Engenharia_de_Controle[1]

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UNINOVE

Marcela De Almeida Franco
22/09/2020
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Engenharia
de
Controle
Curso: Engenharia Elétrica
Professor: Luiz Carlos da Silva
São Paulo - 5 de agosto de 2012
Sumário
Lista de Tabela v
Lista de Figuras vi
1 Variáveis e Sistemas Dinâmicos 1
1.1 Variáveis Dinâmicas Cont́ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sistemas Dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Comportamento de Sistemas Dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Representação de Sistemas por Modelos Matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Classificação de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Objetivos da Análise e da Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Principais Conceitos Matemáticos 11
2.1 Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Identidade de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 A Forma Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.3 A Forma Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Definição de Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Existência da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Transformadas de Laplace de Funções Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.2 Exponencial Crescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.3 Exponencial Decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.4 Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.5 Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.6 Cosseno e Seno com Amplitude e Ângulo de Fase Quaisquer . . . . . . . 19
2.5 Propriedades Fundamentais da TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5.2 Translação na Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5.3 Diferenciação na Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Transformadas de Laplace de Derivadas e Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6.1 Transformadas de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6.2 Transformadas de Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 Funções Singulares e suas Transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7.1 Degrau Unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
i
SUMÁRIO
2.7.2 Fórmula de Recorrência para Definição de Outras Funções Singulares . . 23
2.7.3 Integrais Sucessivas do Degrau Unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7.4 Impulso Unitário e Funções Impulsivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.8 Translação no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.8.1 Degrau Transladado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.8.2 Impulso Transladado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8.3 Propriedade da Translação no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.9 Teorema do Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.10 Teorema do Valor Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.11 Outras Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.11.1 Produtos de Exponenciais e Funções Senoidais . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.11.2 Produtos de Exponenciais e Potência no Tempo . . . . . . . . . . . . . . 31
2.11.3 Produtos de Funções Senoidais e Potência no Tempo . . . . . . . . . . . 31
2.11.4 Produtos de Exponenciais, Funções Senoidais e Potência no Tempo . . . 32
2.12 Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.13 Transformadas de Laplace Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.13.1 Definições Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.13.2 Determinação da Transformadas Inversas de Laplace . . . . . . . . . . . 34
2.14 Principais Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.15 Propriedades da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.16 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Modelos Matemáticos de Sistemas e Diagrama de Blocos 45
3.1 Diagramas de Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.1 Blocos em Cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.2 Blocos em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.3 Blocos com Ramo de Realimentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Representação Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.1 Sistemas Mecânicos de Translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.2 Sistemas Mecânicos de Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.3 Sistemas Elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.4 Analogia entre Sistemas Mecânicos e Elétricos . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 O Modelo Matemático de Sistemas Dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.1 Prinćıpio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.2 Lei de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.3 Equivalentes Thevenin e Norton de Indutância e Capacitância Inicial-
mente Energizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Circuito Transformado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5 Função de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4 Respostas de Sistemas Dinâmicos 61
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Sistemas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 Sistemas de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5 Estabilidade de Sistemas Dinâmicos 72
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2 Estabilidade e Pólos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3 Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4 Aplicação do critério de estabilidade de Routh na análise de sistemas de controle 77
ii
SUMÁRIO
6 Qualidade de Sistemas 79
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Definições no domı́nio do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.3 Qualidade de sistemas de 1a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.3.1 Entrada degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.3.2 Entrada rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.3 Entrada impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.4 Qualidade de sistemas de 2a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.4.1 Entrada degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.4.2 Entrada impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.5 Sistemas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7 Lugar das Ráızes 97
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.2 Lugares das ráızes de sistemas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.3 Lugares
das ráızes de sistemas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.4 Lugares das Ráızes de Sistemas em Malha Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.5 Interpretação dos Diagramas dos Lugares das Ráızes . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.6 Adição de polos e zeros no lugar das ráızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.6.1 Efeitos da adição de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.6.2 Efeitos da adição de zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.6.3 Polos e zeros adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8 Erro em regime permanente 111
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.2 Classificação dos sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2.1 Tipo do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2.2 Ordem do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.3 Erro em regime permanente para uma determinada entrada . . . . . . . . . . . . 115
8.3.1 Entrada degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.3.2 Entrada rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.4 Erro em regime permanente devido ao distúrbio com realimentação não unitária 118
9 Controladores 120
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9.2 Tipos de controles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9.2.1 Controle Proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9.2.2 Controle Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.2.3 Controle Proporcional mais Integral (PI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.2.4 Controle derivativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.2.5 Controle Proporcional mais Derivativo (PD) . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.2.6 Controle PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.3 Implementação das leis de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.3.1 Controlador Proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.3.2 Controlador Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.3.3 Controlador PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.3.4 Controlador Derivativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.3.5 Controlador PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.3.6 Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.3.7 Somador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.3.8 Subtrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
iii
SUMÁRIO
9.4 Projeto de controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.4.1 Método do lugar das ráızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Bibliografia 144
iv
Lista de Tabelas
1.1 Critérios para classificação de sistemas dinâmicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1 Localização de pólos e parcelas correspondentes da TL Inversa . . . . . . . . . . 37
2.2 Transformada de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Propriedades da Transformada de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1 Analogia de sistemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1 Entradas padronizadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.1 Erro em regime permanente para entradas unitárias. . . . . . . . . . . . . . . . . 118
v
Lista de Figuras
1.1 Gráfico de Y1(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Gráfico de Y2(t) para ωn = 2.5rd/s e ζ = 0.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Bloco representativo de um sistema dinâmico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Indicação de existência de condições iniciais em um sistema dinâmicos. . . . . . 4
1.5 Importância da condição inicial no comportamento do ser humano. . . . . . . . 4
1.6 Representação geral de um sistemas, mostrando entradas, variáveis de estado e
sáıdas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 (a) Bobina; (b)representação aproximada por parâmetros concentrados. . . . . . 7
1.8 Variável cont́ınua e discreta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1 Gráfico de números complexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Soma gráfica de números complexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Representação gráfica de números complexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Funções degrau e senoidal indicando os valores iniciais em t = 0− e t = 0+. . . . 21
2.5 Degrau unitário. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6 Uma função multiplicada pelo degrau unitário. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7 Funções rampa e parábola unitárias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.8 (a)Função f−1(t); (b)Derivada da função (a); (c)Degrau unitário; (d)Impulso
unitário U0(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.9 Velocidade e aceleração de um corpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.10 Degrau unitário transladado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.11 Impulso unitário transladado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.12 Propriedade da amostragem da função impulso unitário. . . . . . . . . . . . . . 28
2.13 Função transladada no tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.14 Gráfico de uma função com amplitude variável. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.15 Plano “s” e região admisśıvel dos pontos singulares de F (s) para aplicação da
fórmula da transformada inversa de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.16 Posśıveis localizações de pólos de uma função racional no plano complexo “s”. . . 36
2.17 Figura relativa ao Exemplo 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.18 Função periódica (onda quadrada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1 Componentes de um diagrama de blocos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Trajetórias do sinal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Blocos em cascata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Ramo de alimentação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
vi
LISTA DE FIGURAS
3.5 Ramo de realimentação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6 Diagrama de bloco referente ao Exemplo 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.7 Parâmetros de sistemas mecânicos de translação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.8 Parâmetros de sistemas mecânicos de rotação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.9 Parâmetros de sistemas elétricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.10 Capacitor inicialmente energizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.11 Equivalente Thevenin para capacitor inicialmente energizado. . . . . . . . . . . . 53
3.12 Equivalente Norton para capacitor inicialmente energizado. . . . . . . . . . . . . 53
