Matemática M23 06052017

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5 Prova de Matemática de 6/05/2017
5.1 Grupo I
1.(Caṕıtulo 1) Sendo A um conjunto definido por A = Z ∩
]
−2,
√
2
]
, então A pode ser
representado por:
(A) {0, 1} (B) {−1, 0}
(C) {−1, 0, 1} (D) {−2,−1, 0, 1}
Resolução:
A resposta certa é a (C) porque os números inteiros que pertencem ao intervalo de números
reais
]
−2,
√
2
]
são {−1, 0, 1}.
2.(Caṕıtulo 8) Suponha que a igualdade 8a.x
2+b.x+c = 46x
2
.29x−3, é válida para todo o
número real x, em que a, b e c são números reais. Então, o valor das constantes a, b e c são:
(A) a = 6 ∧ b = 9 ∧ c = −3 (B) a = 6 ∧ b = −9 ∧ c = 3
(C) a = 4 ∧ b = 3 ∧ c = −3 (D) a = 4 ∧ b = 3 ∧ c = −1
Resolução:
8a.x
2+b.x+c = 46x
2
.29x−3 ⇔ 23(a.x2+b.x+c) = 22×6x
2
× 29x−3
⇔ 23a.x2+3b.x+3c = 212x
2+9x−3 ⇔

3a = 12
3b = 9
3c = −3
⇔

a = 4
b = 3
c = −1
A resposta certa é a (D).
3.(Caṕıtulo 2) Na figura ao lado estão representados cinco quadrados.
Sabendo que:
• x é a medida do comprimento, em metros, do lado do quadrado
maior, [ABCD];
• y é a medida do comprimento, em metros, dos lados de todos os
quadrados menores;
• x > y;
assinale, entre as expressões seguintes, aquela que representa a área, em
metros quadrados, da região a sombreado na figura.
(A) (x− 2y)2 (B) (x− 4y)2
(C) (x− 2y)× (x+ 2y) (D) (2y − x)× (2y + x)
34
Resolução:
A área pedida é dada por: x2 − 4y2 = (x− 2y)× (x+ 2y)
A resposta certa é a (C).
4.(Caṕıtulo 3) Um casal pretende alugar um espaço para a realização do seu casamento.
O local A cobra um aluguer de 1000e pelo espaço e 50e por convidado, enquanto o local
B cobra 1900e pelo aluguer do espaço e 45e por convidado. Supondo que o casal prefere
o local B, para que este seja mais vantajoso para o casal, do ponto de vista económico, o
número mı́nimo de convidados deverá ser:
(A) 180 (B) 179
(C) 181 (D) não é posśıvel determinar uma vez que o local A é sempre mais
vantajoso do que o B.
Resolução:
A opção certa é (C) porque 1000 + 50n > 1900 + 45n⇔ 5n > 900⇔ n > 180
5.(Caṕıtulo 6) Os valores x ∈
]
0, π
2
[
que satisfazem a condição cos (x) > sen (x) são:
(A) 0 < x < π
2
(B) π
4
< x < π
2
(C) 0 < x < π
4
(D) x ∈ {}
Resolução:
A opção certa é a (C) porque, no 1o quadrante, é de 0 a π
4
que o cosseno é maior que o
seno.
6.(Caṕıtulo 3, 4 e 5) Na imagem ao lado está representada
parte do gráfico de uma função f , polinomial do 3o grau.
O conjunto solução da condição x
2
f(x)
≤ 0, pode ser dado por:
(A) ]−1, 2[ ∪ ]2,+∞[ (B) ]−∞,−1[ ∪ {2}
(C) [−1,+∞[ (D) ]−1,+∞[ \ {0}
Resolução:
x2
f(x)
≤ 0 ⇔
x2≥0
f (x) < 0⇔ ]−1, 2[ ∪ ]2,+∞[
A resposta certa é a (A)
35
7.(Caṕıtulo 3, 6, 8 e10) Considere a função real g definida no intervalo
]
π, 3
2
π
[
por
g (x) = ecos(x). Sobre o valor da sua função derivada, g′, nesse intervalo, pode afirmar-se que:
(A) é negativo (B) é positivo
(C) é não negativo (D) é não positivo
Resolução:
A oção certa é (B) porque g′ (x) = −sen (x) ecos(x) > 0⇐

x ∈
]
π, 3
2
π
[
⇒ −sen (x) > 0
ecos(x) > 0,∀x ∈ R
5.2 Grupo II
1.(Caṕıtulo 1) As promoções do tipo ”desconto da parcela
IVA”têm sido frequentes em Portugal nos últimos anos. No en-
tanto, muitos clientes sentem que tal publicidade é ”fraudulenta”,
existindo mesmo queixas apresentadas à DECO - Associação Por-
tuguesa para a Defesa do Consumidor. Considerando que a taxa
de IVA em questão é de 23%, responda às seguintes questões:
1.1 Suponha que, tendo usufrúıdo desta promoção, pagou 850e por um determinado bem.
Determine o valor inicial deste bem (preço com IVA).
