Lista 41 - Equações do 2º grau

Prévia do material em texto

Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 1 
Lista 41 
Equações do 2º grau 
 
Equacionando um problema 
Texto retirado de BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 9º ano. 1ª edição. São Paulo: Scipione, 2015. Págs 56 e 57. 
Adaptado. 
 
 
 
 
 Você pode achar que essa pergunta é um tipo de brincadeira. 
 E é mesmo. Trata-se de uma brincadeira antiga que os adultos 
costumam fazer com as crianças, pois a resposta está no enunciado da própria 
pergunta. 
 Mas aqui a pergunta foi apresentada para que você pense em uma 
questão matemática semelhante: 
 
Qual é o número que, elevado ao quadrado, dá 32? 
 
 Tal como na pergunta do cavalo de Napoleão, cuja cor é branca, aqui 
também a resposta está contida na questão: o número é 3, base da potência. 
 E se a pergunta fosse outra? 
 
Qual é o número que, elevado ao quadrado dá 9? 
 
 
 
 Como (-3)2 = 9, -3 também é uma das soluções do problema. 
 A igualdade x2 = 9 é uma equação; e como o expoente da variável x é 2, 
dizemos que a equação é do 2º grau. 
 Dessa forma, se x2 = 9, então x – 3 ou x = -3. 
 O objetivo desta lista é estudar as equações do 2º grau, das mais simples, 
como essa que acabamos de discutir, às mais complexas. 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 2 
Composição e formas de uma equação do 2º grau 
Texto retirado de BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 9º ano. 1ª edição. São Paulo: Scipione, 2015. Pág 59. Adaptado. 
 
 
 Antes de explorarmos métodos para resolver equações do 2º grau, é 
necessário saber como identificar e caracterizar essas equações. 
 De modo geral, expressamos uma equação do 2º grau assim: 
 
ax2 + bx + c (com a ≠ 0) 
 
• O coeficiente a da variável ao quadrado deve ser diferente de 0, pois se 
a = 0 o termo de grau 2 fica anulado e recaímos em uma equação de 1º 
grau. 
• O coeficiente de x é b. 
• O coeficiente independente da variável é c. 
 Também é importante saber reconhecer os coeficientes de uma equação 
do 2º grau. 
 Por exemplo, na equação x2 – 14x + 24 = 0, a variável é x e os 
coeficientes são: 
 
a = 1 b = -14 c = 24 
 
 Veja outros exemplos. 
 
Exemplo 01: Na equação -3m2 + m + 17, na variável m: a = -3, b = 1 e c = 17. 
 
Exemplo 02: Na equação p2 + p + 17 = 0, na variável p: a = 1, b = 1 e c = 17. 
 
Exemplo 03: Na equação x2 + 3x = 0, na variável x: a = 1, b = 3 e c = 0. 
 
Exemplo 04: Na equação 21y2 – 18 = 0, na variável y: a = 21, b = 0 e c = 18. 
 
Exemplo 05: Na equação x2 = 0, na variável x: a = 1, b = 0 e c = 0. 
 
 Observe que, nos três últimos exemplos, ao menos um dos termos da 
equação do 2º grau é nulo, seja nos termos que contém a variável x ou no 
termo independente. Nesses casos dizemos que a equação é incompleta. 
 Na equação 7N – N2 – 12 = 0, a variável é N e os coeficientes são: 
 
a = 7 b = -1 c = -12 
 
 Observe que nessa equação, se combinarmos suas parcelas, podemos 
escrever a equação de formas variadas e equivalentes: 
 
7N – N2 – 12 = 0 
 
-N2 – 12 + 7N = 0 
 
-12 – N2 + 7N = 0 
 
7N – 12 – N2 = 0 
 
-N2 + 7N – 12 = 0 
 
 Para que a comunicação fique mais clara, e assim evitar que se cometam 
erros, é recomendável escrever as equações de 2º grau na forma 
ax2 + bx + c = 0 (forma geral de uma equação, zerando o segundo membro). 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 3 
Solução ou raiz de uma equação do 2º grau 
Texto retirado de BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 9º ano. 1ª edição. São Paulo: Scipione, 2015. Págs 60 - 75. 
Adaptado. 
 
 Uma solução ou raiz de uma equação do 2º grau é um valor atribuído à 
variável que faz com que o valor numérico da expressão ax2 + bx + c seja nulo. 
 
Exemplo 06: Na equação x2 – 7x + 12 = 0, as raízes são 3 e 4, pois: 
 
32 – 7 . 3 + 12 = 9 – 21 + 12 = 21 – 21 = 0 
 
e 
 
42 – 7 . 4 + 12 = 16 – 28 + 12 = 28 – 28 = 0. 
 
Exemplo 07: Na equação x2 – 3x – 4 = 0, as raízes são -1 e 4, pois: 
(-1)2 – 3 . (-1) – 4 = 1 + 3 – 4 = 4 – 4 = 0 
 
e 
 
42 – 3 . 4 – 4 = 16 – 12 – 4 = 16 – 16 = 0. 
 
Resolução pela raiz quadrada 
 
 É provável que, sem se dar conta, você já saiba resolver algumas 
equações do 2º grau. 
 Tente resolver mentalmente estas equações: 
 
• x2 = 9 
• x2 = 16 
• x2 = 25 
• x2 = 36 
• x2 = 144 
• x2 = 0 
 
 A equação x2 = 9 é aquela que se parece com a pergunta do cavalo 
branco de Napoleão. Como já vimos, ela pode ser traduzida pelo enunciado: 
“Qual é o número que elevado ao quadrado dá 9?”. 
 Já vimos que são os números 3 e -3. 
 Essas equações incompletas são simples de resolver. Basta conhecer 
uma “tabuada” de quadrados. Por exemplo: 
 
• x2 = 16 as raízes são 4 e -4; 
• x2 = 25 as raízes são 5 e -5; 
• x2 = 36 as raízes são 6 e -6; 
• x2 = 225 as raízes são 15 e -15; 
• x2 = 144 as raízes são 12 e -12; 
• x2 = 0 tem apenas uma raiz 0. 
5 
 Vamos continuar resolvendo outras equações. 
• x2 = 7 
Os números que elevados ao quadrado dão 7 são 7 e - 7 e que são 
números irracionais. 
 
De modo geral, uma equação do tipo x2 = c, em que c > 0, tem como 
raízes c e - c. 
 
• x2 – 81 = 0 
Nesse caso, a equação está escrita na forma geral. 
Somando 81 aos dois membros (ou movendo 81 para o lado direito da 
equação), obtemos: x2 = 81. 
Portanto, as raízes são 9 e -9. 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 4 
Uma equação da forma x2 – c = 0 pode ser transformada na equação 
x2 = c e, então, as soluções recaem no caso anterior. 
 
• 2x2 – 72 = 0 
Dividindo os dois membros por 2 (ou fazendo as devidas movimentações), 
temos: x2 – 36 = 0, que pelo caso anterior é equivalente a x2 = 36. 
As raízes são 6 e -6. 
• 3x2 + 27 = 0 
Dividindo toda a equação por 3 (ou fazendo as devidas movimentações), 
temos: x2 + 9 = 0. 
Daí, x2 = -9. 
 
