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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
NOTAS DE AULA DE EME905
Controle de Sistemas Mecânicos
Autor: Prof. Dr. José Juliano de Lima Junior
07/2017
Sumário
1 Introdução aos Sistemas de Controle 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Revisão Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Evolução Tecnológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Evolução da Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 De�nições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Exemplos de Sistemas de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.1 Sistema de Controle de Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.2 Sistema de Controle de Nível de Líquido . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.3 Con�guração de um Sistema de controle de retroação . . . . . . . . 10
1.6.4 Sistema de Controle de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.5 Sistema de Controle de Vazão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Modelos Matemáticos de Sistemas 15
2.1 Sistema de Nível de Líquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Resposta Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Resposta Não Linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Pêndulo Invertido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Transformada de Laplace 29
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 A Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.1 Pólos e Zeros de X(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Transformada de Laplace de Sinais Comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.1 Função Impulso Unitário δ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.2 Função Degrau Unitário u(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.3 Pares de Transformada de Laplace de Sinais Comuns . . . . . . . . 32
3.4 Propriedades da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4.2 Deslocamento no Tempo (Time Shifting) . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4.3 Deslocamento no Domínio s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Prof. José Juliano de Lima Jr.
ii SUMÁRIO
3.4.4 Escalonamento no tempo (time Scaling) . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.5 Reverso do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.6 Diferenciação no Domínio do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.7 Diferenciação no Domínio de s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4.8 Integração no Domínio do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4.9 Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5 Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5.1 Fórmula de Inversão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5.2 Uso de Tabelas de Pares de Transformada de Laplace . . . . . . . . 37
3.5.3 Expansão em Frações Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.6 A função do Sistema ou Função de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6.1 Função do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6.2 Caracterização de um Sistema LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6.3 Função do Sistema para um Sistema LTI Descrito por Equações
Diferenciais Lineares de Coe�ciente Constantes . . . . . . . . . . . 42
3.6.4 Interconexões entre Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Análise Dinâmica de Processos 47
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Modelo Matemático Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.1 Solução de um sistema com excitação harmônica . . . . . . . . . . . 51
4.3 Modelagem no Espaço de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4 Sistemas de Ordem Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.5 Sistemas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5.1 Outras formas de representar o sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.5.2 Exemplo de sistemas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5.3 Constante de tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6 Sistemas de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.6.1 Outras formas de representar o sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.6.2 Resposta ao Degrau Unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.6.3 De�nição das Especi�cações da Resposta Transitória (0 < ζ < 1) . . 71
4.6.4 Exemplos de sistemas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6.5 Combinação de dois sistemas de 1a. Ordem . . . . . . . . . . . . . 76
4.7 Linearização de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.7.1 Aproximação linear de modelos matemáticos não-linear - Função de
uma Entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.7.2 Aproximação linear de modelos matemáticos não-linear - Função de
duas Entradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.7.3 Exemplo de Linearização de uma Equação Não-Linear . . . . . . . . 82
Prof. José Juliano de Lima Jr.
SUMÁRIO iii
5 Tipos de Excitações 85
5.1 Sinais de Testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.1 Impulso Unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.2 Degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.3 Rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.4 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.1.5 Harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2 Aplicação dos Sinais de Testes no Sistema de 1a Ordem . . . . . . . . . . . 86
5.2.1 Impulso Unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2.2 Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2.3 Rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2.4 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2.5 Harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3 Aplicação dos Sinais de Testes no Sistema de 2a Ordem . . . . . . . . . . . 93
5.3.1 Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.2 Harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6 Erros Estacionários 109
6.1 Coe�ciente de Erro Estático de Posição Kp - R(s) = 1/s. . . . . . . . . . . 110
6.1.1 Sistemas tipo 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1.2 Sistemas tipo 1 ou maior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2 Coe�ciente de Erro Estático de Velocidade Kv - R(s) = 1/s2. . . . . . . . . 111
6.2.1 Sistemas tipo 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.2.2 Sistemas tipo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.2.3 Sistemas tipo 2 ou maior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.3 Coe�ciente de Erro Estático de Aceleração Ka. . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.3.1 Sistemas tipo 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3.2 Sistemas tipo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3.3 Sistemas tipo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3.4 Sistemas tipo 3 ou maior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.4 Coe�ciente de Erro Estático - Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.5 Exemplo: Controle Proporcional - Nívelde Líquido . . . . . . . . . . . . . 114
7 Diagrama de Blocos 117
7.1 Diagrama de Blocos - Malha Aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.2 Diagrama de Blocos - Malha Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.3 Diagrama de Blocos - Pertubações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.4 Simpli�cação do Diagrama de Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Prof. José Juliano de Lima Jr.
iv SUMÁRIO
8 Preditor de Smith para o Controle de Sistemas com Atraso de Trans-
porte 125
8.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.3 Preditor de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.3.1 Aplicação em uma Planta de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . 129
9 Lugar das Raízes 131
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.2 Conceito do Lugar das Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.3 Traçado do Diagrama do lugar das Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.4 Conceito do Lugar das Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.5 Regras para o Traçado do Lugar das Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.6 Lugar das Raízes Típicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.7 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
10 Ações de Controle Básicas 143
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.2 Diagrama de Blocos - Sistema de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.3 Classi�cação dos Controladores Analógicos Industriais . . . . . . . . . . . . 144
10.4 Exemplo Sistema de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10.5 Equipamentos de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10.6 Simbologia de Instrumentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.7 Malha Fechada - Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.7.1 Ação de Controle de 2 Posições ou liga-desliga (on-o�) . . . . . . . 146
10.7.2 Controle PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.7.3 Controlador Proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.7.4 Controlador Proporcional-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.7.5 Controlador Proporcional-Derivativo . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.7.6 Controlador Proporcional-Integral-Derivativo . . . . . . . . . . . . . 153
10.8 Ajuste dos Controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.9 Método Heurístico de Ziegler e Nichols (década de 40) . . . . . . . . . . . . 155
10.9.1 Primeiro Método - Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.9.2 Segundo Método - Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.10Método do Decaimento de 1/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
11 Controle Usando o Lugar das Raízes 159
11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.1.1 Especi�cações de desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.1.2 Compensação de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Prof. José Juliano de Lima Jr.
SUMÁRIO v
11.1.3 Compensação em série e através de retroação . . . . . . . . . . . . . 160
11.1.4 Compensação em série e através de retroação . . . . . . . . . . . . . 161
11.1.5 Compensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.1.6 Procedimentos de projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.2 Considerações Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
11.2.1 Efeitos da adição de pólos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
11.3 Compensação por Avanço de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
11.3.1 De�nições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
11.3.2 compensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11.3.3 Técnica de compensação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11.3.4 Procedimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11.3.5 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.4 Compensação por Atraso de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
11.4.1 Técnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
11.4.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
11.5 Compensação por Atraso e Avanço de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.5.1 técnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.5.2 passos γ ̸= β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
11.6 Compensação por Atraso e Avanço de Fase: passos γ = β . . . . . . . . . . 189
12 Análise no Domínio da Frequência 201
12.1 Resposta Senoidal de Estruturas de Avanço ou Atraso de Fase . . . . . . . 201
12.2 Resposta Senoidal de Estruturas de Avanço ou Atraso de Fase . . . . . . . 202
12.2.1 Exemplo Sistema de 1a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
12.2.2 Exemplo Sistema de 2a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
12.3 Análise no Domínio da Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
12.4 Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
12.5 Grá�co de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
12.6 Grá�co de Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
13 Controle no Domínio da Frequência 241
13.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
13.2 Margens de Fase e Ganho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
13.2.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
13.3 Frequência de corte e banda passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
13.3.1 Taxa de Corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
13.3.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
13.4 Compensação por Avanço de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
13.4.1 Compensação por Avanço de Fase - Exemplo . . . . . . . . . . . . . 251
13.5 Compensação por Atraso de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Prof. José Juliano de Lima Jr.
vi SUMÁRIO
13.5.1 Compensação por Atraso de Fase - Exemplo . . . . . . . . . . . . . 259
13.6 Compensação por Atraso e Avanço de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
13.6.1 Compensação por Atraso e Avanço de Fase - Exemplo . . . . . . . . 264
14 Apêndice A 271
14.1 Simulação de um Sistema de Segunda Ordem com Condições Iniciais . . . 271
14.2 Simulação de um sistema de controle usando o Preditor de Smith. . . . . . 275
Prof. José Juliano de Lima Jr.