Resolução:
850× 1, 23 = 1045, 5e
1.2 Calcule a percentagem de desconto, sobre o preço marcado, realizada nestas campanhas
promocionais. Apresente o resultado percentual arBrickRedondado às décimas.
Resolução:
Com base no exemplo apresentado temos: 1045, 5− 850 = 195, 5⇒ 195,5
1045,5
' 18, 7%
Para um bem de preço inicial p teremos:
p×0,23
p+p×0,23 =
p×0,23
p(1+0,23) =
0,23
1,23 ' 18, 7%
2.(Caṕıtulo 1 e 3) Escreva, se posśıvel, em extensão o conjunto
S =
{
x ∈ N : 2 (3− x) > 1− x+ 1
2
}
36
Resolução:
2 (3− x) > 1− x+1
2
⇔ 6− 2x > 1− x+1
2
⇔ 12− 4x > 2− x− 1
⇔ −4x+ x > 2− 1− 12⇔ −3x > −11⇔ x < 11
3
⇔
]
−∞, 11
3
[
]
−∞, 11
3
[
∩ N = {1, 2, 3}
3.(Caṕıtulo 1) Utilizando, sempre que posśıvel, as regras operatórias das potências, deter-
mine o valor da expressão:
[(22−28×4−4)×3−1]
−1
(23×2)2 +
2−9
(− 12)
Resolução:
[(22−28×4−4)×3−1]
−1
(23×2)2 +
2−9
(− 12)
=
[(
22−28×(22)
−4)
×3−1
]−1
(24)
2 − 2
−9
2−1
=
[(22−28×2−8)×3−1]
−1
28 − 2
−8 =
[(4−1)×3−1]
−1
28 −
1
28 =
[3×3−1]
−1
28 −
1
28 =
1
28 −
1
28 = 0
4.(Caṕıtulo 7) Mostre que, para qualquer valor de x ∈ Dtg, se verifica a condição:
2tg (x)
1 + tg2 (x)
= sen (2x)
Resolução:
2tg(x)
1+tg2(x)
=
2× sen(x)
cos(x)
1
cos2(x)
= 2sen(x)cos
2(x)
cos(x) = 2sen (x) cos (x) = sen (2x)
5.(Caṕıtulo 6) Ao montar uma tenda de campismo (ver
imagem ao lado), verificou-se que a altura dos dois ”mastros”
era de 1,2 metros. Supondo que os ”panos” laterais esticados
formam um ângulo de 30o com o solo e que a base da tenda é
quadrada (chão), determine:
5.1 A área da base da tenda (chão).
Resolução:
Representando por l o lado do quadrado, temos:
tg (30◦) = 1,2l
2
⇔
√
3
3
= 2,4
l
⇔ l = 3×2,4√
3
= 7,2√
3
⇒ Area =
(
7,2√
3
)2
= 17, 28 m2
37
5.2 O peŕımetro da cobertura da tenda (teto).
Resolução:
Representando por d a hipotenusa do triângulo retângulo temos:
d =
√(
7,2
2
√
3
)2
+ 1, 22 = 2, 4⇒ Perimetro = 4× 2, 4 + 2× 7,2√
3
' 17, 91 m.
6.(Caṕıtulo 10) Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da função real h de-
finida analiticamente por h (x) = x+2
x2+1
, no ponto de abcissa nula.
