Aula_05_-_Sistemas_ESA_2024_enemconcursosgaucheallfree

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ESA 
2024 
AULA 05 
Sistemas 
 
 
 
Prof. Ismael Santos 
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AULA 05 – SISTEMAS 
Sumário 
Introdução 3 
1.0 – Sistemas Lineares 3 
1.1 – Definições e Estruturas Iniciais 3 
1.2 – Sistemas Lineares 4 
1.3 – Sistemas Homogêneos 8 
1.4 – Solução de um Sistema Linear 8 
1.5 – Regra de Cramer 9 
2.0 – Sistemas Lineares: Discussão 12 
2.1 – Sistemas Possíveis 12 
2.2 – Sistemas Impossíveis 12 
2.3 – Discussão de Sistemas de duas Equações e duas Variáveis 12 
3.0 – Escalonamento e Teorema de Rouché-Capelli 13 
3.1 – Escalonamento 13 
3.2 – Característica de uma Matriz 17 
3.3 – Teorema de Rouché-Capelli 17 
4.0 – Lista de Questões – Nível 1 19 
4.1 – Gabarito 25 
5.0 – Lista de Questões Comentadas – Nível 1 26 
6.0 – Lista de Questões – Nível 2 39 
6.1 – Gabarito 44 
7.0 – Lista de Questões Comentadas – Nível 2 45 
8.0 – Versões das Aulas 54 
9.0 – Considerações Finais 54 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
Esta aula, a grosso modo, é uma extensão das aulas de Matrizes e Determinantes. Digo isso pois 
alguns conceitos serão embasados em propriedades estudadas nelas. 
Fique ligado a cada detalhe. 
Vamos com tudo!!! Fé na missão! 
1.0 – Sistemas Lineares 
1.1 – Definições e Estruturas Iniciais 
Num primeiro momento, faz-se necessário relembrarmos, ou, até mesmo, aprender melhor, o 
conceito de equações lineares. Entender essa classificação das equações é de suma importância, tendo em 
vista que os Sistemas Lineares são formados por um conjunto delas. 
 Nós dizemos que uma determinada equação será dita linear quando ela puder ser expressa com a 
seguinte configuração. 
𝒂𝟏𝒙𝟏 +𝒂𝟐𝒙𝟐 +𝒂𝟑𝒙𝟑 + ⋯+𝒂𝒏𝒙𝒏 = 𝒃 
Vamos às nomenclaturas: os termos 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 são chamados de coeficientes, enquanto que os 
termos 𝑥1, 𝑥2,… 𝑥𝑛 são chamadas variáveis ou incógnitas. Vejamos alguns exemplos de equações lineares: 
−𝑥 + 4𝑦 = 7 
3𝑥 − 𝑦5+ 𝑧 = 0 
√7𝑥 + 𝜋 − 3𝑦 = 1 
𝑥1 + 4𝑥2− 𝑥3 = −4 
 
Veja a seguir exemplos de equações não-lineares: 
Fale comigo! 
 
@profismael_santos Ismael Santos @IsmaelSantos 
 
 
 
 
 
 
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√𝑥 − 4𝑦 = 1 
1
𝑥
− 𝑦 + 𝑧 = 3 
𝑥2 −𝑦 + 4𝑧 = 1 
 
Assim, para que uma equação seja considerada linear, as variáveis devem estar livres de qualquer 
tipo de função: raízes, exponenciais, potências, nada. Elas têm de estar puras, apenas multiplicando os seus 
respectivos coeficientes. 
1.2 – Sistemas Lineares 
Um sistema, em matemática, é uma lista, ou conjunto, de equações que conservem as mesmas 
variáveis. Um sistema linear será um sistema em que todas as equações são lineares. Veja! 
{
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
3𝑥 − 4𝑦 − 𝑧 = 7
−2𝑥 + 𝑦 − 15𝑧 = 18
 
 
Veja que as três equações que constituem esse sistema são equações lineares; portanto, se trata 
de um sistema linear. A seguir vemos a forma geral de um sistema linear qualquer, com 𝑚 ≥ 1 equações 
e 𝑛 incógnitas: 
 
{
 
 
 
 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 +𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
𝑎31𝑥1 +𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3 + ⋯+ 𝑎3𝑛𝑥𝑛 = 𝑏3
.
.
.
𝑎𝑚1𝑥1 +𝑎𝑚2𝑥2 +𝑎𝑚3𝑥3 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
 
 
Essa é a forma geral, isto é, qualquer sistema pode ser expresso ou representado dessa maneira. 
Você deve estar percebendo que os coeficientes foram postos com subíndices, como nos elementos de 
uma matriz. Isso mesmo! Na verdade, um sistema exposto na sua forma geral representa uma multiplicação 
de matrizes. 
Usando as propriedades de multiplicações de matrizes que vimos em aulas anter iores, podemos 
chegar nesse mesmo sistema linear efetuando a multiplicação das duas matrizes. A seguir, apresento a 
forma matricial de um sistema linear. 
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(
 
 
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 … 𝑎3𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛)
 
 
 .
⏟ 
𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴
 
(
 
 
𝑥1
𝑥2
𝑥3
⋮
𝑥𝑛)
 
 
⏟ 
𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑋
= 
(
 
 
𝑏1
𝑏2
𝑏3
⋮
𝑥𝑛)
 
 
⏟ 
𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐵
 
 
Veja que de fato, ao multiplicarmos a matriz 
(
 
 
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 … 𝑎3𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛)
 
 
 pela matriz 
(
 
 
𝑥1
𝑥2
𝑥3
⋮
𝑥𝑛)
 
 
 
 Encontramos a matriz 
(
 
 
 
 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛
𝑎21𝑥1 +𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛
𝑎31𝑥1 +𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3 +⋯+ 𝑎3𝑛𝑥𝑛
.
.
.
𝑎𝑚1𝑥1 +𝑎𝑚2𝑥2 + 𝑎𝑚3𝑥3 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛)
 
 
 
 
 que, ao ser igualada à matriz 
(
 
 
𝑏1
𝑏2
𝑏3
⋮
𝑥𝑛)
 
 
, chega-se ao sistema original. 
 
Com isso, podemos representar aquele sistema geral simplesmente por: 𝐴. 𝑋 = 𝐵, que é uma 
equação matricial. 
 
Cabe ressaltar algumas novas nomenclaturas ligadas a essa teoria de sistemas lineares. Veja: 
➢ A matriz 𝐴 é chamada matriz dos coeficientes ou ainda matriz incompleta; 
 
➢ A matriz 𝑋 é chamada matriz das variáveis ou matriz das incógnitas; 
 
➢ A matriz 𝐵, por sua vez, é chamada de matriz dos termos independentes. 
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Segue abaixo um exemplo prático de que esses conceitos podem sim ser objeto de prova: 
 
{
𝟑𝒙− 𝟓𝒚 + 𝒛 = 𝟗
−𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = −𝟏
𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝟔 
 
Podemos afirmar que a matriz incompleta, a matriz das incógnitas e a matriz dos termos independentes 
desse sistema está exposto, respectivamente, na alternativa: 
a) (
𝟑 −𝟓 𝟏
−𝟐 −𝟏 𝟏
𝟏 −𝟐 −𝟏
) , (
𝟗
−𝟏
𝟔
) e (
𝒙
𝒚
𝒛
) 
b) (
𝟑 −𝟓 𝟏 
−𝟐 −𝟏 𝟏
𝟏 −𝟐 −𝟏 
𝟗
−𝟏
𝟎
) , (
𝒙
𝒚
𝒛
) e (
𝟗
−𝟏
𝟔
) 
 
c) (
𝟑 −𝟓 𝟏
−𝟐 −𝟏 𝟏
𝟏 −𝟐 −𝟏
) , (
𝒙
𝒚
𝒛
) e (
𝟗
−𝟏
𝟔
) 
 
d) (
𝟑 −𝟓 𝟏 
−𝟐 −𝟏 𝟏
𝟏 −𝟐 −𝟏 
𝟗
−𝟏
𝟎
) , (
𝟗
−𝟏
𝟔
) e (
𝒙
𝒚
𝒛
) 
 
Comentário: 
Questão bastante direta, basta extrair as informações. Dando uma outra olhada no sistema 
{
3𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 19
−2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −1
𝑥 − 2𝑦− 𝑧 = 6 
 , vamos às extrações: a matriz das incógnitas é, como o próprio nome diz, a matriz-
coluna cujos termos são as incógnitas, isto é, as variáveis do sistema: 𝑋 = (
𝑥
𝑦
𝑧
) ; e finalmente a matriz dos 
termos independentes é aquela que apresenta os resultados de cada igualdade: 𝐵 = (
9
−1
0
) 
Gabarito: C 
 
Vamos à mais um conceito importante dentro de sistemas lineares: chamamos de matriz completa 
a matriz incompleta com uma última coluna adicional cujos termos são os termos independentes do 
sistema: 
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{
3𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 9
−2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −1
𝑥 − 2𝑦− 𝑧 = 6 
 
 
Esse sistema possui matriz incompleta 𝐴 = (
3 −5 1
−2 −1 1
1 −2 −1
). 
 
A matriz completa será, então:𝐴′ = (
3 −5 1 
−2 −1 1
1 −2 −1 
19
−1
0
). 
 
 
A matriz Completa de um Sistema é obtida a partir da justaposição da matriz incompleta e dos termos 
independentes. 
 
Vamos analisar mais um sistema reescrito sob a forma de matricial. 
 
