Matemática M23 07052022

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Nota: Em cada questão é indicado o caṕıtulo de HIB-M23 que contém o assunto
correspondente.
1 Prova de Matemática de 7/05/2022
1.1 Grupo I
1.(Caṕıtulo 1) Considere os intervalos A =
]
−
√
2, 4
]
e B = ]−∞, 2[ ∪ {4}. Qual dos
seguintes conjuntos pode representar A ∩B?
(A)
]
−
√
2, 2
[
(B)
]
−
√
2, 4
]
(C)
]
−
√
2, 2
[
∪ {4} (D) A
Resolução:
Com base na representação a seguir indicada e tendo em conta que −
√
2 ' −1, 4 conclui-se
que a opção certa é a (C).
2.(Caṕıtulo 2) Qual dos seguintes polinómios é equivalente à expressão
2 (x− 1) (x+ 1)− (x− 3)2
(A) x2 − 6x− 11 (B) x2 + 6x− 11
(C) 2x2 + 6x− 11 (D) x2 + 6x+ 11
Resolução:
A opção certa é (B) porque:
2 (x− 1) (x+ 1)− (x− 3)2 = 2 (x2 − 1)− (x2 − 6x+ 9) =
= 2x2 − 2− x2 + 6x− 9 = x2 + 6x− 11
4
3.(Caṕıtulo 6) Um número inteiro r, com 1 ≤ r ≤ 50 é escolhido ao acaso. Qual é a
probabilidade desse número ser diviśıvel por 3 e por 4?
(A) 2
25
(B) 4
25
(C) 6
25
(D) 28
25
Resolução:
Para que o número seja diviśıvel por 3 e por 4 terá que ser diviśıvel por 12. Como os
múltiplos positivos de 12 são:
Múltiplos positivos de 12 = {12, 24, 36, 48, 60, ...}
Conclui-se que a probabilidade pedida é:
Probabilidade =
no casos favoráveis
no casos posśıveis
=
4
50
=
2
25
A opção certa é (A).
4.(Caṕıtulo 4) Seja α um ângulo agudo tal que tg2(α) = 16
9
. O valor de sen(α) é:
(A) 4
5
(B) 3
5
(C) −4
5
(D) −3
5
Resolução:
A opção certa é (A) porque:
tg2 (α) = 169 ⇔
1
tg2(α) =
9
16
⇔
1+ 1
tg2(α)
= 1
sen2(α)
1 + 916 =
1
sen2(α)
⇔ 2516 =
1
sen2(α) ⇔ sen
2 (α) = 1625 ⇒α agudo sen (α) =
4
5
Nota: Como era uma pergunta de escolha múltipla, podia concluir-se que a opção certa é (A)
pelo facto do ângulo ser agudo e a tangente ser 4
3
> 1 o que faz com que o sen(α) > cos(α).
(
(
4
5
)2
+
(
3
5
)2
= 1)
5
5.(Caṕıtulo 1 e 11) Na figura está representada parte de uma
parábola cujo vértice pertence ao 4o quadrante. Esta parábola é
o gráfico de uma função f de domı́nio R. De acordo com os dados
do gráfico, das seguintes expressões, a que designa um número
positivo é:
(A) f(0)− f ′(0)× f ′′(0) (B) f ′(0)− f(0)× f ′′(0)
(C) [f ′′(0) + f(0)]× f ′(0) (D) [f ′(0)− f(0)]× f ′′(0)
Resolução: A opção certa é a (A) porque:
• f(0) > 0 - a ordenada do ponto de interseção do gráfico de f com o eixo Oy é positiva.
• f ′(0) < 0 - a função é decrescente em x = 0.
• f ′′(0) > 0 - o gráfico da função tem concavidade voltada para cima em R.
