Física - Livro 1-201-204

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F
R
E
N
T
E
 2
201
Conforme se observa na figura 22, o trabalho da força
elétrica para levar a carga q do ponto A até o ponto B é
dado por:
tAB = q(VA – VB)
Mas VA = VB, pois os pontos A e B pertencem à mesma
equipotencial. Logo:
Demonstração da perpendicularidade das
linhas de campo e superfícies equipotenciais
Neste ponto do desenvolvimento teórico já se tem
condições de demonstrar a perpendicularidade entre
as linhas de força do campo elétrico e as superfícies
equipotenciais.
α
A B
E
Fig. 23 Pontos A e B ao longo de uma equipotencial em um campo elétrico E.
Supondo a linha AB uma equipotencial, na qual A e B
são dois pontos a ela pertencentes. Seja E um campo elé-
trico que faz com a superfície um ângulo a qualquer, este
campo pode ser decomposto em uma componente normal
En e uma componente tangente à equipotencial, Et, como
se observa na figura 24.
α
A B
E
E
t
E
n
Fig. 24 Decomposição do campo elétrico E nas componentes normal En e tan-
gencial Et.
Da figura 24, tem-se que:
Et = E cos  a
En = E sen  a
Supondo que a carga pudesse se deslocar exclusiva-
mente ao longo da equipotencial, tem-se que o trabalho
da força elétrica para ir de A até B é dado por:
tAB = FelétricadAB = qEtdAB = qEcos  adAB
Porém, sendo os pontos A e B pertencentes à mesma
equipotencial, o trabalho tAB deve ser nulo. Dessa forma,
o ângulo a deve ser forçosamente igual a 90o.
BA
Fig. 25 Campo elétrico perpendicular à equipotencial.
Outra observação extremamente importante sobre
a relação entre as linhas de força do campo elétrico e o
potencial elétrico é que elas se direcionam sempre do
maior potencial para o menor potencial, como se observa
na figura 26.
Q
Q
+200 V +100 V
−100 V−200 V
+20 V
−20 V ...
...
–
+
Fig. 26 Valores de potenciais ao longo da linha de força.
Esse arranjo é coerente com a informação dada
anteriormente, de que cargas positivas se movimentam es-
pontaneamente no sentido das linhas de campo, buscando
menores potenciais elétricos, enquanto cargas negativas
se movimentam no sentido contrário das linhas de força,
buscando maiores potenciais elétricos.
Energia potencial elétrica de sistema
formado por duas cargas
puntiformes
Duas cargas puntiformes Q e q são colocadas em um
mesmo meio de constante eletrostática K, a uma distância
d uma da outra. Independentemente dos seus sinais, este
sistema tem energia potencial elétrica, pois se uma ou
ambas as cargas for abandonada haverá deslocamento
ocasionado pela força elétrica, ou seja, há capacidade de
realizar trabalho.
A tarefa a ser executada é calcular qual é essa ener-
gia potencial elétrica armazenada no campo elétrico.
Tendo-se como referencial o infinito, no qual o poten-
cial elétrico e, portanto, a energia potencial elétrica são
nulos. A figura 27 mostra o sistema formado por duas
cargas puntiformes.
d
q
Q
A
B
Fig. 27 Sistema formado por duas cargas elétricas puntiformes.
Caso 1: Q é a carga fonte e q a carga de prova.
O potencial elétrico que Q causa no ponto B vale:
=V
KQ
d
B
A energia potencial armazenada por q, quando colocada
em B, vale:
= =E V q
KQ
d
q
P B
⇒ =E
KQq
dP
Caso 2: q é a carga fonte e Q a carga de prova.
O potencial elétrico que a carga fonte q causa no ponto
A vale:
=V
Kq
dA
FÍSICA Capítulo 3 Potencial elétrico202
E a energia potencial que Q armazenará, quando co-
locada em A, vale:
= ⋅ = ⇒ =E V Q
Kq
d
Q E
KQq
dP A P
Mostrando ser indiferente quem será considerada a
carga fonte no sistema, pois este é simétrico.
Desse modo, a energia potencial elétrica armazenada
no sistema da figura 27 é:
=E
KQq
dP
A energia potencial e o potencial elétrico são grandezas escalares
algébricas, podendo ser positivas, negativas ou nulas.
Atenção
Quem armazena a energia potencial no sistema, a
carga ou o campo?
Rigorosamente, a energia potencial elétrica do sistema
está armazenada no campo elétrico. Essa energia está dis-
ponível para movimentar as cargas através do campo, sendo
convertida em energia cinética durante o deslocamento.
Em geral, considera-se fixa a carga fonte, podendo se
movimentar pelo campo apenas a carga de prova. Nesse
caso, como a energia potencial elétrica só está disponível
para a carga de prova, dizemos, por força de expressão,
que toda a energia potencial está armazenada na carga
de prova q. Durante o movimento da carga de prova, sua
energia potencial vai sendo convertida em energia cinética.