3.13 Indutor inicialmente energizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.14 Equivalente Thevenin para indutor inicialmente energizado. . . . . . . . . . . . . 54
3.15 Equivalente Norton para indutor inicialmente energizado. . . . . . . . . . . . . . 54
3.16 Resistor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 55
3.17 Transformada de Laplace do resistor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.18 Indutor com corrente inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.19 Transformada de Laplace do Equivalente Thevenin para indutor com corrente
inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.20 Transformada de Laplace do Equivalente Norton para indutor com corrente inicial. 56
3.21 Capacitor inicialmente carregado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.22 Transformada de Laplace do Equivalente Thevenin para capacitor inicialmente
energizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.23 Transformada de Laplace do Equivalente Norton para indutor inicialmente ener-
gizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.24 Sistema massa-mola-amortecedor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.25 Sistema resistor-indutor-capacitor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.26 Representação do diagrama de blocos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1 Resposta em regime transitório e em regime permanente de uma mola . . . . . . 61
4.2 Carga mecânica rotacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Gráfico da resposta do sistema de 1a ordem para impulso unitário. . . . . . . . . 64
4.4 Gráfico da resposta do sistema de 1a ordem para degrau unitário. . . . . . . . . 65
4.5 Gráfico da resposta do sistema de 1a ordem para rampa unitária. . . . . . . . . . 65
4.6 Carga mecânica de translação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.7 Gráfico da resposta do sistema de 2a ordem para impulso unitário. . . . . . . . . 67
4.8 Gráfico da resposta do sistema de 2a ordem para degrau unitário. . . . . . . . . 68
4.9 Gráfico da resposta do sistema de 2a ordem para rampa unitária. . . . . . . . . . 68
4.10 Gráfico da resposta do sistema de 2a ordem para senóide unitária. . . . . . . . . 69
4.11 Circuito com resistor e indutor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.12 Circuito após fechamento da chave. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.13 Gráfico das correntes em função do tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1 Tipos de equiĺıbrio de um corpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Figura relativa ao Exemplo 5.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.1 Curva de resposta mostrando os tempos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2 Sistema de 1a ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.3 Resposta ao degrau de um sistema de 1a ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.4 Resposta à rampa de um sistema de 1a ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.5 Resposta ao impulso de um sistema de 1a ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.6 Sistema de 2a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.7 Pólos de sistemas de 2a ordem para equação caracteŕıstica da forma s2 +2ζωns+
ω2n = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
vii
LISTA DE FIGURAS
6.8 Resposta ao degrau de sistema de 2a ordem com amortecimento nulo. . . . . . . 85
6.9 Resposta ao degrau de sistema de 2a ordem subamortecido. . . . . . . . . . . . . 87
6.10 Resposta ao degrau de sistema de 2a ordem criticamente amortecido. . . . . . . 91
6.11 Resposta ao degrau de sistema de 2a ordem superamortecido. . . . . . . . . . . . 93
6.12 Resposta ao impulso de sistema de 2a ordem com amortecimento nulo. . . . . . 94
6.13 Resposta ao impulso de sistema de 2a ordem subamortecido. . . . . . . . . . . . 95
6.14 Resposta ao impulso de sistema de 2a ordem criticamente amortecido. . . . . . . 95
6.15 Resposta ao impulso de sistema de 2a ordem superamortecido. . . . . . . . . . . 96
7.1 Lugar das ráızes para sistema de primeira ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.2 Lugar das ráızes para o sistema de segunda ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.3 Resposta do sistema a uma entrada degrau unitário com variação de k. . . . . . 99
7.4 Figura referente ao Exemplo 7.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.5 Lugar das ráızes referente ao Exemplo 7.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.6 Sistema em malha fechada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.7 Figura referente ao Exemplo 7.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.8 Figura referente ao Exemplo 7.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.9 Polos complexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.10 Frequência angular e coeficiente de amortecimento. . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.11 Efeito de variação de K em ωn e ζ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.12 Limiar de estabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.13 Estabilidade relativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.14 Gráfico do lugar das ráızes de um sistema com: a) um único polo, b) dois polos
e c) três polos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.15 Gráfico do lugar das ráızes: (a) de um sistema com três polos, (b), (c) e (d)
mostram os efeitos da adição de um zero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.16 Resposta t́ıpica no tempo como função da localização do polo real. . . . . . . . . 109
7.17 Diagrama de polo-zero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.1 Sistema de controle em malha fechada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.2 Malha fechada com realimentação não-unitária. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.3 Conversão para realimentação unitária. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.4 Sistema equivalente com realimentação unitária. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.5 Figura referente ao exerćıcio 8.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.6 Erro em regime permanente para uma entrada degrau. . . . . . . . . . . . . . . 116
8.7 Erros de regime permanente: (a) entrada degrau, (b) entrada rampa e (c) entrada
parabólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.8 Sistema com realimentação não unitária sujeito a distúrbio. . . . . . . . . . . . . 118
8.9 Sistema com distúrbio zerado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.10 Sistema com entrada de referência zerada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.1 Resposta do controlador proporcional ao degrau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.2 Controle proporcional em malha fechada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.3 Resposta do controlador integral ao degrau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.4 Controle integral em malha fechada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.5 Figura referente ao Exemplo 9.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.6 Controle proporcional mais integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.7 Resposta do controlador proporcional mais integral ao degrau. . . . . . . . . . . 124
9.8 Figura referente ao Exemplo 9.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.9 Resposta do controlador derivativo a rampa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.10 Controle derivativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
viii
LISTA DE FIGURAS
9.11 Controle proporcional mais derivativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.12 Figura referente ao Exemplo 9.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.13 Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.14 Figura referente ao Exemplo 9.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.15 A forma inversora do amplificador operacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.16 A forma geral do amplificador operacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.17 Controlador Proporcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.18 Controlador Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.19 Controlador PI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.20 Controlador Derivativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.21 Controlador PD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.22 Controlador PID simplificado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.23 Controlador PID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.24 Bloco somador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.25 Somador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.26 Bloco subtrator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.27 Subtrator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.28 Lugar das ráızes de malha aberta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.29 Lugar das ráızes com o ponto desejado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.30 Lugar das ráızes com o polo na origem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.31 Lugar das ráızes mostrando os ângulos dos polos e zeros ao ponto P. . . . . . . . 142
9.32 Determinação dos zeros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
ix
Caṕıtulo
1
Variáveis e Sistemas Dinâmicos
1.1 Variáveis Dinâmicas Cont́ınuas
Qualquer sistema ou organismo que esteja sujeito a algum tipo de movimento ou atividade,
terá as grandezas que caracterizam seu estado, ou sua posição, variando ao longo do tempo.
Em sistemas f́ısicos, existem várias grandezas que caracterizam o estado, a atividade ou o
movimento, tais como posição, velocidade, aceleração, força, conjugado, pressão, temperatura,
ńıvel, vazão, carga, tensão e corrente elétricas, e várias outras, além de suas respectivas taxas de
variação. Quando se deseja determinar a evolução de tais grandezas ao longo do tempo, aplicam-
se as leis f́ısicas que regem o comportamento dos vários elementos que formam o sistema,
estabelecendo-se as equações matemáticas de seu comportamento dinâmico.
As grandezas que variam ao longo do tempo são denominadas variáveis dinâmicas, por
serem funções do tempo. Como exemplo, pode-se citar a velocidade angular de um motor ou
de um grupo turbina-gerador, uma corrente elétrica em um circuito, e assim por diante.
Na análise de sistemas dinâmicos, sempre se busca obter a relação entre cada uma das
variáveis e o tempo, através de fórmulas e equações matemáticas ou de gráficos. Assim, no
equacionamento desses sistemas, o tempo será sempre a variável independente, e será denotado
por t, que evidentemente é uma variável real, ou seja, t ∈ <, onde < representa o conjunto dos
números reais.
Para se explicitar que uma variável dinâmica y é função (depende) do tempo, tal variável
é denotada por y(t). Dois exemplos de funções do tempo encontradas em sistemas dinâmicos
simples são os seguintes:
y1(t) =
{
0, t > 0
1− e−t/T , t ≥ 0
(1.1)
y2(t) =

0, t < 0
1−
e−ζωnt√
1− ζ2
sin
(√
1− ζ2ωnt+ cos−1 ζ
)
, t ≥ 0
(1.2)
onde T , ζ e ωn são parâmetros, relacionados com os componentes dos sistemas.
1
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS E SISTEMAS DINÂMICOS
Figura 1.1: Gráfico de Y1(t).
Figura 1.2: Gráfico de Y2(t) para ωn = 2.5rd/s e ζ = 0.3.
Os gráficos das funções dadas por Y1(t) e Y2(t) são mostrados nas Figuras 1.1 e 1.2. Nor-
malmente considera-se que t = 0 é o instante em que o sistema é colocado em funcionamento ou
sofre alguma perturbação cujos efeitos se deseja estudar. Em tais casos é comum que a maioria,
ou mesmo a totalidade, das variáveis do sistema seja nula para t < 0. Nestes, casos, equações
como 1.1 e 1.2 são escritas apenas com as expressões relativas a t ≥ 0, subentendendo-se que
para t < 0 a variável é nula, ou então não é de interesse. Este procedimento é o que será
adotado ao longo deste texto.
Todas as variáveis dinâmicas citadas e exemplificadas até aqui são variáveis cont́ınuas, pri-
meiro porque o tempo é uma variável cont́ınua, e segundo porque essas variáveis são funções do
tempo, isto é, para todo e qualquer instante de tempo, existe um valor definido para qualquer
uma dessas variáveis.
Em sistemas dinâmicos e de controle, após decorrido um tempo suficientemente longo, mui-
tas das variáveis tendem para um valor constante. Matematicamente, este tempo suficiente-
mente longo é denotado por t→∞. Para uma variável y(t) esse valor constante é denominado
valor final, valor de regime permanente ou componente permanente, e denotado por y(∞), sendo
expresso matematicamente como segue:
y(∞) = lim
t→∞
y(t) (1.3)
Com a definição de componente permanente, surge intuitivamente o conceito de componente
transitória (ou simplesmente transitório), dada por:
yt(t) = y(t)− y(∞) (1.4)
2
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS E SISTEMAS DINÂMICOS
de forma que
y(t) = y(∞) + yt(t) (1.5)
De acordo com estas definições, é evidente que, nas equações 1.1 e 1.2, para t > O,
y1t(t) = −e−t/T (1.6)
y2t(t) = −
e−ζωnt√
1− ζ2
sin
(√
1− ζ2ωnt+ cos−1 ζ
)
(1.7)
y1 (∞) = y2 (∞) = 1 (1.8)
1.2 Sistemas Dinâmicos
Um sistema é qualquer conjunto de elementos interagentes, nos quais existam relações de
causa e efeito entre as variáveis.
