Matemática - Livro 3-016-018

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MATEMÁTICA Capítulo 9 Funções circulares16
Fazendo x = 180° α, temos:
• ( ) ( )° = ° ° + α = α =sen 180 x sen 180 180 sen 1
3
• cos (360° – x) = cos (360° – 180° + α) =
( )= ° + αsen 180 2 2
3
• ( )=sen x 1
3
• ( )
( )
( )
° =
°
° −
=cotg 90 x
cos 90 x
sen 90 x
( )
( )
=
° ° + α
° − ° + α
cos 90 180
sen 90 180
( )
( )
=
α °
α − °
=
cos 90
sen 90
= = =
1
3
2 3
3
1
2 2
2
4
1 Considere o arco ∈
π
π





x
2
; , tal que =sen x
2
4
Deter-
mine o valor da tg x.
2 Considere ∈
π




x 0;
2
e tg x = 3 Determine os valores
de sen x e cos x
3 Conhecendo o arco x do 2o quadrante, tal que
=cosx
1
3
, determine as demais funções circulares
trigonométricas conhecidas
4 Simplificar as seguintes expressões:
a)
cos x
sen x sen x
3
3
b)
sen x 2sen x
2cos x cos x
3
3 -
c)
1
1 tg x
1
sec x
cos x
cossec x
2 2
2
2
+
− +
5 Sendo x + y = 90°, prove que:
(sen x - sen y)2 + (cos x + cos y)2 = 2.
Revisando
• tg (180° + x) = tg (180° + 180° α) = tg (360° α) =
( )
( )
=
° α
° α
=
−
=
−sen 360
cos 360
1
3
2 2
3
2
4
• tg (90° + x) = tg (90° + 180° α) = tg (270° α) =
( )
( )
=
° α
° − α
=
−
=
sen 270
cos 270
2 2
3
1
3
2 2
Substituindo os resultados na expressão, temos:
( ) =
⋅ ⋅
− ⋅ ⋅
−
=E x
1
3
2
4
2 2
3
2
4
2 2
1
3
1
3
F
R
E
N
T
E
 1
17
1 PUC-SP
-tgx senx
sen x
3
 é igual a:
A +
secx
1 cosx

secx
1 cosx
C +
senx
1 cosx
d -
senx
1 cosx
E +
cosx
1 cosx
2 UEPG 2019 Considerando que
= + +




A 2cos(4x) sen(2x) tg
x
2
sec(8x), para
=
π
x
2
, =
π



+ π




+ π




B cos
2
3
sen
3
2
tg
5
4
 e
C = tg2 x, com =senx
2
3
, assinale o que for correto.
01 A + B + C é um número positivo.
02 A e B são as raízes da equação 2x2 3x 2 = 0.
04 A soma dos coeficientes do binômio (A + 2Bx)10 é um
08 A área do retângulo com lados medindo A e C é
um número primo
Soma:
3 UFRGS Se = ∈
π




tga
1
2
 e a 0,
2
, então cos a é igual a:
A 3
2

6
2
C
6
3
d 2 5
5
E 5
2
4 AFA Se =cos a
2 5
5
 e cossec a < 0, então tg a + cotg a
vale:
A
5
2

-3
2
C
3
2
d
5
2
E –1
5 AFA Se = < <
π
tg x
1
3
 e 0 x
2
, então (sen x) (cos x) é:
A 10
10

3
10
C 2 10
5
d 10
5
E 10
6 EEAR 2019 O segmento AT é tangente, em T, à circun-
ferência de centro O e raio R = 8 cm. A potência de
A em relação à circunferência é igual a cm2.
A 16
 64
C 192
d 256
7 Verifique as identidades a seguir.
a) sen x
cos x
sen x
cossec x
2
+ =
b) sen x cos x sen x cos x 2
2 2
( ) ( )+ + =
c) 1 + tg x =
1
1 sen x
2
2
)
tg x cotg x
tg x cotg x
tg x 1
tg x 1
2
2
+
=
+
−
e)
1 cos x
1 cos x
cotg x
2cos x 1
cos x 1
2
2
−
+
=
−
f)
cos x sen x 1
sen x
1
sec x
1
tg x
( )
=
g)
sec x 1
sec x
sen x cos x sen x
sen x
0
2
2
2
+ =
h) sec x
cos x
1 sen x
tg x
+
=
i) sec x tg x
1 sen x
1 sen x
2
( )+ =
+
−
j) cossec x cotg x
1 cos x
1 cos x
2
( )+ =
+
k) sec x cotg x cossec x
1 tg x
1 cotg x
2 2 2
2
2
+ = +
+
+
l) 1 sen x 1 sen x 1 tg x 12( )( ) ( )⋅ + ⋅ + =
m) 1 cos x 1 cos x 1 cotg x 12( )( ) ( )⋅ + ⋅ + =
n)
cos x cos x
sen x sen x
sen x sen x
cos x cos x
3
3
3 5
3 5
−
=
−
Exercícios propostos
MATEMÁTICA Capítulo 9 Funções circulares18
8 UFMS 2020 Um estudante de Arquitetura deseja fazer
um projeto igual à área escura da figura a seguir:
Na gura, o arco AT é igual a x e o segmentoHV é per-
pendicular ao segmentoOT. Assim, o valor deHV é:
A sen x + tg x.
 cos x + tg x.
C cotg x + tg x.
d cotg x + sec x.
E cotg x + cossec x.
9 Unicamp 2020 A figura abaixo exibe o triângulo retân-
gulo ABC, em que AB = AM = MC. Então, tg θ é igual a
A
1
2
 1
3
C 1
4
d 1
5
10 Mackenzie 2018 Se =cosx
2
3
,
π
≤ ≤ π
3
2
x 2 , então o va-
lor de tg x é igual a:
A 5
3
 -
5
2
C 5
3
d 5
2
E 2 5
11 Famema 2018 A figura mostra um quadrado ABCD,
com 6 cm de lado, e um triângulo retângulo ABF de
hipotenusa AF, com o ponto F no prolongamento do
lado BC e o ponto E sendo a interseção dos segmen-
tos DC e AF.
Sabendo que o ângulo FÂB mede 60°, a medida do
segmento CE é
A +( 3 3) cm.
 +(2 3 3) cm.
C +2(3 3) cm.
d 2 3 cm.
E -2(3 3) cm.
12 Fatec Se x e y são números reais, tais que:
=
− ⋅
− ⋅
y
e e tg x
secx tg x secx
x x 4
2 , então:
A y = ex
 y = ex (1 + tg x)
C =y
e
cosx
x
d =y
e
secx
x
E y = ex · tg x
13 Udesc 2017 A expressão
+
+
+
+
sec (x) 1
tg (x) 1
cossec (x) 1
cotg (x) 1
2
2
2
2
 é
igual a:
A 1 2 cos2 (x)
 3 + 2 cos2 (x)
C 3 + 2 sen2 (x)
d 1
E 1 + 2 sen2 (x)
14 EEAR 2019 Simplificando a expressão sen (2p - x) +
+ sen (3p + x), obtém-se:
A sen x
 -sen x
C 2 sen x
d -2 sen x
15 UFPA Qual das expressões a seguir é idêntica a:
⋅
1 sen x
cotgx senx
2
?
A sen x
 cos x
C tg x
d cossec x
E cotg x
16 UFRN A expressão (sec2 x tg2 x) é equivalente a:
A 2
 1
C zero.
d 1
E 2