Aula_02_-_Exponencial_e_Logaritmo_-_ESA_2024_enemconcursosgaucheallfree

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ESA 
2024 
AULA 02 
Função Exponencial e Logarítmica 
 
 
Prof. Ismael Santos 
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AULA 02 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 
 
Sumário 
Introdução 3 
1.0 – Função Exponencial 3 
1.1 - Conceito 3 
1.2 – Gráficos 3 
1.3 – Construindo o Gráfico da Exponencial 8 
2.0 – Equações e Inequações Exponenciais 16 
2.1 – Equação Exponencial 16 
2.2 – Inequação Exponencial 20 
3.0 – Logaritmo 22 
3.1 – Definição de Logaritmo 22 
3.2 – Consequências da Definição 24 
3.3 – Propriedades dos Logaritmos 24 
3.4 – Equações Logarítmicas 26 
4.0 – Função Logarítmica 27 
4.1 – Introdução 27 
4.2 –Gráficos 28 
4.3 – Construindo o Gráfico da Exponencial 32 
4.4 – Inequação Logarítmica 41 
5.0 – Lista de Questões 42 
5.1 – Gabarito 75 
6.0 – Lista de Questões Comentadas 78 
7.0 – Considerações Finais 138 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 02 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 
 
Introdução 
A Função Exponencial é uma das funções mais importantes da nossa querida Matemática. 
 Para sua prova, reconhecer uma função exponencial é muito importante, pois são a partir delas que 
entendemos a comportamento de uma potência! Já adiantando, sabendo bem a função exponencial, bem 
como as equações e inequações, a parte de logaritmos será bem mais tranquila. Verás mais a frente que é 
verdade o que digo, rsrsrs! 
Acredito que esse tema será objeto de prova. Então, não dê mole!! Vamos à luta! 
1.0 – Função Exponencial 
1.1 - Conceito 
Considere uma função 𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, com 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1. Tal função é 
denominada Função Exponencial. Em outras palavras, função exponencial é toda é toda função em que a 
variável está presente no expoente. 
Exemplo: 
1º) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 ⟹ 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1 
2º) 𝑓(𝑥) = (
1
4
)
𝑥
⟹ 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1 
3º) 𝑓(𝑥) = 0,78𝑥 ⟹ 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1 
4º) 𝑓(𝑥) = 2,23𝑥 ⟹ 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1 
 
1.2 – Gráficos 
Considere a função 𝑦 = 3𝑥. Vamos atribuir alguns valores à variável, calcular a imagem 
correspondente e construir o gráfico. 
Vamos fazer da seguinte forma: para cada valor estipulado para o 𝑥 temos que encontrar a imagem 
correspondente. Fazendo assim, encontraremos pares ordenados que pertençam a função exponencial. 
Sempre bom destacar que qualquer valor real pode ser atribuído ao 𝑥 (𝑑𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜), não obstante a 
imagem seja sempre real positiva, no caso da função exponencial elementar. 
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Outro ponto muito importante é: SEMPRE fique atento à base. Ou seja, se ela está entre 0 𝑒 1 ou 
se é maior que 1. Isso será determinante para descobrir se a função tem um comportamento crescente ou 
decrescente. 
 
 
Observe o gráfico com MUITA atenção, meu querido! Observou? Então, vamos às principais 
observações quanto a ele. 
I. A base da função é igual a 3 , ou seja, maior que 1. Isso determina uma função crescente, 
pois: à medida que o 𝑥 aumenta ou diminui, o 𝑦 também aumenta ou diminiu; 
II. Quando adotamos uma abcissa (valor para a variável 𝑥) igual a 0 , a função assumi um valor 
igual a 1. Conclusão: a função passa pelo ponto (0,1). Veja que este ponto é exatmente a 
interseção do gráfico com o eixo das ordenadas; 
III. Por ser crescente, quanto menor for o valor da abcissa menor será o valor da função. Porém, 
por se tratar de uma exponencial (𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥), nunca teremos um valor NULO 
para seu resultado. Por este motivo a linha do gráfico da função TENDE A “TANGENCIAR” o 
eixo das abcissas. Digo que tende pois NUNCA enconstará, pelo motivo explicitado acima: a 
função não assume valor ZERO, logo não existe raiz. Em outras palavras: inexiste valor de 𝑥 
que zere a função; e 
IV. Tendo em vista o eixo das abcissas tender a tangenciar o gráfico da função em 
−∞ (𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜), este eixo (reta de equação 𝑦 = 0) é chamado de ASSÍNTOTA 
HORIZONTAL da função exponencial (𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥). 
𝒙 𝒚 = 𝟑𝒙 
−𝟐 
𝒚 = 𝟑−𝟐 =
𝟏
𝟗
 
−𝟏 
𝒚 = 𝟑−𝟏 =
𝟏
𝟑
 
𝟎 𝒚 = 𝟑𝟎 = 𝟏 
𝟏 𝒚 = 𝟑𝟏 = 𝟑 
𝟐 𝒚 = 𝟑𝟐 = 𝟗 
𝟑 𝒚 = 𝟑𝟑 = 𝟐𝟕 
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Do mesmo modo, vamos obter o gráfico da função: 
𝑓(𝑥) = (
1
2
)
𝑥
 
 
Observe o gráfico com MUITA atenção, meu querido! Observou? Então, vamos às principais 
observações quanto a ele. 
I. A base da função é igual a 
1
2
 , ou seja, maior que 0 𝑒 menor que 1. Isso determina uma função 
decrescente, pois: à medida que o 𝑥 aumenta ou diminui, o 𝑦 diminui ou aumenta; 
II. Quando adotamos uma abcissa (valor para a variável 𝑥) igual a 0 , a função assumi um valor 
igual a 1. Conclusão: a função passa pelo ponto (0,1). Veja que este ponto é exatmente a 
interseção do gráfico com o eixo das ordenadas; 
III. Por ser decrescente, quanto maior for o valor da abcissa menor será o valor da função. 
Porém, por se tratar de uma exponencial (𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥), nunca teremos um valor 
NULO para seu resultado. Por este motivo a linha do gráfico da função TENDE A 
“TANGENCIAR” o eixo das abcissas. Digo que tende pois NUNCA enconstará, pelo motivo 
explicitado acima: a função não assume valor ZERO, logo não existe raiz. Em outras palavras: 
inexiste valor de 𝑥 que zere a função; e 
𝒙 
𝒇(𝒙) = (
𝟏
𝟐
)
𝒙
 
−𝟐 
𝒚 = (
1
2
)
−2
= 𝟒 
−𝟏 
𝒚 = (
1
2
)
−1
= 𝟐 
𝟎 
𝒚 = (
1
2
)
0
= 𝟏 
𝟏 
𝒚 = (
1
2
)
1
=
𝟏
𝟐
 
𝟐 
𝒚 = (
1
2
)
2
=
𝟏
𝟒
 
𝟑 
𝒚 = (
1
2
)
3
=
𝟏
𝟖
 
𝟒 
𝒚 = (
1
2
)
𝑥
=
𝟏
𝟏𝟔
 
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IV. Tendo em vista o eixo das abcissas tender a tangenciar o gráfico da função em 
+∞ (𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑖𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜), este eixo (reta de equação 𝑦 = 0) é chamado de ASSÍNTOTA 
HORIZONTAL da função exponencial (𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥). 
De modo geral, há dois tipos de gráfico para a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥. Vamos a eles! 
• Se 𝑎 > 1, então a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 é crescente. Sendo crescente, implica em dizer que: se o 
expoente aumenta a função assume um valor maior, ou, por outro lado, se o expoente diminui, 
a função assume um valor menor. 
Exemplo: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 
 
 
• II) Se 0 < 𝑎 < 1, então a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , é decrescente. Sendo decrescente, implica em 
dizer que: se o expoente aumenta a função assume um valor menor, ou, por outro lado, se o 
expoente diminui, a função assume um valor maior. 
Exemplo: 𝑓(𝑥) = (
1
5
)
𝑥
 
 
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Com relação aos gráficos, podemos dizer: 
I) Trata-se de uma função injetora, pois a cada valor da imagem corresponde um único valor do domínio. 
II) O domínio de uma função exponencial é sempre igual ao conjunto dos números reais (𝐷 = ℝ). 
III) A curva está toda acima do eixo das abcissas, pois 𝑦 = 𝑎𝑥 é sempre maior que zero para todo 𝑥 real. 
Portanto, a sua imagem (Im) é dada por 𝐼𝑚 =ℝ+
∗ 
IV) A curva corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1). Isso ocorre porque, para 𝑥 = 0, temos 𝑦 = 𝑎0 = 1. 
 
O número 𝑒... 
Trata-se de um número irracional, cujo valor é 2,71828. .. Esse número é conhecido como número 
neperiano, uma referência ao matemático escocês John Napier, autor da primeira publicação sobre a 
Teoria dos Logaritmos. 
O número 𝑒 é extremamente importante no estudo de juros e de diversos fenômenos naturais, tais como 
crescimento populacional, decaimento radioativo, crescimento de bactérias, entre outros. 
O gráfico da função 𝑦 = 𝑒𝑥 é dado por: 
 
 
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1. Determinar os valores de k para os quais a função 𝒇(𝒙) = (𝟐 +
𝟑𝒌
𝟓
)
𝒙
 é crescente. 
Comentário: 
Para que a função seja crescente, é necessário que 2 +
3𝑘
5
> 1. 
Portanto, temos: 
2 +
3𝑘
5
> 1 ⇒
3𝑘
5
> −1 ⇒ 3𝑘 > −5 ⇒ 𝑘 > −
5
3
 
 
1.3 – Construindo o Gráfico da Exponencial 
 Para que possamos construir o gráfico, precisamos ter em mente que TODA, eu disse TODA função 
exponencial começa da mais elementar possível, ou seja: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥. 
 Eu costumo dizer que, para construir o gráfico de uma função é interessante saber algumas 
propriedades e passos. Vamos a eles: 
 Imaginemos um 𝑘 > 0. Então 
I. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑘 ⟹ o gráfico subirá 𝑘 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠. É o que chamamos de TRANSLAÇÃO VERTICAL 
para CIMA. Destaco que a equação da sua assíntota será da forma 𝑦 = 𝑘. 
 
II. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 − 𝑘 ⟹ o gráfico descerá 𝑘 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠. É o que chamamos de TRANSLAÇÃO VERTICAL 
para BAIXO. Destaco que a equação da sua assíntota será da forma 𝑦 = −𝑘. 
 
Exemplo: Construa o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒙 𝒈(𝒙) = (𝟐)𝒙 
−𝟐 
𝒚 = (2)−2 =
𝟏
𝟒
 
−𝟏 
𝒚 = (2)−1 =
𝟏
𝟐
 
𝟎 𝒚 = (2)0 = 𝟏 
𝟏 𝒚 = (2)1 = 𝟐 
𝟐 𝒚 = (2)2 = 𝟒 
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Agora, precisamos traçar a linha do gráfico da função elementar. Veja: 
 
Veja que apenas desenhamos o gráfico da nossa função “base”, ou seja, da função: 𝑔(𝑥) = 2𝑥. 
Precisamos somar uma unidade para encontrarmos a função desejada no enunciado. Observe que 
a 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 1, logo, basta pegar o gráfico acima e SUBIR uma unidade (na vertical). Olhe! 
 
Fica claro que, ao somarmos 1 à função, os valores das ordenadas sofrem alteração, 
justamente pelo fato da translação ser VERTICAL (ligada ao eixo das ordenadas). 
Fique atendado pois, se o gráfico sobe, sua assíntota horizontal também sobe, logo, se antes a 
equação da reta da nossa assíntota era 𝑦 = 0, após a translação, a assíntota passa a ter uma 
equação da forma 𝑦 = 1. 
Exemplo: Construa o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1. 
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Agora, precisamos traçar a linha do gráfico da função elementar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja que apenas desenhamos o gráfico da nossa função “base”, ou seja, da função: 𝑔(𝑥) = 2𝑥. 
Precisamos subtrair uma unidade para encontrarmos a função desejada no enunciado. Observe 
que a 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) − 1, logo, basta pegar o gráfico acima e DESCER uma unidade (na vertical). 
Olhe! 
𝒙 𝒈(𝒙) = (𝟐)𝒙 
−𝟐 
𝒚 = (2)−2 =
𝟏
𝟒
 
−𝟏 
𝒚 = (2)−1 =
𝟏
𝟐
 
𝟎 𝒚 = (2)0 = 𝟏 
𝟏 𝒚 = (2)1 = 𝟐 
𝟐 𝒚 = (2)2 = 𝟒 
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Fica claro que, ao subtrairmos 1 à função, os valores das ordenadas sofrem alteração, 
justamente pelo fato da translação ser VERTICAL (ligada ao eixo das ordenadas). 
Fique atendado pois, se o gráfico desce, sua assíntota horizontal também desce, logo, se antes 
a equação da reta da nossa assíntota era 𝑦 = 0, após a translação, a assíntota passa a ter uma 
equação da forma 𝑦 = −1. 
Tome muito cuidado com a seguinte afirmação: NENHUMA FUNÇÃO EXPOENECIAL possui raiz. Isso não é 
verdade. O exemplo do gráfico acima é prova disso. Perceba que, ao fazermos uma translação vertical para 
baixo de uma unidade, o gráfico passa a cortar o eixo das abcissas, dando a interpretação de termos uma 
raiz. Sendo assim, por exemplo, na função do tipo 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 existe um 𝑥 tal que a função resulta em 
zero. Veja: 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 = 0 
2𝑥 − 1 = 0 
2𝑥 = 1 
2𝑥 = 20 
𝑥 = 0 
Logo, o gráfico corta o eixo das abcissas no ponto (0,0). 
 Por outro lado, temos: 
Imaginemos um 𝑘 > 0. 
I. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+𝑘 ⟹ o gráfico andará para a esquerda 𝑘 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠. É o que chamamos de 
TRANSLAÇÃO HORIZONTAL para a DIREITA. Destaco que a equação da sua assíntota não sofrerá 
alteração. 
 
II. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥−𝑘 ⟹ o gráfico andará para a direita 𝑘 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠. É o que chamamos de TRANSLAÇÃO 
HORIZONTAL para a DIREITA. Destaco que a equação da sua assíntota não sofrerá alteração. 
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Veja a comparação de uma função exponencial elementar com uma tranformada dela. 
Exemplo: Construa o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥+1. 
 
 
Agora, precisamos traçar a linha do gráfico da função elementar. Veja: 
 
Veja que apenas desenhamos o gráfico da nossa função “base”, ou seja, da função: 𝑔(𝑥) = 2𝑥. 
Precisamos adicionar uma unidade ao expoente para encontrarmos a função desejada no 
enunciado. Observe que a 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∙ 2 = 2𝑥 ∙ 2 = 2𝑥+1, logo, basta pegar o gráfico acima e 
ANDAR uma unidade para a esquerda (na horizontal). Olhe! 
𝒙 𝒈(𝒙) = (𝟐)𝒙 
−𝟐 
𝒚 = (2)−2 =
𝟏
𝟒
 
−𝟏 
𝒚 = (2)−1 =
𝟏
𝟐
 
𝟎 𝒚 = (2)0 = 𝟏 
𝟏 𝒚 = (2)1 = 𝟐 
𝟐 𝒚 = (2)2 = 𝟒 
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Fica claro que, ao somarmos 1 ao expoente da função, os valores das ordenadas sofrem 
alteração, porém, o gráfico desloca uma unidade para a esquerda, justamente pelo fato da 
translação ser HORIZONTAL (ligada ao eixo das abcissas). Observe que a abcissa 1 , no gráfico 
antigo, levava à ordenada 2, agora, com a translação horizontal, para encontrarmos o 2 como 
ordenada, precisamos colocar o 0 como abcissa. 
Exemplo: Construa o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥−1. 
Partiremos da função elementar, locando cada ponto no cartesiano. Veja: 
𝒙 𝒈(𝒙) = (𝟐)𝒙 
−𝟐 
𝒚 = (2)−2 =
𝟏
𝟒
 
−𝟏 
𝒚 = (2)−1 =
𝟏
𝟐
 
𝟎 𝒚 = (2)0 = 𝟏 
𝟏 𝒚 = (2)1 = 𝟐 
𝟐 𝒚 = (2)2 = 𝟒 
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Agora, precisamos traçar a linha do gráfico da função elementar. Veja: 
 
Veja que apenas desenhamos o gráfico da nossa função “base”, ou seja, da função: 𝑔(𝑥) = 2𝑥. 
Precisamos subtrair uma unidade ao expoente para encontrarmos a função desejada no 
enunciado. Observe que a 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∙ 2 = 2𝑥 ÷ 2 = 2𝑥−1, logo, basta pegar o gráfico acima e 
ANDAR uma unidade para a direita (na horizontal). Olhe! 
 
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Fica claro que, ao subtrairmos 1 ao expoente da função, os valores das ordenadas sofrem 
alteração, porém, o gráfico desloca uma unidade para a direita, justamente pelo fato da translação 
ser HORIZONTAL (ligada ao eixo das abcissas). Observe que a abcissa 1 , no gráfico antigo, levava 
à ordenada 2, agora, com a translação horizontal, para encontrarmos o 2 como ordenada, 
precisamos colocar o 2 como abcissa. 
 
É meu querido! Você deve estar pensando: “NUNCA VI ISSO!” ou “SERÁ QUE ISSO CAI?”. Minha 
resposta para o segundo pensamento é: pode não cair o nome da transformação, mas o efeito dela sim. 
Você precisa conhecer para saber interpretar de forma bem mais simples as questões de prova. Vamos a 
mais algus detalhes. 
 
I. 𝑓(𝑥) = 𝑎−𝑥 ⟹ o gráfico sofrerá uma REFLEXÃO em relação ao eixo das ordenadas. É como se o 
eixo das ordenadas fosse um espelho para a função inicial. 
 
II. 𝑓(𝑥) = −𝑎𝑥 ⟹ o gráfico sofrerá uma REFLEXÃO em relação ao eixo das abcissas. É como se o eixo 
das abcissas fosse um espelho para a função inicial. 
Veja a comparação de uma função exponencial elementar com uma tranformada dela. 
Exemplo: Gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2−𝑥 (𝑒𝑚 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒). Nada mais é que construir o gráfico da função 
2𝑥 (linha tracejada na imagem abaixo) e refletir em relação ao eixodas ordenadas. Veja: 
 
 
Exemplo: Gráfico da função 𝑓(𝑥) = −2𝑥 (𝑒𝑚 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒). Nada mais é que construir o gráfico da 
função 2𝑥 (linha tracejada na imagem abaixo) e refletir em relação ao eixo das abcissas. Veja: 
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2.0 – Equações e Inequações Exponenciais 
2.1 – Equação Exponencial 
Uma equação é dita exponencial quando a variável se apresenta no expoente. Seja a um número 
real tal que 0 < 𝑎 ≠ 1. Como a função exponencial é injetora, para cada valor da abcissa diferente, 
precisamos ter imagens diferentes. Por este motivo, se tivermos 𝑓(𝑥1) = 𝑔(𝑥2) ⟺ 𝑥1 = 𝑥2 . Em outras 
palavras, temos: 
Se 𝑎𝑥1 = 𝑎𝑥2 , então 𝑥1 = 𝑥2 
 
Muito importante ressaltar que, na resolução de equação exponencial, o problema pode apresentar 
a igualdade de algumas formas diferentes, por este motivo é preciso destar antes de continuarmos. 
Pode acontecer de uma igualdade entre potências apresentar: 
I. Base iguais: 𝑎𝑥1 = 𝑎𝑥2 ⟺ 𝑥1 = 𝑥2 . Nos problemas desse tipo, tendo bases iguais, reais 
positivas e distintas de 1, basta igualar os expoentes; 
Exemplo: 
2𝑥 = 27 
𝑥 = 7 
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II. Bases diferentes não nulas: 𝑎 ≠ 𝑏 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑥1 = 𝑏𝑥2 ⟺ 𝑥1 = 𝑥2 = 0 . Nos problemas desse 
tipo, tendo bases distintas, reais positivas e diferentes de 1, ambos os expontes precisam 
ser nulos; 
Exemplo: 
2𝑦−3 = 32𝑥+1 
2𝑥 + 1 = 0 𝑒 𝑦 − 3 = 0 
𝑥 = −
1
2
 𝑒 𝑦 = 3 
 
III. Expoentes iguais não nulos: 𝑎𝑥 = 𝑏𝑥 ⟺ 𝑎 = 𝑏 ≠ 0 . Nos problemas desse tipo, tendo 
expoentes iguais entre si mas diferentes de zero, necessariamente, para ocorrer a 
igualdade, as bases precisarão ser iguais. 
Exemplo: 
2𝑦−3 = (𝑦 − 3)𝑦−3 
Veja que, se (𝑦 − 3) for igual a zero, teremos uma INDERTERMINAÇÃO do tipo 00. Logo, para 
existir solução da equação, necessariamente, 𝑦 − 3 ≠ 0. Assim, como os expoentes são iguais e 
não nulos, podemos igualar as bases, veja: 
𝑦 − 3 = 2 
𝑦 = 5 
 
IV. Bases iguais a 1: com 1𝑥 = 1𝑦, neste caso nada se pode afirmar quanto aos elementos 𝑥 𝑒 𝑦. 
Exemplo: 
1𝑦−3 = 1𝑦+4 ⟹ 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 (𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠) 
Veja que essa equação sempre será verdadeira pois, por termos as bases iguais a 1, determinar o 
expoente torna-se indiferente. 
 
V. Uma das bases igual 1: com 𝑎𝑥 = 1, neste caso será preciso fazer alguns testes antes de 
confirmarmos o conjunto solução. Um dica é: testar expoente igual a 0. 
Exemplo: 
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(2)𝑥
2−7𝑥+12 = 1 
(2)𝑥
2−7𝑥+12 = 20 
𝑥2 − 7𝑥 + 12 = 0 
𝑥1 = 3 𝑒 𝑥2 = 4 
Logo, esses são os valores que zeram o expoente, tornando a equação verdadeira. 
 
VI. Uma das bases igual 1 e a outra possuindo uma variável: com 𝑥𝑥 = 1, neste caso será 
preciso fazer alguns testes antes de confirmarmos o conjunto solução. Um dica é: testar 
expoente igual a 0 e a base igual a 1 𝑒 − 1. 
Exemplo: 
(𝑥)𝑥
2−7𝑥+12 = 1 
(𝑥)𝑥
2−7𝑥+12 = 20 
𝑥2 − 7𝑥 + 12 = 0 
𝑥1 = 3 𝑒 𝑥2 = 4 
Mas veja que não acabamos os testes. Precisamos testar a base como 1 e como −1. Veja: 
𝐹𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 1, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: (1)1
2−7.1+12 = 1 ⟹ 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒! 
𝐹𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 = −1, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: (−1)(−1)
2−7.(−1)+12 = 1 ⟹ 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒! 
 
Logo, o conjunto solução da equação é 𝐶. 𝑆 = {−1; 1; 3; 4}. 
 
2. Resolver, em ℝ, a equação 𝟑𝟐𝒙 = 𝟏𝟐𝟖. 
 
Comentário: 
32𝑥 = 128 ⇒ (25)𝑥 = 27 ⇒ 25𝑥 = 27 ⇒ 
⇒ 5𝑥 = 7 
𝑥 =
7
5
 
Portanto, 𝑆 = {
7
5
} 
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3. Resolver, em ℝ, a equação 𝟑𝒙 + 𝟑−𝒙 =
𝟖𝟐
𝟗
 
 
Comentário: 
Podemos escrever 3𝑥 + 3−𝑥 =
82
9
. Substituindo 3x por y , temos: 
𝑦 +
1
𝑦
=
82
9
⇒
9𝑦2 + 9
9𝑦
=
82𝑦
9𝑦
 
9𝑦2 − 82𝑦 + 9 = 0 
𝛥 = (−82)2 − 4.9.9 = 6400 
𝑦 =
82 ± 80
18
⇒ 𝑦 =
1
9
 𝑜𝑢 𝑦 = 9 
Para 𝑦 =
1
9
, temos 3𝑥 =
1
9
⇒ 3𝑥 = 3−2 ⇒ 𝑥 = −2 
Para 𝑦 = 9, temos 3𝑥 = 9 ⇒ 3𝑥 = 32 ⇒ 𝑥 = 2 
Portanto, 𝑆 = {−2,2} 
 
4. Resolver, em ℝ, a equação 𝟒𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎 
Comentário: 
4𝑥 − 2𝑥 − 12 = 0 ⇒ (2𝑥)2 − 2𝑥 − 12 = 0. Substituindo 2𝑥 por 𝑦, temos: 
𝑦2 − 𝑦 − 12 = 0 
𝛥 = (−1)2 − 4.1. (−12) = 49 
 
𝑦 =
1 ± 7
2
⇒ 𝑦 = −3 𝑜𝑢 𝑦 = 4 
Para 𝑦 = −3, temos 2𝑥 = −3 (𝑎𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜) 
Para 𝑦 = 4, temos 2𝑥 = 4 ⇒ 2𝑥 = 22 ⇒ 𝑥 = 2 
Portanto, 𝑆 = {2} 
 
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2.2 – Inequação Exponencial 
Podemos entender como sendo toda desigualdade em que a variável aparece em pelo menos uma 
das potências. 
Exemplos: 
1º) 7𝑥 > 343 
2º) 7𝑥−4 < 81 
3º) (
1
5
)
3𝑥−21
≥ 25−1 
De modo geral, uma inequação deve ser resolvida colocando-se a mesma base 𝑎 nos dois membros 
da inequação e considerando-se os seguintes casos: 
1º caso: 𝒂 > 𝟏 
Como a função ( ) xf x a= é crescente, observamos que, se 𝑎𝑥2 > 𝑎𝑥1 , então 𝑥2 > 𝑥1. 
 
Portanto: Se 𝑎 > 1, devemos conservar o sinal da desigualdade ao compararmos os expoentes. 
 
2º caso: 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 
 
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Como a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 é decrescente, observamos que, se 𝑎𝑥2 > 𝑎𝑥1 , então 𝑥2 < 𝑥1 
Portanto: Se 0 < 𝑎 < 1, devemos inverter o sinal da desigualdade ao compararmos os expoentes. 
 