Esta definição é necessariamente geral, porque deve abranger uma grande variedade de
sistemas. A caracteŕıstica importante desta definição é a de explicitar que as interações entre as
diversas variáveis do sistema devem ser levadas em conta na modelagem e análise dos sistemas,
ao invés de tratar cada elemento separadamente. O uso da palavra sistema não se restringe
a sistemas f́ısicos. O conceito de sistema pode ser aplicado ao estudo de outros fenômenos
dinâmicos, tais como os que ocorrem, por exemplo, em economia, sociologia e biologia. Assim,
em textos que tratam de sistemas de forma abrangente, são encontradas citações e exemplos
sobre sistemas econômicos, sociológicos, biológicos, e outros, além dos sistemas f́ısicos.
Sistemas dinâmicos são sistemas com variáveis que dependem do tempo t. A análise de tais
sistemas consiste em determinar a resposta (ou respostas) do sistema a uma excitação (ou a um
conjunto de excitações). Entende-se por excitação de um sistema dinâmico qualquer variável
ou sinal, vindo de uma fonte externa, o qual, sendo aplicado ao sistema, provoca variações em
uma ou mais de suas variáveis dinâmicas.
As excitações de um sistema dinâmico são também denominadas entradas, e as respostas
são denominadas sáıdas.
Figura 1.3: Bloco representativo de um sistema dinâmico.
1.3 Comportamento de Sistemas Dinâmicos
O comportamento de um sistema dinâmico a partir de um instante inicial t0 depende da
estrutura do sistema, das entradas para t ≥ t0, e também do efeito acumulado de entradas
anteriores a t0 efeito este que resulta nas condições iniciais do sistema. Se o sistema estiver em
repouso no instante inicial, as condições iniciais são nulas.
Por estrutura do sistema entende-se o conjunto de elementos do sistema e a forma como eles
são interconectados. A estrutura determina se o sistema estável ou instável, rápido ou lento,
3
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS E SISTEMAS DINÂMICOS
oscilatório ou não-oscilatório. É evidente que tais caracteŕısticas só podem ser observadas
na sáıda (resposta) do sistema, a qual depende da entrada
aplicada e das condições iniciais.
Costuma-se distinguir a resposta devida somente a condições iniciais da resposta devida somente
a entradas, conforme a Figura 1.4 e as definições a seguir:
1. Resposta livre: é a sáıda (resposta) obtida para t ≥ t0 para certas condições iniciais no
instante t0 considerando o sistema não-excitado, isto é, com entrada(s) nula(s).
2. Resposta Forçada: é a sáıda (resposta) obtida para t ≥ t0 para uma determinada
entrada (ou conjunto de entradas) conhecida(s) para t ≥ t0 com condições iniciais nulas.
3. Resposta Total: é a sáıda (resposta) do sistema que, simultaneamente, tem condições
iniciais e está sujeito a uma determinada entrada (ou conjunto de entradas).
Figura 1.4: Indicação de existência de condições iniciais em um sistema dinâmicos.
Normalmente, por“resposta” já se entende a resposta total. Em sistemas lineares, a resposta
total é dada pela soma da resposta livre com a resposta forçada (Prinćıpio da Superposição).
A condição inicial de um sistema pode ter influência radical no comportamento de um
individuo, como mostra a Figura 1.5, ilustrando as diferentes reações a três beliscões seguidos.
Figura 1.5: Importância da condição inicial no comportamento do ser humano.
4
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS E SISTEMAS DINÂMICOS
1.4 Representação de Sistemas por Modelos Matemáticos
Um modelo matemático, ou, simplesmente, modelo, é a descrição de um sistema em termos
de equações. A base para construção de um modelo são as leis f́ısicas que os elementos do
sistema e suas estruturas de interconexão obedecem. Como exemplos pode-se citar, entre
muitos, o principio da conservação de energia, as leis de Kirchhoff para circuitos elétricos, e as
leis de Newton para sistemas mecânicos.
A finalidade do modelo é permitir a determinação das caracteŕısticas dinâmicas e o cálculo
das sáıdas do sistema, dadas as condições iniciais e as entradas. Um modelo pode ser com-
parado a um mapa, que permite às pessoas percorrerem caminhos e atingirem destinos antes
desconhecidos. Um modelo permite a um matemático ou a um analista de sistemas obter a
resposta de um sistema f́ısico que ele não conhece.
Os modelos mais utilizados na representação de sistemas cont́ınuos são os seguintes:
• Equações diferenciais (ED)
• Funções de transferência (FT’s)
• Diagramas de Blocos (DB’s)
• Equações de Estado (EE’s)
A equação diferencial (ED) é o modelo básico para a representação de sistemas cont́ınuos.
Sistemas simples podem ser representados por uma única equação diferencial. Sistemas mais
complexos são modelados por partes, obtendo-se então um sistema de ED’s como modelo. As
ED’s são obtidas a partir das leis f́ısicas obedecidas pelo sistema e seus elementos. Os outros
modelos citados são obtidos a partir das ED’s.
As funções de transferência (FT’s) são utilizadas para representar sistemas ou subsistemas
lineares invariantes, relacionando diretamente a sáıda com a entrada do sistema. É um tipo de
modelo bastante importante para análise de estabilidade e de outras caracteŕısticas dinâmicas,
além de ser de fundamental importância para representar elementos e subsistemas simples, na
construção de modelos mais complexos.
Os diagramas de blocos (DB’s) tem a finalidade de ilustrar a interconexão de elementos e de
subsistemas para a formação do sistema. Num DB, cada elemento ou subsistema, com apenas
uma entrada e uma sáıda, é representado por um bloco, como na Figura 1.3. A sáıda de um
bloco pode ser entrada para outro ou outros. Assim, os blocos são interligados através de linhas
orientadas, mostrando claramente as relações de causa e efeito entre os vários componentes do
sistema.
As equações de estado (EE’s) formam uma outra classe de modelo, no qual é definido um
conjunto de variáveis de estado (VE’s), que é diferente do conjunto de sáıdas, sendo geralmente
mais amplo. Normalmente o conjunto das VE’s inclui uma ou mais sáıdas. As variáveis de
estado devem ser escolhidas de tal modo que o conhecimento de seus valores em qualquer
instante inicial t0 e o conhecimento das entradas para todo t ≥ t0 seja suficiente para determinar
as sáıdas e as variáveis de estado também para todo t ≥ t0. Uma exigência adicional é a de que
as variáveis de estado sejam independentes, significando que não pode ser posśıvel expressar
uma variável de estado como uma função algébrica de outras. Este método é especialmente
conveniente para a análise de sistemas com várias entradas e sáıdas e para a obtenção de
soluções computacionais. As variáveis de estado podem justificar aspectos importantes do
comportamento do sistema, quaisquer que sejam as sáıdas. Assim, as equações de sáıda podem
ser escritas como funções algébricas das variáveis de estado, das entradas e do tempo. Por
esta caracteŕıstica , o modelo de estado, assim entendida a representação do sistema através de
equações de estado, é considerado como uma representação interna do sistema, isto é, contendo
todos os seus detalhes. Este conceito é ilustrado pela Figura 1.6.
5
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS E SISTEMAS DINÂMICOS
Figura 1.6: Representação geral de um sistemas, mostrando entradas, variáveis de estado e
sáıdas.
1.5 Classificação de Sistemas
Um sistema dinâmico pode ser classificado de acordo com vários critérios: caracteŕısticas
espaciais, linearidade, continuidade do tempo e das variáveis, variação de parâmetros, número
de entradas e sáıdas e existência de excitação. As posśıveis classificações, segundo cada critério,
estão resumidas na Tabela 1.1 e são comentadas a seguir.
CRITÉRIO CLASSIFICAÇÃO
Caracteŕısticas especiais . Parâmetros concentrados
. Parâmetros distribúıdos
Linearidade (Superposição . Linear
e Homogeneidade) . Não-linear
Continuidade no tempo . Cont́ınuo (Analógico)
. Discreto
. Dados amostrados (Hı́bridos)
Variação de parâmetros . Invariantes
. Variantes
Número de entradas e sáıdas . Univariável (UV) ou SISO
(Single-Input/Multiple-Output)
. Multivariável (MV) ou MIMO
(Multiple-Input/Multiple-Output)
Existência de excitação . Não-excitado, livre ou autônomo
. Excitado
Tabela 1.1: Critérios para classificação de sistemas dinâmicos.
• Caracteŕısticas espaciais: De acordo com este critério, um sistema pode ser de parâme-
tros concentrados ou de parâmetros distribúıdos. Um sistema de parâmetros distribúıdos
(ou sistema distribúıdo) não tem um número finito de pontos nos quais podem ser defi-
nidas variáveis de estado. Por isto, muitos autores chamam os sistemas distribúıdos de
sistemas de dimensão infinita. Em contraste, um sistema de parâmetros concentrados
pode ser descrito por um número finito de variáveis de estado.
Para ilustrar estes dois tipos de sistemas, examina-se aqui o sistema distribúıdo que é uma
bobina, constitúıda por um fio condutor enrolado sobre um núcleo magnético, como está
6
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS E SISTEMAS DINÂMICOS
mostrado na Figura 1.7(a). Se uma excitação elétrica é aplicada aos terminais da bobina,
valores diferentes de tensão existirão em todos os pontos da bobina, dentro do conceito
de sistema distribúıdo. Para desenvolver um circuito de parâmetros concentrados cujas
variáveis, nos terminais se aproximem rigorosamente daquelas do elemento distribúıdo (a
bobina), pode se representar a resistência do fio através de uma resistência concentrada
R, e o efeito indutivo relativo ao campo magnético por uma única indutância L. O
circuito de parâmetros concentrados é mostrado na Figura 1.7(b). Note-se que neste
exemplo os dois elementos no modelo de parâmetros concentrados não correspondem a
partes f́ısicas separadas do sistema real. A resistência e a indutância da bobina não
podem ser separadas fisicamente uma da outra.Sistemas de parâmetros concentrados são
representados por equações diferenciais ordinárias. Sistemas de parâmetros
distribúıdos
são representados por equações diferenciais parciais.