Lista de Figuras
1.1 Relógio d'água de Ctesibios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Fotos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Foto de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Fotos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Foto de Minorsky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Foto de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7 Foto de Nyquist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.8 Foto de Bode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.9 Foto de Nichols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.10 Foto de Evans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5
1.11 Foto de Kalman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.12 ENIAC - 1946. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.13 Sistema de Controle de Velocidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.14 Sistema de Controle de Nível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.15 Diagrama de Blocos do Sistema de Nível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.16 Sistema de Controle com Realimentação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.17 Sistema de Controle de Temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.18 Diagrama de Blocos do Sistema de Controle de Temperatura. . . . . . . . . 11
1.19 Evolução da temperatura após um incremento r no valor da referência da
temperatura para: (a) K=10 e atraso=0,1; (b) K=1 e atraso=0,1; (c) K=10
e atraso=0,025. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.20 Malha Fechada - Sistema de Controle de Vazão. . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1 Nível de Líquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Vazão de Saída em Regime Estacionário em Função da Pressão da Altura
da Coluna de Líquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Variação do nível do quando sujeito ao degrau q̄i. . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Pêndulo Invertido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1 Representação no Plano s de X(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Função Transferência do Sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Prof. José Juliano de Lima Jr.
viii LISTA DE FIGURAS
3.3 Sistema em Série no Domínio de t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 Sistema em Série no Domínio de s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.5 Sistema em Paralelo no Domínio de t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.6 Sistema em Paralelo no Domínio de s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1 Sistema de 1a Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Função Transferência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Modelo de Estados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4 Nível de Líquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5 Comparação entre as Respostas da Equação do Sistema de Nível de Líquido
Não-Linear e Linearizada - Hss: resposta em regime permanente; H0: al-
tura do nível em regime permanente; qi(t): pequena variação na vazão de
entrada; Qi0: vazão de regime permanente; h(t): pequena variação do nível
e qi
Qi0
≤ 0, 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.6 Linearização da Curva Q0(t)×H(t) em torno do ponto (H,Q). . . . . . . . 61
4.7 Sistema de Aquecimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.8 Curva de Resposta com Excitação Degrau Unitário - Constante de Tempo. 64
4.9 Função Transferência de um Sistema de 2a Ordem. . . . . . . . . . . . . . 69
4.10 Modelo de Estados de Espaço de um Sistema de 2a Ordem. . . . . . . . . . 69
4.11 Diagrama de Blocos de um Sistema de 2a Ordem. . . . . . . . . . . . . . . 70
4.12 Resposta do Sistema de 2a ordem a excitação degrau Unitário . . . . . . . 71
4.13 Resposta do Sistema de 2a ordem a excitação degrau Unitário . . . . . . . 72
4.14 Representação do Pólo no Plano s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.15 Sistema Massa-Mola com Excitação Impulso Unitário. . . . . . . . . . . . . 73
4.16 Redutor de Velocidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.17 Sistemas de 2a. Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.18 Resposta da Vazão a uma Excitação Degrau de Reservatórios em Série c/
e s/ Interação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1 Sistema de 1a Ordem - Resposta Impulsiva y(t) = h(t). . . . . . . . . . . . 87
5.2 Sistema de 1a Ordem - Resposta a Rampa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3 Sistema de 1a Ordem - Resposta a Excitação Harmônica. . . . . . . . . . . 93
5.4 Resposta ao Impulso Unitário para Sistema de 2a Ordem. . . . . . . . . . . 96
6.1 Malha Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2 (a) - Nível de líquido; (b) - Diagrama de blocos; (c) Diagrama simpli�cado
e (d) curva h(t)× t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.1 Diagrama de Blocos - Malha Aberta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.2 Diagrama de Blocos - Malha Fechada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.3 Álgebra dos Diagramas de Blocos - Pertubações. . . . . . . . . . . . . . . . 119
Prof. José Juliano de Lima Jr.
LISTA DE FIGURAS ix
7.4 Álgebra do Diagrama de Blocos - Parte 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.5 Álgebra do Diagrama de Blocos - Parte 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.6 Diagrama de Blocos do Sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.7 Diagrama de Blocos - primeira redução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.8 Diagrama de Blocos - segunda redução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.9 Diagrama de Blocos - terceira redução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.10 Diagrama de Blocos - quarta redução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.11 Diagrama de Blocos - �nal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.12 Diagrama de Blocos - �nal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.1 Tanque com atraso de transporte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.2 Processo de Prensagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.3 Malha fechada sem atraso de transporte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.4 Malha fechada com atraso de transporte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.5 Malha fechada com o Preditor de Smith. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.6 Malha fechada equivalente com o Preditor de Smith. . . . . . . . . . . . . 128
8.7 Malha fechada planta sem atraso, planta com atraso sem e com o Preditor
de Smith. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.1 Sistema de controle com realimentação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.2 Diagrama do lugar das raízes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.3 Lugar das Raízes Tipicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.4 Lugar das Raízes Tipicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.5 Lugar das raízes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.1 Modelo de um Sistema de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.2 Equipamentos de Controle: a) trandutor de temperatura; b) controlador
PID; c) conversor corrente-pressão (4-20 mA para 3-15 psi ou 0,21 -1,05
bar) e d) válvula de regulação camandada a ar (3-15 psi). . . . . . . . . . . 144
10.3 Equipamentos de Controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.4 Válvula de Controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.5 Válvula de Controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.6 Simbologia de Instrumentação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.7 Simbologia de Instrumentação-Exemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.8 Simbologia de Instrumentação-Exemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.9 Malha Fechada - Exemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.10Diagrama de blocos de um controlador liga-desliga. . . . . . . . . . . . . . 148
10.11Controle proporcional ideal e real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.12Faixa ou banda proporcional - BP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.13Faixa ou banda proporcional - BP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 150
Prof. José Juliano de Lima Jr.
x LISTA DE FIGURAS
10.14Resposta de um controlador proporcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.15a) Diagrama de blocos de controlador PI; b) degrau unitário na entrada e
c) resposta do controlador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.16Resposta de um controlador proporcional-integral. . . . . . . . . . . . . . . 152
10.17a) Diagrama de blocos de controlador PD; b) rampa unitária na entrada e
c) resposta do controlador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.18Resposta de um controlador proporcional-derivativo. . . . . . . . . . . . . 153
10.19a) Diagrama de blocos de controlador PID; b) rampa unitário na entrada
e c) resposta do controlador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.20Resposta de um controlador proporcional-integral-derivativo. . . . . . . . . 154
10.21Correção dos modos de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.22Característica do método. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.23Primeiro método - MA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.24Regra de sintonia - Primeiro Método. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.25Segundo método - MF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.26Regra de sintonia - segundo Método. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.27Método do decaimento de 1/4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
11.1 a) Compensação em série; b) compensação através de retroação ou em
paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
11.2 a) lugar das raízes com um único pólo; b) com dois pólos; c) com três pólos.162
11.3 a) lugar das raízes com três pólos; b), c) e d) efeito da adição de um zero. . 163
11.4 a) Sistema de fase não-mínima; b) grá�co do lugar das raízes. . . . . . . . 163
11.5 Con�gurações de pólos e zeros: a) estrutura de avanço de fase; b) estrutura
de atraso de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11.6 Sistema de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11.7 a) Sistema de controle; b) lugar das raízes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.8 a) pólos complexos; b) retas de coe�cientes de amortecimento ζ. . . . . . . 166
11.9 Lugar das raízes do sistema não compensado. . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11.10a) Determinação do pólo e do zero da estrutura de avanço de fase; b) lugar
das raízes do sistema compensado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.11Lugar das raízes do sistema compensado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
11.12Resposta ao degrau unitário do sistema não compensado e compensado. . . 170
11.13Lugar das raízes do sistema não compensado e compensado. . . . . . . . . 170
11.14a) Sistema de controle; b) lugar das raízes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
11.15a) Pólos complexos; b) retas de coe�cientes de amortecimento ζ. . . . . . . 174
11.16Lugar das raízes do sistema compensado e pólo dominante. . . . . . . . . . 176
11.17Lugar das raízes do sistema não compensado e compensado. . . . . . . . . 178
11.18Resposta a entrada rampa do sistema não compensado e compensado. . . . 178
Prof. José Juliano de Lima Jr.
LISTA DE FIGURAS xi
11.19Resposta a entrada degrau do sistema não compensado e compensado. . . . 179
11.20Sistema de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11.21a) Pólos complexos; b) retas de coe�cientes de amortecimento ζ. . . . . . . 182
11.22Determinação do pólo e zero do compensador - Ogata. . . . . . . . . . . . 184
11.23Lugar das raízes do sistema compensado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
11.24Lugar das raízes do sistema não compensado e compensado. . . . . . . . . 188
11.25Resposta a entrada rampa do sistema não compensado e compensado. . . . 188
11.26Resposta a entrada degrau do sistema não compensado e compensado. . . . 189
11.27Sistema de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
11.28a) Pólos complexos; b) retas de coe�cientes de amortecimento ζ. . . . . . . 192
11.29Determinação do pólo e zero do compensador - Ogata. . . . . . . . . . . . 194
11.30Lugar das raízes do sistema compensado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
11.31Lugar das raízes do sistema não compensado e compensado. . . . . . . . . 198
11.32Resposta a entrada rampa do sistema não compensado e compensado. . . . 198
11.33Resposta a entrada degrau do sistema não compensado e compensado. . . . 198
12.1 Sistema Linear (LTI). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
12.2 Amplitude e fase da saída a uma entrada senoidal. . . . . . . . . . . . . . . 205
12.3 Amplitude da saída a uma entrada senoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
12.4 Fase da saída a uma entrada senoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
12.5 Reta de conversão de valores numéricos em dB. . . . . . . . . . . . . . . . 208
12.6 Diagrama de Bode de: a) G(jω) = 1/jω; b) G(jω) = jω. . . . . . . . . . . 210
12.7 Curvas de módulo em dB com assíntotas e de ângulo de fase para 1/(1+jωT ).211
12.8 Erro de módulo em dB na expressão assíntota da curva de resposta em
frequência de 1/(1 + jωT ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
12.9 Curvas de módulo em dB com assíntotas e de ângulo de fase para (1+ jωT ).213
12.10Curvas de módulo em dB com assíntotas e de ângulo de fase para o fator
quadrático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
12.11Curva Mr versus zeta relativa ao sistema de 2a ordem. . . . . . . . . . . . 217
12.12Diagram de Bode - Módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
12.13Diagram de Bode - Módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
12.14Diagram de Bode - Módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
12.15Diagrama de Bode Aproximado e Exato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
12.16Diagram de Bode - Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
12.17Diagram de Bode - Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
12.18Diagram de Bode - Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
12.19Diagrama de Bode Aproximado e Exato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
12.20Diagrama de Bode do sistema do considerado no exemplo. . . . . . . . . . 222
12.21Diagrama de Bode do sistema do considerado no exemplo. . . . . . . . . . 222
Prof. José Juliano de Lima Jr.