 
 
De modo geral, uma equação do tipo ax2 + c = 0, com a ≠ 0, pode ser 
transformada na equação ax2 = -c, e esta em x2 = - c
a
. 
As raízes são - c
a
 e - c
a
, desde que - c
a
 ≥ 0. 
 
Resolução por fatoração 
 
 Observe a equação x2 – 3x = 0. 
 Ela é uma equação do 2º grau incompleta cujo coeficiente independente 
é 0. 
 Colocando x em evidência, que é fator comum aos dois termos do 
primeiro membro, temos: 
 
x2 – 3x = x(x – 3) = 0 
 
 Uma vez que x(x – 3) = 0, uma das raízes é 0 e a outra raiz da equação 
é x – 3 = 0. 
 Logo, x = 3 é a segunda raiz. 
 Verifique, substituindo a variável x pelas raízes: 
 
 
02 – 3 . 0 = 0 – 0 = 0 
 
e 
 
32 – 3 . 3 = 9 = 9 – 9 = 0. 
 
Lembrete! 
• Se o produto de dois números é nulo, então um dos fatores é zero. Se a . 
b = 0, a = 0 ou b = 0. Por exemplo, 7b = 0, como 7 é diferente de zero essa 
igualdade só pode ser verdadeira se b for igual a zero. 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 5 
De modo geral, uma equação do tipo ax2 + bx = 0, quando fatorada, recai 
na equação x(ax + b) = 0. 
ax2 + bx = 0 
x(ax + b) = 0 
 ¯ ¯aaaaa 
 x = 0 ax + b = 0 
x = - b
a
 
As duas raízes são 0 e - b
a
 , (a ¹ 0). 
 
 Resolução pela raiz quadrada do binômio 
 
 Considere agora a equação (x + 1)2 = 9. 
 Desenvolvendo o binômio do primeiro membro, recaímos na equação: 
 
x2 + 2x + 1 = 9 ® x2 + 2x – 8 = 0. 
 
 Voltemos, então, ao ponto de partida: a equação (x + 1)2 = 9. 
 Tudo o que precisamos saber é: “Qual é o número que elevado ao 
quadrado resulta em 9?”. 
 
 
 
 De x + 1 = 3, obtém-se x = 2. 
 De x + 1 = -3, obtém-se x = -4. 
 Logo, 2 e -4 são as raízes da equação (x + 1)2 = 9 e, assim, também da 
equação x2 + 2x – 8 – 0. 
 Vamos verificar: 
 
(2 + 1)2 = 32 = 9 e (-4 + 1)2 = (-3)2 = 9. 
 
 
 
 Qual é o número que elevado ao quadrado resulta em 25? 
 São os números 5 e -5. 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda6 
 Dessa forma, temos que: 
 
2x + 5 = 5 (I) ou 2x + 5 = - 5 (II). 
 
 De (I), temos que: 
 2x + 5 = 5 
 2x = 5 – 5 
 2x = 0 
 x = 0
2
 
 x = 0 
 Portanto, uma das raízes é 0. 
De (II), temos que: 
2x + 5 = -5 
2x = -5 -5 
2x = -10 
x = - 10
2
 
x = -5 
A outra raiz é -5. 
 Verificando: 
 
(2 . 0 + 5)2 = (0 + 5)2 = 52 = 25 
 
 
[2 . (-5) + 5]2 = (-10 + 5)2 = (-5)2 = 25. 
 
 Agora, vamos estudar mais um caso, omitindo algumas passagens: 
 
3(2x + 7)2 = 48 (I) 
 
(2x + 7)2 = 48
3
 
 
(2x + 7)2 = 16 
 
 Então: 
 
2x + 7 = 4 (II) ou 2x + 7 = -4 (III). 
 
 
 De (II), temos que: 
 2x + 7 = 4 
 2x = 4 – 7 = -3 
 x = - 3
2
. 
 De (III), temos que: 
 2x + 7 = -4 
 2x = -4 – 7 = -11 
 x = - 11
2
. 
 As raízes da equação são - 3
2
 e - 11
2
. 
 Verifique, substituindo as raízes - 3
2
 e - 11
2
 na equação (I). 
 
De modo geral, para encontrar as raízes de equações do tipo 
(px + q)2 = k, no caso de k ≥ 0 e p ≠ 0, procede-se assim: 
 
px + q = k ® x = -q +	 k	 
p
 
 
 px + q = - k ® x = -q -	 k	 
p
 . 
 
Resolução Da equação Completa 
 
 Observe a seguinte equação: 
 
x2 + 6x + 9 = 0 
 
 Trata-se de uma equação do 2º grau completa, escrita na forma geral, 
que você ainda não aprendeu a resolver. 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 7 
 Veja que o primeiro membro da equação é um trinômio quadrado perfeito 
e, portanto, pode ser fatorado: 
 
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 
 
 Assim, as equações x2 + 6x + 9 = 0 ou (x + 3)3 = 0 têm soluções iguais. 
 
(x + 3)2 = 0 ® x + 3 = 0 ® x = -3 
 
 Verifique que – 3 também é solução de x2 + 6x + 9 = 0: 
 
(-3)2 + 6 . (-3) + 9 = 9 – 18 + 9 = 18 – 18 = 0 
 
 Observe outros exemplos: 
 
Exemplo 08: x2 – 10x + 25 = 49 ® Fatoramos o 1º membro; 
 
(x – 5)2 = 49 ® Buscamos o número que elevado ao quadrado resulta em 49; 
 
x – 5 = 7 ou x – 5 = -7 ® Chegamos a equações do 1º grau; 
 
x = 12 ou x = -2 ® Encontramos as raízes da equação original. 
 
Exemplo 09: 9x2 + 24x + 16 = 121 ® Fatoramos o 1º membro; 
 
(3x + 4)2 = 121 ® Buscamos o número que elevado ao quadrado resulta em 49; 
 
3x + 4 = 11 ou 3x + 4 = 11 ® Chegamos a equações do 1º grau; 
 
x = 7
3
 ou x = -5 ® Encontramos as raízes da equação original. 
 
 Considere agora a equação x2 + 6x + 8 = 0. 
 A expressão x2 + 6x + 8 não é um trinômio quadrado perfeito. Porém, se 
adicionarmos 1 à expressão, obtemos uma nova expressão que é um trinômio 
quadrado perfeito. 
 
(x2 + 6x + 8) + 1 = x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 
 ¯ 
 Trinômio quadrado perfeito 
 
 Esse fato vai ser importante para resolver certas equações do 2º grau. 
 Vamos voltar à equação x2 + 6x + 8 = 0. 
 Somando 1 aos dois membros, obtemos: 
 
x2 + 6x + 8 + 1 = 0 + 1 
 
x2 + 6x + 9 = 1 
 
(x + 3)2 = 1 
 
x + 3 = 1 ® x = -2 ou x + 3 = -1 ® x = -4 
 
 Confira, substituindo as raízes -2 e -4 na equação x2 + 6x + 8 = 0. 
 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 8 
 Novamente não temos um trinômio quadrado perfeito. Porém, é possível 
transformar o primeiro membro em um trinômio quadrado perfeito (TQP), 
subtraindo 1 nos dois membros. 
 Fatorando o TQP: (x + 3)2 = -1. 
 