Figura 1.7: (a) Bobina; (b)representação aproximada por parâmetros concentrados.
• Linearidade: Um sistema também pode ser classificado como linear ou não-linear. Um
sistema linear é todo aquele que possui simultaneamente as propriedades da homogenei-
dade e da superposição. O sistema possui a propriedade da homogeneidade quando a
multiplicação da entrada por uma constante σ faz com que a sáıda também seja multipli-
cada por σ. A propriedade da superposição consiste em que a resposta a várias entradas
aplicadas simultaneamente seja a soma das respostas individuais a cada entrada aplicada
separadamente.
Qualquer sistema que não satisfaça, simultaneamente, as duas propriedades da lineari-
dade, é um sistema não-linear.
• Continuidade no tempo: Uma outra base de classificação de sistemas dinâmicos é a
continuidade das variáveis ao longo do tempo. Um sistema cont́ınuo é aquele em que todas
as variáveis são cont́ınuas (ver Seção 1.1). Variáveis cont́ınuas também são chamadas de
analógicas, porque circuitos eletrônicos onde as tensões e correntes são cont́ınuas são
chamados de circuitos analógicos. Assim, um sistema cont́ınuo também é, por vezes,
denominado sistema analógico. Em um sistema discreto as variáveis são discretas, isto
é, só existem em instantes distintos de tempo, e não são definidas ou então não são
de interesse entre estes instantes. Por exemplo, os circuitos digitais encontrados em
microprocessadores e em computadores são sistemas discretos, pois as tensões e correntes
só variam em instantes de tempo discretos, múltiplos do peŕıodo definido pelo relógio
(“clock”) que comanda o circuito; as variações de tensão são múltiplas da resolução do
circuito.
Sistemas cont́ınuos são descritos por equações diferenciais e sistemas discretos por equa-
ções de diferenças.
7
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS E SISTEMAS DINÂMICOS
Quando um sistema é constitúıdo por uma parte continua e outra discreta, diz-se que
o sistema é um sistema de dados amostrados, ou h́ıbrido. Este é o caso, por exemplo,
de sistemas dinâmicos cont́ınuos controlados por computador. O computador recebe
de conversores analógico-digitais (A/D) amostras das variáveis continuas, e faz o seu
processamento para gerar a ação de controle. As variáveis discretas de entrada para
o computador são dados amostrados das respectivas variáveis continuas. A Figura 1.8
ilustra a diferença entre variáveis cont́ınuas e discretas; os instantes de amostragem são
múltiplos de um intervalo de amostragem T , como se vê na Figura 1.8(b).
Figura 1.8: Variável cont́ınua e discreta.
• Variação de parâmetros: Este critério de classificação serve para distinguir sistemas
de parâmetros constantes (fixos) de sistemas com parâmetros variáveis. Sistemas cujos
parâmetros são constantes são denominados sistemas invariantes. Quando um sistema
possui elementos cujas caracteŕısticas mudam ao longo do tempo implicando em variação
de parâmetros, diz-se que ele é um sistema variante. Parâmetros podem variar por causa
de fatores ambientais, tais como temperatura, umidade e radiação. Um exemplo conhecido
de sistema variante é o de foguetes lançadores de satélites e de veiculas espaciais, cuja
massa é variável, pois mais de dois terços da massa inicial do foguete é combust́ıvel, que é
todo consumido nos poucos minutos de duração do primeiro estágio do vôo de lançamento.
Nas equações diferenciais que descrevem sistemas variantes, alguns coeficientes serão fun-
ções independentes do tempo. Além disso, um atraso na entrada de um sistema variante
no tempo irá afetar a amplitude e a forma da resposta.
Nos sistemas invariantes, o modelo do sistema, que descreve as relações entre as entradas,
as variáveis de estado e as sáıdas, é independente do tempo. Se um sistema deste tipo
está em repouso, um atraso de um tempo Td na entrada apenas atrasará a resposta do
mesmo tempo Td, sem que haja qualquer mudança em sua amplitude ou forma de onda.
• Número de Entradas e Sáıdas: Um sistema que tenha uma única excitação e uma
única resposta de interesse é denominado sistema univariável (UV). Tais sistemas tam-
bém são conhecidos pela sigla SISO, que são as iniciais em inglês de “uma entrada/uma
8
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS E SISTEMAS DINÂMICOS
sáıda” (Single-Input/Single-Output). Um sistema com mais de uma entrada e/ou sáıda é
denominado sistema multivariável (MV). Tais sistemas também são conhecidos pela sigla
MIMO, que são as iniciais em inglês de “múltiplas entradas/múltiplas sáıdas” (Multiple-
Input/Multiple-Output).
• Existência de excitação: Um sistema que não possui excitação externa, possuindo
apenas condições iniciais, é denominado sistema não-excitado, autônomo ou livre. Quando
existe excitação externa, diz-se que o sistema é excitado.
1.6 Objetivos da Análise e da Simulação
O objetivo principal da análise de um sistema dinâmico é a determinação de suas caracte-
ŕısticas dinâmicas e das respostas para as condições iniciais e excitações a que estará sujeito.
A análise normalmente é uma das etapas do projeto e ajuste de controladores para sistemas
dinâmicos. Na realidade, o limite entre as áreas de conhecimento denominadas “análise de
sistemas” e “teoria de controle” não é bem definido. A análise de sistemas explica porque um
sistema comporta-se de uma certa maneira. A teoria de controle estabelece métodos para se
modificar o sistema, através de ajustes de parâmetros e introdução de controladores, de modo a
alterar a resposta para uma forma desejada. Assim, não é surpreendente que o grau de sucesso
na tarefa de se projetar um sistema de controle seja criticamente dependente da boa execução
da tarefa de se analisar o sistema. Portanto, a análise deve ser encarada como um pré-requisito
par a dominação das técnicas de projeto de sistemas de controle.
A análise completa de um sistema dinâmico tem três etapas bastante distintas:
I - Modelagem
II - Determinação das Caracteŕısticas Dinâmicas
III - Obtenção das Respostas
A modelagem consiste na representação do sistema por um modelo matemático, conforme
já comentado na Seção 1.4.
A determinação das caracteŕısticas dinâmicas consiste na determinação matemática das
caracteŕısticas intŕınsecas do sistema, as quais não dependem da entrada, tais como estabilidade,
inércia, amortecimento, caracteŕıstica oscilatória, e outras. Estas caracteŕısticas podem ser
analisadas somente através do modelo, sem necessidade de se calcular a resposta do sistema.
A obtenção das respostas para determinadas condições iniciais e/ou entradas é realizada
para prever o comportamento do sistema durante sua operação real. A resposta pode ser obtida
através de cálculo anaĺıtico, para sistemas simples, ou através de simulação, para sistemas mais
complexos.
A simulação é a resolução computacional, analógica ou digital, das equações dinâmicas do
sistema, para condições iniciais e excitações espećıficas, de modo a obter gráficos ou tabelas das
variáveis dinâmicas de interesse. O objetivo também é o de permitir ajustes e correções a ńıvel
de projeto. Neste sentido simulação pode ser considerada como a etapa final da análise, porque
a simulação só é posśıvel se o modelo matemático completo do sistema estiver dispońıvel porque
ela só se justifica quando a análise matemática do sistema for muito complexa ou inviável, como
é o caso de sistemas de ordem muito elevada ou não-lineares.
A simulação, como forma de se fazer verificações e correções a ńıvel de projeto de sistemas
de controle, é útil, e até necessária, quando o projeto é feito com base num modelo matemático
simplificado. Por exemplo, é frequente utilização de modelos linearizados para sistemas não-
lineares; neste caso, pode ser necessário
que o sistema seja simulado para o modelo exato,
9
CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS E SISTEMAS DINÂMICOS
levando-se em conta todas as não-linearidades, para se verificar se o controlador, projetado com
base no modelo linearizado, é eficaz no sistema real.
A eficácia máxima em análise de sistemas dinâmicos e projeto de sistemas de controle é
conseguida com a combinação adequada de análise matemática e de simulação. Sem a análise
matemática, a escolha dos parâmetros ajustáveis dos sistemas dinâmicos e de seus controla-
dores será totalmente arbitrária, e pode ser necessário um grande número de simulações para
se determinar valores dos parâmetros ajustáveis que nem sempre serão os mais adequados. A
análise matemática permite determinar valores muito próximos dos valores ideais para esses
parâmetros. Os ajustes finais podem ser feitos na base da tentativa e erro, através de simu-
lações do sistema para alguns valores dos parâmetros ajustáveis. Mas a escolha desses valores
já terá sido orientada pela análise matemática, de modo que serão necessárias poucas tentati-
vas de simulação para a determinação dos valores adequados dos parâmetros ajustáveis. Este
procedimento, se conduzido adequadamente, reduzirá ao mı́nimo a necessidade e o tempo con-
sumido com ajustes finais no sistema f́ısico real, porque os valores previamente obtidos através
da análise e da simulação já estarão muito próximos dos ideais.
