Equações do Segundo Grau -- Primeira Edição

Equações
 do 2º Grau
Leonardo Santos
1ª Edição
+30 Exemplos Resolvidos
Equações do Segundo Grau
Leonardo Santos Barbosa
23 de novembro de 2021
Equações do 2o. Grau ii
Sumário
1 Equações Quadráticas 9
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Equações Incompletas . . . . . . . . . 12
1.3.2 Equações Completas . . . . . . . . . . 17
1.3.3 Demonstração da Fórmula . . . . . . . 21
1.4 Soma e Produto das Raízes . . . . . . . . . . 24
1.4.1 Soma das Raízes . . . . . . . . . . . . 24
1.4.2 Produto das Raízes . . . . . . . . . . . 25
1.4.3 Produto de Stevin . . . . . . . . . . . 27
1.4.4 Teorema Fundamental da Álgebra . . 29
1.4.5 Operações Algébricas com as Raízes . 31
1.5 As Somas de Newton . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5.1 Potências das Raízes . . . . . . . . . . 38
1.6 Problemas do Segundo Grau . . . . . . . . . . 41
1.6.1 Equações Biquadradas . . . . . . . . . 41
1.6.2 Funções Quadráticas . . . . . . . . . . 43
1.6.3 Equações Fracionárias . . . . . . . . . 44
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Equações do 2o. Grau 2
1.6.4 Sistemas e Problemas . . . . . . . . . 45
1.7 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . 46
Como Usar Este
Ebook
Embora o que vou dizer aqui não é uma lei (nem axioma,
nem princípio), você pode encarar como uma sugestão, não
só de uso deste livro, como também de todos os outros que
você tenha em mãos.
Este não é um livro “comum’. Digo, em vários sentidos.
Mas, talvez, o mais significante deles é que ele é focado em
duas características:
(i) ter um texto fluido, simples e acessível com profundi-
dade de conteúdo; e
(ii) estar cheio de exemplos resolvidos deste mesmo con-
teúdo.
Assim, embora eu acredite – de verdade – que você vai
aprender matemática fazendo muitos e muitos exercícios
(não vamos colocar uma meta, pois teríamos que dobrá-la
depois. . . !), aqui você não encontrará aqui aquelas listas in-
termináveis de centenas exercícios como na imensa maioria
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Equações do 2o. Grau 4
dos livros. Justamente porque ele é focado em seu próprio
conteúdo e em exemplos resolvidos buscando ilustrar o as-
sunto!
Entretanto, nem tudo está perdido, a minha recomendação
é que você use os exemplos resolvidos justamente como seus
exercícios, simplesmente para verificar se de fato entendeu o
que foi abordado. Até mesmo para tentar, por que não, so-
luções alternativas e, mais uma vez, por que não, mais fáceis.
Para finalizar, você pode imprimir este livro (somente frente
e não frente-verso) caso queira, justamente para usar como
seu bloco de anotações e como material de consulta sempre
que necessário.
Bons estudos!
Leonardo Santos
Sobre o Autor
Engenheiro eletrônico e de computação formado pela Uni-
versidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), atuando como
professor de matemática e física em cursos preparatórios
para carreiras militares.
Ex-cadete da Academia da Força Aérea (AFA), praticante
de triatlo a cerca de cinco anos e maratonista, casado e pai.
É co-fundador do @def.preparatorio que é uma iniciativa
com o intuito de criar materiais de preparação para concur-
sos com alta qualidade tanto no que diz respeito ao conteúdo
em si, quanto ao tocante à parte gráfica. Esta última toda
feita em liguagem TEX.
Siga nosso perfil no instagramTM e fique por dentro de nos-
sos conteúdos.
Nos vemos por aí e, claro, sucesso!
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Equações do 2o. Grau 6
Prefácio
Bom, vamos lá.
Em primeiro lugar, não há pretensão alguma de substituir
seu material didático atual. Porém, em um amplo segundo
lugar, há uma grande (imensa, na realidade) vontade de tra-
zer à tona algo que não seja apenas “mais do mesmo” sobre
este assunto que tratamos aqui no livro. Assim, o intuito é
única e exclusivamente complementar o que você já tem e
não substituir.
Você, com certeza verá aqui tópicos que já estudou, mas
como disse, a ideia é complementar ou “dar uma nova rou-
pagem”, por assim dizer. Para isso, precisamos organizar o
conteúdo em alguns momentos, talvez, de uma forma me-
nos óbvia, mas que para nós faz bastante sentido. Afinal,
se fizéssemos o que a grande maioria faz, estaríamos apenas
“chovendo no molhado” como se diz popularmente.
