Matemática - Livro 3-151-153

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F
R
E
N
T
E
 2
151
Mesmo quando w é um número real a resolução de uma equação
do tipo z
2 = w pode obedecer ao método das coordenadas polares
A equação z
2 = 4, por exemplo, fica:
(|z|, θ)2 = (4, 0°) ⇔ (|z|2, 2θ) = (4, 0°)
|z| |z|
2
4
2 0 360
4 2
180 0 1
=
= + ⋅




⇔
= =
= ∈ { }



θ θ° ° °k k k, ,
Veja a tabela com as soluções em suas várias formas:
Forma polar Forma trigonométrica
Forma
algébrica
z = (|z|, θ) z = |z|(cos θ + i ⋅ sen θ) z = a + b ⋅ i
z0 = (2, 0°) z0 = 2(cos 0° + i ⋅ sen 0°) z0 = +2
z1 = (2, 180°) z1 = 2(cos 180° + i ⋅ sen 180°) z1 = 2
A equação z
2 = −9, por exemplo, fica:
(|z|, θ)2 = (9, 180°) ⇔ (|z|2, 2θ) = (9, 180°)
|z| |z|
2
9
2 180 360
9 3
90 180 0 1
=
= + ⋅




⇔
= =
= + ∈ { }


θ θ° ° ° °k k k, ,


Veja a tabela com as soluções em suas várias formas:
Forma polar Forma trigonométrica
Forma
algébrica
z = (|z|, θ) z = |z|(cos θ + i ⋅ sen θ) z = a + b ⋅ i
z0 = (3, 90°) z0 = 3(cos 90° + i ⋅ sen 90°) z0 = +3i
z1 = (3, 270°) z1 = 3(cos 270° + i ⋅ sen 270°) z1 = -3i
Saiba mais
Equações de grau n > 2
Sempre que n > 2 as soluções das equações do tipo
zn = w determinam, no plano complexo, os vértices de um
polígono regular com exatamente n lados. Assim:
• z3 = w têm soluções complexas que determinam um
triângulo equilátero.
• z4 = w têm soluções complexas que determinam um
quadrado.
• z5 = w têm soluções complexas que determinam um
pentágono regular
• z6 = w têm soluções complexas que determinam um
hexágono regular.
• 
Cada um desses polígonos encontra-se inscrito em
uma circunferência polar cujo raio mede:
r = |w|n
Veja, por exemplo, como resolver e representar grafi-
camente as soluções da equação do 3o grau z3 = -8i, pelo
método das coordenadas polares.
Como |-8i| = 8 e Arg(-8i) = 270o, sendo θ = Arg(z):
z3 = -8i ⇔ (|z|, θ)3 = (8, 270o) ⇔ (|z|3, 3θ) = (8, 270o)
{ }
=
θ = + ⋅




⇔
= =
θ = + ⋅ ∈




|z| 8
3 270 k 360
|z| 8 2
90 k 120 , k 0, 1, 2
3
o o
3
o o
A tabela apresenta as soluções dessa equação em
suas várias formas:
Forma polar Forma trigonométrica Forma algébrica
z = (|z|, θ) z = |z|(cosθ + i ⋅ senθ) z = a + b ⋅ i
z0 = (2, 90
o) z0 = 2(cos90
o + i ⋅ sen90o) z0 = 2i
z1 = (2, 210
o) z1 = 2(cos210
o + i ⋅ sen210o) z 3 i
1
=
z2 = (2, 330
o) z2 = 2(cos330
o + i ⋅ sen330o) z 3 i
2
= -
A figura a seguir mostra a representação geométrica
das soluções desta equação:
0 2
z
0
z
1
z
2
i»
»
Exercício resolvido
 39 Unesp As soluções da equação z3 = i, onde z é um
número complexo e i2 = 1, são:
A = ± +z 2
2
1
2
i ou z = i
 = ±z 3
2
1
2
i ou z = – i.
C = ± +z 3
2
1
2
i ou z = – i.
 = ±z 2
2
1
2
i ou z = – i.
E = ±z 1
2
3
2
i ou z = i.
MATEMÁTICA Capítulo 8 Números complexos152
Resolução:
Sendo θ o argumento principal do número z, temos que z = (|z|, θ). Então, escrevendo-se o número i na forma polar,
a equação z
3 = i implica:
{ }θ = ⇔
=
θ = + ⋅