Pelas regras das operações com números reais tem-se:
f(0)︸︷︷︸
>0
− f ′(0)︸ ︷︷ ︸
<0
× f ′′(0)︸ ︷︷ ︸
>0︸ ︷︷ ︸
<0
> 0 f ′(0)︸ ︷︷ ︸
<0
− f(0)︸︷︷︸
>0
× f ′′(0)︸ ︷︷ ︸
>0︸ ︷︷ ︸
>0
< 0
f ′′(0)︸ ︷︷ ︸
>0
+ f(0)︸︷︷︸
>0

︸ ︷︷ ︸
>0
× f ′(0)︸ ︷︷ ︸
<0
< 0
 f ′(0)︸ ︷︷ ︸
<0
− f(0)︸︷︷︸
>0

︸ ︷︷ ︸
<0
× f ′′(0)︸ ︷︷ ︸
>0
< 0
6.(Caṕıtulo 11) Seja f a função definida por f(x) = (x+ k)3, k ∈ R−0 . Determine o
valor de k sabendo que:
lim
x→0
f(x)− f(0)
x
= 3
(A) k = 0 (B) k = −
√
3
(C) k = −1 (D) k = −3
Resolução:
A opção certa é a (C) porque:
lim
x→0
f(x)−f(0)
x
= f ′(0)
f(x) = (x+ k)3 ⇒ f ′(x) = 3(x+ k)2 ⇒ f ′(0) = 3k2
lim
x→0
f(x)−f(0)
x
= 3⇔ f ′(0) = 3⇔ 3k2 = 3⇔ k2 = 1 ⇔
k∈R−0
k = −1
6
7.(Caṕıtulo 9) Sejam a e b números reais positivos superiores a 1 tais que logab = 3.
O valor de logab
2 − logbb− 2logb1 é:
(A) 4 (B) 5
(C) 6 (D) 10
Resolução:
A opção certa é a (B) porque:
logab
2 − logbb− 2logb1 = 2logab− 1− 2× 0 = 2× 3− 1 = 5
7
1.2 Grupo II
1.(Caṕıtulo 3 e 7) Num pomar em que já existiam 20 laranjeiras produzindo, cada uma,
400 laranjas por ano, foram plantadas mais n novas laranjeiras. Depois de um certo tempo
constatou-se que, devido à competição por nutrientes do solo, cada laranjeira (quer nova quer
velha) estava a produzir 10 laranjas a menos, por ano, por cada nova laranjeira plantada no
pomar.
Seja p(n) = −10n2 + 200n+ 8000 a função de produção anual de laranjas do pomar.
1.1 Determine p(0) e interprete o resultado no contexto do problema.
1.2 Sabe-se que num determinado ano, após a plantação das n laranjeiras, a produção
foi de 8960 laranjas. Determine o número n de laranjeiras que foram plantadas, sabendo que
n é o menor valor para o qual a produção anual é de 8960 laranjas.
Resolução:
1.1 p(0) representa o número de laranjas existentes no momento em que foram plantadas as
novas laranjeiras ou seja 20× 400 = 8000:
p(0) = −10× 02 + 200× 0 + 8000 = 8000
1.2 Pretende-se determinar o menor n tal que:
p(n) = 8960⇔ −10n2 + 200n+ 8000 = 8960
⇔ −10n2 + 200n− 960 = 0⇔ n2 − 20n+ 96 = 0
⇔ n = 20±
√
202−4×96
2
⇔ n = 20±4
2
⇔ n = 12 ∨ n = 8
Resposta: Foram plantadas 8 laranjeiras.
2.(Caṕıtulo 1) Utilizando, sempre que posśıvel, as regras das operações com potências,
simplifique a expressão:
(−2)6
104 ×
(
−1
5
)4 − (12
)2
÷
(
2
3
)−2
Resolução:
(−2)6
104×(− 15)
4 −
(
1
2
)2 ÷ (23)−2 = (−2)6(− 105 )4 − (12)2 ÷ (32)2 = (−2)6(− 105 )4 − (12)2 × (23)2
= (−2)
6
(−2)4 −
(
1
3
)2
= (−2)2 − 19 = 4−
1
9 =
36
9 −
1
9 =
35
9
3.(Caṕıtulo 3) Um museu vende apenas dois tipos de bilhetes: para adultos e para crianças.