xii LISTA DE FIGURAS
12.22Con�guração de pólos e zeros de um sistema de fase mínima G1(s) e não
mínima G2(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
12.23Características do ângulo de fase de fase mínima G1(s) e não mínima G2(s).223
12.24Característica do ângulo de fase do retardo de transporte. . . . . . . . . . . 224
12.25Diagramas de Bode - amplitude e fase, com L = 0, 5 e T = 1. . . . . . . . . 224
12.26Sistema de controle com retroação unitária. . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
12.27Curva de módulo em dB de um sistema do tipo 0. . . . . . . . . . . . . . . 226
12.28Curva de módulo em dB de um sistema do tipo 1. . . . . . . . . . . . . . . 226
12.29Curva de módulo em dB de um sistema do tipo 2. . . . . . . . . . . . . . . 228
12.30Grá�co Polar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
12.31Grá�co Polar de (jω)−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
12.32Grá�co Polar de (jω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
12.33Grá�co Polar de: a) (1 + jωT )−1 e b) G(jω) no plano X − Y . . . . . . . . 230
12.34Grá�co Polar de (1 + jωT ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
12.35Diagrama Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
12.36Grá�co Polar de [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2], ζ > 0. . . . .. . . . . . . . . 233
12.37Grá�co Polar de [jω(1 + jωT )]−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
12.38Grá�co Polar de e−jωT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
12.39Grá�cos Polares de e−jωT e (1 + jωT )−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
12.40Grá�cos Polares de e−jωL(1 + jωT )−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
12.41Grá�cos Polares de sistemas tipo 0, tipo 1 e tipo 2. . . . . . . . . . . . . . 237
12.42Grá�cos Polares 1a parte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
12.43Grá�cos Polares 2a parte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
12.44Três representações da resposta em frequência de [1+2ζ
(
j ω
ωn
)
+
(
j ω
ωn
)2
]−1,
para ζ > 0. a) Bode; b) Nyquist e c) Nichols. . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
12.45Diagrama de módulo em dB versus fase de G(jω) = (jω)−1 e G(jω) =
(1 + jωT )−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
12.46Diagrama de módulo em dB versus fase de G(jω) = (1 + jωT ) e G(jω) =
e−jωL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
12.47Diagrama de módulo em dB versus fase de G(jω) = (jω)
2+2ζωn(jω)+ω2n
ω2n
e
G(jω) = [jω(1 + jωT )]−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
13.1 Diagrama de Bode de um sistema estável e instável. . . . . . . . . . . . . . 243
13.2 Diagrama de Polar de um sistema estável e instável. . . . . . . . . . . . . . 243
13.3 Diagrama de Nichols de um sistema estável e instável. . . . . . . . . . . . . 244
13.4 Sistema de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
13.5 Sistema de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
13.6 Sistema de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
13.7 Lugar das raízes do sistema de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Prof. José Juliano de Lima Jr.
LISTA DE FIGURAS xiii
13.8 Frequência de corte ωb e banda passante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
13.9 características dinâmica: a) resposta em frequência a malha fechada; b)
resposta ao degrau unitário; c) resposta à rampa unitária. . . . . . . . . . . 248
13.10Diagrama de Bode de um compensador por avanço de fase com α = 0, 1. . 249
13.11Sistema de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
13.12Sistema de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
13.13Diagrama de Bode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
13.14Diagrama de Bode do sistema compensado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
13.15Sistema compensado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
13.16Curva de resposta ao degrau unitário dos sistemas compensado e não com-
pensado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
13.17Curva de resposta à rampa unitária dos sistemas compensado e não com-
pensado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
13.18Diagrama de Bode de um compensador por atraso de fase com β = 10. . . 257
13.19sistema de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
13.20Diagramas de Bode relativos ao sistema não compensado G1(jω), ao com-
pensador Gc(jω) e ao sistema compensado Gc(jω)G(jω). . . . . . . . . . . 260
13.21Resposta ao degrau unitário do sistema compensado e não compensado. . . 262
13.22Resposta à rampa unitária do sistema compensado e não compensado. . . . 263
13.23Diagrama de Bode do compensador por atraso e avanço de fase comKc = 1,
γ = β = 10 e T2 = 10T1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
13.24Diagramas de Bode relativos ao sistema não compensado G1(jω), ao com-
pensador Gc(jω) e ao sistema compensado Gc(jω)G(jω). . . . . . . . . . . 266
13.25Resposta ao degrau unitário do sistema compensado. . . . . . . . . . . . . 268
13.26Resposta à rampa unitária do sistema compensado. . . . . . . . . . . . . . 268
13.27Curvas de resposta ao degrau e rampa unitários de sistemas compensados: a)
não compensado; b) por avanço de fase; c) por atraso de fase e d) por atraso e
avanço de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
14.1 Modelo no simunlink. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
14.2 Modelo no simunlink. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
14.3 Malha fechada planta sem atraso, planta com atraso sem e com o Preditor
de Smith. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
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xiv LISTA DE FIGURAS
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Lista de Tabelas
3.1 Pares de Algumas Transformadas de Laplace para t ≥ 0. . . . . . . . . . . 32
3.2 Propriedades da Transformada de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.1 Erro estacionário ess em termos de K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.1 Raízes da equação característica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.2 Arranjo de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
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Capítulo 1
Introdução aos Sistemas de Controle
1.1 Introdução
O controle automático tem desempenhado um papel vital no avanço da engenharia,
com aplicações em:
• Veículos espaciais e terrestres;
• Veículos Terrestres com sistema de freios anti-blocante ( "ABS - Anti-lock Braking
System") com distribuição eletrônica de Frenagem ( "EBD - Electronic Brake Dis-
tribution"), assistência de frenagem de urgência ( "PBA - Panic Brake Assist"),
controle de estabilidade ( "ESC - Electronic stability control") e controle de tração
( "TCS - traction control system");
• Sistema de guiamento de mísseis;
• Sistemas robóticos;
• Processos industriais e
• Sistemas de manufatura - máquinas ferramentas de comando numérico.
A teoria de controle e os sistemas de controle automático propiciam meios para atingir:
• Desempenho ótimo de sistemas dinâmicos;
• Melhoria na produtividade e
• Alívio de trabalho enfadonho de muitas operações manuais repetitivas e muito mais.
Os engenheiros e cientistas, em sua maioria, devem possuir um bom conhecimento
deste campo.
O que é controle? Segundo o dicionário Houaiss:
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2 Introdução aos Sistemas de Controle
• controle: Dispositivo ou mecanismo destinado a comandar ou regular o funciona-
mento de máquina, aparelho ou instrumento.
• controlar: exercer ação restritiva sobre, conter, regular, dominar, comandar.
Controlar é fazer com que uma variável do sistema assuma um valor desejado (refe-
rência, comando) por meio de uma ação no sistema.
1.2 Revisão Histórica
• As primeiras aplicações de controle automático podem ser encontradas entre 300
A.C. e 1 A.C. na Grécia com mecanismos de reguladores �utuantes. O relógio de
água de Ctesibios foi um exemplo desse mecanismo;
(a) Esquema (b) Foto
Figura 1.1: Relógio d'água de Ctesibios.
• No século XVIII, James Watt (1736 - 1819) construiu um controlador centrífugo
para o controle de velocidade de uma máquina a vapor (1788);
(a) Watt. (b) Motor à Vapor. (c) Controlador.
Figura 1.2: Fotos.
• James Clerk Maxwell (1831 - 1879) apresentou o primeiro estudo sistemático do
controlador centrífugo de Watt, no artigo intitulado On Governors, em 1868. Mos-
trou que a estabilidade depende das raízes da equação característica do sistemas, as
quais devem ter parte real negativa;
• Na mesma época, Edward John Routh (1831 - 1907) foi um matemático inglês e
Adolf Hurwitz (1859 -1919) foi um matemático alemão, desenvolveram técnicas que
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1.2 Revisão Histórica 3
Figura 1.3: Foto de Maxwell.
permitiam determinar diretamente a estabilidade do sistema sem a necessidade da
solução das equações. Estabeleceu-se o critério de estabilidade de Routh. Routh
também contribuiu com pesquisa original, comoo teorema de Routh-Hurwitz. Prin-
cípios centrais da moderna teoria de sistemas de controle baseiam-se no Critério de
Estabilidade de Routh. Para um polinômio ser Hurwitz, é necessário mas não su�-
ciente que todos os seus coe�cientes sejam positivos. Para que todas as raízes de um
polinômio estejam no semi-plano esquerdo, é necessário e su�ciente que o polinômio
em questão satisfação o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz;
(a) Routh. (b) Hurwitz.
Figura 1.4: Fotos.
• Em 1922, Nicolas Minorsky (1885 - 1970) ou Nikolai Fyodorovich Minorsky traba-
lhou em controladores automáticos PID em sistemas de direção de automáticos de
navios da marinha americana e mostrou como poderia determinar sua estabilidade
a partir da representação do sistema através de equações diferenciais;
• Um marco no desenvolvimento da teoria de controle foi a publicação de um trabalho
pelo matemático russo Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857 - 1917) em 1897.
Este trabalho foi traduzido para o francês em 1907 e em inglês em 1947. Pouco
divulgado no ocidente, o trabalho de Lyapunov continuou a ser desenvolvido na
então União Soviética, o que permitiu aos pesquisadores soviéticos grandes avanços
especialmente na teoria de sistemas não-lineares e uma liderança na área que se
manteve até os anos 1950;
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4 Introdução aos Sistemas de Controle
Figura 1.5: Foto de Minorsky.
Figura 1.6: Foto de Lyapunov
• Em 1932, Harry Theodor Nyqvist (1889 - 1976) desenvolveu um procedimento re-
lativamente simples para determinar a estabilidade de sistema a malha fechada
com base na resposta estacionária de sistemas a malha aberta a excitações senoi-
dais, conhecido como Critério de Estabilidade de Nyquist (1923). Na década de
1920, engenheiros dos laboratórios Bell trabalhavam com o problema de comunica-
ção a longa distância nos Estados Unidos. O problema de reforço de sinais através
de ampli�cadores eletrônicos levou ao desenvolvimento de técnicas no domínio da
frequência. Nyquist e Bode, assim como vários outros associados a estas técnicas,
eram engenheiros dos laboratórios Bell;
Figura 1.7: Foto de Nyquist.