{
6𝑥 + 𝑦 = 1
−5𝑥 + 2𝑦 = −3
 ⟹ [
6 1
−5 2
] [
𝑥
𝑦] = [
1
−3
] 
 
Apliquemos o conceito de produto de matrizes. A primeira matriz é de ordem 2 e a segunda, de 
ordem 2𝑥1. Assim, a matriz resultante será de ordem 2𝑥1. Veja: 
 
[
6𝑥 + 1𝑦
−5𝑥 + 2𝑦
] = [
1
−3
] 
 
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Como as matrizes acima são iguais,podemos afirmar que seus elementos, ordenadamente, serão 
iguais entre si. 
[
6𝑥 + 1𝑦
−5𝑥 + 2𝑦
] = [
1
−3
] 
 
Assim: 
6𝑥 + 𝑦 = 1
−5𝑥 + 2𝑦 = −3
 
 
1.3 – Sistemas Homogêneos 
Sistemas Lineares Homogêneos são sistemas cuja matriz dos termos independentes é uma matriz 
nula. Veja abaixo alguns exemplos de sistemas lineares homogêneos: 
 
{
𝑥 + 3𝑦 = 0
−5𝑥 + 4𝑦 = 0
 
 
{
−𝑥 + 7𝑦− 4𝑧 = 0
𝑥 + 𝑧 = 0 
 
 
{
−𝑥1+ 4𝑥2 +3𝑥3 − 𝑥4 = 0
4𝑥1 +11𝑥2 − 15𝑥3 + 𝑥4 = 0
21𝑥1 − 3𝑥2 −5𝑥3 − 𝑥4 = 0
−3𝑥1+ 7𝑥2 −3𝑥3 + 3𝑥4 = 0
 
 
1.4 – Solução de um Sistema Linear 
Antes de discutirmos o que seria a solução de um Sistema linear, vejamos algo mais simples, isto é, 
a solução de uma equação linear. Comecemos por um exemplo. Considere a equação linear a seguir: 
𝑥 + 𝑦 = 15 
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Chamaremos de uma solução dessa equação um par ordenado (𝑥;𝑦) que satisfaça aquela equação. 
Por exemplo, 𝑥 = 7 e 𝑦 = 8 resultam no par ordenado (7,8), que é uma solução dessa equação linear visto 
que 7 + 8 = 15. 
Outras soluções dessa equação são: 
(0; 15),(1;14), (−4;19),(26; −11) ... 
Veja então que há infinitas soluções para essa solução. 
Considere, por exemplo, o Sistema linear abaixo: 
{
2𝑥 + 𝑦 = 1
𝑥 − 𝑦 = 4
 
 
Bom, como vimos há pouco, um sistema linear homogêneo será aquele em que todos os resultados 
são nulos, isto é, todos os termos constantes são nulos. Um fato muito importante dos sistemas l ineares 
homogêneos é o seguinte: 
Todo e qualquer sistema linear homogêneo possui uma solução (𝟎,𝟎,𝟎, … , 𝟎) 
Essa solução é chamada uma solução trivial desse sistema (às vezes alguns textos chamam essa 
solução de uma solução imprópria). 
Veja, por exemplo, o sistema abaixo: 
{
2𝑥 + 5𝑦+ 2𝑧 = 0
𝑥 + 6𝑦 + 3𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0 
 
 
Veja que de fato (0,0,0) é uma solução desse sistema (claro que aqui não se trata mais de um par 
ordenado mais sim um trio ou terno ordenado). Trata-se, portanto, de uma solução trivial desse sistema. 
Veja também que (3,−4,7) também é uma solução desse sistema. Como se trata de uma solução diferente 
daquela totalmente nula, a chamamos de uma solução não-trivial desse sistema. 
 
1.5 – Regra de Cramer 
Agora, veremos algumas aplicações de determinantes na solução de sistemas lineares. Caso algo 
não fique tão claro, solicito que volta à aula de Determinantes, para que tudo entre nos eixos. 
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A regra de Cramer é uma regra prática para obtermos as soluções de um sistema linear. É 
importante notarmos que a regra de Cramer somente funciona quando o Sistema tem solução única , ou 
seja, é possível e determinado, como estudado nos sistemas lineares do 1º grau com duas incógnitas. 
Suponha que queiramos, por exemplo, encontrar a solução do Sistema linear abaixo: 
 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −4
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1 
 
 
Primeiro, calculamos o determinante da matriz incompleta, isto é, o determinante da matriz dos 
coeficientes. Veja! 
 
𝐷 = |
1 1 1
1 −1 −1
2 −1 1
| ⟹ 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑆𝑎𝑟𝑟𝑢𝑠 ⟹ |
1 1 1
1 −1 −1
2 −1 1
|
1 1
1 −1
2 −1
 
 
−1− 2 − 1 + 2 − 1 − 1 
𝐷𝑒𝑡 = −4 ≠ 0 , 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑡𝑒𝑚 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 ú𝑛𝑖𝑐𝑎. 
 
Esse determinante é chamado de determinante principal. Chamaremos esse determinante de 𝐷. 
Agora, calcularemos mais três determinantes, um para cada variável. Funciona da seguinte forma. 
Cada coluna da matriz simboliza uma variável: a primeira coluna representa a variável 𝑥, a segunda coluna 
representa a variável 𝑦 e a terceira coluna representa a variável 𝑧. Vamos então aprender a calcular os 
determinantes de cada variável. 
O determinante da variável 𝑥 é calculado trocando a primeira coluna pelos resultados lá do Sistema. 
 
Da seguinte forma: 
𝐷𝑥 = |
6 1 1
−4 −1 −1
1 −1 1
| ⟹ 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑆𝑎𝑟𝑟𝑢𝑠 ⟹ |
6 1 1
−4 −1 −1
1 −1 1
|
6 1
−4 −1
1 −1
 
 
𝐷𝑥 = −4 
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Agora, substituímos novamente a matriz dos termos independentes na segunda coluna da matriz 
para calcularmos 𝐷𝑦 
𝐷𝑦 = |
1 6 1
1 −4 −1
2 1 1
|⟹ 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑆𝑎𝑟𝑟𝑢𝑠 ⟹ |
1 6 1
1 −4 −1
2 1 1
|
1 6
1 −4
2 1
 
 
𝐷𝑦 = −12 
 
Finalmente, fazendo o mesmo para a terceira coluna: 
𝐷𝑧 = |
1 1 6
1 −1 −4
2 −1 1
| ⟹ 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑆𝑎𝑟𝑟𝑢𝑠 ⟹ |
1 1 6
1 −1 −4
2 −1 1
|
1 1
1 −1
2 −1
 
 
𝐷𝑧 = −8 
 
Daí, podemos encontrar os valores de 𝑥, 𝑦 e 𝑧 usando as formulas a seguir: 
𝒙 =
𝑫𝒙
𝑫
 𝒚 =
𝑫𝒚
𝑫
 𝒛 =
𝑫𝒛
𝑫
 
𝒙 =
−𝟒
−𝟒
 𝒚 =
−𝟏𝟐
−𝟒
 𝒛 =
−𝟖
−𝟒
 
𝒙 = 𝟏 𝒚 = 𝟑 𝒛 = 𝟐 
 
Veja então que encontramos a solução desse Sistema utilizando apenas determinantes, sem nos 
preocuparmos em substituição de variáveis, que seria o método tradicional. 
Em outras palavras, podemos dizer que, consoante o Teorema de Cramer, se um sistema linear 
possui um número de equações igual ao número de incógnitas e se 𝐷𝑒𝑡 ≠ 0, então o sistema será possível 
e determinado com solução única da forma: 
𝛼𝑖 =
𝐷𝑖
𝐷
 ; ∀ 𝑖 ∈ {1, 2, 3, 4, … , 𝑛} 
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2.0 – Sistemas Lineares: Discussão 
2.1 – Sistemas Possíveis 
Um sistema será dito possível quando tiver solução, ao menos uma. Existem dois tipos de sistemas 
possíveis: os determinados e os indeterminados. Veja! 
 
➢ Sistemas determinados 
Um sistema será dito possível determinado quando tiver apenas uma solução. Sistemas desse tipo 
são abreviados como SPD (sistemas possíveis e determinados). Esses sistemas são os mais fáceis de 
detectar. A detecção pode ser feita utilizando-se a regra prática abaixo: um sistema será SPD quando o 
determinante de sua matriz incompleta for não-nulo. 
 
➢ Sistemas indeterminados 
Um sistema será dito possível e indeterminado quando tiver infinitas soluções. Serão ditos sistemas 
SPI (sistemas possíveis e indeterminados). 
 
2.2 – Sistemas Impossíveis 
 
São sistemas sem solução. São sistemas contraditórios, isto é, não podem apresentar uma solução. 
Sua abreviação é da forma SI. 
 
2.3 – Discussão de Sistemas de duas Equações e duas Variáveis 
Os sistemas de duas equações e duas variáveis podem possuir uma, nenhuma ou infinitas soluções, 
conforme seja possível e determinado, impossível ou possível e indeterminado, respectivamente. 
A seguir são apresentadas as condições para que o sistema se enquadre em cada uma das 
categorias, observada ainda a sua interpretação geométrica, onde cada equação do 1º grau em x e y 
representa uma reta no plano, podendo ter ou não interseções entre si. 
Seja o sistema de equações a seguir 
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1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =

+ = 
temos: 
✓ Se 
𝒂𝟏
𝒂𝟐
≠
𝒃𝟏
𝒃𝟐
, então o sistema é possível e determinado, possui uma única solução e sua representação 
geométrica corresponde a duas retas concorrentes, ou seja, interceptam em apenas um ponto. 
 
✓ Se 
𝒂𝟏
𝒂𝟐
=
𝒃𝟏
𝒃𝟐
=
𝒄𝟏
𝒄𝟐
, então o sistema é possível e indeterminado, possui infinitas soluções e sua 
representação geométrica corresponde a duas retas paralelas coincidentes. 
 
✓ Se 
𝒂𝟏
𝒂𝟐
=
𝒃𝟏
𝒃𝟐
≠
𝒄𝟏
𝒄𝟐
, então o sistema é impossível, não possui soluções e a sua representação 
geométrica corresponde a duas retas paralelas distintas. 
 
3.0 – Escalonamento e Teorema de Rouché-Capelli 
3.1 – Escalonamento 
Um sistema será dito escalonado quando acontecerem simultaneamenteos dois itens abaixo: 
• Em cada equação existe pelo menos um coeficiente não-nulo; 
• O número de coeficientes não-nulos, antes do primeiro coeficiente não-nulo, cresce da 
esquerda para a direita, de equação para equação. 
 
Escalonar um sistema será bastante útil quando este apresentar mais de 3 equações e 3 incógnitas, 
pois, imagine calcular 6 determinantes cada um de ordem 5?! Fica trabalhoso, não? Pois bem! Aprenda 
com carinho este método, pois poderá salvar sua aprovação!!! 
 
