Matemática - Livro 3-118-120

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MATEMÁTICA Capítulo 8 Números complexos118
Multiplicando essas duas equações, temos:
(t x) ⋅ (t y) = 0
Aplicando a propriedade distributiva e reorganizando
os termos dessa equação, obtemos:
(t - x) ⋅ (t - y) = 0⇔ t2 - t ⋅ y - t ⋅ x + x ⋅ y = 0⇔
⇔ t2 - t ⋅ (x + y) + x ⋅ y = 0
Então, observando as igualdades do sistema proposto,
chega-se à equação quadrática equivalente:
+ =
⋅ =



⇔ - ⋅ + =x y s
x y p
 t s t p 0
2
Assim, para encontrar dois números reais cuja soma
seja igual a 10 e o produto igual a 7, por exemplo, basta
resolver uma equação quadrática:
+ =
⋅ =



⇔ ⋅ + =x y 10
x y 7
 t 10 t 7 0
2
O discriminante da equação na variável t é:
∆ = (-10)2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 7 = 100 - 28 = 72
Então, supondo x > y, da fórmula quadrática, tem-se:
= - - ±
⋅
= ±
= +
=
�

t
( 10) 72
2 1
10 6 2
2
x 5 3 2
y 5 3 2
Porém, não é sempre possível encontrar dois números
reais que satisfaçam sistemas como esses, pois o discri-
minante da equação quadrática equivalente pode ser
negativo Observe o próximo exemplo:
+ =
⋅ =



⇔ + =x y 1
x y 2
 t t 2 0
2
O discriminante da equação na variável t é:
∆ = (-1)2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 2 = 1 - 8 = -7
Como ∆ < 0, conclui-se não haver números reais x e y
tais que sua soma seja 1 e seu produto 2
Para determinar dois números conhecendo a soma e o produto de
ambos, basta resolver uma equação quadrática do tipo ax
2 + bx +
+ c = 0, em que:
a 1
b (Soma dos números procurados)
c (Produto dos números procurados)
=
=
= +





Assim, a equação será:
1 ⋅ x2 (Soma) ⋅ x + (Produto) = 0
As soluções dessa equação são os números procurados.
Atenção
Exercícios resolvidos
5 Encontre dois números reais cuja soma é 6 e o pro-
duto é 4.
Resolução:
Sendo x ≥ y os números procurados, tem-se o siste-
ma: x y 6
x y 4
+ =
⋅ =



A equação quadrática equivalente é t
2
 6t + 4 = 0.
∆ = (-6)2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 4 = 36 - 16 = 20
�

t
( 6) 20
2 1
6 2 5
2
x 3 5
y 3 5
= ±
⋅
= ±
= +
=
Vericando a solução:
x y 3 5 3 5 6
x y 3 5 3 5 9 5 4( ) ( )
+ = + + =
⋅ = + ⋅ = =




6 Sendo x e y os números reais que satisfazem o siste-
ma + =
⋅ =



x y 10
x y 4
2 2
 então:
A x : y = 6
b x : y = −6
C x : y = −2
d x : y = 2
E y : x = 6
Resolução:
Elevando à 2
a
 potência ambos os membros da 2
a
 equa-
ção do sistema, obtemos:
(x ⋅ y)2 = 42 ⇔ x2 ⋅ y2 = 16
Então, fazendo X = x2 e Y = y2, temos o sistema:
+ =
⋅ =



X Y 10
X Y 16
A equação quadrática equivalente é t2 - 10 ⋅ t + 16 = 0.
∆ = (-10)2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 10 = 100 - 64 = 36
= ±
⋅
= ±
=
=
�

t
( 10) 36
2 1
10 6
2
X 8
Y 2
De x
2 = 8 tem-se: = ± = ±x 8 2 2 .
De y
2 = 2 tem-se: = ±y 2
O produto x ⋅ y é positivo, então os números procura-
dos possuem o mesmo sinal
Assim:
x y x y
x y x y
= + ⇒ = + ⇒ =
= - ⇒ = - ⇒ =