 
 
 Podemos afirmar que a equação x2 + 6x + 10 = 0 não tem solução no 
conjunto dos números reais. 
 
 
 
 Adicionando 1 aos dois membros: 
 
x2 – 8x + 15 + 1 = 0 + 1 
 
x2 – 8x + 16 = 1 
 
(x – 4)2 = 1 
 
x – 4 = 1 ® x = 5 ou x – 4 = -1 ® x = 3 
 
 Agora acompanhe os passos para encontrar as raízes da equação 
2x2 – 8x + 7 = 0. 
 Nesse caso, 2 e 7 não são quadrados perfeitos. 
 Vamos fazer o seguinte: multiplicar os dois membros por 2. 
 
4x2 – 16x + 14 = 0 
 
 Veja que ainda não temos um TQP. 
 Observe: 
 
a = 4 e b = -16 
 
a = 22 e b = -2 . 2 . 4 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 9 
 Para que se tenha um TQP, c teria que ser 42 = 16. 
 Então, basta adicionarmos 2 aos dois membros da equação. 
4x2 – 16x + 14 + 2 = 0 + 2 
 
4x2 – 16x + 16 = 2 
 
 Fatorando o TQP do primeiro membro: 
 
(2x – 4)2 = 2 
 
2x – 4 = 2 ® 2x = 4 + 2 ® x = 4 +	 2 
2
 ® x = 2 + 2 
2
 ou 
 
 2x – 4 = - 2 ® 2x = 4 - 2 ® x = 4 -	 2 
2
 ® x = 2 - 2 
2
. 
 
 Portanto, 2 ± 2 
2
 são as raízes da equação 2x2 – 8x + 7 = 0. 
 E, por fim, mais um exemplo. 
 Vamos encontrar as raízes da equação x2 + 10x = 39. 
 
x2 + 10x = 39 
 
x2 + 10x + 25 = 39 + 25 
 
x2 + 10 x + 25 = 64 
 
(x + 5)2 = 64 
 
x + 5 = 8 ® x = 8 – 5 ® x = 3 ou 
 
x + 5 = -8 ® x = -8 – 5 ® x = -13. 
 
 Então, as raízes de x2 + 10x = 39 são 3 e -13. 
 
Uma fórmula para “Lá de Bagdá” 
 
 Depois de explorar tantos casos particulares, já podemos acompanhar a 
resolução de uma equação do 2º grau qualquer e decidir se existem ou não 
soluções reais. 
 Considere a equação ax2 + bx + c = 0, em que a ≠ 0. 
 Nessa forma geral da equação, não podemos garantir que o 1º membro 
é um TQP. 
 Então, faremos assim: 
 
1º) Multiplicamos os dois membros por a: 
 
a . ax2 + a . bx + a . c = a . 0 
 
a2x2 + abx + ac = 0 
 
2º) Para garantir que seja um TQP, o termo do meio deve ser divisível por 2. 
Multiplicando tudo por 4, o 1º termo continua sendo um quadrado perfeito e o 
termo médio tem fator 2: 
 
4 . a2x2 + 4 . abx + 4 . ac = 4 . 0 
 
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 
 
(2ax)2 + 2 . (2ax) . b + 4ac = 0 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 10 
 
 
 Veja: 
 
(2ax)2 + 2 . (2ax) . b + b2 
 
 Essa expressão fatorada resulta em (2ax + b)2. 
 
 
 
3º) Adicionando b2 e subtraindo 4ac dos dois membros da equação, temos: 
 
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 – 4ac = 0 + b2 – 4ac 
 
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 – 4ac = 0 + b2 – 4ac 
 
4a2x2	+	4abx	+	b2
TQP
 = b2 – 4ac 
 
 
 
 Daí: 
 
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 – 4ac 
 
(2ax + b)2 = b2 – 4ac 
 
4º) Supondo que b2 – 4ac ≥ 0 e extraindo a raiz quadrada dos dois membros, 
recaímos em duas equações do 1º grau: 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 11 
2ax + b = + b2	-	4ac 
 
e 
 
2ax + b = - b2	-	4ac 
 
Ou, de forma abreviada, 2ax + b = ± b2	-	4ac. 
 
5º) Subtraímos b dos dois membros: 
 
2ax + b - b = -b ± b2	-	4ac 
 
2ax = -b ± b2	-	4ac 
 
Dividimos os dois membros por 2a: 
 
x = 
-b ± b2 - 4ac
2a
 
 
 Essa expressão é a fórmula resolutiva da equação do 2º grau que, no 
Brasil, é conhecida como fórmula de Bhaskara. 
 
Observação! 
• Costuma-se representar a expressão b2 – 4ac pela letra grega D (delta) 
maiúscula, também chamada de discriminante da equação. 
 
Análise da fórmula de bhaskara 
 
x = 
-b ± b2 - 4ac
2a
 
 
 O coeficiente a aparece no denominador e, portanto, devemos estar 
atentos para o fato de que a tem de ser diferente de zero. 
 Uma condição para a existência de soluções reais é que a expressão 
sob o radical, b2 – 4ac, seja maior ou igual a zero. 
• Se D = b2 – 4ac < 0, a equação não tem soluções reias. 
• Se D = b2 – 4ac = 0, como 0 = 0, vamos ter x = -b ± 0
2a
 = -b ± 0
2a
 e a equação 
tem uma única solução real: x = -b
2a
 . 
• Se D = = b2 – 4ac > 0, a equação terá duas soluções reais diferentes: 
 
x1 = 
-b + b2 - 4ac
2a
 ou x2 = 
-b - b2 - 4ac
2a
 
 
Relações de girard 
Texto retirado de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: 9º ano. 6ª edição. São Paulo: Moderna, 2011. Págs 118 – 122. Adaptado. 
 