Observe abaixo alguns exemplos de sistemas lineares escalonados: 
{
3𝑥 + 2𝑦− 𝑧 = 4
 0𝑥+ 3𝑦+ 4𝑧 = 5
0𝑥 + 0𝑥 − 𝑧 = −5
 {
3𝑥1+ 4𝑥2 − 𝑥3 − 𝑥4 = 12
 0𝑥 + 0𝑥 + 2𝑥3 + 𝑥4 = 10
 0𝑥 + 0𝑥 + 0𝑥 − 2𝑥4 = 1
 {
3𝑥 + 2𝑦 = 6
 0𝑥 + 𝑦 = −3
 
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Para escalonarmos sistemas, temos duas ferramentas básicas de transformação, sem alterarmos o 
sistema original, veja: 
➢ É possível multiplicar uma equação qualquer de um sistema por um número real não-nulo 
qualquer. 
➢ É possível somar uma equação qualquer de um sistema com outra equação do mesmo sistema. 
Inicialmente, vamos considerar um sistema qualquer, como o abaixo: 
{
𝑥 − 2𝑦+ 𝑧 = 4
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −2
−𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 1
 
 
O sistema acima gera a seguinte matriz aumentada, ou seja, acrescentando-se os termos 
independentes: 
[
1 −2 1
2 −1 1
−1 1 4
|
4
−2
1
] 
 
É sempre mais fácil escalonar a matriz, ao invés escalonar o sistema, pois são apenas números, sem 
letras ao redor. Por isso escolhi este caminho. Seu foco é zerar os seguintes termos do sistema: 
[
1 −2 1
𝟐 −1 1
−𝟏 𝟓 4
|
4
−2
1
] 
Minha dica é que você sempre comece pelo seguinte termo (chamado de pivô): 
𝑃𝑖𝑣ô → [
1 −2 1
𝟐 −1 1
−𝟏 𝟏 4
|
4
−2
1
] 
Para zerarmos esse termo, podemos diminuir a linha 2 do dobro da linha 1, consegue ver isso? Se 
sobrarmos a primeira linha, o 1 tornar-se-á 2. E daí, ao subtrair a segunda linha da primeira sobrada, 
conseguiremos zerar o pivô. Vejamos: 
 
[
1 −2 1
2 −1 1
−1 1 4
|
4
−2
1
]
𝐿2:𝐿2−2𝐿1
→ [
1 −2 1
2− 2.1 −1 − 2. (−2) 1 − 2.1
−1 1 4
|
4
−2 − 2.4
1
] 
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[
1 −2 1
0 3 −1
−1 1 4
|
4
−10
1
] 
Agora, precisamos anular o termo imediatamente abaixo do pivô. Em nosso caso, basta somar a 
terceira linha com a primeira. Veja: 
 
[
1 −2 1
0 3 −1
−1 1 4
|
4
−10
1
]
𝐿3:𝐿3+𝐿1
→ [
1 −2 1
0 3 −1
−1+ 1 1 + (−2) 4 + 1
|
4
−10
1 + 4
] ⟹ 
⟹ [
1 −2 1
0 3 −1
0 −1 5
|
4
−10
5
] 
 
Agora, precisamos anular o −1 da terceira linha. Podemos fazer isso triplicando a terceira linha e 
somando-a à segunda linha: 
 
⟹ [
1 −2 1
0 3 −1
0 −1 5
|
4
−10
5
]
𝐿3 :3𝐿3+𝐿2
→ [
1 −2 1
0 3 −1
3.0 + 0 3. (−1) + 3 3.5 + (−1)
|
4
−10
3.5 + (−10)
]⟹ 
⟹ [
1 −2 1
0 3 −1
0 0 14
|
4
−10
5
] 
Essa é, agora, uma matriz dita escalonada. Podemos dizer então que a matriz escalonada da matriz 
 
 ⟹ [
1 −2 1
2 −1 1
−1 1 4
|
4
−2
1
] é a matriz ⟹ [
1 −2 1
0 3 −1
0 0 14
|
4
−10
5
] 
 
Depois que a matriz está escalonada, podemos retorná-la à sua forma de sistema. Veja: 
{
𝑥 − 2𝑦+ 𝑧 = 4
 3𝑦 − 𝑧 = −10
 14𝑧 = 5
 
 
Agora, podemos solucionar o sistema de baixo para cima. Começando por 𝑧. 
14𝑧 = 5 
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𝑧 =
5
14
 
Daí, substituindo na segunda equação: 
3𝑦 − 𝑧 = −10 
3𝑦 −
5
14
= −10 
3𝑦 = −10+
5
14
 
3𝑦 =
−140+ 5
14
 
𝑦 = −
135
14
 
𝑦 = −
45
14
 
E daí, finalmente, à primeira equação: 
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 4 
𝑥 − 2(−
45
14
) +
5
14
= 4 
𝑥 +
90
14
+
5
14
= 4 
𝑥 +
95
14
= 4 
𝑥 = 4−
95
14
 
𝑥 =
56 − 95
14
 
𝑥 = −
39
14
 
A solução é, então: 𝑆 = {(−
39
14
, −
45
14
,
5
14
)} 
 
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AULA 05 – SISTEMAS 
3.2 – Característica de uma Matriz 
Vamos então a uma definição do que vem a ser a característica de uma matriz: 
Chamamos de característica de uma matriz a quantidade de linhas não-nulas de sua forma 
escalonada. 
Vimos há pouco, por exemplo, que a forma escalonada de 𝐴 = [
1 −2 1
2 −1 1
−1 1 4
|
4
−2
1
] é a matriz 
[
1 −2 1
0 3 −1
0 0 14
|
4
−10
5
]. Veja que há três linhas não-nulas na forma escalonada de 𝐴, então, a característica 
de 𝐴 é 3 (escreve-se 𝑝(𝐴 = 3) 
 
3.3 – Teorema de Rouché-Capelli 
Seja 𝐴 a matriz dos coeficientes (a matriz incompleta) associada a um sistema linear qualquer com 
𝑛 incógnitas. Seja também 𝐴′ a matriz aumentada desse sistema. Então, podemos criar a seguinte síntese: 
• Se 𝑝(𝐴) = 𝑝(𝐴′) = 𝑛, então o sistema será possível e determinado (SPD); 
• Se 𝑝(𝐴) = 𝑝(𝐴′) < 𝑛, então o sistema será possível e indeterminado (SPI); 
• Se 𝑝(𝐴) < 𝑝(𝐴′), então o sistema será impossível (SI). 
 
Veja como exemplo o sistema abaixo: 
{
𝑥 − 2𝑦+ 𝑧 = 4
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −2
−𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 1
 
Trata-se de um sistema linear com três incógnitas, então 𝑛 = 3 
Sua matriz aumentada escalonada é [
1 −2 1
0 3 −1
0 0 14
|
4
−10
5
], como vimos. Isso nos diz que 𝑝(𝐴′) = 3, 
pois a característica dessa matriz é 3. A matriz dos coeficientes (matriz incompleta) é a matriz 
[
1 −2 1
0 3 −1
0 0 14
]. Veja que essa matriz tem característica 3, então 𝑝(𝐴) = 3. Veja que 𝑝(𝐴) = 𝑝(𝐴′) = 3; 
daí, podemos concluir que o sistema é possível e determinado. 
 
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AULA 05 – SISTEMAS 
Agora, tendo por base o sistema [
1 1 1
1 2 2
1 1 1
|
1
2
0
] e sabendo que a sua matriz aumentada escalonada 
é [
1 1 1
0 1 1
0 0 0
|
1
1
−1
] , podemos concluir que essa matriz tem característica 3, portanto, 𝑝(𝐴′) = 3 
Porém a matriz dos coeficientes, que seria [
1 1 1
0 1 1
0 0 0
], como vimos, possui característica 2, ou seja, 
𝑝(𝐴) = 2. Recaímos no caso em que 𝑝(𝐴) < 𝑝(𝐴′). Isso nos diz, então, que o sistema é impossível. 
 
É meu querido(a). Chegamos ao fim de mais uma aula. 
Espero que tenham gostado. 
Dúvidas estou à disposição. 
 
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AULA 05 – SISTEMAS 
4.0 – Lista de Questões – Nível 1 
1. (EsSA 2010) Considere o sistema abaixo: 
2 2
2 8 2 0
2 4
kx y z
x y z
x z
 + − =

− + =
 + = 
O valor de k real, para que o sistema acima seja possível e determinado, é: 
a) 1/ 2k = 
b) 7 / 2k  − 
c) 1/ 6k  − 
d) 1/ 2k  − 
e) 3 / 2k  − 
 
2. (EsSA 2010) Uma pessoa deseja totalizar a quantia de R$ 600,00 utilizando cédulas de um, dez e vinte 
reais, num total de 49 cédulas, de modo que a diferença entre as quantidades de cédulas de dez e de 
um real seja a nove unidades. Nesse caso, a quantidade de cédulas de vinte reais de que a pessoa 
precisará será igual a: 
a) 19 
b) 10 
c) 20 
d) 29 
e) 21 
 
3. (EsSA 2011) Três amigos, Abel, Bruno e Carlos, juntos possuem um total de 555 figurinhas. Sabe-se que 
Abel possui o tr iplo de Bruno menos 25 figurinhas, e que Bruno possui o dobro de Carlos mais 10 
figurinhas. Desses amigos, o que possui mais tem: 
a) 250 figurinhas. 
b) 365 figurinhas. 
c) 275 figurinhas. 
d) 325 figurinhas. 
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e) 300 figurinhas. 
 
4. (EsSA 2012) Em um programa de TV, o participante começa com R$500,00. Para cada pergunta 
respondida corretamente, recebe R$ 200,00; e para cada resposta errada perde R$ 150,00. Se um 
participante respondeu todas as 25 questões formuladas no programa e terminou com R$ 600,00, 
quantas questões ele acertou? 
a) 14 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
e) 12 
 
5. (EsSA 2018) Dadas as matrizes 
2 4
4 1
k
A
 −
=  
− 
 e 
1
1
B
 
=  
 
. Considerando que a equaçãomatricial A X B = 
tem solução única, podemos afirmar que: 
a) 2k =  
b) 1k =  
c) 4k   
d) 4k =  
e) 2k   
 
6. (EEAR-2001) O sistema linear {
𝒙 + 𝒚 = 𝟎
𝒚 + 𝒛 = 𝟎
𝒚 + 𝒎𝒛 = 𝟎
 é indeterminado para 
a) Nenhum 𝒎 real. 
b) Todo 𝒎 real. 
c) 𝒎 = 𝟎. 
d) 𝒎 = 𝟏. 
 