2 2 2 2
2 2 2 2
:
:
Alternativa: D
O método de Cardano e Tartáglia
Em seu trabalho, Cardano mostra como transformar
as equações cúbicas completas em equações incomple-
tas do tipo adequado ao processo que Tartáglia havia lhe
ensinado.
A ideia é relativamente simples, envolvendo apenas
uma mudança de variável, porém há uma quantidade con-
siderável de cálculos envolvidos.
Uma equação do 3
o
 grau completa possui coeficientes
a, b, c e d, não nulos, tais que:
ax
3 + bx2 + cx + d = 0
F
R
E
N
T
E
 2
119
A atribuição = -x y b
3a
 gera uma equação na variável y desprovida do termo de 2o grau.
Veja como isso ocorre em um exemplo com coeficientes numéricos:
x3 6x2 + 18x 13 = 0
Nessa equação cúbica, tem-se:
=
= -
=
=






a 1
b 6
c 18
d 13
Com esses valores a mudança de variável, proposta por Cardano, fica expressa pela seguinte atribuição:
= - ⇒ = - -
⋅
⇔ = +x y b
3a
 x y
6
3 1
 x y 2
Assim, fazendo x = y + 2 na equação original obtém-se:
- + - =
+ + + + =
+ + + + + + + =
+ + + - - - + + - =
�   �  
x 6x 18x 13 0
(y 2) 6(y 2) 18(y 2) 13 0
y 6y 12y 8 6(y 4y 4) 18(y 2) 13 0
y 6y 12y 8 6y 24y 24 18y 36 13 0
3 2
3 2
3 2 2
3 2 2
Cancelando os temos +6y2 e −6y2, pode-se isolar y3 obtendo-se: y3 = 6y 7.
Equação cúbica incompleta
Uma vez eliminado o termo do 2o grau em uma equação cúbica, aplica-se o método que Tartáglia ensinou a Cardano.
Esse método resolve as equações do tipo:
x3 = px + q
Em termos algébricos, o primeiro passo do método de Tartáglia consiste na comparação dos termos da equação
x3 = px + q com os da identidade (a + b)3 ≡ 3ab(a + b) + (a3 + b3). Assim:
+
↓
≡ ⋅ +
↓
+ +
↓
= ⋅ +
� � 
(a b) 3ab (a b) (a b )
 x p x q
3 3 3
3
Aqui, a atribuição x = a + b implica as igualdades:
=
+ =



3ab p
a b q
3 3
≡ ⋅ + +
= ⋅ +
↓ ↓
�
(x) 3ab (x) a b
 x p x q
3 3 3
3
De fato, o que Tartáglia propõe é encontrar o valor de x em duas partes, a e b, sabendo que essas partes devem
satisfazer o seguinte sistema de equações: + =
=



a b q
3ab p
3 3
Para resolver o sistema, dividem-se ambos os membros da segunda equação por 3: =ab p
3
.
Depois, elevam-se ao cubo ambos os membros do que foi obtido:
=




⇔ =(ab) p
3
 a b
p
27
3
3
3 3
3
Então, substitui se a 2a equação do sistema pela sua nova versão cúbica, ficando com um sistema de equações do
tipo soma e produto:
a b q
a b
p
3 3
3 3
3
27
+ =
⋅ =




Para facilitar a observação desse fato, podem ser feitas mais 2 atribuições:
=
=




A a
B b
3
3
.
Com essas mudanças de variáveis o sistema terá a seguinte forma:
+ =
⋅ =




A B q
A B
p
27
3
MATEMÁTICA Capítulo 8 Números complexos120
A equação quadrática equivalente ao sistema é
t q t
p2
3
27
0⋅ +



 = .
Lembrando que, nessa equação, os valores de p e q
são conhecidos e a variável t representa, simultaneamen-
te, os valores de A e B. Então, se o discriminante não for
negativo, será possível determinar os números reais A e B,
por meio da fórmula quadrática.
Depois de encontrados esses valores, a solução x da
equação cúbica incompleta fica expressa pela soma de
suas raízes cúbicas,
= +
=
=





