Matemática - Livro 2-052-054

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MATEMÁTICA Capítulo 7 Trigonometria – conceitos básicos52
14 Represente os arcos no ciclo trigonométrico, indican-
do o quadrante em que se encontra sua extremidade.
a) p
3
rad
b) 135°
c) p
12
rad
d) 240°
e) 5p
3
rad
f) −
2p
3
rad
15 Quais dos seguintes pares de arcos são côngruos?
A 65° e 1 145°

2
3
p p
rad rad e
16
3
C 19
4
p p
rad rad e
37
4
 6
8
p p
rad rad e
18
8
16 UFGO O conjunto de todos os valores de x, para que
o ângulo
x
x + 1
2
p radianos pertença ao 1o quadrante, é
representado por qual intervalo?
17 Encontre a primeira determinação positiva dos se-
guintes arcos:
a) 2 390°
b) 5 450°
c)
26
3
 radp
d) 60°
e)
17
3
 radp
18 Os arcos positivos, menores que
50
9
p
rad, que são
côngruos de –18° são:
A 342° e 720°
 302° e 702°
C
19
10
 e
39
10
p p

17
10
 e
37
10
p p
19 Considerando os arcos de medidas 1 845°, 440° e 900°,
qual deles tem a menor primeira determinação positiva?
20 Em um sorteio utilizou-se uma roda dividida em
360números, como o ciclo trigonométrico. Ao ser gi-
rado no sentido anti-horário, o marcador do número
do ganhador, que originalmente estava no número 90,
formou um ângulo de 2 340°.
Qual foi o número sorteado?
21 UEG 2016 Na competição de skate a rampa em forma
de U tem o nome de vert, onde os atletas fazem diver-
sas manobras radicais. Cada uma dessas manobras
recebe um nome distinto de acordo com o total de
giros realizados pelo skatista e pelo skate, uma de-
las é a “180 allie frontside”, que consiste num giro de
meia-volta.
Sabendo-se que 540° e 900° são côngruos a 180°,
um atleta que faz as manobras 540 McTwist e 900
realizou giros completos de
A 1,5 e 2,5 voltas respectivamente.
 0,5 e 2,5 voltas respectivamente.
C 1,5 e 3,0 voltas respectivamente.
 3,0 e 5,0 voltas respectivamente.
E 1,5 e 4,0 voltas respectivamente.
22 Determine a expressão geral de x, sabendo que:
4
3x e 2x +
2
p
−
p
 são côngruos.
23 Calcule x, sabendo que os arcos 6x + 36° e 3x – 24°
são semicôngruos.
24 Sendo m e n números inteiros, provar a igualdade en
tre as famílias:
a) (4n + 1)
2
 =
2
 + 2 m⋅
p p
p
b) n · 120° + 60° = m · 240° ± 60°
25 FGV É uma hora da tarde; o ponteiro dos minutos coin-
cidirá com o ponteiro das horas, pela primeira vez,
aproximadamente, às:
A 13h5min23s
 13h5min25s
C 13h5min27s
 13h5min29s
E 13h5min31s
26 UFMS 2020 Às 12 horas, os ponteiros dos minutos e
das horas se superpõem, e às 13 horas eles fazem
um ângulo de 30°. Seguindo esse raciocínio, o valor
das somas dos ângulos formados às 15h30min e às
18h40min é:
A 150°.
 115°.
C 75°.
 40°.
E 35°.
27 Uece 2019 Em um relógio analógico circular usual, no
momento em que está registrando 10 horas e trinta e
cinco minutos, a medida do menor ângulo entre os
ponteiros indicadores de horas e minutos é
A 108 graus.
 107 graus e trinta minutos.
C 109 graus.
 108 graus e trinta minutos.
F
R
E
N
T
E
 1
53
Trigonometria esférica
Para determinarmos a posição de um ponto, basta o cruzamento de duas linhas. Essa ideia geral pode ser aplicada na superfície de uma esfera.
Observe a figura a seguir.
B
D
A
C
α
R
R
R
β
Trigonometria esférica.
Toda seção plana de uma esfera é um círculo. Se o plano passa pelo centro da esfera, o círculo é máximo. Nesse caso, temos o chamado plano do Equador.
Cálculos paralelos ao plano do Equador determinam infinitos pontos sobre sua circunferência.
A medida do arco AB em graus é a chamada latitude do ponto B (a é a latitude). Mas a distância entre os pontos AB é dada por AB = aR (a em radianos).
A medida do arco AC em graus é a chamada longitude do ponto C (b é a longitude) A medida de AC = bR (b em radianos)
Temos então um sistema de coordenadas sobre a superfície da esfera feita de arcos com as suas respectivas medidas em graus (a, b).
Observando a figura, os pontos A, D e C, sobre a superfície da esfera e seus máximos, determinam um “triângulo esférico”.
Eratóstenes e o cálculo do raio da Terra
Eratóstenes (276 194 a.C) foi bibliotecário-chefe do museu de Alexandria e, por volta de 240 a C , efetuou uma medição famosa da circunferência
máxima da Terra Por meio de observações de alguns fatos diários, notou que, ao meio-dia do solstício de verão, uma vareta na vertical não projetava
nenhuma sombra, e que a imagem do Sol podia ser vista refletida nos poços mais fundos. Essas observações foram feitas na cidade de Siena, ao passo
que em Alexandria (que ele acreditava estar no mesmo meridiano de Siena) os raios do Sol inclinavam-se de
1
50
 de um círculo completo em relação à
vertical. A distância de Siena e Alexandria é de cerca de 800 km.
Com essas informações, Eratóstenes imaginou o seguinte:
A
Norte
Terra
A: Alexandria
S: Siena
θ
S
0
θ
Raios
solares
Como os raios solares são praticamente paralelos, temos que:
AÔS = θ =
1
50
 · círculo = 7,2° =
π7,2
180
 radianos
Assim,