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7. O sistema {
𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟒
𝒙 +𝟒𝒚 = −𝟔
𝟐𝒙− 𝟑𝒚 = 𝒎
, nas incógnitas 𝒙 𝒆 𝒚, admite uma única solução se, e somente se, 
a) 𝒎 ≠ −𝟏 
b) 𝒎 = 𝟎 
c) 𝒎 = −𝟏 
d) 𝒎 = 𝟐 
 
8. (EEAR-2002) Para que valor de 𝒌 o sistema {
𝒙− 𝒚 = 𝟏
𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏
𝟐𝒙 +𝒌𝒛 = 𝟐
 não possui solução? 
a) −𝟑 
b) −𝟔 
c) 𝟔 
d) 𝟑 
 
9. (EEAR-2002) O sistema de equações {
𝟑𝒙+ 𝟒𝒚 − 𝒛 = 𝟎
𝟐𝒙− 𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟎
𝒙 + 𝒚 = 𝟎
 
a) Não tem solução 
b) Tem infinitas soluções 
c) Tem apenas a solução trivial 
d) Tem uma única solução não trivial 
 
10. (EEAR-2002) Os valores de 𝒌 tais que o sistema homogêneo {
𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎
𝒙 −𝒌𝒚 + 𝒛 = 𝟎
𝒌𝒙 −𝒚 − 𝒛 = 𝟎
 admita apenas a solução 
tr ivial são: 
a) 𝒌 ≠ 𝟎 𝒆 𝒌 ≠ −𝟏 
b) 𝒌 ≠ 𝟏 𝒆 𝒌 ≠ −𝟏 
c) 𝒌 = 𝟎 𝒆 𝒌 = −𝟏 
d) 𝒌 ≠ 𝟏 𝒆 𝒌 ≠ −𝟐 
 
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11. (EEAR-2003) Para que o sistema {
𝟑𝒙 +𝒎𝒚 = 𝟎
𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟎
 tenha solução diferente da imprópria, o valor de 𝒎 
deve ser 
a) 𝟗 
b) 𝟎 
c) 𝟏𝟎 
d) 𝟏𝟓 
 
12. (EEAR-2004) Sendo 𝒂𝒃𝒄𝒅 ≠ 𝟎, para que o sistema {
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄
𝒑𝒙+ 𝒒𝒚 = 𝒅
 seja indeterminado, é necessário 
que 𝒑 𝒆 𝒒 sejam, respectivamente, 
a) 
𝒅𝒂
𝒄
 𝒆
𝒃𝒅
𝒄
 
b) 
𝒃𝒅
𝒄
 𝒆
𝒅𝒂
𝒄
 
c) 
𝒂𝒃
𝒄
 𝒆
𝒅
𝒄
 
d) 
𝒅
𝒄
 𝒆
𝒂𝒃
𝒄
 
 
13. (EEAR-2004) Em uma escola há 𝟓𝟔 professores, entre homens e mulheres. Se a metade do número de 
mulheres é igual ao triplo do de homens, então o número de mulheres supera o de homens em 
a) 𝟑𝟐 
b) 𝟑𝟔 
c) 𝟒𝟎 
d) 𝟒𝟒 
 
14. (EEAR-2005) Se a solução do sistema {
𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟎
𝒙 −𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟏
𝒙 +𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟒
 é {(𝒂,𝒃, 𝒄)}, então o valor de 𝒂. 𝒃.𝒄 é 
a) −𝟏𝟐 
b) −𝟏𝟖 
c) −𝟐𝟒 
d) −𝟑𝟎 
 
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AULA 05 – SISTEMAS 
15. (EEAR-2006) O sistema {
𝒙 + 𝒚 = 𝟑
𝟐𝒙− 𝒎𝒚 = 𝟔
 é possível e determinado para: 
a) 𝒎 = 𝟐 
b) 𝒎 ≠ 𝟐 
c) 𝒎 = −𝟐 
d) 𝒎 ≠ −𝟐 
 
16. (EEAR-2007) Seja {
𝒙 +𝒎𝒚 = 𝟏
𝟒𝒙+ 𝟓𝒚 = 𝟐
 um sistema de equações do 𝟏° grau nas incógnitas 𝒙 𝒆 𝒚. Ele será 
impossível se o valor de 𝒎 for 
a) 
𝟓
𝟒
 
b) 
𝟑
𝟐
 
c) 
𝟓
𝟑
 
d) 𝟐 
 
17. (EEAR-2007) A tabela mostra os pedidos de 4 clientes em uma lanchonete. 
 
Se os clientes 𝟏, 𝟐 𝒆 𝟑 pagaram, respectivamente, 𝑹$𝟏𝟏,𝟏𝟎, 𝑹$𝟏𝟎,𝟎𝟎 𝒆 𝑹$𝟏𝟏,𝟗𝟎 por seus pedidos, 
então o cliente 𝟒 pegou 𝑹$ 
a) 𝟓,𝟎𝟎 
b) 𝟓,𝟏𝟎 
c) 𝟓, 𝟒𝟎 
d) 𝟓,𝟓𝟎 
 
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AULA 05 – SISTEMAS 
18. (EEAR-2008) Se {
𝒂𝒙+ 𝟐𝒚 = −𝟏
𝟑𝒙+ 𝒃𝒚 = 𝟑
 𝒆 {
𝟐𝒙+ 𝒚 = 𝟏
𝒙 − 𝒚 = −𝟒
 são sistemas equivalentes, então o valor de 𝒂 +𝒃 é 
a) 𝟏𝟏 
b) 𝟗 
c) −𝟓 
d) −𝟕 
 
19. (EEAR-2010) Para que o sistema {
𝒌𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝟎
𝟐𝒙−𝟒𝒚 − 𝒛 = 𝟏
−𝟑𝒙+𝟒𝒚 − 𝒛 = −𝟏
 seja possível e determinado, deve-se ter 
a) 𝒌 ≠
𝟗
𝟖
 
b) 𝒌 ≠
𝟐
𝟓
 
c) 𝒌 =
𝟕
𝟔
 
d) 𝒌 =
𝟏
𝟑
 
 
20. (EEAR-2013) O valor de 𝒙 que é solução do sistema {
𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏
𝟐𝒙− 𝟑𝒚 = 𝟑
 é um número 
a) Par primo. 
b) Ímpar primo. 
c) Par não primo. 
d) Ímpar não primo. 
 
 
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AULA 05 – SISTEMAS 
4.1 – Gabarito 
1. E 
2. C 
3. B 
4. D 
5. C 
6. C 
7. C 
8. C 
9. B 
10. A 
11. A 
12. A 
13. C 
14. D 
15. D 
16. A 
17. D 
18. B 
19. A 
20. B 
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AULA 05 – SISTEMAS 
5.0 – Lista de Questões Comentadas – Nível 1 
1. (EsSA 2010) Considere o sistema abaixo: 
2 2
2 8 2 0
2 4
kx y z
x y z
x z
 + − =

− + =
 + = 
O valor de k real, para que o sistema acima seja possível e determinado, é: 
a) 1/ 2k = 
b) 7 / 2k  − 
c) 1/ 6k  − 
d) 1/ 2k  − 
e) 3 / 2k  − 
 
Comentário: 
Vamos reescrever o sistema acima destacando os coeficientes 
{
𝑘 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 𝑦 − 1 ∙ 𝑧 = 2
2 ∙ 𝑥 − 8 ∙ 𝑦 + 2 ∙ 𝑧 = 0
2 ∙ 𝑥 + 0 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 𝑧 = 4
 
Lembre-se de que para termos um sistema possível e determinado, o determinante da matriz 
formada pelos coeficientes de 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧 deve ser diferente de Zero. Então 
det = |
𝑘 2 −1
2 −8 2
2 0 1
| ≠ 0 
𝑘 ∙ (−8) ∙ 1 + 2 ∙ 2 ∙ 2 + (−1) ∙ 2 ∙ 0 − 2 ∙ (−8) ∙ (−1)− 0 ∙ 2 ∙ 𝑘 − 1 ∙ 2 ∙ 2 ≠ 0 
−8𝑘+ 8− 16− 4 ≠ 0 
𝑘 ≠ −
3
2
 
Gabarito: E 
2. (EsSA 2010) Uma pessoa deseja totalizar a quantia de R$ 600,00 utilizando cédulas de um, dez e vinte 
reais, num total de 49 cédulas, de modo que a diferença entre as quantidades de cédulas de dez e de 
um real seja a nove unidades. Nesse caso, a quantidade de cédulas de vinte reais de que a pessoa 
precisará será igual a: 
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AULA 05 – SISTEMAS 
a) 19 
b) 10 
c) 20 
d) 29 
e) 21 
 
Comentário: 
Vamos definir as seguintes variáveis 
{
𝑈 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐é𝑑𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 1 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝐷 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐é𝑑𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑧 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
𝑉 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐é𝑑𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
 
Assim, vamos escrever o seguinte sistema baseado nas informações do enunciado 
{
𝑈 +𝐷 + 𝑉 = 49
1 ∙ 𝑈 + 10 ∙ 𝐷 + 20 ∙ 𝑉 = 600
𝐷 − 𝑈 = 9 → 𝐷 = 𝑈+ 9
 
Assim, substituindo-se 𝐷 = 𝑈 + 9 nas duas primeiras equações, temos 
{
𝑈 +𝑈 + 9+ 𝑉 = 49 → 2𝑈 + 𝑉 = 40 → 𝑉 = 40− 2𝑈
𝑈 + 10 ∙ (𝑈+ 9) + 20𝑉 = 600 → 11𝑈 + 20𝑉 = 510
 
Com isso, 
11𝑈+ 20 ∙ (40− 2𝑈) = 510 → 𝑈 = 10 
𝑉 = 40− 2 ∙ 10 = 20 
𝐷 = 9+ 10 = 19 
Assim, o número de cédulas de vinte reais, 𝑉, é 20. 
Gabarito: C 
3. (EsSA 2011) Três amigos, Abel, Bruno e Carlos, juntos possuem um total de 555 figurinhas. Sabe-se que 
Abel possui o tr iplo de Bruno menos 25 figurinhas, e que Bruno possui o dobro de Carlos mais 10 
figurinhas. Desses amigos, o que possui mais tem: 
a) 250 figurinhas. 
b) 365 figurinhas. 
c) 275 figurinhas. 
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AULA 05 – SISTEMAS 
d) 325 figurinhas. 
e) 300 figurinhas. 
 