 No início do século XVII, houve grande interesse em toda a Europa 
Ocidental pelos estudos matemáticos. Muitas pesquisas foram feitas no sentido 
de dar soluções às diversas equações e de estabelecer relações entre os seus 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 12 
coeficientes e suas raízes. Acontece, porém, que esses estudos eram limitados 
pelo fato de os matemáticos da época não aceitarem a existência de raízes 
negativas. 
 No ano de 1629 o francês Albert Girard (1595 – 1632) escreveu o livro 
Invention nouvelle em algèbre. Nesse livro, ele demonstra as relaçõesentre as 
raízes e os coeficientes de uma equação, admitindo a existência das raízes 
negativas. 
 Vamos estudas essas relações para uma equação do 2º grau. 
 Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0. Sejam x1 e x2 suas 
raízes. Vamos estabelecer as relações de Girard entre essas raízes e os 
coeficientes a, b e c da equação. 
 Sabemos que: 
 
x1 = 
-b + b2 - 4ac
2a
 ou x2 = 
-b - b2 - 4ac
2a
, com b2 – 4ac ≥ 0 
 
1ª Relação: Soma das raízes 
 
 Indicando por S a soma das raízes de uma equação do 2º grau, 
verifiquemos que S = -b
a
 . 
 De fato: 
 
x1 + x2 = 
-b + b2 - 4ac
2a
 + 
-b - b2 - 4ac
2a
 = 
-b + b2 - 4ac	-	b - b2 - 4ac
2a
 = -2b
2a
 = -b
a
 
 
 Então: 
 
x1 + x2 = 
-b
a
 ou S = -b
a
 
 
2ª Relação: produto das raízes 
 
 Indicando por P o produto das raízes de uma equação do 2º grau, 
verifiquemos que P = c
a
 . 
 De fato: 
 
x1 . x2 = 
-b + b2 - 4ac
2a
 . 
-b - b2 - 4ac
2a
 = 
(-b)2-	 b2 - 4ac
2
4a2
 = 
b2- b2	-	4ac
4a2
 
 
= b
2-	b2	+	4ac 
4a2
 = 4ac
4a2
 = c
a
 
 
 Então: 
 
x1 . x2 = 
c
a
 ou P = c
a
 
 
 Veja alguns exemplos de aplicação das relações de Girard. 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 13 
Exemplo 10: Determinar o valor de k na equação kx2 – 22x + 20 = 0, para que a soma das 
raízes seja 11
3
. 
 
Temos a = k, b = -22 e c = 20. 
 
x1 + x2 = 
11
3
 
 
-b
a
 = 11
3
 
 
-(-22)
k
 = 11
3
 
 
22
k
 = 11
3
 
 
11k = 66 
k = 66
11
, ou seja, k = 6. 
 
Exemplo 11: Determinar o valor de p na equação px2 – 5x + (p – 5) = 0, para que o produto 
das raízes seja 1
6
. 
 
Temos a = p, b = -5 e c = p -5. 
 
x1 . x2 = 
1
6
 
 
c
a
 = 1
6
 
 
p - 5
p
 = 1
6
 
 
6(p – 5) = p 
 
6p – 30 = p 
 
5p = 30, ou seja, p = 6. 
 
Composição de uma equação do 2º grau 
 
 Conhecidas as relações de Girard, é possível compor uma equação do 
2º grau quando são dadas suas raízes. É o que veremos a seguir. 
 Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0. 
 Dividindo todos os termos por a, sendo a ≠ 0, temos: 
 
ax2
a
 + bx
a
 + c
a
 = 0
a
 ou x2 + bx
a
 + c
a
 = 0 
 
 De acordo com as relações de Girard, temos: 
 
-b
a
 = S ou b
a
 = -S ou c
a
 = P 
 
 Substituindo b
a
 por –S e c
a
 por P, em x2 + bx
a
 + c
a
 = 0, vem: 
 
x2 – Sx + P = 0 
 Vejamos os seguintes exemplos de composição de equações do 2º grau 
partindo-se de suas raízes. 
 
Exemplo 12: Compor uma equação do 2º grau cujas raízes sejam 3 e -8. 
 
Vamos calcular a soma S das raízes: 
 
S = x1 + x2 
 
S = 3 + (-8) 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 14 
S = -5 
 
Vamos calcular o produto P das raízes: 
 
P = x1 . x2 
 
P = 3 . (-8) 
 
P = -24 
 
Substituindo, em x2 – Sx + P = 0, S por -5 e P por -24, temos: 
 
x2 – Sx + P = 0 
 
x2 – (-5)x + (-24) = 0, ou seja, x2 + 5x – 24 = 0 é a equação procurada. 
 
Exemplo 13: Compor uma equação do 2º grau cujas raízes sejam 2 e 3
5
 . 
 
Vamos calcular a soma S das raízes: 
 
S = x1 + x2 
 
S = 2 + 
3
5
 
 
S = 
13
5
 
 
Vamos calcular o produto P das raízes: 
 
P = x1 . x2 
 
P = 2 . 
3
5
 
 
P = 
6
5
 
 
Substituindo, em x2 – Sx + P = 0, S por 
13
5
 e P por 
6
5
, temos: 
 
x2 – Sx + P = 0 
 
x2 - 
13
5
 x + 6
5
 = 0 é a equação procurada. 
 
Exemplo 14: Calcular o valor de k na equação x2 – 12x + k = 0, para que uma das raízes seja 
o dobro da outra. 
 
Indicando as raízes dessa equação por m e n, temos: 
 
m	+	n	= -b
a
	= -(-12)
1
	=	12
m . n	= c
a
	= k
1
	=	k
 ou m	+	n	=	12m . n	=	k 	 
 
De acordo com a condição do problema m = 2n. 
 
Vamos inicialmente resolver o sistema m	+	n	=	12m =	2n 
 
Substituindo m por 2n na equação m + n = 12, temos: 
 
2n + n = 12, ou seja, n = 4 e portanto: m =8. 
 
Como k = m . n, vem k = 8 . 4 = 32. 
 
 
 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 15 
Exercícios 
 
1. Identifique os coeficientes a, b e c das equações. 
a. x + 1 + x2 = 0 
b. 3m – 2m2 + 7 = 0 
c. 1
2
 x2 + 4 – 3x = 0 
d. 1 + 2t + 3t2 = 0 
e. 13 + x2 + 3x = 0 
f. x2 – 5x + 6 = 0 
 
2. Transforme as equações abaixo, usando operações e propriedades 
conhecidas, de modo a recair em uma equação do 2º grau na forma geral. 
a. x2 + 10x = 39 
b. x2 – 45x = 250 
c. x2 + 21 = 10x 
d. x2 – 2x = 0 
e. (x + 2)(x – 3) = 0 
f. 1 = 2x + x2 
g. 2x = -x2 + 1 
h. x(x + 3) = 0 
 
3. Escreva quatro equações diferentes e equivalentes à equação 
3x2 – 2x + 7 = 0. 
 
4. Escreva as equações do 2º grau na forma geral ax2 + bx + c = 0, a partir dos 
coeficientes a, b e c. 
a. a = 1, b = 2 e c = -3 
b. a = - 1, b = 7 e c = 10 
c. a = 2, b = 0 e c = 7 
d. a = 1, b = -3 e c = 0 
e. a = 1, b = 0 e c = 0 
f. a = 1, b = 10 e c = -39 
g. a = 1
2
, b = 2 e c = -1 
h. a = 1, b = -10 e c = 21 
 
5. Determine os valores de m na equação (m + 3)x2 – (2m – 1)x + m + 4 = 0 
de modo que ela seja do 2º grau. 
 
6. Para quais das equações abaixo as raízes estão indicadas corretamente? 
a. x2 – 5x + 6 = 0, raízes 2 e 3. 
b. x2 – 7x + 10 = 0, raízes 3 e 4. 
c. x2 + 4x – 5 = 0, raízes 1 e -5. 
d. x2 + 4x – 5 = 0, raízes – 1 e 5. 
e. x2 – 3x = 0, raízes 0 e -3. 
f. x2 – 3x = 0, raízes 0 e 3. 
 
