Matemática - Livro 1-151-153

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F
R
E
N
T
E
 2
151
Chamando
x
y
m= , temos:
y m m m m
y m m m m m m m m
4 4 3 2
4 4 3 2 3 2 2
2 3 4 1
3 3 3 1
+( ) =
= ( ) + ( ) + ( )  =
= ( ) + ( ) + ( )  =
= − −( )⋅ +
y m m m m m m m m
y m m m
4 2 2 2 2
4 2 2
1 3 1 1 1
1 3mm+( )1
Voltando com m
x
y
= , temos:
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
y
x
y
y
x
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 3 1
1




⋅ + +




=
= − −




.
yy
x
y
x xy y x xy y
2
2 2 2 2
3 1
3
+ +




=
= ( ) ⋅ + +( )
Nós abordamos os casos principais e necessários dos produtos notáveis.
ax ay a x y
ax ay bx by a x y b x y x y a b
a b a b
+ ≡ +( )
+ + + ≡ +( )+ +( ) ≡ +( ) +( )
− ≡ +(2 2 )) −( )
+ + ≡ +( ) + ≡ ( )
+ +( ) +
a b
a ab b a b ou a ab b a b
x r r x r
2 2 2 2 2 2
2
1 2
2 2
11 2 1 2
3 3 2 2 3 3 2
⋅ ≡ +( ) +( )
+ ≡ +( ) +( ) ≡ ( )
r x r x r
a b a b a ab b ou a b a b a ++ +( )ab b2
Atenção
Equações recíprocas
Uma equação é chamada de recíproca quando for igual
a sua transformada recíproca, isto é, se x1 é uma de suas
raízes, então 1
x
1
 também o será.
Dada a equação x x x x4 3 23 7 3 1 0+ + = , sua trans
formada recíproca é 1 3
1
7
1
3
1
1 0
4 2
y y y y








+ 







+ =
3
ou y y y y4 3 23 7 3 1 0+ + = , que é a mesma equação da
qual se partiu
A primeira vista, pode parecer que nas equações
recíprocas os coeficientes dos termos equidistantes dos
extremos devem ser iguais. Contudo, nem sempre isso
ocorre, pois também são recíprocas equações do tipo:
x x x x x
5 4 3 2
3 6 6 3 1 0+ + = .
E como é resolvido esse tipo de equação recíproca?
Vejamos um exemplo que ilustra o método de solução:
Seja a equação 4x4 5x3 + 7x2 5x + 4 = 0
Dividindo-a por x2 0≠ , tem-se 4 5 7 5 4 02
2
x x
x x
+ + =
Seja x
x
y+ =1 . Portanto, x
x
y x
x
2
2
2 2
2
2
1 1+ + = + =⇔
y
2
2=
De modo que:
4 5 7
5 4
0 4
4
5
5
7 0
4
1
5
2
2
2
2
2
2
x x
x x
x
x
x
x
x
x
x
− + − + = ⇔ + − − + = ⇔
⇔ +

 − +
11
7 0
4 2 5 7 0 4 5 1 0
5
2 2
x
y y y y
y



 + = ⇔
⇔ −( ) − + = ⇔ − − = ∴
∴ = ± 441
8
Assim, x
x
x x+ ± ∴ − ±



+ =1 5 41
8
5 41
8
1 0
2
= de
onde resultam as 4 raízes procuradas.
Problemas do 1o e 2o graus
Na sequência estudaremos a resolução desses pro-
blemas, porém, antes de transformarmos as frases em
números, explanaremos as equações e seus elementos.
Equação algébrica
Chama-se de equação uma sentença matemática aber
ta que exprime uma relação de igualdade. São equações:
5y – 3 = 7 3x2 – 5x – 2 = 0 3x = 5
Observação: Numa equação, tudo que antecede o sinal de igualdade é
denominado 1o membro e tudo que sucede o sinal de igualdade é deno-
minado 2o membro Assim, na equação 2x 3 = 5 temos que 2x 3 é o
1o membro e 5 é o 2o membro.
A incógnita de uma equação é o ÚNICO VALOR que podemos
substituir na mesma para que tenhamos uma sentença verdadeira.
Na equação x + y = 7, temos que x = 1 e y = 6, x = 4 e y = 3, x = –2 e
y = 9, , e muitos outros valores x e y tornam a sentença verdadeira
Dessa forma, x e y não são incógnitas, mas sim variáveis da equação
Saiba mais
Equação do 1o grau
Numa equação do 1o grau temos como forma geral de
representação:
ax b+ = 0
1o
0
+
∈ ∈( )
membro ax b
membro
coeficientes a e b a b
incógnita
:
:
: ,
:
R R
xx