5. Resolver a inequação 𝟕𝒙 > 𝟑𝟒𝟑 
 
Comentário: 
7𝑥 > 343 ⇒ 7𝑥 > 73 
Como 7 > 1, devemos conservar a desigualdade, ou seja, 𝑥 > 3. 
Portanto, 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 > 3} 
 
6. Resolver a inequação (
𝟏
𝟓
)
𝟑𝒙−𝟐𝟏
≥ 𝟐𝟓−𝟏 
 
Comentário: 
(
1
5
)
3𝑥−21
≥ 25−1 ⇒ (
1
5
)
3𝑥−21
≥
1
25
⇒ (
1
5
)
3𝑥−21
≥ (
1
5
)
2
 
Como 0 <
1
5
< 1, devemos inverter a desigualdade, ou seja, 3𝑥 − 21 ≤ 2 ⇒ 3𝑥 ≤ 23 ⇒ 𝑥 ≤
23
3
 
Portanto, 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ≤
23
3
} 
 
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7. Resolver a inequação 𝟐𝒙+𝟐 − 𝟐𝒙−𝟏 + 𝟐𝒙 ≤ 𝟏𝟖 
 
Comentário: 
Nesse caso, devemos utilizar as propriedades das potências, 
2𝑥 . 22 −
2𝑥
2
+ 2𝑥 ≤ 18 ⇒ 4. 2𝑥 −
2𝑥
2
+ 2𝑥 ≤ 18 
Substituindo 2𝑥 por 𝑦, temos: 
4𝑦 −
𝑦
2
+ 𝑦 ≤ 18 ⇒
10𝑦 − 𝑦
2
≤ 18 ⇒ 9𝑦 ≤ 36 ⇒ 𝑦 ≤ 4 
Substituindo 𝑦 por 2𝑥 , obtemos: 
2𝑥 ≤ 4 ⇒ 2𝑥 ≤ 22 ⇒ 𝑥 ≤ 2 
Portanto, {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ≤ 2} 
 
3.0 – Logaritmo 
3.1 – Definição de Logaritmo 
Imaginemos o seguinte problema: à qual expoente devemos elevar o número 3 de modo a 
obtermos 243? 
Observe que o problema anterior pode ser descrito através da seguinte equação exponencial: 
3𝑥 = 243 ⇒ 3𝑥 = 35 ⇒ 𝑥 = 5 
A partir de agora, diremos que 5 é o logaritmo de 243 na base 3. Com isso, promovemos uma 
mudança na notação utilizada. Assim, escrevemos: 
𝑙𝑜𝑔3 243 = 5 
 
Portanto, observamos que as expressões descritas anteriormente são equivalentes, ou seja: 
𝑙𝑜𝑔3 243 = 5 ⇔ 3
5 = 243 
 
Podemos generalizar essa ideia do seguinte modo: 
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Sendo 𝑎 e 𝑏 números reais e positivos, com 𝑎 ≠ 1, chama-se logaritmo de 𝑏 na base 𝑎 o expoente 
real 𝑥 que se deve dar à base 𝑎 de modo que a potência obtida seja igual a 𝑏. 
𝒍𝒐𝒈𝑎 𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑏 = 𝑎
𝑥 
Em que: 
𝐼) b é 𝑜 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 
𝐼𝐼) a é 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 
𝐼𝐼𝐼) x é 𝑜 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 
Exemplo: 
Calcular o valor de cada logaritmo a seguir: 
a) 𝑙𝑜𝑔2 32 
 
Comentário: 
𝑙𝑜𝑔2 32 = 𝑥 ⇒ 2
𝑥 = 32 ⇒ 2𝑥 = 25 ⇒ 𝑥 = 5 
 
b) 𝑙𝑜𝑔0,2 625 
 
Comentário: 
𝑙𝑜𝑔0,2 625 =𝑥 ⇒ 0, 2
𝑥 = 625 ⇒ (
1
5
)
𝑥
= 625 ⇒ 
⇒ 5−𝑥 = 54 ⇒ 𝑥 = −4 
 
 
I) As condições de existência do logaritmo 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 são: 
𝑏 > 0 𝑒 0 < 𝑎 ≠ 1 
 
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II) Quando a base de um logaritmo é igual a 10 (logaritmo decimal), esta pode ser omitida. 
 
Exemplo: 𝑙𝑜𝑔10 5 pode ser escrito como 𝑙𝑜𝑔 5. 
 
III) Quando a base do logaritmo é o número e (𝑒 = 2,71828. . . ), esse logaritmo é chamado logaritmo 
neperiano ou logaritmo natural e é representado pela notação In. 
 
Exemplo: 𝑙𝑜𝑔𝑒 18 pode ser escrito como 𝐼𝑛 18. 
3.2 – Consequências da Definição 
Considerando a definição de logaritmo e suas condições de existência, temos: 
I. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 = 1, pois 𝑎 = 𝑎
1 ; 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1 
II. 𝑙𝑜𝑔𝑎 1 = 0, pois 1 = 𝑎
0 ; 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1 
III. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎
𝑘 = 𝑘, pois 𝑎𝑘 = 𝑎𝑘; 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1 
IV. 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑏 ; 𝑎 𝑒 𝑏 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1 
 
3.3 – Propriedades dos Logaritmos 
Sendo 𝑎, 𝑏 e 𝑐 números reais e positivos, e 𝑎 ≠ 1, temos: 
I) 𝑙𝑜𝑔𝑎( 𝑏. 𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐 ; 
II) 𝑙𝑜𝑔𝑎 (
𝑏
𝑐
) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐 ; 
III) 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏
𝑚 = 𝑚 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 , 𝑐𝑜𝑚 𝑚 ∈ ℝ; 
IV) 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑛 𝑏 =
1
𝑛
∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 , 𝑐𝑜𝑚 𝑛 ∈ ℝ; 
V) 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑛 𝑏
𝑚 =
𝑚
𝑛
∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 , 𝑐𝑜𝑚 𝑚 𝑒 𝑛 ∈ ℝ; 
VI) 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑏 ; 
VII) 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 =
1
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎
 ; 
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VIII) 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 =
𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏
𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎
 ; 
IX) 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑘 ∙ 𝑎) ⟹ 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑘 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑘 + 1 , 𝑐𝑜𝑚 𝑛 ∈ ℕ
∗ ; 
X) 𝑙𝑜𝑔𝑘∙𝑎(𝑎) ⟹ 𝑙𝑜𝑔𝑘∙𝑎 (
𝑘∙𝑎
𝑘
) = 𝑙𝑜𝑔𝑘∙𝑎(𝑘 ∙ 𝑎) + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑘 = 1 + 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑘 , 𝑐𝑜𝑚 𝑛 ∈ ℕ
∗ ; e 
XI) 𝑙𝑜𝑔𝒂 𝑏 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑑 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑑 𝒆 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑒 . 
 
 
Uma dica muito útil é: toda vez que vir numa questão um constante real adicionada ou subtraída 
de uma expressão em log, podemos e DEVEMOS reescrevê-la em função de um log de mesma base do 
outro, para que consigamos operá-los sem maiores problemas. Veja: 
2 + 𝑙𝑜𝑔35 ⟹ 𝑙𝑜𝑔33
2 + 𝑙𝑜𝑔35 
𝑙𝑜𝑔33
2 + 𝑙𝑜𝑔35 = 𝑙𝑜𝑔3(9 ∙ 5) 
= 𝑙𝑜𝑔345 
Por outro lado, se aparecer uma diferença, teremos: 
2 − 𝑙𝑜𝑔35 ⟹ 𝑙𝑜𝑔33
2 − 𝑙𝑜𝑔35 
𝑙𝑜𝑔33
2 − 𝑙𝑜𝑔35 = 𝑙𝑜𝑔3(9 ÷ 5) 
= 𝑙𝑜𝑔3 (
9
5
) 
 
8. Sendo 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝒙 = 𝟑, 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝒚 = 𝟓 𝒆 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝒛 = 𝟕, calcular o valor de 𝒍𝒐𝒈𝟐
√𝒙𝟑
𝟓
𝒚𝟐𝒛
, considerando satisfeitas as 
condições de existência. 
Comentário: 
𝑙𝑜𝑔2
√𝑥3
5
𝑦2𝑧
= 𝑙𝑜𝑔2 𝑥
3
5 − (𝑙𝑜𝑔2 𝑦
2 + 𝑙𝑜𝑔2 𝑧) ⇒ 
𝑙𝑜𝑔2
√𝑥3
5
𝑦2𝑧
=
3
5
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − 2 𝑙𝑜𝑔2 𝑦 − 𝑙𝑜𝑔2 𝑧 ⇒ 
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𝑙𝑜𝑔2
√𝑥3
5
𝑦2𝑧
=
3
5
. 3 − 2.5 − 7 = −
76
5
 
 
3.4 – Equações Logarítmicas 
São equações que envolvem logaritmos, cujas variáveis podem aparecer no logaritmando, na base 
ou em ambos. Assim, para resolvê-las, aplicamos a definição, as condições de existência e as propriedades 
dos logaritmos. 
 
9. Resolver, em ℝ, a seguinte equação logarítmica: 
𝑙𝑜𝑔5( 3𝑥 − 18) = 𝑙𝑜𝑔5 6 
 
Comentário: 
Inicialmente, devemos verificar as condições de existência (C.E.) de cada logaritmo. Assim, temos: 
3𝑥 − 18 > 0 
𝑥 > 6 
Em seguida, como as bases são iguais, devemos igualar também os logaritmandos. Logo: 
3𝑥 − 18 = 6 
3𝑥 = 24 
𝑥 = 8 
Como esse valor satisfaz a condição de existência (𝑥 > 6), então a solução da equação é 𝑆 = {8} 
 
10. Resolver, em ℝ, a equação: 
𝒍𝒐𝒈𝟐( 𝟏 − 𝟓𝒙) = −𝟑 
 
 
Comentário: 
Aplicando a condição de existência, temos: 
1 − 5𝑥 > 0 
−5𝑥 > −1 
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5𝑥 < 1 
𝑥 <
1
5
 
Aplicando a propriedade da definição de logaritmo, temos: 
1 − 5𝑥 = 2−3 
1 − 5𝑥 =
1
8
 
1 −
1
8
= 5𝑥 
7
8
= 5𝑥 
𝑥 =
7
40
 
Então, como 
7
40
<
1
5
, satisfazendo a condição de existência, a solução da equação é 𝑆 = {
7
40
} 
 
Até aqui, tudo bem?? 
Preste bastante atenção aos pontos explicados. Cada um deles fará diferença na sua prova!! 
Vamos à teoria de Função Logarítmica?! 
4.0 – Função Logarítmica 
4.1 – Introdução 
 Chama-se função logarítmica toda função ,f de domínio ℝ+
∗ e contradomínio ℝ, que associa a cada 
número real positivo 𝑥 o logaritmo 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥, sendo 𝑎 um número real positivo e diferente de 1. 
𝑓:ℝ+
∗ → ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 , 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 0 < 𝑎 ≠ 1 
Exemplos: 
1º) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 
2º) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔0,4 𝑥 
3º) 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥) 
4º) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔10 𝑥 
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4.2 –Gráficos 
Vamos construir os gráficos das funções 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 e 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥. Em cada caso, iremos 
atribuir alguns valores para x e, em seguida, calcularemos os correspondentes valores de y . Os pares 
ordenados obtidos serão usados para construir cada gráfico. 
1º) Gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 
x y 
𝟏
𝟖
 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2 (
1
8
) = −3 
𝟏
𝟒
 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2 (
1
4
) = −2 
𝟏
𝟐
 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2 (
1
2
) = −1 
𝟏 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2(1) = 0 
𝟐 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2(2) = 1 
𝟒 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2(4) = 2 
𝟖 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2(8) = 3 
 
 
I) Perceba que o gráfico da função acima não intercepta o eixo das ordenadas. Isso ocorre porque 
a função logarítmica não está definida para 𝑥 = 0. Neste caso, o eixo das ordenadas é chamado de 
assíntota vertical, cuja equação da reta é 𝑥 = 0. 
II) O gráfico intercepta o eixo das abscissas no ponto (1,0). Isso se deve ao fato de que 𝑙𝑜𝑔𝑎 1 = 0, 
para qualquer número real a positivo e diferente de 1. 
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III) O gráfico da função 𝑙𝑜𝑔2𝑥 é crescente. Isso ocorre porque a base do logaritmo é igual a 2, ou 
seja, é maior do que 1.2º) Gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥 
x y 
𝟖 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
2
8 = −3 
𝟒 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
2
4 = −2 
𝟐 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
2
2 = −1 
𝟏 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
2
1 = 0 
𝟏
𝟐
 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
2
(
1
2
) = 1 
𝟏
𝟒
 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
2
(
1
4
) = 2 
𝟏
𝟖
 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
2
(
1
8
) = 3 
 
 
I) Perceba que o gráfico da função acima não intercepta o eixo das ordenadas. Isso ocorre porque 
a função logarítmica não está definida para 𝑥 = 0. Neste caso, o eixo das ordenadas é chamado de 
assíntota vertical, cuja equação da reta é 𝑥 = 0. 
II) O gráfico intercepta o eixo das abscissas no ponto (1,0). Isso se deve ao fato de que 𝑙𝑜𝑔𝑎 1 = 0, 
para qualquer número real a positivo e diferente de 1. 
III) O gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥 é decrescente. Isso ocorre porque a base do logaritmo é igual 
a 
1
2
, ou seja, é um número maior do que 0 e menor do que 1. 
 