• Hendrik Wade Bode (1905 - 1982), engenheiro dos Laboratórios Bell, participou do
desenvolvimento de técnicas no domínio da frequência como: Resposta em frequên-
cia (1938), Grá�cos de Bode e Margens de estabilidade;
• Nathaniel B. Nichols (1914-1997) engenheiro que estudou o controlador Proporci-
onal, Integral e Derivativo (PID), desenvolveu o método conhecido como Método
de Ziegler-Nichols em 1942, no artigo ZIEGLER, J. G.; NICHOLS, N. B. Optimum
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1.2 Revisão Histórica 5
Figura 1.8: Foto de Bode.
Settings for Automatic Controllers, ASME Transaction, v. 64, p. 759-768, Nov.
1942;
Figura 1.9: Foto de Nichols.
• Walter Richard Evans (1920 - 1999) foi um especialista na área de controle desenvol-
vendo o método do lugar das raízes em 1948 aplicado na teoria clássica de controle
(SISO);
Figura 1.10: Foto de Evans.
• Rudolf Emil Kalman (1930 -2016) foi um matemático e engenheiro húngaro, natura-
lizado estadunidense. É conhecido por sua co-invenção do �ltro de Kalman, técnica
matemática intensamente utilizada no campo da engenharia de controle. Estudou
controladores e estimadores ótimos;
• ENIAC, 1o computador de grande porte totalmente eletrônico usando válvulas.
17.000 válvulas, 175kW, 5.000 operações por segundo;
• Harold Locke Hazen (1901 - 1980) foi um engenheiro eletricista. Ele contribuiu com
a teoria de servomecanismos e sistemas de controle me malha fechada em 1924. Em
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6 Introdução aos Sistemas de Controle
Figura 1.11: Foto de Kalman.
Figura 1.12: ENIAC - 1946.
1934 discutiu o projeto de servomecanismo a relé capaz de seguir, de muito perto,
uma excitação variável no tempo;
• Durante a década de 1940, os métodos de resposta em frequência tornaram possível
aos engenheiros projetar sistemas de controle a malha fechada satisfazendo requisitos
de desempenho;
• No �nal da década de 1940 até o início dos anos 50 desenvolveu-se completamente
o método do lugar das raízes graças a Evans (Teoria Clássica de Controle - SISO);
• A partir de 1960, com a disponibilidade dos computadores digitais, tornou-se pos-
sível a análise no domínio do tempo de sistemas complexos (Teoria Moderna de
Controle - MIMO - variáveis de estados);
• Durante o período de 1960 a 1980, foram investigados os controles ótimos de sistemas
determinísticos e estocásticos bem como o controle adaptativo e o controle com
aprendizado;
• De 1980 aos dias de hoje, os desenvolvimentos na teoria moderna de controle têm
se concentrado no controle robusto, no controle H∞ e tópicos associados;
• Década de 90 o controle não-linear e controle preditivo.
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1.3 Evolução Tecnológica 7
1.3 Evolução Tecnológica
A seguir apresenta-se um resumo da evolução tecnológica na área de controle [?] 1.
• 120 a.c.: Heron de Alexandria, esfera movida a vapor;
• 1698: Thomas Newcomem, 1a máquina a vapor útil (drenagem);
• 1765: James Watt, aperfeiçoamento da máquina a vapor;
• 1776: James Watt, 1a máquina a vapor instalada e operada em uma empresa;
• 1785: Boulton, produção industrial de máquinas a vapor;
• 1824: foram produzidas mais de 1000 máquinas a vapor Final do século XIX - relé
eletromecânico;
• 1906: invenção da válvula (Edison, Thompson, Flemming, Lee De Forest);
• 1948: invenção do transistor (laboratórios da Bell Telephone);
• 1961: primeiro circuito integrado comercial;
• 1972: primeiro processador (Intel 8088), 8 bits, 3500 transistores, 0.2 MHz;
• 2002: Pentium IV, 64 bits em alguns modelos, 55 milhões de transistores, 3 GHz;
• Por volta de 1650: 1a calculadora mecânica (Pascal);
• Por volta de 1900: tabulação e acumulador de informações - tabulador de censo
(Hollerith);
• 1941: 1o computador digital eletro-mecânico programável (Zuse, Alemanha);
• 1946: ENIAC, 1o computador de grande porte totalmente eletrônico usando válvu-
las. 17.000 válvulas, 175kW, 5.000 operações por segundo;
• 1957: 1o computador comercial totalmente a transistores (NCR);
• 1960: COBOL - 1a linguagem de programação comercial padronizada;
• 1973: 1o computador pessoal (Xerox PARC);
• 1981: computador pessoal IBM de arquitetura aberta de grande sucesso comercial.
1Reginatto, R., Sistemas de Controle - Evolução História, Notas de Aula.
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8 Introdução aos Sistemas de Controle
1.4 Evolução da Teoria
Aqui é apresentado as principais teorias que contribuiram na área de controle 2.
• 1807: Série de Fourier;
• 1809: Transformada de Laplace;
• 1895: Teorema de Routh-Hurwitz;
• 1899: Estabilidade de Lyapunov;
• 1922: Controlador PID (Minorsky);
• 1930: Diagrama de Bode (resposta em freqüência);
• 1932: Critério de estabilidade de Nyquist;
• 1942: Método de Ziegler e Nichols (Taylor Instruments);
• 1948: Lugar das raízes (Evans);
• 1950: Programação dinâmica (controle ótimo);
• 1960: Filtro de Kalman (variáveis de estado)
• 1964: Função descritiva (Pole J. Groszkowski);
• 1950-1970: Controle discreto (Franklin, Kuo, Jury, Aström, Wittenmark, Shannon).
1.5 De�nições
Variável controlada: é a grandeza ou a condição que é medida e controlada. É normal-
mente a variável de saída do sistema;
Variável manipulada: é a grandeza ou condição variada pelo controlador de modo a
afetar o valor da variável controlada;
Distúrbio: é caracterizado por um sinal que tende a afetar de modo adverso o valor da
variável de saída de um sistema;
Sistema: é uma combinação de componentes que agem juntos e constituem um conjunto
para atingir objetivos;
Controle por Realimentação: é uma operação que na presença de perturbações, tende
a reduzir a diferença entre a saída do sistema e a entrada de referência;
2Reginatto, R., Sistemas de Controle - Evolução História, Notas de Aula.
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1.6 Exemplos de Sistemas de Controle 9
Sistema de controle por realimentação:é aquele que tende a manter uma relação
pré-determinada entre saída e entrada pela comparação destas e é empregando a
diferença como meio de controle;
Servomecanismo: é um sistema de controle por realimentação, com referência variável,
em que a saída é: posição mecânica, velocidade ou aceleração;
Sistema Regulador Automático: é um sistema de controle por realimentação em que
a entrada (referência) ou a saída é sempre constante;
Sistema de controle de processo: é um sistema de regulador automático em que a
saída é uma variável como: temperatura, pressão, �uxo, nível de líquido ou pH;
Sistema de Controle por Malha Fechada (closed loop): é aquele em que o sinal
de saída tem uma atuação direta sobre a ação controle;
Sistema de Controle por Malha Aberta (open loop): é aquele em que a saída não
tem efeito sobre a ação de controle.
1.6 Exemplos de Sistemas de Controle
1.6.1 Sistema de Controle de Velocidade
O princípio básico do regulador de Watt para controlar a velocidade de um motor de
combustão interna é ilustrado no diagrama esquemático da �gura (1.13). A quantidade de
combustível admitida no motor é ajustada de acordo com a diferença entre a velocidade
desejada e a velocidade real do motor.
Figura 1.13: Sistema de Controle de Velocidade.
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10 Introdução aos Sistemas de Controle
1.6.2 Sistema de Controle de Nível de Líquido
A �gura (1.14) mostra um sistema automático de controle de nível onde a vazão de
entrada do �uido no reservatório é controlada em função do nível do reservatório através
de um sistema de medição de nível, cuja leitura é enviada ao controlador, que envia o
sinal de controle a válvula pneumática de controle de vazão.
Figura 1.14: Sistema de Controle de Nível.
A �gura (1.15) apresenta o diagrama de blocos correspondente ao sistema de controle
de nível apresentado na �gura(1.14).
Figura 1.15: Diagrama de Blocos do Sistema de Nível.
1.6.3 Con�guração de um Sistema de controle de retroação
A �gura (1.16) apresenta a estrutura de um sistema de controle automático por re-
troação. A retroação provê, um sistema, com a capacidade de se adaptar as variações do
ambiente. Quando a referência é um sinal normalmente constante, se está diante de um
sistema regulador. Se a referência é variável, como acontece, por exemplo, em um radar
de rastreamento de aeronaves, se está ante a um servossistema.
1.6.4 Sistema de Controle de temperatura
Na �gura (1.17) apresenta-se um sistema cujo objetivo é manter a temperatura de
uma estufa num valor preestabelecido. A estufa é aquecida à custa de uma circulação
forçada de ar quente, cuja velocidade é determinada por um ventilador.
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1.6 Exemplos de Sistemas de Controle 11
Figura 1.16: Sistema de Controle com Realimentação.
Figura 1.17: Sistema de Controle de Temperatura.
Em virtude da velocidade �nita de circulação de ar quente, qualquer variação de
temperatura no queimador será detectada pelo termômetro colocado na estufa, apenas
L/v segundos mais tarde -atraso de transporte - (L é o comprimento da tubulação e v
velocidade do ar na tubulação). Se, no instante t = 0, a referência for incrementada
de r, o erro sofrerá imediatamente esse acréscimo e manter-se-á nesse valor durante L/v
segundos, começando então a diminuir, e acabando por mudar de sinal num instante
posterior, que designar-se-à por tc.