θ = ⇒
π
= ⇒ ≈(em radianos)
AS
R
7,2
180
800km
R
R 6366 km
Sabemos que o valor atual e muito mais preciso para o raio da Terra é de cerca de 6 378 km; portanto, um resultado excelente, tendo em vista a
simplicidade do cálculo.
Atividade
1 Calcule o comprimento da circunferência que um plano paralelo ao Equador determina sobre a Terra, sabendo que
o plano possui latitude de 15° e o raio da Terra é de aproximadamente 6 378 km.
eTextos complementares
MATEMÁTICA Capítulo 7 Trigonometria – conceitos básicos54
Quer saber mais?
Site
y Uma breve história da Trigonometria
Disponível em: <www.mat.ufrgs.br/~portosil/trigapl.html>.
Resumindo
Um dos conceitos básicos da Trigonometria é a diferença entre arco geométrico e arco trigonométrico. No arco geométrico, bastam os pontos da circun-
ferência e calcular sua medida. Para caracterizarmos o arco trigonométrico, utilizamos o ciclo trigonométrico, em que os arcos terão uma orientação e
suas medidas podem ultrapassar 360° (2π radianos) e também podem ser negativas.
Por exemplo:
A
B
0
y
x
origem
dos arcos
+
Unidade de medida básica: Radiano
A
B
l
R
R
Arcos côngruos
São arcos que possuem as mesmas extremidades no ciclo trigonométrico.
A
B
0
y
x


= °
= °
AB 60 (arco geométrico)
AB 60 (arco trigonométrico)
Medida de AB em radianos =
l
R
Observe todas as medidas côngruas ao arco AB.
( )a − π a− π a− π a a+ π a+ π a+ π...; 6 ; 4 ; 2 ; ; 2 ; 4 ; 6
Genericamente:  = a+ πAB 2k ; K ¢
a > 0 é a primeira determinação positiva de AB