 
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De modo geral, há dois casos a serem considerados no esboço do gráfico da função 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) 
1º caso: 𝑎 > 1 
 
 
❖ Função Crescente; 
❖ Domínio 𝐷 = ℝ+
∗ ; 
❖ Imagem 𝐼𝑚 =ℝ; e 
❖ Bijetiva, ou seja, INVERTÍVEL. 
 
2º caso: 0 < 𝑎 < 1 
 
❖ Função Decrescente 
❖ Domínio 𝐷 = ℝ 
❖ Imagem 𝐼𝑚 =ℝ+
∗ 
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❖ Biejtiva, ou seja, INVERTÍVEL. 
A função 𝑓:ℝ+
∗ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 é inversa da função 𝑔:ℝ → ℝ+
∗ , definida por 
𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 , com 0 < 𝑎 ≠ 1. Por este motivo, os gráficos das funções f e g são simétricos em relação à 
bissetriz dos quadrantes ímpares ( 𝑞𝑢𝑒 é 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑦 = 𝑥), característica marcante de 
funções inversasentre si. 
1º caso: 𝑎 > 1 
 
2º caso: 0 < 𝑎 < 1 
 
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4.3 – Construindo o Gráfico da Exponencial 
 Para que possamos construir o gráfico, precisamos ter em mente que TODA, eu disse TODA função 
exponencial começa da mais elementar possível, ou seja: 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 . 
 Eu costumo dizer que, para construir o gráfico de uma função é interessante saber algumas 
propriedades e passos. Vamos a eles: 
 Imaginemos um 𝑘 > 0. Então 
III. 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 + 𝑘 ⟹ o gráfico subirá 𝑘 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠. É o que chamamos de TRANSLAÇÃO VERTICAL 
para CIMA. Destaco que a equação da sua assíntota não sofrerá alteração, assim, sua equação 
continuará sendo da forma 𝑥 = 0. 
 
IV. 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 − 𝑘 ⟹ o gráfico descerá 𝑘 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠. É o que chamamos de TRANSLAÇÃO 
VERTICAL para BAIXO. Destaco que a equação da sua assíntota não sofrerá alteração, assim, sua 
equação continuará sendo da forma 𝑥 = 0. 
 
 
Exemplo: Construa o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 1. 
 
 
 
 
𝒙 𝒈(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝟐𝒙 
𝟏
𝟖
 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2 (
1
8
) = −3 
𝟏
𝟒
 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2 (
1
4
) = −2 
𝟏
𝟐
 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2 (
1
2
) = −1 
𝟏 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2(1) = 0 
𝟐 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2(2) = 1 
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Agora, precisamos traçar a linha do gráfico da função elementar. Veja: 
 
Veja que apenas desenhamos o gráfico da nossa função “base”, ou seja, da função: 𝑔(𝑥) =
𝑙𝑜𝑔2 𝑥. Precisamos somar uma unidade para encontrarmos a função desejada no enunciado. 
Observe que a 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 1, logo, basta pegar o gráfico acima e SUBIR uma unidade (na 
vertical). Olhe! 
 
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Fica claro que, ao somarmos 1 à função, os valores das ordenadas sofrem alteração, 
justamente pelo fato da translação ser VERTICAL (ligada ao eixo das ordenadas). 
Fique atento pois, se o gráfico sobe, sua assíntota vertical NÃO SE ALTERA, logo, a equação da 
reta continua sendo 𝑥 = 0. 
Exemplo: Construa o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥 − 1. 
 
 
Agora, precisamos traçar a linha do gráfico da função elementar. Veja: 
 
𝒙 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝟏
𝟐
𝒙 
𝟒 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
2
4 = −2 
𝟐 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
2
2 = −1 
𝟏 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
2
1 = 0 
𝟏
𝟐
 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
2
(
1
2
) = 1 
𝟏
𝟒
 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
2
(
1
4
) = 2 
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Veja que apenas desenhamos o gráfico da nossa função “base”, ou seja, da função: 𝑔(𝑥) =
𝑙𝑜𝑔2𝑥. Precisamos subtrair uma unidade para encontrarmos a função desejada no enunciado. 
Observe que a 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) − 1, logo, basta pegar o gráfico acima e DESCER uma unidade (na 
vertical). Olhe! 
 
Fica claro que, ao subtrairmos 1 à função, os valores das ordenadas sofrem alteração, 
justamente pelo fato da translação ser VERTICAL (ligada ao eixo das ordenadas). 
Fique atento pois, se o gráfico desce, sua assíntota NÃO SE ALTERA, logo, a equação da reta 
continua sendo 𝑥 = 0. 
 
Tome muito cuidado com a seguinte afirmação: NENHUMA FUNÇÃO EXPOENECIAL possui raiz. Isso não é 
verdade. O exemplo do gráfico acima é prova disso. Perceba que, ao fazermos uma translação vertical para 
baixo de uma unidade, o gráfico passa a cortar o eixo das abcissas, dando a interpretação de termos uma 
raiz. Sendo assim, por exemplo, na função do tipo 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 existe um 𝑥 tal que a função resulta em 
zero. Veja: 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 = 0 
2𝑥 − 1 = 0 
2𝑥 = 1 
2𝑥 = 20 
𝑥 = 0 
Logo, o gráfico corta o eixo das abcissas no ponto (0,0). 
 
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Por outro lado, temos: 
Imaginemos um 𝑘 > 0. 
 
I. 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 + 𝑘) ⟹ o gráfico andará para a esquerda 𝑘 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠. É o que chamamos de 
TRANSLAÇÃO HORIZONTAL para a DIREITA. Destaco que a equação da sua assíntota sofrerá 
alteração. Será da forma 𝑥 = −𝑘 
 
II. 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 − 𝑘) ⟹ o gráfico andará para a direita 𝑘 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠. É o que chamamos de 
TRANSLAÇÃO HORIZONTAL para a DIREITA. Destaco que a equação da sua assíntota sofrerá 
alteração. Será da forma 𝑥 = 𝑘 
Veja a comparação de uma função exponencial elementar com uma tranformada dela. 
Exemplo: Construa o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 + 2). 
 
 
Partiremos direto para o gráfico da função, locando cada ponto no cartesiano. Veja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, precisamos traçar a linha do gráfico da função. Veja: 
𝒙 𝒈(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝟐(𝒙 + 𝟐) 
−𝟏 𝒚 = 𝑙𝑜𝑔2(1) = 0 
𝟎 𝒚 = 𝑙𝑜𝑔2(2) = 1 
𝟐 𝒚 = 𝑙𝑜𝑔2(4) = 2 
𝟔 𝒚 = 𝑙𝑜𝑔2(8) = 3 
𝟏𝟒 𝒚 = 𝑙𝑜𝑔2(16) = 4 
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Veja que o gráfico tangencia a reta 𝑥 = −𝑘, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑥 = −2. Isso ocorre pelo fato do gráfico 
sofrer uma translação horizontal para a esquerda, pela soma do 2 ao logaritmando. 
 
 
Fica claro que, ao somarmos 2 ao logaritmando da função, os valores das abcissas sofrem 
alteração, ou seja, o gráfico desloca duas unidades para a esquerda, justamente pelo fato da 
translação ser HORIZONTAL (ligada ao eixo das abcissas). Observe que a abcissa 2 , no gráfico 
antigo, levava à ordenada 1, agora, com a translação horizontal, para encontrarmos o 2 como 
ordenada, precisamos colocar o 2 como abcissa. 
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Exemplo: Construa o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 − 2). 
Partiremos da função elementar, locando cada ponto no cartesiano. Veja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, precisamos traçar a linha do gráfico da função. Veja: 
 
 
𝒙 𝒈(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝟐(𝒙 − 𝟐) 
𝟑 𝒚 = 𝑙𝑜𝑔2(1) = 0 
𝟒 𝒚 = 𝑙𝑜𝑔2(2) = 1 
𝟔 𝒚 = 𝑙𝑜𝑔2(4) = 2 
𝟏𝟎 𝒚 = 𝑙𝑜𝑔2(8) = 3 
𝟏𝟖 𝒚 = 𝑙𝑜𝑔2(16) = 4 
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Veja que o gráfico tangencia a reta 𝑥 = 𝑘, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑥 = 2. Isso ocorre pelo fato do gráfico 
sofrer uma translação horizontal para a esquerda, pela soma do 2 ao logaritmando. 
 
 
Fica claro que, ao subtrairmos 2 ao logaritmando da função, os valores das abcissas sofrem 
alteração, ou seja, o gráfico desloca duas unidades para a direita, justamente pelo fato da 
translação ser HORIZONTAL (ligada ao eixo das abcissas). Observe que a abcissa 4 , no gráfico 
antigo, levava à ordenada 2, agora, com a translação horizontal, para encontrarmos o 2 como 
ordenada, precisamos colocar o 6 como abcissa. 
 
É meu querido! Você deve estar pensando: “NUNCA VI ISSO!” ou “SERÁ QUE ISSO CAI?”. Minha 
resposta para o segundo pensamento é: pode não cair o nome da transformação, mas o efeito dela sim. 
Você precisa conhecer para saber interpretar de forma bem mais simples as questões de prova. Vamos a 
mais algus detalhes. 
 
III. 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎(−𝑥) ⟹ o gráfico sofrerá uma REFLEXÃO em relação ao eixo das ordenadas. É como 
se o eixo das ordenadas fosse um espelho para a função inicial. 
 
IV. 𝑓(𝑥) = −𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) ⟹ o gráfico sofrerá uma REFLEXÃO em relação ao eixo das abcissas. É como se 
o eixo das abcissas fosse um espelho para a função inicial. 
Veja a comparação de uma função exponencial elementar com uma tranformada dela. 
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Exemplo: Gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2(−𝑥) (𝑒𝑚 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒). Nada mais é que construir o gráfico da 
função 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥)(linha tracejada na imagem abaixo) e refletir em relação ao eixo das 
ordenadas. Veja: 
 
Exemplo: Gráfico da função 𝑓(𝑥) = −𝑙𝑜𝑔2(𝑥) (𝑒𝑚 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒). Nada mais é que construir o gráfico da 
função 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) (linha tracejada na imagem abaixo) e refletir em relação ao eixo das 
abcissas. Veja: 
 
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Ressalto que o ponto de interseção entre os gráficos da Função Exponencial e Logarítmica é o ponto em 
que essas funções apresentam o mesmo valor numérico! 
 
4.4 – Inequação Logarítmica 
Podemos entender como sendo toda desigualdade em que a variável aparece pelo menos no 
logaritmando, ou, por vezes, na base do logaritmo. 
Exemplos: 
1º) 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 − 1) > 64 
2º) 𝑙𝑜𝑔(𝑥−1)(3𝑥 − 2) > 3 
3º) 𝑙𝑜𝑔1
2
(𝑥 − 1) > 𝑙𝑜𝑔1
2
(2𝑥 + 3) 
De modo geral, uma inequação deve ser resolvida colocando-se a mesma base 𝑎 nos dois membros 
da inequação e considerando-se os seguintes casos: 
1º caso: 𝒂 > 𝟏 
Como a função𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) é crescente, observamos que, se 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥1) < 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥2), então 𝑥1 <
𝑥2. Portanto: se 𝑎 > 1, devemos conservar o sinal da desigualdade ao compararmos os logaritmandos. 
 
2º caso: 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 
Como a função𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) é decrescente, observamos que, se 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥1) < 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥2), então 
𝑥1 > 𝑥2. Portanto: se 0 < 𝑎 < 1, devemos mudar (trocar) o sinal da desigualdade ao compararmos os 
logaritmandos. 
 
11. (UFJF) A figura a seguir é um esboço, no plano cartesiano, do gráfico da função 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒙, com 
alguns pontos destacados. Supondo que a abscissa do ponto A é igual a 9, é incorreto afirmar que: 
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a) a base b é igual a 3. 
b) a abscissa de C é igual a 1. 
c) 𝒇(𝒙) < 𝟎 para todo 𝒙 ∈ (𝟎, 𝟏) 
d) a abscissa de B é igual a 2. 
e) 𝒇(𝒙) é crescente. 
 
