pertencem a este conjunto.
A soma do maior com o menor é assim 2.
A resposta certa é a (B).
2.(Caṕıtulo 3) Um avião tem 360 assentos no total, divididos entre classe económica e classe
executiva. Para cada 13 lugares em classe económica, existem 5 lugares em classe executiva.
Quantos assentos há em classe económica?
(A) 100 (B) 260
(C) 130 (D) 290
Resolução: Representando por x o número de assentos em classe económica e por y o número
de assentos em classe executiva, temos:{
x+ y = 360
x
y
= 13
5
⇔
{
x+ y = 360
5x = 13y
⇔
{
y = 360− x
5x− 13y = 0 ⇔
{
y = 360− x
5x− 13× (360− x) = 0
{
y = 360− x
18x = 4680
⇔
{
y = 360− x
x = 4680
18
= 260
⇔
{
y = 360− 260 = 100
x = 260
O número de assentos em classe económica é assim 260.
A resposta certa é a (B).
3.(Caṕıtulo 3 e 7) O conjunto solução da equação x
2−9
x−3 = 6 é:
(A) {} (B) {9}
(C) {3} (D) {−3, 3}
Resolução:
91
x2−9
x−3 = 6⇔
x2−9
x−3 − 6 = 0⇔
x2−9
x−3 −
6
1
×(x−3)
= 0⇔ x2−9−6x+18
x−3 = 0
⇔ x2−6x+9
x−3 = 0⇔
(x−3)2
x−3 = 0⇔ (x− 3)
2 = 0 ∧ x− 3 6= 0⇔ x = 3 ∧ x 6= 3
O conjunto solução é assim {}.
A resposta certa é a (A).
4.(Caṕıtulo 3) Uma florista compôs 3 ramos: um com 5 tulipas que custava 4e, outro com 4
malmequeres e 3 tulipas que custava 8e e um terceiro com 1 malmequer e 2 tulipas. Quanto
custava o terceiro ramo?
(A) 3e (B) 5e
(C) 4e (D) 6e
Resolução:
{
5x = 4
3x+ 4y = 8
⇔
{
x = 4
5
= 0, 80
3× 0, 80 + 4y = 8 ⇔
{
x = 0, 80
4y = 5, 60
⇔
{
x = 0, 80
y = 5,60
4
= 1, 40
Donde resulta que o custo do terceiro ramo é 1, 40 + 2× 0, 80 = 3 e.
A resposta certa é a (A).
5.(Caṕıtulo 2) O polinómio do terceiro grau em x , P (x) = x3 + ax + b, a, b ∈ R, admite
3 ráızes reais e distintas, sendo uma das ráızes a raiz nula. Qual das condições seguintes é
verdadeira?
(A) a > 0 (B) b > 0
(C) a < 0 (D) b < 0
Resolução: P (0) = 0⇔ 03 + a× 0 + b = 0⇔ b = 0
P (x) = x3 + ax⇔ P (x) = x (x2 + a) = 0⇔ x = 0 ∨ x2 + a = 0
para que x2 + a = 0 tenha ráızes reais terá que a < 0.
A resposta certa é por isso a (C).
6.(Caṕıtulo 4) A base e a altura do maior triângulo apresentado na figura medem, respetiva-
mente, 23 cm e 15 cm.
Podemos concluir que a medida do lado x é de:
(A) 17 cm (B) 18 cm
(C) 19 cm (D) 21 cm
Resolução:
92
Com base nesta representação temos:
tg (45◦) = 15
23−y ⇔
15
23−y = 1⇔ 23− y = 15⇔ y = 8
Donde resulta que 152 + 82 = x2 ⇔ x = 17 cm.
A resposta certa é a (A).
7.(Caṕıtulo 8) Seja A(x) =
sen(x)−2 cos(x2).sen(2x)
sen(x2). cos(x)+cos(4x)
. O valor numérico da expressão para x = π
2
é:
(A) −1 (B) 0
(C) 1 (D) 2
Resolução:
A
(
π
2
)
=
sen(π2 )−2 cos
( π
2
2
)
×sen(2×π2 )
sen
( π
2
2
)
×cos(π2 )+cos(4×
π
2 )
=
sen(π2 )−2 cos(
π
4 )×sen(π)
sen(π4 )×cos(
π
2 )+cos(2π)
=
1−2×
√
2
2 ×0√
2
2 ×0+1
= 11 = 1.
A resposta certa é a (C).
14.2 Grupo II
1.(Caṕıtulo 1) O Carlos saiu de sua casa com algum dinheiro no bolso. Sabendo que gastou
5
6
na livraria, 1eno café e quando chegou a casa tinha 9e, determine quantos euros tinha o
Carlos no bolso quando saiu de casa.
Resolução: 1e+9e=10e, representa 1
6
do dinheiro, d, que o Carlos tinha quando saiu de
casa.