Comentário: 
Vamos definir as seguintes variáveis 
{
𝐴 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐴𝑏𝑒𝑙
𝐵 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐵𝑟𝑢𝑛𝑜
𝐶 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑟𝑙𝑜𝑠
 
Assim, vamos escrever o seguinte sistema baseado nas informações do enunciado 
{
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 555
𝐴 = 3𝐵 − 25
𝐵 = 2𝐶 + 10
 
Assim, 
𝐴 = 3 ∙ (2𝐶 + 10) − 25 → 𝐴 = 6𝐶 + 5 
𝐴 +𝐵 +𝐶 = (6𝐶 + 5) + (2𝐶 + 10) + 𝐶 = 555 
9𝐶 = 540 → 𝐶 = 60 → 𝐴 = 365 → 𝐵 = 130 
Logo, quem possui mais figurinhas é Abel, com 𝐴 = 365 figurinhas. 
Gabarito: B 
4. (EsSA 2012) Em um programa de TV, o participante começa com R$500,00. Para cada pergunta 
respondida corretamente, recebe R$ 200,00; e para cada resposta errada perde R$ 150,00. Se um 
participante respondeu todas as 25 questões formuladas no programa e terminou com R$ 600,00, 
quantas questões ele acertou? 
a) 14 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
e) 12 
 
Comentário: 
Vamos definir o número de questões acertadas como 𝑛. Assim, temos que o número de questões 
erradas é 25 − 𝑛. Logo 
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500 + 𝑛 ∙ 200 − 150 ∙ (25 − 𝑛) = 600 
350𝑛 = 3850 
𝑛 = 11 
Gabarito: D 
5. (EsSA 2018) Dadas as matrizes 
2 4
4 1
k
A
 −
=  
− 
 e 
1
1
B
 
=  
 
. Considerando que a equação matricial A X B = 
tem solução única, podemos afirmarque: 
a) 2k =  
b) 1k =  
c) 4k   
d) 4k =  
e) 2k   
 
Comentário: 
Como o sistema mostrado apresenta apenas uma solução, temos que o determinante de 𝐴 deve 
ser diferente de Zero. Logo 
𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ 0 
|𝑘
2 −4
4 −1
| ≠ 0 
𝑘2 ∙ (−1) − 4 ∙ (−4) ≠ 0 
𝑘² ≠ 16 
𝑘 ≠ ±4 
Gabarito: C 
6. (EEAR-2001) O sistema linear {
𝒙 + 𝒚 = 𝟎
𝒚 + 𝒛 = 𝟎
𝒚 + 𝒎𝒛 = 𝟎
 é indeterminado para 
a) Nenhum 𝒎 real. 
b) Todo 𝒎 real. 
c) 𝒎 = 𝟎. 
d) 𝒎 = 𝟏. 
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Comentário: 
Para um sistema ser possível e indeterminado, podemos escalonar o sistema: 
{
𝑥 + 𝑦 = 0
𝑧 − 𝑥 = 0
𝑚𝑧 − 𝑥 = 0
 → {
𝑥 + 𝑦 = 0
𝑧 − 𝑥 = 0
𝑚𝑧 − 𝑧 = 0
 
 
Assim, para 𝑧 ser indeterminado, 
𝑚− 1 = 0 
𝑚 = 1 
Gabarito: C 
7. O sistema {
𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟒
𝒙 +𝟒𝒚 = −𝟔
𝟐𝒙− 𝟑𝒚 = 𝒎
, nas incógnitas 𝒙 𝒆 𝒚, admite uma única solução se, e somente se, 
a) 𝒎 ≠ −𝟏 
b) 𝒎 = 𝟎 
c) 𝒎 = −𝟏 
d) 𝒎 = 𝟐 
 
Comentário: 
Para admitir uma única solução, o sistema deve ser possível e determinado. Para isso, podemos 
escalonar 
{
3𝑥 − 2𝑦 = −4
14𝑦 = −14
−5𝑦 = 3𝑚 +8
 
Logo, 
𝑦 = −1 
3𝑚 + 8 = +5 → 𝑚 = −1 
Gabarito: C 
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8. (EEAR-2002) Para que valor de 𝒌 o sistema {
𝒙− 𝒚 = 𝟏
𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏
𝟐𝒙 +𝒌𝒛 = 𝟐
 não possui solução? 
a) −𝟑 
b) −𝟔 
c) 𝟔 
d) 𝟑 
 
Comentário: 
Vamos escalonar o sistema da seguinte forma 
{
𝑥 − 𝑦 = 1
𝑦+ 3𝑧 = 1
2𝑦 + 𝑘𝑧 = 0
 → {
𝑥 − 𝑦 = 1
𝑦 + 3𝑧 = 1
𝑘𝑧 − 6𝑧 = −2
 
Para que o sistema seja impossível, 
𝑘 − 6 = 0 → 𝑘 = 6 
Gabarito: C 
9. (EEAR-2002) O sistema de equações {
𝟑𝒙+ 𝟒𝒚 − 𝒛 = 𝟎
𝟐𝒙− 𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟎
𝒙 + 𝒚 = 𝟎
 
a) Não tem solução 
b) Tem infinitas soluções 
c) Tem apenas a solução trivial 
d) Tem uma única solução não trivial 
 
Comentário: 
Vamos escalonar o sistema proposto: 
{
𝑥 + 𝑦 = 0
3𝑥 + 3𝑧 = 0
−𝑥 − 𝑧 = 0
 → {
𝑥 + 𝑦 = 0
𝑥 + 𝑧 = 0
0 = 0
 
Ou seja, o sistema é possível e indeterminado. Logo, possui infinitas soluções. 
Gabarito: B 
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10. (EEAR-2002) Os valores de 𝒌 tais que o sistema homogêneo {
𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎
𝒙 −𝒌𝒚 + 𝒛 = 𝟎
𝒌𝒙 −𝒚 − 𝒛 = 𝟎
 admita apenas a solução 
tr ivial são: 
a) 𝒌 ≠ 𝟎 𝒆 𝒌 ≠ −𝟏 
b) 𝒌 ≠ 𝟏 𝒆 𝒌 ≠ −𝟏 
c) 𝒌 = 𝟎 𝒆 𝒌 = −𝟏 
d) 𝒌 ≠ 𝟏 𝒆 𝒌 ≠ −𝟐 
 
Comentário: 
Para que o sistema homogêneo admita somente solução trivial, ele deve ser possível e 
determinado. Logo, 
𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ 0 
Assim, 
|
1 1 2
1 −𝑘 1
𝑘 −1 −1
| = 𝑘 + 𝑘− 2+ 2𝑘2 + 1+ 1 = 2𝑘2 +2𝑘 
Ou seja, 
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 2𝑘(𝑘 + 1) ≠ 0 
Assim, 
𝑘 ≠ 0 𝑒 𝑘 ≠ −1 
Gabarito: A 
11. (EEAR-2003) Para que o sistema {
𝟑𝒙 +𝒎𝒚 = 𝟎
𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟎
 tenha solução diferente da imprópria, o valor de 𝒎 
deve ser 
a) 𝟗 
b) 𝟎 
c) 𝟏𝟎 
d) 𝟏𝟓 
 
Comentário: 
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 33 
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AULA 05 – SISTEMAS 
Para que o sistema tenha solução diferente da imprópria (ou trivial, ou nula) temos que esse 
sistema deve ser possível e indeterminado. Logo, 
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 
Assim, 
|
3 𝑚
1 3
| = 0 
9 −𝑚 = 0 → 𝑚 = 9 
Gabarito: A 
12. (EEAR-2004) Sendo 𝒂𝒃𝒄𝒅 ≠ 𝟎, para que o sistema {
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄
𝒑𝒙+ 𝒒𝒚 = 𝒅
 seja indeterminado, é necessário 
que 𝒑 𝒆 𝒒 sejam, respectivamente, 
a) 
𝒅𝒂
𝒄
 𝒆
𝒃𝒅
𝒄
 
b) 
𝒃𝒅
𝒄
 𝒆
𝒅𝒂
𝒄
 
c) 
𝒂𝒃
𝒄
 𝒆
𝒅
𝒄
 
d) 
𝒅
𝒄
 𝒆
𝒂𝒃
𝒄
 
 
Comentário: 
Utilizando o método de escalonamento, 
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑎𝑞
𝑝
𝑦 − 𝑏𝑦 =
𝑎𝑑
𝑝
− 𝑐
 → {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑦(
𝑎𝑞
𝑝
− 𝑏) =
𝑎𝑑
𝑝
− 𝑐
 
Sendo assim, para que esse sistema seja indeterminado, 
𝑎𝑞
𝑝
− 𝑏 = 0 𝑒
𝑎𝑑
𝑝
− 𝑐 = 0 
Logo, 
𝑝 =
𝑎𝑑
𝑐
 𝑒 𝑞 =
𝑏𝑝
𝑎
=
𝑏
𝑎
(
𝑎𝑑
𝑐
) =
𝑑𝑏
𝑐
 
Gabarito: A 
13. (EEAR-2004) Em uma escola há 𝟓𝟔 professores, entre homens e mulheres. Se a metade do número de 
mulheres é igual ao triplo do de homens, então o número de mulheres supera o de homens em 
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AULA 05 – SISTEMAS 
a) 𝟑𝟐 
b) 𝟑𝟔 
c) 𝟒𝟎 
d) 𝟒𝟒 
Comentário: 
Sejam ℎ o número de homens e 𝑚 o número de mulheres. Assim, 
ℎ + 𝑚 = 56 
E, além disso, 
𝑚
2
= 3ℎ → 𝑚 = 6ℎ 
Assim, 
ℎ + 6ℎ = 56 → 7ℎ = 56 → ℎ = 8 
𝑚 = 6ℎ → 𝑚 = 48 
Logo, o número de mulheres supera o de homens em 40 = 48− 8. 
Gabarito: C 
14. (EEAR-2005) Se a solução do sistema {
𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟎
𝒙 −𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟏
𝒙 +𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟒
 é {(𝒂,𝒃, 𝒄)}, então o valor de 𝒂. 𝒃.𝒄 é 
a) −𝟏𝟐 
b) −𝟏𝟖 
c) −𝟐𝟒 
d) −𝟑𝟎 
 
Comentário: 
Escalonando o sistema, teremos 
{
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 − 3𝑧 = 1
3𝑥 − 3𝑧 = 6
 → {
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 − 3𝑧 = 1
𝑥 = 5
 
Assim, 
𝑥 = 5, 𝑧 = 3 𝑒 𝑦 = −2 
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AULA 05 – SISTEMAS 
Logo, 
𝑎. 𝑏.𝑐 = 5. (−2).3 = −30 
Gabarito: D 
15. (EEAR-2006) O sistema {
𝒙 + 𝒚 = 𝟑
𝟐𝒙− 𝒎𝒚 = 𝟔
 é possível e determinado para: 
a) 𝒎 = 𝟐 
b) 𝒎 ≠ 𝟐 
c) 𝒎 = −𝟐 
d) 𝒎 ≠ −𝟐 
 
Comentário: 
Para ser possível e determinado, 
𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ 0 
|
1 1
2 −𝑚
| ≠ 0 → −𝑚 − 2 ≠ 0 
𝑚 ≠ −2 
Gabarito: D 
16. (EEAR-2007) Seja {
𝒙 +𝒎𝒚 = 𝟏
𝟒𝒙+ 𝟓𝒚 = 𝟐
 um sistema de equações do 𝟏° grau nas incógnitas 𝒙 𝒆 𝒚. Ele será 
impossível se o valor de 𝒎 for 
a) 
𝟓
𝟒
 
b) 
𝟑
𝟐
 
c) 
𝟓
𝟑
 
d) 𝟐 
 
Comentário: 
Escalonando o sistema acima, temos 
{
𝑥 + 𝑚𝑦 = 1
(5 − 4𝑚)𝑦 = −2
 
Para que seja impossível, 
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AULA 05 – SISTEMAS 
5 − 4𝑚 = 0 
𝑚 =
5
4
 
Gabarito: A 
17. (EEAR-2007) A tabela mostra os pedidos de 4 clientes em uma lanchonete. 
 