Sabe-se que:
8
• o custo do bilhete de criança é 1 euro
• o custo do bilhete de adulto é 3 euros
No passado sábado, o número de bilhetes vendidos para crianças foi o triplo do número de
bilhetes vendidos para adultos e a receita foi de 252 euros.
Determine o número de adultos e de crianças que visitaram o museu no passado sábado.
Resolução: Representando-se por:
x o número de bilhetes vendidos para adultos
y o número de bilhetes vendidos para crianças
Tem-se:{
y = 3x
3x+ 1y = 252
⇔
{
y = 3x
3x+ 3x = 252
⇔
{
y = 3x
6x = 252
⇔
{
y = 3× 42 = 126
x = 252
6
= 42
Resposta: Visitaram o museu 42 adultos e 126 crianças, no passado sábado.
4.(Caṕıtulo 4 e 8) Mostre que, para todo o ângulo agudo x, se tem:
sen x− sen2x
cos4x+ cos2x sen2x
=
sen x
1 + sen x
Resolução:
sen x−sen2x
cos4x+cos2x sen2x =
sen x(1−sen x)
cos2x(cos2x+sen2x)
=
cos2x+sen2x=1
sen x(1−sen x)
cos2x
= sen x(1−sen x)1−sen2x =
sen x(1−sen x)
(1−sen x)(1+sen x)
x agudo
=
sen x6=1
sen x
1+sen x
5.(Caṕıtulo 6) O departamento de Recursos Humanos de uma empresa apresentou o se-
guinte gráfico relativo ao absentismo dos seus colaboradores:
5.1 Indique a variável em estudo e classifique-a.
5.2 Construa a tabela de frequências.
5.3 Determine o número médio de faltas.
5.4 A empresa considera que existe um elevado grau de absentismo se a percentagem de dias
9
em que há 5 ou mais faltas for superior a 10%. Com base nos dados recolhidos verifique se
existe um elevado grau de absentismo na empresa.
Resolução:
5.1 A variável em estudo é o número de faltas diário dos colaboradores da empresa.
É uma variável aleatória discreta porque só assume valores inteiros de 0 a 8.
5.2 Na tabela de frequências representa-se por:
ni - frequência absoluta;
Ni - frequência absoluta acumulada;
fi - frequência relativa;
Fi - frequência relativa acumulada.
No de faltas ni Ni fi Fi
0 28 28 28/90 28/90
1 14 42 14/90 42/90
2 18 60 18/90 60/90
3 15 75 15/90 75/90
4 5 80 5/90 80/90
5 3 83 3/90 83/90
6 4 87 4/90 87/90
7 1 88 1/90 88/90
8 2 90 2/90 90/90 = 1
5.3 O número médio de faltas, por dia, é:
x =
0× 28 + 1× 14 + 2× 18 + 3× 15 + 4× 5 + 5× 3 + 6× 4 + 7× 1 + 8× 2
90
' 1, 97
5.4 Na tabela de frequência constrúıda verifica-se que a percentagem de dias em que há
menos de 5 faltas, ou seja no máximo 4 faltas, coluna de frequência relativa acumulada, é
80
90
× 100 ' 88, 9%.
Como 100 − 88, 9 = 11, 1% > 10% conclui-se que na empresa existe um elevado grau de
absentismo.
6.(Caṕıtulo 7) Considere a função real de variável real definida pela expressão:
f(x) =
√
x+ 1
x2 − 7
6.1 Determine o domı́nio de f .
6.2 Determine os zeros de f .
Resolução:
6.1
Df =
{
x ∈ R : x+ 1 ≥ 0
x≥−1
∧x2 − 7 6= 0
x 6=±
√
7
}
= [−1,+∞[ \
{√
7
}
6.2
10
f(x) = 0⇔
√
x+1
x2−7 = 0⇔√
x+ 1 = 0 ∧ x ∈ Df ⇒ x+ 1 = 0⇔ x = −1 ∈ Df
V erificação :
√
−1+1
(−1)2−7 = 0⇔
√
0
−6 = 0⇔ 0 = 0 p.v.
