Matemática - Livro 2-136-138

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MATEMÁTICA Capítulo 5 Sequências numéricas136
6 Unicamp Considere o conjunto S = {n ∈ N  :
20 ≤ n ≤ 500}.
a) Quantos elementos de S são múltiplos de 3 e de 7?
b) Escolhendo-se ao acaso um elemento de S, qual
a probabilidade de o mesmo ser um múltiplo de
3 ou de 7?
7 Unicamp 2017 Sabendo que a e b são números reais,
considere o polinômio cúbico p(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + 1.
a) Mostre que, se r é uma raiz de p(x), então
1
r
 é uma
raiz do polinômio q(x) = x
3
+ bx
2
+ ax + 1.
b) Determine os valores de a e b para os quais a
sequência [p(-1), p(0), p(1)] é uma progressão arit-
mética (PA), cuja razão é igual a p(2).
8 EsPCEx 2016 João e Maria iniciam juntos uma corrida,
partindo de um mesmo ponto. João corre uniforme-
mente 8 km por hora e Maria corre 6 km na primeira
hora e acelera o passo de modo a correr mais
1
2
 km
cada hora que se segue. Assinale a alternativa cor
respondente ao número de horas corridas para que
Maria alcance João.
A 3  5 C 9 d 10 E 11
9 FGV-RJ 2016 A famosa “pane dos seis minutos”, ocor-
rida no jogo Alemanha 7 × 1 Brasil, é descrita a seguir:
O segundo gol foi aos 23 minutos, o terceiro aos 24 minu-
tos, o quarto aos 26 minutos e o quinto aos 29 minutos.
Se essa pane tivesse se estendido até o nal da
partida (90 minutos no total) mantendo o padrão ob-
servado de aumentar sempre um minuto, a partir do
segundo gol, nos intervalos entre gols consecutivos,
o número de gols que a Alemanha teria marcado no
Brasil seria igual a
A 13  25 C 7 d 11 E 45
10 FGV-SP 2017 Na tabela de 8 colunas e infinitas linhas nu-
meradas, indicada na figura, podemos formar infinitos
quadrados coloridos 3 × 3, como mostra um exemplo.
COLUNAS
L
IN
H
A
S
1 1 2 3 4 5 6 7 8
2 9 10 11 12 13 14 15 16
3 17 18 19 20 21 22 23 24
4 25 26 27 28 29 30 31 32
5 33 34 35 36 37 38 39 40
6 41 42 43 44 45 46 47 48
7 49 50 51 52 53 54 55 56
8 57 58 59 60 61 62 63 64
… … … … … … … … …
Nessa tabela, o quadrado colorido 3 × 3 cuja soma
dos 9 elementos é igual a 4 806 ocupa três linhas,
sendo uma delas a linha
A 71.
 67.
C 53.
d 49.
E 41
11 CP2 Observe, na figura a seguir, o número de mesas
e o número máximo de lugares disponíveis em cada
configuração.
Considere que a sequência de congurações conti
nue, segundo o padrão apresentado.
a) Complete a tabela a seguir.
Configuração Número de mesas Número de lugares
1
2
3
4
5
n
b) Quantos lugares, no máximo, estarão disponíveis
em uma configuração com 100 mesas?
12 Unicamp Considere a sucessão de figuras apresenta
da a seguir Observe que cada figura é formada por
um conjunto de palitos de fósforo.
a) Suponha que essas figuras representam os três
primeiros termos de uma sucessão de figuras que
seguem a mesma lei de formação Suponha tam
bém que F1, F2 e F3 indiquem, respectivamente, o
número de palitos usados para produzir as figuras
1, 2 e 3, e que o número de fósforos utilizados
para formar a figura n seja Fn. Calcule F10 e escre-
va a expressão geral de Fn.
b) Determine o número de fósforos necessários
para que seja possível exibir concomitantemente
todas as primeiras 50 figuras.
F
R
E
N
T
E
 2
137
13 IFCE 2016 O valor da soma 1 + 12 + 2 + 22 + 3 + 32 + ... +
+ 50 + 502 é
A 44 200.
b 40 200.
C 42 440
d 44 020.