10
Caṕıtulo
2
Principais Conceitos Matemáticos
2.1 Números Complexos
O estudo inicial com matemática é feito exclusivamente com números reais, tais como 4,
2/7, π. Encontra-se, porém, equações algébricas como x2 = −3, que não podem ser satisfeitas
por nenhum número real. Tal equação pode ser resolvida apenas com a introdução de uma
unidade imaginária ou operador imaginário, que será representado pelo śımbolo j. Por definição,
j2 = −1 e assim j =
√
−1, j3 = −j, j4 = 1 etc. O produto de um número real por um
operador imaginário é chamado de número imaginário e a soma de um número real e um
número imaginário é chamada número complexo. Assim, um número com a forma a+ jb, onde
a e b são números reais, é um número complexo.
Será designado um número complexo por: A = a+jb. O número complexo A é descrito como
tendo uma componente real ou parte real a e uma componente imaginária ou parte imaginária
b. Isso também pode ser representado como
Re[A] = a; Im[A] = b
A componente imaginária de A não é jb. Por definição, a componente imaginária é um
número real.
Deve ser observado que todos os números reais podem ser encarados como números com-
plexos com parte imaginária nula. Portanto, os números reais estão inclúıdos no sistema de
números complexos e pode-se considerá-los como sendo um caso especial de números comple-
xos. Quando se definir as operações aritméticas fundamentais para números complexos, deve-se
esperar que elas possam ser reduzidas à correspondente definição para números reais, se a parte
imaginária for nula.
Como qualquer número complexo é completamente caracterizado por um par de números
reais, como a e b no exemplo anterior, pode-se conseguir uma certa assistência visual, represen-
tando graficamente um número complexo num sistema de coordenadas cartesianas. Admitindo
ser um o eixo real e outro o eixo imaginário, como mostrado na Figura 2.1, forma-se um plano
complexo ou diagrama de Argand, no qual os números complexos podem ser representados por
um único ponto. Os números complexos M = 3 + j1 e N = 2 − j2 são indicados. E impor-
tante entender que o plano complexo é apenas um aux́ılio visual, não sendo essencial para as
afirmações que seguirão.
11
CAPÍTULO 2. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
Figura 2.1: Gráfico de números complexos.
Diz-se que dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais e imaginárias
são respectivamente iguais. Graficamente, a cada ponto do plano complexo corresponde um e
apenas um número complexo e, reciprocamente, a cada número complexo corresponde apenas
um ponto do plano complexo. Assim, dados dois números complexos,
A = a + jb e B = c + jd
então, se
A = B
é necessário que
a = c e b = d
Dize-se que um número complexo expresso como a soma entre um número real e um número
imaginário, A = a+ jb, está na forma retangular ou cartesiana. Brevemente aparecerão outras
formas de representação de números complexos.
Agora será definido as operações fundamentais de adição, subtração, multiplicação e divi-
são para números complexos. A soma de dois números complexos é definida como o número
complexo cuja parte real é a soma das partes reais das parcelas, com a parte imaginária sendo
a soma das partes imaginárias das parcelas. Assim,
(a+ jb) + (c+ jd) = (a+ c) + j(b+ d)
A diferença entre dois números complexos é obtida de modo semelhante,
(a+ jb)− (c+ jd) = (a− c) + j(b− d)
A adição e subtração de números complexos também podem ser obtidas graficamente no
plano complexo. Cada número complexo é representado por um vetor ou segmento de reta, e
a soma é obtida completando-se o paralelogramo indicado na Figura 2.2(a), ou conectando os
vetores como indicado na Figura 2.2(b). Um esboço gráfico é muitas vezes útil como verificação
de uma solução numérica.
O produto de dois números complexos é definido por
(a+ jb)(c+ jd) = (ac− bd) + j(bc+ ad)
12
CAPÍTULO 2. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
Figura 2.2: Soma gráfica de números complexos.
Esse resultado pode ser obtido muito facilmente através de uma multiplicação direta dos
dois binômios, usando regras válidas para números reais e lembrando que j2 = −1.
O conjugado de um número complexo A = a+jb é a−jb e é representado por A∗. É evidente
que o conjugado de qualquer relação complexa muito complicada pode ser obtido substituindo-
se cada número complexo da expressão por seu conjugado. As definições de adição, subtração
e multiplicação mostram que as seguintes afirmações são verdadeiras: a soma de um número
complexo e seu conjugado é real; a diferença entre um número complexo e seu conjugado é um
número imaginário e o produto entre um número complexo e seu conjugado é real. E evidente
que, se A∗ é o conjugado de A, então A é o conjugado de A∗; em outras palavras, A = (A∗)∗.
Um número complexo e seu conjugado constituem um par conjugado complexo de números.
A operação de divisão de números complexos é o quociente entre dois números complexos:
A
B
=
(A)(B∗)
(B)(B∗)
e assim
(a+ jb)
(c+ jd)
=
(ac+ bd) + j(bc− ad)
c2 + d2
Multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador de modo a obter
um denominador real; esse processo é chamado racionalização do denominador.
A adição ou subtração de dois números complexos expressos na forma retangular são ope-
rações simples, porém multiplicação e divisão de números complexos na forma retangular são
operações trabalhosas. Se os números complexos forem expressos sob forma exponencial ou
polar, essas duas últimas operações poderão ser executadas muito mais facilmente.
2.1.1 Identidade de Euler
Seja B é uma quantidade complexa da forma:
B = cosθ + j senθ (2.1)
onde: θ → número real [rd].
Se for diferenciado B com relação a θ, obtém-se
dB
dθ
= − sin θ + j cos θ = j(cos θ + j sin θ)
ou
dB
dθ
= jB
13
CAPÍTULO 2. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
e
dB
B
= j dθ (2.2)
Integrando ambos os lados da Equação 2.2:
lnB = jθ + C
onde: C → constante complexa de integração.
Calcula-se C voltando na Equação 2.1 e fazendo θ = 0; assim, B = 1 + j0 quando θ = 0.
Então C = 0 e
lnB = jθ ou B = ejθ
e obtém-se a identidade de Euler,
ejθ = cos θ + j sin θ (2.3)
Se fosse começado com o conjugado da Equação 2.1, teria-se obtido a forma alternativa da
identidade de Euler,
e−jθ = cos θ − j sin θ (2.4)
Somando e subtraindo as Equações 2.3 e 2.4,
obtém-se:
cos θ =
ejθ + e−jθ
2
(2.5)
sin θ =
ejθ − e−jθ
2j
(2.6)
2.1.2 A Forma Exponencial
Seja a identidade de Euler
ejθ = cos θ + j sin θ
e multiplica-se cada lado pelo número real C,
Cejθ = C cos θ + jC sin θ (2.7)
O lado direito da Equação 2.7 consiste na soma de um número real e um imaginário e representa,
portanto, um número complexo A, onde A = a+ jb. Igualando as partes reais,
a = C cos θ (2.8)
e as partes imaginárias,
b = C sin θ (2.9)
elevando ao quadrado e somando as Equações 2.8 e 2.9,
a2 + b2 = C2
14
CAPÍTULO 2. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
C =
√
a2 + b2 (2.10)
dividindo a Equação 2.9 pela Equação 2.8,
b
a
= tan θ
ou
θ = tan−1
b
a
(2.11)
obtém-se as Equações 2.10 e 2.11 que permite determinar C e θ do conhecimento de a e b.
Um número complexo expresso na forma:
A = Cejθ (2.12)
está na forma exponencial. O fator C é conhecido como magnitude ou amplitude e a quantidade
real θ que aparece no expoente é chamada de argumento ou ângulo. A Figura 2.3 mostra a
representação do número complexo no plano complexo. Deve-se salientar que o ângulo θ é
sempre medido a partir do eixo real positivo e pode ser dado em graus ou radianos.
Uma utilidade da forma exponencial é a multiplicação e divisão entre dois números comple-
xos. Assim, se for dado dois números complexo na forma exponencial
A = C1e
jθ1 e B = C2e
jθ2
então
AB = C1C2 e
j(θ1+θ2) (2.13)
A
B
=
C1
C2
ej(θ1−θ2) (2.14)
Figura 2.3: Representação gráfica de números complexos.
15
CAPÍTULO 2. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
2.1.3 A Forma Polar
A terceira e última forma de representação de um número complexo é, essencialmente, a
mesma que a forma exponencial, exceto por uma pequena diferença no simbolismo. Usa-se um
sinal para ângulo para substituir a combinação (ej). Assim, a representação exponencial de um
número complexo A,
A = Cejθ
pode ser escrita de modo um pouco mais conciso,
A = C∠θ
Diz-se que o número complexo está na forma polar, nome que sugere a representação de um
ponto no plano complexo com a utilização de coordenadas polares.
