Matemática - Livro 3-139-141

Prévia do material em texto

F
R
E
N
T
E
 2
139
Dado que |z1 z2| = 2, o valor de a é:
A 2
b 1.
C 3.
d
3
2
E
1
2
.
Resolução:
A sentença |z1 z2| = 2 informa que o lado do triângulo
equilátero mede 2. Sendo assim, tem-se:
( )
( )
= ⇔ + = ⇔ + = ⇔
⇔ += ⇔ ++ = ⇔
⇔ = ⇒ = =
z z 2 a 3 ai 2i 2 a 3 a 2 i 2
a 3 (a 2) 2 3a a 4a 4 4
4a 4a 0 a 1 ou a 0
3 2
2
2 2 2
2
Como a é um número positivo, tem-se: a = 1.
Alternativa: B
Argumento de um número complexo
Dado um número complexo z, considere os arcos tri
gonométricos determinados pelo semieixo real positivo e
o vetor associado a z. As medidas, em graus ou radianos,
desses arcos são chamadas de argumentos do número
complexo.
A menor medida não negativa θ, de um argumento de z,
é indicada pela sigla Arg e denominada argumento principal
de z Assim, tem-se:
Argumento principal Em graus Em radianos
θ = Arg(z) 0o ≤ θ < 360o 0 ≤ θ < 2p
Cada número complexo não nulo possui uma infini-
dade de argumentos que, em graus, diferem em algum
múltiplo de 360
o
. Assim, as medidas 240
o
, 120
o
 e 480
o
,
por exemplo, podem ser argumentos de um mesmo nú-
mero complexo z. Nesse caso, o argumento principal é:
Arg(z) = 120o
Sendo z um número complexo da forma a + bi, com
a ⋅ b ≠ 0, há quatro casos a serem considerados a respeito
da medida em graus: θ = Arg(z).
• Se o afixo (a, b) pertence ao 1
o
 quadrante, então:
0
o
 < θ < 90o
i»
»
b > 0
a > 0
θ
z = a + bi
• Se o afixo (a, b) pertence ao 2
o
 quadrante, então:
90
o
 < θ < 180o
i»
»
b > 0
a < 0
θ
a + bi = z
• Se o afixo (a, b) pertence ao 3
o
 quadrante, então:
180
o
 < θ < 270o
i»
»
b < 0
a < 0
θ
a + bi = z
• Se o afixo (a, b) pertence ao 4
o
 quadrante, então:
270
o
 < θ < 360o
i»
»
b < 0
a > 0
θ
z = a + bi
Particularmente os números reais positivos têm argu-
mento nulo e os números reais negativos têm argumento
em graus igual a 180
o
 Exemplos:
+ =
=




Arg( 1) 0
Arg( 1) 180
o
o
Além disso, em graus, os números imaginários puros
positivos têm argumento 90
o
 e os imaginários puros ne-
gativos têm argumento 270
o
. Exemplos:
+ =
=




Arg( i) 90
Arg( i) 270
o
o .
Em radianos, os argumentos principais das unidades
do conjunto dos inteiros de Gauss são:
i»
»
i
+1–1
–i
+ =
+ = p
= p
- = p
Arg( 1) 0
Arg( i)
2
Arg( 1)
Arg( i)
3
2
MATEMÁTICA Capítulo 8 Números complexos140
Exercício resolvido
 31 Encontre os argumentos principais, em graus, dos se-
guintes números:
a) z = 7
b) w = 6
c) x = 5i
d) y = 4i
Resolução:
a) −7 é um número real negativo. Portanto, Arg(−7) = 180o.
b) 6 é um número real positivo. Portanto, Arg(6) = 0o.
c) −5i é um imaginário puro negativo. Portanto, Arg(−5i) =
= 270o
d) 4i é um imaginário puro positivo. Portanto, Arg(4i) =
= 90o
O valor do módulo e os valores das partes real e ima
ginária de um número complexo z podem ser usados para
exprimir as frações para as imagens das funções trigono-
métricas dos argumentos de z.
Assim sendo θ = Arg(z), tem-se:
sen( )
(z)
|z|
θ =
Im
cos( )
(z)
|z|
θ =
Re
E, se z não for imaginário puro:
tg
z
( )
(z)
θ =
Im( )
Re
Na prática, o valor do argumento principal de um nú-
mero complexo z, que não é nem real nem imaginário puro,
pode ser mais facilmente obtido calculando primeiro o valor
de sua tangente, e depois observando o quadrante em que
se encontra o afixo de z. Exemplos:
a Sendo θ = Arg(6 + 6i) tem-se:
tg
i quadranteo
o( )θ θ
= =
+ ∈




⇒ =
6
6
1
6 6 1
45
b. Sendo ( )θ = +Arg 2 2 3i tem-se:
tg
i quadranteo
o o o( )
 2
θ
θ
= = -
- + ∈




⇒ = =
2 3
2
3
2 2 3
180 60 120
c. Sendo ( )θ = - -Arg 3 i tem-se:
tg
i quadranteo
o o o( )
 3
θ
θ
=
-
=
∈




⇒ = + =
1
3
3
3
3
180 30 210
d. Sendo θ = Arg(1 - i) tem-se:
tg
i quadranteo
o o o( )
 4
θ
θ
= - = -
∈




⇒ = =
1
1
1
1
360 45 315
Exercício resolvido
 32 A soma dos argumentos principais dos complexos
z = 2 + 2i e w 3 3= + , em graus, é igual a:
A 180o
 165o
C 115o
 90o
E 75o
Resolução:
Sendo α = Arg(z) tem-se:
tg
z quadrante
o o o( )
2
α α= -
=
∈