E 42 040
14 Unicamp 2012 Uma curva em formato espiral, compos-
ta por arcos de circunferência, pode ser construída a
partir de dois pontos A e B, que se alternam como
centros dos arcos. Esses arcos, por sua vez, são semi-
circunferências que concordam sequencialmente nos
pontos de transição, como ilustra a figura a seguir, na
qual supomos que a distância entre A e B mede 1 cm.
a) Determine a área da região destacada na figura.
) Determine o comprimento da curva composta pe-
los primeiros 20 arcos de circunferência.
15 Fuvest Em uma progressão aritmética a1, a2, ..., an, ... a
soma dos n primeiros termos é dada por S bn n
n
2= + ,
sendo b um número real. Sabendo-se que a3 = 7, de-
termine:
a) o valor de b e a razão da progressão aritmética.
) o 20
o
 termo da progressão.
c) a soma dos 20 primeiros termos da progressão.
16 Fuvest 2012 Considere uma progressão aritmética
cujos três primeiros termos são dados por a 1 x
1
= + ,
a 6x
2
= e a 2x 4
3
2= + , em que x é um número real.
a) Determine os possíveis valores de x
) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da pro-
gressão aritmética correspondente ao menor
valor de x encontrado no item a.
17 Unifesp 2011 Progressão aritmética é uma sequência
de números tal que a diferença entre cada um des-
ses termos (a partir do segundo) e o seu antecessor é
constante Essa diferença constante é chamada “razão
da progressão aritmética” e usualmente indicada por r
a) Considere uma PA genérica finita (a1, a2, a3, ..., an)
de razão r, na qual n é par. Determine a fórmula
da soma dos termos de índice par dessa PA, em
função de a1, n e r.
) Qual a quantidade mínima de termos para que a
soma dos termos da PA ( 224, 220, 216, ...) seja
positiva?
18 UFF A soma dos n primeiros termos da sequência de
números reais a1, a2, , an, é
n
3
2
, para todo inteiro
positivo n.
a) Verifique se a sequência é uma progressão
geométrica ou uma progressão aritmética ou ne
nhuma das duas. Justifique sua resposta
) Calcule o milésimo termo da sequência.
19 UFSCar Observe o padrão de formação das figuras
numeradas.
a) Sabendo-se que as figuras 1, 2 e 3 são formadas,
respectivamente, por 5, 13 e 25 quadrados de
área 1 cm
2
, calcule a área da figura 10 da sequên-
cia indicada.
) Seja x o número da figura x, e f(x) o número de
quadrados de 1 cm
2
 que compõem essa mesma
figura. Em relação à função f, determine sua lei
de formação e seus conjuntos domínio e imagem.
20 EPCar 2019 Considere, no plano cartesiano, a figura
abaixo, em que os segmentos horizontais são parale
los ao eixo Ox
� 
 e os segmentos verticais são paralelos
ao eixoOy
� 
Sabe-se que:
y os comprimentos de segmentos consecutivos da
poligonal, que começa na origem O(0, 0) e termina
em Q, formam uma progressão aritmética decres
cente de razão r e primeiro termo a1, em que
1
15
r 0 ;- < <




MATEMÁTICA Capítulo 5 Sequências numéricas138
y dois comprimentos consecutivos da poligonal são
sempre perpendiculares;
y OA a= 1, AB a= 2,BC a= 3, e, assim sucessivamente, até
PQ a=
16
.
Suponha que uma formiga parta da origem O(0, 0), e
percorra a trajetória descrita pela poligonal até chegar
ao ponto Q.
Com base nas informações acima, analise as propo-
sições abaixo.
I Se a1 = 1 e r
1
16
= , então a distância d percorrida
pela formiga até chegar ao ponto Q é tal que
17
2
a .
1
=d
II. Quando a formiga estiver na posição do ponto
L(x, y) então x = -6r.
III. Se a1 = 1, então de A até C, a formiga percorrerá a
distância d = 2 + 3r.
Quanto a veracidade das proposições, tem-se
A apenas uma delas é verdadeira.
b apenas duas são verdadeiras.
C todas são verdadeiras.
d nenhuma delas é verdadeira.
