Matemática - Livro 3-226-228

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MATEMÁTICA Capítulo 11 Posições relativas no espaço226
11 EsPCEx 2011 Considere um plano α e os pontos A, B,
C e D tais que
• O segmento AB tem 6 cm de comprimento e está con
tido em α.
• O segmento BC tem 24 cm de comprimento, está con
tido em α e é perpendicular a AB
• O segmento AD tem 8 cm de comprimento e é
perpendicular a α.
Nessas condições, a medida do segmento CD é
A 26 cm
b 28 cm
C 30 cm
d 32 cm
E 34 cm
12 Fatec A reta r é a interseção dos planos α e β, perpen
diculares entre si. A reta s, contida em α, intercepta r
no ponto P. A reta t, perpendicular a β, intercepta-o no
ponto Q, não pertencente a r.
Nessas condições, é verdade que as retas
A r e s são perpendiculares entre si.
b s e t são paralelas entre si.
C r e t são concorrentes.
d s e t são reversas.
E r e t são ortogonais.
13 Unifesp Dois segmentos dizem-se reversos quando
não são coplanares Neste caso, o número de pares
de arestas reversas num tetraedro, como o da figura, é
A
B D
C
A 6.
b 3.
C 2.
d 1.
E 0.
14 UFSCar Considere um plano α e um ponto P qualquer
do espaço. Se por P traçarmos a reta perpendicu-
lar a α, a interseção dessa reta com α é um ponto
chamado projeção ortogonal do ponto P sobre α.
No caso de uma figura F do espaço, a projeção or-
togonal de F sobre α é definida pelo conjunto das
projeções ortogonais de seus pontos.
Com relação a um plano α qualquer xado, pode-se
dizer que:
A a projeção ortogonal de um segmento de reta
pode resultar numa semirreta.
b a projeção ortogonal de uma reta sempre resulta
numa reta.
C a projeção ortogonal de uma parábola pode resul-
tar num segmento de reta.
d a projeção ortogonal de um triângulo pode resultar
num quadrilátero.
E a projeção ortogonal de uma circunferência pode
resultar num segmento de reta.
15 Fatec Seja A um ponto pertencente à reta r, contida no
plano α. É verdade que
A existe uma única reta que é perpendicular à reta r
no ponto A.
b existe uma única reta, não contida no plano α, que
é paralela à reta r.
C existem infinitos planos distintos entre si, paralelos
ao plano α, que contêm a reta r.
d existem infinitos planos distintos entre si, perpendi-
culares ao plano α e que contêm a reta r.
E existem infinitas retas distintas entre si, contidas no
plano α e que são paralelas à reta r.
16 UFV Considere as afirmações a seguir:
I. Se dois ângulos  e B̂ de um triângulo são con-
gruentes aos ângulos Ĉ e Ê, respectivamente, de
outro triângulo, então esses triângulos são con-
gruentes.
II. Se uma reta é paralela a um plano, então ela é
paralela a toda reta desse plano.
III. Se duas retas são paralelas a um plano, então
elas são paralelas entre si.
IV. As diagonais de um trapézio isósceles são con-
gruentes.
Assinalando V para as armações verdadeiras e F
para as falsas, a alternativa que apresenta a sequên-
cia correta é:
A V – F – F – V
b V – V – F – F
C F – F – F – V
d F – F – V – V
E V – V – V – F
17 Faap O galpão da figura a seguir está no prumo e a
cumeeira está “bem no meio” da parede.
s
A
t
4 m
4 m
3 m
v
u
r
Cumeeira
Das retas assinaladas podemos armar que:
A t e u são reversas
b s e u são reversas
C t e u são concorrentes
d s e r são concorrentes
E t e u são perpendiculares
18 Faap Duas retas são reversas quando:
A não existe plano que contém ambas.
b existe um único plano que as contém.
C não se interceptam.
d não são paralelas.
E são paralelas, mas pertencem a planos distintos.
F
R
E
N
T
E
 3
227
O que um ser de quatro dimensões veria ao olhar
para você
Ele veria todo o seu corpo, a parte de trás e da frente E também seus
órgãos internos Tudo ao mesmo tempo
Apesar de jamais podermos de fato visualizar a quarta dimensão, pode-
mos entender a lógica por trás da progressão de dimensões, e tentar
assimilar a possibilidade de alguém conseguir ver o interior de outra
pessoa Tudo pelo puro exercício de visualização matemática.
Vivemos em um mundo de três dimensões: altura, largura e profundida-
de. Tem gente que diz que o tempo é a quarta dimensão, e viveríamos
em um mundo de três dimensões + tempo, e outras pessoas dizem que
o tempo seria como uma camada 3D de uma quarta dimensão espacial
mesmo. Mas esse post fala das três dimensões espaciais com as quais
lidamos diariamente.
Para começar, como de costume, quando se fala de dimensões mais
altas, é preciso usar analogias, porque dimensões mais altas são ina
cessíveis para nós e só conseguimos imaginá-las assim – percebendo
o que as nossas três dimensões têm em comum, e como poderíamos
aplicar essas características a uma próxima dimensão.
Primeiro vamos imaginar que também existem mundos de 1, 2 e 4 di-
mensões, cada um deles habitado por seres geométricos
Os habitantes do mundo 1D seriam linhas, podemos chamar a única
dimensão de seus mundos de “largura”, por exemplo. Então eles não
teriam nem altura nem profundidade Em seus mundos de só uma di-
mensão eles poderiam se movimentar somente para a direita ou para a
