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Equações do 2º Grau Leonardo Santos 1ª Edição +30 Exemplos Resolvidos Equações do Segundo Grau Leonardo Santos Barbosa 23 de novembro de 2021 Equações do 2o. Grau ii Sumário 1 Equações Quadráticas 9 1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Equações Incompletas . . . . . . . . . 12 1.3.2 Equações Completas . . . . . . . . . . 17 1.3.3 Demonstração da Fórmula . . . . . . . 21 1.4 Soma e Produto das Raízes . . . . . . . . . . 24 1.4.1 Soma das Raízes . . . . . . . . . . . . 24 1.4.2 Produto das Raízes . . . . . . . . . . . 25 1.4.3 Produto de Stevin . . . . . . . . . . . 27 1.4.4 Teorema Fundamental da Álgebra . . 29 1.4.5 Operações Algébricas com as Raízes . 31 1.5 As Somas de Newton . . . . . . . . . . . . . . 34 1.5.1 Potências das Raízes . . . . . . . . . . 38 1.6 Problemas do Segundo Grau . . . . . . . . . . 41 1.6.1 Equações Biquadradas . . . . . . . . . 41 1.6.2 Funções Quadráticas . . . . . . . . . . 43 1.6.3 Equações Fracionárias . . . . . . . . . 44 1 Equações do 2o. Grau 2 1.6.4 Sistemas e Problemas . . . . . . . . . 45 1.7 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . 46 Como Usar Este Ebook Embora o que vou dizer aqui não é uma lei (nem axioma, nem princípio), você pode encarar como uma sugestão, não só de uso deste livro, como também de todos os outros que você tenha em mãos. Este não é um livro “comum’. Digo, em vários sentidos. Mas, talvez, o mais significante deles é que ele é focado em duas características: (i) ter um texto fluido, simples e acessível com profundi- dade de conteúdo; e (ii) estar cheio de exemplos resolvidos deste mesmo con- teúdo. Assim, embora eu acredite – de verdade – que você vai aprender matemática fazendo muitos e muitos exercícios (não vamos colocar uma meta, pois teríamos que dobrá-la depois. . . !), aqui você não encontrará aqui aquelas listas in- termináveis de centenas exercícios como na imensa maioria 3 Equações do 2o. Grau 4 dos livros. Justamente porque ele é focado em seu próprio conteúdo e em exemplos resolvidos buscando ilustrar o as- sunto! Entretanto, nem tudo está perdido, a minha recomendação é que você use os exemplos resolvidos justamente como seus exercícios, simplesmente para verificar se de fato entendeu o que foi abordado. Até mesmo para tentar, por que não, so- luções alternativas e, mais uma vez, por que não, mais fáceis. Para finalizar, você pode imprimir este livro (somente frente e não frente-verso) caso queira, justamente para usar como seu bloco de anotações e como material de consulta sempre que necessário. Bons estudos! Leonardo Santos Sobre o Autor Engenheiro eletrônico e de computação formado pela Uni- versidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), atuando como professor de matemática e física em cursos preparatórios para carreiras militares. Ex-cadete da Academia da Força Aérea (AFA), praticante de triatlo a cerca de cinco anos e maratonista, casado e pai. É co-fundador do @def.preparatorio que é uma iniciativa com o intuito de criar materiais de preparação para concur- sos com alta qualidade tanto no que diz respeito ao conteúdo em si, quanto ao tocante à parte gráfica. Esta última toda feita em liguagem TEX. Siga nosso perfil no instagramTM e fique por dentro de nos- sos conteúdos. Nos vemos por aí e, claro, sucesso! 5 Equações do 2o. Grau 6 Prefácio Bom, vamos lá. Em primeiro lugar, não há pretensão alguma de substituir seu material didático atual. Porém, em um amplo segundo lugar, há uma grande (imensa, na realidade) vontade de tra- zer à tona algo que não seja apenas “mais do mesmo” sobre este assunto que tratamos aqui no livro. Assim, o intuito é única e exclusivamente complementar o que você já tem e não substituir. Você, com certeza verá aqui tópicos que já estudou, mas como disse, a ideia é complementar ou “dar uma nova rou- pagem”, por assim dizer. Para isso, precisamos organizar o conteúdo em alguns momentos, talvez, de