7. Encontre as raízes das equações do 2º grau incompletas. 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 16 
a. x2 – 169 = 0 
b. x2 – 225 = 0 
c. x2 – 400 = 0 
d. x2 – 1 = 0 
e. x2 – 729 = 0 
f. x2 – 12 321 = 0 
g. 2x2 – 50 = 0 
h. 2x2 – 2 = 0 
i. 2x2 – 18 = 0 
j. 3x2 – 75 = 0 
k. 4x2 – 100 = 0 
l. –x2 + 64 = 0 
m. 9x2 – 1 = 0 
n. 5x2 – 10 = 0 
 
8. Quais entre as equações abaixo não tem solução? 
a. x2 – 17 = 0 
b. x2 + 17 = 0 
c. 23x2 – 1 = 0 
d. -51x2 + 1 = 0 
e. –x2 + 3 = 0 
f. –x2 – 18 = 0 
g. -9x2 – 1 = 0 
h. 12x2 = 1 
i. -42x2 = -1 
j. -1 = 7x2 
k. x2 = 999 
l. -999 = x2 
 
9. Encontre os valores reais de x que satisfazem as equações: 
a. 3x2 + 18x = 0 
b. 5x2 + 10x = 0 
c. -2x2 + 28x = 0 
d. 1
2
 x2 – 8x = 0 
e. 7x2 + 49x = 0 
f. 7x2 – 14x = 0 
g. 49x2 + 7x = 0 
h. 14x2 – 7x = 0 
 
10. Resolva as equações a seguir e dê as raízes. 
a. (3x + 5)2 = 36 
b. (-2x + 1)2 = 49 
c. x
3
	+	6
2
 = 81 
d. (2x + 1)2 = 1 
e. x
2
	-	10
2
 = 100 
f. (3 – 2x)2 = 36 
 
11. Sem resolver, responda: quais das equações abaixo não têm solução? 
a. (x – 2)2 = 4 
b. (x – 2)2 = 8 
c. (x – 2)2 = -4 
d. (x – 2)2 = 1 
e. (x – 2)2 = 0 
f. (x – 2)2 = 2 
 
12. Para quais valores de c as expressões são trinômios quadrados perfeitos? 
a. x2 + 6x + c b. 2x2 + 12x + c 
 
13. Para quais valores de a as expressões são trinômios quadrados perfeitos? 
a. ax2 + 10x + 25 b. ax2 + 24x + 16 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 17 
14. Para quais valores de b as expressões abaixo são trinômios quadrados 
perfeitos? 
a. x2 + bx + 25 b. 4x2 + bx + 49 
 
15. Resolva as equações: 
a. y2 – 18y + 81 = 9 
b. t2 + 2t + 1 = 1 
c. 4x2 + 12x + 9 = 4 
d. 9x2 + 12x + 4 = 9 
e. 25t2 + 10t + 1 = 16 
f. 1
4
 x2 – 6x + 36 = 12
 
16. Para quais valores de m a equação x2 + mx + 8 tem uma única solução? 
 
17. Em cada caso, dê os valores de m que fazem com que as equações a 
seguir tenham duas soluções reais e diferentes. 
a. 2mx2 – 6x + 12 = 0 
b. x2 – 14x + m = 0 
c. 2x2 + 8x + m = 0 
d. x2 – 10x + 3m = 0 
 
18. Na equação x2 – 2mx + 1 = 0, determine os valores de m para que a 
equação: 
a. Tenha uma única raiz real; 
b. Não tenha raízes reais; 
c. Tenha raízes reais e diferente. 
 
19. Resolva as equações do 2º grau usando a fórmula de Bhaskara. 
a. x2 + 14x + 49 = 0 
b. y2 – 18y + 72 = 0 
c. t2 + 2t – 3 = 0 
d. 4x2 + 12x + 5 = 0 
e. 25x2 + 70x = 0 
f. x2 – 1 = 0 
 
20. Em cada caso, determine a soma S e o produto P das raízes das 
equações e, com eles, calcule as raízes. 
a. x2 – 8x + 15 = 0 
b. x2 + 2x – 3 = 0 
c. 5x2 + 21x + 4 = 0 
d. x2 + 7x + 12 = 0 
e. 3x2 – 6x = 0 
 
21. Sem e n são raízes da equação x2 – 9x + 20 = 0, determine o valor da 
expressão mn(m + n). 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 18 
 
22. Determine o valor de m na equação 4x2 – (m – 2)x + 3 = 0 para que a 
soma das raízes seja 3
4
. 
 
23. Determine o valor da p na equação 6x2 – 11x + (p – 1) = 0 para que o 
produto das raízes seja 2
3
. 
 
24. Forme uma equação do 2º grau em que as raízes seja: 
a. x1 = -8 e x2 = 5 
b. x1 = 2 e x2 = 
4
5
 
c. x1 = -3 e x2 = - 
1
2
 
d. x1 = 
1
3
 e x2 = - 
2
5
 
 
25. Calcule o valor de p na equação x2 – 8x + 2p = 0 para que uma das raízes 
seja o triplo da outra. 
 
26. O dobro do quadrado de um número negativo somado ao triplo dele é 
igual a zero. Determine esse número. 
 
27. A diferença entre a terça parte do quadrado de um número e o próprio 
número é 60. Qual é o triplo desse número? 
 
28. Se do quadrado da idade de Luísa subtrairmos o dobro da idade dela, 
obteremos 10 vezes a idade de Lúcia, a irmã gêmea de Luísa. Qual é a 
idade de Luísa? 
 
29. (FUVEST) A soma e o produto das raízes da equação de segundo grau 
(4m + 3n)x2 – 5nx + (m – 2) = 0 valem, respectivamente, 5
8
 e 3
32
 . Então, 
m + n é igual a: 
a. 9 b. 8 c. 7 d. 6 e. 5 
 
30. (UFRJ) A soma de dois números é 6, e a soma de seus quadrados é 
68. O módulo da diferença desses dois números é: 
a. 2 b. 4 c. 6 d. 8 e. 10 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 19 
31. (UEL) Sabe-se que os números a e b são raízes da equação 
x2 – kx + 6 = 0, na qual k ∈	ℝ. A equação do 2º grau que admite as raízes 
a + 1 e b + 1 é: 
a. x2 + (k + 2)x + (k + 7) = 0 
b. x2 – (k + 2)x + (k + 7) = 0 
c. x2 + (k + 2)x – (k + 7) 
d. x2 – (k + 1)x + 7 = 0 
e. x2 + (k + 1)x + 7 = 0 
 
32. (CESGRANRIO) Se x1 e x2 são as raízes de x2 + 57x – 228 = 0, então 
1
x1
 + 1
x2
 vale: 
a. - 1
4
 
b. 1
4
 
c. - 1
2
 
d. 1
2
 
e. 1
6
 ou - 1
6
 
 
33. (FEI) Uma das raízes da equação x2 – x – a = 0 é també, raiz da 
equação x2 + x – (a + 20) = 0. Qual é o valor de a? 
a. a = 10 
b. a = 20 
c. a = -20 
d. a = 90 
e. a = -9 
 