Se os clientes 𝟏, 𝟐 𝒆 𝟑 pagaram, respectivamente, 𝑹$𝟏𝟏,𝟏𝟎, 𝑹$𝟏𝟎,𝟎𝟎 𝒆 𝑹$𝟏𝟏,𝟗𝟎 por seus pedidos, 
então o cliente 𝟒 pegou 𝑹$ 
a) 𝟓,𝟎𝟎 
b) 𝟓,𝟏𝟎 
c) 𝟓, 𝟒𝟎 
d) 𝟓,𝟓𝟎 
 
Comentário: 
Seja 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐, respectivamente, o número de sucos de laranja, hambúrgueres e porções de batata 
frita. 
Sendo assim, podemos formar o sistema seguinte 
{
𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 11,10
3𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 = 10,00
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 11,90
 
Escalonando o sistema, temos 
{
𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 11,10
5𝑎 + 𝑐 = 8,90
−𝑎+ 7𝑐 = 9,50
 → {
𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 11,10
5𝑎+ 𝑐 = 8,90
36𝑐 = 56,4
 
Logo, 
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AULA 05 – SISTEMAS 
𝑐 =
4,7
3
, 𝑎 =
22
15
 𝑒 𝑏 =
37
15
 
Por fim, 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 5,50 
Gabarito: D 
18. (EEAR-2008) Se {
𝒂𝒙+ 𝟐𝒚 = −𝟏
𝟑𝒙+ 𝒃𝒚 = 𝟑
 𝒆 {
𝟐𝒙+ 𝒚 = 𝟏
𝒙 − 𝒚 = −𝟒
 são sistemas equivalentes, então o valor de 𝒂 +𝒃 é 
a) 𝟏𝟏 
b) 𝟗 
c) −𝟓 
d) −𝟕 
 
Comentário: 
Se os sistemas são equivalentes, eles possuem as mesmas soluções. Logo, 
{
2𝑥 + 𝑦 = 1
𝑥 − 𝑦 = −4
 → {
2𝑥 + 𝑦 = 1
3𝑥 = −3
 
Assim, 
𝑥 = −1 𝑒 𝑦 = 3 
Logo, para o outro sistema, 
{
𝑎(−1)+ 2.3 = −1
3(−1) + 𝑏. 3 = 3
 
Dessa forma, 
𝑎 = 7 𝑒 𝑏 = 2 
Por fim, 
𝑎 + 𝑏 = 9 
Gabarito: B 
19. (EEAR-2010) Para que o sistema {
𝒌𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝟎
𝟐𝒙−𝟒𝒚 − 𝒛 = 𝟏
−𝟑𝒙+𝟒𝒚 − 𝒛 = −𝟏
 seja possível e determinado, deve-se ter 
a) 𝒌 ≠
𝟗
𝟖
 
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AULA 05 – SISTEMAS 
b) 𝒌 ≠
𝟐
𝟓
 
c) 𝒌 =
𝟕
𝟔
 
d) 𝒌 =
𝟏
𝟑
 
 
Comentário: 
Para que o sistema seja possível e determinado, 
𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ 0 
|
𝑘 −1 1
2 −4 −1
−3 4 −1
| ≠ 0 
Assim, 
4𝑘 − 3 + 8 − 12− 2+ 4𝑘 ≠ 0 
8𝑘 ≠ 9 
𝑘 ≠
9
8
 
Gabarito: A 
20. (EEAR-2013) O valor de 𝒙 que é solução do sistema {
𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏
𝟐𝒙− 𝟑𝒚 = 𝟑
 é um número 
a) Par primo. 
b) Ímpar primo. 
c) Par não primo. 
d) Ímpar não primo. 
 
Comentário: 
Escalonandoo sistema, temos 
{
𝑥 − 2𝑦 = 1
𝑦 = 1
 
Logo, 
𝑦 = 1 𝑒 𝑥 = 3 
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AULA 05 – SISTEMAS 
Tem-se que o número 3 é um ímpar primo. 
Gabarito: B 
 
6.0 – Lista de Questões – Nível 2 
1. José e Maria, acompanhados de seu filho Pedro, queriam se pesar. Para tanto, utilizaram uma balança 
defeituosa que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Desta forma, eles se pesaram, dois 
a dois, e obtiveram os seguintes resultados: 
José e Pedro: 87kg 
José e Maria: 123kg 
Maria e Pedro: 66kg 
Diante desses resultados, pode-se concluir que: 
 
a) cada um deles pesa menos que 60 kg. 
b) dois deles pesam mais que 60 kg. 
c) José é mais pesado que Maria e Pedro juntos. 
d) Maria é a mais pesada dos três. 
e) o peso de Maria é a média aritmética dos pesos de José e Pedro. 
 
2. Numa partida de basquetebol, uma equipe, entre cestas de 2 (dois) pontos e 3 (três) pontos, fez 40 
cestas, totalizando 98 pontos. Pode-se dizer que o número de cestas de 3 (três) pontos dessa equipe 
foi de: 
a) 20 
b) 18 
c) 26 
d) 24 
e) 22 
 
3. Ao chegar a uma partida de basquete, um torcedor viu sua equipe perdendo por uma diferença de 30 
pontos. A partir desse momento essa equipe começou a reagir à razão de 3 pontos para cada ponto da 
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AULA 05 – SISTEMAS 
equipe adversária. Sabendo que a partida terminou empatada e o total de pontos marcados pelas duas 
equipes juntas foi de 120, pode-se dizer que o placar da partida no instante da chegada do torcedor 
era: 
a) 18 _ 48 
b) 20 _ 50 
c) 17 _ 47 
d) 15 _ 45 
e) 16 _ 46 
 
4. No Brasil, três turistas trocaram por reais, no mesmo dia e pelas mesmas cotações, as quantias que 
possuíam em dólares, libras e euros, da seguinte forma: 
Turista A: 10 dólares, 20 libras e 15 euros por 122 reais; 
Turista B: 15 dólares, 10 libras e 20 euros por 114 reais; 
Turista C: 20 dólares, 10 libras e 10 euros por 108 reais. 
O valor em reais recebido por uma libra foi: 
a) 2; 60 
b) 2; 80 
c) 3; 00 
d) 3; 20 
e) 3; 40 
 
5. No conjunto R, o sistema de equações {
𝒂𝒙 + 𝒚 = −𝟏
𝒙 + 𝟐𝒛 = 𝟎
𝒚 − 𝒛 = 𝟐
é: 
a) possível e determinado para todo 𝒂 ≠
𝟏
𝟐
. 
b) possível e indeterminado para a real qualquer. 
c) impossível para 𝒂 = −
𝟏
𝟐
. 
d) possível e indeterminado para 𝒂 = −
𝟏
𝟐
. 
e) impossível para 𝒂 =
𝟏
𝟐
. 
 
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AULA 05 – SISTEMAS 
6. Uma tropa realizou um exercício em que soldados, sargentos e oficiais executaram módulos 
padronizados de tiro, consumindo, individualmente, o número de munição estabelecido conforme o 
seu nível hierárquico. No primeiro dia atiraram 16 soldados, 8 sargentos e 4 oficiais, totalizando 96 
munições; no segundo dia, 5 soldados, 4 sargentos e 3 oficiais, totalizando 38 munições; no terceiro 
dia, 16 soldados, 4 sargentos e 1 oficial, totalizando 78 munições. Quantas munições foram usadas no 
quarto dia, quando atiraram 14 soldados, 8 sargentos e 2 oficiais? 
a) 78 
b) 80 
c) 82 
d) 84 
e) 86 
 
7. Em um grupo de três crianças de idades diferentes foi notado que a soma das duas idades menores 
menos a maior é igual a 2 anos e que a menor idade mais o dobro da maior é igual a 28 anos. As idades 
são números inteiros positivos. Dentre todas as possibilidades, existe uma em que a soma das idades 
das crianças é a maior possível, observando-se sempre o fato de as crianças terem idades diferentes. 
Essa soma, em anos, é: 
a) 20 
b) 22 
c) 24 
d) 26 
e) 28 
 
8. Em uma bolsa existem peças em formatos de triângulos, quadrados e pentágonos, nas quantidades de 
x tr iângulos, y quadrados e z pentágonos. Sabendo-se que a soma das quantidades de peças é igual a 
10; que, se somarmos as quantidades de vértices de todas as peças, obtemos 37; e que a quantidade 
de triângulos é igual à soma das quantidades de quadrados e pentágonos, o valor de 2x + 3y + z é igual 
a: 
a) 21 
b) 19 
c) 15 
d) 10 
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AULA 05 – SISTEMAS 
e) 8 
 
9. A soma das idades dos amigos Pedro, José e Ivo é igual a 60. Sabe-se que a soma da idade de José com 
a diferença entre as idades de Pedro e Ivo (nesta ordem) é igual a 30 e que o dobro da idade de Pedro 
mais a idade de José, menos a idade de Ivo é igual a 55. Assim, a idade de José é: 
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
e) 30 
 
10. Um investidor possui ações das companhias A, B e C. A tabela abaixo fornece, em 3 dias consecutivos, 
as variações, em Reais, dos valores das ações e o lucro obtido em cada dia, também em Reais. Os valores 
negativos correspondem a desvalorizações, e os valores positivos a valorizações. 
 
