Física - Livro 1-069-072

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Podemos provar que:
Dv = A
N
Essa propriedade pode também ser aplicada para um
gráfico a × t qualquer:
a
A
tt1 t2
0
Fig. 11 Variação de velocidade em um movimento qualquer.
vAtenção
Veja o exemplo:
v (m/s)
t (s)0
–4
6
4 6
1
8
Fig. 12 Variação de espaço negativa.
Entre 1 s e 4 s: A =
1
2
 · 3 · 6 = 9
1
Como a área está acima do eixo t, então: Ds1 = 9 m
Entre 4 s e 6 s: A =
1
2
 · 2 · 4 = 4
2
Como a área está abaixo do eixo t, então: Ds2 = –4 m
D D DEntre 1 s e 6 s: s = s + s
1 2
D ⇒ Ds = (9 m) + (–4 m) s = 5 m
Sabemos que a distância efetivamente percorrida é a soma
dos módulos das variações de espaço em cada sentido
do movimento. Assim, a distância percorrida entre 1 s e
6 s é dada por:
D D ⇒d = s + s = (9 m) + (4 m) d = 13 m
1 2
No instante t = 4 s, houve inversão no sentido do mo-
vimento.
Gráficos do movimento uniforme
Análise do gráfico s × t
A função horária do espaço é dada por:
s = s0 + v · t
com s0 e v constantes.
Essa é uma função do primeiro grau em t; portanto, o
gráfico s × t é uma reta, sendo:
s0 – coeficiente linear
v – coeficiente angular
Se v > 0, o movimento é progressivo, e a função é
crescente.
s
t0
s
0
s
t0
s
0
s
t0
s
0
s
0
 > 0 s
0
 = 0 s
0
 < 0
Fig. 13 Gráficos s × t no MU progressivo.
Se v < 0, o movimento é retrógrado, e a função é
decrescente.
s
t0
s
0
s
t0
s
0
s
t0
s
0
s
0
 > 0 s
0
 = 0 s
0
 < 0
Fig. 14 Gráficos s × t no MU retrógrado.
Como v é o coeficiente angular da reta, para uma reta
qualquer, então:
θ
v = tg θ
s
0 t
s0
N
Fig. 15 Coeficiente angular da reta s × t no MU.
Análise do gráfico v × t
A função horária da velocidade é constante:
v = constante
Se a velocidade não varia com o tempo, o gráfico v × t
é uma reta paralela ao eixo t.
Se v > 0, o movimento é progressivo, e a reta está
acima do eixo t.
v
t0
v > 0
Fig. 16 Gráfico v × t no MU progressivo.
FÍSICA Capítulo 4 Análise gráfica70
Se v < 0, o movimento é retrógrado, e a reta está abaixo
do eixo t.
v
t0
v < 0
Fig. 17 Gráfico v × t no MU retrógrado.
Análise do gráfico a × t
A função horária da aceleração é nula:
a = 0
O gráfico a × t é uma reta coincidente com o eixo t,
tanto para v > 0 como para v < 0.
a
t0
a = 0
Fig. 18 Gráfico a × t no MU.
Na figura 19, temos os gráficos de espaço, velocidade
e aceleração no movimento uniforme.
v
t0
v × t
v
t0
v × t
s
t0
s0
s × t
Movimento uniforme progressivo (v > 0)
Movimento uniforme retrógrado (v < 0)
a
t0
a × t
a
t0
a × t
s
t0
s0
s × t
Fig. 19 Gráficos s × t, v × t e a × t no MU.
vAtenção
Gráficos do movimento
uniformemente variado
Análise do gráfico s × t
A função horária do espaço é dada por:
s = s + v · t +
a
2
 · t
0 0
2
com s0, v0 e a constantes.
Essa é uma função do segundo grau em t, portanto o
gráfico s × t é uma parábola.
Se a > 0, a parábola tem concavidade voltada para
cima:
s
t0
a > 0
s
0
Fig. 20 Gráfico s × t no MUV com a > 0.
Se a < 0, a parábola tem concavidade voltada para
baixo:
s
t0
a < 0
s
0
Fig. 21 Gráfico s × t no MUV com a < 0.
Vale lembrar que, nos dois gráficos anteriores, pode-
mos ter s0 > 0, s0 = 0 ou s0 < 0.
A parábola pode interceptar o eixo t em dois, um
ou nenhum ponto, o que significa que o móvel passa
pela origem dos espaços duas, uma ou nenhuma vez,
respectivamente.
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Vamos analisar mais detalhadamente os dois casos: a > 0
e a < 0.
I. a > 0
Quando a aceleração escalar é positiva, temos um grá-
fico s × t como na figura 22. O ponto P é o vértice da
parábola e representa o espaço mínimo sP atingido
pelo móvel no instante tP.
y Para t < tP:
O espaço é decrescente, o que significa velocida-
de escalar negativa (v < 0). Como a > 0 para todo
o movimento, a e v têm sinais contrários, portanto o
movimento é retardado. Logo, o módulo da velocidade
escalar diminui.
y No ponto P (t = tP):
A velocidade se anula, e o móvel muda o sentido de
seu movimento.
y Para t > tP:
O espaço é crescente, o que significa velocidade
escalar positiva (v > 0). Como a > 0 para todo o
movimento, a e v têm mesmos sinais, portanto
o movimento é acelerado. Logo, o módulo da ve-
locidade escalar aumenta.