Exercício resolvido
8 Duas cargas puntiformes qa = + 12 µC e qb = –6 µC
localizam-se nos vértices de um triângulo equilátero,
de lado 30 cm.
d
b
d
a
+q
a
+q
b
C
Determine a energia potencial elétrica armazenada
por uma carga de 4 µC, quando colocada no vértice C.
Resolução:
Utilizando o potencial elétrico do ponto C, calculado
no exercício resolvido 6, calculamos a energia poten-
cial elétrica armazenada pela carga de prova quando
colocada no vértice C:
EP = qVc = 4 ⋅ 10
-6
 ⋅ (180 ⋅ 10
3) = 0,72 J
Energia potencial elétrica em um sistema
de partículas
Sistema contendo três partículas
d
12
d
13
d
23
A
C
B
Q
2
Q
3
Q
1
Fig. 28 Sistema formado por mais de duas cargas puntiformes.
A energia potencial total do sistema é a soma das
energias potenciais de cada uma das ligações do siste-
ma, como se fosse uma molécula contendo três ligações
químicas.
EP3
= EL12
+ EL13
+ EL23
= + +E
KQQ
d
KQQ
d
KQ Q
d
P
1 2
12
1 3
13
2 3
23
3
A equação acima nos mostra como calcular a energia
potencial elétrica total do sistema. Cada uma das 3 parcelas
que constitui a expressão acima corresponde à energia de
uma das ligações do sistema.
Um aspecto interessante é notar que essa energia
potencial corresponde exatamente à energia necessá-
ria para afastar infinitamente as 3 cargas elétricas que
compõem a “molécula” acima, rompendo as 3 ligações
da molécula.
Para o caso de mais de três cargas, a energia potencial
elétrica é calculada levando-se em conta todas as combina-
ções possíveis de cargas. Assim, para um sistema formado
por n cargas puntiformes, tem-se um total de combinações
C dado por:
=
-
C
n(n 1)
2
Potencial elétrico do condutor
carregado e em equilíbrio
eletrostático
Nesse ponto do tratamento do conceito de potencial
elétrico, é possível a análise do potencial de um condutor
carregado e em equilíbrio eletrostático. Essa análise é muito
simples se for feita à luz das ideias de espontaneidade e
trabalho.
Em um condutor, as cargas têm livre movimento.
Como foi visto anteriormente, cargas positivas movi-
mentam-se espontaneamente para potenciais menores
e cargas negativas movimentam-se espontaneamente
para potenciais maiores. Se não há movimento ordenado
de cargas, como no caso do equilíbrio eletrostático,
F
R
E
N
T
E
 2
203
conclui-se que o potencial elétrico deve ser o mesmo
em todos os pontos, quer seja na sua superfície ou no
interior do condutor.
+ +
+
+
+
+
+
+
++++++
+
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+
+
+ +
Fig. 29 Potencial elétrico do condutor carregado e em equilíbrio eletrostático.
A indução eletrostática do ponto de
vista do potencial elétrico
O mesmo procedimento realizado com o campo elé-
trico, quando se estudou a indução eletrostática, será feito
agora do ponto de vista do potencial.
Um condutor C, neutro, é colocado na presença de um
indutor I. Como se sabe, há uma separação de cargas no
condutor. Se a análise for feita pensando-se no potencial
elétrico, por que isso ocorre?
V
induzido
V
d
I
+
+
+
–
–
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+
+
–
Fig. 30 Análise da indução eletrostática do ponto de vista do potencial.
A figura 30 mostra o condutor C induzido, ou seja,
com uma separação de cargas devido à presença do
indutor I. A figura também mostra o esboço do potencial
elétrico criado pelo indutor e a deformação deste poten-
cial devido às cargas induzidas no condutor. Observa-se
que, do lado esquerdo, as cargas negativas fazem com
que o potencial elétrico diminua. Já no lado direito, as
cargas positivas fazem com que o potencial elétrico no
induzido aumente.
O efeito final é que o potencialelétrico no induzido fica
constante. Assim, pode-se afirmar que as cargas induzidas
distribuem-se na superfície do condutor de modo a garantir
que o potencial elétrico seja o mesmo, quer seja na sua
superfície, quer seja no seu interior.
Nota-se que, apesar de o induzido estar neutro, seu
potencial não é nulo. Isso deve-se ao fato de ele estar
induzido.
Linhas de campo em condutores em equilíbrio
eletrostático
Neste capítulo, estudou-se que as linhas de cam-
po sempre se orientam no sentido de menor potencial.
Como o condutor em equilíbrio encontra-se todo em um
mesmo potencial elétrico, é correto afirmar que linhas
de campo não podem nascer e morrer em um mesmo
condutor em equilíbrio eletrostático.
+ –
+ –
+ –
absurdo!
Fig. 31 Linhas de força não podem nascer e morrer em um mesmo condutor em
equilíbrio eletrostático.