Comentário: 
- O ponto A possui abscissa 9 e ordenada 2. Substituindo, na expressão da função, temos:𝑙𝑜𝑔𝑏 9 =
2 ⇒ 𝑏2 = 9 ⇒ 𝑏 = 3. Portanto, a alternativa A está correta. 
- Para 𝑓(𝑥) = 0, temos 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 1. Logo, a abscissa do ponto C é igual a 1. Portanto, a 
alternativa B está correta. 
- Para 0 < 𝑥 < 1, as correspondentes imagens são negativas. Portanto, a alternativa C está 
correta. 
- Para 𝑓(𝑥) = 1, temos 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 = 3. Portanto, a alternativa D está incorreta. 
- O gráfico representa uma função crescente, pois a base 𝑏 = 3 > 1, ou seja, a alternativa E está 
correta 
5.0 – Lista de Questões 
1. (Usf 2018) Em um experimento, o número de bactérias presentes nas culturas A e B, no instante t, 
em horas, é dado, respectivamente, por: 𝑨(𝒕) = 𝟏𝟎 ⋅ 𝟐𝒕−𝟏 + 𝟐𝟑𝟖 e 𝑩(𝒕) = 𝟐𝒕+𝟐 + 𝟕𝟓𝟎. De acordo 
com essas informações, o tempo decorrido, desde o início desse experimento, necessário para que o 
número de bactérias presentes na cultura A seja igual ao da cultura B é 
a) 5 horas. 
b) 6 horas. 
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c) 7 horas. 
d) 9 horas. 
e) 12 horas. 
 
2. (Upf 2018) Na figura, está representada parte do gráfico da função f definida por 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈   (𝒂𝒙 +
𝟐) − 𝟏, com a 0 e o ponto 𝑨(𝟏, −𝟏) pertencente ao gráfico da função f. 
 
 
O valor de a é: 
a) 1 
b) 2 
c) 1− 
d) 2− 
e) 8 
 
3. (Mackenzie 2018) Se m3 a= e n3 b,= a 0 e b 0, então o valor de 𝟑
𝒎−𝟐𝒏
𝟐 é igual a 
a) a b− 
b) 
a
b
2
+ 
c) 
a
b
2
− 
d) 
a
b
 
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e) 
a b
2
−
 
 
4. (Ifpe 2017) No início do ano de 2017, Carlos fez uma análise do crescimento do número de vendas de 
refrigeradores da sua empresa, mês a mês, referente ao ano de 2016. Com essa análise, ele percebeu 
um padrão matemático e conseguiu descrever a relação 𝑽(𝒙) = 𝟓 + 𝟐𝒙, onde V representa a 
quantidade de refrigeradores vendidos no mês x. Considere: x 1= referente ao mês de janeiro; 𝒙 =
𝟏𝟐 referente ao mês de dezembro. 
A empresa de Carlos vendeu, no 2º trimestre de 2016, um total de 
a) 39 refrigeradores. 
b) 13 refrigeradores. 
c) 127 refrigeradores. 
d) 69 refrigeradores. 
e) 112 refrigeradores. 
 
5. (Ufjf-pism 1 2017) Para qual das funções abaixo, a equação f(x) 1 0− = não possui uma raiz real? 
a) 
xf(x) e= 
b) 10f(x) log x= 
c) 
2f(x) x= − 
d) f(x) 2x= 
e) f(x) 1= 
 
6. (Unesp 2017) Admita que o número de visitas diárias a um site seja expresso pela potência n4 , com n 
sendo o índice de visitas ao site. Se o site S possui o dobro do número de visitas diárias do que um site 
que tem índice de visitas igual a 6, o índice de visitas ao site S é igual a 
a) 12. 
b) 9. 
c) 8,5. 
d) 8. 
e) 6,5. 
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7. (Pucrs 2017) Uma turma de uma escola central de Porto Alegre recebeu a seguinte questão em sua 
primeira prova no Ensino Médio: 
Um dos valores de x que soluciona a equação 𝒍𝒐𝒈𝟐( − 𝒙
𝟐 + 𝟑𝟐) = 𝟒 é igual ao número de centros 
culturais localizados nas proximidades do centro da cidade. Esse número é 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
8. (Eear 2017) Se 𝒍𝒐𝒈   𝟐 ≅ 𝟎, 𝟑 e 𝒍𝒐𝒈   𝟑𝟔 ≅ 𝟏, 𝟔, então 𝒍𝒐𝒈   𝟑 ≅ _____. 
a) 0,4 
b) 0,5 
c) 0,6 
d) 0,7 
 
9. (Upf 2017) Considere as funções reais de variável real, definidas por: 
𝒇(𝒙) = 𝟏 + 𝟑𝒙−𝟐 e 𝒈(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 
 
Sabe-se que, na representação gráfica das funções, as curvas interceptam-se no ponto de abscissa 2. 
Dessa forma, o valor de a é: 
a) 2− 
b) 
1
2
− 
c) 1 
d) 
1
2
 
e) 2 
 
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10. (Eear 2017) A desigualdade (
𝟏
𝟐
)
𝟑𝒙−𝟓
> (
𝟏
𝟒
)
𝒙
 tem como conjunto solução 
a) 𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ|𝒙 > 𝟏} 
b) 𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ|𝒙 < 𝟓} 
c) 𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ|𝒙 > 𝟓} 
d) 𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ|𝟏 < 𝒙 < 𝟓} 
 
11. (Imed 2016) Em relação à função real definida por xg(x) 2 1,= + é correto afirmar que g(g(0)) 
corresponde a: 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
12. (Unesp 2016) A figura descreve o gráfico de uma função exponencial do tipo = xy a , de ℝ em ℝ. 
 
 
 
Nessa função, o valor de y para 𝒙 = −𝟎, 𝟓 é igual a 
a) log5 
b) 5log 2 
c) 5 
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d) 2log 5 
e) 2,5 
 
13. (Enem 2ª aplicação 2016) O governo de uma cidade está preocupado com a possível epidemia de uma 
doença infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a 
velocidade de reprodução da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, 
inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população: 
 
𝒑( 𝒕) = 𝟒𝟎 ⋅ 𝟐𝟑𝒕 
 
em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em milhares de bactérias. 
 
Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 min, a população será 
a) reduzida a um terço. 
b) reduzida à metade. 
c) reduzida a dois terços. 
d) duplicada. 
e) triplicada. 
 
14. (Unisinos 2016) Se x e y são tais que {
𝟐𝟑𝒙+𝟒𝒚 = 𝟏𝟔
𝟓𝒙 + 𝟕𝒚 = 𝟖
, então 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 é igual a 
a) 0. 
b) 32. 
c) 320. 
d) 832. 
e) 9.536. 
 
15. (Pucrj 2016) Quanto vale a soma de todas as soluções reais da equação abaixo? 
 
(𝟓𝒙)𝟐 − 𝟐𝟔 ⋅ 𝟓𝒙+ 𝟐𝟓 = 𝟎 
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a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
16. (Ifal 2016) Num determinado mês, a quantidade vendida Q de um certo produto, por dia, em uma loja, 
em função do dia d do mês, é representada pela função 2Q log d.= Qual a quantidade vendida desse 
produto no dia 16 desse mês? 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4. 
 
17. (Unicamp 2016) A solução da equação na variável real x, 𝒍𝒐𝒈𝒙( 𝒙 + 𝟔) = 𝟐, é um número 
a) primo. 
b) par. 
c) negativo. 
d) irracional. 
 
18. (Ucs 2015) Considere as funções a seguir que representam quantidades de substâncias no tempo t. 
 
I. 
tQ(t) = 100 (1,07) 
II. 
tQ(t) = 300 (0,25) 
III. 
0,08tQ(t) = 5 e 
 
Das funções acima, indica(m) crescimento 
a) apenas I. 
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b) apenas I e II. 
c) apenas I e III. 
d) apenas II e III. 
e) I, II e III. 
 
19. (Ucs 2015) A concentração C de certa substância no organismo altera-se em função do tempo t, em 
horas, decorrido desde sua administração, de acordo com a expressão 0,5tC(t) K 3 .−=  
Após quantas horas a concentração da substância no organismo tornou-se a nona parte da inicial? 
a) 3 
b) 3,5 
c) 4 
d) 6 
e) 9 
 
20. (Pucrj 2015) Se 1 2log x 3,= − então 
23 x x+ vale: 
a) 3 4 
b) 6 
c) 28 
d) 50 
e) 66 
 
21. (Espm 2014) Se ( )
22x x4 16 2 ,=  o valor de xx é: 
a) 27 
b) 4 
c) 
1
4
 
d) 1 
e) 
1
27
− 
 
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22. (Unifor 2014) Após um estudo em uma colmeia de abelhas, verificou-se que no instante t 0= o número 
de abelhas era 1.000 e que o crescimento populacional da colmeia é dado pela função f, onde f é 
definida por 𝒇(𝒕) = 𝟏𝟎𝟎𝟎 ⋅ 𝟐
𝟐𝒕
𝟑 , em que t é o tempo decorrido em dias. Supondo que não haja mortes 
na colmeia, em quantos dias no mínimo essa colmeia atingirá uma população de 64.000 abelhas? 
a) 9 
b) 10 
c) 12 
d) 13 
e) 14 
 
23. (Ufjf 2012) Seja 𝒇:  ℝ → ℝ uma função definida por 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙. Na figura abaixo está representado, no 
plano cartesiano, o gráfico de f e um trapézio ABCD, retângulo nos vértices A e D e cujos vértices B e C 
estão sobre o gráfico de f. 
 
 
 
A medida da área do trapézio ABCD é igual a: 
a) 2 
b) 
8
3
 
c) 3 
d) 4 
e) 6 
 
24. (EEAR-2001) Resolvendo a equação (𝟎, 𝟎𝟔𝟐𝟓)𝒙−𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟓, obtemos x igual a: 
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a) 
2
9
 
b) 
2
5
 
c) 
5
2
 
d) 
9
2
 
 
25. (EEAR-2001) O conjunto imagem da função 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟓 é: 
a) {𝒇(𝒙) ∈ ℝ | 𝒇(𝒙) < −𝟒} 
b) {𝒇(𝒙) ∈ ℝ | 𝒇(𝒙) > −𝟒} 
c) {𝒇(𝒙) ∈ ℝ | 𝒇(𝒙) ≥ −𝟓} 
d) {𝒇(𝒙) ∈ ℝ | 𝒇(𝒙) > −𝟓} 
 
26. (EEAR-2001) Se x e y são números reais que tornam simultaneamente verdadeiras as sentenças 𝟐𝒙+𝒚 −
𝟐 = 𝟑𝟎 e 𝟐𝒙−𝒚 − 𝟐 = 𝟎, então yx é igual a: 
a) 9 
b) 8 
c) 
1
8
 
d) 
1
9
 
 
27. (EEAR-2002) Os valores de x para os quais (𝟎, 𝟖)𝟒𝒙
𝟐−𝒙 > (𝟎, 𝟖)𝟑(𝒙+𝟏). 
a) 
3 1
x
2 2
−   
b) 
1 3
x
2 2
−   
c) 
3
x
2
 − ou 
1
x
2
 
d) 
1
x
2
 − ou 
3
x
2
 
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28. (EEAR-2002) Efetuando √𝒌𝟐 + 𝟔𝒌 + 𝟗
𝟑
÷ √𝒌 + 𝟑
𝟒
, obtemos: 
a) k 3+ 
b) 6 k 3+ 
c) ( )
5
12 k 3+ 
d) 12 k 3+ 
 
29. (EEAR-2002) Se 
x
x 9 28 16− = , então x é um número múltiplo de: 
a) 2 
b) 3 
c) 5 
d) 7 
 
30. (EEAR-2002) Resolvendo a equação 𝟐𝟐
𝟐𝒙𝟐+𝟏
= 𝟐𝟓𝟔, concluímos que ela: 
a) não admite soluções reais. 
b) admite 
3
2
 como raiz. 
c) admite duas soluções reais positivas. 
d) admite duas soluções cuja soma é zero. 
 
31. (EEAR-2002) Se 𝒂𝟐 = 𝟗𝟗𝟔, 𝒃𝟑 = 𝟗𝟗𝟕 e 𝒄𝟒 = 𝟗𝟗𝟖, então (𝒂𝒃𝒄)𝟏𝟐 é igual a: 
a) 
1299 
b) 
21
299 
c) 
2899 
d) 
8899 
 
32. (EEAR-2002) A expressão 
𝟖𝟒𝒂−𝟒𝟐𝒂
𝟖𝟐𝒂−𝟒𝒂
 é equivalente a: 
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a) 4a1 2− 
b) ( )2a 4a2 2 1+ 
c) 2 2a3 2 
d) ( )4a 4a2 2 1+ 
 
33. (EEAR-2002) A solução da inequação 𝒙𝟐𝒙−𝟏 < 𝒙𝟑, sendo x 0 e x 1 , é o conjunto 𝑺 =
{𝒙 ∈ ℝ|_______}. Assinale a alternativa que completa corretamente os pontilhados: 
a) x < 2 
b) x > 2 
c) 0 < x < 2 
d) 1 < x < 2 
 
34. (EEAR-2003) Se𝟎, 𝟎𝟔𝟐𝟓𝒙+𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟓, então (𝒙 + 𝟏)𝟔 vale: 
a) 
3
2
− 
b) 
1
32
 
c) 64 
d) 
1
64
 
 
35. (EEAR-2003) O valor da raiz da equação 𝟐𝒙+𝟏 + 𝟐𝒙−𝟏 = 𝟒𝟎 é um número: 
a) inteiro positivo 
b) irracional 
c) inteiro negativo 
d) imaginário puro 
 
36. (EEAR-2003) Todo número real positivo pode ser escrito na forma 𝟏𝟎𝒙. Tendo em vista que 𝟖 ≈ 𝟏𝟎𝟎,𝟗𝟎, 
então o expoente x, tal que 𝟏𝟐𝟓 = 𝟏𝟎𝒙, vale aproximadamente, 
a) 1,90 
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b) 2,10 
c) 2,30 
d) 2,50 
 
37. (EEAR-2004) Na equação 𝟐𝒙+𝟏 + 𝟐−𝒙 = 𝟑, é verdadeira a afirmativa: 
a) Uma das raízes é 1. 
b) A soma das raízes é um número inteiro positivo. 
c) O produto das raízes é um número inteiro negativo. 
d) O quociente das raízes pode ser zero (0). 
 