esquerda, um pouquinho, até atingirem o vizinho. Eles jamais poderiam
ultrapassar seus vizinhos, porque seria impossível pular por cima ou
caminhar pelo lado deles sem acessar uma segunda dimensão.
É interessante perceber que habitantes desse universo de uma dimen-
são, com um olho em uma de suas extremidades, enxergariam só pontos,
ao olharem para seus vizinhos. Eles, apesar de terem uma dimensão,
enxergariam o mundo em zero dimensão.
Nós, por outro lado, podemos ver o mundo 1D de fora Ou seja, vemos
os seres inteiros, inclusive seus “interiores”.
Dois seres de uma dimensão vistos por algum ser com mais de uma dimensão.
Da mesma forma, seres vivendo na segunda dimensão seriam planos,
mas eles mesmos não conseguiriam enxergar os seus conterrâneos
inteiros, e só veriam linhas retas (1D). Teriam que caminhar (?) ao redor
de cada forma para saber se se trata de um triângulo ou quadrado,
por exemplo.
Assim é um quadrado de duas dimensões, visto da terceira dimensão:
E essa seria a aparência do mesmo quadrado visto por um ser de duas
dimensões:
A ideia-chave aqui é perceber que sempre enxergamos uma dimensão
inferior àquela na qual estamos inseridos.
Seres de uma determinada dimensão sempre conseguem ver o interior
dos seres da dimensão abaixo, mas só conseguem ver a superfície
de seres com o mesmo número de dimensões que eles próprios. Por
exemplo, nós, seres de três dimensões, conseguimos ver o interior de
um quadrado de duas dimensões, porque a luz tem outra dimensão por
onde passar, mas o próprio quadrado só conseguiria ver a superfície, o
contorno, dos objetos do seu mundo.
Então nós, seres de três dimensões, seguindo essa progressão lógica,
na verdade vemos apenas duas dimensões por vez, mas conseguimos
deduzir através de várias outras informações, (experiências passadas,
visão binocular, incidência da luz) a profundidade de cada objeto.
Objeto 3D Olho 3D
Retina 2D
Imagem 2D projetada
A luz é projetada na nossa retina, que é um plano.
Apesar de lidarmos diariamente com três dimensões, estamos presos
nessas dimensões, e a luz não tem por onde passar para poder nos
mostrar mais do que a superfície de cada coisa. Mas, se adicionássemos
uma nova dimensão, que crescesse a um ângulo de 90 graus de todas
as outras, poderíamos ver o lado de trás e o lado da frente e o interior
dos objetos ao mesmo tempo.
Então, resumindo, a respeito da quarta dimensão, podemos deduzir que:
1 A retina dos seres da quarta dimensão poderia ver três dimensões
por vez
2 Os seres da quarta dimensão poderiam ver também o interior de
objetos da terceira dimensão.
3 As superfícies dos objetos de quatro dimensões são formadas por
três dimensões
Então ao olhar para um cubo, por exemplo, nós vemos só o lado do
cubo que está voltado para nós, [...] nós vemos um plano, mas seres
de quatro dimensões poderiam ver os seis lados do cubo ao mesmo
tempo, e seu interior. E um ser de quatro dimensões, ao olhar para um
hipercubo, veria um cubo, que é o achatamento 3D do hipercubo 4D.
Objeto 4D Olho 4D
Retina 3D
Imagem 3D projetada
Então, ao olhar para uma pessoa,um ser de quatro dimensões poderia
ver todos os seus órgãos internos, e vasos sanguíneos, e o interior dos
vasos sanguíneos, e o interior de tudo. De uma forma inconcebível para
nós, algo como uma camada 3D de tudo que forma aquela pessoa, e
não só sua superfície
BARRUECO, Caroline "O que um ser de quatro dimensões veria ao olhar para você"
Noosfera, 19 ago. 2015. Disponível em: <https://noosfera.com.br/o-que-um-ser de-quatro
dimensoes-veria-ao-olhar-para-voce/>. Acesso em: 11 mar. 2019.
eTexto complementar
MATEMÁTICA Capítulo 11 Posições relativas no espaço228
Resumindo
Os postulados de Euclides
Postulados da existência
1 Existem ponto, reta e plano.
2 Existem infinitos pontos em uma reta e fora dela.
3 Existem infinitos pontos em um plano e fora dele
Postulados da determinação
1 Dois pontos distintos determinam uma reta.
2 Três pontos distintos e não colineares determinam um plano.
Postulados da divisão
1 Todo ponto de uma reta divide-a em duas figuras congruentes chama-
das semirretas.
2 Toda reta de um plano divide-o em duas figuras congruentes chamadas
semiplanos.
3 Todo plano divide o espaço em dois semiespaços congruentes.
Postulado da inclusão
Se dois pontos distintos de uma reta pertencerem a um mesmo plano,
então essa reta estará contida nesse plano
Determinação de plano
• Três pontos distintos e não colineares determinam um plano.
• Uma reta e um ponto fora dela determinam um plano
• Duas retas paralelas determinam um plano.
• Duas retas concorrentes também determinam um plano.
Posições relativas no espaço
Entre retas
Coplanares
Paralelas
Coincidentes
Distintas
Concorrentes
Oblíquas
Perpendiculares
Reversas
Oblíquas
Ortogonais
Entre reta e plano
Contida
Paralela
Secantes
Oblíqua
Perpendicular
Entre planos
Paralelos
Coincidentes
Distintos
Secantes
Oblíquos
Perpendiculares


























