2.2 Definição de Transformada de Laplace
Seja “s” uma variável complexa dada por
s = σ + jω (2.15)
A Transformada de Laplace (TL) de uma função f(t) é definida como:
F (s) = £ [f(t)] =
∫ ∞
0−
f(t) e−st dt (2.16)
O expoente st deve ser adimensional. Assim, quando a variável independente t for tempo, a
dimensão de s deve ser o inverso de tempo, isto é, frequência. Neste caso, por ser uma variável
complexa, s é frequentemente denominada frequência complexa. No Sistema Internacional (SI)
de unidades (ou MKS), a dimensão de s é [seg−1] ou [rad/seg]. Neste texto, para se evitar
confusão com a variável complexa s, segundo será abreviado por “seg”, e não por “s”.
Na Equação 2.16, o limite inferior da integral é considerado igual a 0− (zero menos), de
modo que a integral abranja eventuais componentes impulsivas de f(t) que ocorram em t = 0.
Quando a função não possuir tais componentes, é indiferente adotar esse limite igual a 0−, 0
ou 0+.
Quando não houver dúvida de que uma função qualquer não tem componentes impulsivas
em t = 0, o limite inferior da integral de Laplace é considerado igual a 0 (zero), ao invés de 0−.
2.3 Existência da Transformada de Laplace
Quando a TL de uma função existe, então a integral∫ ∞
0−
∣∣e−stf(t)∣∣ dt (2.17)
converge para algum valor finito. Para que isto aconteça, a seguinte condição deve ser satisfeita:
lim
t→∞
e−stf(t) = 0 (2.18)
16
CAPÍTULO 2. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
2.4 Transformadas de Laplace de Funções Simples
2.4.1 Constante
Seja k uma constante qualquer. Então:
£ [k] =
∫ ∞
0−
ke−st dt = −ke
−st
s
∣∣∣∣∞
0
=
k
s
donde
£ [k] =
k
s
(2.19)
2.4.2 Exponencial Crescente
Seja α um número positivo. Então:
£
[
eαt
]
=
∫ ∞
0−
eαt e−st dt =
∫ ∞
0−
e−(s−α)t dt = −e
−(s−α)t
s− α
∣∣∣∣∞
0
Desde que se tenha Re(s− a) > 0, esta expressão resulta em
£
[
eαt
]
=
1
s− α
(2.20)
2.4.3 Exponencial Decrescente
Ainda para α real e positivo tem-se:
£
[
e−αt
]
=
∫ ∞
0−
e−αt e−st dt =
∫ ∞
0−
e−(s+α)t dt = −e
−(s+α)t
s+ α
∣∣∣∣∞
0
Donde, para Re(s+ a) > 0,
£
[
e−αt
]
=
1
s+ α
(2.21)
2.4.4 Cosseno
Seja uma onda cossenoidal de amplitude unitária e frequência ω[rad/seg]. Evidentemente,
ω é um número real positivo. A TL dessa função, de acordo com a definição, é:
£ [cosωt] =
∫ ∞
0−
cosωt e−st dt
Sabe-se que
cosωt =
ejωt + e−jωt
2
Então
£ [cosωt] =
∫ ∞
0−
(
ejωt + e−jωt
2
)
e−st dt
£ [cosωt] =
1
2
[∫ ∞
0−
ejωte−st dt+
∫ ∞
0−
e−jωte−st dt
]
17
CAPÍTULO 2. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
Se ∫ ∞
0−
ejωte−st dt =
∫ ∞
0−
e−(s−jω)t dt = −e
−(s−jω)t
s− jω
∣∣∣∣∞
0
=
1
s− jω
e ∫ ∞
0−
e−jωte−st dt =
∫ ∞
0−
e−(s+jω)t dt = −e
−(s+jω)t
s+ jω
∣∣∣∣∞
0
=
1
s+ jω
Logo
£ [cosωt] =
1
2
(
1
s− jω
+
1
s+ jω
)
=
s+ jω + s− jω
2 (s− jω) (s+ jω)
donde
£ [cosωt] =
s
s2 + ω2
(2.22)
2.4.5 Seno
Seja uma onda senoidal de amplitude unitária e frequência ω[rad/seg]. A TL dessa função
é:
£ [sinωt] =
∫ ∞
0−
sinωt e−st dt
Sabe-se que
sinωt =
ejωt − e−jωt
j2
Então
£ [sinωt] =
∫ ∞
0−
(
ejωt − e−jωt
j2
)
e−st dt
£ [sinωt] =
1
j2
[∫ ∞
0−
ejωte−st dt−
∫ ∞
0−
e−jωte−st dt
]
Se ∫ ∞
0−
ejωte−st dt =
∫ ∞
0−
e−(s−jω)t dt = −e
−(s−jω)t
s− jω
∣∣∣∣∞
0
=
1
s− jω
e ∫ ∞
0−
e−jωte−st dt =
∫ ∞
0−
e−(s+jω)t dt = −e
−(s+jω)t
s+ jω
∣∣∣∣∞
0
=
1
s+ jω
Logo
£ [sinωt] =
1
j2
(
1
s− jω
− 1
s+ jω
)
=
s+ jω − s+ jω
j2 (s− jω) (s+ jω)
donde
£ [sinωt] =
ω
s2 + ω2
(2.23)
18
CAPÍTULO 2. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
2.4.6 Cosseno e Seno com Amplitude e Ângulo de Fase Quaisquer
Seja um cosseno de amplitude Amax e ângulo de fase θ. A sua transformada de Laplace é
dada por:
£ [Amax cos (ωt+ θ)] =
∫ ∞
0−
Amax cos (ωt+ θ) e
−stdt
Pode-se escrever que
Amax cos (ωt+ θ) = Amax
ej(ωt+θ) + e−j(ωt+θ)
2
=
Amaxe
jθ
2
ejωt +
Amaxe
−jθ
2
e−jωt
Seja A a constante complexa definida como
A =
Amaxe
jθ
2
= a+ jb
então
A∗ =
Amaxe
−jθ
2
= a− jb
Assim, o cosseno dado pode ser escrito como
Amax cos (ωt+ θ) = Ae
jωt + A∗e−jωt
Então
£ [Amax cos (ωt+ θ)] =
A
s− jω
+
A∗
s+ jω
(2.24)
Alternativamente, pode-se fazer
A
s− jω
+
A∗
s+ jω
=
a+ jb
s− jω
+
a− jb
s+ jω
=
2as− 2bω
s2 + ω2
Portanto, a TL desejada pode ser apresentada nas várias formas a seguir:
£ [Amax cos(ωt+ θ)] =
A
s− jω
+
A∗
s+ jω
=
a+ jb
s− jω
+
a− jb
s+ jω
=
2as− 2bω
s2 + ω2
(2.25)
Para um seno com amplitude e ângulo de fase quaisquer, basta considerar que:
sin a = cos
(
a− π
2
)
o que leva a
£ [Amax sin (ωt+ θ)] =
A
s− jω
+
A∗
s+ jω
(2.26)
para A =
Amax
2
∠ (θ − π/2)
19
CAPÍTULO 2. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
2.5 Propriedades Fundamentais da TL
2.5.1 Linearidade
Sejam a e b duas constantes. Então:
£ [a f1(t) + b f2(t)] = aF1(s) + b F2(s) (2.27)
Esta propriedade abrange a propriedade da homogeneidade, a qual fica demonstrado ao se
considerar f1(t) = f(t) e b = 0. Então
£ [af(t)] = aF (s)
Para a = b = 1, a Equação 2.27 mostra que a TL também possui a propriedade da super-
posição, ou seja
£ [f1(t) + f2(t)] = F1(s) + F2(s)
2.5.2 Translação na Frequência
£
[
e−atf(t)
]
= F (s+ a) (2.28)
2.5.3 Diferenciação na Frequência
£ [−t f(t)] = dF (s)
ds
(2.29)
A aplicação sucessiva da Equação 2.29 leva a:
£ [(−1)ntn f(t)] = d
n F (s)
dsn
(2.30)
2.6 Transformadas de Laplace de Derivadas e Integrais
2.6.1 Transformadas de Derivadas
A Transformada de Laplace da derivada de primeira ordem de uma função é dada por:
£
[
d f(t)
dt
]
= s F (s)− f(0−) (2.31)
Para obter a TL de uma derivada de segunda ordem, aplica-se a Equação 2.31 com a troca
de f(t) por f ′(t), isto é
£
[
d2 f(t)
d t2
]
= £ [f ′(t)] = s£ [ f ′(t)]− f ′(0−)
Usando a Equação 2.31 obtém-se
£
[
d2 f(t)
d t2
]
= s2 F (s)− s f(0−)− f ′(0−)
20
CAPÍTULO 2. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
Aplicando-se este procedimento de
forma recorrente, obtém-se a seguinte expressão para
uma derivada de ordem “n” qualquer:
£
[
dn f(t)
d tn
]
= sn F (s)−
n−1∑
k=0
sn−1−k
dkf(0−)
d tk
(2.32)
Esta última equação é important́ıssima, pois é a que permite resolver equações diferenciais
lineares invariantes através da transformada de Laplace. É este o método de solução no qual
se baseia a análise de sistemas dinâmicos lineares invariantes.
A Figura 2.4 mostra a diferença entre f(0−) e f(0+)
Figura 2.4: Funções degrau e senoidal indicando os valores iniciais em t = 0− e t = 0+.