Figura 1.18: Diagrama de Blocos do Sistema de Controle de Temperatura.
Quando isso acontece, o controlador ordena a redução do calor fornecido a estufa.
Contudo, isso só se fará semtir também L/v segundos mais tarde. Até lá, o ar que foi
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12 Introdução aos Sistemas de Controle
atravessando a estufa transportou mais calor do que o necessário, pelo que a temperatura
da estufa no instante tc + L/v estará acima do valor desejado. Consequentemente, o
mesmo padrãp irá se repetir, mas agora com o sinal contrário, e assim sucessivamente.
A temperatura oscilará com período aproximado de 4L/v, conforme ilustrado na �gura
(1.20) curva (a). Reduzindo o valor de K (procedimento cauteloso), �gura (1.18), pode-se
evitar as oscilações - mas à custa da precisão e velocidade de resposta. Este fato é patente
na curva (b) da �gura (1.20), onde se pode ver a temperatura convergir muito lentamente,
e de forma monótona, para um valor mais baixo.
Figura 1.19: Evolução da temperatura após um incremento r no valor da referência da tem-
peratura para: (a) K=10 e atraso=0,1; (b) K=1 e atraso=0,1; (c) K=10 e atraso=0,025.
Numa tentativa de conseguir uma resposta que fosse simultameamente rápida e precisa,
quadriplicou-se a velocidade do ar, �xando-se o ganho no mesmo valor da curva (a). Isto
resultou numa melhoria drástica do desempenho conforme se constata da curva (c).
1.6.5 Sistema de Controle de Vazão
A �gura (1.20) mostra um sistema de controle de vazão. A variável do processo é
a vazão que é detectada através de um sensor de vazão. A informação da vazão atual
é transmitida usando um transmissor ao controlador. A vazão desejada no processo e
ajusta no contralador que compara a vazão atual com a vazão desejada. Assim é gerado
um sinal de erro que é enviado a válvula. Como o acionamento da válvula é pneumático e o
controlador gera um sinal de erro eletrônico, 4 mA, é necessário um conversor, que converte
o sinal eletrônico em um sinal pneumático, acionando assim a válvula pneumática. A ação
da válvula pneumática é de abrir ou fechar, enquanto o controlador enviar um sinal de
erro. Se o a vazão entre em regime, o controlador enviará um sinal constantes, bias, de
forma que a abertura da válvula tenha um valor pré-determinado.
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1.6 Exemplos de Sistemas de Controle 13
Figura 1.20: Malha Fechada - Sistema de Controle de Vazão.
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14 Introdução aos Sistemas de Controle
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Capítulo 2
Modelos Matemáticos de Sistemas
Neste capítulo iremos modelar principalmente sistemas dinâmicos contínuos através
de equações diferencais lineares ordinárias. Se o modelo resultante for uma equação a
derivadas parciais, então esta será normalmente discretizada na sua variável espacial de
forma a obter uma descrição mais simples apesar de menos detalhada.
2.1 Sistema de Nível de Líquido
Considera-se um reservatório com uma seção reta de área A conforme indicado na
�gura (2.1), com as seguintes variáveis 1:
Figura 2.1: Nível de Líquido.
Qi(t) - vazão de entrada, m3/s;
Qo(t) - vazão de saída, m3/s
Q - vazão em regime permanente, m3/s;
1CARVALHO, J. L. M. de (2000), Sistemas de Controle Automático, LTC editora, Rio de Janiro, RJ,
p. 14 a 16.
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16 Modelos Matemáticos de Sistemas
qi(t) - pequeno desvio da vazão de entrada em relação ao seu valor de regime, m3/s;
q0(t) - pequeno desvio da vazão de saída em relação ao seu valor de regime, m3/s;
H(t) - altura do nível, m
H - altura do nível em regime permanente, m
h(t) - pequeno desvio da altura do nível em relação ao seu valor de regime, m;
ρ - massa especí�ca do �uido, kg/m3;
R resistência ao �uxo de líquido na restrição de�nida como a variação na diferença de
nível necessária para causar uma variação unitária na vazão, (m)/(m3/s);
C capacitância do reservatório de�nida como sendo a variação na quantidade de líquido
armazenado necessário para causar uma variação unitária na altura do nível de
líquido, m3/m;
A Lei da conservação de massa diz-nos que, num curto intervalo de tempo, a diferença
entre a vazão mássica de entrada e a de saída é igual ao aumento de massa de líquido
armazenado, isto é massa que entra menos massa que saí é igual a acumulação.
Então
ρQi(t)− ρQo(t) = ρA
dH(t)
dt
(2.1)
onde:
Qi(t) = Q+ qi(t) (2.2)
Qo(t) = Q+ qo(t) (2.3)
H(t) = H + h(t) (2.4)
É conhecido que a vazão através de um orifício é normalmente uma função da raiz
quadrada da queda de pressão através deste; para o caso de uma descarga para a atmosfera,
a quedade pressão é proporcional a H(t). Temos portanto, considerando uma abertura
pequena e constante,
Qo(t) = Kt
√
H(t) (2.5)
onde: Kt coe�ciente do orifício (válvula).
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2.1 Sistema de Nível de Líquido 17
Kt = CdA
√
2g (2.6)
com Cd sendo o coe�ciente de descarga da válvula.
Devería-se também ser considerado a queda de pressão na linha de descarga que, para
um regime turbulento, é aproximadamente proporcional ao quadrado da vazão.
Substituindo a equação (2.5) na equação (2.1) e reagrupando os termos, obtém-se o
seguinte modelo:
A
dH(t)
dt
+Kt
√
H(t) = Qi(t) (2.7)
que é uma equação diferencial não linear.
2.1.1 Resposta Linear
Obviamente, equações lineares são mais fáceis de resolver; portanto deve-se tentar uma
simpli�cação. Na maior parte das situações se quer manter H(t) constante, igual a H,
e se o sistema de controle estiver funcionando normalmente apenas permitirá pequenos
desvios h(t) ao redor do valor de equilíbrio H. Pode-se linearizar o termo não linear da
equação(2.7) ao redor do ponto de funcionamento H. Designa-se por Q o valor em regime
permanente da vazão, tanto de entrada como de saída.
Se Qi(t) for subitamente aumentado de uma pequena quantidade qi(t), Qo(t) aumen-
tará gradualmente até Q+ q0(t).
Exprimindo as variáveis da equação (2.1) em termos das suas componentes em regime
estacionário e dos seus desvios, obtém-se:
A
d
dt
(
H + h(t)
)
=
(
Q+ qi(t)
)
−
(
Q+ qo(t)
)
(2.8)
que é equivalente a
A
dh(t)
dt
= qi(t)− qo(t) (2.9)
Por outro lado,
qo(t) =
Kt
2
√
H̄
h(t) + f(h2(t)) (2.10)
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18 Modelos Matemáticos de Sistemas
com: f(h2(t)) são diferenciais de segunda ordem e superiores que serão desprezados na
linearização de
√
H(t).
Substituindo a equação (2.10) na equação (2.9), chega-se à:
A
dh(t)
dt
= qi(t)−
Kt
2
√
H
(2.11)
A
dh(t)
dt
+
Kt
2
√
H
= qi(t) (2.12)
De�nindo resistência dinâmica, R, como sendo a resistência ao �uxo de líquido na
restrição
R =
2
√
H
Kt
(2.13)
a equação (2.12) é escrita como:
AR
dh(t)
dt
+ h(t) = Rqi(t) (2.14)
A solução da equação (2.14), para uma entrada degrau com valor qi(t) = q̄i constante,
é:
h(t) = Rq̄i
(
1− e−
t
AR
)
(2.15)
A solução da equação (2.18) pode ser aproximada para as condições de regime perma-
nente por:
h(t) = Rq̄i
mas
H(t) = H̄ + h(t) = H̄ +Rq̄i = H̄ + 2
√
H̄
Kt
como
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2.1 Sistema de Nível de Líquido 19
Q̄ = Kt
√
H̄ ⇒ Kt =
Q̄√
H̄
então
H(t) = H̄ + 2
√
H̄
√
H̄
Q̄
q̄i = H̄
(
1 + 2
q̄i
Q̄
)
hL∞ = H̄
(
1 + 2
q̄i
Q̄
)
(2.16)
A solução linearizada equação (2.14) pode ser utilizando no lugar da solução não linear,
equação (2.33), se:
q̄i
Q̄
≤ 0, 2 (2.17)
Pode-se representar também a equação (2.14) em função da variável q0(t). Da equação
(2.10) com a de�nição da equação (2.13) chega-se a:
h(t) = Rqo(t) (2.18)
Substituindo a equação (2.18) na equação (2.14), obtém-se:
AR
dqo(t)
dt
+ qo(t) = qi(t) (2.19)
As equações (2.14) e (2.19) são as equações lineares desejadas.
Vejamos agora como a equação (2.10) resultou da equação (2.5). Desenvolvendo√
H(t) em série de Taylor ao redor de H, obtém-se:
f(x) = f(x) +
f ′(x)
1!
(x− x) + f
′′(x)
1!
(x− x)2 + . . . (2.20)
Prof. José Juliano de Lima Jr.
20 Modelos Matemáticos de Sistemas
Fazendo x = H e h = (x− x), tem-se:
f(x) =
√
H (2.21)
f ′(x) =
1
2
√
H
(2.22)
então
√
H(t) =
√
H +
h(t)
2
√
H
− h
2(t)
8
1(√
H
) + . . .
=
√
H +
h(t)
2
√
H
+ f(h2(t)) (2.23)
Para pequenos valores de h(t) pode-se desprezar os termos não-lineares f(h2(t)).