38. (EEAR-2004) O valor da expressão 𝟓𝒙𝟎 + 𝟐𝒙
𝟑
𝟒 + 𝟗𝒙−
𝟏
𝟐, quando x = 81, é: 
a) 48. 
b) 60. 
c) 65. 
d) 72. 
 
39. (EEAR-2005) A soma dos valores de x que verificam a equação 𝟓𝟐𝒙 − 𝟕 ⋅ 𝟓𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟎 é: 
a) log 10 
b) 5log 10 
c) 𝒍𝒐𝒈𝟓   𝟓 + 𝒍𝒐𝒈𝟓   𝟐 
d) 2 5log 2 log 5+ 
 
40. (EEAR-2007) Sejam as funções f, g, h e t definidas, respectivamente, por 𝒇(𝒙) = (
𝟐
𝟑
)
−𝒙
, 𝒈(𝒙) = 𝝅𝒙, 
𝒉(𝒙) = (√𝟐)
−𝒙
 e 𝒕(𝒙) = (
√𝟏𝟎
𝟑
). 
Dessas quatro funções, é(são) decrescente(s): 
a) todas. 
b) somente três. 
c) somente duas. 
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d) somente uma. 
 
41. (EEAR-2008) A raiz real da equação 𝟐𝟓√𝒙 − 𝟐𝟒 ⋅ 𝟓√𝒙 = 𝟐𝟓 é um número múltiplo de: 
a) 7. 
b) 5. 
c) 3. 
d) 2. 
 
42. (EEAR-2008) A raiz real da equação 𝟒𝒙−𝟏 =
𝟏
𝟖
 é um número: 
a) inteiro positivo. 
b) inteiro negativo. 
c) racional positivo. 
d) racional negativo. 
 
43. (EEAR-2009) Se x é a raiz da equação (
𝟐
𝟑
)
𝒙
= 𝟐, 𝟐𝟓, então o valor de x é: 
a) 5. 
b) 3. 
c) −2. 
d) −4. 
 
44. (EEAR-2012) No conjunto dos números reais, a equação (𝟑𝒙)𝒙 = 𝟗𝟖 tem por raízes: 
a) um número positivo e um negativo. 
b) um número negativo e o zero. 
c) dois números negativos. 
d) dois números positivos. 
 
45. (EEAR-2013) Seja uma função real definida por ( ) ( ) x 1f x x 1 m −= + . Se ( )f 2 6= , então m é igual a: 
a) 4. 
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AULA 02 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 
 
b) 3. 
c) 2. 
d) 1. 
 
46. (EEAR-2015) Se ( ) xf x a b= + é uma função tal que ( )
4
f 0
3
= e ( )f 1 1− = então o valor de a é: 
a) 1 
b) 2 
c) 
1
2
 
d) 
3
2
 
 
47. (EEAR-2016) O conjunto solução da inequação 𝟐𝟐𝒙+𝟏 <
𝟓
𝟒
⋅ 𝟐𝒙+𝟐 − 𝟐 é: 
a) 𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ| −
𝟏
𝟐
< 𝒙 < 𝟐} 
b) 𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ| − 𝟏 < 𝒙 < 𝟏} 
c) 𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ|𝟎 < 𝒙 < 𝟏} 
d) 𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ| 𝒙 >𝟏} 
 
48. (EEAR-2017) A desigualdade (
𝟏
𝟐
)
𝟑𝒙−𝟓
> (
𝟏
𝟒)
𝒙
 tem como conjunto solução: 
a) 𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ| 𝒙 >𝟏} 
b) 𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ| 𝒙 <𝟓} 
c) 𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ| 𝒙 >𝟓} 
d) 𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ|𝟏 < 𝒙 <𝟓} 
 
49. (EEAR-2018) O valor real que satisfaz a equação 𝟒𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟐 = 𝟎 é um número: 
a) entre −2 e 2 
b) entre 2 e 4 
c) maior que 4 
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AULA 02 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 
 
d) menor que −2 
 
50. (EEAR-2018) Na função 𝒇(𝒙) = 𝟐𝟕
𝒙+𝟐
𝒙 , tal que x 0 , o valor de x para que ( ) 6f x 3= , é um número: 
a) divisível por 2 
b) divisível por 3 
c) divisível por 5 
d) divisível por 7 
 
51. (EEAR-2000) Resolvendo o sistema {
𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 + 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒚 = 𝟒
𝒙𝒚 = 𝟖
, obtemos: 
a) 𝑺 = {(𝟑𝟐,
𝟏
𝟒
)} 
b) 𝑺 = {(𝟖, 𝟏)} 
c) 𝑺 = {(𝟐, 𝟒)} 
d) 𝑺 = {(𝟏𝟔,
𝟏
𝟐
)} 
 
52. (EEAR-2001) Sabendo que 𝐥𝐨𝐠𝟒(𝒂 − 𝒃) = 𝒙 e 𝒂 + 𝒃 =
𝟏
𝟏𝟔
, então 𝐥𝐨𝐠𝟒(𝒂
𝟐 − 𝒃𝟐) é igual a: 
a) 𝟐𝒙 
b) 𝟐 − 𝒙 
c) 𝒙 − 𝟐 
d) 𝟐 + 𝒙 
 
53. (EEAR-2001) O valor inteiro de 𝒙, tal que o dobro do seu logaritmo decimal tenha uma unidade a mais 
do que o logaritmo decimal de (𝒙 +
𝟏𝟏
𝟏𝟎
), é: 
a) −𝟏 
b) 𝟏, 𝟕 
c) 𝟏𝟎 
d) 𝟏𝟏 
 
54. (EEAR-2001) Sendo 𝟖𝒙−𝟑 = 𝟒𝒙, tem-se 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝒙
−𝟏) é igual a: 
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a) 𝟑 
b) 𝟐 
c) −𝟐 
d) −𝟏 
 
55. (EEAR-2001) Seja 𝒌 a raiz da equação 𝟐𝐥𝐨𝐠𝟖 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 =
𝟏
𝟐
. O valor de 𝒌𝟖 é: 
a) 
𝟏
𝟖
 
b) 
𝟏
𝟒
 
c) 𝟏 
d) 𝟐 
 
 
56. (EEAR-2001) Seja 𝐥𝐨𝐠 𝟐 = 𝟎, 𝟑𝟎𝟏. Efetuando-se 𝟓𝟎𝟓𝟎, obtemos um valor cuja quantidade de 
algarismos é 
a) 𝟖𝟓 
b) 𝟖𝟒 
c) 𝟖𝟑 
d) 𝟖𝟐 
 
57. (EEAR-2002) Na figura abaixo, a curva representa o gráfico da função 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝒙, para 𝒙 > 𝟎. 
 
Assim, a soma das áreas das regiões hachuradas é igual a 
a) 𝐥𝐨𝐠 𝟐 
b) 𝐥𝐨𝐠 𝟑 
c) 𝐥𝐨𝐠 𝟒 
d) 𝐥𝐨𝐠 𝟔 
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AULA 02 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 
 
 
58. (EEAR-2002) Se o logaritmo de um número na base 𝒏 é 𝟒 e na base 
𝒏
𝟐
 é 𝟖, então esse número está no 
intervalo 
a) [𝟏, 𝟓𝟎] 
b) [𝟓𝟏, 𝟏𝟎𝟎] 
c) [𝟏𝟎𝟏, 𝟐𝟎𝟎] 
d) [𝟐𝟎𝟏, 𝟓𝟎𝟎] 
 
59. (EEAR-2002) Determinando 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓 𝟎, 𝟎𝟎𝟖, obtemos 
a) 
𝟑
𝟐
 
b) −
𝟑
𝟐
 
c) 
𝟐
𝟑
 
d) −
𝟐
𝟑
 
 
60. (EEAR-2002) O número de pontos de intersecção dos gráficos das funções definidas por 𝒇(𝒙) = 𝟑 𝐥𝐨𝐠 𝒙 
e 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝟗 + 𝐥𝐨𝐠 𝒙, sendo 𝒙 > 𝟎, é 
a) 𝟎 
b) 𝟏 
c) 𝟐 
d) 𝟑 
 
61. (EEAR-2003) O gráfico abaixo representa a função 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙. 
 
Dentro das condições de existência para que a operação de logaritmação seja sempre possível e de 
resultado único, a base 𝒂 é 
a) 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 
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b) 𝒂 = 𝟎 
c) 𝒂 > 𝟏 
d) 𝒂 < 𝟎 
 
62. (EEAR-2003) QUESTÃO 012. Um número, seu logaritmo 𝟐 e a base do logaritmo formam, nessa ordem, 
uma P.A. Esse número é 
a) 
𝟗−√𝟏𝟕
𝟐
 
b) 
𝟗+√𝟏𝟕
𝟐
 
c) 
−𝟏+√𝟏𝟕
𝟐
 
d) 
−𝟏−√𝟏𝟕
𝟐
 
 
63. (EEAR-2003) Se 𝑴 = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟑𝟐 + 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟑
𝟑 − 𝐥𝐨𝐠√𝟐 𝟖, então 𝑴 vale 
a) −𝟏 
b) 𝟏 
c) −𝟐 
d) 𝟐 
 
64. (EEAR-2003) Das sentenças abaixo, quantas são verdadeiras de modo que são satisfeitas por qualquer 
número real 𝒙? 
I. (𝒙 − 𝟒)𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 
II. 𝟖𝒙 = 𝟐 ∙ 𝟒𝒙 
III. (
𝟏
𝟐
)
𝒙
> (
𝟏
𝟑
)
𝒙
 
IV. 𝐥𝐨𝐠𝟐[𝟑(𝒙
𝟐 + 𝟏)] = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟑 + 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙
𝟐 + 𝟏) 
 
a) 𝟏 
b) 𝟐 
c) 𝟑 
d) 𝟒 
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AULA 02 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 
 
 
65. (EEAR-2003) Considere a função 𝒇:ℝ → ℝ definida por 
𝒇(𝒙) = {
𝟐𝒙 − 𝟏, 𝒔𝒆 𝒙 ≤ 𝟏
𝟎, 𝒔𝒆 𝟏 < 𝒙 ≤ 𝟑
𝒙 − 𝟐
𝟐𝒙 − 𝟓
, 𝒔𝒆𝒙 > 𝟑
 
Se 𝒂 = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟏𝟎𝟐𝟒 e 𝒙𝟎 = 𝒂 − 𝟔, então o valor da função no ponto 𝒙𝟎 é dado por 
a) 
𝟐
𝟑
 
b) 
𝟑
𝟐
 
c) 𝟐 
d) 𝟑 
 
66. (EEAR-2003) A curva da figura representa o gráfico da função 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙, 𝒂 > 𝟏. 
 
 
 
Dos pontos 𝑩(𝟑, 𝟎) e 𝑪(𝟗, 𝟎), saem perpendiculares ao eixo das abscissas, as quais interceptam a curva 
em 𝑫 e 𝑬, respectivamente. Se na área do trapézio retângulo 𝑩𝑪𝑬𝑫 vale 𝟗, a área do triângulo 𝑨𝑩𝑫, 
onde 𝑨(𝟏, 𝟎) vale 
a) 
𝟏
𝟐
 
b) 𝟐 
c) 
𝟑
𝟐
 
d) 𝟏 
 
67. (EEAR-2004) Se 𝒙 e 𝒚 são números reais positivos e 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒚 =𝟎, então 𝒙 e 𝒚 
a) São iguais 
b) São inversos 
c) São consecutivos 
d) Diferem de 𝟐 unidades 
 
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AULA 02 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 
 
68. (EEAR-2004) A equação 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝟗
𝒙−𝟏 + 𝟕) = 𝟐 + 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝟑
𝒙−𝟏 + 𝟏) possui 
a) Duas raízes positivas 
b) Duas raízes negativas 
c) Duas raízes simétricas 
d) Uma única raiz 
 
69. (EEAR-2005) Se 𝐥𝐨𝐠 𝟐, 𝟑𝟔 = 𝟎, 𝟑𝟕𝟐𝟗, então 𝒂𝒏𝒕𝒊𝒍𝒐𝒈 𝟑, 𝟑𝟕𝟐𝟗 é 
a) 𝟐𝟑𝟔 
b) 𝟐𝟑, 𝟔 
c) 𝟐𝟑𝟔𝟎 
d) 𝟐𝟑𝟔𝟎𝟎 
 
70. (EEAR-2005) Se 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟐 = 𝒂 e 𝐥𝐨𝐠𝟕 𝟑 = 𝒃, então 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟏𝟒 = 
a) 
𝒃+𝟏
𝒂
 
b) 
𝒂+𝟏
𝒃
 
c) 
𝒂𝒃+𝟏
𝒃
 
d) 
𝒂𝒃+𝟏
𝒂
 
 
71. (EEAR-2006) O logaritmo de 𝟖 é 
𝟑
𝟒
, se a base do logaritmo for igual a 
a) 𝟒 
b) 𝟖 
c) 𝟏𝟔 
d) 𝟔𝟒 
 