21 UEPG 2017 Um agricultor plantou vários limoeiros,
formando uma fila, em linha reta, com 87 metros de
comprimento e distando 3 metros um do outro. Ali
nhado exatamente com os limoeiros, havia um galpão
que será utilizado como depósito, situado a 20 metros
de distância do primeiro limoeiro. Para fazer a colhei
ta, o agricultor partiu do galpão e, margeando sempre
os limoeiros, colheu os frutos do primeiro e levou-os,
ao galpão; em seguida, colheu os frutos do segundo,
levando-os para o galpão; e, assim, sucessivamente,
até colher e armazenar os frutos do último limoeiro.
Pelo que foi exposto e considerando que o agricultor
anda 60 metros por minuto, gasta 10 minutos para co-
lher os frutos de cada limoeiro, e mais 6 minutos para
armazená los no galpão, assinale o que for correto
01 O agricultor plantou o 12o limoeiro a 56 metros do
galpão
02 O agricultor, para realizar toda a tarefa de colheita
e armazenamento, gastou pouco mais que 9 horas.
04 O agricultor plantou 29 pés de limão
08 Quando o agricultor feza colheita dos frutos do 10
o
limoeiro, tinha passado oito vezes pelo 5
o
 limoeiro.
16 O agricultor, ao completar a tarefa de colheita e
armazenamento dos frutos de todos os limoeiros,
tinha andado 3 810 metros.
Soma:
22 Uece 2019 Considere a soma dos números inteiros ím-
pares positivos agrupados do seguinte modo:
1 + (3 + 5) + (7 + 9 + 11) + (13 + 15 + 17 + 19) +
+ (21 + 23 + 25 + 27 + 29) + ...
O grupo de ordem n é formado pela soma de n intei
ros positivos ímpares e consecutivos. Assim, pode-se
armar corretamente que a soma dos números que
compõem o décimo primeiro grupo é igual a
A 1  223. b 1  331. C 1 113. d 1   431.
23 FGV-RJ 2017 Os números naturais, a partir do 1, foram
escritos em ordem e arrumados em duas colunas, A e
B, como no quadro a seguir:
A B
Linha 1 1 2
Linha 2 3, 4 5, 6
Linha 3 7, 8, 9 10, 11, 12
Linha 4 13, 14, 15, 16 17, 18, 19, 20
Linha 5 21, 22, 23, 24, 25 26, 27, 28, 29, 30
Linha .. - -
Na linha n, o conjunto dos elementos da coluna A será
representado por LnA, e o da coluna B, por LnB.
a) Mostre que o último elemento de LnA é um qua-
drado perfeito.
) Calcule a soma dos elementos de L10B
24 EsPCEx 2014 Os números naturais ímpares são dispos-
tos como mostra o quadro
1ª linha 1
2ª linha 3 5
3ª linha 7 9 11
4ª linha 13 15 17 19
5ª linha 21 23 25 27 29
... ... ... ... ... ... ...
O primeiro elemento da 43ª linha, na horizontal, é:
A 807
b 1007
C 1 307
d 1507
E 1 807
25 Unicamp 2014 Dizemos que uma sequência de
números reais não nulos (a1, a2, a3, a4,...) é uma pro-
gressão harmônica se a sequência dos inversos
1
a
,
1
a
,
1
a
,
1
a
, ...
1 2 3 4





 é uma progressão aritmética (PA).
a) Dada a progressão harmônica
2
5
,
4
9
,
1
2
,...




, en-
contre o seu sexto termo.
) Sejam a, b e c termos consecutivos de uma pro-
gressão harmônica. Verifique que b
2ac
a c
.=
+
26 UFRJ Uma parede triangular de tijolos foi construída da
seguinte forma. Na base foram dispostos 100tijolos,
na camada seguinte, 99 tijolos, e assim sucessivamen-
te até restar 1 tijolo na última camada, como mostra a
figura Os tijolos da base foram numerados de acordo
com uma progressão aritmética, tendo o primeiro tijolo
recebido o número 10, e o último, o número 490. Cada
tijolo das camadas superiores recebeu um número