34. (UFMG) O quadrado da diferença entre o número natural x e 3 é 
acrescido da soma de 11 e x. O resultado é, então, dividido pelo dobro de 
x, obtendo-se quociente 8 e resto 20. A soma dos algarismos de x é: 
a. 3 b. 4 c. 5 d. 2 
 
35. (UFLA) Para que o sistema de equações 
2x	–	y	+	5	=	0
x2	+	y	–	a	=	0 admita apenas 
uma solução real, o valor de a deve ser: 
a. 2 b. -5 c. -2 d. 4 
 
36. (UFC) Os números reais não nulos p e q são tais que a equação 
x2 + px + q = 0 tem raízes D e 1 - D, sendo que D denota o discriminante 
dessa equação. Assinale a alternativa que corresponde ao valor de q. 
a. -1 b. - 1
2
 c. 1
4
 d. 3
16
 e. 7
8
 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 20 
37. (PUC/MG) A diferença entre as raízes reais da equação x2 + bx + 40 = 0 
é igual a 6. Então, o valor absoluto de b é: 
a. 8 b. 10 c. 12 d. 14 
 
38. (PUC/MG) Sejam p e q números reais não nulos tais que p
2q
 + 2q
p
 - 2 = 0 
e p + q = 6. Então, o valor de p é igual a: 
a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 
 
39. (UCS) Se uma das raízes da equação 2x2 – 3px + 40 = 0 é 9, então o 
valor de p é: 
a. 5 
b. 13
3
 
c. 7 
d. -5 
e. -7 
 
40. (UNIFOR) Uma das soluções da equação 2x
2+x
11
 = 2x + 1 é um número 
inteiro múltiplo de: 
a. 2 b. 3 c. 5 d. 7 e. 11 
 
41. (FUVEST) Sejam x1 e x2 as raízes da equação 10x2 + 33x – 9 = 0. O 
número inteiro mais próximo do número 5 . x1 . x2 + 2 . (x1 + x2) é: 
a. -33 b. -10 c. -7 d. 10 e. 33 
 
42. (ULBRA) O(s) valor(es) de B na equação x2 – Bx + 4 = 0 para que o 
discriminante seja igual a 65 é (são): 
a. 0 
b. 9 
c. -9 
d. -9 ou 9 
e. 16 
 
43. (FGV) Se a soma das raízes da equação kx2 + 3x – 4 = 0 é 10, podemos 
afirmar que o produto das raízes é: 
a. 40
3
 b. - 40
3
 c. 80
3
 d. - 80
3
 e. - 3
10
 
 
44. (UFES) O valor de k para que a soma das raízes da equação 
(k – 3)x2 – 4kx + 1 = 0 seja igual ao seu produto é: 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 21 
a. 1
2
 b. 1
3
 c. 1
4
 d. 2
3
 e. 3
4
 
 
45. (PUC/MG) O quociente da divisão de 72 por um número negativo é o 
dobro desse número. A metade desse número é: 
a. -3 b. -4 c. -5 d. -6 e. -7 
 
46. (ENEM 2010) Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja 
amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e 
às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal 
(RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor 
fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões 
cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. 
As fórmulas que determinam esses índices são: 
 
IMC = Massa (kg)
[Altura m ]2
 RIP = Altura (cm)
Massa (kg)3
 
 
ARAUJO, C.G. S; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal: Um Questionamento Científico Baseado em Evidências. Arq. Bras. 
Cardiologia, volume 79, nª 1, 2002 (adaptado). 
 
Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2, 
então ela possui RIP igual a: 
a. 0,4 cm/kg1/3 
b. 2,5 cm/kg1/3 
c. 8cm/kg1/3 
d. 20cm/kg1/3 
e. 40cm/kg1/3 
 
47. (ENEM 2011) O Índice de Massa Corporal (IMC) é largamente utilizado 
há cerca de 200 anos, mas esse cálculo representa muito mais a 
corpulência que a adiposidade, uma vez que indivíduos musculosos e 
obesos podem apresentar o mesmo IMC. Uma nova pesquisa aponta o 
Índice de Adiposidade Corporal (IAC) como uma alternativa mais fidedigna 
para quantificar a gordura corporal, utilizando a medida do quadril e a altura. 
A figura mostra como calcular essas medidas, sabendo-se que, em 
mulheres, a adiposidade normal está entre 19% e 26%. 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 22 
 
 
Um jovem com IMC = 20 kg/m2, 100cm de circunferência dos quadris e 
60 kg de massa corpórea resolveu averiguar seu IAC. Para se enquadrar 
aos níveis de normalidade de gordura corporal, a altitude adequada que 
essa jovem deve ter diante da nova medida é: 
(Use 3 = 1,7 e 1,7 = 1,3). 
a. Reduzir seu excesso de gordura cerca de 1%. 
b. Reduzir seu excesso de gordura em cerca de 27%. 
c. Manter seus níveis atuais de gordura. 
d. Aumentar seu nível de gordura em cerca de 1%. 
e. Aumentar seu nível de gordura em cerca de 27%. 
 
48. (ENEM 2015) Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais por dia 
e arrecada com essas vendas, em média, R$ 300,00. Constatou-se que a 
quantidade de pães especiais vendidos diariamente aumenta, caso o preço 
seja reduzido, de acordo com a equação 
 
q = 400 – 100p 
 
na qual q representa a quantidade de pães especiais vendidos diariamente 
e p, o seu preço em reais. 
A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu fazer 
uma promoção. Para tanto, modificará o preço do pão especial de modo 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 23 
que a quantidade a ser vendida diariamente seja a maior possível, sem 
diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto. 
O preço p, em reais, do pão especial nessa promoção deverá estar no 
intervalo: 
a. R$ 0,50 ≤ p < R$ 1,50 
b. R$ 1,50 ≤ p < R$ 2,50 
c. R$ 2,50 ≤ p < R$ 3,50 
d. R$ 3,50 ≤ p < R$ 4,50 
e. R$ 4,50 ≤ p < R$ 5,50 
 
49. (ENEM 2015) A figura representa a vista superior de uma bola de futebol 
americano, cuja forma é um elipsoide obtido pela rotação de uma elipse em 
torno do eixo das abcissas. Os valores a e b são, respectivamente, a metade 
do seu comprimento horizontal e a metade do seu comprimento vertical. 
Para essa bola, a diferença entre os comprimentos horizontal e vertical é 
igual à metade do comprimento vertical. 
 