72. (EEAR-2006) O menor número inteiro que satisfaz a inequação 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝟑𝒙 − 𝟓) > 𝟑 é um número 
a) Par negativo 
b) Par positivo 
c) Ímpar negativo 
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d) Ímpar positivo 
 
73. (EEAR-2007) Se 𝐥𝐨𝐠 𝟖 = 𝒂, então 𝐥𝐨𝐠 √𝟐
𝟑
 vale 
a) 
𝒂
𝟐
 
b) 
𝒂
𝟒
 
c) 
𝒂
𝟗
 
d) 
𝒂
𝟔
 
 
74. (EEAR-2007) Sendo 𝒂 > 𝟎 e 𝒂 ≠ 𝟏, o conjunto solução da equação 𝟏𝟎𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙
𝟐−𝟑𝒙+𝟐 = 𝟔𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟏𝟎 está 
contido no conjunto: 
a) {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒} 
b) {−𝟒,−𝟑,−𝟐,−𝟏, 𝟎, 𝟏} 
c) {−𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒} 
d) {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒} 
 
75. (EEAR-2008) Estudando um grupo de crianças de uma determinada cidade, um pediatra concluiu que 
suas estaturas variavam segundo a fórmula 𝒉 = 𝐥𝐨𝐠(𝟏𝟎𝟎,𝟕 ∙ √𝒊), onde 𝒉 é a estatura (em metros), e 𝒊 
é a idade (em anos). Assim, segundo a fórmula, a estatura de uma criança de 𝟏𝟎 anos dessa cidade é, 
em m, 
a) 𝟏, 𝟐𝟎 
b) 𝟏, 𝟏𝟖 
c) 𝟏, 𝟏𝟕 
d) 𝟏, 𝟏𝟓 
 
76. (EEAR-2009) Se 𝒙 𝒆 𝒚 são números reais positivos, 𝒄𝒐𝐥𝐨𝐠𝟐
𝟏
𝟑𝟐
= 𝒙 e 𝐥𝐨𝐠𝒚 𝟐𝟓𝟔 = 𝟒, então 
 𝒙 + 𝒚 é igual a: 
a) 𝟐 
b) 𝟒 
c) 𝟕 
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AULA 02 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 
 
d) 𝟗 
 
77. (EEAR-2009) Sejam 𝒙, 𝒚 𝒆 𝒃 números reais maiores que 𝟏. Se 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒙 = 𝟐 𝒆 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒚 = 𝟑, então o valor 
de 𝐥𝐨𝐠𝒃(𝒙
𝟐𝒚𝟑) é: 
a) 𝟏𝟑 
b) 𝟏𝟏 
c) 𝟏𝟎 
d) 𝟖 
 
78. (EEAR-2010) Considerando 𝒏 > 𝟏, se 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒏 = 𝒏, então o valor de 𝒂 é 
a) 𝒏 
b) 𝒏𝒏 
c) 
𝟏
𝒏
 
d) 𝒏
𝟏
𝒏 
 
79. (EEAR-2011) Sejam as funções logarítmicas 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 e 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒙. Se 𝒇(𝒙) é crescente e 
𝒈(𝒙) é decrescente, então 
a) 𝒂 > 𝟏 𝒆 𝒃 < 𝟏 
b) 𝒂 > 𝟏 𝒆 𝟎 < 𝒃 < 𝟏 
c) 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 𝒆 𝒃 > 𝟏 
d) 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 𝒆 𝟎 < 𝒃 < 𝟏 
 
80. (EEAR-2011) A razão entre o logaritmo de 𝟏𝟔 e o de 𝟒, numa mesma base 𝒃, sendo 
𝟎 < 𝒃 ≠ 𝟏, é 
a) 
𝟏
𝟒
 
b) 
𝟏
𝟐
 
c) 𝟒 
d) 𝟐 
 
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81. (EEAR-2012) Dada a função 𝒇: ℝ+
∗ → ℝ definida por 𝒇(𝒙) = 𝟓 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙, o valor de 
𝒇(𝟏) + 𝒇(𝟐) é 
a) 𝟑 
b) 𝟓 
c) 𝟔 
d) 𝟏𝟎 
 
82. (EEAR-2013) Para que exista a função 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠(𝒙 −𝒎), é necessário que 𝒙 seja 
a) Maior que 𝒎 
b) Menor que 𝒎c) Maior ou igual a 𝒎 
d) Menor ou igual a 𝒎 
 
83. (EEAR-2013) Se 𝒍𝒐𝒈𝒙 + 𝒍𝒐𝒈𝒚 = 𝒌, então 𝐥𝐨𝐠 𝒙𝟓 + 𝐥𝐨𝐠𝒚𝟓 é 
a) 𝟏𝟎𝒌 
b) 𝒌𝟏𝟎 
c) 𝟓𝒌 
d) 𝒌𝟓 
 
84. (EEAR-2014) Se 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝒙 e 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝟏, então 𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) é igual a 
a) 𝟎 
b) 𝟏 
c) 𝟏𝟎 
d) 𝟏𝟎𝟎 
 
85. (EEAR-2015) Seja 𝒙 um número real positivo e diferente de 𝟏. Assim, 𝐥𝐨𝐠𝒙 𝟏 + 𝐥𝐨𝐠𝒙 𝒙 é igual a 
a) −𝟏 
b) 0 
c) 𝟏 
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d) 𝒙 
 
86. (EEAR-2015) Se 𝒂 > 𝟎, 𝒃 > 𝟎, 𝒄 > 𝟎 𝒆 𝒄 ≠ 𝟏, então é correto afirmar que: 
a) 𝐥𝐨𝐠𝒄(𝒂 + 𝒃) = (𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒂) + (𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒃) 
b) 𝐥𝐨𝐠𝒄(𝒂 + 𝒃) = (𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒂) ∙ (𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒃) 
c) 𝐥𝐨𝐠𝒄(𝒂𝒃) = (𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒂) + (𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒃) 
d) 𝐥𝐨𝐠𝒄(𝒂𝒃) = (𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒂) ∙ (𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒃) 
 
87. (EEAR-2016) O valor de 𝒙 na equação 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟑
(𝐥𝐨𝐠𝟐𝟕 𝟑𝒙) = 𝟏 é 
a) 𝟏 
b) 𝟑 
c) 𝟗 
d) 𝟐𝟕 
 
88. (EEAR-2017) As funções logarítmicas 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟎,𝟒 𝒙 e 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒙 são, respectivamente, 
a) Crescente e crescente 
b) Crescente e decrescente 
c) Decrescente e crescente 
d) Decrescente e decrescente 
 
89. (EEAR-2017) Se 𝐥𝐨𝐠 𝟐 = 𝟎, 𝟑 e 𝐥𝐨𝐠 𝟑𝟔 = 𝟏, 𝟔, então 𝐥𝐨𝐠 𝟑 = ____. 
a) 𝟎, 𝟒 
b) 𝟎, 𝟓 
c) 𝟎, 𝟔 
d) 𝟎, 𝟕 
 
90. (EEAR-2019) Sejam 𝒎,𝒏 𝒆 𝒃 números reais positivos, com 𝒃 ≠ 𝟏. Se 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒎 = 𝒙 e se 
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒏 = 𝒚, então 𝐥𝐨𝐠𝒃(𝒎 ∙ 𝒏) + 𝐥𝐨𝐠𝒃 (
𝒏
𝒎
) é igual a 
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AULA 02 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 
 
a) 𝒙 
b) 𝟐𝒚 
c) 𝒙 + 𝒚 
d) 𝟐𝒙 − 𝒚 
 
91. (EsSA 2009) A soma dos dois primeiros números inteiros do domínio da função definida por 𝒈(𝒙) =
𝟏
√𝟗𝟐𝒙−𝟏−𝟑−𝟐𝒙+𝟑
 é: 
a) 3 
b) 1 
c) – 1 
d) 7 
e) 5 
 
92. (EsSA 2010) Aumentando-se um número x em 75 unidades, seu logaritmo na base 4 aumenta em 2 
unidades. Pode-se afirmar que x é um número: 
a) divisor de 8. 
b) irracional. 
c) maior que 4. 
d) múltiplo de 3. 
e) menor que 1. 
 
93. (EsSA 2011) Se 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠√𝟓 𝒙² com x real e maior que zero, então o valor de ( )( )5f f é: 
a) 
2log2
1 log2+
 
b) 
log2
log2 2+
 
c) 
5 log2
log2 1+
 
d) 
8log2
1 log2−
 
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e) 
5log2
1 log2−
 
 
94. (EsSA 2012) Se 
25 100x+ = , então 
25 x é igual a: 
a) 4 
b) 8 
c) 10 
d) 16 
e) 100. 
 
95. (EsSA 2012) Se ( ) 22 1 2f x x x+ = + , então f(2) vale: 
a) 
5
4
 
b) 
3
2
 
c) 
1
2
 
d) 
3
4
 
e) 
5
2
 
 
96. (EsSA 2012) Se 2log 3 a= e 2log 5 = b, então o valor de 0,5log 75 é: 
a) a + b 
b) −a + 2b 
c) a – b 
d) a − 2b 
e) −a − 2b 
 
97. (EsSA 2012) Os gráficos das funções reais ( )
2
2
5
f x x= − e ( ) 23g x x c= − possuem um único ponto em 
comum. O valor de c é: 
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a) 
1
5
− 
b) 0 
c) 
1
5
 
d) 
1
15
 
e) 1 
 
98. (EsSA 2012) O conjunto solução da equação exponencial 𝟒𝒙 − 𝟐𝒙 = 𝟓𝟔 é: 
a) {−7, 8} 
b) {3, 8} 
c) {3} 
d) {2, 3} 
e) {8} 
 
99. (EsSA 2012) Sabendo que 
1
log 3 log 4log log
2
P a b c=  − + , assinale a alternativa que representa o valor 
de P. (dados: a = 4, b = 2 e c = 16) 
a) 12 
b) 52 
c) 16 
d) 24 
e) 73 
 
100. (EsSA 2013) O logaritmo de um produto de dois fatores é igual à soma dos logaritmos de cada fator, 
mantendo-se a mesma base. Identifique a alternativa que representa a propriedade do logaritmo 
anunciada. 
a) b b blog ac log a log c= + 
b) ( )b blog ac log a c= + 
c) ( ) ( ) ( )b b blog a c log a log c+ = 
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d) ( ) ( )b blog a c log a c+ =  
e) ( )e b flog a c log a log c = + 
 
101. (EsSA 2015) Sejam f a função dada por ( ) 2 4f x x= + e g a função dada por ( ) 3 2g x x= − . A função 
f o g deve ser dada por: 
a) ( )( ) 6f g x x= 
b) ( )( ) 6 4f g x x= + 
c) ( )( ) 2 – 2f g x x= 
d) ( )( ) 3 4f g x x= + 
e) ( )( ) 3 2f g x x= + 
 
102. (EsSA 2015) – Identifique a equação exponencial. 
a) 2 4X = 
b) 2 4X+ = 
c)
2 4X = 
d) 4 2Xlog = 
e) 2 4
X = 
 
103. (EsSA 2015) Dados 3log a= e 2log b= , a solução de 𝟒𝒙 = 𝟑𝟎 é: 
a) 
2 1a
b
+
 
b) 
2a
b
+
 
c) 
2 1b
a
+
 
d) 
1
2
a
b
+
 
e) 
2b
a
+
 
 
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AULA 02 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 
 
104. (EsSA 2015) As funções do 2º grau com uma variável: ( ) 2f x ax bx c= + + terão valor máximo 
quando: 
a) a < 0 
b) b > 0 
c) c < 0 
d) ∆ > 0 
e) a > 0 
 
105. (EsSA 2016) – Funções bijetoras possuem função inversa porque elas são invertíveis, mas devemos 
tomar cuidado com o domínio da nova função obtida. Identifique a alternativa que apresenta a função 
inversa de ( ) 3f x x= + . 
a) 𝒇(𝒙)−𝟏 = 𝒙 − 𝟑. 
b) 𝒇(𝒙)−𝟏 = 𝒙 + 𝟑. 
c) 𝒇(𝒙)−𝟏 = −𝒙 − 𝟑. 
d) 𝒇(𝒙)−𝟏 = −𝒙 + 𝟑. 
e) 𝒇(𝒙)−𝟏 = 𝟑𝒙. 
 
106. (EsSA 2016) Utilizando os valores aproximados 2 0,30log = e 3 0,48log = , encontramos para 3 12log 
o valor de: 
a) 0,33 
b) 0,36 
c) 0,35 
d) 0,31 
e) 0,32 
 
107. (EsSA 2016) Sejam as funções reais dadas por ( ) 5 1f x x= + e ( ) 3 2g x x= − . Se ( )m f n= , então g(m) 
vale: 
a) 15n + 1 
b) 14n – 1 
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c) 3n – 2 
d) 15n – 15 
e) 14n − 2 
 
108. (EsSA 2017) Se log x representa o logaritmo na base 10 de x, então o valor de ( )0,k + , tal que 
log 10 log5k = − é: 
a) 910 
b) 95 10 
c) 1010 
d) 92 10 
e) 105 10 
 
109. (EsSA 2017) Com relação às funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras podemos afirmar que: 
a) se é injetora e não é sobrejetora então ela é bijetora. 
b) se é sobrejetora então ela é injetora. 
c) se é injetora e sobrejetora então ela é bijetora. 
d) se é injetora então ela é sobrejetora. 
e) se é sobrejetora e não é injetora então ela é bijetora. 
 