⇔
= =
θ = + ⋅ ∈




(|z| , 3 ) (1, 90 )
|z| 1
3 90 k 360
|z| 1 1
30 k 120 , k 0, 1, 2
3 o
3
o o
3
o o
Assim, temos:
= ⇒ = = + ⋅ = +k 0 z (1, 30 ) cos30 i sen30 3
2
1
2
i
0
o o o
= ⇒ = = + ⋅ =+k 1 z (1, 150 ) cos150 i sen150 3
2
1
2
i
1
o o o
k = 2⇒ z2 = (1, 270
o
) = cos270o + i ⋅ sen270o = -i
Alternativa: C
Considere a equação do 4
o
 grau z
4 = −16, por exemplo, e veja como resolver e representar suas soluções pelo método
das coordenadas polares.
Como |-16| = 16 e Arg(-16) = 180o, sendo θ = Arg(z):
z
4 = 16⇔ (|z|, θ)4 = (16, 180o)⇔ (|z|4, 4θ) = (16, 180o)
{ }
=
θ = + ⋅




⇔
= =
θ = + ⋅ ∈




|z| 16
4 180 k 360
|z| 16 2
45 k 90 , k 0, 1, 2, 3
4
o o
4
o o
A tabela apresenta as soluções dessa equação em suas várias formas:
Forma polar Forma trigonométrica Forma algébrica
z = (|z|, θ) z = |z|(cosθ + i ⋅ senθ) z = a + b ⋅ i
z0 = (2, 45
o
) z0 = 2(cos45
o + i ⋅ sen45o) z 2 i 2
0
= +
z1 = (2, 135
o
) z1 = 2(cos135
o + i ⋅ sen135o) z 2 i 2
1
= - +
z2 = (2, 225
o
) z2 = 2(cos225
o + i ⋅ sen225o) z 2 i 2
2
=
z3 = (2, 315
o
) z3 = 2(cos315
o + i ⋅ sen315o) z 2 i 2
3
= -
A figura a seguir mostra a representação geométrica das soluções dessa equação:
0 2
z
0
z
1
z
2
z
3
i»
»
F
R
E
N
T
E
 2
153
Considere agora a equação do 4o grau = +z 1 i 3
2
4 , por exemplo.
Como
+ =



 +



 = + =
1 i 3
2
1
2
3
2
1
4
3
4
1
2 2
 e
+


 =Arg
1 i 3
2
120
o
, sendo θ = Arg(z):
= - + ⇔ θ = ⇔ θ =z 1 i 3
2
(|z|, ) (1, 120 ) (|z| , 4 ) (1, 120 )
4 4 o 4 o
{ }
=
θ = + ⋅




⇔
= =
θ = + ⋅ ∈




|z| 1
4 120 k 360
|z| 1 1
30 k 90 , k 0, 1, 2, 3
4
o o
4
o o
A tabela apresenta as soluções dessa equação em suas várias formas:
Forma polar Forma trigonométrica Forma algébrica
z = (|z|, θ) z = |z|(cosθ + i ⋅ senθ) z = a + b ⋅ i
z0 = (1, 30
o) z0 = 1(cos30
o + i ⋅ sen30o) z 3 i
2
0
= +
z1 = (1, 120
o) z1 = 1(cos120
o + i ⋅ sen120o) z 1 i 3
2
1
= - +
z2 = (1, 210
o) z2 = 1(cos210
o + i ⋅ sen210o) z 3 i
2
2
=
z3 = (1, 300
o) z3 = 1(cos300
o + i ⋅ sen300o) z 1 i 3
2
3
=
A figura a seguir mostra a representação geométrica das soluções da equação:
0 1
z
0
z
1
z
2
z
3
i»
»
Exercício resolvido
 40 Calcule a área do polígono cujos vértices são as representações geométricas das soluções de x4 81 = 0 no plano
complexo.
Resolução:
p(x) = x4 - 81 = (x2 - 9)(x2 + 9) = (x - 3)(x + 3)(x - 3i)(x + 3i)
x4 81 = 0 ⇔ (x 3)(x + 3)(x 3i)(x + 3i) = 0 ⇒ S = {3, 3, 3i, 3i}