Claro que nada disso teria efeito, se o conteúdo fosse es-
crito de maneira extremamente densa e intricada. Embora,
tenhamos tentado dar profundidade ao máximo, tentamos
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Equações do 2o. Grau 8
trazer isso sempre de forma leve com vários exemplos e uma
linguagem a mais simples possível para que, mesmo o aluno
com a menor experiência anterior possa acompanhar e, prin-
cipalmente, aprender.
Espero, então que este material consiga transmitir algo real-
mente útil a você em sua vida estudantil, seja ela na escola
ou na preparação para concursos e que te ajude a alcançar
seus objetivos.
Capítulo 1
Equações Quadráticas
1.1 Introdução
Este é um assunto, em geral, comum na vida dos “pobres
indefesos” estudantes desde o atual nono ano do ensino fun-
damental brasileiro até onde quer que a carreira deles aca-
dêmica envolva matemática.
Veremos, neste material, desde a definição até temas um
pouco mais profundos, tais como as somas de Newton e as
potências envolvendo raízes. Fizemos isso para dar uma
maior atratividade e, porque não, consistência ao conteúdo.
Este assunto envolve resultados comuns em problemas de
física, especialmente aqueles envolvendo o movimento uni-
formemente variado cujos espaços ao longo do tempo são
regidos por funções do segundo grau.
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Equações do 2o. Grau 10
Assim, unicamente por este exemplo, já é possível ver que
saber resolver uma equação do segundo grau (ou quadrática)
é quase que preponderante para criar ferramentas para a so-
lução de problemas em várias áreas distintas.
Agora chega de conversa e vamos entrar no conteúdo.
1.2 Definição
Dizemos que uma equação é do segundo grau ou quadrática
quando a mesma é representada por um polinômio inteiro
do segundo grau, isto é, quando a equação é da forma:
ax2 + bx+ c = 0
Com a, b e c números reais e a 6= 0. Alguns exemplos de
equações do segundo grau são:
Exemplo: 3x2 + 3x+ 1 = 0; em que a = 3, b = 3 e c = 1.
Exemplo: 12x
2 + 6x = 0; em que a = 12 , b = 6 e c = 0. Veja
que a equação poderia ser representada por 12x
2+6x+0 = 0.
Exemplo: −x2 +
√
2 = 0; em que a = −1, b = 0 e c =
√
2.
Mais uma representação seria −x2 + 0 · x+
√
2 = 0
Exemplo: 2x2 = 0; em que a = 2, b = 0 e c = 0. Po-
deríamos representar por 2x2 + 0 · x+ 0 = 0.
Quando a equação possui todos os coeficientes não nulos,
11 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
dizemos que ela é completa. Dos exemplos anteriores, ape-
nas o primeiro representa uma equação completa. As demais
são ditas incompletas.
Além disso, veja que a equação
0 · x3 + x2 + 2x+ 1 = 0
também é do segundo grau, uma vez que isto é o mesmo que
escrever:
x2 + 2x+ 1 = 0
Outro aspecto importante é que equações como a do exem-
plo a seguir
1
x2 + 2x
= −1
que, depois de desenvolvida, resulta em
x2 + 2x+ 1 = 0
não são equações do segundo grau, pois originalmente vem
de uma fração algébrica e que, inclusive, neste exemplo em
particular, tem a restrição de x 6= 0 sobre seu domínio, já
que precisamos ter x2 + 2x 6= 0 para que ela faça sentido.
Exemplo: A equação dada por (m−3)x3 +x2 +mx−2 = 0,
é do segundo grau em x, calcule m ∈ R.
Se é uma equação do segundo grau, devemos ter m− 3 = 0,
resultando emm = 3. A equação, então, fica x2+3x−2 = 0.
Exemplo: Calcule o valor de m ∈ R para que a equação
(m2−4)x5 + (m−2)x2 + (m+ 2)x+m2 = 0 seja uma equa-
ção do segundo grau na variável x.
Equações do 2o. Grau 12
Para que seja uma equação do segundo grau, o termo em
x5 deve ser nulo, logo m2 − 4 = 0, ou seja, m = ±2. Mas
perceba que, se m = 2, o termo em x2 também se anula,
portanto, só podemos ter m = −2. Ficando a equação
−4x2 + 4 = 0.
1.3 Resolução
Como qualquer equação, resolver uma equação quadrática,
significa encontrar um valor que substituído em sua incóg-
nita resulte em uma setença verdadeira. Por exemplo,