2o
Exemplos:
2x – 5 = 0 x + 4 = 7 –7x + 9 = 1 32x = 0
Resolver uma equação corresponde a encontrar o va-
lor de sua incógnita (que chamamos de raiz). No caso das
equações do 1o grau, encontraremos de um modo muito
simples sua única raiz.
Teoricamente: ax b ax b x
b
a
+ = ⇒ = − ⇒ = −0
b
a
 é a solução da equação do 1o grau
MATEMÁTICA Capítulo 2 Sentenças matemáticas e modelagens algébricas152
Exemplos:
5 10 0
5 10
10
5
2
x
x
x
x
=
=
=
=
7 4 2
7 2 4
9 4
4
9
x x
x x
x
x
=
+ =
=
=
+ =
=
=
−
=
2 1 2
2 1
1
2
1
2
x
x
x
x
O conjunto solução ou conjunto verdade de uma equa-
ção é o conjunto de todos os valores que a tornam uma
sentença verdadeira, ou seja, são os números que fazem
com que o 1o membro fique igual ao 2o membro.
Como a equação do 1o grau deve admitir uma única raiz,
seu conjunto solução será um conjunto unitário. Observe:
5 10 0x
S
− =
= { }2
7 4 2
4
9
x x
S
= −
= { }
− + =
= { }
2 1 2
1
2
x
S
Equações equivalentes
Também chamadas de simultâneas, são equações de
mesmo grau que admitem o mesmo conjunto solução.
Exemplos:
y 2x 4 = 0 e x 1 = 1, pois em ambos os casos o con-
junto solução é S = {2};
y 7x + 1 = 0 e 3 = –21x, pois em ambos os casos o con-
junto solução é S = −{ }17 .
Casos especiais
Observe a seguir casos que apresentam soluções que
merecem destaque, apesar de terem suas resoluções ri-
gorosamente comuns:
2 3 6
2 6 6
2 0
0
2
0
x
x
x
x
x
S
+( ) =
+ =
=
=
=
= { }0
2 5
4 10
2
2 2 5 4 10
4 10 4 10
4 4 10 10
0 0
0 0
x
x
x x
x x
x x
x
S
+ = +
+( ) = +
+ = +
− = −
=
=
= ℝ
3 1 3 2
3 1 3 6
3 3 6 1
0 5
0 5
x x
x x
x x
x
S
+ = +( )
+ = +
=
=
=
= ∅
Equação do 2o grau
Chamamos de equação do 2o grau, toda equação da
forma ax2 + bx + c = 0, com a∈ℝ* e b c, ∈ℝ. A incógnita
é x e os números a, b e c são chamados de coeficientes.
Exemplos:
a) 3x2 – 5x + 9 = 0
a
b
c
=
= −
=




3
5
9
b) –2x2 + 7x = 0
a
b
c
= −
=
=




2
7
0
c) x2 4 = 0
a
b
c
=
=
=




1
0
4
d) 7x2 = 0
a
b
c
=
=
=




7
0
0
Equações incompletas do 2o grau
Chamamos de equações incompletas as equações
cujos coeficientes b e/ou c são iguais a zero
1o caso: b = 0 → ax2 + c = 0
Exemplos:
3 12 0
3 12
4
2
2
2
2
2
x
x
x
x
S
=
=
=
= ±
= ±{ }
x
x
x
S
2
2
3 0
3
+ =
= −
∉
= ∅
ℝ
Observação: Uma equação do 2o grau incompleta em b, quando tem solu-
ção, apresenta raízes opostas (simétricas)
2o caso: c = 0  → ax2 + bx = 0
Exemplos:
x x
x x
x ou
x
x
S
2
5 0
5 0
0
5 0
5
0 5
=
( ) =
=
=
=
= { },
− − =
− +( ) =
= ⇒ =
+ = ⇒ = −
= { }
3 6 0
3 2 0
3 0 0
2 0 2
0 2
2
x x
x x
x x
x x
S ,
Observação: Uma equação do 2o grau incompleta em c sempre tem so-
lução e uma das raízes é zero.
3o caso: b = c = 0 → ax2 = 0
Exemplos:
5 0
0
0
0
2
2
x
x
x
S
=
=
=
= { }
=
=
=
= { }
7
3
0
0
0
0
2
2
x
x
x
S
Observação: Uma equação do 2o grau incompleta em b e c sempre tem
solução igual a zero, assim, já fica implícita a correspondência para o caso
de Δ = 0. Em casos como esse, com um par de raízes iguais, dizemos que
a raiz é de “multiplicidade dois”
Equações completas
Chamamos de equações completas aquelas cujos coe-
ficientes a, b e c são diferentes de zero.
Em qualquer equação do 2o grau podemos optar por
formas de resolução. Uma forma de resolver qualquer
equação (incompleta ou completa) é através da fórmula
a seguir:
são
equação do 2o grau
F
R
E
N
T
E
 2
153
Exemplo: Resolver a equação 3x2 + x – 2 = 0.
Δ = ⋅ ⋅ ( ) = + =1 4 3 2 1 24 252
x
x
x
= − ±
⋅
= − ±
= = − = −
=
+
= =
1 25
2 3
1 5
6
1 5
6
6
6
1
1 5
6
4
6
2
3
1
2
�

Portanto, S = { }1 23,
Discussão de raízes
Podemos dizer qual é o número de raízes reais de uma
equação do 2o grau com coeficientes reais, observando o
valor do discriminante da equação, assim:
y Se Δ > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas.
y Se Δ < 0, a equação não possui raízes reais (possui
duas raízes não reais).
y Se Δ = 0, a equação possui duas raízes reais e iguais.
Exemplos:
1. Determine m de modo que a equação –5x2 + 7x – 3m = 0
não admita raízes reais.
Se a equação não deve admitir raízes reais então
∆ < 0, logo:
72 – 4 ⋅ (–5) ⋅ (–3m) < 0 ⇒ 49 – 60m < 0 ⇒
⇒ –60m < –49 ⇒ 60m > 49 ⇒ m >
49
60
2. Determine o maior valor inteiro de k para que a equa-
ção kx2 – 6x + 2 = 0 admita raízes reais.
Para que a equação admita raízes reais devemos ter
Δ ≥ 0, logo:
−( ) ⋅ ⋅ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒6 4 2 0 36 8 0 8 362 k k k k
⇒ ≤ ⇒ ≤ ∴ ≤36
8
9
2
k 8k 36 k
Soma e produto das raízes
(relações de Girard)
Numa equação do 2o grau que tenha como coeficientes
números reais,podemos demonstrar uma relação existente
entre suas raízes e seus coeficientes
Seja a equação ax bx c2 0+ + = com a ≠ 0 e sejam as
raízes: x
b
a
1
2
= − − Δ e x
b
a
2
2
= − + Δ
Vamos estabelecer as seguintes relações:
y Soma das raízes:
x x
b
a
b
a
b
a
b
a
1 2
2 2
2
2
+ = − − + − + = − =Δ Δ
y Produto das raízes:
x x
b
a
b
a
b
a
1 2
2
22 2 4
⋅ = − −



⋅ − +



= − =Δ Δ Δ
b b ac
a
ac
a
2 2
2
4
4
4
4
= + =
22
= c
a
Exemplos:
a) 2
Soma:
Produto:
x x
x e x
2
1 2
10 12 0
10
2
5
12
2
6 2 3
+ =
( )
=
= ⇒ = = ⇒ S = { }2 3,
b) x x2 3 7 21 0
3 7
1
3 7
− +( ) + =
− − +( )  = +Soma:
Produtoo:
21
1
21 3 7 3 71 2= ⇒ = = ⇒ = { }x e x S ,
Forma fatorada da equação do 2o grau
Chamamos a forma fatorada de uma equação do
 2
o grau como “trinômio do 2o grau”.
ax2 + bx + c = 0 → a(x x1)(x x2) = 0, onde x1 e x2
são as raízes da equação.
Exemplos:
a) 2 10 12 0
2 3
2
1 2
x x
x e x
+ =
= = ( ) ( )⋅ ⋅
Forma fatorada:
2 x 2 x 3
b) 5 9 2 0
2
1
5
2
1 2
x x
x e x
+ − =
= = ( )⋅ + ⋅


Forma fatorada:
5 x 2 x
1
5
c) x x
x e x
2
1 2
3 7 21 0
3 7
+( ) + =
= = ( ) ( )⋅ − ⋅ −
Forma fatorada:
1 x 3 x 7
Equações biquadradas e equações
irracionais
Algumas equações podem ser transformadas ou re-
duzidas a equações do 2o grau. Chamamos de equação
biquadrada e de equação irracional, respectivamente, ao
1o e o 2o caso a seguir:
1
o
 caso: y4 3y2 + 2 = 0
Chamando y2 = m, temos:
m2 – 3m + 2 = 0⇒ m = 1 ou m = 2
Assim:
y y
y y
2
2
1 1
2 2
= ⇒ = ±
= ⇒ = ±




Portanto, S = ± ±{ }1 2,
2
o
 caso: 3 4 8x x+ =
Elevando ao quadrado ambos os membros:
3x + 4 = (x 8)2 ⇒ 3x + 4 = x2 16x + 64⇒
⇒ x2 19x + 60 = 0
As raízes são x = 4 (não convém) ou x = 15.
Portanto, S = { }15 .
Passagens da resolução de uma equação
Já vimos que uma equação polinomial de grau n ad-
mite um conjunto solução com no máximo n elementos
distintos, qualquer que seja o domínio da variável Esse
fato é consequência direta do teorema fundamental da Ál-
gebra, que, embora seja o alicerce de nosso estudo atual,
será abordado apenas no final do curso. Por ora, conside
raremos tal fato, em toda passagem algébrica, prestando
atenção à possibilidade de alteração do conjunto solução
das sentenças algébricas que usamos para representar
uma mesma equação.