uma forma me- nos óbvia, mas que para nós faz bastante sentido. Afinal, se fizéssemos o que a grande maioria faz, estaríamos apenas “chovendo no molhado” como se diz popularmente. Claro que nada disso teria efeito, se o conteúdo fosse es- crito de maneira extremamente densa e intricada. Embora, tenhamos tentado dar profundidade ao máximo, tentamos 7 Equações do 2o. Grau 8 trazer isso sempre de forma leve com vários exemplos e uma linguagem a mais simples possível para que, mesmo o aluno com a menor experiência anterior possa acompanhar e, prin- cipalmente, aprender. Espero, então que este material consiga transmitir algo real- mente útil a você em sua vida estudantil, seja ela na escola ou na preparação para concursos e que te ajude a alcançar seus objetivos. Capítulo 1 Equações Quadráticas 1.1 Introdução Este é um assunto, em geral, comum na vida dos “pobres indefesos” estudantes desde o atual nono ano do ensino fun- damental brasileiro até onde quer que a carreira deles aca- dêmica envolva matemática. Veremos, neste material, desde a definição até temas um pouco mais profundos, tais como as somas de Newton e as potências envolvendo raízes. Fizemos isso para dar uma maior atratividade e, porque não, consistência ao conteúdo. Este assunto envolve resultados comuns em problemas de física, especialmente aqueles envolvendo o movimento uni- formemente variado cujos espaços ao longo do tempo são regidos por funções do segundo grau. 9 Equações do 2o. Grau 10 Assim, unicamente por este exemplo, já é possível ver que saber resolver uma equação do segundo grau (ou quadrática) é quase que preponderante para criar ferramentas para a so- lução de problemas em várias áreas distintas. Agora chega de conversa e vamos entrar no conteúdo. 1.2 Definição Dizemos que uma equação é do segundo grau ou quadrática quando a mesma é representada por um polinômio inteiro do segundo grau, isto é, quando a equação é da forma: ax2 + bx+ c = 0 Com a, b e c números reais e a 6= 0. Alguns exemplos de equações do segundo grau são: Exemplo: 3x2 + 3x+ 1 = 0; em que a = 3, b = 3 e c = 1. Exemplo: 12x 2 + 6x = 0; em que a = 12 , b = 6 e c = 0. Veja que a equação poderia ser representada por 12x 2+6x+0 = 0. Exemplo: −x2 + √ 2 = 0; em que a = −1, b = 0 e c = √ 2. Mais uma representação seria −x2 + 0 · x+ √ 2 = 0 Exemplo: 2x2 = 0; em que a = 2, b = 0 e c = 0. Po- deríamos representar por 2x2 + 0 · x+ 0 = 0. Quando a equação possui todos os coeficientes não nulos, 11 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES QUADRÁTICAS dizemos que ela é completa. Dos exemplos anteriores, ape- nas o primeiro representa uma equação completa. As demais são ditas incompletas. Além disso, veja que a equação 0 · x3 + x2 + 2x+ 1 = 0 também é do segundo grau, uma vez que isto é o mesmo que escrever: x2 + 2x+ 1 = 0 Outro aspecto importante é que equações como a do exem- plo a seguir 1 x2 + 2x = −1 que, depois de desenvolvida, resulta em x2 + 2x+ 1 = 0 não são equações do segundo grau, pois originalmente vem de uma fração algébrica e que, inclusive, neste exemplo em particular, tem a restrição de x 6= 0 sobre seu domínio, já que precisamos ter x2 + 2x 6= 0 para que ela faça sentido. Exemplo: A equação dada por (m−3)x3 +x2 +mx−2 = 0, é do segundo grau em x, calcule m ∈ R. Se é uma equação do segundo grau, devemos ter m− 3 = 0, resultando emm = 3. A equação, então, fica x2+3x−2 = 0. Exemplo: Calcule o valor de m ∈ R para que a equação (m2−4)x5 + (m−2)x2 + (m+ 2)x+m2 = 0 seja uma equa- ção do segundo grau na variável x. Equações do 2o. Grau 12 Para que seja uma equação do segundo grau, o termo em x5 deve ser nulo, logo m2 − 4 = 0, ou seja, m = ±2. Mas perceba que, se m = 2, o termo em x2 também se anula, portanto, só podemos ter m = −2. Ficando a equação −4x2 + 4 = 0. 1.3 Resolução Como qualquer equação, resolver uma equação quadrática, significa encontrar um valor que substituído em sua incóg- nita resulte em uma setença verdadeira. Por exemplo,