Substituindo a equação (2.23) na equação (2.5) tem-se:
Qo(t) = Q+ qo(t) = Kt
(√
H +
h(t)
2
√
H
)
(2.24)
então:
qo(t) =
Kt
2
√
H
h(t) +Kt
√
H −Q (2.25)
�nalmente:
qo(t) =
Kt
2
√
H
h(t) (2.26)
O valor de Kt pode ser determinado, sem di�culdades, por via experimental, através
da representação grá�ca do valor de H, em regime permanente, para cada valor de Qi(t).
Do grá�co da �gura (2.2), tem-se que:
df(x)
dx
∣∣∣∣
x=x
= tgα =
Kt
2
√
H
=
1
R
(2.27)
2.1.2 Resposta Não Linear.
A equação(2.7) pode ser resolvida exatamente 2. Neste caso faz-se uma mudança de
variável
√
H(t) = u(t) a qual reduz a equação na forma:
2CAMPBELL, D. P. (1958), Process Dynamics, John Wiley and Sons, Inc., p. 53-55.
Prof. José Juliano de Lima Jr.
2.1 Sistema de Nível de Líquido 21
Figura 2.2: Vazão de Saída em Regime Estacionário em Função da Pressão da Altura da
Coluna de Líquido.
2u(t)A
du(t)
dt
+Ktu(t) = Qi(t) (2.28)
Após a mudança de variável a equação(2.28) pode ser escrita como:
2u(t)du
Ktu(t)−Qi(t)
=
dt
A
(2.29)
cuja solução pode ser encontrada por integração considerando uma variação degrau, na
vazão de entrada, q(t) = q̄i.
2
∫ u
u0
u(t)du
Ktu(t)−Qi
− 1
A
∫ t
0
dt (2.30)
A solução �ca:
2
Kt
(u(t)− u0) +
2Qi
K2t
log
(
Ktu(t)−Qi
Ktu0 −Qi
)
= − t
A
(2.31)
ou
2u(t) +
2Qi
Kt
log (Ktu(t)−Qi) = 2u0 −Kt
t
A
+
2Qi
Kt
log (Ktu0 −Qi) (2.32)
Substituindo na equação(2.32) u(t) =
√
H(t), u0 =
√
H̄ e Qi = Q̄+ q̄i, tem-se:
Prof. José Juliano de Lima Jr.
22 Modelos Matemáticos de Sistemas
Figura 2.3: Variação do nível do quando sujeito ao degrau q̄i.
Kt
√
H(t) + (Q̄+ q̄i) log
[
Kt
√
H(t)− (Q̄+ q̄i)
]
=
Q̄− K
2
t
2A
t+ (Q̄+ q̄i) log q̄i (2.33)
Considerando a resposta em regime permanente para uma excitação degrau de valor
q̄i, tem-se:
hNL∞ = H̄
(
1 +
q̄i
Q̄
)2
(2.34)
O ângulo de inclinação e o desvio na altura, valem:
inclinação =
q̄i
A
e ∆h = hNL∞ − hL∞
2.2 Pêndulo Invertido
Um pêndulo invertido montado sobre um suporte móvel acionado a motor é mostrado
na �gura (2.4). Este é um modelo do controle de atitude de um foguete durante a fase de
lançamento ou de posição vertical de um robô, entre outros. A posição vertical do pêndulo
invertido é instável pelo fato de que ele tende a se afastar desta posição, para um lado ou
para o outro, a menos que seja aplicada uma força de controle adequada. Considera-se
aqui somente o problema a duas dimensões, em que o movimento do pêndulo �ca restrito
ao plano da página. A força de controle u(t) e a força de amortecimento viscoso cẋ(t) são
Prof. José Juliano de Lima Jr.
2.2 Pêndulo Invertido 23
aplicadas ao suporte móvel. Admitindo que o centro de massa da haste do pêndulo esteja
em seu centro geométrico, obtém-se um modelo matemático para o sistema.
Figura 2.4: Pêndulo Invertido.
As principais variáveis, são:
M - massa do suporte móvel, kg;
m - massa da haste do pêndulo, kg;
I - momento de inércia de massa da haste do pêndulo, kgm2;
ℓ - metade do comprimento da haste do pêndulo, m;
u(t) - força de controle, N;
c - coe�ciente de amortecimento, kg/s;
x - coordenada horizontal, m;
θ - coordenada angular da haste do pêndulo, rad;
xG - coordenada horizontal do centro de massa da haste do pêndulo, m;
yG - coordenada vertical do centro de massa da haste do pêndulo, m.
A equação de movimento dinâmico do pêndulo invertido é obtida aplicando-se a equa-
ção de Lagrange, método energético, para as coordenadas generalizadas q1(t) = x(t) e
q2(t) = θ(t).
d
dt
(
∂L
∂q̇i
)
−
(
∂L
∂qi
)
= Qi (2.35)
Prof. José Juliano de Lima Jr.
24 Modelos Matemáticos de Sistemas
com:
L - Lagrangeano, J;
qi - coordenada generalizada, m ou rad;
Qi - forças generalizadas conservativas ou dissipativas, N ou Nm.
O Lagrangeano é de�nido por:
L = T − V (2.36)
com:
T - energia cinética do sistema, J;
V - energia potencial do sistema, J.
A energia cinética do sistema, é:
T =
1
2
M
(
dx(t)
dt
)2
+
1
2
m
(
dxG(t)
dt
)2
+
1
2
m
(
dyG(t)
dt
)2
+
1
2
I
(
dθ(t)
dt
)2
(2.37)
A energia potencial gravitacional, é:
V = −mgℓ(1− cos θ(t)) (2.38)
Com base na �gura (2.4), as coordenadas do centro de massa da haste do pêndulo,
são:
xG(t) = x(t) + ℓ sen θ(t) (2.39)
yG(t) = ℓ cos θ(t) (2.40)
Desenvolvendo a equação (2.37), tem-se:
T =
1
2
Mẋ2 +
1
2
m
[
d
dt
(x+ ℓ sen θ)
]2
+
1
2
m
[
d
dt
ℓ cos θ
]2
+
1
2
Iθ̇2 (2.41)
então:
Prof. José Juliano de Lima Jr.2.2 Pêndulo Invertido 25
T =
1
2
Mẋ2 +
1
2
m
(
ẋ+ ℓθ̇ cos θ
)2
+
1
2
m
(
−ℓθ̇ sen θ
)2
+
1
2
Iθ̇2 (2.42)
ou
T =
1
2
Mẋ2 +
1
2
m
(
ẋ2 + ℓ2θ̇2 cos2 θ + 2ℓẋθ̇ cos θ
)
+
1
2
mℓ2θ̇2 sen 2θ +
1
2
Iθ̇2 (2.43)
logo
T =
1
2
Mẋ2 +
1
2
m
(
ẋ2 + ℓ2θ̇2 cos2 θ + 2ℓẋθ̇ cos θ + ℓ2θ̇2 sen 2θ
)
+
1
2
Iθ̇2 (2.44)
Finalmente:
T =
1
2
Mẋ2 +
1
2
m
(
ẋ2 + ℓ2θ̇2 + 2ℓẋθ̇ cos θ
)
+
1
2
Iθ̇2 (2.45)
Com as expressões (2.38) e (2.45) obtém-se o Lagrangeano.
L =
1
2
Mẋ2 +
1
2
m
(
ẋ2 + ℓ2θ̇2 + 2ℓẋθ̇ cos θ
)
+
1
2
Iθ̇2 +mgℓ(1− cos θ) (2.46)
Aplicando-se a equação de Lagrange para a coordenada generalizada q1(t) que corres-
ponde a coordenada x(t), vem:
∂L
∂x
= 0
∂L
∂ẋ
= (M +m) ẋ+mℓθ̇ cos θ (2.47)
Q1 = u− cẋ
Aplicando-se a equação de Lagrange para a coordenada generalizada q2(t) que corres-
ponde a coordenada θ(t), vem:
∂L
∂θ
=
1
2
m
(
−2ℓẋθ̇ sen θ
)
+mgℓ sen θ (2.48)
∂L
∂θ̇
=
1
2
m
(
2ℓ2θ̇ + 2ℓẋ cos θ
)
+ Iθ̇
Q2 = 0
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26 Modelos Matemáticos de Sistemas
simpli�cando, vem:
∂L
∂θ
= −mℓẋθ̇ sen θ +mgℓ sen θ (2.49)
∂L
∂θ̇
=
(
mℓ2 + I
)
θ̇ +mℓẋ cos θ
Q2 = 0
Substituindo-se as equações (2.47) na equação (2.35), para a coordenada q1(t), tem-se:
d
dt
(
Mẋ+mẋ+mℓθ̇ cos θ
)
= u− cẋ (2.50)
(M +m)ẍ+ cẋ = u− (mℓ cos θ)θ̈ + (mℓ sen θ)θ̇2 (2.51)
Substituindo-se as equações (2.49) na equação (2.35), para a coordenada q2(t), tem-se:
d
dt
[
(mℓ2 + I)θ̇ +mℓẋ cos θ
]
+mℓẋθ̇ sen θ −mgℓ sen θ = 0 (2.52)
(mℓ2 + I)θ̈ −mℓẋθ̇ sen θ +mℓẋθ̇ sen θ −mgℓ sen θ = −mℓẍ cos θ (2.53)
Logo, tem-se o sistema de equações:
(M +m)ẍ+ cẋ = u− (mℓ cos θ)θ̈ + (mℓ sen θ)θ̇2(mℓ2 + I)θ̈ −mgℓ sen θ = −mℓẍ cos θ (2.54)
O sistema de equações (2.54) é não linear.