Potencial elétrico do condutor esférico
uniformemente carregado e em
equilíbrio eletrostático
O potencial elétrico em um condutor esférico é simples
de ser determinado utilizando-se o que foi estudado ante-
riormente. A figura 32 ilustra a situação onde se tem dois
condutores esféricos de raio R, uniformemente carregados
com cargas +Q e –Q. Os gráficos dos potenciais gerados
por tais condutores, adotando-se o infinito com potencial
elétrico nulo (V
∞
= 0), está superposto às respectivas figuras.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
V (V) V (V)
d (m) d (m)
kQ
R
–kQ
R
R R
Fig. 32 Potencial elétrico em condutores esféricos carregados.
Os gráficos, na figura 32, mostram que o cálculo do
potencial elétrico de condutores esféricos uniformemente
carregados e em equilíbrio eletrostático pode ser assim
resumido:
I. O potencial elétrico do condutor esférico, em pontos
internos, ou na sua superfície, é igual a:
II. Em pontos externos, o potencial elétrico é calculado
de maneira idêntica ao de uma carga puntiforme, su-
pondo a carga colocada no centro da esfera.
Na expressão acima, d é a distância do ponto conside-
rado até o centro da esfera.
Equilíbrio eletrostático de condutores esféricos
postos em contato entre si
No início do capítulo 1, aprendemos que, quando duas
esferas metálicas idênticas eram colocadas em contato, a
carga total dessas esferas era dividida meio a meio entre
elas.
FÍSICA Capítulo 3 Potencial elétrico204
Q
a Qb
Antes do contato Após o contato
+a bQ Q
2
+a bQ Q
2
Fig. 33 Condutores carregados, antes e após o contato.
Mas o que acontece se ligarmos, entre si, esferas me-
tálicas eletrizadas de raios diferentes?
Para entender melhor essa questão, vamos propor o
seguinte exercício:
Exercício resolvido
 9 Sejam duas esferas metálicas A e B, de raios Ra e Rb,
eletrizadas com cargas, respectivamente, iguais a Qa
e Qb.
Q
a
, R
a
Q
b
, R
b
Pede-se determinar:
a) os potenciais iniciais de cada esfera.
b) o potencial final das esferas, após ligarmos uma
à outra.
c) as cargas finais Qa’ e Qb’.
Resolução:
a) Seus potenciais iniciais podem ser facilmente cal-
culados pela expressão vista na seção anterior:
= =V
KQ
R
; V
KQ
R
a
a
a
b
b
b
b) Mas o que acontece se ligarmos entre si esferas
metálicas eletrizadas de raios diferentes?
ha
hb
BA
Para uma perfeita compreensão, façamos uma
breve analogia: Observe os dois cilindros acima. O
potencial gravitacional (Vg = gh) do líquido A está,
inicialmente, superior ao do líquido B. Assim, ao li-
garmos os cilindros de um cano, o líquido A uirá
em direção ao cilindro B até que seus potenciais
gravitacionais se tornem iguais (Vga = Vgb), o que,
obviamente, ocorrerá quando seus níveis estive-
rem iguais (ha = hb).
Analogamente, quando conectarmos as esferas
através de um o condutor, elétrons uirão de uma
esfera a outra até que seus potenciais elétricos se
tornem iguais (Va = Vb).
Q’
a
Q’
b
A partir daí, quando a diferença de potencial
(U = Va – Vb) entre as tais esferas se anular, cessará
a corrente elétrica de uma a outra, e o sistema terá
atingido o equilíbrio eletrostático.
Sendo Qa’ e Qb’ as cargas nais das esferas A e B
após atingido o equilíbrio eletrostático, pelo princí-
pio da conservação das cargas, podemos escrever:
Qa + Qb = Qa’ + Qb’ (  1  )
Queremos calcular o potencial nal Vf das esferas.
Sobre Vf , podemos escrever:
= =V
KQ'
R
KQ'
R
f
a
a
b
b
   (2)
Pela propriedade das proporções, podemos es-
crever:
=
+
+
V
KQ' KQ'
R R
f
a b
a b
( ) ( )+
+
=
+
+
K Q
,
Q
,
R R
K Q Q
R R
a b
a b
a b
a b
=
+
+
V
KQ KQ
R R
,
f
a b
a b
 mas como temos:
= =V
KQ
R
; V
KQ
Ra
a
a
b
b
b
podemos escrever:
=
+
+
V
V R V R
R R
f
a a b b
a b
   (3)
A equação (3) é extremamente útil pois expressa
o potencial de equilíbrio Vf das esferas apenas em
função de seus potenciais iniciais Va e Vb e de seus
raios.
c) E como calcularemos as cargas nais Qa’ e Qb’ das
esferas?
Ora, de posse da equação (3), determinamos Vf .
V
V R V R
R R
f
a a b b
a b
=
+
+
( )3
Substituindo-se Vf na equação (2), facilmente deter-
minamos Qa’ e Qb’. Conra:
= =V
KQ'
R
KQ'
R
f
a
a
b
b