x a b
a A
b B
3
3
.
Assim, tem-se finalmente que: = +x A B3 3 .
De acordo com os teoremas da Álgebra, uma equação cúbica pode
possuir de uma a três soluções reais diferentes, e o método de
Cardano e Tartáglia, descrito neste capítulo, mostra apenas como
encontrar uma delas.
Para encontrar as outras soluções reais, quando elas existirem, faze-
mos uso de um algoritmo para divisão de polinômios conhecido como
dispositivo prático de Briot-Ruffini que, a partir da equação original e
da solução encontrada pelo método de Cardano e Tartáglia, produz
uma equação quadrática cujas soluções coincidem com as demais
soluções da equação cúbica original.
Esse processo será bastante executado no estudo dos próximos
capítulos.
Atenção
Voltando ao exemplo anterior, em que uma equação
cúbica completa foi proposta:
x
3
 6x
2 + 18x 13 = 0
Por meio da atribuição x = y + 2 houve uma mudança
de variável que levou à equação incompleta:
y
3 = -6y - 7
 Comparando essa equação com a identidade
(a + b)3 ≡ 3ab(a + b) + (a3 + b3) tem-se as seguintes atribuições:
y a b
a b
ab
= + ⇒ + = -
=



3 3
7
3 6
Dividindo por 3 a segunda equação: 3ab = -6⇔ ab = 2
Elevando ao cubo: (a ⋅ b)3 = ( 2)3 ⇔ a3 ⋅ b3 = 8.
Fazendo a
3 = A e b3 = B obtém-se o sistema soma e
produto:
A B
A B
+ = -
⋅ =



7
8
A equação do 2
o
 grau equivalente ao sistema é
t
2 + 7t 8 = 0.
Resolvendo pela fórmula quadrática:
∆ = 72 - 4 ⋅ 1 ⋅ (-8) = 49 + 32 = 81
= - ±
⋅
= - ±
=
=
�

t
7 81
2 1
7 9
2
A 1
B 8
Lembrando que, das soluções da equação quadrática,
tanto faz qual é o valor de A e qual é o valor de B, pois a
solução da equação do 3
o
 grau incompleta é igual à soma
das raízes cúbicas de A e B:
= + = + =y 1 8 1 ( 2) 13 3
Assim, substituindo y = −1 na atribuição x = y + 2, que
promoveu a primeira mudança de variável do problema,
obtém-se finalmente uma das soluções da equação original:
x = -1 + 2 = 1
Portanto, uma das soluções da equaçãox
3 - 6x2 +
+ 18x 13 = 0 é x = 1
Exercícios resolvidos
7 Encontre uma solução real para a equação x
3 = 6x + 9.
Resolução:
Fazendo x = a + b e comparando a equação à identi-
dade (a + b)3 ≡ 3ab(a + b) + (a3 + b3) tem-se:
a b
ab ab a b
3 3
3 3
9
3 6 2 8
+ =
= ⇔ = ⇔ =




Fazendo a
3 = A e b3 = B, tem-se:
A B
A B
t t
+ =
⋅ =



⇒ + =
9
8
9 8 0
2
Resolvendo a equação quadrática equivalente ao sis-
tema:
∆ = (-9)2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 8 = 81 - 32 = 49
t
( 9) 49
2 1
9 7
2
A 8
B 1
= ±
⋅
= ±
=
=
�

Assim, x A B 8 1 2 1 33 3 3 3= + = + = + = . Portanto, x = 3
é uma solução real da equação proposta
8 Encontre uma solução real para a equação a seguir:
x
3
 − 15x − 30 = 0
Resolução:
Isolando o termo de 3
o
 grau, obtemos x
3 = 15x + 30.
Fazendo x = a + b e comparando a equação à identi-
dade (a + b)3 ≡ 3ab(a + b) + (a3 + b3) tem-se:
a b
ab ab a b
3 3
3 3
30
3 15 5 125
+ =
= ⇔ = ⇔ =




Fazendo a
3 = A e b3 = B, tem-se:
A B
A B
t t
+ =
⋅ =



⇒ + =
30
125
30 125 0
2
Resolvendo a equação quadrática equivalente ao sis-
tema:
∆ = ( 30)2 4 ⋅ 1 ⋅ 125 = 900 500 = 400
t
( 30) 400
2 1
30 20
2
A 25
B 5
=±
⋅
= ±
=
=
�

De x A B3 3= + tem-se que x 25 53 3= + é uma solu-
ção real da equação proposta.