 
Variação (R$) 
Lucro total (R$) 
A B C 
Dia 1 4 5 -2 800 
Dia 2 1 2 -1 200 
Dia 3 2 3 3 1700 
 
Sabendo que o investidor não comprou nem vendeu ações nesses dias, pode-se afirmar que a soma 
das quantidades de ações das companhias A, B e C que ele possui é: 
a) 700 
b) 600 
c) 550 
d) 400 
e) 350 
 
11. Para que o sistema linear {
𝟐𝒙+ 𝒚 = 𝟓
𝒂𝒙+ 𝟐𝒚 = 𝒃
 seja possível e indeterminado, o valor de 𝒂+ 𝒃 é: 
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a) -1 
b) 4 
c) 9 
d) 14 
e) 19 
 
12. A figura abaixo é formada por um dispositivo de forma triangular em que, nos vértices e nos pontos 
médios dos lados, estão representados alguns valores, nem todos conhecidos. Sabe-se que a soma dos 
valores correspondentes a cada lado do triângulo é sempre 24. 
Assim, o valor numérico da expressão 𝒙 − 𝒚 .𝒛 é: 
 
 
a) -2 
b) -1 
c) 2 
d) 5 
e) 10 
 
13. Para que o sistema linear {
𝒙 + 𝒚 +𝒂𝒛 = 𝟏
𝒙 + 𝟐𝒚+ 𝒛 = 𝟐
𝟐𝒙+ 𝟓𝒚− 𝟑𝒛 = 𝒃
, em que 𝒂 e 𝒃 são reais, seja possível e indeterminado, 
o valor de 𝒂 + 𝒃 é igual a: 
a) 10 
b) 11 
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c) 12 
d) 13 
e) 14 
 
14. Considere o sistema linear homogêneo {
𝒙 − 𝟑𝒚 +𝒌𝒛 = 𝟎
𝟑𝒙+ 𝒌𝒚 + 𝒛 = 𝟎
𝒌𝒙 + 𝒚 = 𝟎
 onde k é um número real. O único valor que 
torna o sistema, acima, possível e indeterminado, pertence ao intervalo: 
a) (-4; -2] 
b) (-2; 1] 
c) (1; 2] 
d) (2; 4] 
e) (4; 6] 
 
6.1 – Gabarito 
1. “C” 
2. “B” 
3. “D” 
4. “D” 
5. “E” 
6. “D” 
7. “D” 
8. “A” 
9. “C” 
10. “B” 
11. “D” 
12. “A” 
13. “B” 
14. “B” 
 
 
 
 
 
 
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7.0 – Lista de Questões Comentadas – Nível 2 
1. José e Maria, acompanhados de seu filho Pedro, queriam se pesar. Para tanto, utilizaram uma balança 
defeituosa que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Desta forma, eles se pesaram, dois 
a dois, e obtiveram os seguintes resultados: 
José e Pedro: 87kg 
José e Maria: 123kg 
Maria e Pedro: 66kg 
Diante desses resultados, pode-se concluir que: 
 
a) cada um deles pesa menos que 60 kg. 
b) dois deles pesam mais que 60 kg. 
c) José é mais pesado que Maria e Pedro juntos. 
d) Maria é a mais pesada dos três. 
e) o peso de Maria é a média aritmética dos pesos de José e Pedro. 
Comentários 
 Temos o seguinte sistema linear, onde João é J, Pedro é P e Maria é M. 
{ 
𝐽 + 𝑃 = 87
𝐽 + 𝑀 = 123
𝑀+ 𝑃 = 66
⇒ 2𝐽 + 2𝑃 + 2𝑀 = 276 ⇒ 𝐽 + 𝑃 +𝑀 = 138 ⇒ {
𝐽 = 72
𝑃 = 15
𝑀 = 51
 
 Com os pesos acima, podemos saber que José é mais pesado que Maria e Pedro juntos. 
Gabarito: “C” 
2. Numa partida de basquetebol, uma equipe, entre cestas de 2 (dois) pontos e 3 (três) pontos, fez 40 
cestas, totalizando 98 pontos. Pode-se dizer que o número de cestas de 3 (três) pontos dessa equipe 
foi de: 
a) 20 
b) 18 
c) 26 
d) 24 
e) 22 
Comentários 
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 Seja 𝑎 as cestas feitas de 2 pontos e 𝑏 as cestas feitas de 3 pontos. Com isso, podemos fazer o 
seguinte sistema: 
{
𝑎 + 𝑏 = 40
2𝑎 + 3𝑏 = 98 
⇒ 2𝑎 + 3𝑏 − 2𝑎 − 2𝑏 = 98− 80 = 18 ⇒ {𝑏 = 18
𝑎 = 22
 
 Logo, podemos afirmar que o número de cestas de 3 marcadas será 18. 
Gabarito: “B” 
3. Ao chegar a uma partida de basquete, um torcedor viu sua equipe perdendo por uma diferença de 30 
pontos. A partir desse momento essa equipe começou a reagir à razão de 3 pontos para cada ponto da 
equipe adversária. Sabendo que a partida terminou empatada e o total de pontos marcados pelas duas 
equipes juntas foi de 120, pode-se dizer que o placar da partida no instante da chegada do torcedor 
era: 
a) 18 e 48 
b) 20 e 50 
c) 17 e 47 
d) 15 e 45 
e) 16 e 46 
Comentários 
Tome a pontuação do time A no qual estava ganhando na chegada do torcedor como 𝑎 e 𝑏 a 
pontuação do outro time B. Dessa forma, temos que dado 𝑝 a pontuação ganhada pós a chegada 
do torcedor pelo time A: 
{
𝑎 − 𝑏 = 30
𝑎 + 𝑏 + 4𝑝 = 120
𝑎 + 𝑝 = 𝑏 + 3𝑝
⇒ {
𝑎 + 𝑏 = 120 − 4𝑝
30 = 2𝑝 ⇒ 𝑝 = 15
⇒ {𝑎+ 𝑏 = 60
𝑎− 𝑏 = 30
⇒ 𝑎 = 45, 𝑏 = 15 
Logo a pontuação da partida na chegada do torcedor será 15 e 45. 
Gabarito: “D” 
4. No Brasil, três turistas trocaram por reais, no mesmo dia e pelas mesmas cotações, as quantias que 
possuíam em dólares, libras e euros, da seguinte forma: 
Turista A: 10 dólares, 20 libras e 15 euros por 122 reais; 
Turista B: 15 dólares, 10 libras e 20 euros por 114 reais; 
Turista C: 20 dólares, 10 libras e 10 euros por 108 reais. 
O valor em reais recebido por uma libra foi: 
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a) 2,60 
b) 2,80 
c) 3,00 
d) 3,20 
e) 3,40 
Comentários 
 Seja 𝑑 dólar, 𝑙 libra e 𝑒 euro, temos: 
{ 
10𝑑 + 20𝑙 + 15𝑒 = 122
15𝑑 + 10𝑙 + 20𝑒 = 114
20𝑑 + 10𝑙 + 10𝑒 = 108
⇒ {
5𝑑 − 10𝑒 = −6
30𝑑 + 5𝑒 = 94
⇒65𝑑 = 182 ⇒ 𝑑 = 2,8 
10𝑒 = 5.2,8 + 6 = 20 ⇒ 𝑒 = 2 
20𝑙 = 122 − 28− 30 = 64 ⇒ {
𝑒 = 2
𝑑 = 2,8
𝑙 = 3,2
 
 Assim, o valor de uma libra em reais será 3,20. 
Gabarito: “D” 
5. No conjunto R, o sistema de equações {
𝒂𝒙 + 𝒚 = −𝟏
𝒙 + 𝟐𝒛 = 𝟎
𝒚 − 𝒛 = 𝟐
é: 
a) possível e determinado para todo 𝒂 ≠
𝟏
𝟐
. 
b) possível e indeterminado para a real qualquer. 
c) impossível para 𝒂 = −
𝟏
𝟐
. 
d) possível e indeterminado para 𝒂 = −
𝟏
𝟐
. 
e) impossível para 𝒂 =
𝟏
𝟐
. 
Comentários 
 Analisando o sistema linear, temos que: 
{
𝑎𝑥 + 𝑦 = −1
𝑥 + 2𝑧 = 0
𝑦 − 𝑧 = 2
⇒ {
2𝑎𝑥 + 2𝑦 = −2
𝑥 + 2(𝑦− 2) = 0
⇒ {
2𝑎𝑥 + 2𝑦 = −2
𝑥 + 2𝑦 = 4
⇒ (1− 2𝑎)𝑥 = 6 ⇒ 𝑥 =
6
1− 2𝑎
 