 
Considere que o volume aproximado dessa bola é dado por V = 4ab2. 
O volume dessa bola, em função apenasde b, é dado por: 
a. 8b3 b. 6b3 c. 5b3 d. 4b3 e. 2b3
 
 
 
 
 
 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 24 
Quer praticar um pouco mais? 
Exercícios extras 
 
50. Identifique os coeficientes a, b e c das equações. 
a. 8x2 + 17x + 4 = 0 
b. y2 – 25 = 0 
c. 4y2 – 25 = 0 
d. -9 + x2 = 0 
 
51. Reescreva as equações abaixo na forma geral convencionada. 
a. x + 1 + x2 = 0 
b. 3m – 2m2 + 7 = 0 
c. 1
2
 x2 + 4 – 3x = 0 
d. 1 + 2t + 3t2 = 0 
e. 13 + x2 + 3x = 0 
f. x2 – 5x + 6 = 0 
 
52. Dados os coeficientes a, b e c, escreva as equações do 2º grau 
correspondentes. 
a. a = 5, b = -7 e c = 0 
b. a = -1, b = 3 e c = -4 
c. a = 2, b = 0 e c = 4 
d. a = - 1
2
, b = 5
7
 e c = 2 
 
53. Para que valor de n a equação (5n + 2)x2 – 4nx + n = 0 não é do 2º grau? 
 
54. Verifique quais das equações abaixo têm 2 e -3 como raízes. 
a. y2 – 5y + 6 = 0 
b. x2 + x – 5 = 0 
c. x2 + x – 6 = 0 
d. x2 + x – 7 = 0 
e. 2m2 + 2m – 12 = 0 
f. t2 – 7t + 10 = 0 
 
55. Encontre as raízes das equações do 2º grau incompletas. 
a. m2 = 196 
b. x2 = 50 
c. 2x2 = 50 
d. -3x2 + 18 = 0 
e. t2 – 121 = 0 
f. 2y2 – 144 = 0 
g. x2 – 576 = 0 
h. –n2 + 1 = 0 
i. x2 – 1 = 0 
j. x2 + 1 = 0 
k. z2 = 00 
l. x2 – 1995 = 0 
 
56. Encontre os valores reais de x que satisfazem às equações a seguir: 
a. 3x2 + 15x = 0 
b. 2x2 - x
3
 = 0 
c. 5x2 + 12x = 0 
d. -3x2 = 6x 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 25 
e. 3x2 + x = 0 f. (x + 3)(x – 6) = -18 
 
57. Resolva as equações a seguir: 
a. (x + 3)2 = 9 
b. (x + 3)2 = 4 
c. (x + 3)2 = 1 
d. (x + 3)2 = 0 
e. (x – 3)2 = 0 
f. (x + 3)2 = 1 
g. (x + 3)2 = 4 
h. (x + 3)2 = 9 
 
58. Explique por que a equação (2x + 1)2 = -1 não tem raízes reais. 
 
59. Em que casos as equações do tipo (px + q)2 = k têm apenas uma raiz 
real? 
 
60. Fatore os trinômios quadrados perfeitos. 
a. x2 + 14x + 49 
b. y2 – 18y + 81 
c. 4x2 + 12x + 9 
d. 9x2 + 12x + 4 
e. 25t2 + 10t + 1 
f. 25x2 + 100x + 100 
g. 49x2 – 42x + 9 
h. 1
4
 x2 – 6x + 36 
 
61. Para quais valores de b as expressões abaixo são trinômios quadrados 
perfeitos? 
a. x2 + bx + 25 b. 2x2 + bx + 50 
 
62. Para quais valores de as expressões abaixo são trinômios quadrados 
perfeitos? 
a. ax2 + 20x + 25 b. ax2 – 10x + 25 
 
63. Resolva as equações: 
a. x2 + 20x + 100 = 81 
b. 25x2 + 100x + 100 = 36 
c. 49x2 – 42x + 9 = 49 
d. 25x2 + 70x + 49 = 49 
 
64. Em cada caso dê os valores de m que fazem com que as equações 
abaixo tenham duas soluções reais e diferentes. 
a. x2 – 10x + m = 0 b. -3x2 + (m + 1)x + 7 + 0 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 26 
 
65. Determine o valor de k para que as equações tenham apenas uma 
solução real. 
a. x2 – 14x + k = 0 b. x2 + kx + 81 = 0 
 
66. Resolva as equações do 2º grau usando a fórmula de Bhaskara: 
a. 9x2 + 12x – 5 = 0 
b. 25t2 + 10t – 15 = 0 
c. n2 + 10n + 9 = 0 
d. x2 + 20x + 19 = 0 
e. x2 – 7x = 0 
f. x2 + x = 0 
 
67. Considere x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 6x + 5 = 0. Sem resolver a 
equação, determine: 
a. x1 + x2 b. x1 . x2 
 
68. Em cada equação a seguir, informe a soma e o produto das raízes. 
a. 3x2 – 6x + 1 = 0 
b. x2 - 2 3x - 3 3 = 0 
c. x2 – 16x + 28 = 0 
d. 2x2 – 4x – 3 = 0 
e. 9x2 + 6x + 1 = 0 
f. x2 + 9 2x + 16 = 0 
 
69. Calcule o valor de m na equação (m + 10)x2 + 21x + 5 = 0 para que a 
soma das raízes seja - 7
6
. 
 
70. Escreva uma equação do 2º grau em que a soma das raízes seja 35 e o 
produto, 300. 
 
71. Componha uma equação do 2º grau que tenha por raízes 12 e 10. 
 
72. Daqui a 6 anos, a idade de Daniela será igual ao quadrado da idade dela 
há 6 anos. Qual é a idade atual de Daniela? 
 
73. Sabendo-se que a soma das idades de um pai e um filho atualmente é 
de 52 anos e que daqui a dois anos o quadrado da idade do filho será igual 
à idade do seu pai, quantos anos cada um deles tem hoje? 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 27 
Lista 41 
Gabarito 
 
Exercícios 
 
1. 
a. a = 1, b = 1 e c = 1 
b. a = -2, b = 3 e c = 7 
c. a = 1
2
, b = -3 e c = 4 
d. a = 3, b = 2 e c = 1 
e. a = 1, b = 3 e c = 13 
f. a = 1, b = -5 e c = 6 
2. 
a. x2 + 10x – 39 = 0 
b. x2 – 45x – 250 = 0 
c. x2 – 10x + 21 = 0 
d. x2 -2x + 0 = 0 
e. x2 – x – 6 = 0 
f. –x2 -2x + 1 = 0 
g. x2 + 2x – 1 = 0 
h. x2 + 3x + 0 = 0 
3. As respostas podem variar; abaixo temos apenas sugestões. 
3x2 – 2x = -7, 7 – 2x + 3x2 = 0, 3x2 + 7 – 2x = 0 e 3x2 + 7 = 2x são equações 
equivalentes à equação 3x2 – 2x + 7 = 0. 
4. 
a. x2 + 2x – 3 = 0 
b. –x2 + 7x + 10 = 0 
c. 2x2 + 7 = 0 
d. x2 – 3x = 0 
e. x2 = 0 
f. x2 + 10x – 39 = 0 
g. 1
2
 x2 + 2x – 1 = 0 
h. x2 – 10x + 21 = 0. 
5. Para que a equação seja do 2º grau, m ≠ -3. 
6. As raízes estão indicadas corretamente para as equações a, c e f. 
7. 
a. x = 13 ou x = -13 
b. x = 15 ou x = -15 
c. x = 20 ou x = -20 
d. x = 1 ou x = -1 
e. x = 27 ou x = -27 
f. x = 111 ou x = -111 
g. x = 5 ou x = -5 
h. x = 1 ou x = -1 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 28 
i. x = 3 ou x = -3 
j. x = 5 ou x = -5 
k. x = 5 ou x = -5 
l. x = 8 ou x = -8 
m. x = 1
3
 ou x = - 1
3
 
n. x = 2 ou x = - 2 
8. As equações b, f, g, j e l não têm solução. 
9. 
a. x = 0 ou x = -6 
b. x = 0 ou x = -2 
c. x = 0 ou x = 14 
d. x = 0 ou x = 16 
e. x = 0 ou x = -7 
f. x = 0 ou x = 2 
g. x = 0 ou x = - 1
7
 
h. x = 0 ou x = 1
2
 
10. 
a. x = 1
3
 ou x = - 11
3
 
b. x = 4 ou x = -3 
c. x = 9 ou x = -45 
d. x = 0 ou x = -1 
e. x = 0 ou x = 40 
f. x = 9
2
 ou x = - 3
2
 