Em todo o movimento, a aceleração é sempre positiva,
apesar de haver mudança no sinal da velocidade.
t0
v = 0
s
tp
sp
P
s decrescente
v < 0
movimento
retardado
s crescente
v > 0
movimento
acelerado
a > 0
Fig. 22 Análise do MUV com a > 0.
II. a < 0
 Quando a aceleração escalar é negativa, temos um
gráfico s × t como na figura 23. O ponto P é o vértice
da parábola e representa o espaço máximo sp atingido
pelo móvel no instante tP.
y Para t < tP:
O espaço é crescente, o que significa velocidade
escalar positiva (v > 0). Como a < 0 para todo o
movimento, a e v têm sinais contrários e, portanto,
o movimento é retardado. Logo, o módulo da ve-
locidade escalar diminui.
y No ponto P (t = tP):
A velocidade se anula, e o móvel muda o sentido
de seu movimento.
y Para t > tP:
O espaço é decrescente, o que significa velocida-
de escalar negativa (v < 0). Como a < 0 para todo
o movimento, a e v têm mesmos sinais e, portanto,
o movimento é acelerado. Logo, o módulo da ve-
locidade escalar aumenta.
Em todo o movimento, a aceleração é sempre negativa,
apesar de haver mudança no sinal da velocidade.
t0
v = 0
s
tp
sp
P
s decrescente
v < 0
movimento
acelerado
s crescente
v > 0
movimento
retardado
a < 0
Fig. 23 Análise do MUV com a < 0.
Observação: Podemos observar que a velocidade se anula quando o es-
paço é máximo ou mínimo. Isso acontece não só para o MUV como para
qualquer movimento variado.
Verificamos também que, para t < tP , em ambos os casos, o movimento é
sempre retardado. Para t > tP , em ambos os casos, o movimento é sempre
acelerado.
Análise do gráfico v × t
A função horária da velocidade é dada por:
v = v0 + a · t
com v0 e a constantes.
Essa é uma função do primeiro grau em t; portanto, o
gráfico v × t é uma reta, sendo:
v0 – coeficiente linear
a – coeficiente angular
Se a > 0, a função é crescente:
t0
v
tp
v0
v < 0
a > 0
movimento
retardado
a > 0
v > 0
a > 0
movimento
acelerado
θ
=
Na tg θ
Fig. 24 Gráfico v × t no MUV com a > 0.
Esse gráfico mostra o que já foi analisado no gráfico
s × t da figura 22.
Para t < tP , temos v < 0. Como a > 0, o movimento é
retardado.
Para t = tP , temos v = 0.
FÍSICA Capítulo 4 Análise gráfica72
Para t > tP , temos v > 0. Como a > 0, o movimento é
acelerado.
Se a < 0, a função é decrescente:
t0
v
tp
v0
v > 0
a < 0
movimento
retardado
a < 0
v < 0
a < 0
movimento
acelerado
θ
=
Na tg θ
Fig. 25 Gráfico v × t no MUV com a < 0.
Esse gráfico mostra o que já foi analisado no gráfico
s × t da figura 23.
Para t < tP , temos v > 0. Como a < 0, o movimento é
retardado.
Para t = tP , temos v = 0.
Para t > tP , temos v < 0. Como a < 0, o movimento é
acelerado.
Análise do gráfico a × t
A função horária da aceleração é constante:
a = constante
Se a aceleração não varia com o tempo, o gráfico a × t
é uma reta paralela ao eixo t.
Se a > 0, a reta está acima do eixo t.
a
t0
a > 0
Fig. 26 Gráfico a × t no MUV com a > 0.
Se a < 0, a reta está abaixo do eixo t.
a
t0
a < 0
Fig. 27 Gráfico a × t no MUV com a < 0.
v
Quando a aceleração é nula, não temos movimento uniformemente
variado, e sim movimento uniforme.
Atenção
Na figura 28, temos os gráficos de espaço, velocidade
e aceleração no movimento uniformemente variado.
Movimento uniformemente variado (a > 0)
Movimento uniformemente variado (a < 0)
a
t0
a × t
v
t0
v × t
v0
s
t0
s × t
s0
s
t0
s × t
s0
v
t0
v × t
v0
a
t0
a × t
Fig. 28 Gráficos s × t, v × t e a × t no MUV.
Exercícios resolvidos
1 O gráfico a seguir refere-se ao espaço de uma partí-
cula em função do tempo.
85
11 14
2
6
0 10
s (m)
–3
–4
t (s)
Determine:
a) o espaço inicial.
b) os instantes em que a partícula passa pela origem
dos espaços.
c) os intervalos emque o movimento é progressivo.
d) os intervalos em que o movimento é retrógrado.
e) a equação horária do espaço para t < 5 s.
f) o gráfico v × t.