Matemática - Livro 2-265-267

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265
A fórmula para a área dos paralelogramos SParalelogramo = a ⋅ b ⋅ sen(θ),
que acaba de ser deduzida, também pode ser usada como referência
para o cálculo da área dos retângulos, losangos e quadrados.
• Os ângulos dos retângulos são retos, logo:
SRetângulo = a ⋅ b ⋅ sen(90°)
SRetângulo = a ⋅ b ⋅ 1
SRetângulo = a ⋅ b
• Os lados de um losango têm o mesmo comprimento
a = b, assim:
SLosango = a ⋅ a ⋅ sen(θ)
SLosango = a
2 ⋅ sen(θ)
• Os lados de um quadrado têm o mesmo comprimento e os ân-
gulos são retos, então:
SQuadrado = a ⋅ a ⋅ sen(90°)
SQuadrado = a
2 ⋅ 1
SQuadrado = a
2
Atenção
Exercícios resolvidos
7 Na figura a seguir, o retângulo maior está dividido em
três regiões retangulares e a região hachurada é qua
drada.
20 m2
24 m2 30 m2
Considerando as áreas indicadas na gura, a área da
região quadrada deve ser de:
A 12 m2
b 16 m2
C 18 m2
d 22 m2
E 26 m2
Resolução:
Sejam x, y e z as medidas, em metros, dos lados do
quadrado e dos retângulos, como mostra a gura:
20 m2
24 m2 30 m2
x
z
x y
Assim, das áreas das regiões retangulares, temos as
equações:
⋅ =
⋅ =
⋅ =




x z 24
y z 30
y x 20
(I)
(II)
(III)
Multiplicando as equações (I) e (III), obtemos:
x2 ⋅ y ⋅ z = 24 ⋅ 20
Substituindo y z pelo valor indicado na equação (II):
x2 30 = 480
Portanto, x2 = 16, ou seja, a área da região quadrada
é de 16 m2.
Alternativa: B
8 Enem Em uma empresa, existe um galpão que precisa
ser dividido em três depósitos e um hall de entrada
de 20 m2, conforme a figura a seguir Os depósitos I,
II e III serão construídos para o armazenamento de,
respectivamente, 90, 60 e 120 fardos de igual volu
me, e suas áreas devem ser proporcionais a essas
capacidades
10 m I
II
III
Hall
20 m2
11 m
A largura do depósito III deve ser, em metros, igual a:
A 1 b 2 C 3 d 4 E 5
Resolução:
Como as áreas AI, AII e AIII devem ser proporcionais
aos números 90, 60 e 120, temos que:
= = = ⇒
=
=
=




A
90
A
60
A
120
k
A 90k
A 60k
A 120k
I II III
I
II
III
Então, como AI + AII + AIII = (11 ⋅ 10 − 20) m
2, temos que:
90k + 60k + 120k = (110 − 20) m2
270k = 90 m2
3k = 1 m2
Sendo x a largura do depósito III, temos que:
x 10 = 120k = 40 3k = 40 1 = 40 m2 ⇒ x = 4 m
Alternativa: D
9 Determine a área de um paralelogramo cujos lados
medem 5cm e 8cm e os ângulos internos medem
30° e 150°.
Resolução:
Sendo S a área do paralelogramo:
= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =S 5 8 sen(30°) = 40 1
2
S 20 cm
2
MATEMÁTICA Capítulo 6 Áreas das figuras planas266
Área do triângulo a partir do
paralelogramo
O traçado de qualquer diagonal de um paralelogramo
determina um par de triângulos congruentes.
A
B
D
C
h
b
ABD CDB∆ ≅ ∆
Essa congruência se justifica pelo caso LLL, uma vez
que os lados opostos de um paralelogramo têm o mesmo
comprimento e que a diagonal traçada é lado comum aos
triângulos determinados.
Desse modo, como figuras congruentes possuem a
mesma área, podemos observar que a área do paralelogra-
mo equivale ao dobro da área de um dos triângulos. Assim,
sendo STriângulo e SParalelogramo, respectivamente, as áreas do
triângulo e do paralelogramo, tem-se:
⋅ =
⋅ = ⋅
=
⋅
2 S S
2 S b h
 S
b h
2
Triângulo Paralelogramo
Triângulo
Triângulo
Uma notação mais eficiente da expressão para a área
de um triângulo em função de um de seus lados e da altura
correspondente é:
= ⋅ ⋅S 1
2
b h
Triângulo
Nesse caso, quando os valores de b ou h são fracio-
nários, evitam-se as frações de frações.
Relações de equivalência no triângulo
retângulo
Também conhecidas como relações métricas, as ex-
pressões a seguir, já estudadas no capítulo 3, também
dizem respeito a equivalências de áreas
A
CHB
b
c
p
h
q
a
h = p · q
b = a · q
c = a · p
2
2
2