2.6.2 Transformadas de Integrais
A Transformada de Laplace da integral de uma função é dada por:
£
[∫ t
−∞
f(τ) dτ
]
=
1
s
F (s) +
1
s
∫ 0−
−∞
f(t) dt (2.33)
Notar ainda que:
£
[∫ t
0−
f(τ) dτ
]
=
1
s
F (s) (2.34)
2.7 Funções Singulares e suas Transformadas
As funções singulares formam uma famı́lia de funções que podem ser obtidas umas das
outras por derivação ou integração sucessiva do degrau unitário.
2.7.1 Degrau Unitário
O degrau unitário é a função básica da famı́lia de funções singulares. O gráfico do degrau
unitário é mostrado na Figura 2.5. Sua definição é a seguinte:
U−1(t) =
{
0, para t < 0
1, para t > 0
(2.35)
21
CAPÍTULO 2. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
Figura 2.5: Degrau unitário.
A TL do degrau unitário é calculada como:
£ [U−1(t)] =
∫ ∞
0−
U−1(t) e
−stdt =
∫ ∞
0−
e−stdt =
1
s
Logo
£ [U−1(t)] =
1
s
(2.36)
Um uso importante da função degrau é na simplificação da representação de funções que
são nulas para t < 0, mas seguem uma determinada expressão para t > 0. Por exemplo, se
g(t) =
{
0, para t < 0
f(t), para t > 0
pode-se escrever que
g(t) = f(t) U−1(t)
como mostra a Figura 2.6
Figura 2.6: Uma função multiplicada pelo degrau unitário.
22
CAPÍTULO 2. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
2.7.2 Fórmula de Recorrência para Definição de Outras Funções Singu-
lares
As demais funções singulares são definidas a partir de U−1(t), e guardam entre si as seguintes
relações:
Un−1(t) =
∫ t
−∞
Un(τ) dτ (2.37)
Un+1(t) =
dUn(t)
dt
(2.38)
2.7.3 Integrais Sucessivas do Degrau Unitário
As integrais sucessivas do degrau são obtidas aplicando-se a fórmula dada pela Equação 2.37
de modo recorrente.
A primeira integral do degrau unitário é obtida fazendo-se n = 1 nessa equação, obtendo-se
U−2(t) =
∫ t
−∞
U−1(τ) dτ =
{
0, t < 0∫ t
0
1 dt, t ≥ 0
Logo
U−2(t) =
{
0, t < 0
t, t ≥ 0
}
= t U−1(t) (2.39)
Esta função é conhecida como rampa unitária. A TL, desta função pode se obtida através
da Equação 2.33, que dá a TL de integrais, onde são feitas as seguintes substituições, de acordo
coma Equações 2.35 e 2.37:
f(t) = U−1(t) ; F (s) =
1
s
;
∫ 0−
−∞
f(0−) = 0
resultando em
U−2(s) = £ [U−2(t)] =
1
s2
(2.40)
A integração da rampa unitária resulta na parábola unitária, como segue:
U−3(t) =
∫ t
−∞
U−2(τ) dτ =
{
0, t < 0∫ t
0
τ dτ, t ≥ 0
Logo
U−3(t) =
{
0, t < 0
t2
2
, t ≥ 0
}
=
t2
2
U−1(t) (2.41)
A TL pode ser obtida aplicando-se novamente a Equação 2.33, onde agora são feitas as
seguintes substituiç6es, de acordo com as Equações 2.40 e 2.41:
f(t) = U−2(t) ; F (s) =
1
s2
;
∫ 0−
−∞
f(0−) = 0
Obtém-se então
U−3(s) = £ [U−3(t)] =
1
s3
(2.42)
23
CAPÍTULO 2. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
Os gráficos da rampa e da parábola unitárias são mostrados na Figura 2.7.
Se este procedimento for repetido, e chegar-se até a (n-l)-ésima integral sucessiva do degrau
unitário, obter-se-á
U−n(t) =
tn−1
(n− 1)!
U−1(t) =
{
0, t < 0
tn−1
(n− 1)! , t ≥ 0
(2.43)
cuja TL será
U−n(s) = £ [U−n(t)] =
1
sn
(2.44)
Figura 2.7: Funções rampa e parábola unitárias.
2.7.4 Impulso Unitário e Funções Impulsivas
O impulso unitário é, por definição, a derivada do degrau. Assim. de acordo com a Equação
2.38, tomando-se n = −1 tem-se o impulso unitário dado por
U0(t) =
dU−1(t)
dt
Como o degrau é uma função descont́ınua em t = 0, e portanto não é derivável neste
ponto, em principio pode parecer que não é pasśıvel definir U0(t). Entretanto, existem variáveis
dinâmicas que podem tomar a forma de um degrau, e para as quais pode haver necessidade de
definição da derivada.
Para que esta dificuldade seja superada, e a função impulso possa ser compreendida, define-
se inicialmente a seguinte função:
f−1(t) =

0, t < 0
1
εt, 0 ≤ t ≤ ε
1, t > ε
a qual está ilustrada na Figura 2.8(a). A derivada desta função é um pulso retangular de área
unitária, conforme está ilustrado na Figura 2.8(b), e dada por
f0(t) =
df−1(t)
dt
=

0, t < 0
1
ε , 0 ≤ t ≤ ε
0, t > ε
24
CAPÍTULO 2. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
Figura 2.8: (a)Função f−1(t); (b)Derivada da função (a); (c)Degrau unitário; (d)Impulso uni-
tário U0(t).
Quando ε→ 0 observa-se claramente na Figura 2.8(a) que f−1(t) tende para a função degrau
unitário, ou seja
U−1(t) = lim
ε→0
f−1(t) =
{
0, t < 0
1, t > 0
Note-se, na Figura 2.8(b), que quando ε→ 0 a derivada f0(t), da função f−1(t), vai se tornando
um pulso de duração cada vez menor e amplitude cada vez maior, mas a área é mantida com
valor unitário (A = 1). Um impulso unitário pode então ser definido como segue:
U0(t) = lim
ε→0
f0(t)
ou seja, como um pulso de duração zero, amplitude infinita e área unitária, A função impulso
também é denominada função delta de Dirac, e denotada por δ(t). O que foi mostrado anteri-
ormente leva naturalmente a concluir que
U0(t) =
dU−1(t)
dt
(2.45)
e
U−1(t) =
∫ t
−∞
U0(τ) dτ (2.46)
O impulso unitário é representado em gráfico na forma mostrada na Figura 2.8(d).
Para o cálculo da TL do impulso pode-se aplicar a fórmula dada na Equação 2.31, na qual
são feitas as seguintes substituições:
f(t) = U−1(t);
df
dt
= U0(t); F (s) =
1
s
; f(0−) = 0
donde
U0(s) = £ [U0(t)] = 1 (2.47)
25
CAPÍTULO 2. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
Na visão do impulso como sendo a derivada do degrau, se a amplitude do degrau não for
unitária, então o impulso terá área igual à amplitude do degrau que em sistemas f́ısicas não
existem impulsos, mas sim pulsos que, se tiverem duração realmente muito curta , poderão ser
aproximados por impulsos, para fins de análise matemática.
Um exemplo de sinal que pode ser representado por um impulso é o da força mecânica que
age sobre um corpo em movimento que se choca contra uma parede, e pára no instante t = 0.
Quando ocorre o choque, a velocidade do corpo cai instantaneamente de um valor V para zero,
ou seja, segundo um degrau negativo de amplitude V . Denotando a velocidade do corpo por
v(t) pode-se escrever
v(t) = V − V U−1(t)
como ilustra a Figura 2.9(a). A aceleração que age sobre o corpo é dada pela taxa de variação
de sua velocidade, ou seja
a(t) =
d v
dt
= −V U0(t)
Figura 2.9: Velocidade e aceleração de um corpo.
como está mostrado na Figura 2.9(b), significando que, instantaneamente, o corpo sofre uma
aceleração negativa (freada) de amplitude infinita, que traz a velocidade de V para zero. Por-
tanto, a aceleração é dada por um impulso negativo de área igual à velocidade V antes do
choque. Como a força é igual ao produto da massa pela aceleração, é evidente que a força
também será um impulso, o que na realidade significa uma força muito grande capaz de, num
tempo praticamente igual a zero, parar o corpo, o que corresponde ao choque. Como acontece
na maioria dos choques, essa força pode ser capaz de amassar ou de quebrar o corpo.
Por este exemplo, pode-se concluir que o impulso é uma função matemática que, em sistemas
dinâmicos, pode ser usada para representar sinais de curt́ıssima duração e grande amplitude, que
causam transferências praticamente instantâneas de energia. Ao se representar um sinal deste
tipo por um impulso, está sendo considerado que a forma de onda da variável não interessa,
supondo-se então que a duração do sinal é zero, a amplitude
é infinita, mas a área tem um certo
valor, o qual define a quantidade de energia transferida. Neste ponto é importante colocar que
se a análise de um sistema dinâmico indicar a existência de um impulso em alguma variável, é
provável que esse impulso cause algum dano ao sistema. No caso do choque mecânico, a energia
cinética Mv2/2 do corpo, que cai instantaneamente a zero no momento do choque, é dissipada
em forma de calor ou na deformação ou quebra do corpo, como se vê nas colisões de véıculos.