Linearizando o sistema de equações (2.54) considerando pequenas variações de θ, então
sen θ = θ e cos θ = 1, tem-se:
(M +m)ẍ(t) + cẋ(t) = u(t)−mℓθ̈(t)(mℓ2 + I)θ̈(t)−mgℓθ(t) = −mℓẍ(t) (2.55)
Se θ = 14o o erro na linearização do arco seno é de 1 %, θ = 20o o erro é de 2 % e se
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2.2 Pêndulo Invertido 27
θ = 45o o erro é de 10 %.
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28 Modelos Matemáticos de Sistemas
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Capítulo 3
Transformada de Laplace
3.1 Introdução
A Transformada de Laplace é uma das mais importantes ferramentas disponíveis para
a análise e projeto de sistemas lineares. É um método operacional que pode ser usado
vantajosamente par resolver equações diferenciais lineares invariantes no tempo. Sua
vantagem principal é que a diferenciação de uma função no tempo corresponde a multipli-
cação da transforma por uma variável complexa s, e assim a equação diferencial no tempo
torna-se uma equação algébrica em s. A solução da equação diferencial pode ser então
encontrada usando uma tabela de transformada de Laplace ou pela técnica da expan-
são em frações parciais. Outra vantagem da Transformada de Laplace é que ao resolver
a equação diferencial, as condições iniciais são automaticamente levadas em conta, e as
soluções particular e complementar são obtidas simultaneamente.
3.2 A Transformada de Laplace
A função X(s) na equação (3.1) é chamada de transformada de Laplace de x(t). Para
x(t) contínuo no tempo, a transformada de Laplace é de�nida como:
X(s) =
∞∫
−∞
x(t)e−stdt (3.1)
A variável s é geralmente complexa e expressa como:
s = σ + jω (3.2)
A transformada de Laplace de�nida na equação (3.1) é freqüentemente chamada de
Prof. José Juliano de Lima Jr.
30 Transformada de Laplace
Transformada de Laplace Bilateral (ou de dois lados) em contraste com a seguinte de�ni-
ção:
XI(s) =
∞∫
0−
x(t)e−stdt (3.3)
onde
0− = lim
ε→0
(0− ε)
Claramente a transformadas bilateral e unilateral são equivalentes somente se x(t) = 0
para t < 0.
A equação (3.1) é algumas vezes considerada um operador que transforma um sinal
x(t) em uma função X(s), simbolicamente representada por:
X(s) = L {x(t)} (3.4)
e o sinal x(t) e sua transformada de Laplace X(s) são ditas que formam um par da
transformada de Laplace, escrita como:
x(t)↔ X(s) (3.5)
3.2.1 Pólos e Zeros de X(s)
Normalmente X(s) é uma função racional em s, isto é:
X(s) =
b0s
m + b1s
m−1 + ...+ bm
a0sn + a1sn−1 + ...+ an
=
b0(s− z1)...(s− zm)
a0(s− p1)...(s− pn)
(3.6)
Os coe�cientes ak e bk são constantes reais, e m e n são inteiros positivos. X(s) é
chamada de função racional própria se n > m e imprópria se n ≤ m.
As raízes do polinômio do numerador, zk, são chamadas de zeros de X(s), porque
X(s) = 0 para esses valores do s. Da mesma maneira, as raízes do polinômio do denomi-
nador, pk, são chamadas de pólos de X(s), porque X(s) é in�nito para esses valores de
s.
Exceto por um fator de escala b0/a0, X(s) pode ser completamente especi�cado pelos
seus pólos e zeros.
Prof. José Juliano de Lima Jr.
3.3 Transformada de Laplace de Sinais Comuns 31
Assim, uma representação muito compacta de X(s) no plano s é mostrar a localização
dos pólos e zeros em conjunto com a ROC.
Tradicionalmente, um �x� é usado para indicar cada localização do pólo e �o� para
indicar cada zero.
Por exemplo, se
X(s) =
2s+ 4
s2 + 4s+ 3
= 2
(s+ 2)
(s+ 1) (s+ 3)
Re(s) > −1
Observe que X(s) tem um zero para s = −2 e dois pólos s = −1 e s = −3 com fator
de escala de 2.
Figura 3.1: Representação no Plano s de X(s).
3.3 Transformada de Laplace de Sinais Comuns
3.3.1 Função Impulso Unitário δ(t)
Com auxílio das equações (3.7) e (3.8) temos:
X(s) =
∞∫
−∞
x(t)e−stdt (3.7)
∞∫
−∞
ϕ(t)δ(t)dt = ϕ(0) (3.8)
tem-se:
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32 Transformada de Laplace
L {δ (t)} =
∞∫
−∞
δ (t) e−stdt = 1 ∀ s (3.9)
3.3.2 Função Degrau Unitário u(t)
A transformada de Lapace de u(t) é dada pela equação (3.10), como:
L {u (t)} =
∞∫
−∞
u (t) e−stdt =
∞∫
0+
e−stdt = − 1
s
e−st
∣∣∣∣∞
0+
=
1
s
Re(s) > 0 (3.10)
onde 0+ = lim (0 + ε)
ε→0
3.3.3 Pares de Transformada de Laplace de Sinais Comuns
Na tabela 3.1 são apresentados alguns pares de transformada de Laplace com as res-
pectivas regiões de convergência.
Tabela 3.1: Pares de Algumas Transformadas de Laplace para t ≥ 0.
x(t) X(s) ROC
δ(t) 1 ∀ s
1 1
s
Re(s) > 0
t 1
s2
Re(s) > 0
tk k!
sk+1
Re(s) > 0
1√
πt
1√
s
Re(s) > 0
e−at 1
s+ a
Re(s) > - Re(a)
−e−at 1
s+ a
Re(s) < - Re(a)
te−at 1
(s+ a)2
Re(s) > - Re(a)
−te−at 1
(s+ a)2
Re(s) < - Re(a)
tne−at n!
(s+ a)n+1
Re(s) > - Re(a)
1
(n−1)!t
n−1eat 1
(s−a)n (n = 1, 2, . . .) Re(s) < - Re(a)
cosωt s
s2+ω2
Re(s) > 0
senωt ω
s2+ω2
Re(s) > 0
1− cosωt ω2
s(s2+ω2)
Re(s) > 0
(cos at−cos bt)
(b2−a2)
s
(s2+a2)(s2+b2)
a2 ̸= b2 Re(s) > 0
e−at cos ωt s+a
(s+ a)2 +ω2
Re(s) >- Re(a)
e−at sen ω0 t
ω
(s+ a )2 +ω2
Re(s) > - Re(a)
Prof. José Juliano de Lima Jr.
3.4 Propriedades da Transformada de Laplace 33
3.4 Propriedades da Transformada de Laplace
As principais propriedades são apresentadas a seguir:
3.4.1 Linearidade
Se
x1(t)↔ X1(s) com ROC = R1
x2(t)↔ X2(s) com ROC = R2
então
a1x1(t) + a2x2(t) ↔ a1X1(s) + a2X2(s) R′ ⊃ R1 ∩ R2 (3.11)
A ⊃ B ⇒ que A contém B e A ∩ B ⇒ A interseção com B.
3.4.2 Deslocamento no Tempo (Time Shifting)
Se
x(t)↔ X(s) com ROC = R
então
x(t− t0) ↔ e−st0X(s) com R′ = R (3.12)
A equação (3.12) indica que a ROC antes e depois da operação de deslocamento no
tempo são as mesmas.
3.4.3 Deslocamento no Domínio s
Se
x(t)↔ X(s) com ROC = R
então
es0 t x(t) ↔ X(s − s0) com R′ = R+ Re(s0) (3.13)
Prof. José Juliano de Lima Jr.
34 Transformada de Laplace
3.4.4 Escalonamento no tempo (time Scaling)
Se
x(t)↔ X(s) com ROC = R
então
x(at)↔ 1
|a|
X
(s
a
)
com R′ = aR (3.14)
A equação (3.14) indica que um escalonamento de variável do tempo t por um fator a
causa um escalonamento inverso de variável s por 1/a, como também, um escalonamento
da amplitude de X(s/a) por 1/|a|.
3.4.5 Reverso do Tempo
Se
x(t)↔ X(s) com ROC = R
então
x (−t)↔ X(−s) com R′ = −R (3.15)
Assim, um reverso no tempo x(t) produz um reverso de ambos os eixos σ- e jω− no
plano s. A equação (3.15) é realmente obtidafazendo a = −1 na equação(3.14).
3.4.6 Diferenciação no Domínio do Tempo
Se
x(t)↔ X(s) com ROC = R
então
dx(t)
dt
↔ sX(s)− x(0±) R′ ⊃ R (3.16)
d2x(t)
dt2
↔ s2X(s)− sx(0±)− ẋ(0±) R′ ⊃ R (3.17)
O efeito da diferenciação no tempo é a multiplicação da correspondente transformada
de Laplace por s. A ROC associada é inalterada a menos que exista um cancelamento
dos pólos e zeros em s = 0.
Prof. José Juliano de Lima Jr.
3.4 Propriedades da Transformada de Laplace 35
3.4.7 Diferenciação no Domínio de s
Se
x(t)↔ X(s) com ROC = R
então
− tx(t) ↔ dX(s)
ds
R′ = R (3.18)
3.4.8 Integração no Domínio do Tempo
Se
x(t)↔ X(s) com ROC = R
então
t∫
0+
x(τ) dτ ↔ 1
s
X(s) R′ = R ∩ {Re (s) > 0} (3.19)
3.4.9 Convolução
Se
x1(t)↔ X1(s) com ROC = R1
x2(t)↔ X2(s) com ROC = R2
então
x1(t) ∗ x2(t)↔ X1(s)X2(s) com R′ ⊃ R1 ∩ R2 (3.20)
Essa propriedade de convolução é uma regra importante na analise e projeto de siste-
mas LTI contínuos no tempo.
Prof. José Juliano de Lima Jr.
36 Transformada de Laplace
Tabela 3.2: Propriedades da Transformada de Laplace.