11. Apenas a equação c não tem solução. 
12. 
a. c = 9 b. c = 18 
13. 
a. a = 1 b. a = 9 
14. 
a. b = 10 b. b = 28 
15. 
a. y = 6 ou y = 12 
b. t = 0 ou t = -2 
c. t = 5
2
 ou t = 1
2
 
d. t = 1
3
 ou t = - 5
3
 
e. t = 3
5
 ou t = -1 
f. t = 34 ou t = -10 
16. m = -4 2 ou 4 2 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 29 
17. 
a. m ≤ 3
8
 e m ≠ 0 
b. m < 49 
c. m < 8 
d. m ≤ 25
3
 
18. 
a. m = -1 ou m = 1 
b. -1 < m < 1 
c. -1 > m ou m > 1 
19. 
a. x = -7 
b. y = 6 ou y = 12 
c. t = 1 ou t = -3 
d. x = - 5
2
 ou x = - 1
2
 
e. x = 0 ou x = - 14
5
 
f. x = 1 ou x = -1 
20. 
a. S = 8, P = 15, x1 = 3 e x2 = 5 
b. S = -2, P = -3, x1 = -3 e x2 = 1 
c. S = - 21
5
, P = 4
5
, x1 = -4 e x2 = - 
1
5
 
d. S = -7, P = 12, x1 = -3 e x2 = -4 
e. S = 2, P = 0, x1 = 0 e x2 = 2 
21. mn(m + n) = 180 
22. m = 5 
23. p = 5 
24. 
a. x2 + 3x – 40 = 0 
b. 5x2 – 14x + 8 = 0 
c. 2x2 + 7x + 3 = 0 
d. 15x2 + x – 2 = 0 
25. p = 6 
26. Esse número é - 3
2
 . 
27. O triplo desse número pode ser 45 ou -36. 
28. Luísa tem 12 anos. 
29. A 
30. E 
31. B 
32. B 
33. D 
34. A 
35. D 
36. D 
37. D 
38. A 
39. C 
40. E 
41. B 
42. D 
43. A 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 30 
44. C 
45. A 
46. E 
47. A 
48. A 
49. B 
 
 
Exercícios extras 
 
50. 
a. a = 8, b = 17 e c = 4 
b. a = 1, b = 0 e c = -25 
c. a = 4, b = -5 e c = 0 
d. a = 1, b = 0 e c = -9 
51. 
a. x2 + x + 1 = 0 
b. -2m2 + 3m + 7 = 0 
c. 1
2
 x2 – 3x + 4 = 0 
d. 3t2 + 2t + 1 = 0 
e. x2 + 3x + 13 = 0 
f. x2 – 5x + 6 = 0 
52. 
a. 5x2 – 7x = 0 
b. –x2 + 3x – 4 = 0 
c. 2x2 + 4 = 0 
d. - 1
2
 x2 + 5
7
 x + 2 = 0 
53. Quando n = - 2
5
 a equação (5n + 2)x2 – 4nx + n = 0 não é do 2º grau. 
54. As equações c e e tem 2 e -3 como raízes. 
55. 
a. m = 14 ou m = -14 
b. x = 5 2 ou x = -5 2 
c. x = 5 ou x = -5 
d. x = 6 ou x = - 6 
e. x = 11 ou x = -11 
f. x = 6 2 ou x = -6 2 
g. x = 24 ou x = -24 
h. x = 1 ou x = -1 
i. x = 1 ou x = -1 
56. 
a. x = 0 ou x = -5 
b. x = 0 ou x = 1
6
 
c. x = 0 ou x = - 12
5
 
d. x = 0 ou x = -2 
e. x = 0 ou x = - 3
3
 
f. x = 0 ou x = 3 
57. 
a. x = 0 ou x = -6 b. x = -5 ou x = -1 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda31 
c. x = -4 ou x = -2 
d. x = -3 
e. x = 3 
f. x = -2 ou x = -4 
g. x = 1 ou x = -5 
h. x = 0 ou x = -6 
58. A equação (2x + 1)2 não tem raízes reais porque não existem números 
reais cujos quadrados são menores do que zero. 
59. As equações do tipo (px + q)2 = k têm apenas uma raiz real quando 
k = 0. 
60. 
a. (x + 7)2 
b. (y – 9)2 
c. (2x + 3)2 
d. (3x + 2)2 
e. (5t + 1)2 
f. (5x + 10)2 
g. (7x – 3)2 
h. 1
2
x - 6
2
 
61. 
a. b = 10 
b. b = 20 
62. 
a. a = 4 b. a = 1 
63. 
a. x = -19 ou x = -1 
b. x = 4
5
 ou x = - 16
5
 
c. x = 10
7
 ou x = - 4
7
 
d. x = 0 ou x = - 14
5
 
64. 
a. m < 25 b. ∀m∈ℝ 
65. 
a. k = 49 b. k = 18 ou k = -18 
66. 
a. x = - 5
3
 ou x = - 1
3
 
b. t = 3
5
 ou x = -1 
c. n = -1 ou n = -9 
d. x = -19 ou x = -1 
e. x = 0 ou x = 7 
f. x = 0 ou x = -1 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 32 
67. 
a. x1 + x2 = 3 b. x1 . x2 = 
5
2
 
68. 
a. S = 2 e P = 1
3
 
b. S = 2 3 e P = -3 3 
c. S = 16 e P = 28 
d. S = 2 e P = - 3
2
 
e. S = - 2
3
 e P = 1
9
 
f. S = -9 2 e P = 16 
69. m = 8 
70. x2 – 35x + 300 = 0 
71. x2 – 22x + 120 = 0 
72. Atualmente Daniela tem 10 anos. 
73. Hoje o filho tem 5 anos e o pai tem 47 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda 
	
	 33 
Lista 41 
Bibliografia 
 
• BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 8º ano. 1ª edição. 
São Paulo: Scipione, 2015. 
• BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: 9º ano. 6ª edição. São Paulo: Moderna, 
2011. 
• GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 9. 2ª edição. São Paulo: 
Editora do Brasil, 2015. 
• Apostila de Matemática: Volume 02. Editora Bernoulli: Belo Horizonte, 
2012.