Ângulo entre duas retas reversas
Definimos o ângulo entre duas retas reversas, r e s, como o ângulo plano
formado entre r e uma terceira reta paralela à s e concorrente à r.
Teorema fundamental da perpendicularidade
Uma reta será perpendicular a um plano se, e somente se, formar ângulos
retos com duas retas concorrentes contidas nesse plano.
Teorema das três perpendiculares
Seja um plano β, uma reta r perpendicular a β no ponto P, uma reta s
contida em β passando por P e uma reta t perpendicular à s por um ponto
Q distinto de P. Nessas condições, se tomarmos um ponto R de r, RQ será
perpendicular à t
Diedros
Diedro é a figura formada por dois semiplanos com origem em uma mes
ma reta Esses semiplanos são denominados faces do diedro, e a reta é
chamada de aresta do diedro.
β
α
r x
b
P
a
Na figura, x é a medida do ângulo diedro de aresta r: x med r̂( )= α β .
Triedros
d
1
d
3
d
2
f
1
f
2
f
3
f f f
f f f
f f f
f f f f f
f f f f f
f f f f f
1 2 3
2 1 3
3 1 2
3 2 1 2 3
3 1 2 1 3
2 1 3 1 2
< +
< +
< +





⇔
< < +
− < < +
− < < +






 e f1 + f2 + f3 < 360
o
d 180 d d
d 180 d d
d 180 d d
1
o
2 3
2
o
1 3
3
o
1 2
+ < +
+ < +
+ < +






 e 180o < d1 + d2 + d3 < 540
o