Resolução:
h′ (x) =
1×(x2+1)−(x+2)×2x
(x2+1)2
= x
2+1−2x2−4x
(x2+1)2
= −x
2−4x+1
(x2+1)2
m = h′ (0) = −0
2−4×0+1
(02+1)2
= 1
(0, h (0)) =
(
0, 0+2
02+1
)
= (0, 2)⇒ y − 2 = 1 (x− 0)⇔ y = x+ 2
7.(Caṕıtulo 10) Determine uma expressão simplificada para a função derivada da se-
guinte função: f (x) = cos3 (1− 2x)− (x+ 1) ln (3x+ 3)
Resolução:
f ′ (x) = −3× (−2) sen (1− 2x) cos2 (1− 2x)
−
[
1× ln (3x+ 3) + (x+ 1)× 3
3x+3
]
= 6sen (1− 2x) cos2 (1− 2x)−
[
ln (3x+ 3) + (x+ 1)× 3
3(x+1)
]
= 6sen (1− 2x) cos2 (1− 2x)− [ln (3x+ 3) + 1]
8.(Caṕıtulo 8 e 9) Numa experiência relativa ao estudo re-
produtivo dos gambás (marsupiais do porte de um gato), foi
colocado, no dia 1 de janeiro de 2016, meio milhar de gambás
numa reserva natural, onde não havia inicialmente qualquer
gambá. Ao fim de meio ano já existiam 800 gambás na re-
serva. Admitindo que a população de gambás, em milhares,
na reserva, segue um modelo do tipo: P (t) = 1
e−a−bt+1
, onde
a e b são parâmetros reais e t representa o número de meses
após o ińıcio da experiência:
8.1 Mostre que a = 0 e b = ln
(
3
√
2
)
.
38
Resolução:{
P (0) = 0, 5
P (6) = 0, 8
⇔
{
1
e−a−b×0+1
= 1
2
1
e−a−b×6+1
= 4
5
⇔
{
e−a + 1 = 2
e−a × e−6b + 1 = 5
4
⇔
{
e−a = 1
e−a × e−6b = 1
4
⇔
{
−a = ln (1)
1× e−6b = 1
4
⇔
{
a = 0
−6b = ln
(
1
4
)
⇔
{
a = 0
b =
ln(2−2)
−6
⇔
{
a = 0
b = −2 ln(2)−6
⇔
{
a = 0
b = ln (2)
1
3
8.2 Determine lim
t→+∞
P (t) e interprete o resultado obtido no contexto do problema.
Resolução:
lim
t→+∞
P (t) = lim
t→+∞
1
e
− ln( 3
√
2)t+1
= lim
t→+∞
1(
eln (2)
− 13
)t
+1
= lim
t→+∞
= 1(
2−
1
3
)t
+1
=
= lim
t→+∞
1(
3
√
1
2
)t
+1
=(
3
√
1
2
<1
) 10+1 = 1
O que significa que o número de gambás tende, com o passar do tempo, para 1 milhar.
9.(Caṕıtulo 2, 4, 5 e 10) Na época da apanha de cerejas em Re-
sende, pai e filho subiram a uma Cerejeira de grande porte. O pai
ficou mais acima na árvore que o filho. Num determinado momento,
o filho atirou uma cereja para o pai, mas, por falta de pontaria, a
cereja não atinge o pai e cai ao chão sem tocar em qualquer ramo.
Supondo que a distância h, em metros, da cereja em relação ao chão,
t segundos após ser lançada, é dada por h (t) = −t2+ 4t + 4, onde
t ≥ 0, determine:
9.1 A altura a que o filho se encontra do chão.
Resolução:
h (0) = −02 + 4× 0 + 4 = 4 metros
9.2 A altura máxima que a cereja atinge relativamente ao chão.
Resolução:
39
t 0 2 +∞
Sinal de h′ + 0 −
Monotonia de h ↗ Max ↘
h′ (t) = −2t+ 4 = 0⇔ t = 2⇒ hmaxima = h (2) = −22 + 4× 2 + 4 = 8 metros
ou, utilizando as coordenadas do vértice da parábola:
xV = − b2a = −
4
2×(−1) = 2⇒ yV = h (2) = −2
2 + 4× 2 + 4 = 8 metros
9.3 Quanto tempo demorou a cereja a atingir o chão, depois de ter sido lançada pelo fi-
lho. Apresente o resultado aproximado às décimas.
Resolução:
h (t) = 0⇔ −t2 + 4t+ 4 = 0⇔ t = −4±
√
16+4×4
−2 ⇔ t = −0, 8 ∨ t = 4, 8 segundos.
9.4 A velocidade, aproximada às décimas, da cereja no instante em que esta atinge o chão.
Nota: caso não tenha resolvido a aĺınea anterior, considere que a cereja atinge o chão pas-
sados 5,2 segundos.
Resolução:
h′ (t) = −2t+ 4⇒ h′ (4, 8) = −2× 4, 8 + 4 = −5, 6⇒ velocidade = 5, 6 metros/segundo.
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