Qualquer um dos lados do triângulo pode ser conside-
rado como base para o cálculo da área. Assim, a metade
do produto da base pela altura resultará na área desse
triângulo, desde que seja usada sempre a altura relativa à
base escolhida.
Particularmente no caso do triângulo retângulo, quando
se escolhe um dos catetos como base, a medida do outro
torna-se a altura relativa.
A
C C A
c
h
H
B
HB
b
b
c
p
h
q
a
a
Por esse motivo, sendo h a medida da altura relativa à
hipotenusa de um triângulo de lados com medidas a, b e
c, a área desse triângulo pode ser expressa tanto por
a · h
2
quanto por
b · c
2
. Portanto:
⋅
=
⋅
⇔ ⋅ = ⋅
a h
2
b c
2
a h b c
Essas e as outras relações métricas do triângulo
retângulo que foram estudadas no capítulo 3 e demons-
tradas a partir da semelhança de triângulos também
podem ser compreendidas como relações de equiva-
lência entre áreas.
Assim, a ⋅ h = b ⋅ c é consequência da área do triângu-
lo retângulo, independentemente do lado que se escolhe
como base para o cálculo
Veja como interpretar as outras relações:
• b2 = a ⋅ q significa que a área de um quadrado de
lado b equivale à área de um retângulo de dimen-
sões a e q
• c2 = a ⋅ p significa que a área de um quadrado de
lado c equivale à área de um retângulo de dimen-
sões a e p.
• h2 = p ⋅ q significa que a área de um quadrado de
lado h equivale à área de um retângulo de dimen-
sões p e q.
As três relações apresentadas também podem ser
enunciadas em termos de média geométrica por dois teo-
remas:
I Cada cateto de um triângulo retângulo tem medida
igual à média geométrica entre as medidas de sua
projeção na hipotenusa e da própria hipotenusa.
= ⋅b a q = ⋅c a p
II A medida da altura relativa à hipotenusa de um triân
gulo retângulo é igual à média geométrica entre as
medidas das projeções dos catetos sobre a hipote
nusa.
= ⋅h p q
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Área do losango
O losango também é um paralelogramo, portanto sua
área também pode ser calculada multiplicando-se o com-
primento das medidas de sua base pela sua altura, que é
igual à distância entre dois lados opostos.
Mas, como todos os lados de um losango possuem o
mesmo comprimento, as diagonais estão contidas em seus
dois eixos de simetria, de modo que o traçado delas determi-
na quatro triângulos congruentes justapostos em seu interior.
A C
O
D
B
2
d
2
1
d
2
∆ ≅ ∆ ≅ ∆ ≅ ∆AOB BOC COD AOD
Cada um desses triângulos é retângulo no ponto de
cruzamento das diagonais do losango, e os catetos desses
triângulos têm a metade do comprimento dessas diagonais.
Assim, a área de cada um dos triângulos pode ser expressa,
em função de seus catetos, por:
= ⋅ ⋅
=
⋅
S
1
2
d
2
d
2
S
d d
8
Triângulo
1 2
Triângulo
1 2
Como o losango é formado por quatro triângulos
congruentes:
= ⋅
= ⋅
⋅
S 4 S
S 4
d d
8
Losango Triângulo
Losango
1 2
Portanto, a área do losango também pode ser expressa,
em função de suas diagonais, por:
=
⋅
S
d d
2Losango
1 2
Exercício resolvido
10 Qual a área, em metros quadrados, de um losango
com perímetro de 80cm e cujos comprimentos das
diagonais somam 50cm?
A 2,25 m2
b 0,45 m2
C 0,225 m2
d 0,045 m2
E 0,0225 m2
O problema da quadratura
No estudo da construção geométrica, a quadratura consiste em de-
terminar um segmento de reta que seja lado de um quadrado com a
mesma área de outra figura, como triân gulos, outros quadriláteros,
polígonos e até círculos. O problema da quadratura é bastante de-
safiador, e, entre as principais contribuições do seu estudo, estão
os processos para obter a média geométrica de dois segmentos
usando apenas régua, compasso, papel e lápis. Esses processos são
fundamentados nas relações de equivalência no triângulo retângulo.
Dados os segmentos de reta de comprimentos p e q, uma maneira
de se obter sua média geométrica com régua e compasso de acordo
com a expressão h2 = p ⋅ q, por exemplo, consiste em efetuar os
seguintes passos:
1. Construir sobre uma mesma reta r os segmentos consecutivos AB
e BC com medidas AB = p e BC = q
2 Traçar uma reta s perpendicular a r pelo ponto B
3 Construir as circunferências de centro em A e raio AC e de centro
em C e raio CA, obtendo os pontos D e E.
4. Traçar a reta
� 
DE, obtendo o ponto M sobre a reta r.
5. Traçar uma semicircunferênciade centro M e raio MA, obtendo o
ponto F sobre a reta s.
Feitas essas construções, o comprimento do segmento BF deverá
ser igual à média geométrica dos comprimentos p e q.
Com p > q e o ponto C situado fora do segmento AB, uma figura que
representa corretamente o desenho dessa solução é:
A
D
F
r
p q
E
M B C
s
Como o triângulo AFC está inscrito na semicircunferência de diâmetro
AC, conclui-se que se trata de um triângulo retângulo de hipotenusa
AC. Então, traçando seus catetos, pode-se observar como a relação
métrica h2 = p ⋅ q justifica essa construção da média geométrica.
A
F
r
h
p qB C
s
Assim, quanto mais precisas forem as construções feitas com os
instrumentos de desenho, mais próxima a medida h do segmento
BF estará do lado do quadrado cuja área equivale à de um retângulo
de lados p e q.
Esse processo pode ser usado para efetuar a quadratura de qualquer
polígono. A impossibilidade da quadratura do círculo foi demonstrada
no final do século XIX como resultado dos trabalhos de Carl Friedrich
Gauss, Pierre Laurent Wantzel e Ferdinand von Lindemann.
Saiba mais