Assim
1
6
10
= 1
d
⇔ 1
60
= 1
d
⇔ d = 60e
2.(Caṕıtulo 1) Calcule e simplifique o valor da seguinte expressão numérica, utilizando, sem-
pre que posśıvel, as regras operatórias das potências:
( 103 )
3
×( 23)
−3
−25
(2016÷2015)
3
×(4÷44)
.
Resolução:
( 103 )
3
×( 23)
−3
−25
(2016÷2015)
3
×(4÷44)
=
( 103 )
3
×( 32)
3
−25
(2016−15)
3
×(4−3)
=
( 10×33×2 )
3
−25
203×4−3 =
( 102 )
3
−25
203×( 14)
3
= 5
3−25
( 204 )
3 =
53−25
53 =
53
53 −
52
53 = 1−
1
5 =
5−1
5 =
4
5
93
3.(Caṕıtulo 2 e 3) Considere o polinómio P (x) = 3x2 + 4x− 4.
3.1 Mostre que x = −2 é solução da equação P (x) = 0.
Resolução:
P (−2) = 3× (−2)2 + 4× (−2)− 4 = 12− 8− 4 = 0
3.2 Calcule o valor de P (x) quando x = 2
3
.
Resolução:
P
(
2
3
)
= 3×
(
2
3
)2
+ 4×
(
2
3
)
− 4 = 3× 4
9
+ 8
3
− 4 = 4
3
+ 8
3
− 12
3
= 0
3.3 Fatorize o polinómio e resolva a equação P (x) = 0.
Resolução:
P (x) = 3
(
x− 2
3
)
(x+ 2) = (3x− 2) (x+ 2)
P (x) = 0⇔ (3x− 2) (x+ 2) = 0⇔ (3x− 2) = 0 ∨ (x+ 2) = 0⇔ x = 2
3
∨ x = −2
4.(Caṕıtulo 7) Determine o conjunto solução da seguinte inequação: x
x−1 ≥ 3x.
Resolução:
x
x−1 ≥ 3x⇔
x
x−1 − 3x ≥ 0⇔
x
x−1 −
3x
1
×(x−1)
≥ 0⇔ x−3x2+3x
x−1 ≥ 0
⇔ −3x2+4x
x−1 ≥ 0⇔
3x2−4x
x−1 ≤ 0⇔
x(3x−4)
x−1 ≤ 0
x −∞ 0 1 4
3
+∞
x− 1 − − − 0 + + +
3x− 4 − − − − − 0 +
x − 0 + + + + +
x(3x−4)
x−1 − 0 + ND − 0 +
Com base nesta tabela conclúımos que o conjunto solução é: C.S. = ]−∞, 0] ∪
]
1, 4
3
]
.
5.(Caṕıtulo 3) Num trapézio com 384 cm2 de área, sabe-se que a medida da altura é igual à
medida da base menor, e que a base maior possui o dobro da medida da altura. Determine o
comprimento da base maior e da base menor deste trapézio.
Resolução:
Atrapezio =
B+b
2 × h ⇔B=2b∧h=b
2b+b
2 × b = 384 ⇔ 3b
2 = 768⇔ b2 = 768
3
= 256 ⇔ b =
√
256 = 16
A base menor mede assim 16 cm e a base maior 32 cm.
94
6.(Caṕıtulo 7) Calcule o valor exato de sen(β) e tg(β) , sabendo que β é um ângulo agudo e
que cos(β) =
√
2
3
.
Resolução:
sen2(β) + cos2(β) = 1⇔ sen2(β) +
(√
2
3
)2
= 1⇔ sen2(β) + 2
9
= 1
⇔ sen2(β) = 79 ⇒ sen(β) =
√
7
3 ⇒ tg(β) =
sen(β)
cos(β) =
√
7
3√
2
3
=
√
7√
2
=
√
7×
√
2√
2×
√
2
=
√
14
2
7.(Caṕıtulo 3 e 4) O ângulo de elevação de um balão de ar quente, em subida vertical,
visto por um observador muda de 30 graus às 10:00 para 60 graus às 10:02.
O ponto de observação do ângulo de elevação está situado a 300 metros de distância do ponto
de onde o balão descolou. Considerando que o balão sobe a uma velocidade constante, qual é
a sua velocidade de subida? Apresente a sua resposta em metros por segundo, com resultado
arBrickRedondado a uma casa decimal.
Resolução: tg (30
◦) = h1
300
=
√
3
3
tg (60◦) = h1+h2
300
=
√
3
⇔

h1 = 100
√
3
h1 + h2 = 300
√
3
⇔

h1 = 100
√
3
h2 = 300
√
3− 100
√
3 = 200
√
3
Assim: h2 = 200
√
3⇒ velocidade =200
√
3
2×60 ' 2, 9 m/seg
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	Prova de Matemática de 20/02/2016
	Grupo I
	Grupo II