110. (EsSA 2017) O conjunto solução da inequação 2 5 6 0x x+ +  , onde x é um número real(𝒙 ∈ ℝ), é: 
a) {𝒙 ∈ ℝ| − 𝟐 < 𝒙 < 𝟑} 
b) {𝒙 ∈ ℝ| − 𝟑 < 𝒙 < −𝟐} 
c) {𝒙 ∈ ℝ| − 𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟐} 
d) {𝒙 ∈ ℝ| − 𝟓 < 𝒙 < 𝟏} 
e) {𝒙 ∈ ℝ| − 𝟓 < 𝒙 < −𝟔} 
 
111. (EsSA 2017) Os valores de k de modo que o valor mínimo da função 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + (𝟐𝒌 − 𝟏)𝒙 + 𝟏 
seja −3 são: 
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a) 
5
2
− e 
3
2
 
b) 
5
2
− e 
3
2
− 
c) 
5
4
 e 
3
4
− 
d) 
5
2
 e 
3
2
 
e) 
5
2
 e 
3
2
− 
 
112. (EsSA 2018) Seja a função definida por: 𝒇:ℝ → ℝ, tal que ( ) 2xf x = . Então ( ) ( )1f a f a+ − é igual 
a: 
a) ( )2 f a 
b) f(a) 
c) f(1) 
d) 2 
e) 1 
 
113. (EsSA 2018) Lembrando que zero ou raiz da função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃 é o valor de x que torna a função 
nula, então, identifique a alternativa que apresenta a função f(x) cuja raiz é igual a +3. 
a) ( ) – 3f x x= 
b) ( ) 3 – 3f x x= 
c) ( ) 3f x x= + 
d) ( ) 3f x x= 
e) ( ) 2 5f x x= − 
 
114. (EsSA 2018) Adotando-se 𝒍𝒐𝒈𝟐 = 𝒙 e𝒍𝒐𝒈𝟑 = 𝒚, o valor de 𝒍𝒐𝒈𝟓𝟏𝟐𝟎 será dado por: 
a) 
2 1
1
x y
y
+ +
−
 
b) 
2
1
x y
y
+
−
 
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c) 
4 3x y
x y
+
+
 
d) 
2
1
x y
x
+
−
 
e) 
2 1
1
x y
x
+ +
−
 
 
115. (EsSA 2018) Sejam 𝒇: {𝒙 ∈ ℝ|𝒙 > 𝟎} → ℝ e 𝒈:ℝ → ℝ, definidas por ( )2logf x x= e ( )
1
2
4
xg x =  , 
respectivamente. O valor de ( )2f g é: 
a) 0 
b) 2 
c) −2 
d) 4 
e) −4 
 
116. (EsSA 2018) O valor da expressão 𝑨 = 𝒍𝒐𝒈𝟐 (
𝟏
𝟐
) + 𝒍𝒐𝒈𝟖 𝟑𝟐 é: 
a) – 1 
b)
5
3
 
c) 
2
3
 
d) 0 
e) 1 
 
 
 
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5.1 – Gabarito 
1. D 
2. C 
3. D 
4. C 
5. C 
6. E 
7. B 
8. B 
9. E 
10. B 
11. E 
12. C 
13. D 
14. B 
15. C 
16. E 
17. A 
18. C 
19. C 
20. E 
21. B 
22. A 
23. C 
24. C 
25. C 
26. A 
27. B 
28. C 
29. B 
30. D 
31. D 
32. B 
33. D 
34. D 
35. A 
36. B 
37. D 
38. B 
39. C 
40. D 
41. D 
42. D 
43. C 
44. A 
45. C 
46. D 
47. B 
48. B 
49. A 
50. A 
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51. A 
52. C 
53. D 
54. C 
55. D 
56. A 
57. A 
58. D 
59. B 
60. B 
61. A 
62. A 
63. C 
64. A 
65. A 
66. D 
67. C 
68. A 
69. C 
70. C 
71. C 
72. D 
73. C 
74. C 
75. A 
76. D 
77. A 
78. D 
79. B 
80. D 
81. B 
82. A 
83. C 
84. A 
85. C 
86. C 
87. A 
88. C 
89. B 
90. B 
91. E 
92. C 
93. D 
94. D 
95. A 
96. E 
97. D 
98. C 
99. C 
100. A 
101. A 
102. E 
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103. B 
104. A 
105. A 
106. B 
107. A 
108. D 
109. C 
110. B 
111. E 
112. B 
113. A 
114. E 
115. A 
116. C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6.0 – Lista de Questões Comentadas 
1. (Usf 2018) Em um experimento, o número de bactérias presentes nas culturas A e B, no instante t, 
em horas, é dado, respectivamente, por: t 1A(t) 10 2 238−=  + e t 2B(t) 2 750.+= + De acordo com essas 
informações, o tempo decorrido, desde o início desse experimento, necessário para que o número de 
bactérias presentes na cultura A seja igual ao da cultura B é 
a) 5 horas. 
b) 6 horas. 
c) 7 horas. 
d) 9 horas. 
e) 12 horas. 
 
Comentário: 
Para que o número de bactérias presentes na cultura A seja igual ao da cultura B devemos ter 
10 ⋅ 2𝑡−1 + 238 = 2𝑡+2 + 750 ⇔ 10 ⋅ 2𝑡−1 − 2𝑡+2 = 750 − 238 
 ⇔ 2𝑡−1 ⋅ (10 − 23) = 512 
 ⇔ 2𝑡−1 = 28 
 ⇔ 𝑡 = 9. 
 
Em consequência, a resposta é 9 horas. 
Gabarito: D 
2. (Upf 2018) Na figura, está representada parte do gráfico da função f definida por f(x) log (ax 2) 1,= + − 
com a 0 e o ponto A(1, 1)− pertencente ao gráfico da função f. 
 
 
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O valor de a é: 
a) 1 
b) 2 
c) 1− 
d) 2− 
e) 8 
 
Comentário: 
Se −A(1, 1) pertence ao gráfico de f, então 
−1 = 𝑙𝑜𝑔( 𝑎 ⋅ 1 + 2) − 1 ⇔ 𝑎 + 2 = 100 ⇔ 𝑎 = −1. 
Gabarito: C 
3. (Mackenzie 2018) Se m3 a= e n3 b,= a 0 e b 0, então o valor de 
m 2n
23
−
 é igual a 
a) a b− 
b) 
a
b
2
+ 
c) 
a
b
2
− 
d) 
a
b
 
e) 
a b
2
−
 
 
Comentário: 
Calculando: 
3
𝑚−2𝑛
2 = (3𝑚−2𝑛)
1
2 = √3𝑚 ⋅ 3−2𝑛 = √3𝑚 ⋅
1
(3𝑛)2
= √𝑎 ⋅
1
𝑏2
=
√𝑎
𝑏
 
Gabarito: D 
4. (Ifpe 2017) No início do ano de 2017, Carlos fez uma análise do crescimento do número de vendas de 
refrigeradores da sua empresa, mês a mês, referente ao ano de 2016. Com essa análise, ele percebeu 
um padrão matemático e conseguiu descrever a relação xV(x) 5 2 ,= + onde V representa a quantidade 
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de refrigeradores vendidos no mês x. Considere: x 1= referente ao mês de janeiro; x 12= referente 
ao mês de dezembro. 
A empresa de Carlos vendeu, no 2º trimestre de 2016, um total de 
a) 39 refrigeradores. 
b) 13 refrigeradores. 
c) 127 refrigeradores. 
d) 69 refrigeradores. 
e) 112 refrigeradores. 
 
 
Comentário: 
Sabendo que o segundo trimestre corresponde aos meses de Abril, Maio e Junho, isto é, meses 
4, 5, 6 temos que a venda foi de: 
𝑉(4) + 𝑉(5) + 𝑉(6) = (5 + 24) + (5 + 25) + (5 + 26) = (5 + 16) + (5 + 32) + (5 + 64)
= 127 
Gabarito: C 
5. (Ufjf-pism 1 2017) Para qual das funções abaixo, a equação f(x) 1 0− = não possui uma raiz real? 
a) 
xf(x) e= 
b) 10f(x) log x= 
c) 
2f(x) x= − 
d) f(x) 2x= 
e) f(x) 1= 
 
Comentário: 
Calculando: 
[A] 𝑒𝑥 − 1 = 0 → 𝑥 = 0 → 0 ∈ ℝ 
[B] 𝑙𝑜𝑔10 𝑥 − 1 = 0 → 𝑥 = 10 → 10 ∈ ℝ 
[C] −𝑥2 − 1 = 0 → 𝑠𝑒 𝑥 ∈ ℝ, então 𝑥2 > 0, logo −𝑥2 − 1 ≠ 0 
[D] 2𝑥 − 1 = 0 → 𝑥 =
1
2
→
1
2
∈ ℝ 
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[E] 1 − 1 = 0 → 1 ∈ ℝ 
Gabarito: C 
6. (Unesp 2017) Admita que o número de visitas diárias a um site seja expresso pela potência n4 , com n 
sendo o índice de visitas ao site. Se o site S possui o dobro do número de visitas diárias do que um site 
que tem índice de visitas igual a 6, o índice de visitas ao site S é igual a 
a) 12. 
b) 9. 
c) 8,5. 
d) 8. 
e) 6,5. 
 
Comentário: 
Seja k o índice de visitas ao site S. Desse modo, temos 
4𝑘 = 2 ⋅ 46 ⇔ 4𝑘 = 40,5 ⋅ 46 ⇔ 4𝑘 = 46,5. 
A resposta é 𝑘 = 6,5. 
Gabarito: E 
7. (Pucrs 2017) Uma turma de uma escola central de Porto Alegre recebeu a seguinte questão em sua 
primeira prova no Ensino Médio: 
Um dos valores de x que soluciona a equação 22log ( x 32) 4− + = é igual ao número de centros culturais 
localizados nas proximidades do centro da cidade. Esse número é 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
Comentário: 
Desde que x é um número inteiro positivo, temos: 
𝑙𝑜𝑔2( − 𝑥
2 + 32) = 4 ⇔ −𝑥2 + 32 = 16 
     ⇔ 𝑥2 = 16. 
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     ⇒ 𝑥 = 4. 
Gabarito: B 
8. (Eear 2017) Se log 2 0,3 e log 36 1,6, então log 3  _____. 
a) 0,4 
b) 0,5 
c) 0,6 
d) 0,7 
 
Comentário: 
Tem-se que 
2log36 log(2 3)
2 (log2 log3)
2 0,3 2 log3
0,6 2 log3.
= 
=  +
  + 
 + 
 
Portanto, o resultado é 
0,6 + 2 ⋅ 𝑙𝑜𝑔 3 ≅ 1,6 ⇒ 𝑙𝑜𝑔 3 ≅ 0,5. 
Gabarito: B 
9. (Upf 2017) Considere as funções reais de variável real, definidas por: 
𝒇(𝒙) = 𝟏 + 𝟑𝒙−𝟐 e 𝒈(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 
Sabe-se que, na representação gráfica das funções, as curvas interceptam-se no ponto de abscissa 2. 
Dessa forma, o valor de a é: 
a) 2− 
b) 
1
2
− 
c) 1 
d) 
1
2
 
e) 2 
 
Comentário: 
Calculando: 
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𝑓(2) = 𝑔(2) 
1 + 32−2 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 2 ⇒ 1 + 3
0 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 2 ⇒ 𝑙𝑜𝑔𝑎 2 = 2 ⇒ 𝑎
2 = 2 ⇒ 𝑎 = √2 
Gabarito: E 
10. (Eear 2017) A desigualdade 
3x 5 x
1 1
2 4
−
   
   
   
 tem como conjunto solução 
a) 𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ|𝒙 > 𝟏} 
b) 𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ|𝒙 < 𝟓} 
c) 𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ|𝒙 > 𝟓} 
d) 𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ|𝟏 < 𝒙 < 𝟓} 
 
Comentário: 
Sendo 0 <
1
2
< 1, temos 
(
1
2
)
3𝑥−5
> (
1
4
)
𝑥
⇔ (
1
2
)
3𝑥−5
> (
1
2
)
2𝑥
 
 ⇔ 3𝑥 − 5 < 2𝑥 
 ⇔ 𝑥 < 5. 
Por conseguinte, o conjunto solução da inequação é S {x | x 5}.=   
Gabarito: B 
11. (Imed 2016) Em relação à função real definida por xg(x) 2 1,= + é correto afirmar que g(g(0)) 
corresponde a: 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
Comentário: 
𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 1 
𝑔(0) = 20 + 1 ⇒ 𝑔(0) = 2 
𝑔(𝑔(0)) = 2𝑔(0) + 1 ⇒ 𝑔(𝑔(0)) = 22 + 1 = 5 
Gabarito: E 
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