Notemos que caso 𝑎 =
1
2
⇒ 1− 2𝑎 = 0, dessa forma, como o denominador será zero tornando o 
sistema impossível. 
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Gabarito: “E” 
6. Uma tropa realizou um exercício em que soldados, sargentos e oficiais executaram módulos 
padronizados de tiro, consumindo, individualmente, o número de munição estabelecido conforme o 
seu nível hierárquico. No primeiro dia atiraram 16 soldados, 8 sargentos e 4 oficiais, totalizando 96 
munições; no segundo dia, 5 soldados, 4 sargentos e 3 oficiais, totalizando 38 munições; no terceiro 
dia, 16 soldados, 4 sargentos e 1 oficial, totalizando 78 munições. Quantas munições foram usadas no 
quarto dia, quando atiraram 14 soldados, 8 sargentos e 2 oficiais? 
a) 78 
b) 80 
c) 82 
d) 84 
e) 86 
Comentários 
Temos o seguinte sistema linear com 𝑠 sendo os soldados, 𝑔 os sargentos e 𝑜 os oficiais: 
{
16𝑠 + 8𝑔 + 4𝑜 = 96
5𝑠 + 4𝑔 + 3𝑜 = 38
16𝑠 + 4𝑔 + 1𝑜 = 78
⇒ {
4𝑔 + 3𝑜 = 18
6𝑔 + 7𝑜 = 32
⇒ 5𝑜 = 10 ⇒ 𝑜 = 2, 𝑔 = 3 
5𝑠 + 4.3 + 3.2 = 38 ⇒ 5𝑠 = 20 ⇒ 𝑠 = 4 
Logo a quantidade de munição atirada por 14 soldados, 8 sargentos e 2 oficiais é: 
14𝑠 + 8𝑔+ 2𝑜 = 14.4 + 8.3 + 2.2 = 84 
Gabarito: “D” 
7. Em um grupo de três crianças de idades diferentes foi notado que a soma das duas idades menores 
menos a maior é igual a 2 anos e que a menor idade mais o dobro da maior é igual a 28 anos. As idades 
são números inteiros positivos. Dentre todas as possibilidades, existe uma em que a soma das idades 
das crianças é a maior possível, observando-se sempre o fato de as crianças terem idades diferentes. 
Essa soma, em anos, é: 
a) 20 
b) 22 
c) 24 
d) 26 
e) 28 
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AULA 05 – SISTEMAS 
Comentários 
Tomemos o sistema linear com 3 crianças 𝑎, 𝑏 e 𝑐 tal que 𝑎 < 𝑏 < 𝑐: 
{
𝑎 + 𝑏 − 𝑐 = 2
𝑎 + 2𝑐 = 28
⇒ 𝑎 + (𝑎+ 𝑏 + 𝑐) = 30 
Logo, para a soma das idades ser a maior possível, 𝑎 deverá ser o menor possível. Também, 
notamos que: 
2|28 = 𝑎 + 2𝑐 ⇒ 2|𝑎, 
Assim, testando o menor 𝑎 possível é 2. Testando o seguinte caso: 
𝑎 + 2𝑐 = 28 ⇒ 2𝑐 = 26 ⇒ 𝑐 = 13 
𝑎 + 𝑏 − 𝑐 = 𝑏 − 11 = 2 ⇒ 𝑏 = 13 
Como a idade das crianças é diferente, o caso de 𝑎 = 2 é absurdo. Assim, testando o caso de 𝑎 =
4. 
𝑎 + 2𝑐 = 28 ⇒ 2𝑐 = 24 ⇒ 𝑐 = 12 
𝑎 + 𝑏 − 𝑐 = 𝑏 − 8 = 2 ⇒ 𝑏 = 10 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 4+ 10+ 12 = 26 
Gabarito: “D” 
8. Em uma bolsa existem peças em formatos de triângulos, quadrados e pentágonos, nas quantidades de 
x tr iângulos, y quadrados e z pentágonos. Sabendo-se que a soma das quantidades de peças é igual a 
10; que, se somarmos as quantidades de vértices de todas as peças, obtemos 37; e que a quantidade 
de triângulos é igual à soma das quantidades de quadrados e pentágonos, o valor de 2x + 3y + z é igual 
a: 
a) 21 
b) 19 
c) 15 
d) 10 
e) 8 
Comentários 
Podemos formar o seguinte sistema linear: 
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AULA 05 – SISTEMAS 
{
𝑥 + 𝑦+ 𝑧 = 10
3𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 = 37
𝑥 = 𝑦 + 𝑧
⇒ {
2𝑥 = 10 ⇒ 𝑥 = 5
3𝑥 + 4𝑥 + 𝑧 = 37
 
𝑧 = 37 − 7.5 = 2 ⇒ 𝑦 = 𝑥 − 𝑧 = 3 ⇒ {
𝑥 = 5
𝑦 = 3
𝑧 = 2
 
Logo, o valor de 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 é 2.5+3.3+2=21 
Gabarito: “A” 
9. A soma das idades dos amigos Pedro, José e Ivo é igual a 60. Sabe-se que a soma da idade de José com 
a diferença entre as idades de Pedro e Ivo (nesta ordem) é igual a 30 e que o dobro da idade de Pedro 
mais a idade de José, menos a idade de Ivo é igual a 55. Assim, a idade de José é: 
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
e) 30 
Comentários 
Temos o seguinte sistema linear com 𝑃 sendo Pedro, 𝐽 sendo José e 𝐼 sendo Ivo: 
{
𝑃 + 𝐽 + 𝐼 = 60
𝐽 + 𝑃 − 𝐼 = 30
2𝑃 + 𝐽 − 𝐼 = 55
⇒ {
2𝐼 = 30 ⇒ 𝐼 = 15
𝑃+ 𝐽 = 45
2𝑃 + 𝐽 = 70
⇒ 𝑃 = 25,𝐽 = 20 
Logo, temos que a idade de José é 20. 
Gabarito: “C” 
10. Um investidor possui ações das companhias A, B e C. A tabela abaixo fornece, em 3 dias consecutivos, 
as variações, em Reais, dos valores das ações e o lucro obtido em cada dia, também em Reais. Os valores 
negativos correspondem a desvalorizações, e os valores positivos a valorizações. 
 
 
 
Variação (R$) 
Lucro total (R$) 
A B C 
Dia 1 4 5 -2 800 
Dia 2 1 2 -1 200 
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Dia 3 2 3 3 1700 
 
Sabendo que o investidor não comprou nem vendeu ações nesses dias, pode-se afirmar que a soma 
das quantidades de ações das companhias A, B e C que ele possui é: 
a) 700 
b) 600 
c) 550 
d) 400 
e) 350 
Comentários 
Tomando o sistema linear proposto: 
{
4𝐴 + 5𝐵 − 2𝐶 = 800
𝐴 + 2𝐵 −𝐶 = 200
2𝐴+ 3𝐵 + 3𝐶 = 1700
⇒ {
2𝐴+ 𝐵 = 400
5𝐴+ 9𝐵 = 2300
⇒ 13𝐵 = 2600 ⇒ 𝐵 = 200, 𝐴 = 100 
𝐶 = 100 + 2.200 − 200 = 300 
Logo a soma das ações será 100+200+300=600. 
Gabarito: “B” 
11. Para que o sistema linear {
𝟐𝒙+ 𝒚 = 𝟓
𝒂𝒙+ 𝟐𝒚 = 𝒃
 seja possível e indeterminado, o valor de 𝒂+ 𝒃 é: 
a) -1 
b) 4 
c) 9 
d) 14 
e) 19 
Comentários 
Analisando o sistema, temos que para ser possível e indeterminado, uma equação deve ser uma 
combinação linear de outras duas. Assim: 
{
2𝑥 + 𝑦 = 5
𝑎𝑥 + 2𝑦 = 𝑏
⇒ {
4𝑥 +2𝑦 = 10
𝑎𝑥 + 2𝑦 = 𝑏
 
Logo, para que uma equação seja a outra multiplicada por um escalar, temos que: 
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{
𝑎 = 4
𝑏 = 10
 
Assim, 𝑎+ 𝑏 = 14. 
Gabarito: “D” 
12. A figura abaixo é formada por um dispositivo de forma triangular em que, nos vértices e nos pontos 
médios dos lados, estão representados alguns valores, nem todos conhecidos. Sabe-se que a soma dos 
valores correspondentes a cada lado do triângulo é sempre 24. 
Assim, o valor numérico da expressão 𝒙 − 𝒚 .𝒛 é: 
 
 
a) -2 
b) -1 
c) 2 
d) 5 
e) 10 
Comentários 
Analisando a figura podemos afirmar o seguinte sistema linear: 
{
𝑥 + 𝑦+ 5 = 24
𝑥 + 𝑧 + 10 = 24
𝑦+ 𝑧 + 15 = 24
⇒ {
𝑥 + 𝑦 = 19
𝑥 + 𝑧 = 14
𝑦 + 𝑧 = 9
⇒ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 21 ⇒ {
𝑥 = 12
𝑦 = 7
𝑧 = 2
 
Logo, podemos afirmar que 𝑥 − 𝑦. 𝑧 = 12 − 14 = −2. 
Gabarito: “A” 
 
 
 
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13. Para que o sistema linear {
𝒙 + 𝒚 +𝒂𝒛 = 𝟏
𝒙 + 𝟐𝒚+ 𝒛 = 𝟐
𝟐𝒙+ 𝟓𝒚− 𝟑𝒛 = 𝒃
, em que 𝒂 e 𝒃 são reais, seja possível e indeterminado, 
o valor de 𝒂 + 𝒃 é igual a: 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 14 
Comentários 
Analisando o sistema, temos que para ser possível e indeterminado, uma equação deve ser uma 
combinação linear de outras duas. Assim: 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑎𝑧 = 1
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 + 5𝑦 − 3𝑧 = 𝑏
⇒ {
𝑦+ (1 − 𝑎)𝑧 = 1
3𝑦+ (−3− 2𝑎)𝑧 = 𝑏 − 2
 
Logo, para que uma equação seja a outra multiplicada por um escalar, temos que: 
{
𝑦 + (1 − 𝑎)𝑧 = 1
3𝑦 + (−3− 2𝑎)𝑧 = 𝑏 − 2
⇒{
3𝑦+ 3(1 − 𝑎)𝑧 = 3
3𝑦+ (−3− 2𝑎)𝑧 = 𝑏 − 2
⇒ {3
(1 − 𝑎) = −3− 2𝑎
3 = 𝑏 − 2
 
⇒ 𝑎 = 6 ,𝑏 = 5 
Assim, 𝑎+ 𝑏 = 11. 
Gabarito: “B” 
14. Considere o sistema linear homogêneo {
𝒙 − 𝟑𝒚 +𝒌𝒛 = 𝟎
𝟑𝒙+ 𝒌𝒚 + 𝒛 = 𝟎
𝒌𝒙 + 𝒚 = 𝟎
 onde k é um número real. O único valor que 
torna o sistema, acima, possível e indeterminado, pertence ao intervalo: 
a) (-4; -2] 
b) (-2; 1] 
c) (1; 2] 
d) (2; 4] 
e) (4; 6] 
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AULA 05 – SISTEMAS 
Comentários 
 Para que o sistema linear do problema seja possível e indeterminado, inicialmente o 
determinante dos coeficientes deverá ser nulo. 
[
1 −3 𝑘
3 𝑘 1
𝑘 1 0
] = −𝑘3 −1 = 0 ⇒ 𝑘 = −1 
 Como o sistema linear é homogêneo, logo existe a solução trivial (0,0,0), assim temos que o k 
que faz o sistema ser possível e indeterminado pertence ao intervalo (-2;1]. 
Gabarito: “B” 
8.0 – Versões das Aulas 
 
Caro aluno! Para garantir que o curso esteja atualizado, sempre que alguma mudança 
no conteúdo for necessária, uma nova versão da aula será disponibilizada. 
 
9.0 – Considerações Finais 
É isso, meu querido! Finalizamos a nossa aula. Espero que tenham gostado! 
Restando qualquer dúvida, estou à disposição no fórum de dúvidas. Pode usar sem moderação!! 
Mantenham a pegada, a sua aprovação está mais perto que imagina! 
Qualquer crítica, sugestão ou elogio, só mandar mensagem no fórum! 
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Vamos que vamos! Fé na missão! 
 
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