Funções Impulsivas
Se já é dif́ıcil visualizar a função impulso, é virtualmente imposśıvel interpretar fisicamente
as derivadas do impulso. Entretanto, matematicamente elas existem, e são usadas na análise
26
CAPÍTULO 2. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
de funções seccionalmente cont́ınuas, isto é, que sofrem variações bruscas de amplitude (do tipo
degrau) ou de taxas de variação ao longo do tempo. Assim, as derivadas do impulso serão
definidas apenas matematicamente, sem qualquer tentativa de interpretação f́ısica, como segue:

U1(t) =
dU0(t)
d t
U2(t) =
dU1(t)
d t
=
d2 U0(t)
d t2
...
Un(t) =
dn U0(t)
d tn
(2.48)
A partir da TL do impulso (U0(s) = 1), e aplicando-se de forma recorrente a fórmula da TL
da derivada, obtém-se:
U1(s) = £ [U1(t)] = s
U2(s) = £ [U2(t)] = s
2
...
Un(s) = £ [Un(t)] = s
n
 (2.49)
O impulso e suas derivadas formam a famı́lia de funções impulsivas. Em gráficos, as funções
impulsivas são representadas da mesma forma que o impulso (Figura 2.8(d)), devendo portanto
estar identificadas, para que não haja confusão.
Quando uma variável dinâmica possui funções impulsivas em sua composição, diz-se que a
variável tem componentes impulsivas.
2.8 Translação no Tempo
2.8.1 Degrau Transladado
Um degrau transladado tem a seguinte expressão:
U−1(t− a) =
{
0, para t < a
0, para t > a
(2.50)
como mostra a Figura 2.10
Figura 2.10: Degrau unitário transladado.
A TL é calculada como:
£ [U−1(t− a)] =
∫ ∞
0
U−1(t− a) e−st dt =
∫ ∞
a
e−st dt = −e
−st
s
∣∣∣∣∞
a
donde
£ [U−1(t− a)] =
e−as
s
(2.51)
27
CAPÍTULO 2. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
2.8.2 Impulso Transladado
Um impulso unitário transladado é a derivada do degrau, ou seja
U0(t− a) =
dU−1(t− a)
dt
(2.52)
Aplicando a propriedade da transformada de derivadas (Equação 2.31) a esta equação obtém-se
£ [U0(t− a)] =
∫ ∞
0−
U0(t− a) e−st dt = e−as (2.53)
Graficamente, o impulso transladado é representado na forma mostrada na Figura 2.11.
Figura 2.11: Impulso unitário transladado.
O impulso transladado possui as seguintes caracteŕısticas:
U0(t− a) = 0, para t 6= a (2.54)
lim
t→0
∫ a+t
a−t
U0(t− a) dt =
∫ a+
a−
U0(t− a) dt = 1 (2.55)
Ao se multiplicar uma função x(t), finita em t = a, por um impulso unitário, o resultado,
devido à Equação 2.54, é o seguinte:
x(t)U0(t− a) = x(a)U0(t− a) (2.56)
Figura 2.12: Propriedade da amostragem da função impulso unitário.
28
CAPÍTULO 2. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
ou seja, o resultado desta multiplicação é apenas um impulso de área x(a) no instante a, como
mostra a Figura 2.12.
Uma consequência das Equações 2.54 e 2.55 é a seguinte:
∫ t2
t1
x(t) U0(t− a) dt = x(a), para t1 < a < t2 (2.57)
Esta equação e mais a Equação 2.56 definem a propriedade da amostragem do impulso.
A Equação 2.57 pode ser utilizada para obtenção da TL de um impulso transladado de um
tempo a > O. De acordo com a definição de TL:
£ [U0(t− a)] =
∫ ∞
0−
U0(t− a) e−st dt
o que corresponde a fazer t1 = 0−, t2 →∞ e f(t) = e−st na Equação 2.57. Dentro do integrando,
a exponencial e−st é amostrada no instante t = a. Logo
£ [U0(t− a)] = e−as, a > 0 (2.58)
2.8.3 Propriedade da Translação no Tempo
Seja f(t) uma função do tempo, cuja transformada de Laplace é F (s). Considere-se que
essa função seja transladada de um tempo a, e anulada para t < a, conforme mostra a Figura
2.13. Então, a TL desta operação é dada por
£ [f(t− a) U−1(t− a)] = e−asF (s) (2.59)
Figura 2.13: Função transladada no tempo.
2.9 Teorema do Valor Inicial
Se uma função f(t) tiver valor inicial ã direita f(O+), e se sua transformada de Laplace
F (s) for conhecida, então esse valor inicial pode ser calculado através da seguinte expressão:
f(0+) = lim
t→0+
f(t) = lim
s→∞
sF (s) (2.60)
29
CAPÍTULO 2. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
2.10 Teorema do Valor Final
Se uma função f(t) tiver valor final f(∞), e se sua transformada de Laplace F (s) for
conhecida, então esse valor final pode ser calculado através da seguinte expressão:
f(∞) = lim
t→∞
f(t) = lim
s→0
sF (s) (2.61)
Importante: Este teorema deve ser utilizado com grande cuidado, pois, para vários sinais
que não tem valor final, como por exemplo as funções senoidais e as exponenciais crescentes, o
limite dado no terceiro membro da Equação 2.61 dá zero ou um valor constante. O cuidado a
ser tomado é o de verificar se a função tem valor final antes de utilizar o teorema.
2.11 Outras Transformadas de Laplace
As propriedades das transformadas de Laplace já apresentadas permitem obter com grande
facilidade as transformadas de funções em que são combinadas exponenciais, funções senoidais
e potências de “t”.
2.11.1 Produtos de Exponenciais e Funções Senoidais
Cosseno de amplitude variável exponencialmente
A partir das Equações 2.22 e 2.28 tem-se
£
[
eσt cos(ωt)
]
=
s− σ
(s− σ)2 + ω2
=
s− σ
(s− σ − jω)(s− σ + jω)
(2.62)
Seno de amplitude variável exponencialmente
A partir das Equações 2.23 e 2.28 tem-se
£
[
eσt sin(ωt)
]
=
ω
(s− σ)2 + ω2
=
ω
(s− σ − jω)(s− σ + jω)
(2.63)
Cosseno de amplitude variável exponencialmente e ângulo de fase qualquer
A partir das Equações 2.25 e 2.28 tem-se
£
[
Amaxe
σt cos(ωt+ θ)
]
=
A
s− σ − jω
+
A∗
s− σ + jω
=
2a(s− σ)− 2bω
(s− σ)2 + ω2
(2.64)
Onde: A = a+ jb = Amax2 ∠θ
Em qualquer dos três casos, a amplitude será decrescente para σ < 0, será constante para
σ = 0 e crescente para oσ > 0, como mostra a Figura 2.14.
30
CAPÍTULO 2. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
Figura 2.14: Gráfico de uma função com amplitude variável.
2.11.2 Produtos de Exponenciais e Potência no Tempo
Como
£ [U−n(t)] = £
[
tn−1
(n− 1)!
]
=
1
sn
então, de acordo com a Equação 2.28, para a = −σ tem-se
£
[
eσt U−n(t)
]
= £
[
eσt
tn−1
(n− 1)!
]
=
1
(s− σ)n
(2.65)
2.11.3 Produtos de Funções Senoidais e Potência no Tempo
O produto de potência no tempo por funções senoidais pode ser dado por
£
[
tn−1
(n− 1)!
cos(ωt)
]
=
1
2
[
1
(s− jω)n
+
1
(s+ jω)n
]
(2.66)
£
[
tn−1
(n− 1)!
sin(ωt)
]
=
1
j2
[
1
(s− jω)n
− 1
(s+ jω)n
]
(2.67)
Para o caso mais geral de uma potência do tempo multiplicando um cosseno de amplitude
e ângulo de fase quaisquer tem-se
£
[
tn−1
(n− 1)!
Amax cos(ωt+ θ)
]
= £
[
tn−1
(n− 1)!
(
Aejωt + A∗e−jωt
)]
=
A
(s− jω)n
+
A∗
(s+ jω)n
(2.68)
Onde: A = a+ jb = Amax2 ∠θ
31
CAPÍTULO 2. PRINCIPAIS CONCEITOS MATEMÁTICOS
2.11.4 Produtos de Exponenciais, Funções Senoidais e Potência no Tempo
Se nas Equações 2.66 a 2.67 for aplicada a propriedade da translação na frequência, dada
pela Equação 2.28, onde se faz a = −σ, obtém-se
£
[
tn−1
(n− 1)!
eσt cos(ωt)
]
=
1
2
[
1
(s− σ − jω)n
+
1
(s− σ + jω)n
]
(2.69)
£
[
tn−1
(n− 1)!
eσt sin(ωt)
]
=
1
j2
[
1
(s− σ − jω)n
− 1
(s− σ + jω)n
]
(2.70)
£
[
tn−1
(n− 1)!
Amaxe
σt cos(ωt+ θ)
]
= £
[
tn−1
(n− 1)!
(
Ae(σ+jω)t + A∗e(σ−jω)t
)]
=
A
(s− σ − jω)n
+
A∗
(s− σ + jω)n
(2.71)
Onde: A = a+ jb = Amax2 ∠θ
2.12 Transformada Inversa de Laplace
O processo de se obter uma função do tempo a partir de sua transformada de Laplace é
denominado transformação inversa. A notação para transformação inversa de Laplace é f−1,
de modo que
f(t) = f−1 [F (s)] (2.72)
denota que f(t) é a transformada inversa de F (s). Matematicamente, f(t) é obtida a partir de
F (s) através da seguinte expressão: