Matemática M23 04052019

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3 Prova de Matemática de 4/05/2019
3.1 Grupo I
1.(Caṕıtulo 1) Quantos números inteiros pertencem ao conjunto [−π, 5[ \
{
−
√
4, 0
}
?
(A) 4 (B) 6
(C) 5 (D) 7
Resolução:
A resposta certa é a (B) porque:
[−π, 5[ \
{
−
√
4, 0
}
= [−π, 5[ \ {−2, 0}
([−π, 5[ \ {−2, 0}) ∩ Z = {−3,−1, 1, 2, 3, 4}
2.(Caṕıtulo 1 e 2) Sendo a, b e c três números reais não negativos, então a igualdade
verdadeira é:
(A) 3
√
a3 + b3 + c3 = a+ b+ c (B)
√
b+ b+ b = 3
√
b
(C)
√
a5 × b4 × c3 = a2b2c
√
a× c (D) 4
√
a4 + b× c2 = a+ 4
√
b× c2
Resolução:
√
a5 × b4 × c3 =
√
a4 × a× b4 × c2 × c =√
a4=a2∧
√
b4=b2
a2b2
√
a× c2 × c c≥0=√
c2=c
a2b2c
√
a× c
A resposta certa é a (C).
3.(Caṕıtulo 3) O conjunto S = {(−3,−2)} não é conjunto solução do sistema:
(A)
{
x− 3y = 3
−2x+ 6y = −6 (B)
{
x− 3y = 3
−2x+ y = −6
(C)
{
−2x+ y = 4
x− 1
2
y = −2 (D)
{
x− 3y = 3
y − 2x− 4 = 0
Resolução:
A resposta certa é (B) porque:
21
(A)
{
x− 3y = 3
−2x+ 6y = −6 ⇒x=−3∧y=−2
{
−3− 3× (−2) = 3
−2× (−3) + 6× (−2) = −6 ⇔
{
3 = 3
−6 = −6
(B)
{
x− 3y = 3
−2x+ y = −6 ⇒x=−3∧y=−2
{
−3− 3× (−2) = 3
−2× (−3) + (−2) = −6 ⇔
{
3 = 3
4 6= −6
(C)
{
−2x+ y = 4
x− 1
2
y = −2 ⇒x=−3∧y=−2
{
−2× (−3) + (−2) = 4
(−3)− 1
2
× (−2) = −2 ⇔
{
4 = 4
−2 = −2
(D)
{
x− 3y = 3
y − 2x− 4 = 0 ⇒x=−3∧y=−2
{
−3− 3× (−2) = 3
−2− 2× (−3)− 4 = 0 ⇔
{
3 = 3
0 = 0
4.(Caṕıtulo 7) Considerando, no triângulo [ABC], AB =
5cm, AC = 10cm e α a amplitude do ângulo BAC, a área
do triângulo pode ser dada, em função de α, por:
(A) A(α) = 25 sen(α) (B) A(α) = 25 cos(α)
(C) A(α) = 2, 5 + 10 sen(α) (D) A(α) = 10 sen(α)
Resolução:
A opção certa é (A) porque, se representarmos por h o comprimento da altura desenhada,
temos:
sen(α) = h
10
⇔ h = 10sen(α)
A(α) = base×altura
2
= 5×10sen(α)
2
= 25sen(α)
5.(Caṕıtulo 3, 4 e 5) Considere a função definida por f(x) =
{
x se x < 5
x− 5 se x ≥ 5
O conjunto dos zeros de f é:
(A) {0} (B) {5}
(C) {0, 5} (D) ∅
Resolução:
A opção certa é (C) porque f(x) = 0⇔
{
x = 0 ∧ x < 5⇔ x = 0
x− 5 = 0 ∧ x ≥ 5⇔ x = 5
6.(Caṕıtulo 8 e 10) Sendo g a função real definida por g(x) = (x2 − 7) e3−x, a expressão
anaĺıtica da derivada da função, g, pode ser dada por:
22
(A) e3−x (−x2 + 2x+ 7) (B) −2xe3−x
(C) e3−x (x2 + 2x− 7) (D) 2xe3−x
Resolução:
A opção certa é a (A) porque:
g′(x) = (x2 − 7)′e3−x + (x2 − 7) (e3−x)′ = 2xe3−x + (x2 − 7) (−1) (e3−x)
= 2xe3−x + (−x2 + 7) (e3−x) = e3−x (−x2 + 2x+ 7)
7.(Caṕıtulo 4, 5 e 10) Na figura ao lado está representada
parte do gráfico da função derivada da função real g. Qual dos
gráficos seguintes pode representar parte do gráfico da função g?
Resolução: A opção certa é a (B) de acordo com o seguinte quadro:
x −∞ a < 0 b > 0 +∞
Sinal de g′ + 0 − 0 +
Monotonia de g ↗ Max ↘ min ↗
23
3.2 Grupo II
1.(Caṕıtulo 3) Numa sala há um candeeiro (C), uma televisão (T) e um aparelho de ar
condicionado (A). O consumo do candeeiro é igual a 3/5 do consumo da televisão e o con-
sumo do aparelho de ar condicionado é dez vezes o consumo da televisão. Se o candeeiro,
a televisão e o ar condicionado forem ligados simultaneamente, o consumo total de energia
elétrica será de 1,16 kWh. Qual é o consumo, em kWh, da televisão?
Resolução:
Representando por x o consumo da televisão, temos que 3
5
x representa o consumo do can-
deeiro e 10x representa o consumo do aparelho de ar condicionado.
Assim: x+ 3
5
x+ 10x = 1, 16⇔ 5x+ 3x+ 50x = 5, 8⇔ x = 5,8
58
= 0, 1 kwh
2.(Caṕıtulo 1 e 2) Sejam a e b dois números reais positivos. Utilizando, sempre que
posśıvel, as regras operatórias das potências, mostre que:(
a−1
√
b
)3
×
(√
a3b−2
)
√
b
4
√
a−2
= a−
5
4
Resolução:
(a−1
√
b)
3
×(
√
a3b−2)√
b
4
√
a−2
=
(
a−3b
3
2
)
×
(
a
3
2 b
−2
2
)
√
b
√
a−1
=
(
a−3a
3
2
)
×
(
b
3
2 b
−2
2
)
√√
b2a−1
=
(
a−
3
2
)
×
(
b
1
2
)
4
√
b2a−1
=
(
a−
3
2
)
×
(
b
1
2
)
b
1
2 a
−1
4
= a−
3
2+
1
4 = a−
5
4
3.(Caṕıtulo 5) Cumprindo-se a tradição, num casamento a noiva atirou o bouquet ao grupo
de solteiras presentes. A trajetória do bouquet é descrita pela expressão onde h representa
a altura, h(x) = −1
5
x2 + 2
5
x+ 2 em metros, a que o bouquet está do chão e x a distância na
horizontal, em metros, até à noiva.
3.1 Determine de que altura foi lançado o bouquet.
Resolução:
h(0) = −1
5
× 02 + 2
5
× 0 + 2 = 2 metros
3.2 Determine a que distância da noiva o bouquet caiu, supondo que ninguém o apanhou.
(Apresente o resultado arBrickRedondado às centésimas)
Resolução:
h(x) = 0⇔ −1
5
x2 + 2
5
x+ 2 = 0⇔ −x2 + 2x+ 10 = 0
24
⇔ x = −2±
√
4+40
−2 ⇔x>0x = 1 +
√
11 ' 4, 32 metros
3.3 Quanto terá de medir a altura da sala onde o bouquet é lançado para que este não
bata no teto?
Resolução:
h′(x) =
(
−1
5
x2 + 2
5
x+ 2
)′
= −2
5
x+ 2
5
= 0⇔ −2x+ 2 = 0⇔ x = 1
⇒ hmax = h(1) = −15 × 1
2 + 2
5
× 1 + 2 = 2, 2 metros
4.(Caṕıtulo 3) Determine o maior número inteiro que verifica simultaneamente as condições:
7− 3x− 5
2
> 5 ∧ (x− 1)2 ≥ x (x− 3)
Resolução:
7− 3x−5
2
> 5 ∧ (x− 1)2 ≥ x (x− 3)⇔ 14− 3x+ 5 < 10 ∧ x2 − 2x+ 1 ≥ x2 − 3x
⇔ −3x > −9 ∧ −2x+ 3x+ 1 ≥ 0⇔ x < 3 ∧ x ≥ −1⇔ [−1, 3[⇒ [−1, 3[ ∩ Z = {−1, 0, 1, 2}
Logo S = {2}
5.(Caṕıtulo 8 e 10) Considere a função definida por f(x) = lnx
x
.
5.1 Determine o domı́nio de f .
Resolução:
Df = {x ∈ R : x 6= 0 ∧ x > 0} = ]0,+∞[
5.2 Determine, se existirem, os extremos relativos de f .
Resolução:
f ′(x) =
(
lnx
x
)′
=
1
x
×x−lnx×1
x2
= 1−lnx
x2
= 0 ⇔
x>0
1− lnx = 0⇔ x = e
A função tem um máximo relativo, f(e) = 1
e
, de acordo com a seguinte tabela:
x 0 e +∞
Sinal de f ′ + 0 −
Monotonia de f ↗ Max ↘
6.(Caṕıtulo 9) Determine o valor de k para o qual a função
g(x) =

x
e2x
⇐ x < 0
ln (e+ x) + k ⇐ x ≥ 0
25
é cont́ınua em x = 0
Resolução:
lim
x→0+
g(x) = g(0) = ln (e+ 0) + k = 1 + k
lim
x→0−
g(x) = lim
x→0−
x
e2x
= 0
e0
= 0
1
= 0
lim
x→0+
g(x) = lim
x→0−
g(x) = g(0)⇔ 1 + k = 0⇔ k = −1
.
7.(Caṕıtulo 6) Um turista em visita à cidade do Porto
apercebeu-se que via o cimo de uma estátua na mesma
linha que o topo da torre dos clérigos e que os seus olhos
estavam à mesma altura da base de ambos. Como tinha um
guia que dizia que a altura da torre é 76 m, decidiu estimar
a altura da estátua. Contou então os passos do śıtio onde
estava até à estátua (3 passos) e depois da estátua até à
torre (57 passos).
7.1 Determine a altura da estátua.
Resolução:
x
3
= 76
60
⇔ x = 3×76
60
= 3, 8 m
7.2 Estime a amplitude do ângulo de visão do turista, α, supondo a medida do passo de
acordo com o atual Sistema Internacional de Unidades: 1 passo = 0,82 m.
Resolução:
tg (α) = 76
60×0,82 ⇔ α = tg
−1
(
76
49,2
)
' 57, 1o
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	Prova de Matemática de 4/05/2019
	Grupo I
	Grupo II