⇒ = - =
2
2
1
180 45 135
º
Sendo b = Arg(w) tem-se:
tg
w quadrante
o( )b b=
∈




⇒ =
3
3
1
30
º
Logo, α + b = 135o + 30o = 165o.
Alternativa: B
Classificação dos números complexos de acordo
com seus argumentos
Sendo θ um argumento, em radianos, do número complexo z e k um
número inteiro, temos que:
• Se z é um número real, então: θ = kp.
• Se z é imaginário puro, então:
2
kθ =
p
+ p.
Saiba mais
Forma trigonométrica de um número
complexo
Dado um número complexo z não nulo, sendo θ um de
seus argumentos, tem-se que:
sen senθ θ
θ
= ⇒ = ⋅
= ⇒ = ⋅
Im
Im
cos
Re
Re co
(z)
|z|
 (z) |z|
(z)
|z|
 (z) |z| ssθ





Assim, substituindo as partes real e imaginária da forma
algébrica do número z, obtém-se:
z = Re(z) + Im(z) ⋅ i⇔ z = |z| ⋅ cosθ + |z| ⋅ senθ ⋅ i
Finalmente, colocando em evidência o módulo do com-
plexo z, encontra-se a expressão que é chamada de forma
trigonométrica do número complexo:
z = |z| ⋅ (cosθ + i ⋅ senθ)
Há uma abreviação para a expressão entre parênteses
na forma trigonométrica. As primeiras letras das funções
cosseno e seno, intercaladas pela letra i, que é a unidade
imaginária, geram a sigla cis:
cos θ + i ⋅ sen θ = cis θ
F
R
E
N
T
E
 2
141
A forma trigonométrica de um número complexo tam
bém pode ser escrita como:
z = |z| ⋅ cisq
Quando um número complexo tem módulo unitário, sua
forma trigonométrica fica expressa apenas por cisθ. Assim,
as formas trigonométricas das unidades do conjunto dos
números inteiros de Gauss são:
1 = cis0o i = cis90o 1 = cis180o i = cis270o
Em alguns casos, quando o argumento principal de um
número complexo é θ > 180o, o maior argumento negativo
equivalente costuma ser usado nas formas trigonométricas
como, por exemplo:
i = cis270o = cis( 90o)
Assim, dois números complexos conjugados podem ser
representados usando-se arcos opostos nas suas formas
trigonométricas:
z = |z| ⋅ (cosθ + i ⋅ senθ) ⇔ z = |z| ⋅ (cos(-θ) + i ⋅ sen(-θ))
cisθ = cis(-θ)
Exercício resolvido
 33 Escreva os seguintes números complexos em suas
formas trigonométricas:
a) 5
b) −8
c) 10i
d) −11i
e) 1 i
f) 2 2i
g) +3 i
2
h) +1 i 3
Resolução:
a) Como |5| = 5 e Arg(5) = 0o, tem-se: 5 = 5(cos0o + i ⋅ sen0o)
b) Como | 8| = 8 e Arg(−8) = 180o, tem-se: 8 = 8(cos180o +
+ i ⋅ sen180o)
c) Como |10i| = 10 e Arg(10i) = 90o, tem-se: 10i = 10(cos90o +
+ i ⋅ sen90o)
d) Como |-11i| = 11 e Arg(−11i) = 270o, tem-se: -11i =
= 11(cos270o + i ⋅ sen270o)
e) Sendo z = 1 – i tem-se:
|z| 1 ( 1) 2
tg( )
1
1
1
z 4º quadrante
 Arg(z) 360 45 315
2 2
o o o
= + =
θ = = -
∈




⇒ θ = = =
Portanto: 1 i 2 (cos315 i sen315 )o o= + ⋅
f ) Sendo z = 2 2i tem-se:
|z| ( 2) ( 2) 8 2 2
tg( )
2
2
1
z 3º quadrante
 Arg(z) 180 45 225
2 2
o o o
= - + - = =
θ = - =
∈




⇒ θ = = + =
Portanto: 2 2i 2 2 (cos225 i sen225 )o o= + ⋅ .
g) Sendo z
3 i
2
= + tem-se:
=



 +




= + = =
θ = = =
∈







⇒ θ = =
|z|
3
2
1
2
3
4
1
4
1 1
tg( )
1
2
3
2
1
3
3
3
z 1º quadrante
 Arg(z) 30
2 2
o
Portanto: 3 i
2
(cos30 i sen30 )
o o+ = + ⋅ .
h) Sendo z 1 i 3= - + tem-se:
|z| ( 1) 3 1 3 4 2
tg( )
3
1
3
z 2º quadrante
 Arg(z) 180 60 120
2
2
o o o
( )= - + = + = =
θ = =
∈




⇒ θ = = - =
Portanto: 1 i 3 2(cos120 i sen120 )o o+ = + ⋅
Para obter a forma algébrica de um número complexo z
que é dado na forma trigonométrica, basta que se calculem
os valores do cosseno e do seno do argumento e depois
que seja efetuada a distributiva do módulo de z
Exemplo:
z 4(cos30 i sen30 ) 4
3
2
i
1
2
4 3
2
4
2
i 2 3 2i
o o= + ⋅ = + ⋅



 =
= + ⋅ = +
Exercício resolvido
 34 Escreva os seguintes números complexos em suas
formas algébricas:
a) cis 30o
b) 2cis 45o
c) 3 cis 60
o
d) 3cis 90o
e) 4cis 120o
f) 5cis p
g)
p
6 cis
7
6
h) 8cis 495o