7.(Caṕıtulo 8 e 11) Considere a função f de domı́nio ]−π, π[, definida por:
f(x) =
cosx
1 + cos x
Estude a função quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, e deter-
mine, caso existam, esses extremos.
Resolução: Para estudar monotonia e extremos de uma função recorre-se ao sinal da pri-
meira derivada:
f ′(x) = (cosx)
′×(1+cosx)−cosx×(1+cosx)′
(1+cosx)
2
= −sen x×(1+cosx)−cosx×(−sen x)
(1+cosx)
2 =
−sen x−sen x cosx+sen x cosx
(1+cosx)
2
f ′(x) = −sen x
(1+cosx)
2 ⇒ f ′(x) = 0
1+cosx6=0⇔
x∈]−π,π[
−sen x = 0⇔ x = 0
x −π 0 π
−sen x 0 + 0 − 0
(1 + cos x)2 0 + + + 0
f ′ ND + 0 − ND
f ND ↗ Max ↘ ND
A função f é monótona crescente em ]− π, 0] e monótona decrescente em [0, π[.
A função f é máxima em x = 0 sendo o valor máximo:
f(0) =
cos 0
1 + cos 0
=
1
2
8.(Caṕıtulo 10) Considere a função real de variável real, f , definida por:
f(x) =

x2+3x−4
x2−1 se x < 1
kex−1−k2 ln(x)
x+1
se x ≥ 1
Determine o valor de k para que a função seja cont́ınua em x = 1.
Resolução:
11
f cont́ınua em x = 1⇔ lim
x→1−
f(x) = lim
x→1+
f(x) = f(1)
lim
x→1+
f(x) = f(1) = ke
1−1−k2 ln(1)
1+1
= ke
0−k2×0
2
= k×1
2
= k
2
x2 + 3x− 4 = 0⇔ x = −3±
√
32+4×4
2
= −3±5
2
⇔ x = 1 ∨ x = −4
x2 + 3x− 4 = (x− 1) (x+ 4) ∧ x2 − 1 = (x− 1) (x+ 1)
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
x2+3x−4
x2−1
0
0= lim
x→1−
(x−1)(x+4)
(x−1)(x+1) = limx→1−
x+4
x+1
= 5
2
k
2
= 5
2
⇔ k = 5
9.(Caṕıtulo 9) O responsável pelo Departamento Comercial de uma empresa publicou
numa rede social, às nove horas de um certo dia, uma campanha promocional que estará
em vigor durante os próximos dias. A partir desse momento foram feitas partilhas dessa
publicação. O número de partilhas, ao fim de t horas após o instante em que foi feita a
publicação, é bem aproximado, com arredondamento às unidades, pelo modelo seguinte:
P (t) = 7× 20,6t − 3, t ∈ ]0, 24]
9.1 Determine o número total de partilhas realizadas nas primeiras oito horas da publicação.
9.2 Determine, utilizando processos anaĺıticos, passadas quantas horas da publicação fo-
ram atingidas as 3581 partilhas.
Resolução:
9.1
P (8) = 7× 20,6×8 − 3 = 192 partilhas
9.2
P (t) = 3581⇔ 7× 20,6t − 3 = 3581⇔ 7× 20,6t = 3584
⇔ 20,6t = 35847 = 512⇔ 0, 6t = log2 (512)⇔ 0, 6t = log2
(
29
)
⇔ 0, 6t = 9⇔ t = 90,6 = 15 horas
12
	Prova de Matemática de 7/05/2022
	Grupo I
	Grupo II