Propriedade Sinal Transformada ROC
x(t) X(s) R
x1(t) X1(s) R1
x2(t) X2(t) R2
Linearidade a1x1(t) + a2x2(t) a1X1(s) + a2X2(s) R
′ ⊃ R1 ∩R2
Desloc. no Tempo x(t− t0) e−st0X(s) R
′
= R
Desloc. em s es0tx(t) X(s− s0) R
′
= R +Re(s0)
Escalon. no Tempo x(at) 1|a|X(s) R
′
= aR
Reverso no Tempo x(−t) X(−s) R′ = −R
Diferenciação em t dx(t)
dt
sX(s)− x(0±) R′ ⊃ R
Diferenciação em t dx(t)
2
dt2
s2X(s)− sx(0±)− ẋ(0±) R′ ⊃ R
Diferenciação em s −tx(t) dX(s)
ds
R
′
= R
Integração
t∫
0+
x(τ)dτ 1
s
X(s) R
′ ⊃ R ∩ {Re(s) > 0}
Convolução
∫ t
0
f1(t− τ)f2(τ)dτ X1(s)X2(s) R
′ ⊃ R1 ∩R2
3.5 Transformada Inversa de Laplace
A inversão da transformada do Laplace para encontrar o sinal x(t) através de sua
transformada X(s) é chamada de Transformada inversa de Laplace e é simbolicamente
escrita como:
x(t) = L −1{X(s)} (3.21)
3.5.1 Fórmula de Inversão
Existe um procedimento que é aplicável a todas as classes de transformada de funções
que envolvem o cálculo da integral de linha no plano complexo, isto é,
x(t) =
1
2πj
∫ c+ j∞
c− j∞
X(s) estds (3.22)
Nesta integral, o c é escolhido como real, tal que se a ROC do X(s) é σ1 < Re(s) < σ2,
então σ1 < c < σ2
O cálculo da integral da transformada inversa requer um conhecimento de teoria de
variáveis complexas.
Prof. José Juliano de Lima Jr.
3.5 Transformada Inversa de Laplace 37
3.5.2 Uso de Tabelas de Pares de Transformada de Laplace
No segundo método para inversão de X(s), nós temos que expressar X(s) como uma
soma
X(s) = X1(s) +X2(s) + ...+Xn(s) (3.23)
onde X1(s), X2(s),...,Xn(s) são funções com transformadas inversas conhecidas x1(t),
x2(t),...,xn(t).
Da propriedade de linearidade (3.11) segue que:
x(t) = x1(t) + x2(t) + ...+ xn(t) (3.24)
3.5.3 Expansão em Frações Parciais
Se X(s) é uma função racional, isto é da forma:
X(s) =
N (s)
D (s)
= k
(s − z1) ... (s − zm)
(s − p1) ... (s − pn)
(3.25)
Uma técnica simples baseada na expansão das frações parciais pode ser usada para a
inversão do X(s).
a. Quando X(s) é uma função racional própria, isto é, m < n
• Pólo Simples
Se todos os pólos de X(s), isto é, todos os zeros de D(s), são simples (ou
distintos), então X(s) pode ser escrito como:
X(s) =
c1
s − p1
+ ... +
cn
s − pn
(3.26)
onde os coe�cientes ck são dados por:
ck = (s − pk)X (s)|s= pk (3.27)
Por exemplo:
Prof. José Juliano de Lima Jr.
38 Transformada de Laplace
X (s) =
2s + 4
s2 + 4s + 3
= 2
(s + 2)
(s + 1) (s + 3)
=
c1
s + 1
+
c2
s + 3
c1 = (s + 1) X (s) |s=− 1 =
2 (s + 2)
(s + 3)
|s=− 1 =
2 (− 1 + 2)
(− 1 + 3)
=
2
2
= 1
c2 = (s + 3) X (s) |s=− 3 =
2 (s + 2)
(s + 1)
|s=− 3 =
2 (− 3 + 2)
(− 3 + 2)
=
− 2
− 2
= 1
então:
X (s) =
1
s + 1
+
1
s + 3
Re(s) > - 1
x (t) = e− t u (t) + e− 3 t u (t) =
(
e− t + e− 3 t
)
u (t)
x(t) =
(
e−t + e−3t
)
u(t)
• Múltiplos Pólos
Se D(s) tem múltiplas raízes, isto é, se ele contém fatores na forma (s− pi)r
diz-se que pi é o pólo múltiplo de X(s) com multiplicidade r.
Então a expansão do X(s) irá consistir dos termos na forma, com n pólos não
repetidos e r pólos repetidos:
X(s) =
c1
s− p1
+ . . .+
cn
s− pn
+
λ1
s− pi
+
λ2
(s− pi)2
+ ... +
λr
(s− pi)r
(3.28)
onde
λr−k =
1
k!
dk
dsk
[(s− pi)r X(s)]
∣∣∣∣∣ s = pi; k = 0, . . . , r − 1 (3.29)
Por exemplo:
Prof. José Juliano de Lima Jr.
3.5 Transformada Inversa de Laplace 39
X(s) =
s2 + 2s+ 5
(s+ 3)(s+ 5)2
=
c1
s+ 3
+
λ1
s+ 5
+
λ2
(s+ 5)2
onde:
c1 = (s+ 3)X(s) |s=−3 =
s2 + 2s+ 5
(s+ 5)2
|s=−3 =
9− 6 + 5
(−3 + 5)2
=
8
4
= 2
Fazendo r = 2 e k = 0 tem-se:
λ2 =
1
0!
d0
ds0
[
(s+ 5)2X(s)
]
s=−5 =
s2 + 2s+ 5
s+ 3
|s=−5 =
25− 10 + 5
−2
= −10
Fazendo r = 2 e k = 1 tem-se:
λ1 =
1
1!
d
ds
[
(s+ 5)2X(s)
]
s=−5 =
d
ds
[
s2 + 2s+ 5
s+ 3
]
s=−5
=
[
(2s+ 2)(s+ 3)− (s2 + 2s+ 5)1
(s+ 3)2
]
s=−5
=
25− 30 + 1
4
= −1
Logo
X(s) =
2
s+ 3
− 1
s+ 5
− 10
(s+ 5)2
Re(s) > −3
x(t) = 2e−3tu(t)− e−5tu(t)− 10te−5tu(t) =
[
2e−3t − e−5t − 10te−5t
]
u(t)
b. Quando X(s) é uma função racional imprópria, isto é, m ≥ n
Se m ≥ n, por várias divisões podemos escrever X(s) na forma:
X (s) =
N (s)
D (s)
= Q (s) +
R (s)
D (s)
(3.30)
onde N(s) é o numerador e D(s) o denominador, os quais são polinômios em s de
X(s).
Prof. José Juliano de Lima Jr.
40 Transformada de Laplace
O quociente Q(s) é um polinômio em s com graum−n, o resto R(s) é um polinômio
em s com grau estritamente menor de n.
A transformada inversa de Laplace do X(s), então pode ser determinada pela trans-
formada inversa do Q(s) e de R(s)/D(s), com R(s)/D(s) são funções polinomiais
próprias.
A transformada inversa de Laplace de Q(s) pode ser calculada usando o par de
transformada:
dkδ (t)
dtk
↔ sk k = 1, 2, 3... (3.31)
3.6 A função do Sistema ou Função de Transferência
3.6.1 Função do Sistema
Sabe-se que a saída y(t) de um sistema LTI contínuo no tempo é igual a convolução
de entrada x(t) com a resposta impulsiva h(t), isto é,
y(t) = x(t) ∗ h(t) (3.32)
Aplicando a propriedade de convolução, equação (3.20), obtém-se:
Y (s) = X(s)H(s) (3.33)
onde Y (s), X(s) e H(s) são as transformadas de Laplace de y(t), x(t) e h(t) respectiva-
mente.
A equação (3.33) pode ser expressa como:
H(s) =
Y (s)
X(s)
(3.34)
A transformada de Laplace H(s) de h(t) é chamada de Função do Sistema ou Função
Transferência do Sistema.
Pela equação (3.34), a função do sistema H(s) pode ser de�nida como a razão entre
transformada de Laplace da saída y(t) e a transformada de Laplace de entrada x(t).
A função do sistema H(s) caracteriza completamente o sistema, porque a resposta ao
impulso h(t) caracteriza completamente o sistema.
Prof. José Juliano de Lima Jr.
3.6 A função do Sistema ou Função de Transferência 41
Figura 3.2: Função Transferência do Sistema.
3.6.2 Caracterização de um Sistema LTI
Muitas propriedades de um sistema LTI contínuo no tempo são diretamente associadas
com as características de H(s) nos plano s, em particular com a localização de pólos da
ROC (relação entre causa e efeito).
Causalidade
Para um sistema LTI contínuo no tempo, temos:
h(t) = 0 t < 0 (3.35)
Como h(t) é um sinal colocado à direita (right-sided), o requisito correspondente de
H(s) é que a sua ROC deve ser da forma:
Re(s) > σmax (3.36)
Isto é, a ROC é a região no plano s à direita de todos os pólos do sistema.
Da mesma forma, se o sistema é anticausal, então
h(t) = 0 t > 0 (3.37)
e h(t) é um sinal colocado à esquerda. Assim, a ROC de H(s) deve ser de forma:
Re(s) < σmin (3.38)
Isto é, a ROC é a região no plano s à esquerda de todos os pólos do sistema.
Prof. José Juliano de Lima Jr.
42 Transformada de Laplace
Estabilidade
Um sistema LTI contínuo no tempo é BIBO estável se e somente se:
∫ ∞
−∞
|h(t)|dt <∞ (3.39)
A exigência correspondente sobre H(s) é que a ROC de H(s) contém o eixo jω, isto,
s = jω.
Sistema Causal e Estável
Se o sistema é causal e estável, então todos os pólos de H(s) devem �car na metade
esquerda do plano s; isto é, todos possuem